2 o CONGRESSO BRASILEIRO DE P&D EM PETRÓLEO & GÁS

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1 o CONGRESSO BRASILEIRO DE P&D EM PETRÓLEO & GÁS MODELAGEM ACÚSTICA USANDO PARAMETRIZAÇÕES EM BLOCO E POLINOMIAL TRIGONOMÉTRICA Roberto Ho Melo dos Santos & Wlson Mozer Feró CPGG - Insttto de Geocêncas - Unversdade Federal da Baha Federação Salvador BA - Brasl rhms@cp.fba.br e fero@cp.fba.br Resmo O alortmo desenvolvdo neste trabalho fo baseado no método das dferenças fntas aplcado à eqação da onda, assmndo qe a terra se comporta como m meo acústco. A modelaem sísmca fo mplementada nmercamente através do método de dferenças fntas (MDF), empreando malhas relares, tlzando a eqação acústca da onda em meos -D. Ele é mplementado sando-se operadores de dferenças fntas de senda ordem nas dervadas temporas e qarta ordem nas dervadas espacas. Os modelos eolócos bdmensonas foram representados por dos tpos dstntos de parametrzações: a em bloco (PB) e a polnomal tronométrca (PPT). Com o obetvo de ressaltar as vantaens de se tlzar a PPT frente a PB, prncpalmente no qe dz respeto a economa de espaço de memóra no prorama de dferenças fntas e smplfcações das eqações nas estratéas de nversão, foram apresentadas smlações da propaação de ondas em város modelos representados por dferentes parametrzações (PB e PPT) sando MDF aplcado a eqação da onda e erando ssmoramas sntétcos qe são comparados entre s. Como resltado deste trabalho podemos destacar a rande economa de espaço de memóra do comptador, na PPT todo o modelo fca defndo pelos coefcentes do polnômo qe passa a ser os parâmetros do modelo, e a PPT smplfca a representação de modelos mas complcados. Abstract The developed alorthm n ths wor was based on the fnte dfference method appled to the wave eqaton, assmn that the Earth has an acostc behavor. The sesmc modeln was mplemented nmercally by means of the fnte dfferences method (MDF), employn relar nets, and appled to the dervatves of tme and forth order to dervatves of the space. Twodmensonal eolocal models was represented by two dstnct nd of parametrzatons: n blocs (PB) and sn tronometrc polynomals (PPT). Wth the obectve of mpn the advantaes of sn the PPT front PB, manly n what t tells respect the economy of space of memory n proram of fnte dfference and smplfcaton of the eqaton n the nverson stratees, smlatons of the propaaton of waves ware presented n several models acted by dfferent parametrzatons (PB and PPT) sn appled MDF the eqaton of the wave and eneratn synthetc ssmoramas that they are compared amonst themselves. As a reslt of ths wor we can detach the reat economy of space of memory n the se of PPT, n whole PPT the model s defned for the coeffcents of the polynomal that start to be the parameters of the model, and PPT smplfes the representaton of more complcated models.

2 o Conresso Braslero de P&D em Petróleo & Gás. Introdção A modelaem sísmca nmérca: é vsta como a resolção do problema dreto em sa formlação sísmca, partcpa dos procedmentos de nversão sísmca qe reqer ma teora para a smlação de ondas sísmcas, é útl nos processos de mração, pode ser tlzada na nterpretação sísmca de reões com eoloa complexa, e era dados para teste de alortmos de processamento. Tradconalmente, tlza-se smplfcações das eqações da onda, tas como: aproxmações assntótcas e lnearzações. A teora do rao (Cervený, Molotov e Psencí, 977; Keller, 96) tem como base a eqação econal, qe é ma aproxmação de alta freqüênca (ótca eométrca), sendo nadeqada qando o meo é altamente heteroêneo, apresentando problemas em modelos contendo nterfaces com varação abrpta de crvatra (Trorey, 970; Hlterman, 970). Entrtetanto, com base no teorema de Green, era resltados mas abranentes, sendo útl para a modelaem de reflexões específcas (eventos). Métodos espectras apresentam lmtações para modelos com eometra complexa qe apresentam fortes radentes de propredades físcas, como acontece em contatos de ltoloas dstntas. O so do método de dferenças fntas (MDF) (Alterman e Karal, 968; Ottavane, 97) permte o desenvolvmento de técncas, com base na eqação da onda, nas qas a eometra dos modelos não aproxmadas e nem lmtadas. Desta forma, o método leva em conta não apenas as ondas dretas e refletdas (prmáras e múltplas), mas, também, anda ondas: sperfcas, refratadas, convertdas, dfratadas, refletdas crtcamente, e ondas observadas nas zonas de sombra da teora do rao. O MDF permte, anda, a obtenção de fotorafas ( snapshots ) do campo de ondas, em qalqer nstante da propaação, sem qalqer csto adconal. O MDF sa ma dscretzação do meo e, conseqentemente, dscretza o campo de onda (ampltdes) qe o atravessa, sando ma malha de pontos. Esse método aproxma as dervadas espacas e temporas obtdas por ma expansão de Taylor trncada, sando pontos vznhos em dferenças ponderadas, Thedy (995). Ses resltados, tão precsos qanto deseado, apresentam acráca mto speror em comparação aos otros métodos de modelaem sísmca.. Eqação Acústca da Onda Para os obetvos deste trabalho, é sfcente consderar modelos representatvos de meos acústcos. Pos, característcas dstntvas observadas no so de dferentes parametrzações na representação de modelos smples, tendem a acentarem-se qando o ra de complcação do modelo amenta. A eqação da onda de pressão é dada por: p p = ln( ρ ) p. (.) c t Se o meo possr densdade constante a eqação (.) se redz a p = 0. c t p (.) Para ma dscssão mas detalhada sobre a valdade de (.) ver Berhot (984). 3. Método de Dferenças Fntas 3.. Fndamentos Para sbsttr ma eqação dferencal por ma eqação qe envolva somente dferenças e qocentes fntos, qe é o cerne do método, é necessáro obter expressões qe permtam calclar nmercamente as dervadas. Isto pode ser feto va a sére de Taylor. Através da sére de Taylor para ma fnção =(x), podemos escrever: 3 () ( x) () ( x) (3) ( x x) = ( x) x. ( x) ( x) ( x)...,! 3! 3 () ( x) () ( x) (3) ( x x) = ( x) x. ( x) ( x) ( x)...! 3! (3.) (3.) Podemos obter a dervada senda somando-se (3.) com (3.) e explctando () (x), assm:

3 o Conresso Braslero de P&D em Petróleo & Gás ( ) ( x) = (3.3) 3.. Operadores de Dferenças Fntas h Assm como Mft; Pta e Hntlay (996), neste trabalho, as dervadas espacas são aproxmadas por expressões obtdas por expansões de qarta ordem da sére de Taylor e as temporas por de senda ordem, sendo assm temos: xx ) = [ ], (3.4) h ( tt ) = [ ], (3.5) h ( onde ( xx ) e ( tt ) representam, respectvamente, a dervada senda no espaço e no tempo Procedmento Recrsvo do MDF A eqação escalar da onda no caso bdmensonal acústco é dada por: x x 3 = c, t (3.6) onde =(x,x 3,t) representa o deslocamento dos pontos do meo e c=c(x,x 3 ) a velocdade de propaação da onda no ponto (x,x 3 ). Utlzando-se as aproxmações para as dervadas sendas representadas pelas eqações (3.4) e (3.5), obtemos a sente expressão recrsva necessára à mplementação comptaconal do MDF aplcado a eqação da onda: n c. t n n n n n, = ( ) [ (,, ) 6(,, ) 60, h n n n n n n 6( ) ( )]. (3.7),,,,, onde os índces, e n representam as varáves x, x 3 e t; respectvamente., 4. Modelos Geolócos Bdmensonas Procramos focalzar nossos estdos em modelos sísmcos com ra de complexbldade crescente, a Fra 3. apresenta o modelo M I (com ses camadas e cnco nterfaces), a Fra 3. apresenta o modelo M II (apresentando varação de velocdade lateral e vertcal) e a Fra 3.3 apresenta o modelo M III (consttdo por qatro camadas e dotado de ma ntrsão). Fra 3.. Modelo de velocdade (M I ) com ses camadas e cnco nterfaces horzontas.

4 o Conresso Braslero de P&D em Petróleo & Gás Fra 3.. Modelo de velocdade (M II ) dotado de varações lateras e vertcas. Fra 3.3. Modelo de velocdade (M III ) com qatro camadas e apresentando ma ntrsão. 5. Parametrzação do Campo de Velocdade 5.. Dvsão do Meo em Céllas A tlzação de céllas (o blocos) na representação do modelo é o tpo de parametrzação mas tlzado na modelaem sísmca, trata-se, smplesmente, da dvsão do modelo eolóco em céllas onde cada bloco poss ma velocdade. 5.. Polnômo Tronométrco A parametrzação polnomal tronométrca consste em representar o modelo eofísco através de ma únca fnção polnomal tronométrca. Tal representação é obtda através da partclarzação do teorema qe fornece séres baseadas em fnções ortoonas para fnções de das varáves (Kreder et al., 97). Isto é, o campo de velocdade sísmcas V(x,z) é representado por: onde N V ( x, z) = α, f( x) ( z), (5.) = 0 X ( ) X f ( x) = [( ) ]cos [( ) ] sen, (5.) Z ( ) Z ( z) = [( ) ] cos [( ) ] sen, (5.3) (x l) X = π, l (5.4) (z d) Z = π, d (5.5) V ( x, z) f ( x) ( z) dr R α, =, (5.6) f ( x) ( z) dr R onde R é a reão espacal na qal o modelo é consderado e l e d representam, respectvamente, o comprmento e a profnddade máxma do modelo. Tal fnção representa o campo de velocdade do modelo no qal a onda se propaa. Fra 3.. Modelo de velocdade (M I ) por PPT com 80 coefcentes.

5 o Conresso Braslero de P&D em Petróleo & Gás Fra 3.. Modelo de velocdade (M II ) por PPT com 80 coefcentes. Fra 3.3. Modelo de velocdade (M III ) por PPT com 80 coefcentes. 6. Modelaem Acústca Bdmensonal Foram realzadas modelaens sísmcas (Dos Santos, 00) baseadas em operadores escalares erando ses ssmoramas para os três modelos tlzando-se das dferentes parametrzações para cada m deles. Para fns de comparação entre os resltados obtdos com os modelo M I, M II e M III na modelaem tlzando a PB e a PPT, são mostrados, nas Fras 5., 5. e 5., os ssmoramas referentes a cada ma das parametrzações sadas. Fra 5.. Ssmoramas sntétcos de modelaem acústca obtdos por dferenças fntas referente ao modelo M I com PB (a) e com PPT (b).

6 o Conresso Braslero de P&D em Petróleo & Gás Fra 5.. Ssmoramas sntétcos de modelaem acústca obtdos por dferenças fntas referente ao modelo M II com PB (a) e com PPT (b). Fra 5.3. Ssmoramas sntétcos de modelaem acústca obtdos por dferenças fntas referente ao modelo M III com PB (a) e com PPT (b). 7.Conclsões e Dscssões O prorama Fortran mplementado por Dferenças Fntas obteve bons resltados tanto para a PB como para a PPT. Tanto na PB como na PPT os ssmoramas obtdos apresentaram, pratcamente, os mesmos resltados, salvo peqenas reflexões artfcas nos ssmoramas erados com a PPT, o qe se stfca devdo ao fato do campo de velocdade da PPT osclar mas. A PPT proporcona ma maor economa de espaço de memóra do comptador, devdo ao fato de não necesstar ter, como entrada no prorama de DF, m arqvo de velocdade, pos as velocdades do modelo podem ser calcladas drante a execção do prorama, bastando entrar com a fnção polnomal tronométrca o o arqvo dos coefcentes do polnômo tronométrco qe representa o modelo. Nas estratéas de nversão, a PPT assme rande mportânca, pos todo o modelo pode ser representado por ma únca expressão. O melhor, todo modelo fca defndo pelos coefcentes do polnômo qe passam a ser os parâmetros do modelo. Isto se tradz nma rande vantaem da PPT, pos as nterfaces do modelo são smladas pela varação do campo de velocdades. A parametrzação polnomal tronométrca smplfca a representação de modelos mas complcados. 8. Aradecmentos A Des, qe é a mnha fortaleza. A todos os coleas, prncpalmente ao Gno, pelo esclarecmento de peqenas dúvdas e ndcações de almas bblorafas mportantes para a execção do trabalho, a todos os professores e fnconáros do CPGG/UFBA, e a ANP (Aenca Naconal de Petróleo), pelo axílo em forma de bolsa de estdo.

7 o Conresso Braslero de P&D em Petróleo & Gás 9. Bblorafa Alterman, Z. e Karal, F. C., Propaaton of elastc wave n layered meda by fnte dfference methods, Bll. Ses. Soc, v. 58, p , 968. Berhot, A. J., Appled sesmc wave theory, Elsever, Amsterdam. 984 Ceverny, V.; Molotov, I. e Psencí, I., Ray method n sesmoloy, Praha, Unv. Karlova, 977 Dos Santos, R. H. M., Modelaem acústca bdmensonal sando dferentes parametrzações do campo de velocdades, Dss. de Mestrado, Geofísca, Uversdade Federal da Baha, Salvador, Brasl, 00. Hlterman, F. J., Three dmensonal sesmc modelln, Geofyscs, v. 35, p , 970. Keller, J. B., Geometrcal theory of dffraton, J. Opt. Soc. Am. v. 5, p. 6-30, 96. Kreder, D. ; Kller, R. C.; Ostber, D. R. e Perns, F. W., Introdção à análse lnear v., Edtora Unversal de Brasíla, Ro de Janero, 97. Mft, I.; Pta, J. A. e Hntaly, R. W., Fnte-dfference depth mraton of exploraton scale 3-D sesmc data, Geophyscs, v. 6, p , 996. Ottavane, M., Elastc wave propáaton n two evenly welded qarter spaces, Bll Ses. Soc. Am, v. 6, p. 9-5, 97. Thedy, E. A., Modelaem sísmca em meos poroelástcos, Dss. de mestrado, Unversdade Federal da Baha, Salvador, Brasl, 995. Trorey, A. W., A smple theory for sesmc dffractons, Geophyssc, v. 47, p , 970.