Geração de colunas com divisão em clusters para o problema de programação quadrática binária irrestrita

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1 Geração de coluas com divisão em clusters para o problema de programação quadrática biária irrestrita Resumo Geraldo Regis Mauri Luiz Atoio Nogueira Lorea Este trabalho propõe uma ova alterativa de geração de coluas (GC), baseada a relaxação lagrageaa com divisão em clusters (LagClus), para resolução do Problema de Programação Quadrática Biária Irrestrita (PQ). O PQ é um dos problemas clássicos de otimização ão-liear, cujo objetivo é resolver uma fução quadrática por meio da escolha de valores biários apropriados para as variáveis de decisão. A GC proposta trata um modelo liear iteiro misto (PQL) do PQ, que tem restrições represetadas por meio de um grafo e é dividido através de uma heurística de particioameto. Além de ecotrar soluções viáveis, o método proposto aida apreseta duas formas alterativas para obteção de limitates para o PQ. Foram realizados vários experimetos computacioais, utilizado-se istâcias de difícil solução com diferetes características. A GC é comparada a métodos tradicioais de relaxação lagrageaa e outros métodos propostos recetemete, sedo que os resultados apresetados são superiores para a maioria das istâcias cosideradas. Palavras-chave: Programação quadrática. Geração de coluas. Relaxação lagrageaa. Itrodução O Problema de Programação Quadrática Biária Irrestrita (PQ) cosiste em maximizar (ou miimizar) uma fução objetivo quadrática através da escolha de valores apropriados para as variáveis de decisão biárias (BEASLEY, 998). O PQ é um problema NP-Hard (BILLIONNET; ELLOUMI, 2007) clássico a área de otimização ão-liear. Esse problema aborda aplicações em diversas áreas, como: biologia molecular (PHILLIPS; ROSEN, 994); plaejameto de ivestimetos e aálise fiaceira (LAUGHUNN, 970; McBRIDE; YORMARK, 980), e algus problemas do tipo CAD (KRARUP; PRUZAN, 978). Além disso, o PQ aida aborda iúmeros problemas modelados através de grafos, como clique máximo, máximo cojuto idepedete e outros (PARDALOS; PHILLIPS, 990; PARDALOS; RODGERS, 992; PARDALOS; XUE, 994). Os métodos exatos existetes para resolução do PQ (BILLIONNET; SUTTER, 994; PARDALOS; RODGERS, 990a; PARDALOS; RODGERS, 990b) são restritos a problemas com até 200 variáveis. Já os métodos heurísticos (BEASLEY, 998; GLOVER et al., 998; PARDALOS; JHA, 992) têm apresetado bos resultados para istâcias com até 2500 variáveis. Uma prática comum para resolver o PQ é a liearização do seu modelo origial (ADAMS et al., 2004; GLOVER; WOOLSEY, 974; HANSEN; MEYER, 2009), ou seja, a obteção de um modelo liear equivalete cujas soluções são correspodetes ao modelo quadrático origial. Dessa forma, o PQ é trasformado em um problema liear iteiro misto, o que permite a relaxação liear de suas variáveis de decisão e, cosequetemete, a obteção de um limitate para a solução do problema origial. Esse limitate é cohecido como roof dual (ADAMS; DEARING, 994; BOROS et al., 990; BOROS et al., 992; HAMMER et al., 984). Além desses métodos, a relaxação do problema para obteção de limitates (ADAMS; DEARING, 994; CHARDAIRE; SUTTER, 995) tem apresetado bos resultados para o PQ. Essa abordagem possui a vatagem de defiir limitates para a solução ótima e pode apresetar uma iformação de boa qualidade, o que permite avaliar

2 56 Mauri e Lorea a proximidade da melhor solução ecotrada em relação à solução ótima do problema. Uma estratégia usada para relaxar o problema origial é a sua divisão em problemas meores, com as mesmas características. Essa divisão pode ser realizada através do particioameto do grafo, que represeta o problema em clusters formados por vértices e arestas. Essa estratégia ão garate a obteção de uma solução viável para o problema completo, pois algumas arestas são igoradas. Etretato, uma maeira de cosiderar essas arestas é relaxá-las o setido lagrageao e ecotrar um limitate de boa qualidade para o problema origial. Essa é a ideia da relaxação lagrageaa baseada em clusters - LagClus (RIBEIRO, 2007; RIBEIRO; LORENA, 2007; RIBEIRO; LORENA, 2008). Este trabalho propõe um método de geração de coluas baseado a relaxação lagrageaa do problema através de sua divisão em clusters (LagClus). Esse método trata um modelo liear iteiro misto (PQL) do PQ que tem restrições represetadas através de um grafo, que é particioado através da heurística METIS (KARYPIS; KUMAR, 998). É formado, etão, um problema coordeador (problema mestre restrito) e um subproblema para cada cluster, que são utilizados para geração de ovas coluas. Além de ecotrar soluções viáveis, o método proposto aida apreseta duas formas para obteção de limitates para o PQ. O restate do artigo está assim orgaizado: a Seção 2, é apresetada uma breve revisão bibliográfica acerca do problema abordado. Na Seção 3, são apresetados os modelos matemáticos utilizados. Na Seção 4, descreve-se o método proposto e, a Seção 5, são apresetadas algumas formas já existetes para obteção de limitates para o PQ. Os resultados computacioais são apresetados a Seção 6 e as coclusões são resumidas a Seção 7. 2 Revisão bibliográfica Uma abordagem trivial para obteção de limitates para o Problema Quadrático da Mochila (PQM) é apresetada por Billioet e Calmels (996). Essa abordagem é baseada a liearização do problema origial e a resolução desse modelo liear por meio da relaxação liear de suas variáveis de decisão. Os Autores mostram que esses limitates são de qualidade moderada. Além disso, eles utilizam a iserção de restrições de corte de Chvatal Gomory, que apresetam melhores limitates para o PQM. Adams e Dearig (994) apresetam uma discussão acerca da obteção de limitates para o PQ. Eles apresetam um modelo liear para o problema, que é obtido através da técica de liearização de Glover e Woolsey (974). Várias estratégias de liearização do PQ são apresetadas e discutidas em Adams et al. (2004) e Hase e Meyer (2009). Vários métodos baseados em busca em árvores para resolver o PQ são ecotrados a literatura. Gulati et al. (984) apresetam um método de busca em árvore, baseado a eumeração de ótimos locais, que resolve problemas com até 40 variáveis. Pardalos e Rodgers (990a) apresetam um método de busca em árvore que utiliza limitates baseados a fixação de variáveis em cada ó da árvore. Os resultados tratam problemas com até 200 variáveis. Pardalos e Rodgers (990b) apresetam uma versão paralelizada de um brach-ad-boud capaz de resolver problemas com até 00 variáveis. Billioet e Sutter (994) apresetam um método de busca em árvore capaz de resolver problemas com até 00 variáveis. Palubecis (995) propõe uma busca em árvore heurística que apreseta resultados para problemas com até 247 variáveis. Uma heurística baseada a Busca Tabu é proposta por Glover et al. (998). Essa heurística resolve problemas com até 500 variáveis. Beasley (998) apreseta uma comparação etre duas metaheurísticas para resolver o PQ. Ele utiliza a Busca Tabu e o Simulated Aealig para resolver problemas com até 2500 variáveis (com baixa desidade). A Busca Tabu apreseta os melhores resultados para a maioria dos problemas utilizados. Já o Simulated Aealig supera a Busca Tabu para os problemas com maior úmero de variáveis. Pardalos e Jha (992) discutem a complexidade computacioal de vários problemas relacioados com o PQ e apresetam uma heurística de busca local para resolvê-los. Os resultados são apresetados para problemas com até 00 variáveis. Glover et al. (2002) apresetam várias heurísticas baseadas o algoritmo DDT (BOROS et al., 989) para resolução do PQ. Essas heurísticas são testadas através de várias istâcias com até 2500 variáveis. Billioet e Elloumi (2007) aplicam técicas de covexificação da fução objetivo do PQ e as resolvem via CPLEX (Ilog, 2006). Os métodos propostos apresetam resultados para istâcias com até 200 variáveis. A LagClus, apesar de recete, já apreseta bos resultados para vários problemas, como: carregameto de paletes (RIBEIRO; LORENA, 2007), rotulação cartográfica (RIBEIRO; LORENA, 2008), alocação de facilidades (CORRÊA et al., 2006), etre outros. 3 Formulações para o Programação Quadrática Biária Irrestrita Seja Q = [q ] mxm uma matriz de úmeros reais. O PQ pode ser formulado pela Equação (). m m i j x biário i= j= PQ : v(pq) = max q x x () Sem perder a geeralidade do problema, a matriz Q pode ser cosiderada simétrica (BILLIONNET; ELLOUMI, 2007). Logo, de forma aáloga à apresetada por Adams

3 Geração de coluas com divisão em clusters para o problema de programação quadrática biária irrestrita 57 e Dearig (994), o PQ pode ser reescrito da seguite forma: PQ : v(pq) = max q x + 2 q x x (2) m ii i x biário i = (i,j) P N i j em que N = {(i,j): i < j, q < 0} e P = {(i,j): i < j, q > 0} Pode-se, etão, aplicar a técica de liearização de Glover e Woolsey (974) em (2), substituido os termos quadráticos x i x j pela variável cotíua w e por restrições que garatam que w = x i x j. Logo, tem-se uma versão liear iteira mista de PQ (3-8). Por coveção, esse modelo será chamado PQL. w x 0 (i, j) P,i V, j V, =,..., (0) i w x 0 (i, j) P,i V, j V, =,..., () j x + x w i j (i, j) N,i V, j V, =,..., (2) w 0 (i, j) N,i V, j V, =,..., (3) w x 0 (i, j) P,i V, j X, =,..., (4) j (i,j) P N m i= ii i PQL : v(pql) = Max q x + + 2qw (3) x + x w i j (i, j) N,i V, j X, =,..., (5) Sujeito a w x 0 (i, j) P (4) i w x 0 (i, j) P (5) j x + x w (i, j) N (6) i j w 0 (i, j) N (7) x { 0, } i =,...,m (8) i Fica claro os modelos (), (2) e (3-8) que o úmero de elemetos da matriz Q utilizados em (2) e (3-8) será sigificativamete meor do que em (), pois esses casos são cosiderados apeas os elemetos ão ulos situados a metade superior e a diagoal pricipal dessa matriz. 4 Geração de coluas com divisão em clusters Dada a matriz Q descrita a seção aterior, pode-se criar um grafo G = (V,E) com V = {,,m} e uma matriz de adjacêcias E = [e ] mxm, e = se q 0 e e = 0 se q = 0. Particioado o grafo G em ( m) clusters idepedetes, tem-se V = V V 2... V, em que V i V j =, i,j =,...,, i j, G i = (V i,e i ), i =,...,, e X i = V V i, i =,...,. Logo, o PQL pode ser reescrito da seguite forma: PQL : v(pql ) = Sujeito a (9) Max q x q w ii i + 2 = i V (i,j) P N;i V ;j V x { 0, } i V, =,..., (6) i As restrições (0) e (3) tratam as arestas (i,j), cujos vértices i são iteros e os vértices j iteros ou exteros, ao cluster (subgrafo). As restrições () e (2) tratam as arestas (i,j), cujos vértices i e j são iteros ao cluster. Já as restrições (4) e (5) tratam apeas as arestas (i,j), cujos vértices i e j estão em clusters distitos. A Figura apreseta o exemplo de um grafo formado para um problema com seis variáveis (m = 6) e seu respectivo particioameto. Nesse exemplo, o grafo é particioado em dois clusters ( = 2) e duas arestas são cortadas, o que resulta a relaxação das restrições referetes a essas arestas. Um exemplo completo da aplicação da Geração de Coluas proposta este artigo pode ser ecotrado em Mauri (2008). Com o ituito de facilitar a compreesão do método proposto (GC), esse modelo (9)-(6) pode ser represetado matricialmete da seguite forma: ( ) x w = PQL : v(pql ) = Max q x + q w Sujeito a em que: x variáveis x i, i V ; A A A 2 2 B x A 2 b 0 B2 0 0 w ~ B x w b B x w q : é um vetor liha com os coeficietes das q w : é um vetor liha com os coeficietes

4 58 Mauri e Lorea Particioameto realizado pela METIS 5 Cluster Cluster Figura. Exemplo de particioameto de grafo. das variáveis w, i V e j V; B : é uma matriz com os coeficietes das variáveis (pertecetes ao cluster ) presetes as restrições (0)-(3); A : é uma matriz com os coeficietes das variáveis (pertecetes ao cluster ) presetes restrições (4)-(5); x : é um vetor colua com os valores das variáveis de decisão x i, i V ; w : é um vetor colua com os valores das variáveis de decisão w, i V e j V; ~: são os operadores relacioais ou, variado de acordo com as restrições; b A : vetor colua com os valores (0 ou ) do lado direito das restrições (4) e (5); e b B : vetor colua com os valores (0 ou ) do lado direitor das restrições (0)-(3). Relaxado as restrições (4) e (5) o setido lagrageao através do vetor de multiplicadores µ, (µ 0), o problema PQL (idiretamete o PQ) pode ser dividido em subproblemas idepedetes. Cosiderado R como sedo as restrições associadas ao subproblema, =,..., e d o úmero de restrições (5) relaxadas, cada subproblema pode ser represetado como descrito em (7), e a solução da relaxação do problema PQL em subproblemas (clusters) é dada pela Equação (8). LC PQL : v(lc PQL ) µ µ = ( ) T x (7) max qx qw µ A : x,w satisfazem R w d µ µ µ = p= LC PQL : v(lc PQL ) = v(lc PQL ) µ (8) A implemetação clássica da técica de geração de coluas utiliza um problema coordeador ou Problema Mestre Restrito (PMR) e subproblemas geradores de coluas para formá-lo. O PMR, através de suas variáveis duais, direcioa os subproblemas a busca de ovas coluas. Assim, aplicado a decomposição Datzig-Wolfe (BAZAARA et al., 990) para a relaxação liear (PL) do problema PQL, tem-se (Equação 9, 20, 2, 22): p s s ( ) PL PL = λ s x + w = s S PMR : v(pmr ) max q x q w Sujeito a = s S s x λs A ~b s w A { } (9) (20) λ =,..., (2) s S s λs 0 {,...,}, s S (22) O cojuto de potos extremos de R associados com as coluas geradas o PMR é dado por S. β é a variável dual associada com a -ésima restrição de covexidade de (2). x s e w s são vetores que defiem os potos extremos s S, ou seja, as soluções viáveis do subproblema defiido pelo cluster. λ s é a variável de decisão correpodete ao poto extremo s S, ou seja, λ s = se a colua s (uma solução para o subproblema ) pertecer a solução do PMR, e λ s = 0, caso cotrário. Para cada subproblema (7), pode-se substituir o vetor de multiplicadores lagrageaos µ pelo vetor de variáveis duais α associado com as restrições (20) e, de uma forma alterativa, cada subproblema pode ser descrito pela Equação (23) e a relaxação do PQL, em clusters, por (24). Z = max ( ) T x (23) qx qw α A : x,w satisfazem R w α α d = p= LC PQL : v(lc PQL ) = Z + α (24) A partir de etão, uma ova colua gerada pelo subproblema é iserida o PMR se o seu custo reduzido p

5 Geração de coluas com divisão em clusters para o problema de programação quadrática biária irrestrita 59 θ for positivo, isto é, θ = Z β > 0. Assim, o PMR coordea as soluções dos problemas por meio de suas variáveis duais, buscado uma solução para o problema origial. O PMR iicial é gerado através da heurística apresetada a Figura 2. Essa heurística utiliza a busca local apresetada em Beasley (998). Em seguida, ovas coluas são geradas até que um critério de parada seja satisfeito e o PMR fial, formado por todas as coluas geradas, é resolvido de forma iteira (λ s {0,}); cosequetemete, sua solução será equivalete a uma solução viável para o PQL e, idiretamete, para o PQ. Por coveção, esse problema será tratado como PMR PLI e o valor de sua solução como v(pmr PLI ). A Figura 3 apreseta os procedimetos para execução da GC.. para v = até m faça 2. x v ; 3. Aplicar uma busca local e ecotrar a melhor solução viziha com x v fixo igual a ; 4. para cada variável w faça 5. se (x i = e x j = ) etão 6. w ; 7. seão 8. w 0; 9. fim-se; 0. fim-para;. Dividir as variáveis da solução ecotrada os respectivos clusters; 2. Criar uma colua para cada cluster com os valores das variáveis da solução; 3. Iserir as coluas o PMR; 4. fim-para. Figura 2. Formação do PMR iicial.. Ecotrar um cojuto iicial de coluas e formar o PMR (Figura 2); 2. Otimizar o PMR (via CPLEX) e obter o cojuto ótimo de variáveis duais; 3. Atualizar e resolver os subproblemas (23) via CPLEX; 4. se (, θ 0) ou v(lc α PQL ) = v(pmr PL ) etão 5. Parar, pois a solução ótima para o PMR foi ecotrada; 6. Resolver o PMR de forma iteira via CPLEX obter v(pmr PLI ); 7. seão 8. Iserir toda colua cujo θ > 0 o PMR; 9. Voltar ao passo 2; 0. fim-se; Figura 3. Execução do método proposto. A solução do PMR de forma iteira v(pmr PLI ) apreseta uma solução viável para o PQ. Já a solução do PMR através de sua relaxação liear v(pmr PL ) e a solução da relaxação com divisão em clusters v(lc α PQL ) apresetam limitates para o PQ. 5 Outros limitates para o Programação Quadrática Biária Irrestrita O valor da solução da relaxação liear do PQL (substituido a restrição (8) por 0 x i ) é um limitate trivial para o PQ (BILLIONNET; CALMELS, 996). Como apresetado em Adams e Dearig (994), esse limitate é cohecido como roof dual. Outro limitate para o PQ pode ser obtido através da iserção de uma restrição de corte de Chvatal-Gomory em PQL. Essa restrição é descrita a Equação (25). x + x + x w w w i j j i (i, j),( j,),(i,) P N (25) Essa restrição de corte é baseada em uma das restrições de corte apresetadas em Billioet e Calmels (996) para o Problema Quadrático da Mochila - PQM. Como mostrado pelos Autores, os limitates obtidos com a iserção de restrições de corte são melhores do que os apresetados pela relaxação liear do PQM. Por coveção, o modelo PQL com a restrição de corte será tratado como PQLC. A relaxação lagrageaa tradicioal das restrições (4), (5) e/ou (6) também pode ser utilizada para obteção de outros limitates para o PQ. Essas restrições podem ser combiadas de forma a gerar sete diferetes modelos para o problema (relaxado as restrições 4; 5; 6; 4 e 5; 4 e 6; 5 e 6; 4 e 5 e 6), sedo que a miimização de cada dual correspodete apreseta um limitate para o PQ. Todos esses sete modelos foram implemetados e os melhores resultados obtidos etre eles são apresetados a colua Lag, a Tabela. Mais detalhes acerca da relação lagrageaa são apresetados em Guigard (2003). 6 Experiêcia computacioal Vários experimetos computacioais trataram um cojuto de 45 istâcias dispoíveis a OR-Library (BeasLey, 990). Essas istâcias foram criadas através do gerador proposto por Pardalos e Rodgers (990a) e separadas em seis classes (A, B, C, D, E e F) com diferetes características (m, desidade e itervalo dos elemetos da matriz Q). Além de forecer os critérios para a criação das istâcias, os problemas das classes A, B e C foram apresetados este mesmo estudo, e os demais em Glover et al. (998). Segudo estes Autores, devido a suas características, essas istâcias estão etre as mais difíceis ecotradas a literatura. Todos os experimetos

6 520 Mauri e Lorea Tabela. Resultados obtidos pelos limitates apresetados. Ist m Dsde (%) Roof dual PQLC Lag GC Gap CPU Gap CPU Gap CPU LC α PQL PMR PL CPU a , ,7 2a , ,9 3a ,77 0 6,36 0 3,37 24,75 0,3 0,3 9,37 4a ,0 0,02 0,0 0,0 0,0 3,58 0,0 0,0 77,39 5a ,2 0,02,59 0,02 4,7 48,08 0,36 0,36 20,72 6a , ,67 0,03 8,48 2,5 0,4 0,4 0,36 7a ,5 0 0,58 0,05 7,69 3, ,28 8a 00 6, , ,48 b , , ,66 0,22 38,72 38,72 0,06 2b ,5 0,0 85,67 0,06 329,68 0,36 49,59 49,59 0,09 3b , ,82 0,08 429,66 0,74 52,54 52,54 0,3 4b ,60 0,0 325,06 0,6 538,65 0,95 47,67 47,67 0,28 5b ,67 0,02 32,78 0,39 534,36,03 39,00 39,00 0,67 6b ,77 0,03 49,8 0,64 680,98,53 52,05 52,05,08 7b ,50 0,05 425,00,06 690, 2,0 25,94 25,94,59 8b ,00 0,06 560,00,56 892,05 3,22 66,2 66,2 2,20 9b ,2 0,08 706,08 2,48 09,76 4,97 74,82 74,82 3,3 0b ,97 0,2 750,65 6,2 76,72 6,69 63,85 63,85 8,94 c ,57 0,02 2,3,08 7,27 254,89 3,77 2, ,08 2c ,79 0,05 25,5 0,9 20, ,84 0,60 9, ,35 3c ,04 0,03 22,27,7 4, ,95 2, ,95 4c ,62 0,03 20,03 0,6 9, 364,2 0,48 0,48 325,85 5c ,64 0,05 6,35 0,25 6,90 694,34 0,35 0,35 760,8 6c 90 0,48 0,0 0,30 0, , ,22 7c ,03 0 0, , ,69 d 00 0,53 0,02 8,27 0,08,73 206, ,4 2d ,9 0,06 64,3 0,67 44, ,94 33,69 8,58 36,64 3d ,94 0,4 58,08 4,67 57,69 382,78 70,83 6,25 369,8 4d ,52 0,28 73,7 4,73 92,5 3848,99 42,92 6, ,77 5d ,34 0,53 86,05 6,55 2, ,78 92,79 24, ,80 6d ,79 0,64 80,52 50,44 3,68 363,28 28,45 23,96 383,3 7d ,4 0,64 0,48 66,06 62, ,97 284,08 50,0 3706,08 8d ,24,42 05,85 06,72 5, ,86 288,40 49,3 3627,82 9d ,3,74 34,76 28,42 94,06 366,89 350,46 66, ,25 0d ,6 2,6 32,04 276,67 83, ,47 338,49 74,88 36,4 e ,27 0,30 35,26,33 28, ,38 4,20, ,04 2e ,48,49 83,86 26,58 94,4 4445,22 86,67 27,94 363,85 3e ,73 4,06 0,69 49,75 44, , 304,70 66, ,29 4e ,88 2,95 98,50 438,45 87, ,97 343,44 72,78 360,36 5e ,42 4,7 48,84 95,3 228,72 409,58 45,90 22, ,80 f ,28 29,55 26,2 89,6 24, ,53 359,56 0, ,75 2f ,20 235,80 64, ,83 297,34 54,75 577,28 0, ,00 3f ,68 078, ,33 375,66 292,80 0, ,56 4f , ,45 - -, , f , , ,4 397, Tempo médio: 73,96 4,32 220,58 959,05

7 Geração de coluas com divisão em clusters para o problema de programação quadrática biária irrestrita 52 foram realizados em um PC com processador AMD Athlo de 2.2 GHz com GB de memória RAM e o código-fote foi implemetado em C++. Para resolver a relaxação liear do problema (roof dual), a relaxação liear com a restrição de corte (PQLC) e o modelo PQL, foi utilizado o CPLEX 0.0. (ILOG, 2006), com o tempo limite de uma hora de processameto para cada istâcia. O dual lagrageao das relaxações lagrageaas tradicioais, apresetadas a seção aterior, foi otimizado através do algoritmo de subgradiete apresetado em Narciso e Lorea (999), que aproxima as soluções do problema o setido euclideao de distâcia (PARKER; RARDIN, 988). O CPLEX (ILOG, 2006) também foi utilizado para resolver os problemas de forma exata a cada iteração do algoritmo de subgradiete. O tempo limite para execução desse algoritmo também foi de uma hora. Na geração de coluas proposta, o PMR e os subproblemas também foram resolvidos através do CPLEX. Para a divisão do grafo G, foi utilizada a heurística METIS (KARYPIS; KUMAR, 998), que, segudo Hics et al. (2005), apreseta bos resultados para o particioameto de grafos. Essa heurística divide o grafo miimizado o úmero de arestas com termiações em clusters distitos. v( Solução) v(opt ) gap = 00 (26) v(opt ) Na Tabela, os gaps apresetados são calculados de acordo com a Equação (26), a qual v(opt) é o valor das melhores soluções cohecidas (GLOVER et al., 998) para as istâcias utilizadas e v(solução) é o valor dos limitates obtidos pelas abordages apresetadas. As coluas CPU apresetam o tempo de processameto, em segudos. A colua Dsde apreseta a desidade da matriz Q de cada istâcia e a colua Lag apreseta os melhores gaps obtidos pelas relaxações lagrageaas tradicioais (ver Seção 5). Os limitates (LC α PQL e PMR PL ) obtidos pela geração de coluas proposta (GC) apresetam os mesmos valores para as istâcias meores (A, B e C), o que idica a covergêcia completa do método. Diversamete, para as maiores, essa covergêcia ão acotece o tempo limite de uma hora de processameto. Etretato, os limitates obtidos apresetam exceletes gaps para todas as istâcias. Os melhores resultados estão destacados em egrito. A última liha da Tabela apreseta os tempos médios ecessários para obteção dos limitates para cada istâcia através do método correspodete. O úmero de clusters () utilizado para as istâcias das classes A, B, C e D foi igual a 2 e, para as istâcias das classes E e F, foram 3 e 5, respectivamete. A Tabela 2 apreseta as soluções iteiras obtidas para as istâcias das classes B e F. Nessa tabela, a colua Perc apreseta o percetual da solução obtida em relação à melhor solução cohecida ((v(solução)/v(opt))*00). Os resultados obtidos pela GC são comparados aos resultados apresetados pelas diferetes heurísticas apresetadas em Glover et al. (2002) e com o CPLEX (colua CPX). Como pode ser observado, em relação às heurísticas de Glover et al. (2002), a GC apresetou os melhores resultados para todas as istâcias da classe B e para as istâcias da classe F com desidade de até 50%. Já o CPLEX superou a GC em apeas três das dez istâcias da classe B, porém foi expressivamete pior para as primeiras istâcias da classe F. Para as demais, a GC ão foi capaz de ecotrar uma solução em um tempo aproximado de uma hora. O método descrito em Billioet e Elloumi (2007) ão foi capaz de resolver as istâcias da classe F e, segudo os Autores, todas as soluções ótimas foram ecotradas para as istâcias da classe B com um limite de tempo de duas horas de processameto, em um PC com processador Itel Petium IV de.6 GHz com GB de memória RAM. Glover et al. (2002) ão apresetam os tempos computacioais utilizados pelas heurísticas propostas. A GC proposta apresetou um tempo médio iferior a um segudo para resolver o PMR PLI para as istâcias da classe B e 2483,23 segudos, para a classe F. Logo, cosiderado os tempos para formar esse PMR (Tabela ), a GC apresetou um tempo total médio de 0,8 e 6970,33 segudos para as istâcias das classes B e F, respectivamete. A Tabela 3 apreseta as soluções obtidas para as istâcias da classe D. Os gaps obtidos pela GC proposta são comparados com os apresetados por Billioet e Elloumi (2007). O tempo médio de execução para resolver o PMR de forma iteira foi de 0,30 segudos, além do tempo para formá-lo (Tabela ), e o método apresetado pelos Autores utilizou um tempo médio de dez miutos por istâcia. O tempo médio utilizado pelo CPLEX foi de uma hora de processameto. Como apresetado a Tabela 2, os resultados apresetados pela GC proposta foram expressivamete melhores. Glover et al. (2002) ão apresetam resultados para essas istâcias. A colua Gap apreseta o gap referete à solução iteira do PMR. Esses gaps são calculados de acordo com a Equação (27). v(opt ) v(pmr PLI ) gap = 00 v(opt ) (27) A Tabela 4 apreseta as soluções obtidas para as istâcias das classes A, C e E. De acordo com Billioet e Elloumi (2007), seu método obteve as soluções ótimas para as istâcias das classes A e C em um tempo limite de duas horas por istâcia; etretato, ão foi capaz de resolver os problemas da classe E. O CPLEX foi capaz de ecotrar as soluções ótimas para as istâcias das classes A e C em um tempo médio de 3,28 segudos e o tempo médio para obter as soluções para as istâcias da classe E foi de uma hora. A GC proposta utilizou um tempo médio de 7,96, 2426,56 e 9,98 segudos para resolver o PMR PLI para

8 522 Mauri e Lorea Tabela 2. Resultados obtidos para as istâcias das classes B e F. Ist. m Dsde (%) Melhores soluções Glover et al. (2002) Perc (%) CPX GC DDT A2 A2t V3 V3t Perc v(pmr PLI ) Perc b ,7 00,0 78,9 0,5 0, ,0 2b ,0 75,2 86,8 5,0 5, ,0 3b ,5 86,4 80,5 0,0 0, ,0 4b ,7 78,3 78,3 0,0 0, ,0 5b ,0 00,0 60,0 0,7 0, ,0 6b ,2 77,4 72,6 2,7 2, , 7b ,3 00,0 00,0 0,6 0, ,0 8b ,4 80,7 80,7 0,0 0, ,0 9b , 92,7 75,9 0,0 0, ,5 0b ,6 78,6 78,6 0,0 0, ,5 f ,2 77,9 76,9 92,9 92,8 57, ,6 2f ,3 80,4 80,8 92,7 90,4 6, ,7 3f ,7 78,6 79,7 92,7 92, 23, ,8 4f ,7 82,0 83,9 94,4 94,4 5, f ,9 87,8 77,5 95,4 94,2 0, Tabela 3. Resultados obtidos para as istâcias da classe D. Ist. m Dsde (%) Melhores soluções Billioet e Elloumi (2007) Gap (%) CPX Gap GC v(pmr PLI ) Gap (%) d , d ,0 5, d ,6 3, d , 6, d ,7 7, ,9 6d ,2 9, ,35 7d ,3 4, d , 7, d ,7 4, ,06 0d ,9, as istâcias das classes A, C e E, respectivamete. Logo, cosiderado os tempos para formar esse PMR (Tabela ), a GC apresetou um tempo total médio de 7,96, 2426,56 e 6970,33 segudos para as istâcias das classes A, C e E, respectivamete. Glover et al. (2002) ão apresetam resultados para essas istâcias. Como pode ser observado as tabelas ateriores, o método proposto se destaca a resolução dos problemas de maior porte (a partir de 00 vértices), pricipalmete aqueles cuja matriz Q possui baixa desidade (até 50%), apresetado resultados melhores que outros métodos ecotrados a literatura. 7 Coclusões Este trabalho apresetou uma ova estratégia de geração de coluas para resolver o problema de programação quadrática biária irrestrita. O método proposto, além de ecotrar soluções viáveis, também apreseta duas alterativas para obteção de limitates para o PQ. Istâcias de difícil solução e com diferetes características foram utilizadas para avaliar o método proposto. A GC tratou o PQ por meio de um modelo liear com restrições represetadas através de um grafo, cuja divisão é realizada por meio da heurística de particioameto METIS (KARYPIS; KUMAR, 998). O PMR e os subproblemas foram resolvidos através do CPLEX 0.0. (ILOG, 2006). Foram obtidos exceletes resultados para as istâcias com até 200 variáveis e várias desidades, e também para istâcias com 500 variáveis e baixas e médias desidades. Diversamete, para as istâcias com 500 variáveis e alta desidade, a GC ão apresetou soluções, pois o CPLEX

9 Geração de coluas com divisão em clusters para o problema de programação quadrática biária irrestrita 523 Tabela 4. Resultados obtidos para as istâcias das classes A, C e E. Ist. m Dsde (%) Melhor cohecida CPX GC LQP Gap PMR PL LC α PQL PMR PLI Gap a ,00 344, a , , a , , ,03 4a , , ,9 5a , , a , , a ,00 454, a 00 6, ,00 09, c , , c ,08 687, c , , c , , c , , c , , c , , e , , , ,0 2e , , , ,08 3e , , , ,06 4e , , , e , , , ,0 ão foi capaz de resolver os subproblemas detro de um tempo aceitável. O método proposto foi comparado diretamete com métodos propostos recetemete e com o CPLEX, e apresetou exceletes resultados para praticamete todas as istâcias. A GC proposta cotribui com a exploração do PQ e apreseta uma ova alterativa para resolução de problemas represetados por grafos. Além disso, acredita-se que uma técica mais eficiete para resolução dos subproblemas geradores de coluas pode resultar em melhores soluções para as istâcias tratadas este trabalho e, possivelmete, para istâcias aida maiores. Colum geeratio with clusters for the ucostraied biary quadratic programmig problem Abstract This paper proposes a ew alterative of colum geeratio (GC) based o the lagragea relaxatio with clusters (LagClus) to solve the Ucostraied Biary Quadratic Programmig Problem (PQ). The PQ is a classical o-liear problem of optimizig a quadratic fuctio by suitable choices of biary decisios variables. The proposed GC treats a mixed biary liear model (PQL) of PQ with costraits represeted by a graph ad divided through a partitioig heuristic. Besides fidig feasible solutios the proposed method still presets two alterative ways to fid bouds for PQ. Several computatioal experimets were performed usig hard istaces with differet features. GC is compared to traditioal lagragea relaxatio ad other methods recetly proposed presetig improved results for most of these istaces. Keywords: Quadratic programmig. Colum geeratio. Lagragea relaxatio.

10 524 Mauri e Lorea Referêcias bibliográficas ADAMS, W. P.; DEARING, P. M. O the equivalece betwee roof duality ad lagragea duality for ucostraied 0- quadratic programmig problems. Discrete Applied Mathematics, v. 48,., p. -20, 994. ADAMS, W. P.; FORRESTER, R. J.; GLOVER, F. W. Comparisos ad ehacemet strategies for liearizig mixed 0- quadratic programs. Discrete Optimizatio, v., p , BAZAARA, M. S.; JARVIS, J. J.; SHERALI, H. D. Liear programmig ad etwor flows. New Yor: Joh Wiley & Sos, 990. BEASLEY, J. E. Heuristic algorithms for the ucostraied biary quadratic programmig problem. Lodo, UK: Maagemet School, Imperial College, 998. Techical Report. BEASLEY, J. E. Or-library: Distributig test problems by electroic mail. Joural of the Operatioal Research Society, v. 4,., p , 990. BILLIONNET, A.; CALMELS, F. Liear programmig for the 0- quadratic apsac problem. Europea Joural of Operatioal Research, v. 92,. 2, p , 996. BILLIONNET, A.; ELLOUMI, S. 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11 Geração de coluas com divisão em clusters para o problema de programação quadrática biária irrestrita 525 Sobre os autores Geraldo Regis Mauri Cetro de Ciêcias Agrárias, Departameto de Egeharia Rural, Uiversidade Federal do Espírito Sato UFES CEP , Alegre, ES, Brasil mauri@cca.ufes.br Luiz Atoio Nogueira Lorea Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada, Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais INPE CEP , São José dos Campos, SP, Brasil, lorea@lac.ipe.br Agradecimetos: Os autores agradecem aos dois revisores aôimos pelos valiosos cometários e sugestões, e à Fudação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo FAPESP (processo 04/053-9) e ao Coselho Nacioal de Pesquisas CNPq (processo /2003-8) pelo apoio fiaceiro parcial dado ao desevolvimeto deste trabalho. Recebido em 28/4/2008 Aceito em 5/0/2009