GERAÇÃO DE ENERGIA ATRAVÉS DA VIBRAÇÃO ESTRUTURAL DE DISPOSITIVOS PIEZELÉTRICOS NÃO LINEARES

Transcrição

1 ANDREZA TANGERINO MINETO GERAÇÃO DE ENERGIA ATRAÉS DA IBRAÇÃO ESTRUTURA DE DISPOSITIOS PIEZEÉTRICOS NÃO INEARES Tese areseada à Escola de Egeara de São Carlos da Uersdade de São Palo, como are dos reqsos ara obeção do ílo de Door em Cêcas. Área de Coceração: Dâmca de Máqas e Ssemas. Oreador: Prof. T. Palo Sergo aroo São Carlos

2 AUTORIZO A REPRODUÇÃO TOTA OU PARCIA DESTE TRABAHO, POR QUAQUER MEIO CONENCIONA OU EETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE. M66g Meo, Adreza Tagero Geração de eerga araés da bração esrral de dsosos ezelércos ão leares / Adreza Tagero Meo; oreador Palo Sergo aroo. São Carlos,. Tese Doorado - Programa de Pós-Gradação em Egeara Mecâca e Área de Coceração em Dâmca de Máqas e Ssemas -- Escola de Egeara de São Carlos da Uersdade de São Palo,.. Maeral ezelérco.. Geração de eerga.. brações ão leares.. ga caleer. 5. Icerezas. I. Tílo.

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4 Dedco ese rabalo ao me amado rmão, Rogéro.

5 Agradecmeos A Des, or er me feo caaz de soar, acredar e realzar ese rabalo. E or er resoddo as orações de odos. A ma famíla, em esecal aos mes as José Agelo e Sey, ao me rmão Rogéro e ma cada Rosaa or esarem semre ao me lado. Pela acêca, comreesão e or acredarem e cearem semre o me rabalo. As mas sobras arssa e Szaa or me fazerem mas felz. Aos os, as e em esecal a ma a Marlda, me aô Adélo memoram e ma aó Maríla ela reseça a ma da. Ao Professor Dr. Palo Sergo aroo, ela oreação e essecal aoo o deseolmeo do rabalo. Ao Professor Dr. Hélo Aarecdo Naarro, ela amzade, ela dsobldade e alosa ajda oferecda a realzação dese rabalo. Aos Professores do Dearameo de Egeara Mecâca da EESC, qe corbíram o deseolmeo do doorado. Aos amgos do aboraóro de Dâmca, ela coêca dára. Em esecal ao or, ela roa dsosção em rasmr ses coecmeos. As mas amgas Amada, Damaa, Daela e Jéssyka, ela amzade e elas rsadas qe me roorcoaram os momeos de descoração. Ao aboraóro de Dâmca do Dearameo de Egeara Mecâca da EESC/USP e aos ses fcoáros, ela acolda e facldades oferecdas.

6 Aos fcoáros da Pós Gradação em Egeara Mecâca da EESC, elo aedmeo e colaboração. A CAPES, elo axílo facero coceddo ara a realzação do rabalo. A odos qe e ão ea mecoado, mas qe corbíram drea o dreamee ara realzação dese rabalo, ma scera gradão.

7 As brações das forças meas são as mas ss e, coseqeemee, as mas oderosas qe exsem Carles Haael

8 Smáro sa de Fgras... sa de Tabelas... Smbologa... Resmo... Absrac... x INTRODUÇÃO.... Cosderações Prelmares.... Objeos.... Orgazação da Tese... REISÃO BIBIOGRÁFICA Geração de eerga araés de dsosos ezelércos leares Geração de eerga araés de dsosos ezelércos ão leares... MODEAGEM ANAÍTICA DO CONERSOR PIEZEÉTRICO.... Irodção.... Modelagem Aalíca do Ssema..... Cálclo dos Modos de brar da ga Eerga Céca Eerga Céca da ga Eerga Céca do Maeral Pezelérco Eerga Céca da Massa Magéca Eerga Céca Toal..... Eerga Poecal Eerga Poecal da ga Eerga Poecal do Maeral Pezelérco Eerga Poecal da Massa Magéca Eerga Poecal Toal agrageao.... Admesoalzação do Ssema....5 Cálclo da Poêca Elérca Ssema com ma foe adcoal de eerga Bobas... 6 TÉCNICAS DE PERTURBAÇÃO Irodção... 5

9 . Méodo das Múllas Escalas... 5 RESUTADOS DE SIMUAÇÃO Irodção Reslados Nmércos e Dscssão Aálse dâmca do ssema cosderado o efeo relso dos mageos Aálse da oêca elérca gerada cosderado o efeo relso dos mageos Aálse da oêca elérca gerada cosderado o efeo arao dos mageos Aálse da oêca eleromagéca gerada cosderado o efeo das bobas Caso relso Aálse da oêca eleromagéca gerada cosderado o efeo das bobas Caso arao Dsoso ezelérco cosderado somee a ão leardade roeee do maeral ezelérco... 9 INCERTEZAS Asecos geras sobre a aálse de cerezas A dsrbção ormal Gassaa A dsrbção Gama Coergêca Reslados da aálse de cerezas... ANÁISE EXPERIMENTA Irodção Caso lear Caso ão lear Caraceríscas ão leares do gerador ezelérco Reslados exermeas ara força magéca relsa Reslados exermeas ara força magéca araa Reslados ara oêca eleromagéca... CONCUSÃO E CONSIDERAÇÕES FINAIS Cosderações fas Coclsões do rabalo Recomedações ara rabalos fros... 6 REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS... 7

10 sa de Fgras Fgra. Efeos Pezelércos ://foesaleraas.blogso.com.br... Fgra. Esqema de m coersor ezelérco... Fgra. Esqema de m coersor ezelérco coecado ao crco elérco ezelérco... Fgra. Eerga Poecal ara dferees cofgrações magécas Fgra. Esqema do dsoso coecado ao crco elérco ezelérco e eleromagéco... 6 Fgra. Cra de resosa em freqêca: a lear, b ão lear ardeg, c ão lear sofeg Fgra 5. a Plao de fase mooesáel, D =,55m, F=,N e b Plao de fase besáel, D =,5m, F=,N Fgra 5. Hsórco o emo ara o momeo eródco, D =,55m, F=,N Fgra 5. Exoees de yao ara D=,55m e F=,N Fgra 5. Dagrama de bfrcação ara o arâmero D Fgra 5.5 a Plao de fase e b Maa de Pocaré, ara D =,5m e F=,5N Fgra 5.6 Hsórco o emo ara o momeo caóco, D=,5m e F=,5N Fgra 5.7 Exoees de yao ara D=,5m e F=,5N... 7 Fgra 5.8 Hsórco o emo D=,5m e F=,5N... 7 Fgra 5.9 Exoees de yao ara D=,5m e F=,5N... 7 Fgra 5. Comaração do dsoso a ear e b Não ear... 7 Fgra 5. Iflêca da ão leardade do maeral ezelérco... 7 Fgra 5. Poêca elérca arado o arâmero D, com F =,6N e R=kΩ, caso relso: a ara ζ=,, b ara ζ=, Fgra 5. Poêca elérca arado o arâmero F, com D =,55m e R=kΩ, caso relso: a ara ζ=,, b ara ζ=, Fgra 5. Poêca elérca arado a carga ressa R, com D=,55m e F =,6N, caso relso: a ara ζ=,, b ara ζ=,

11 Fgra 5.5 Iflêca do faor de amorecmeo a ζ erss D, b ζ erss F e c ζ erss R Fgra 5.6 Iflêca da esdade da força de excação, caso arao. D=,m e R=kΩ... 8 Fgra 5.7 Poêca elérca arado o arâmero D, com F =,6N e R=kΩ, caso arao: a ara ζ=,, b ara ζ=, Fgra 5.8 Poêca elérca arado o arâmero R, com D =,m e F=,6N, caso arao: a ara ζ=,, b ara ζ=, Fgra 5.9 Poêca eleromagéca arado o arâmero D, com F =,6N e R=,kΩ, caso relso: a ara ζ=,, b ara ζ=, Fgra 5. Poêca eleromagéca arado o arâmero F, com D =,55m e R=,kΩ, caso relso: a ara ζ=,, b ara ζ=, Fgra 5. Poêca eleromagéca arado o arâmero R, com D=,55m e F =,6N, caso relso: a ara ζ=,, b ara ζ=, Fgra 5. Poêca eleromagéca arado o arâmero D, com F =,6N e R=,kΩ, caso arao: a ara ζ=,, b ara ζ=, Fgra 5. Poêca eleromagéca arado o arâmero F, com D =,m e R=,kΩ, caso arao: a ara ζ=,, b ara ζ=, Fgra 5. Poêca eleromagéca arado o arâmero R, com D=,m e F =,6N, caso arao: a ara ζ=,, b ara ζ=, Fgra 5.5. Dsoso gerador de eerga oalmee recobero elo maeral ezelérco 9 Fgra 5.6 Comaração ere a oêca gerada or m dsoso lear e m cosderado somee a ão leardade do maeral ezelérco... 9 Fgra 5.7 Poêca elérca gerada arado a esdade da força de excação F, com ressêca de carga fxa R=7kΩ Fgra 5.8 Poêca elérca gerada arado a ressêca de carga R, com esdade da força de excação fxa F=,65N Fgra 6. Fções Desdade de Probabldade a Normal, b Gama... Fgra 6. Coergêca Normalzada a Dsrbção Normal, b Dsrbção Gama...

12 Fgra 6. Regão de cofaça ara dersos arâmeros errbados, de acordo com a df ormal: a coefcee de amorecmeo, cf b carga ressa, R c módlo de Yog da ga, Y d módlo de Yog do ezo, Y e comrmeo do ezo,... Fgra 6. Regão de cofaça ara dersos arâmeros errbados, de acordo com a df Gama: a coefcee de amorecmeo, cf b carga ressa, R c módlo de Yog da ga, Y d módlo de Yog do ezo, Y e comrmeo do ezo,... 5 Fgra 6.5 alores de cos de oêca ara dersos arâmeros errbados, de acordo com a df ormal: a coefcee de amorecmeo, cf b carga ressa, R c módlo de Yog da ga, Y d módlo de Yog do ezo, Y e comrmeo do ezo,... 7 Fgra 6.6 alores de cos de oêca ara dersos arâmeros errbados, de acordo com a df Gama: a coefcee de amorecmeo, cf b carga ressa, R c módlo de Yog da ga, Y d módlo de Yog do ezo, Y e comrmeo do ezo,... 8 Fgra 7. Deseo esqemáco do gerador de eerga dmesões em mm... 9 Fgra 7. Deseo da moagem exermeal: a sa somérca; b sa de oo... Fgra 7. Moagem exermeal sada os esaos... Fgra 7. Moagem exermeal ara esaos leares: a sa somérca; b sa de oo... Fgra 7.5 FRFs da esão ara dersos alores da ressêca de carga - escala lear... 5 Fgra 7.6 FRFs da esão ara dersos alores da ressêca de carga - escala logarímca... 6 Fgra 7.7 FRFs da esão ara alores mímo e máxmo da ressêca de carga... 7 Fgra 7.8 FRFs da oêca elérca ara dersos alores da ressêca de carga - escala lear... 8 Fgra 7.9 FRFs da oêca elérca ara dersos alores da ressêca de carga - escala logarímca... 8 Fgra 7. FRFs da elocdade da exremdade lre do coersor ara dersos alores da ressêca de carga - escala lear... 9 Fgra 7. FRFs da elocdade da exremdade lre do coersor ara dersos alores da ressêca de carga, faxa mas esrea - escala logarímca...

13 Fgra 7. Reslados exermeas mosrado caraceríscas ão leares do coersor ezelérco de eerga ara dferees alores da esão de excação e ressêca de carga R =kω: a FRF com arredra seodal crescee; b FRF com arredra seodal decrescee; c esecro do sal ezelérco com arredra seodal crescee; d esecro do sal ezelérco com arredra seodal decrescee.... Fgra 7. Esecro em freqêcas da esão ara força relsa, esão de erada cosae = 5 m.... Fgra 7. FRF da esão ara força relsa, esão de erada cosae = 5 m.. Fgra 7.5 FRF da oêca elérca ara força magéca relsa, esão de erada cosae = 5 m... 5 Fgra 7.6 Esecro em freqêca da esão ezelérca com força relsa ara osção fxa dos mageos D=5mm e esão de erada aráel... 6 Fgra 7.7 Poêca elérca da esão ezelérca com força relsa ara osção fxa dos mageos D=5mm e esão de erada aráel... 7 Fgra 7.8 Esecro em freqêcas da esão ara força araa, esão de erada cosae = 5 m Fgra 7.9 FRF da esão ara força araa, esão de erada cosae = 5 m... 8 Fgra 7. FRF da oêca elérca ara força magéca araa, esão de erada cosae = 5 m Fgra 7. Esecro em freqêca da esão ezelérca com força araa ara osção fxa dos mageos D=mm e esão de erada aráel... Fgra 7. Poêca elérca da esão ezelérca com força araa ara osção fxa dos mageos D=mm e esão de erada aráel... Fgra 7. Deseo da moagem exermeal com a boba: a sa somérca; b sa de oo... Fgra 7. Reslados ara o coersor a reseça da boba, esão de erada fxa = 5 m: a Esecro em freqêca b Poêca eleromagéca...

14 sa de Tabelas Tabela 5. Proredades do PZT...55 Tabela 5. Proredades da ga...56 Tabela 5. Proredades da massa magéca...56 Tabela 6. Deso adrão dos arâmeros ceros...86 Tabela 7. Proredade do coersor esaado... Tabela 7. alores das ressêcas lzadas...

15 Smbologa Símbolos Arábcos A Área da seção rasersal, [m ]. b w c f argra da ga e do maeral ezelérco, [m]. Coefcee de amorecmeo mecâco, [Ns/m]. D Deslocameo elérco, [C/m ]. E F Camo elérco, [N/C]. Força de excação, [N]. Esessra, [m]. I Momeo de érca de área, [m ]. Corree elérca, [A]. g agrageao do ssema Comrmeo da ga, [m]. l m m P r R R S T Comrmeo do maeral ezelérco, [m]. Idâca das bobas, [H]. Massa, [kg]. Massa oal do ssema, [kg]. Poêca elérca gerada, [W]. Momeo da base Carga ressa ezelérca, [om]. Carga ressa eleromagéca, [om]. Deformação ao logo da ga. Eerga céca, [J]. T Tesão ao logo da ga [N/m ]. T m U Coefcee de acolameo eleromagéco. Eerga oecal, [J]. Coordeada modal assocada. Tesão elérca gerada elo ssema, [ols]. olme da camada ezelérca, [m ]. w Deslocameo a dreção z, [m]. Y Módlo de elascdade do maeral, [N/m ].

16 Símbolos Gregos φ Formas modas s ε Permssdade elérca λ Flxo de eerga ρ Desdade do maeral, [kg/m ]. Freqêca aral do ssema, [rad/s]. Freqêca de excação, [rad/s]. Sbscros m Refere-se à massa magéca Refere-se ao maeral ezelérco Refere-se à ga Sobrescro * Refere-se às aráes admesoas Abrearas e sglas MEMS PDF PZT SECE SMC SSH SSHI Mcro Elecro Mecacal Sysems Fção Desdade de Probabldade ead Zrcoae Taae Exração Sícroa de Carga Elérca Smlação de Moe Carlo Sycrozed Swc Haresg Sycrozed Swcg aresg o a Idcor

17 Resmo Meo, A.T.. Geração de eerga araés da bração esrral de dsosos ezelércos ão leares. São Carlos,. 8. Tese Doorado Escola de Egeara de São Carlos, Uersdade de São Palo. A coersão de eerga bracoal do ambee em eerga elérca araés de dsosos ezelércos em recebdo crescee aeção a úlma década. Com o de melorar o desemeo deses os de dsoso, são dscdos os beefícos da rodção de ão leardades eses ssemas. O dsoso lzado é ma ga caleer o bmor, arcalmee recobera or maeral ezelérco, com massas magécas coceradas a exremdade lre da ga qe geram forças magécas ão leares. Nesse dsoso, além da ão leardade roeee dos mageos, cosdera-se ambém a ão leardade eree ao maeral ezelérco. A solção das eqações eleromecâcas acoladas, qe descree o momeo do coersor ezelérco de eerga, é ecorada mercamee resoledo-se m cojo de eqações dferecas ordáras com codções cas dadas. A resosa em freqêca do ssema é aroxmada elo méodo errbao das múllas escalas. A oêca elérca gerada é aalsada arado-se algs arâmeros, como esdade da força de excação, dsâca ere os mageos da exremdade lre da ga e ressor de carga. A esabldade do ssema ambém é esgada araés de ma aálse dâmca, de ode se cocl a flêca da dsâca ere os mageos jamee com a esdade da força de excação esa esabldade. Eses arâmeros ambém flecam a faxa de freqêca de oeração do dsoso. É obserado qe os efeos ão leares resees o dsoso fazem com qe ese oere em ma amla faxa de freqêca. É realzado o esdo de cerezas em algs arâmeros do coersor de eerga ezelérco, araés de smlações de Moe Carlo, cocldo a flêca deses a freqêca aral e a oêca elérca gerada elo dsoso. Araés de esaos exermeas cofrmam-se os beefícos da rodção de ão leardades os geradores de eerga ezelércos. Palaras-cae: Maeral ezelérco, geração de eerga, brações ão leares, ga caleer, cerezas.

18 x Absrac Meo, A.T.. Pezoelecrc Eergy Haresg From Nolear Srcral brao Sgals. São Carlos,. 8. Tese Doorado Escola de Egeara de São Carlos, Uersdade de São Palo. Pezoelecrc eergy aresg as receed grea aeo oer e las years. Te ma goal of s work s o dscss e oeal adaages of rodcg oleares e dyamcs of a beam ye ezoelecrc brao eergy areser. Te dece s esseally a caleer beam arally coered by ezoelecrc maeral w a mage mass. Also, we cosder e olear cose ezoelecrc eqaos. Te elecromecacally coled eqaos are soled mercally, rog e al ale roblems for ordary dffereal eqaos. Te freqecy resose of e sysem s aroxmaed sg e meod of mlle scales. Te elecrcal ower o s calclaed by aryg e amlde of e base accelerao, e dsace bewee e mages ad e load ressor. Te sably of e sysem s also esgaed. Socasc araos are rodced some key arameers ad e roagao of ese ceraes s esgaed rog Moe Carlos smlaos. From e mercal resls s fod a e flece of e arameers esgaed e freqecy rage of oerao of e dece ad e olear effecs rese o e dece eergy areser exed e sefl freqecy rage of ese. Moreoer ceray arameers affec e aral freqecy ad e ower o areser. Trog exermeal ess as bee cofrmed e beefs of rodcg oleares ezoelecrc eergy aresers. Keywords: ezoelecrc maeral, eergy aresg, olear dyamcs, caleer beam, ceraes.

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20 Caílo INTRODUÇÃO. Cosderações Prelmares Aalmee á ma grade corrda ecológca. Cada ez mas essoas lzam aarelos elerôcos oráes qe ermem ma críel ersaldade a comcação e solção de roblemas. Mas, como a ecologa dos oráes em crescdo emerosamee, baeras e ecologas de armazeameo de eerga ão em acomaado ese crescmeo. Codo, algmas ezes a baera odera ser maor o sedo de armazear mas eerga ara aeder a demada dos dsosos oráes. Uma aleraa ara esas baeras é gerar eerga qado esão em momeo, ara sso odem ser lzados os maeras ezelércos. Eses maeras elgees coerem eerga mecâca em eerga elérca. A coersão de eerga bracoal do ambee em eerga elérca é coecda como brao-based eergy aresg. Ese é m ema qe em recebdo crescee aeção a úlma década, e sem dúda, é ma écca mo araee ara ma amla aredade de aoalmeação em mcro ssemas. A geração de eerga araés de maeras ezelércos é o foco dese rabalo. A ezelercdade é ma roredade qe ceros maeras ossem de se orarem elercamee olarzados qado sjeos a algm o de esão mecâca o, ao coráro, sofrerem algma deformação mecâca qado recebem ma carga elérca. Defe-se efeo ezelérco dreo qado ma deformação mecâca alcada ao maeral é coerda em ma carga elérca. Por oro lado, o efeo ezelérco erso é defdo qado m oecal elérco alcado ao maeral é coerdo em deformação mecâca. Eses efeos são rereseados a fgra..

21 Fgra. Efeos Pezelércos ://foesaleraas.blogso.com.br O efeo dreo da ezelercdade fo descobero elos rmãos Crre em 88. Perre Crre e Jacqes Crre demosraram qe era ossíel a geração de m oecal elérco qado ceros os de crsas, como o qarzo, recebam ma esão mecâca. Mas os rmãos Crre ão magaam qe o efeo coráro ambém desse ocorrer eses crsas, o seja, a alcação de m camo elérco reslara ma deformação mecâca do crsal. O efeo erso da ezelercdade fo dedzdo maemacamee a arr dos rcíos fdameas da ermodâmca or ma em 88 e cofrmado exermealmee elos rmãos Crre. O qarzo, o aao de báro e o sal de Rocelle são algs dos crsas qe areseam caraceríscas ezelércas aras. Com o o da obeção de maeras sécos com essas caraceríscas, srgram em meados da década de 5, os comosos cerâmcos derados do PbZrO zrcoao de cmbo e PbTO aao de cmbo coecdos os comercalmee como PZT ead Zrcoae Taae. Parclarmee, o PZT-5A e o PZT-5H são os mas sados a egeara. O deseolmeo desses maeras cerâmcos olcrsalos amlo cosderaelmee a gama de alcações da ezelercdade. Tal fao se dee às sas caraceríscas físcas e qímcas. Os PZTs ossem dreza e desdade eleadas e odem ser rodzdos em qalqer amao e formao. Eles são qmcamee eres, mes à mdade e oras codções amosfércas. Uma das rcas aages das cerâmcas

22 ezelércas a geração de eerga, é qe qado ma bração é alcada ao maeral, ma esão de saída ode ser dreamee obda. Esa esão srge araés das les cosas do maeral. Geradores de eerga ezelércos coerem eerga de brações mecâcas a arr do efeo ezelérco dreo. Uma das cofgrações mas smles ara ese o de dsosos são as gas egasadas-lres, coecdas a lerara como gas caleer, recoberas seror e/o ferormee or m maeral ezelérco e excadas araés de sa base. A camada ezelérca é recobera or elerodos coíos e codos, coecados a m crco elérco. Um elemeo resso é cosderado o domío elérco ara aalação da oêca gerada araés das osclações mecâcas. Com sso, a eerga da bração é coerda em eerga elérca. A crescee esqsa essa área de geradores ezelércos em corbído ao ara deseoler ssemas em escalas redzdas D TOIT, 5 como em escalares maores, or exemlo, esrras aeroácas De MARQUI; ERTURK; INMAN, 9. Segdo Errk 9 a amlde de saída elérca de m gerador ezelérco será máxma qado ese for excado em sa freqêca de ressoâca, em algs casos massas coceradas são fxadas a exremdade lre do gerador ara ajsar essa freqêca. Com sso, m desafo aal essa área de esqsa é ear cosrr dsosos qe ossam coerer eerga em ma amla faxa de freqêca de excação, adaado-se a dersas foes de excações dsoíes o ambee.. Objeos Uma qesão rmordal em geração de eerga araés de maeras ezelércos é qe o melor desemeo do dsoso ocorre geralmee qado ese é excado em sa freqêca aral. Se a freqêca bracoal desa-se lgeramee desa, a oêca elérca forecda é drascamee redzda. Assm, mos esforços êm sdo realzados ara amear a faxa de freqêca deses os de geradores a fm de ablá-los a oerar de forma efcaz em ma amla faxa de freqêca. Uma forma ossíel ara agr ese objeo é a coceção de dsosos qe oerem em regme ão lear, or exemlo, ela adção de efeos de rgdez ão leares do o ardeg edrecmeo o sofeg amolecmeo. O rcal objeo dese rabalo é dscr os beefícos da rodção de ão leardades em ssemas geradores de eerga ezelércos. Tas ão leardades odem

23 ocorrer dedo ao acolameo eleromecâco, a geomera do dsoso, a roredades do maeral ezelérco, ere oras. Nese rabalo o dsoso lzado é ma ga caleer o bmor sbsrao ere das camadas ezelércas, arcalmee recobera or m maeral ezelérco, com massas magécas coceradas a exremdade lre da ga qe geram forças magécas ão leares. Nesse dsoso as ão leardades erees ao maeral ezelérco serão cosderadas. Tal dsoso, qe é excado ela base, esá lsrado a fgra.. A resosa do modelo eleromecâco ão lear é smlada araés do sofware Malab 8ª e esaos exermeas são realzados. Esera-se qe o dsoso ezelérco ão lear oere em ma amla faxa de freqêca. É aalsada a flêca dessa faxa de freqêca a oeca elérca gerada elo dsoso. Maeral ezelérco Massas magécas Fgra. Esqema de m coersor ezelérco. Orgazação da Tese Ese rabalo esá esrrado em 8 caílos focados a modelagem e aálse da resosa de geradores de eerga ezelércos ão leares. No caílo aresea-se ma rodção sobre os maeras ezelércos e sas alcações a área de geração de eerga. Ao fal do caílo ecoram-se os objeos e esrração da ese. O caílo é desado exclsamee a ma amla resão bblográfca sobre geração de eerga araés de maeras ezelércos. Ese caílo é dddo em das ares, a rmera seção cosderam-se os rabalos sobre eergy aresg lear. Na segda seção desacam-se os rabalos qe eolem os efeos de ão leardades o ssema gerador ezelérco.

24 5 A modelagem maemáca comlea do dsoso de geração de eerga esdado, o seja, ma ga caleer arcalmee recobera em ambas as serfíces or camadas de maeral ezelérco, com ma massa magéca cocerada a exremdade lre e sbmeda a ma excação ela base é areseada o caílo. A modelagem do comorameo dâmco do coersor de eerga é fea araés dos radcoas méodos de eerga e a rasdção dos sas elércos gerados elo maeral ezelérco é feo araés da ressêca de carga R assocada ao crco elérco ezelérco. Poserormee, bobas são oscoadas as roxmdades da exremdade lre da ga como ma foe adcoal de eerga. A rasdção dos sas elércos gerados elas bobas é feo araés da ressêca de carga R assocada ao crco eleromagéco. Podem-se resoler as eqações qe regem o momeo do dsoso araés de m méodo de solção aalíca aroxmada, esses méodos são coecdos como méodos de errbação. O mas lzado os casos em qe o eresse é a obeção da resosa do ssema em regme ermaee é o méodo das múllas escalas. A descrção dese méodo ara o dsoso esdado é areseado o caílo. No caílo 5 são areseados os reslados de smlação mérca realzados o sofware Malab 8a. É realzada ma aálse do comorameo ão lear do coersor de eerga com o objeo rcal de aalsar as flêcas das ão leardades a oêca elérca de saída do coersor. Uma aálse dâmca do ssema ambém é fea araés dos gráfcos de lao de fase, maa de Pocaré, dagrama de bfrcação e exoees de yao, esgado assm a esabldade do ssema. Ese caílo além de razer os reslados ara os casos ode a força magéca é relsa o araa ambém aresea reslados ara o caso ode se cosdera as bobas acoladas ao ssema. No fal dese caílo aresea-se ma aálse de reslados ara a oêca elérca gerada or m dsoso ezelérco ode somee a ão leardade roeee do maeral ezelérco é cosderada. O caílo 6 aresea os reslados de smlação mérca sobre a flêca das cerezas em algs arâmeros do gerador de eerga ezelérco ão lear. A eção dese caílo é esgar qas dos arâmeros aalsados erferem mas a resosa do ssema, afeado a freqêca aral e a oêca elérca gerada. Os reslados exermeas, ode se cosdera o caso lear e o ão lear, são areseados o caílo 7. O caso lear cosse em defcar roredades báscas do ssema em esdo, o caso o coersor ezelérco com massa magéca a exremdade lre. Neses esaos as forças de aração e relsão roocadas elos mageos froas ão

25 6 são lzadas so qe se bsca somee defcar roredades do coersor freqêca aral, rcalmee. Já os esaos ão leares o ssema gerador de forças magécas é lzado e áros casos são aalsados. Por fm, o caílo 8, são areseadas as cosderações fas, coclsões e recomedações de fros rabalos.

26 Caílo REISÃO BIBIOGRÁFICA Uma resão bblográfca sobre a geração de eerga ezelérca a arr de dsosos leares e ão leares são areseadas as seções. e., resecamee.. Geração de eerga araés de dsosos ezelércos leares A geração de eerga elérca araés de brações esrras fo calmee roosa or Wllams e Yaes 996. Exsem qaro mecasmos báscos de rasdção ara coersão de eerga araés das brações, eses são: ezelérco ERTURK; INNAM, 9 elerosáco BEEBY e al. 7, eleromagéco MITCHESON e al. e mageoesro WANG; YUAN, 8. Ere os mecasmos cados, a rasdção ezelérca em recebdo grade aeção os úlmos aos. Os rmeros esdos sobre geração de eerga ezelérca caram-se os aos 9 com os rabalos de Sarer 996, Umeda e al. 996, Umeda e al Sarer 996 exlora a ossbldade de aroear a eerga elmada drae adades codaas ara gerar eerga ara comadores e oros dsosos elerooráes. Já Umeda e al. 996 esgam a ossbldade de rasformar a eerga do maco de ma esfera de aço sobre ma laca reesda com maeral ezelérco em eerga elérca úl. Um modelo elérco eqalee é deseoldo ara smlar a eração mecâca e geração de oêca da esfera de aço sobre a laca. A exloração das caraceríscas de armazeameo de oêca araés de geradores ezelércos é esgada or Umeda e al Dedo ao efeo dreo da ezelercdade de gerar eerga elérca a arr de brações mecâcas os esdos de geradores ezelércos eram grade mlso a úlma década. As gas egasadas, coecdas a lerara como caleer são mo sadas ara reresear o comorameo eleromecâco desses os de geradores. Tas gas são comosas or m sbsrao recobero or ma o mas camadas de maeral ezelérco. Ao e Sodao 7 areseam ma amla resão a reseo dos rabalos mas releaes sobre geração de eerga ezelérca. Oras resões ambém são feas or Sodao e Ima e Ze e Qg.

27 8, ee e m lzam m modelo de ga ara aálse de m gerador ezelérco com alcação em MEMS Mcro Elecro Mecacal Sysems. A oêca de saída e a efcêca de coersão de eerga são obdas, sedo a oêca lzada ara aalar o desemeo do dsoso. Os aores lzam aeas m modo de brar em sas aálses, smlfcado o acolameo elérco a eqação mecâca. Um rabalo semelae é areseado or Ce, Wag e Ce 6, orém os aores cosderam odos os modos de brar e rereseam o efeo do acolameo eleromecâco or m coefcee de amorecmeo scoso. D To, Wardle e Km 5 ambém aalam m dsoso ara MEMS desacado as aages deses ara ma gama de alcações. Os reslados são aalados e comarados com oros reslados blcados elos aores. W, Kalg e X 8 rodzem ma écca íbrda de coersão de eerga, araés de mecasmos eleromagéco e ezelérco, ara alcaçar alas desdades de eerga e ala efcêca a coersão de eerga em MEMS com eleados íes amorecmeo mecâco. O dsoso é rojeado de al forma qe qado ma massa sísmca bra ara cma e ara baxo, ma boba gera ma esão AC, e as molas ezelércas a forma de sereas, elercamee coecadas araés de ma moldra, coere a deformação das molas em ora esão AC. Com m alo coefcee de amorecmeo elérco, coersores íbrdos de eerga maxmzam a desdade de eerga de saída e melora a efcêca de coersão de eerga. O rabalo de Rody 5 relaa a dfcldade de comarar dferees abordages e modelos ara dsosos de geração de eerga. Assm o aor forece ma eora geral a qal ode ser lzada ara comarar dferees cofgrações de dsosos. A eora demosra qe ara qalqer o de gerador, a oêca de saída deede do coefcee de acolameo do ssema, do faor de qaldade do dsoso e do gra ara o qal a carga elérca maxmza a rasmssão de oêca. Ajsara e al. 7 deseoleram m modelo de ga caleer o bmor ara geração de eerga sado ma aroxmação aalíca baseada a eora de Eler- Beroll e as eqações de Tmoseko, o qal é comarado com dos modelos reamee descros a lerara: crco elérco eqalee e méodo da eerga. Com ese mesmo o de ga Hag, e Tag deseoleram m modelo com múllas camadas de maeral ezelérco de ode oberam exressões aalícas ara crara, deslocameo e deflexão da ga. Os reslados de deflexão da ga bmor ara coexões em sére e aralelo são comarados.

28 9 Jeog e al. 8 esgaram a ossbldade de combar a freqêca de bração exera com a freqêca de ressoâca de m dsoso com das camadas ezelércas. O dsoso cosse de camadas com dferees esessras, ara a qal cada camada aresea ma freqêca de ressoâca. Zeg e X 8 areseam ma esrra dferee ara geração de eerga, eles esgam m dsoso formado or gas esaçadas assmercamee e coclem qe a efcêca a coersão de eerga ode ser ameada sgfcaemee a arr de al esrra. O modelo é baseado o méodo de Rayleg-Rz e smlações mércas são realzadas araés do méodo de elemeos fos. Reslados exermeas são sados ara cofrmar os reslados de smlação. Ada elo méodo de Rayleg-Rz, Goldscmdboeg e Woas 8 aalsam dferees formas ara m gerador de eerga ezelérco. Uma famíla de gas arado de reaglares à raglares é exlorada em ermos de efcêca e amlde de excação. A forma raglar é mas efea do qe a reaglar em ermos de omogeedade de crara, deedee da massa de roa. No eao, a efcêca oal é fracamee flecada ela forma da ga. ao e Sodao 8 descreem m modelo eórco ara m ssema ezelérco de caação de eerga qe forece ma resão acrada da eerga gerada em oro de m úco modo de brar. A omzação de arâmeros do ssema ara alcaçar a máxma efcêca é realzada araés de smlações mércas e cofrmada araés de m modelo exermeal. Reo, Daqaq e Ima 9 descreem a omzação da oêca adqrda de m ssema ezelérco de geração de eerga o qal lza m crco com dor e carga ressa. O roblema de omzação é formlado araés de m rograma ão lear ode as codções de resrções são esabelecdas. Na rmera are do rabalo é raado somee o caso do crco ramee resso. Os aores exloram o maco do amorecmeo a omzação da oêca. Além dsso, aalsam o efeo do acolameo eleromecâco demosrado qe a oêca gerada elo dsoso dm qado é lraassado m alor ómo ara o coefcee de acolameo. Na segda are, o efeo da adção de m dor é aalsado, demosrado qe ese roorcoa melora sgfcaa ara o desemeo da caação de eerga do dsoso. Gzze e al. 9 areseam ma écca de omzação a qal a geomera de m gerador de eerga formado or ma ga caleer é arada a fm de erfcar se exse ma esessra óma ara o dsoso ezelérco qe maxmze a oêca elérca gerada, comada araés do Méodo dos Elemeos Fos. Os reslados obdos foram

29 caazes de deermar ma esessra óma ara o dsoso ezelérco a qal a oêca máxma de saída fo obda. Del e Garca ambém areseam ma omzação ara geradores de eerga ezelércos. Os gerados são modelados como gas Eller-Beroll lzado modelo Rayleg-Rz. Os aores esdam rês os de gas ara aalsar a flêca da seção rasersal o desemeo do dsoso. O o é adcoar maeral ezelérco as regões ode exse maor deformação e remoê-lo das regões de meor deformação. Os aores cosderam ambém a omzação das massas coceradas a exremdade lre da ga. Errk e Ima blcaram ma sére de rabalos sobre geração de eerga araés de maeras ezelércos lzado o modelo de ga caleer, eses rabalos forecem ma amla coberra de áros asecos moraes a modelagem desse o de ssema, sedo aldados exermealmee. ERTURK;INMAN, 8a; ERTURK;INMAN, 8b; ERTURK;INMAN, 8c; ERTURK; RENNO; INMAN, 9; ERTURK; INMAN, 9. A solção aalíca de m dsoso ezelérco com brações rasersas baseado a eora de gas de Eler-Beroll é areseada or Ima e Errk 8a. A excação é realzada araés da base e o crco elérco cosse de ma carga ressa lgada a elerodos da camada ezelérca. Reslados ara esão, corree, oêca elérca e resosa em freqêca são areseados. O comorameo do ssema é obserado ara ma amla faxa de ressores. A solção aalíca desse roblema fo esedda ara o caso de m gerador bmor sedo areseada or Errk e Ima 9. Receemee, Km e Km roseram áros modelos maemácos de gas ara aalsar a efcêca de gas caleer lzadas como coersores ezelércos de eerga. Neses modelos, o efeo da razão largra/comrmeo e ambém o efeo da dsrbção da massa da exremdade foram cosderados a deermação das resosas elércas. A aldação e recsão dos modelos roosos foram erfcadas araés da comaração dos reslados ara as modelos, com modelos coecoas de gas e com modelos de elemeos fos rdmesoas. As comarações mosraram qe o modelo deseoldo forece meloras a deermação das resosas elércas, mosrado ser úl ara o rojeo de ssemas ezelércos de coersão de eerga comosos or gas caleer. Das, De Marq e Errk areseam m modelo de gerador de eerga ezelérco do íbrdo elero-aero-elásco. Uma aálse admesoal da dâmca do ssema acolado é dsesáel ara ma adeqada escala geomérca e omzação de

30 geradores de eerga aeroeláscos. As eqações qe regem o ssema elero-aero-elásco são dadas de forma admesoal, e os efeos das roredades aeroelásco elércas são esgados em deale ara comreeder a deedêca da elocdade de core elocdade de agação e a oêca máxma de saída do gerador ezelérco sobre os arâmeros do ssema. Em geradores ezelércos de eerga coecoas geralmee a segda ressoâca é gorada or casa de sa ala freqêca, bem como o íel de resosa baxo em comaração com a rmera ressoâca. Assm, somee o rmero modo de brar em sdo largamee exlorado a lerara. W e al. deseolem m modelo comaco ode dos modos são cosderados. O gerador de eerga comreede ma ga caleer rcal e ma secdára em se eror, cada ma das qas esá lgada com rasdores ezelércos. arado as massas de roa, as das rmeras freqêcas de ressoâca odem ser ajsadas ero o sfcee ara agr a faxa de freqêca úl. Os aores realzam smlações e esaos exermeas ara aldar o modelo. Os reslados mosram qe o dsoso rooso é mas adaáel e fcoal, esecalmee qado exsem resrções de esaços em alcações reas, como o caso de MENS. Os méodos de corole em dsosos ezelércos ara geração de eerga são bem exlorados or Wag e Ima. Os aores areseam m resmo dos méodos de corole asso, semasso, semao e ao. Mas rmeramee, os méodos de modelagem eleromecâcos eqalees já exsees são resados. Poserormee dscem-se a modelagem maemáca e dâmca deses dsosos, os crcos lzados e sas omzações. O efeo do amorecmeo casado ela dssação de eerga ambém é esdado. O objeo fal dos aores é resoder à qesão se a eerga carada do ambee araés da rasdção ezelérca ode o ão ser lzada ara: forecer esforço de corole sfcee, forecer m íel razoáel de sressão de bração e qafcar o gra o qal al corole ode ser realzado. Embora aja ma eorme gama de argos blcados sobre geradores de eerga ezelércos leares, os úlmos aos a geração de eerga araés de dsosos ão leares em recebdo ma aeção esecal dos esqsadores.. Geração de eerga araés de dsosos ezelércos ão leares A rcal aagem dos dsosos ão leares sobre os leares é qe eses caram eerga sobre ma grade faxa de freqêca das brações. O mecasmo mas

31 comm ara comor ma ga com caraceríscas ão leares é or meo de fxação de maeras magécos em sa exremdade, como ode ser so os rabalos de Sao, Mcgeee e Ma, Cooe, occa e Gammao 9, Ma 9, Uz e Kr ere oros. Ma e Sms 9 descreem m dsoso coersor de eerga qe sa forças de leação magécas resaradoras ara rodzr m osclador com ressoâca ajsáel. O modelo maemáco é descro a forma de ma eqação de Dfg e cosdera o caso ode a excação da base é armôca. As esgações reelam qe a resosa ão lear do ssema ode reslar em osclações relaamee grades em ma amla faxa de freqêca, sedo foremee deedee do íel de amorecmeo e qe m efeo do o ardeg a resosa em freqêca é roocado ara amlar a faxa de freqêca. Ereao, ma lmação ecorada esá o fao qe o efeo ardeg da resosa ode amlar a bada de freqêca em aeas ma dreção. Eão, Sao, Mcgeee e Ma 9 roõem m dsoso feomeologcamee smlar qe sera esa dfcldade. Araés da rodção de erações magécas ão leares, ao o efeo de rgdez do o ardeg qao o efeo do o sofeg ocorrem, ermdo a resosa em freqêca ser amlada bdrecoalmee. O dsoso rooso ambém é bem sceddo a coersão de eerga araés de brações com freqêcas arado leamee. Co e al. rojeam m ssema de ga mcro mecâco ão lear com a reseça de ão leardades geomércas araés do acolameo de ao bos. Os aores coclem qe ma eqea mdaça os arâmeros da geomera do ssema rodz ma rasção comlea do comorameo ão lear o ardeg ara o comorameo o sofeg. Torcasa e al. areseam m dsoso de geração de eerga ara es de eíclos. O dsoso exlora ma mola assmérca magéca ara ser adaáel e efcaz em áras elocdades do eíclo. São realzadas smlações mércas araés do SIMUINK qe leam em coa o comorameo dâmco ão lear e ressoâca adaaa da massa sísmca, eleromagéca e acolameo ere a massa magéca e bobas, bem como a rasferêca da oêca gerada a ma carga exera, or meo de ma erface de crco ão-lear. Uma aálse de dferees ão leardades do ssema ara dferees elocdades do eíclo e m esdo combado dos efeos sofeg e ardeg do dsoso são realzados e dscdos. Ma e Owes esgam m gerador de eerga ão lear qe lza erações magécas ara crar m oecal besáel o dsoso. Teses eórcos e

32 exermeas mosram qe o oecal besáel ode ser sado ara amlar a resosa do gerador. Sao, Mcgeee e Ma esgam a geração de eerga or m mesmo o de osclador, besáel. O modelo ão lear comleo fo obdo araés de ma formlação aalíca magéca e adeqado às exressões modas qe eolem descodade as camadas ezelércas. Uma larga faxa de resosa em freqêca fo mercamee resa e exermealmee aldada, o qe demosra recrsos arorados e oos desafos. Além dsso, os aores esdam m arâmero de bfrcação qe é examado ao como m mecasmo fxo o de ajse adaáel ara maor sesbldade à excação ambeal. Poserormee, Sao, Owes e Ma meloram ese modelo besáel, descro aerormee, cororado dssações ão leares e flêcas de ão leardades cúbcas o sofeg ao ssema. Os aores alcam o méodo do eqlíbro armôco ara reer aalcamee a exsêca, esabldade e flêca de arações de arâmeros os oços de osclação do oecal do gerador ezelérco besáel. O momeo dero dos oços do oecal mosra-se alamee ão lear e mo sesíel as arações de amorecmeo ão lear, cargas de medâca e acolameo eleromecâco. Qao à resosa armôca, os aores coclem qe exse ambém ma carga de medâca e acolameo ómos ara a exração da máxma oêca ao ara osclações dero como ere os oços do oecal. Adò e al. modelam ma ga caleer com mecasmo ambém besáel ara alcação a geração de eerga araés da bração do ambee. Porém esses aores cosderam o dsoso como m mcrosssema MEMS. A abordagem areseada basea-se ma dâmca ão lear araés de mageos fxos a exremdade lre da ga cja arclardade cosse em salar ere dos esados esáes como resosa às osclações exeras. Ngye, Halorse e Paroy ambém rabalam com a aálse da resosa de m dsoso ezelérco MEMS ara geração de eerga. Os aores areseam reslados exermeas ara o dsoso o qal lza molas cradas e exbe ma larga faxa de freqêca. As molas ossem m comorameo besáel assmérco obdo ramee de se deseo geomérco. Cocl-se qe al dsoso MEMS, é bem adaáel a brações em largo esecro, como es de aomóes o foes com ma asa gama de aração da freqêca. Uma recee resão sobre geração de eerga ezelérca araés de ssemas besáes é areseada or Hare e Wag. Os aores cosoldam e relaam sobre os grades esforços e reslados areseados a lerara.

33 As brações ambeas ocorrem geralmee em baxos íes, assm X e al. areseam as roredades de saída ão-leares ara omzar o desemeo de m dsoso ezelérco ara geração de eerga codzdo a baxa freqêca, al dsoso é comoso or ma ga caleer e dos rasdores címbalos. Os reslados da smlação elo méodo de elemeos fos lsram qe os coados ão leares ere os rasdores e a ga são as rcas razões das resosas ão leares. No eao, ma excação eleada o salo ão lear lma a alcação do dsoso. Os aores coclem araés de smlações e aálses eórca qe a aceleração da excação ode ser redzda qado se amea a massa de roa. Iso é mo sgfcao ara melorar o desemeo do dsoso sob íes de excações ferores. Galayko e al. 7 areseam a aálse, modelagem e rojeo de m coersor de eerga caaco baseado em brações. Tal dsoso é comoso or m ressoador mecâco, m rasdor caaco elerosáco e m crco de codcoameo. O coersor é raado como m ssema ão lear com m fore acolameo ere o feômeo elérco e mecâco. A codção óma de oeração é areseada ara o modelo comleo do ssema, o qal é aalsado araés de smlações comacoas. Assm, a máxma eerga coerda, arbída ao mímo ressor de carga, ara a oeração óma é ecorada. De acordo com os aores, o esado do crco de codcoameo e a magde da aceleração exera êm grade flêca o comorameo do coersor. Ese feômeo esá relacoado ao acolameo eleromecâco, arbído ao efeo da ão leardade do rasdor caaco. Trle e Dae Q 9 cosderam o ael da ão leardade ezelérca em m dsoso de geração de eerga. Tal ssema cosse de ma massa sjea a ma excação ela base. Os aores lzam o méodo de errbação Pocaré-dsed ara aroxmação da solção leado em cosderação o amorecmeo mecâco, a rgdez ão lear e relações cosas ezelércas. O comorameo reso é eão comarado com smlações mércas do ssema orgal lear, focado a relação ere oêca gerada, caraceríscas de bração e ão leardades do ssema. Reslados mosram qe os efeos da ão leardade mafesam-se somee qado a amlde de excação é arada. De acordo com os aores, a eerga coerda elo ssema ode ser melorada araés da rodção de ão leardades o acolameo eleromecâco do ssema drae o rocesso de rojeo do dsoso de coersão de eerga, os as ão leardades referees ao acolameo ezelérco êm grade flêca o desemeo do ssema em ermos de geração de eerga.

34 5 allar e al. roõem ma alcação do raameo ão lear ara a coersão de eerga acúsca rodzdo ma aroxmação qe erme redzer o comorameo da erface roosa e de erfaces clásscas lzadas a coersão de eerga acúsca. Os aores leam em cosderação ao o efeo do amorecmeo araés de ma amla faxa de freqêca de excação qao o efeo da mdaça de freqêca acúsca rodzda elo rocesso de coersão. Os reslados demosram qe a écca areseada erme amear a largra da faxa de freqêca em ermos de eerga coerda e oa-se m ameo sgfcae a eerga coerda ara ssemas com baxo acolameo excados fora da freqêca de ressoâca. Errk, Hoffma e Ima 9 esdam m dsoso ezo-magéco-elásco ara reforçar o ameo de geração de eerga araés do dsoso ezelérco. Eqações eleromecâcas ão leares descreem o momeo do ssema. Smlações mércas e exermeos são realzados e mosram m ameo de % a amlde de esão ara o crco abero. Baro, Brrow e Clare areseam m dsoso eleromagéco ão lear ara geração de eerga qe em ma amla faxa de freqêca de ressoâca. O dsoso é modelado sado ma eqação de Dffg e os reslados são comarados com dados exermeas. Os aores mosram qe os dsosos ão leares seram algmas lmações erees dos dsosos leares e a faxa de freqêca de excação ode ser ameada ada mas arado a carga ressa. Um morae beefíco qe os aores desacam é a reseça de ressoâcas ser-armôcas em freqêcas bem abaxo da freqêca aral. Esas ressoâcas ser-armôcas ermem qe dsosos com baxas freqêcas de ressoâca coem sedo caazes de gerar qadades moderadas de eerga. Errk e Ima fazem ma comaração eórca e exermeal ere dos ssemas de geração de eerga, sedo m ssema ezo-magéco-elásco e oro ezoelásco. É mosrado qe o rmero ssema cado descree ma larga faxa de amlde ara a resosa de esão. As rajeóras de fase eleromecâcas ara ambos os ssemas são comaradas e ma sbsacal aagem é obserada ara o ssema ezo-magéco-elásco. Ora comaração realzada elos aores se refere à resosa caóca e resosa eródca dos ssemas eoldos, ode obsera-se a esão de saída mo smlar ara ambos os casos. Wckeeser e Garca areseam a modelagem e aálse ão lear de m gerador de eerga, magecamee excado qe exbe efcêca em ma amla faxa de freqêca lzado ma esrra assa axlar qe ermaece esacoára em relação ao

35 6 momeo da base. O modelo é lzado com excação armôca e esocásca da base. Os reslados de smlação mosram melora o desemeo do dsoso em baxas freqêcas de excação e sesbldade com relação à excação da base arae o emo. Daqaq e al. 9 areseam ma esgação aalíca e exermeal sobre coersão de eerga em ma ga o caleer araés de ma excação aramérca. O modelo leo em coa as ão leardades geomércas e de érca bem como as ão leardades qe rereseam o efeo do ar a esrra. Os aores sam o méodo das múllas escalas ara ober ma aroxmação da solção aalíca da resosa da ga, da esão reslae em m ressor de carga, e da oêca elérca de saída a zaça da rmera ressoâca aramérca. Tal solção é sada ara esdar os efeos de acolameo eleromecâco do ssema. Os aores mosram qe exse m alor ómo ara o coefcee de acolameo e a carga ressa ara além do qal a oêca ede a dmr. Tal coefcee de acolameo e a carga ressa afeam as caraceríscas da faxa de freqêca e odem aar a ressoâca aramérca. McIes, Gorma e Carmell 8 lzam o coceo de ressoâca esocásca ara melorar o desemeo de m dsoso de geração de eerga. Os aores demosram qe adcoado ma força eródca à excação bracoal do dsoso, a oêca úl gerada é aareemee maor do qe qado esa força ão é alcada. Ferrar e al. ambém lzam ese coceo ara m dsoso de geração de eerga. Mageos ermaees são acolados à ga crado m ssema besáel a resosa da excação radômca. Smlações realzadas mosram as meloras eseradas com as brações de rído braco. Os aores ambém realzam esaos exermeas, meddo a deflexão da ga e esão de saída ara áros gras de ão leardades acresceados ao ssema. Os reslados mosram qe o desemeo do gerador de eerga é melorado qado se cosdera m ssema besáel. ak, Frswell e Adkar rereseam m gerador de eerga araés de m ssema ezo-magéco-elásco com excação araés de m rído braco esacoáro. O ameo de eerga gerado or ese dsoso fo demosrado ara excação armôca com lea aração da freqêca. Para o modelo com excação radômca é mosrado qe o ssema exbe ressoâca esocásca. Esa aração a excação mosra qe o dsoso ode ser omzado ara gerar máxma oêca araés da excação radômca. Gammao, Ner e occa areseam os beefícos do rído e da ão leardade em ssemas ara caação de eerga, araés de brações radômcas. O ael da ão leardade em geradores ezelércos é modelado com eqações dferecas ão

36 7 leares esocáscas. Os aores coclem qe o rído e as ão leardades, loge de ser ma errbação ara o fcoameo do ssema, odem desemear m ael oecalmee beéfco. Qado o esecro bracoal é esalado em ma amla faxa de freqêca, é ossíel demosrar qe os oscladores ão leares odem serar os adrões leares. Mas ese recrso ão é deedee da esdade da bração e, orao, as ão leardades deem ser escoldas dedamee ara maxmzar a eerga gerada. Scrggs 9 aresea ma eora, baseada a eora de corole ómo, ara rojear m dsoso de geração de eerga. A eora é alcada em ssemas bracoas excados esocascamee em ma amla faxa de freqêca e erme qe a oêca gerada elo dsoso seja exlcamee omzada. Tal eora é alcáel ao ara m úco ssema rasdor qao ara ma rede de rasdores acolados. O aor lza ma ga egasada bmor ara coexalzar a eora e realza smlações mércas ara lsrar áros asecos de corole omzados. Daqaq esga a resosa de m dor de eerga com oecal smérco besáel ara excações radômcas esacoáras, lzado dos os de excação: rído braco e Orse Ulebeck, esa úlma relacoada a rocessos esocáscos, ode se lza ma correlação exoecal. O aor mosra qe, sob excação de rído braco, a oêca gerada é deedee da forma do oecal, leado a coclsão qe as besabldades o oecal ão forecem qalqer reforço em relação aos radcoas geradores leares, os qas êm m úco oo esáel. Para excação com correlação exoecal é mosrado qe exse ma forma óma ara o oecal, a qal maxmza a oêca de saída. Esa forma deal garae ma freqêca de escae ere os oços do oecal qe ermaece cosae, mesmo qado a esdade do rído é arada. Ora comaração ere excações radômcas e armôcas ara m gerador de eerga modelado como m osclador de Dffg é areseado or Daqaq. O aor comara excações de rído braco Gassao e excações colordas, cocldo qe a oêca gerada sob excações de rído braco ão é flecada elas ão leardades relacoada com a rgdez, mas oros os de ão leardade, como or exemlo, de amorecmeo e de érca, odem ser beéfcas ara o dsoso gerador de eerga. Para as excações colordas, cocl-se qe as ão leardades do o rgdez dfclam a efcêca do dsoso. efere e al. 7 comaram o desemeo de m coersor de eerga baseado em brações e emregado maeras ezelércos assocado a dos dferees crcos de codcoameo de eerga. Uma aroxmação ara a coersão de eerga baseada em m rocessameo ão lear da esão elérca é areseado e mlemeado. Eão, a efcêca

37 8 de ma écca de omzação camada de Exração Sícroa de Carga Elérca SECE é comarada com a écca adrão ara brações aleaóras em amlas faxas de freqêcas. Predções eórcas e reslados exermeas mosram qe al écca ode amear a eerga coerda or m faor de aé qaro qado comarada com a écca adrão. De acordo com os aores, a mlemeação da écca SECE é mas smles do qe a da écca adrão. Arroyo e Badel esgam ma oa alcação da écca SECE. Tal écca, sada ara dsosos ezelércos, é esedda e adaada ara dsosos eleromagécos. Esa oa abordagem é camada SMFE Sycroos Magec Flx Exraco. Comarações com o modelo clássco ara coersão de eerga mosram qe odem ser caadas ere,5 e % a mas de oêca, deededo das caraceríscas do gerador. Permdo ambém ober a máxma oêca deedeemee da carga ressa. Karam e Ima a roõem e modelam m MEMS coersor de eerga com geomera zgzag. A aálse é baseada a óese de qe cada lgação se comora como ma ga Eler-Beroll em flexão e orção, acolada or eqeos lks. Uma solção aalíca é areseada e a aldação do modelo aalíco rooso é cofrmada araés da aroxmação da freqêca fdameal de ressoâca com o méodo de Rayleg e araés de erfcações exermeas. Os reslados do méodo aalíco cofrmam a ossbldade de se rojear dsosos comacos de coersão de eerga com baxas freqêcas de ressoâca, remoedo a barrera e reelado os beefícos da geomera zgzag roosa ara alcações em MEMS coersores de eerga. Karam e Ima b areseam m méodo de aroxmação fcado ara lsrar o efeo do acolameo eleromecâco, em ssemas de geração de eerga excados ela base, casado or arações o coefcee de amorecmeo e freqêca de excação do sbssema mecâco. Os aores lzam a classe geral de coersores de eerga íbrdos qe sam os mecasmos ezelércos e eleromagécos ara carar eerga. Araés da lzação de méodos de errbação ara osclações de baxa amlde e egração mérca ara brações de grade amlde é esabelecdo m méodo de aroxmação fcado ara os ssemas geradores de eerga lear, fracamee ão lear e ão lear besáel. A recsão do méodo é erfcada araés da aálse do oo coersor de eerga íbrdo e cocl-se qe ese redz o esforço comacoal ara aálse de algs ssemas b-esáel em ma ordem de magde. Também é mosrado qe rojeado o dsoso gerador de eerga ara oerar em cclo lme ode-se amear a oêca gerada em mas de ma ordem de magde.

38 9 A ão leardade do maeral ezelérco ambém ode flecar o desemeo dos dsosos de coersão de eerga. Wager e Hagedor fazem ma rmera abordagem dos efeos ão leares erees ao maeral ezelérco, descreedo ma formlação ão lear das eqações cosas ezelércas, arclarmee cldo o módlo de Yog e o faor elérco d como arâmeros ão cosaes. Os arâmeros ão leares são deermados e os reslados mércos são comarados com os obdos exermealmee. Os aores coclem qe esses efeos ão leares odem er ma flêca sgfcaa semre qe as esrras são excadas ero da ressoâca araés de elemeos ezelércos. Sao e al. a esgam a resosa ão lear de m gerador de eerga o bmor recobero elo PZT-5A. Os aores demosram m sgfcae comorameo ríseco ão lear ero das freqêcas de ressoâca, aesar do momeo geomercamee lear. A resosa do ssema ede a dcar m mecasmo de dssação ão lear, assm como ma adeqação do modelo lear. Por fm, coclem qe o bmor PZT-5A exbe m ameo do efeo sofeg da resosa em freqêca em comaração com o PZT-5H. Sao e al. b roõem e aldam exermealmee m modelo ezelérco ão lear ara geração de eerga. A aálse desaca a morâca da modelagem das ão leardades erees ao maeral ezelérco, qe ão se lmam aos efeos eláscos de ordem seror, mas ambém do acolameo ão lear do crco. Além dsso, mosram qe m mecasmo de amorecmeo ão lear resrge a amlde e a bada da resosa em freqêca. Coefcees ão-leares são defcados araés de m algormo de omzação ão lear de mímos qadrados qe lza ma solção aalíca aroxmada obda elo méodo de balaço armôco. Mas receemee, Owes e Ma esgam a resosa de m coersor de eerga com dção eleromagéca. Um aseco sglar do esdo é a comaração do comorameo do ssema qado ma forma lear o m acolameo ão lear é alcado. Os aores coclem qe á regões ode o acolameo ão lear raz reslados serores ao lear, mas á ambém regões ode o ooso é erdadero. Assm o acolameo ão lear dee ser adeqadamee ajsado ao ssema ara qe ão seja rejdcal. Cek, Yeama e Wallrabe dscem como os camos magécos ão omogêeos afeam o comorameo eleromagéco dos coersores de eerga. Baseado em smlações mércas, os aores mosram qe esas ão leardades ermem amear

39 a eerga gerada e a faxa de freqêca do dsoso, mas ão lmam de forma efcaz a amlde da bração do osclador. Comarado os reslados com m roóo, coclem qe o modelo lear ara camos magécos omogêeos forecem boas esmaas. Os aores falzam o argo dado sgesões sobre como o camo magéco ode ser beéfco ara os coersores de eerga. Tag, Yag e So ambém rabalam com o camo magéco a fm de melorar o desemeo de m dsoso ão lear ara geração de eerga. Ambas as cofgrações, moo esáel e besáel, são esgadas sob bração seodal e radômca, com áros íes de excação. Araés de eses exermeas, deermam qe a regão ão lear óma em ermos de dsâca ere os mageos é ero da rasção ere os momeos moo esáel e besáel. Os aores rabalam com o efeo sofeg e com o ardeg, deededo da olarzação dos mageos. occa e al. esdam m méodo baseado a exloração das caraceríscas dâmcas de oscladores esocáscos ara coersão de eerga. Tal méodo mosra-se seror aos oscladores leares em casos reas e ambém a reseça de rído braco. Ese comorameo ão esá lmado a algs casos esecífcos, mas ode ser geeralzado ara ma asa classe de sas de bração, ode o esecro de bração se roaga em ma amla faxa de freqêca. Os aores coclem qe os reslados ambém odem ser alcados a coersores dos e caacos. Sao e al. esgam a flêca de dos os de maeras ezelércos a resosa de m coersor de eerga. Os dsosos foram excados de baxa a ala freqêca e das massas de roa foram lzadas. Os rcas reslados obdos elos aores são: o amorecmeo ão lear é críco e ode ser bem exlcado e modelado elas relações cosas ezelércas, o eao ma maor esgação é ecessára ara deermar a eração ere erdas maeras e eração fldo-esrra; a elascdade é a rcal foe de ão leardade do dsoso; sem a massa de roa, o comorameo ão lear é sfceemee modelado or ma ão-leardade cúbca; e com a massa de roa, ese modelo ada ode ser lzado ara baxas acelerações de base. Daqaq esda a resosa de m coersor de eerga ão lear com excações Gassaas. O aor lza a eqação de Fokker Plak Kolmogoro ara gerar as eqações dferecas de momeo qe regem a resosa esaísca do ssema. É demosrado qe a razão ere o eríodo omal do sbssema mecâco e a cosae de emo do crco elérco do dsoso desemea m ael morae a caracerzação da resosa dese dsoso, esecalmee em ambees de bração aleaóra.

40 Frswell e al. areseam ma oa cofgração ara m dsoso ão lear de geração de eerga. É ma ga caleer com ma massa de roa a exremdade lre, orém moada ercalmee e excada a dreção rasersal a sa base. Esse dsoso é alamee ão lear e besáel ara grades massas de roa. As eqações eleromecâcas ara o momeo do ssema são deseoldas e a resosa ara áros arâmeros são esgadas sado os laos de fase e dagramas de bfrcação. O modelo é aldado exermealmee comarado rês dferees massas de roa. A cofgração mas arorada a são dos aores é ara a massa de roa qe dexa a ga qase dobrada, ode o ssema aresea baxa freqêca aral, oêcas de saída maores e m ameo a faxa de freqêca de oeração se comarado com o caso lear. Adò e al. esdam ma ora cofgração ara dsosos besáes. Areseam das gas caleer aralelas, com m mageo em cada exremdade lre. Os dos mageos são galmee oreados forecedo forças relsas qe or sa ez dzem comorameos besáes assmércos as das gas. O ssema é modelado aalcamee e esaos exermeas esão em fase de ese com reslados mo romssores. e al. ambém areseam m oo gerador de eerga ezelérco besáel baseado em m ssema massa-mola dobráel o qal é modelado e exasamee aalsado. O dsoso é comoso or dos comoees ezelércos e ma massa ercal ceral. Dobradças flexíes são lzadas ara coecar as ares do cojo. Excações cr e de bada lmada são lzadas ara esgar o desemeo do coersor e comará-lo com o caso lear. Reslados eórcos e exermeas mosram qe o dsoso oera em ma amla faxa de freqêca e com ala desdade de oêca. Os aores ambém sgerem qe o dsoso rooso seja combado com crcos ão leares as como o SSH Sycrozed swc aresg o a écca SECE a fm de alcaçarem melores desemeos. Oro modelo dferecado é areseado or Abdelkef, Ya e Hajj. Os aores modelam m dsoso ara geração de eerga araés de osclações gallog de ma barra raglar lgada a das gas caleers. A eerga é caada aexado folas ezelércas as gas. O modelo ão lear derado é aldado or reslados exermeas aerores. Uma aroxmação é lzada ara modelar as cargas aerodâmcas. São deermados os íes de oêca qe odem ser gerados a arr das brações, e as arações deses íes de acordo com a ressêca de carga e a elocdade do eo. A aálse ão lear é realzada ara deermar os efeos da ressêca da carga elérca e da mola de orção ão lear sobre o íel da oêca gerada elo dsoso. Os reslados

41 mosram qe os íes máxmos de oêca são acomaados or mímas amldes de deslocameo rasersal. Também é demosrado qe exse ma ressêca de carga óma qe maxmza o íel da eerga gerada. Karam, Farmer e Ima areseam m oo modelo de rasdor ezelérco ode a roação de lâmas resla em grades osclações de gas caleers. As gas bmor são besáes ela relsão da forças magécas. A força magéca aarece dedo à eração ere os mageos resees as exremdades lres das gas e os mageos das lâmas roaas. O rasdor ezelérco fo caracerzado araés de exermeos com elocdade de roação cosae. Os esaos em úel de eo demosraram qe ara ma larga faxa de elocdade do eo, a relação ere a oêca gerada e a elocdade do eo ão é roesa a ressoâca. Os feômeos ão leares carados elos exermeos são exlcados sado m modelo aalíco. Ce e al. esdam o desemeo de m gerador de eerga ezelérco besáel combado com a écca SSHI sycrozed swcg aresg o a dcor e o comaram com a écca lear radcoal. Sabe-se qe a écca SSHI amea efceemee a oêca gerada elo dsoso ara esrras de baxo acolameo. Combado as éccas, os aores bscam amlar a faxa de freqêca úl do dsoso. Os reslados de smlação e aldações exermeas mosram qe o dsoso rooso egrado oss ma amla faxa úl de freqêca e gera maor oêca. Embora mos esqsadores deem crescee aeção aos efeos ão leares a geração de eerga araés de dsosos ezelércos, Ma, Baro e Owes lembram qe oco rabalo aarece ara qafcar os efeos qe as cerezas, os arâmeros físcos do ssema, êm sobre a oêca elérca gerada, em esecal ara ssemas ão leares. De acordo com Mace, Worde e Maso 5 cerezas as roredades esrras roagam-se araés do ssema gerado cerezas a resosa: freqêcas aras, fções de resosa em freqêca FRF e assm or dae. Uma abordagem ossíel ara qafcar cerezas a resosa do ssema é araés de Smlação de Moe Carlo MCS. No eao, o cso comacoal desse méodo é mas ezes eleado, so qe a aálse dee-se reer mlares de ezes, esecalmee edo em coa o fao de qe esrras rácas êm, freqeemee, mos arâmeros ceros. Al, Frswell e Adkar esgam os efeos das cerezas aramércas m ssema mecâco ara geração de eerga e forecem ma formlação exlíca aroxmada ara arâmeros elércos ómos qe maxmzem a oêca. O máxmo da oêca dm

42 com o ameo das cerezas, assm como a freqêca óma. Os aores mosram ambém a fore flêca do coefcee de acolameo e da freqêca em relação à eerga gerada. Saos e Trdade areseam ma aálse ao-assa do desemeo do amorecmeo de gas com exesão e csalameo de cerâmcas ezelércas. Um modelo acolado de elemeos fos é deseoldo e sado ara rojear arâmeros de corole asso e ao. Eão, a modelagem esocásca e aálse de das gas caleer, com exesão e csalameo ezelérco, são realzadas ara aalar o efeo de cerezas em comoees do crco de corole da bração asso e ao-asso. Os reslados mosram qe os crcos ao-asso em deração odem ser mo eressaes, ma ez qe odem combar m adeqado corole asso com m ameo de corole ao qado a esão de corole é alcada ao crco. Araés desa resão de lerara obsera-se o esforço de orar os dsosos ezelércos ara coersão de eerga ada mas efcees. Tal esforço se cocera, os úlmos aos, a esgação dos dsosos ão leares. É oáel a aagem deses dsosos, so qe eses oeram em ma amla faxa de freqêca, adaado-se a dersas foes de excações dsoíes o ambee.

43 Caílo MODEAGEM ANAÍTICA DO CONERSOR PIEZEÉTRICO. Irodção O coersor de eerga ão lear rooso esá lsrado a Fgra.. A força magéca ão lear exsee ere a exremdade lre da ga e os mageos oscoados a base é de areza araa o relsa e, orao, agem como forças de mesmo sedo o de sedo ooso à força elásca roeee da flexão da ga. O fao de exsr forças de areza ão lear agdo a esrra da ga rodz efeos ão leares as eqações de momeo do ssema. O elemeo ezelérco qe se ecora colado à serfíce da ga rasforma a eerga braóra da mesma em eerga elérca. R Maeral ezelérco Massas magécas z x Fgra. Esqema de m coersor ezelérco coecado ao crco elérco ezelérco A rasdção dos sas elércos gerados elo maeral ezelérco é feo araés da ressêca de carga R assocada ao crco elérco ezelérco.. Modelagem Aalíca do Ssema A modelagem do comorameo dâmco do coersor de eerga é fea araés dos radcoas méodos de eerga segdo Premo 6. Cosdera-se o coersor

44 5 comoso or dos sbssemas, a ga caleer, caracerzada ela bração em flexão laeral o lao x-z, coforme so a fgra. e o crco elérco coecado ao elemeo ezelérco. O lagrageao do ssema é escro como: g = T T Tm U U Um. ode T e U são a eerga céca e eerga oecal, resecamee. Os sbscros, e m referem-se à ga, à camada ezelérca e ao maeral magéco resee a exremdade lre da ga, resecamee. Assmdo qe a ga bra de acordo com m úco modo de brar, o deslocameo em cada oo m dado sae de emo meddo em relação à base do ssema é dado or: w x, = φ x. ode φx é o modo de brar em qesão e é a coordeada modal assocada... Cálclo dos Modos de brar da ga Pela eora de Eler-Beroll a eqação do momeo goerae de ma ga é dada em ermos do momeo rasersal absolo or: x, w x, w M m c = x f x,. O rmero ermo a eqação do momeo esá relacoado com a força de érca; o segdo ermo esá relacoado ao efeo de amorecmeo e o ercero esá relacoado ao momeo fleor ero. O ermo do lado dreo da eqação é a força de excação. O arâmero m é a massa oal do ssema or dade de comrmeo. A solção da eqação. elo méodo de searação de aráes é:

45 6 r = x, = x w φ. r r ode φ r x é a aofção ormalzada ela massa do r-ésmo modo de brar e r é a exressão da resosa mecâca modal. Para calclar as formas modas e as freqêcas aras, é ecessáro cosderar o caso de bração lre ão amorecda: x, w M m =.5 x Sbsdo a eqação. a eqação.5, ara o rmero modo de brar, em-se: φ mφ YI =.6 x Rearrajado os ermos a eqação.6 ora-se: φ m φ = YI =.7 x ode é a freqêca aral ão amorecda. A eqação.7 ode ser reescra lzado a oação. ara a derada emoral: = YI φ m φ x =.8 m YI Assm, da eqação.8 orga-se o sege ssema de eqações: = φ = φ x.9

46 7 Reescreedo, o ssema lear.9 ora-se: = φ β φ = x. ode m β =. YI As solções ara as eqações. são: φ B B s = cos. x A β x A s β x A cos β x A s β x = cos. ode φx reresea as formas modas ara cada aoalor de β, camado modo de brar. As cosaes B e B são ecoradas araés das codções cas e as cosaes A a A são ecoradas araés das codções de cooro ara a ga caleer bmor com massa a exremdade lre. As codções de cooro a exremdade egasada da ga são:, = w. qe reresea deslocameo lo, e dw d, =.5 qe reresea flexão la. As codções de cooro a exremdade lre da ga são:

47 8 YI x, w, w = m m.6 so é, a força de csalameo a exremdade lre é gal a força de érca da massa cocerada, m m, e YI w x, w, = I m x.7 so é, o momeo fleor a exremdade lre é gal a érca de roação, I m, da massa cocerada. Ulzado as eqações. e. e as codções cas e de cooro, cegamse as aofções φ r x: φ r x λ = C r λ λ x r r λ x x r r cos cos αr s s x.8 α r λ r m λ s λ m [ cos λ cos λ ] s r r r r m =.9 λ r m cos λ m r cos λ r [ s λr s λr ] m ode λ r = β r. C r é a cosae modal de amlde qe dee ser aalsada araés da ormalzação das aofções de acordo com as codções de orogoaldade. Os aoalores β r são eão λ r /. Sbsdo essa exressão a eqação., a freqêca aral ão amorecda do r -ésmo modo de brar, r, é dada or: r λ r YI =. m dada or: Os aoalores λ r odem ser obdos araés da eqação caracerísca da freqêca,

48 9 cos λ I m λ m m λ cos λ m [ cos λ s λ s λ cos λ ] m I m [ cos λ s λ s λ cos λ ] m m [ cos λ cos λ ] = λ... Eerga Céca A eerga céca oal resee o ssema é dada ela soma das eergas cécas resee a ga, o maeral ezelérco e a massa cocerada da exremdade lre da ga caleer.... Eerga Céca da ga A eerga céca resee ao logo do comrmeo,, da ga é dada or: T = ρ A [ w x, r ] dx. ode o oo dca a derada emoral, ρ e A são a desdade do maeral e a área da seção rasersal da ga, resecamee e r é o momeo da base. Sbsdo a eqação. em., em-se: T = ρ A [ φ x r ] dx. Deseoledo o qadrado exsee a eqação., obém-se o sege reslado ara a eerga céca da ga:

49 = = dx r dx x r dx x A dx r r x x A T ] [ φ φ ρ φ φ ρ.... Eerga Céca do Maeral Pezelérco Para as das camadas de maeral ezelérco, a eerga céca é dada or: = dx r x w A T ], [ ρ.5 ode é o comrmeo da camada ezelérca, ρ e A são a desdade e a área da seção rasersal do maeral ezelérco. Sbsdo a eqação. em.5, em-se: = dx r x A T ] [ φ ρ.6 Qado se deseole o qadrado da eqação.6, cega-se a sege exressão ara a eerga céca do maeral ezelérco: = = dx r dx x r dx x A dx r r x x A T ] [ φ φ ρ φ φ ρ.7

50 ... Eerga Céca da Massa Magéca Para a massa magéca m m, cocerada a exremdade lre da ga, a eerga céca resee é: T m = mm[ w, r ].8 Sbsdo a eqação. em.8 e deseoledo o qadrado, em-se a eerga céca da massa magéca: T m [ r r ] = mm φ φ.9 Para rossegr com os cálclos, adoa-se a sege oação: Φ = φ x dx Φ Φ Φ = φ x dx = φ x dx = φ x dx.... Eerga Céca Toal ssema: Somado as eqações.,.7 e.9, em-se a eerga céca oal do

51 [ ] m m m m m m r r m A A m A A T Φ Φ Φ Φ = φ ρ ρ φ ρ ρ. ode m e m são as massas oas da ga e da camada ezelérca, resecamee... Eerga Poecal Da mesma forma qe a eerga céca, a eerga oecal ambém é a soma das eergas oecas resees a ga, o maeral ezelérco e a massa cocerada.... Eerga Poecal da ga A eerga oecal resee ao logo do comrmeo,, da ga é dada or: [ ] = dx x w I Y U,. ode Y é o módlo de elascdade do maeral da ga módlo de Yog e w b I = é o momeo de érca de área da ga. A lera b w refere-se a largra da ga qe é a mesma do maeral ezelérco, oserormee ambém rereseada or esa lera e é a esessra da ga. A oação dca derada esacal. Sbsdo a eqação. em. e deseoledo a exressão, em-se: = = dx x I Y dx x I Y U φ φ.

52 Reescreedo a eqação. e adoado Φ = φ x dx em-se a eerga oecal da ga: U = Y IΦ.... Eerga Poecal do Maeral Pezelérco As camadas ezelércas ambém maêm ma eerga oecal e a esão alcada foralece o camo elérco araés das camadas dedo ao efeo ezelérco. Cosderado a ão leardade resee o maeral ezelérco, de acordo com Sao e al. b, êmse as seges eqações cosas: T D = c = e S E c S cs ee ese es E e ε s E S E e S E.5 ode T e S são a esão e a deformação ao logo do comrmeo da ga, D e E referemse ao deslocameo elérco e ao camo elérco araés da esessra do maeral ezelérco, resecamee. As cosaes do maeral c, c e c são a segda, ercera e qara ordem da comoee de esão elásca, assm como e, e e e são a segda, ercera e qara ordem da comoee de esão eleroelásca. Uma aálse de reslados cosderado somee esa ão leardade ezelérca é areseada a seção 5.. A areza fraca do camo elérco moa a exclsão dos efeos ão lear delérco e eleroesro, assm a eqação.5 ode ser smlfcada: T D = c = e S c S S E ε c s E S e E e S E.6

53 dada or: A eerga oecal resee ao logo do comrmeo,, do maeral ezelérco é = T S D E U d.7 ode é o olme da camada ezelérca e E é o camo elérco a dreção z. O camo elérco ode ser escro em ermos de flxo de eerga λ: E z ± λ =.8 ode é a esessra do maeral ezelérco e a derada emoral do flxo de eerga em a dade de Webbers or segdo o ols. Na eqação.7 S é dado or: x S = z w,.9 Como o camo elérco da eqação.8 oss sas oosos ara cada camada ezelérca, a eerga oecal do maeral ezelérco será calclada searadamee ara cada camada, orado-se U = U c U b, ode U c e U b são resecamee as eergas oecas ezelérca da camada de cma e da camada de baxo. Sbsdo a eqação.6 e.8 a eqação.7, obém-se: U c = cz e w x, c z w x, c z w x, e zw x, z w λ x, e zw x, λ ε s λ λ. U b = cz e w x, c z w x, c z w x, e zw x, z w λ x, e zw x, λ ε s λ λ.

54 5 Descosderado os ermos referees a c e e qe se cacelam dedo a smera das camadas ezelércas, em-se: = bw s c dxdydz x w z e x zw e x w z c x w z c U,,,, λ ε λ λ. = bw s b dxdydz x w z e x zw e x w z c x w z c U,,,, λ ε λ λ. Deseoledo as egras, as eqações. e. oram-se: = w s w w w w c dx b x w b e x w b e x w b c x w b c U 5, 8 8,, 5 6, λ ε λ λ.

55 6 = w s w w w w b dx b x w b e x w b e x w b c x w b c U 5 5, 8 8,, 5 6 8, λ ε λ λ.5 Sbsdo wx, ela eqação. e somado a eerga oecal das das camadas ezelércas, em-se: b b e b e b c b c U s w s w w w w λ ε λ λ Φ Φ Φ Φ =.6 ode s ε é a cosae de ermssbldade ezelérca. Na eqação.6 lzam-se as seges galdades ara smlfcar a escra:

56 7 Φ Φ Φ Φ = φ x x dx = φ dx = φ x dx = φ x dx.7... Eerga Poecal da Massa Magéca A eerga oecal relacoada à força magéca, f = -Aw, Bw,, resee a massa magéca cocerada a exremdade lre da ga é dada or KARAMI; AROTO; INMAN, e DAQAQ, : A B U m = w, w, A B = φ φ.8 De acordo com Tag, Yag e So, os arâmeros A e B da eqação.8 odem ser exressos em ermos da dsâca ere os mageos, do momeo magéco dos dolos e da rgdez efea da ga bmor a codção de leardade. Assm, as arâmeros são dados or: µ = mm 5 A K dd π.9 7 5µ mm d = D B.5 π

57 8 ode, K é a rgdez efea da ga bmor a codção cal de leardade, µ é a cosae de ermeabldade do maeral magéco, m e m são os momeos magécos das massas coceradas, d é m arâmero geomérco relacoado ao oo de medção do deslocameo wx, e D é a dsâca ere as massas magécas. Segdo Sao, McGeee e Ma o momeo magéco esa relacoado com o olme dos mageos. Assm, os arâmeros m e m são calclados da sege forma: m, B = r m.5 µ ode, B r é a desdade de flxo resdal e m é o olme dos mageos. A dade de B r é dada em Teslas. Qado m =m as forças magécas são relsas e obém-se o efeo ardeg, or oro lado qado m =-m as forças são araas e o efeo sofeg é ecorado. Para o cálclo da rgdez efea K, cosdera-se a are da ga com o maeral ezelérco < x < e a are sem o maeral < x <. Assm, baseado em Errk e Ima 9 e de acordo com Fraco, Meo e aroo, K é exresso or: Y b K = b Y Y w w A fgra. aresea a eerga oecal da massa magéca ara dferees dsâcas ere os mageos resees a exremdade lre da ga. Os arâmeros lzados ara gerar esa fgra são areseados o caílo 5.

58 9 Fgra. Eerga Poecal ara dferees cofgrações magécas.... Eerga Poecal Toal Assm, somado as eqações.,.6 e.8 em-se a eerga oecal oal resee o ssema: e d c I Y A a B b U λ λ λ φ φ Φ =.5 ode, w b c a Φ =.5 w b c b Φ =.55 w b e c Φ =.56

59 w b e d Φ =.57 w s b e = ε.58. agrageao Falmee ode-se escreer o lagrageao do ssema: e d c I Y A a B b r m m m r m A A m A A g m m m λ λ λ φ φ φ ρ ρ φ ρ ρ Φ Φ Φ Φ Φ =.59 As eqações de Eler-agrage ara o ssema de dos gras de lberdade odem ser escras como: R g g d d c g g d d f λ λ λ = =.6 ode c f reresea o coefcee de amorecmeo mecâco do ssema, = λ é a esão do ssema e R é a ressêca de carga. Realzado as derações exgdas elo ssema de eqações.6, em-se:

60 r m A A m A A g m m φ ρ ρ φ ρ ρ Φ Φ Φ Φ =.6 r m A A m A A g d d m m φ ρ ρ φ ρ ρ Φ Φ Φ Φ =.6 d c I Y A a B b g λ λ φ φ Φ =.6 e d c g λ λ =.6 e d c g d d λ λ =.65 = λ g.66 Dddo-se odos os ermos das eqações reslaes.6,.6,.6,.65 ela massa modal m ~ do ssema relaa ao rmero modo de bração cega-se ao sege reslado ara as eqações dâmcas do modelo do coersor de eerga ão lear: = = e d e c e R mr d c b k c f ˆ ~ ~ ~ ~ ~.67 Obsera-se qe a arr da eqação.67, ara smlfcar a escra, sa-se em ez de e aeas e, resecamee. Os coefcees qe aarecem o ssema de eqações.67 são dados or:

61 ~ m = ρ A Φ ρ AΦ mmφ.68 ρ A Φ ρ AΦ mm mˆ φ = m~.69 ~ b Bφ b = m~.7 c c ~ = m~.7 c c~ f f = m~.7 ~ d d = m~.7 k a Aφ Y I Φ ~ = m~.7 O sal da cosae k ~ ode ser oso o egao. O sal oso corresode às forças magécas de baxa esdade e esa sação ocorre a osção de eqlíbro esáco e o ssema é deomado osclador mooesáel. A freqêca aral do ssema é dada or ~ = k. Se a base é excada or ma força armôca, o ermo forçado o ssema de eqações.67 ode ser exresso or: F mr ˆ = cos.75 m ode m é a massa oal do ssema, F é a força de excação e é a freqêca de excação.

62 Assm o ssema de eqações.67 ora-se: F c~ ~ ~ f k b c~ ~ d = cos m c d = Re e e.76. Admesoalzação do Ssema Para a solção do ssema de eqações ão leares.76 é eressae a lzação de m rocesso deomado admesoalzação, o seja, orar-se as aráes do modelo maemáco sem dmesões. Isso facla o rocesso algébrco sem qe aja qalqer aleração as caraceríscas físcas do ssema. O rocesso de admesoalzação do ssema de eqações.76 é smles. Icalmee rês oas aráes admesoas são defdas: τ =, * =, * =.77 ode e êm dmesões de comrmeo e esão elérca, resecamee. O asersco reresea qadades admesoas. As deradas de rmera e segda ordem de em relação ao emo dmesoal são descras em fção da aráel admesoal *. Pela regra da cadea, obém-se: * d * = =.78 dτ * d * = =.79 dτ Da mesma forma, a derada de rmera ordem de em relação ao emo dmesoal é descra em fção da aráel admesoal * :

63 * d * = =.8 dτ Sbsdo as eqações.78,.79 e.8 o ssema de eqações.76, obémse o ssema de eqações admesoas: * * ζ * * ~ b c = er e * * * c ~ d e * * d * * * = g cos Ωτ.8 ode, ζ g c f =.8 F =.8 m Ω =.8 Um ssema dâmco rereseado or ma eqação dferecal ordára de ordem ode ser descro araés de eqações ordáras de rmera ordem. Esas eqações são camadas eqações de esado, mas deales odem ser ecorados em Arold 995. Nese caso, as aráes de esado são escoldas como: * τ τ y =.85 y τ * τ =.86 * τ τ y =.87

64 5 Sbsdo as eqações.85,.86 e.87 o ssema de eqações.8, em-se m oo ssema escro a forma de esaço de esado, exresso como: y = y ~ ~ b c ~ d y = ζy y y y c d y = y y y y er e e yy g cos Ωτ.88 As eqações eleromecâcas acoladas, dadas elo ssema.88, odem ser resoldas araés de smlação mérca resoledo-se o cojo de eqações dferecas ordáras com codções cas dadas. Nese rabalo será sado o méodo erao Rge- Ka ara a aroxmação da solção do ssema.88. Para sso, será lzado o comado ode5 do sofware Malab..5 Cálclo da Poêca Elérca Aós er resoldo o ssema de eqações.88, em-se os alores de y τ = * τ, o seja, êm-se os alores admesoas da esão de saída, qe são lzados ara o cálclo da oêca. * τ * P τ =.89 R Assm, ara ober os alores dmesoas da oêca de saída basa mllcar a eqação.89 elo qadrado da aráel lzada aerormee ara a admesoalzação do ssema:

65 6 * P =.9 R Obsera-se qe a oêca de saída recebe flêca do alor da ressêca de carga R. Em éccas leares de coersão de eerga exse m alor ómo ara a ressêca qe codz a máxma oêca elérca gerada. Assm, esa será ma esgação a ser realzada ara o caso do coersor de eerga ão lear..6 Ssema com ma foe adcoal de eerga Bobas O dsoso modelado ese rabalo ode receber ma foe adcoal de eerga qado bobas são oscoadas as roxmdades da exremdade lre da ga. A bração rasersal da ga dz o srgmeo de esões adcoas. O oo dsoso ode ser so a fgra.. A rasdção dos sas elércos gerados elas bobas é feo araés da ressêca de carga R assocada ao crco elérco eleromagéco. R Maeral ezelérco Bobas R Massas magécas z x Fgra. Esqema do dsoso coecado ao crco elérco ezelérco e eleromagéco Para a modelagem do oo ssema, além das eergas cécas e oecas lzadas, ora eqação é deseolda ara a eerga eleromecâca das bobas. E = lq T q m φ.9

66 7 ode q é a corree elérca resee as bobas q =, T m é a força relacoada ao coefcee de acolameo eleromagéco e l é a dâca das bobas. A eqação.9 é adcoada ao agrageao eqação.5, qe se ora: lq q T e d c I Y A a B b r m m m r m A A m A A g m m m m Φ Φ Φ Φ Φ = φ λ λ λ φ φ φ ρ ρ φ ρ ρ.9 Agora as eqações de Eler agrage recebem ma oa eqação. q R q g q g d d =.9 Calclado as deradas da eqação.9, em-se: q l T q g m = φ.9 q l T q g d d m = φ.95 = q g.96 Assm, acrescea-se ma ercera eqação ao ssema de eqações.76.

67 8 = = = l T l R e d e c e R m F q d c b k c m f φ γ cos ~ ~ ~ ~ ~ ~.97 ode, m T m ~ ~ φ γ =.98 Para as smlações, o ssema de eqações.97 é admesoalzado e ora-se: = = Ω = * * * * * * * * * * * * * * * * cos ~ ~ ~ l T l R e d e c er g d c b m φ τ γ ζ.99 Aq ma oa aráel admesoal fo rodzda: * * d d τ = =. Escreedo o ssema de eqações.99 a forma de esaço de esado, em-se:

68 9 = = Ω = = cos ~ ~ ~ ~ y l T y l R y y y e d y e c y er y g y y y d y c y b y y y y y m φ τ γ ζ. Aós er resoldo o ssema de eqações., em-se os alores de y τ = * τ, o seja, êm-se os alores admesoas da corree gerada, qe são lzados ara o cálclo da oêca eleromagéca. * * R P em τ τ =. Assm, ara ober os alores dmesoas da oêca eleromagéca basa mllcar a eqação. elo qadrado da aráel lzada aerormee ara a admesoalzação do ssema: * em R P =. A oêca eleromagéca recebe flêca da ressêca de carga R. A flêca dos alores de R será aalsada os reslados areseados o caílo5.

69 Caílo TÉCNICAS DE PERTURBAÇÃO. Irodção A eora de errbação é ma coleção de méodos eraos ara obeção de ma solção aroxmada de roblemas qe eolem m eqeo arâmero, ε <<, ambém camado de arâmero de errbação. De modo geral, a eora de errbação decomõe m roblema em m úmero fo de roblemas relaamee mas fáces de ober a solção. As aages desses méodos resdem o fao de qe os rmeros ermos das séres de solção são sfcees ara reelar caraceríscas moraes da solção de m roblema. Ere os méodos de errbação mas coecdos esão: Exasão Drea, qe aresea a écca de errbação mas smles; Méodo de dsed-pocaré, adeqado ara ober a resosa de ssemas dâmcos os qas a ão leardade afea ão somee a amlde, mas ambém o eríodo do momeo; Méodo das Múllas Escalas, o qal é ma aração do méodo de dsed-pocaré, orém mas arorado ara ssemas com amorecmeo; Méodo do Balaço Harmôco,em qe o rcío é exressar as solções eródcas do ssema araés da soma de áros armôcos SAI, 6, ere oros. Drae o fal dos aos 5 e íco dos aos 6, esforços de esqsadores como Frema 96 e Nayfe 965 learam ao deseolmeo do méodo das múllas escalas qe forece ma aleraa ara deermar a aroxmação de solções de eqações dferecas ordáras ão leares. Na seção sege, será alcado o méodo das múllas escalas ara o ssema areseado o caílo.. Méodo das Múllas Escalas Pode-se resoler o ssema de eqações.8 araés de m méodo de solção aalíca aroxmada. O mas lzado os casos em qe o eresse é a obeção da resosa do ssema em regme ermaee é o méodo das múllas escalas. Mas deales sobre ese méodo ode ser ecorado em Nayfe e Jorda e Sm 7.

70 5 A fm de se er ma ão leardade fraca em relação aos ermos leares, m eqeo arâmero de errbação ε << é rodzdo a eqação de momeo do ssema de eqações.8: = Ω = * * * * * * * * * * * * cos ~ ~ e d e c er g d c b τ ε ε ε ε ζε. Não exse ma úca maera do arâmero ε ser rodzdo a eqação de momeo, ereao Carmell 99 aresea algmas dcas de como esa arefa ode ser realzada. Deem-se defcar os ermos mas flees o mas fores e aqeles qe aaream ser mas fracos. Para so, a eqação do momeo dee esar semre a sa forma admesoal. A solção aroxmada do ssema de eqações. é dada or:...,,, * = T T T T ε ε τ.a...,,, * = T T T T ε ε τ.b ode T = τ, T = ετ. Em ez de sar a freqêca de excação Ω como arâmero, é rodzdo m oo arâmero σ, em qe Ω = εσ. Assm, sbsdo as eqações de solção. o ssema., em-se: cos ~ ~ T T g d c b d d d d σ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε τ ζε ε τ =.a

71 5 d d e d d d e c er d d ε τ ε ε τ ε ε τ =.b Em ermos de T e T, as deradas emoras são escras como: ε ε τ ε ε τ O D D D d d O D D d d = =. a qal o oerador T D =. Sbsdo as eqações. as eqações., em-se: cos ~ ~ ε σ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ζε ε ε O T T g d c b D D D D D =.5a ε ε ε ε ε ε ε ε ε O D D e d D D e c er D D =.5b Para ma aroxmação de segda ordem, o cojo de eqações.5, ora-se: cos ~ ~ T T g d c b D D D D D σ ε ε ε ε ε ζε ε ε =.6a

72 5 D e d D e d D e d D e d D e c D e c D e c er er D D D ε ε ε ε ε ε ε ε =.6b Searado os ermos das eqações.6 segdo oêcas de ε, obém-se: = = D e d D e c er D D O ε.7 = = cos ~ ~ D D D e d D D e c er D D T T g d c b D D D D O σ ζ ε.8 As eqações areseadas em.7 são coecdas a lerara como eqações errbadas de ordem zero. Sas solções odem ser escras a forma comlexa, ode o magáro ro é dcado or j: jt jt e T A e A T =.9

73 5 c e = c e d e d e jt A T e A T A T j er jt A T e A T A T j er A T A je jt jt T je. A eqação.9 ambém ode ser escra da sege forma: T T β cos T = α. Na eqação. α e β são gradezas reas e as eqações.9 e. A é m úmero comlexo, cjo cojgado é A. Das das formas de escreer a solção, ode-se coclr qe: A T A jβ = T α T e jβ = T T α T e. Sbsdo as solções e, eqações.9 e., a eqação de momeo de ordem, o seja, rmera eqação de.8, em-se: D = ja c ~ ja T g j e T T σ cc jt e o jt T e o jt ja T e o jt A T e o ζ A T A T d ~ b j jt e o jt A T je A T A T j A T A T. ode,

74 55 A T A T =, T c e = d e jt A T e A T A T j er, c e = d e jt A T e A T A T j er Os comlexos cojgados de cada ermo da eqação. esão rereseados elo ermo cc. A eqação. coém ermos seclares e jt qe crescem learmee com o emo. A solção ara é eródca o emo e ão ode coer ermos seclares, or sso esses ermos deem ser elmados. ja c ~ T ζ ja T A T A T ja T ja T ~ b A T d A T e j er g e jσt c ~ = c e j er. O srgmeo dos ermos seclares é caracerísco de osclações ão-leares. Uma abordagem eressae sobre asecos físcos de osclações ão leares e o srgmeo de ermos seclares é dada em Ka 99. Sbsdo a eqação. a eqação. e rearrajado os ermos, em-se;

75 56 6 / ~ 8 ~ 8 ~ = T j T j T j T j T j T j T j e g e T j R e j er T d R T d c e T j R e j c er c R c e b e T j e T e T j σ β β β β β β α α α α α α ζ αβ α.5 Podem-se ddr odos os ermos da eqação.5 or e jβt e escreer αt e βt smlesmee como α e β: 6 / ~ 8 ~ 8 ~ = β σ α α α α α ζ αβ α T j e g j R e j er d R d c j R e j c er c R c b j j.6 Escreedo o ermo exoecal em forma de seo e cosseo, a eqação.6 orase: β σ β σ α α α α α ζ αβ α = cos 6 / ~ 8 ~ 8 ~ T se j T g j R e j er d R d c j R e j c er c R c b j j.7 Searado as ares reas e magáras da eqação.7, em-se:

76 57 = = β σ α α α αβ β σ α α ζα α cos 6 / ~ 8 ~ 8 ~ 6 ~ 8 ~ T g R e R d c R e c er c b T se g R e er d c R e c R c.8 As eqações dferecas de rmera ordem obdas em.8 são deomadas eqações de modlação segdo Nayfe. Esas eqações caracerzam a resosa do ssema, ode α reresea a amlde e σt β a fase. Assm, as eqações de modlação reêm a essêca dâmca da esrra. Pode-se eão, ao és de aalsar o modelo comleo descro ela eqação., realzar ma aálse araés dessas eqações de modlação. Ese é m aseco basae oso do méodo das múllas escalas. As solções cosaes do ssema de eqações.8 são deomadas solções de eqlíbro. Uma solção de eqlíbro corresode a ma resosa eródca o a m cclo lme e é calclada modo ά = β =. É eressae rasformar esse ssema em m ssema aôomo, os a esabldade de ma solção de eqlíbro é deermada a arr dos aoalores da marz Jacobaa da ersão aôoma desse ssema. Para qe o ssema de eqações.8 rasforme-se em m ssema aôomo, T ão dee aarecer exlcamee as eqações. Para sso, faz-se: β σ φ = T.9 Sbsdo a exressão.9 as eqações de modlação.8, em-se:

77 58 = = φ α α α ασ αφ φ α α ζα α cos 6 / ~ 8 ~ 8 ~ 6 ~ 8 ~ g R e R d c R e c er c b se g R e er d c R e c R c. Agora, ara a solção em regme ermaee ά = β =. = = φ α α α ασ φ α α ζα cos 6 / ~ 8 ~ 8 ~ 6 ~ 8 ~ g R e R d c R e c er c b se g R e er d c R e c R c. Eleado as eqações de. ao qadrado e somado-as, cega-se a ma eqação deomada fção de resosa em freqêca do ssema, qe é dada or: 6 / ~ 8 ~ 8 ~ 6 ~ 8 ~ g R e R d c R e c er c b R e er d c R e c R c = α α σ α ζ α. A eqação. é ma eqação mlíca ara a amlde de resosa α em fção do arâmero σ freqêca de excação e da amlde de excação g. Para loar o gráfco da eqação., dee-se solar σ:

78 59 6 ~ 8 ~ 6 / ~ 8 ~ 8 ~ ± ± = α ζ α α α σ R e er d c R e c R c g R e R d c R e c er c b. O gráfco de α em fção de σ é camado cra de resosa em freqêca e é areseado a fgra.. a b c Fgra. Cra de resosa em freqêca: a lear, b ão lear ardeg, c ão lear sofeg

79 6 A fgra. aresea a comaração da cra de resosa em freqêca ara o caso a lear, b ão lear ardeg e c ão lear sofeg. O efeo de rgdez ão lear do o ardeg o sofeg a fgra. esá relacoado com os sas do momeo magéco resee a eqação.5. Do ssema de eqações. ode-se ambém ecorar o alor ara a fase φ da resosa em freqêca. Dddo as das eqações, em-se: 6 / ~ 8 ~ 8 ~ 6 ~ 8 ~ a α α α ασ α α ζα φ = R e R d c R e c er c b R e er d c R e c R c. Rearrajado os ermos e solado φ: = 6 / ~ 8 ~ 8 ~ 6 ~ 8 ~ arca α α σ α ζ φ R e R d c R e c er c b R e er d c R e c R c.5 A aroxmação de rmera ordem ara o deslocameo * ode ser ecorada sbsdo a eqação. em.9 e oserormee em.a. jt j jt j e e e e = β β α α.6 Colocado- se α em edêca, smlfcado as exoecas e as escreedo em ermo de cosseo, em-se: cos T e e T j T j = = β α α β β.7

80 6 Sbsdo a eqação.7 a eqação.a, em-se a aroxmação de rmera ordem ara a solção admesoal * do roblema: * = β T O ε α cos.8 Sbsdo a eqação.9 a eqação.8 e lembrado qe aroxmação da solção ara o esado esacoáro. Ω = εσ, em-se a * τ, ε = α cos Ωτ φ O ε.9 ode α e φ são cosaes. Na eqação.8 α e β são dados elas exressões da eqação.8.

81 Caílo 5 RESUTADOS DE SIMUAÇÃO 5. Irodção Ese caílo em como objeo aresear e dscr os reslados de smlação mérca ara o dsoso de geração de eerga ezelérco, comoso ela ga caleer o bmor, arcalmee recobera or maeral ezelérco, com massas magécas coceradas a exremdade lre. O dsoso fo sbmedo a ma aceleração ela base comosa or m momeo de raslação a dreção ercal. Para al dsoso, qe fo areseado a fgra., as roredades geomércas e roredades do maeral são areseadas as abelas 5., 5. e 5.. Resecamee esas abelas corresodem ao maeral ezelérco, à ga e à massa magéca. Parâmeros geomércos Tabela 5. Proredades do PZT PZT-5H Comrmeo, mm 8, argra, b w mm 5, Esessra, mm,5 Proredades do maeral Desdade de massa, ρ kg/m 75 Módlo de Yog, Y o c GPa 6,6 Cosae ezelérca, e C/m -6,6 S Permssdade, ε F/m ε Permssdade o áco, ε F/m 8,85x - Proredades ão leares do maeral c, GPa, Sao e al. -,667x 7 e, C/m, Sao e al.,7x 8

82 6 Tabela 5. Proredades da ga Parâmeros geomércos ga aço Comrmeo, mm 7 argra, b w mm 5, Esessra, mm,65 Proredades do maeral Desdade de massa, ρ kg/m 785 Módlo de Yog, Y GPa Tabela 5. Proredades da massa magéca Parâmeros geomércos Massa magéca NdFeB Comrmeo, mm,7 argra, b mm,7 Esessra, mm,7 Proredades do maeral Cosae de ermeabldade, µ N/A - π. -7 Desdade de flxo resdal, B r T, 5. Reslados Nmércos e Dscssão Nas seções seges serão areseados os reslados de smlação mérca realzados o sofware MATAB 8a. Será esgada a flêca de algs arâmeros de erada a oêca elérca gerada elo dsoso ezelérco. Tas arâmeros são: amlde da força de excação F, ressêca de carga R e dsâca D ere as massas magécas resees a exremdade lre da ga. Uma aálse dâmca do ssema.8 ambém será fea araés dos gráfcos de lao de fase, maa de Pocaré, dagrama de bfrcação e exoees de yao, esgado assm a esabldade do ssema. Na seção 5.. e 5.. cosderam-se o caso ode os mageos areseam efeo relso, o seja, m = m as eqações.9 e.5. O efeo arao, m = - m, é areseado a seção 5... A seção 5.. raz os reslados ara o caso relso cosderado as bobas acoladas ao

83 6 dsoso gerador de eerga. Já o caso arao do dsoso a reseça de bobas é areseado a seção Aálse dâmca do ssema cosderado o efeo relso dos mageos O ssema areseado ese rabalo ara ere as codções de mooesabldade e besabldade. O qe deerma essa aração é a dsâca ere os mageos oscoados a exremdade lre da ga e a esdade da força de excação do ssema. A aração desa dsâca esfca o dm a força magéca, casado aleração a freqêca aral do ssema e a esdade dos efeos ão leares. Os reslados areseados a segr cosderam o efeo relso ere os mageos, qado se em os momeos magécos m = m. A fgra 5. aresea a rasção ere as codções de mooesabldade e besabldade do ssema. Na fgra 5.a aresea-se o lao de fase ara D=,55m e a fgra 5.b o lao de fase ara D =,5m. Em ambas as fgras a esdade da força de erada fo de F=,N. Na fgra 5. ode-se er o sórco o emo do deslocameo da ga ara a codção de mooesabldade. Obsera-se a fgra 5. o comorameo eródco do ssema qado se em a dsâca D=,55m ere os mageos da exremdade lre da ga e baxa esdade de força de excação. Nesa fgra cosdera-se aeas o eralo de emo fal de smlação. O comorameo esáel do ssema qado a dsâca ere os mageos é de D=,55m e a esdade da força de excação é de F=,N ode ser cofrmado elo cálclo dos exoees de yao. A fgra 5. aresea os alores calclados do exoee de yao ara o ssema esas cofgrações. Na fgra 5. os alores ecorados do exoee de yao são: -.999, -.6 e Todos os alores egaos, com m deles bem róxmo de zero. Iso sgfca qe as rajeóras róxmas comaradas maêm-se com dsâcas fxas e o ssema aresea m momeo eródco.

84 65 a b Fgra 5. a Plao de fase mooesáel, D =,55m, F=,N e b Plao de fase besáel, D =,5m, F=,N

85 66 Fgra 5. Hsórco o emo ara o momeo eródco, D =,55m, F=,N Fgra 5. Exoees de yao ara D=,55m e F=,N Para coecer o comorameo do ssema em relação à aração da dsâca D ere os mageos, aresea-se a fgra 5. o dagrama de bfrcação. De acordo com Srogaz 99 ma bfrcação ocorre qado ma eqea mdaça o alor de m arâmero arâmero de bfrcação de m ssema dâmco casa ma reea mdaça qalaa o comorameo dâmco dese ssema.

86 67 Fgra 5. Dagrama de bfrcação ara o arâmero D Para o ssema em qesão exse ma dsâca críca ere os mageos da exremdade lre da ga qe geram m momeo caóco. Noa-se a fgra 5. ma mdaça drásca o comorameo dâmco do ssema qado os mageos esão com dsâca róxma de D=,5m, orém a arr desa dsâca o ssema ola ao comorameo ormal. Esa mdaça o comorameo do ssema gera edêcas de m momeo caóco esa regão. Assm, o ssema dâmco com esa dsâca ere os mageos será esgado a segr. Uma das maeras de obserar o momeo caóco de m ssema é araés da seção de Pocaré NAYFEH; BAACHANDRAN,, m arfíco eado or Her Pocaré a fm de redzr o esdo de m flxo coío o esaço de fase de dmesão N ara o esdo de m maa o esaço de fase N-. O seja, o méodo de Pocaré cosse em seccoar o lao de fase em eralos eródcos de emo e obserar essas seções o lao defdo ela osção e elocdade do ssema. O momeo caóco do ssema a regão em qesão ode ser cofrmado ela fgra 5.5 qe aresea o lao de fase e o maa de Pocaré do ssema ara D =,5m. Nesa fgra a esdade da força de erada é de F=,5N. Para m comorameo caóco do ssema dâmco, a seção de Pocaré aresea m cojo de oos qe ão são cocdees, ão se reeem e são dsrbídos o maa

87 68 de forma dsersa. Essa descrção ode ser sa a fgra 5.5b, cofrmado assm o comorameo caóco do ssema ara os arâmeros D=,5m e F=,5N.. a b Fgra 5.5 a Plao de fase e b Maa de Pocaré, ara D =,5m e F=,5N

88 69 A fgra 5.6 aresea o sórco o emo do deslocameo da ga ara o momeo caóco, o seja, ara D=,5m e F=,5N. Aq ão se obsera a erodcdade do momeo, dfereemee do qe ocorre a fgra 5.. Fgra 5.6 Hsórco o emo ara o momeo caóco, D=,5m e F=,5N Araés do cálclo dos exoees de yao ambém é ossíel deecar o caos m ssema dâmco. Qalqer ssema qe exbe elo meos m exoee de yao oso aresea comorameo caóco. Na fgra 5.7 é mosrado os exoees de yao calclado ara o ssema com os alores de arâmeros D=,5m e F=,5N. Para eses arâmeros foram ecorados os seges alores do exoee de yao:,78, -,99 e -,8. O alor oso de m dos exoees dca qe as rajeóras róxmas comaradas dergem, cofrmado assm o momeo caóco do ssema.

89 7 Fgra 5.7 Exoees de yao ara D=,5m e F=,5N Mesmo ara ala esdade de força de excação o ssema ola a er comorameo eródco ara dsâcas serores a D=,5m.. Iso ode ser comroado elo sórco o emo da fgra 5.8 e elos exoees de yao da fgra 5.9. Fgra 5.8 Hsórco o emo D=,5m e F=,5N

90 7 Fgra 5.9 Exoees de yao ara D=,5m e F=,5N Ambas as fgras 5.8 e 5.9 foram smladas ara dsâca ere os mageos de D=,5m e esdade de força F=,5N. O momeo eródco ode ser so a fgra 5.8 qe reresea o sórco de deslocameo o emo. Esse momeo esáel se cofrma com os exoees de yao -.987, e -.957, odos egaos, areseados a fgra 5.9. Como o dsoso ezelérco de geração de eerga em qesão ese rabalo aresea em deermadas regões m momeo caóco, esas regões ão serão aalsada momeaeamee ara o cálclo da oêca elérca gerada elo dsoso. Esa oderá ser ma aálse fra fea araés de esaos exermeas. A seção sege aresea os reslados de smlações ara o cálclo da oêca elérca gerada ara o ssema oerado a codção de esabldade. 5.. Aálse da oêca elérca gerada cosderado o efeo relso dos mageos Qado se cosdera aeas o efeo relso ere os mageos, o seja, m = m ara os momeos magécos, obém-se reslados qe areseam o efeo ão lear do o ardeg.

91 7 Uma das aages dos geradores de eerga ezelércos ão leares é o ameo da faxa de úl de freqêca de oeração deses dsosos, coforme ode ser so a fgra 5.. a b Fgra 5. Comaração do dsoso a ear e b Não ear

92 7 A fgra 5. aresea a amlde da oêca em relação à freqêca de excação do ssema. Na fgra 5.a descosderaram-se se odas as ão leardades do ssema, o seja, a ão leardade referee ao camo magéco e a ão leardade eree ao maeral ezelérco. A fgra 5.b dca a reseça do efeo ão lear do o ardeg, qe ese caso reresea m efeo global do ssema, ma ez qe reflee os efeos combados do camo magéco e da ão leardade do maeral ezelérco. Fca claramee síel o gao a faxa úl de freqêca de oeração do dsoso ezelérco ara o caso ão lear. Na fgra 5. ode-se obserar ambém ma aração a freqêca aral do ssema, so qe em ambos os casos o dsoso fo excado com mesma esdade de força, F =,N. No caso lear a freqêca aral ecorada é de 7, Hz eqao o caso ão lear é de,6 Hz. Nos reslados areseados ese rabalo semre são cosderadas a ão leardade eree ao maeral ezelérco e a ão leardade da massa magéca. A combação dessas das foes de ão leardade reforça os efeos desejados, o seja, melora o desemeo do dsoso de geração de eerga. A fgra 5. comara a oêca elérca gerada elo dsoso cosderado o ão a ão leardade do maeral ezelérco. Fgra 5. Iflêca da ão leardade do maeral ezelérco

93 7 Noa-se a fgra 5. m ameo a amlde de resosa e a faxa de freqêca qado se cosdera a ão leardade do maeral. Essa aração ode ser maor o meor coforme se ara o coefcee de amorecmeo do ssema. Para a smlação do ssema areseado a eqação.8 dee-se escoler m alor ara a aráel ζ qe esá relacoada com o coefcee de amorecmeo mecâco do ssema, c f. Nas fgras 5. e 5. fo lzado o alor ζ=,6. Para as fgras seges, serão comarados dos alores de ζ, a saber: ζ=,e ζ=,6. A dsâca ere os mageos da exremdade lre da ga exerce grade flêca o momeo do ssema, como so a seção aeror. A fgra 5. aresea os gráfcos de oêca ara rês alores do arâmero D. Sedo eses, D=,5m, D=,55m e D=,6m, ode será aalsada a flêca da dsâca ere os mageos da exremdade lre da ga. Nos gráfcos da fgra 5. a esdade da força de erada a aceleração da base lzada fo F =,6N e a ressêca de carga fo R=kΩ em ambos os casos. A aração deses alores ambém será esgada oserormee. A aração da dsâca ere os mageos da exremdade lre da ga alera a esdade da força magéca, alerado assm a freqêca aral do ssema. Iso é obserado a fgra 5., a freqêca aral ede a dmr qado os mageos esão mas róxmos, o seja, ara alores de D mas baxos. Na fgra 5.a ara D=,5m, D=,55m e D=,6m as freqêcas aras são 9,75Hz,,Hz e 6,Hz, resecamee. Na fgra 5.b, ara essas mesmas dsâcas, ecora-se freqêcas aras de,8hz,,hz e 5,Hz, resecamee. No eao, ara esses alores meores de D, exse m ameo da faxa úl de freqêca do dsoso, sso dedo à esfcação dos efeos ão leares. Na fgra 5.a, ode fo lzado ζ=,, oa-se ma dmção o alor da oêca calclada coforme se dm a dsâca, so dedo à aroxmação dos mageos qe gera maor camo magéco e coseqeemee maor amorecmeo magéco é rodzdo o ssema. Ese efeo faz com qe a faxa de freqêca amee e o alor da oêca gerada caa. Mas a fgra 5.b, ode fo lzado ζ=,6, ocorre exaamee o coráro, além de ocorrerem alores mas baxos ara a oêca gerada. Iso ode er ocorrdo dedo ao so da mesma esdade da força de excação ara ambos os faores de amorecmeo.

94 75 a b Fgra 5. Poêca elérca arado o arâmero D, com F =,6N e R=kΩ, caso relso: a ara ζ=,, b ara ζ=,6 A esdade da força de erada a excação do ssema é oro faor de flêca a resosa do dsoso ezelérco de geração de eerga. A fgra 5. aresea a oêca elérca gerada elo dsoso qado se ara a esdade da força F, aq a dsâca ere os mageos é mada fxa em D=,55m.

95 76 a b Fgra 5. Poêca elérca arado o arâmero F, com D =,55m e R=kΩ, caso relso: a ara ζ=,, b ara ζ=,6 Na fgra 5. ode-se er a flêca do amorecmeo a resosa do ssema. Noa-se a fgra 5.b cras mas saes, com cos mas arredodados, sso dedo ao maor amorecmeo rodzdo o ssema.

96 77 Esa mesma fgra 5. mosra qe qado se amea a alor de F, o comorameo ão lear é esfcado fazedo com qe a faxa úl de freqêca amee. Nesa fgra ambém é obserado o comorameo coráro em relação à oêca gerada qado se lza ζ=, o ζ=,6. Para ζ=, coforme amea-se o alor de F a oêca gerada ede a dmr, eqao qe ara ζ=,6 a oêca amea qado o alor de F é ameado. Obsera-se ambém qe a esdade da força alera a freqêca aral do ssema. Na fgra 5.a ara F =,N, F =,N, F =,6N, F =,8N e F =,N as freqêcas aras são,hz,,6hz,,hz,,hz e,6hz, resecamee. Na fgra 5.b, ara esses mesmos alores de força, ecora-se freqêcas aras de,5hz,,77hz,,hz,,6hz e,7hz, resecamee. ale lembrar qe esas fgras a carga ressa lzada coo sedo R=kΩ. Porém a carga ressa é m arâmero qe ode flecar os reslados da oêca elérca gerada. Em ssemas leares exse m alor ómo ara a carga ressa qe gera a maor oêca. Mas ese alor ómo de ressêca codz a meor deflexão da exremdade lre da ga e o caso ão lear os meores íes de deslocameo laeral da ga codzem à sação ode os efeos ão leares são meos síes. A fgra 5. aresea a oêca gerada elo dsoso qado se ara a carga ressa R. Tas alores de R foram escoldos dedo a serem alores comercas, o eao odem ser ajsados de acordo com as ecessdades do dsoso. Nesa fgra odese obserar qe a freqêca aral do ssema ermaece cosae qado se ara a ressêca. Na fgra 5.a a freqêca aral é de,hz eqao a fgra 5.b é de,hz. Noa-se a fgra 5. o ameo da faxa de freqêca e da oêca gerada coforme dm-se os alores da carga ressa. Tao ara ζ=,o ara ζ=,6 obeese o melor reslado ara R=5,kΩ, o seja, além de ma faxa mas amla de freqêca ambém se ecora, ara esse alor de carga ressa, ma oêca elérca de saída mas ala.

97 78 a b Fgra 5. Poêca elérca arado a carga ressa R, com D=,55m e F =,6N, caso relso: a ara ζ=,, b ara ζ=,6 O faor de amorecmeo ζ em grade flêca a resosa do ssema, como ôde ser obserado as fgras de oêca elérca mosradas esa seção. Assm, a fgra 5.5 aresea gráfcos de serfíces qe efazam al flêca.

98 79 a b c Fgra 5.5 Iflêca do faor de amorecmeo a ζ erss D, b ζ erss F e c ζ erss R A fgra 5.5a mosra a aração da dsâca D em relação ao faor de amorecmeo ζ, a fgra 5.5b ara-se a esdade da força F e a fgra 5.5c arase a carga ressa R, ambos em relação ao faor de amorecmeo ζ. Para alores de ζ maores obsera-se a fgra 5.5 qe á ma meor aração os alores da oêca elérca gerada, so dedo ao ssema esar mas amorecdo. Assm, araés desa fgra ode-se eeder a ocorrêca das cras com cos mas saes qado se lzo ζ=,6 as smlações ara gerar os gráfcos de oêca. A fgra 5.5a cofrma os dados da fgra 5., coforme se amea a dsâca ere os mageos a oêca elérca gerada amea ara ζ=, e dm ara ζ=,6.