TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

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1 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Questão 1) Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício, segundo um ângulo de 30 com a horizontal. Percorrendo 80 m, no sentido de aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60. Usando o valor 1,73 para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a altura desse edifício é de, aproximadamente, a) 59 m. 62 m. c) 65 m. 69 m. 71 m. Questão 2) A caçamba de um caminhão basculante tem 3 m de comprimento das direções de seu ponto mais frontal P até a de seu eixo de rotação e 1 m de altura entre os pontos P e Q. Quando na posição horizontal, isto é, quando os segmentos de retas r e s se coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 1,2 m do solo. Ela pode girar, no máximo, α graus em torno de seu eixo de rotação, localizado em sua parte traseira inferior, conforme indicado na figura. Dado cos α = 0,8, a altura, em metros, atingida pelo ponto P, em relação ao solo, quando o ângulo de giro α for máximo, é a) 4,8. 5,0. c) 3,8. 4,4. 4,0. Questão 3) Uma prova ecológica, misturando atletismo e montanhismo, foi realizada na comemoração do aniversário de uma cidade. Os atletas iniciaram a prova de corrida até o pé de um penhasco que deveria ser escalado. O primeiro atleta que chegasse ao topo do penhasco seria o vencedor. Durante a prova, um dos atletas está correndo na planície que antecede a subida do penhasco com velocidade de 350 m/min. Em determinado ponto, avista o cume do penhasco sob um ângulo de 30º com a horizontal e, após correr durante 4 minutos, o avista sob um ângulo de 45º com a horizontal. Aproximando e sabendo que a altura do atleta é de 1,80 metro, pode-se concluir que, em metros, a altura do penhasco a ser escalado é, aproximadamente, igual a a) c) Questão 4) A tirolesa é uma técnica utilizada para o transporte de carga de um ponto a outro. Nessa técnica, a carga é presa a uma roldana que desliza por um cabo, cujas extremidades geralmente estão em alturas diferentes. A tirolesa também é utilizada como

2 prática esportiva, sendo considerado um esporte radical. Em certo ecoparque, aproveitando a geografia do local, a estrutura para a prática da tirolesa foi montada de maneira que as alturas das extremidades do cabo por onde os participantes deslizam estão a cerca de 52m e 8m, cada uma, em relação ao nível do solo, e o ângulo de descida formado com a vertical é de 80. Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e que tg 10 = 0,176, pode-se afirmar que a distância horizontal percorrida, em metros, ao final do percurso, é aproximadamente igual a a) c) Questão 5) Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos da antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo a é dado por: Questão 6) Duas avenidas retilíneas, r e s, cruzam-se segundo um ângulo de 30. Um posto de gasolina A, situado na avenida s a 400 m do ponto de encontro das avenidas, encontra-se a que distância da avenida r? a) 300 m 250 m c) 150 m 100 m 200 m Questão 7) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema a seguir. A altura da torre, em metros, equivale a a) c) Questão 8) Um engenheiro deseja calcular a altura de um edifício. Para isso, afasta-se 24 m da base do edifício e visualiza o seu topo sob um ângulo de 30º, conforme ilustração na figura a seguir. a ) sen ( a. h )/ 1 -sen (a ) h. sen (a) / 1 - sen (a c) h. sen (a) / sen (a) sen (a )/ h. sen( a) 1 + sen (a) / h.sen (a)

3 Sabendo-se que sen 30º = e cos 30º =, podese afirmar que a altura do edifício é a) c) Questão 9) Em parques infantis é comum encontrar um brinquedo chamado escorregador que é constituído de uma superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa. No parque de uma certa praça, há um escorregador apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2 m de comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme ilustrado na figura a seguir. De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de a) c) Questão 10) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto K, mediu o ângulo visual θ fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto T, de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto, sob um ângulo visual 2θ. Observe a ilustração: Suponha que o navegante tenha medido o ângulo θ = 15º e, ao chegar ao ponto T, verificou que o barco havia percorrido a distância = m. Com base nesses dados, e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto P será a) m m. c) m m m. Questão 11) Uma empresa de iluminação necessita esticar um cabo de energia provisório do topo de um edifício, cujo formato é um retângulo, a um determinado ponto do solo distante a 6 metros, como ilustra a figura a seguir. O comprimento desse cabo de energia, em metros, será de a) c) Questão 12) Um balão atmosférico, lançado em Baum (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente

4 Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Disponível em: Acesso em: 02 mero 2010 Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vá na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a) 1,8 km 1,9 km c) 3,1 km 3,7 km 5,5 km Questão 13) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação: Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será a) m m. c) m m m. Questão 14) Ao aproximar-se de uma ilha, o capitão de um navio avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. Ele mediu um ângulo de 30 na direção do seu cume, como indicado na figura. Depois de navegar mais 2 km em direção à montanha, repetiu o procedimento, medindo um novo ângulo de 45. Então, usando = 1,73, o valor que mais se aproxima da altura dessa montanha, em quilômetros, é: a) 2,1 2,2 c) 2,5 2,7 3,0 Questão 15) Há muitas histórias escritas sobre o mais antigo matemático grego que conhecemos, Tales de Mileto. Não sabemos se elas são verdadeiras, porque foram escritas centenas

5 de anos após sua morte. Uma delas fala do método usado por ele para medir a distância de um navio no mar, em relação a um ponto na praia. Uma das versões diz que Tales colocou uma vara na posição horizontal sobre a ponta de um pequeno penhasco, de forma que sua extremidade coincidisse com a imagem do barco. Conhecendo sua altura (h), o comprimento da vara (c) e altura do penhasco (, ele calculou a distância x em relação ao barco. Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida? a) 15 graus 30 graus c) 60 graus 90 graus 120 graus Questão 17) Em uma de suas viagens para o exterior, Luís Alves e Guiomar observaram um monumento de arquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus conhecimentos matemáticos, colocou um teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60, conforme mostra a figura: A medida x encontrada por Tales corresponde a: a) c) Questão 16) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F. Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC. Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130 cm, a altura do monumento, em metros, é aproximadamente a) 6,86. 6,10. c) 5,24. 3,34. 2,16. Questão 18) Um observador, em posições diferentes, mede duas vezeso ângulo sob o qual ele observa o ponto mais alto de um prédio, encontrando 30º e 60º. Entre uma medida e outra, ele caminha 20 metros em direção ao prédio. Com relação à altura do prédio, desprezando a altura doobservador, assinale a alternativa correta. a) Está entre 14 e 16 metros. Está entre 15 e 18 metros. c) É maior que 20 metros. É menor que 15 metros. Está entre 10 e 12 metros. Questão 19)

6 As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas em uma avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15º com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Essas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa, na avenida, um espaço a) menor que 100 m 2. entre 100 m 2 e 300 m 2. c) entre 300 m 2 e 500 m 2. entre 500 m 2 e 700 m 2. maior que 700 m 2. Questão 20) Duas naves espaciais, A e B, situam-se à distância de 30 km uma da outra. Pretende-se calcular a distância entre dois meteoros M e N, fazendo medidas de ângulos, a partir das naves, como ilustrado na figura seguinte. Encontre a distância, em km, entre M e N, indicando o inteiro mais próximo deste valor. Dado: a) 36 km 40 km c) 46 km 50 km 56 km Questão 21) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O ponto P localizado em AB representa a posição de uma bola de bilhar, sendo e. Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T, sendo a medida do ângulo PTB igual 60º. Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa D. Nas condições descritas e adotando a largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de a) 2,42. 2,08. c) 2,28. 2,00. 2,56. Questão 22)

7 Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinaçãode 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de Uma pessoa que subiu dessa escada está a uma altura, em relação ao solo, igual, em u.c., a: O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é (Use a aproximação sen 3º = 0,05) a) 2,5. 7,5. c) Questão 23) Uma criança mantém uma pipa presa a um fio esticado de 90 m de comprimento, que vai perdendo altura, até que fica preso no alto de um poste de 10 m, formando com a horizontal um ângulo de 30. A pipa atinge o solo, ficando com a linha esticada, conforme a figura a seguir. a) c) Questão 25) A diagonal d de um paralelepípedo retoretângulo mede. Sabendo que o comprimento, a largura e a altura desse paralelepípedo têm medidas proporcionais aos números 3, 4 e 5, respectivamente, então as dimensões desse paralelepípedo são Desprezando-se a altura da criança, a distância final entre a criança e a pipa, é igual a a) 90 m. c) 80 m. Questão 24) Uma escada, representada na figura pelo segmento, mede u.c. e está apoiada no ponto C de uma parede, fazendo, com o solo plano, um ângulo α tal que tg(α) = 2. a) 3 cm, 4 cm e 5 cm. 6 cm, 8 cm e 10 cm. c) 9 cm, 12 cm e 15 cm. 12 cm, 16 cm e 20 cm. 15 cm, 20 cm e 25 cm. Questão 26)

8 Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é feito por uma escada que tem quatro degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento por 12 cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a seguir. Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo com as normas recomendadas, um fiscal da prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz com o solo. O valor encontrado pelo fiscal a) estava entre 30 e 45. era menor que 30. c) era exatamente 45. era maior que 45. era igual a 30.