4. R E G R E S S Ã O E C O R R E L A Ç Ã O

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1 4. R E G R E S S Ã O E C O R R E L A Ç Ã O 4.1- DADOS BIVARIADOS Por vezes os vestgadores realzam experêcas em que mas do que uma varável é observada. Por exemplo, um ecoomsta pode estar teressado em observar a quata dspedda por famíla em artgos de merceara e também o úmero de pessoas dessa famíla. Um agete mobláro pode observar o preço das casas e a sua área, um médco mede a pressão sstólca e dastólca de um pacete, etc. Quado duas varáves são observadas para a mesma udade expermetal o resultado da experêca é uma varável bvarada. Como se devem represetar estas varáves? Estas varáves são mportates quado estudadas separadamete, mas também podemos estar teressados em explorar a relação etre as duas. Há represetações gráfcas que permtem o estudo em cojuto das duas varáves. Tal como o caso uvarado há dferetes represetações gráfcas para dferetes tpos de varáves GRÁFICOS PARA VARIÁVEIS QUALITATIVAS Quado pelo meos um das varáves é qualtatva, podemos usar represetações em gráfcos crculares e dagramas de barras. Por vezes temos uma varável quattatva e outra qualtatva, meddas em duas populações ou grupos dferetes. Neste caso, podemos represetar os dados por dagramas crculares colocados lado a lado ou por gráfcos de barras os quas estas são colocadas lado a lado para as duas populações que podem assm ser comparadas. Uma outra maera é colocar as barras referetes a cada população em cma uma da outra. Iremos exemplfcar estes procedmetos. EXEMPLOS: 1- Serão os professores das uversdades prvadas mas bem pagos do que os das uversdades públcas? Os dados da tabela segute referem-se a uma amostra de 4 professores de uversdades Amercaas para os quas foram regstados a categora, o tpo de uversdade e o saláro médo auferdo em mlhares de dólares. 1

2 Saláro H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca Professor Catedrátco Professor Assocado Professor Auxlar Públca 8 7,5 6,8 Prvada 8,5 7,8 7 Para represetar grafcamete estes dados podemos usar dgramas de barras colocados lado a lado: Tpo Prv ada Públca 8, Bars show Meas 6, 4,, Ass Aux Cat Categora Fgura Será que as escolas prvadas empregam tatos professores qualfcados como as públcas? Para respoder a esta questão regstaram-se duas varáves qualtatvas para cada professor: categora a carrera e tpo de uversdade, obtedo-se os segutes resultados: Professor Professor Professor Catedrátco Assocado Auxlar Total Públca Prvada Note-se que os valores da tabela ão represetam os valores de uma varável quattatva observada para cada professor, mas a frequêca absoluta ou úmero de professores que caem em cada categora. Para comparar estes úmeros etre escolas públcas e prvadas, vamos fazer a sua represetação em dos dagramas crculares e colocá-los lado a lado.

3 Categora Ass Aux Cat Categora Ass Aux Cat Pes show Sums of úmeropúblca Pes show Sums of úmeroprvada Fgura-4. Também podemos calcular meddas umércas para ajudar a comparar a dstrbução dos professores as escolas públcas e prvadas. Professor Professor Professor Catedrátco Assocado Auxlar Total Públca 4,16 69,38, , Prvada,4,31, , Podemos ada fazer uma represetação gráfca em dagrama de barras emplhadas. percetagemprof,8,6 Tpo Prv ada Públca Bars show Meas,4,, Ass Aux Cat Categora Fgura-4.3 3

4 Chegamos à coclusão de que as escolas públcas têm meos professores catedrátcos e mas professores assocados do que as prvadas. Não sabemos as razões para estas dfereças. Talvez que as escolas prvadas atraam os professores mas graduados por lhes pagarem melhor ou as escolas públcas ão abram lugares para promover os professores assocados? DIAGRAMAS PARA DUAS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Quado duas varáves são quattatvas podemos represetá-las grafcamete, uma o exo dos x e a outra o exo dos y (um sstema de exos cartesao). A um gráfco destes chama-se dagrama de dspersão ou em glês scatterplot. Podemos descrever a relação exstete etre as varáves x e y através do aspecto (padrão) exbdo pela uvem de potos do gráfco. Que tpo de padrão se vê? Há alguma tedêca ascedete ou descedete que sga um padrão lear as observações? Não exste qualquer tpo de padrão, mas somete uma dstrbução aleatóra dos potos? Quão acetuado é o padrão? Todas as observações seguem exactamete o mesmo padrão ou a relação vsível é fraca? Exstem observações aberrates? Um outler é uma observação que se afasta das outras. As observações dstrbuem-se por grupos? Há alguma razão para que sto acoteça? O C O E F I C I E N T E D E C O R R E L A Ç Ã O Exemplo 1: íves de ezma o sague Para efetos de um estudo médco sobre íves de cocetração de dferetes tpos de ezmas o sague, recolheram-se amostras de sague de mulheres com dades compreeddas etre os 4 e os 6 aos de dade. Gostaríamos de saber se há lgações etre os íves destas ezmas, cuja exstêca podera ajudar a detfcar reacções bomédcas que poderam estar a ocorrer com estes doetes. Cosderemos etão os valores observados e que se ecotram a tabela segute: 4

5 Testosteroa (A) Tabela-1 SHBG AND Cetfcamete ão há dcação precsa de que a ocorrêca de um determado ível de ezma fluece o ível de outro ezma e o procedmeto expermetal também ada sugere este setdo, dado que todas as observações são proveetes de amostras aleatóras. Nestas crcustâcas as varáves desempeham papés dêtcos. O osso objectvo é defr uma gradeza que os permta saber se estas duas varáves estão ou ão relacoadas ou assocadas. O termo correlação é usualmete utlzado este cotexto. Esta assocação pode ocorrer, por exemplo, da segute forma: uma varável tede a aumetar quado a outra também aumeta, feómeo que se deoma correlação postva, ou uma varável aumeta quado a outra dmu, tedo-se etão uma correlação egatva. A represetação gráfca dos dados é útl para vsualzarmos uma possível relação etre as varáves, e motva a costrução de uma medda umérca da correlação presete os dados. 5

6 Fgura 4.4 Fgura Fgura-4.6 Trasformemos as varáves cas x (SHBG) e y (Test) as ovas varáves defdas por: x' = x x s x y' = y y s y Esta trasformação remove o efeto de localzação e escala de cada varável, assm uma medda de assocação baseada as varáves x' e y' é depedete das udades de medda de x e y Vmos que uma correlação postva etre as varáves sgfca que estas tedem a aumetar ou a decrescer smultâeamete e uma correlação egatva sgfca que elas varam em setdos opostos. Assm, os potos do gráfco tedem a apresetar-se o 1º e 3º quadrates se houver correlação postva etre as varáves e o º e 4º quadrates quado a correlação é egatva. O quadro segute dca o sal de x' e y' em cada caso.

7 º Quadrate 1º Quadrate x' < x' > y' > y' > 3º Quadrate 4º Quadrate x' < x' > y' < y' < Dode se a correlação é postva o produto x'y' tederá a ser postvo, e pelo cotráro se a correlação é egatva o produto x'y' tederá a ser egatvo. Se ão há assocação etre as varáves este produto tomará valores próxmos de zero. A soma dá uma medda da correlação. Valores postvos dcam correlação postva, valores egatvos dcam correlação egatva, e valores perto de zero sugerem ausêca de correlação. Costuma desgar-se r x ' ' y x x y y x x y y por r e chama-se coefcete de correlação empírco, sto é, Pode mostrar-se que r só toma valores etre -1 e +1. Estes últmos valores só podem ser atgdos por observações que caam exactamete uma lha recta, com declve postvo e egatvo respectvamete.o coefcte de correlação empírco estma o valor do coefcete de correlação lear da população que mede a relação lear exstete etre as varáves X e Y. Para as varáves do exemplo ateror temos correlações respectvamete guas a: -.591, -.66 e.35 como os gráfcos sugerem. Exemplo : Recolheram-se amostras de solo do estuáro do ro Tejo a 8 profuddades dsttas e medram-se os respectvos graus de humdade (gramas de água/ 1g solo) obtedo-se os segutes resultados: (1) 7

8 Profuddade (pés) Tabela- Represetado os dados grafcamete obtém-se: Humdade (gr. água/1g solo) Fgura 4.7 e tem-se ada o valor da estatístca r = -.891, sugerdo uma relação lear etre as varáves X e Y, profuddade e humdade respectvamete. Observações: 1- Uma correlação elevada dca apeas a exstêca de uma assocação estatístca e ão mas do que sso, sto é, ão estabelece uma relação de causa e efeto. Quado se observa uma correlação em valor absoluto perto de 1, covém vestgar se a assocação etre as varáves ão é espúra. Em Iglaterra uma publcação atclercal mostrava claramete que o aumeto de crmes as cdades glesas tha crescdo com o aumeto do úmero de pastores aglcaos, durate o século XIX. Ada que os dados fossem correctos trar tal coclusão é um dsparate. Devdo à revolução dustral houve um aumeto populacoal mportate que levou muta gete para as cdades. Portato é razoável cosderar que o úmero de crmes aumetou com a cocetração populacoal, assm como o úmero de padres (de médcos, advogados, polícas, etc.) - Como já refermos aterormete a correlação só dca a exstêca de relação lear etre as varáves X e Y. Por outro lado, r ão sgfca mas do que a ausêca de 8

9 y H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca um padrão lear. No exemplo que se segue, r = e, o etato, as varáves X e Y estão relacoadas pela relação determístca ão lear X Y 4.5 Scattergram for colums: X 1 Y1 R-squared: REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 4..1 INTRODUÇÃO x Fgura-4.8 Por vezes as duas varáves x e y estão relacoadas de uma forma partcular. A varável x explca de alguma forma a varável y. Por exemplo o preço de uma casa (y) pode depeder da área desta (x), o peso de uma pessoa (y) pode depeder da altura (x), o exemplo da secção ateror, a humdade (y) pode depeder da profuddade (x), etc. Vejamos mas algus exemplos que os lustram este tpo de relações: Exemplo 1: Proteía a gravdez Um grupo de vestgadores está teressado em saber se (e o caso afrmatvo, de que modo) o ível de uma proteía se altera, as futuras mães, ao logo da gravdez. Seleccoou-se para o estudo 19 mulheres, todas em estado dferete de gravdez (gestação), e medu-se o ível de proteía em cada uma delas, tedo-se obtdo os segutes resultados: Tabela-1 ível de proteía Gestação ível de proteía Gestação (mg ml -1 ), y (semaas), x (mgml -1 ), y (semaas), x

10 O objectvo desta experêca é averguar como é que uma varável (ível de proteía) é afectada por uma outra varável (gestação). Exemplo : Apaha automátca de uvas As vhas estão geralmete dspostas de uma maera muto regular, com logas flas de vderas dspostas paralelamete e separadas por um estreto arruameto. Isto permte que máquas automátcas passem pelos arruametos para a apaha da uva. A apaha é feta por um braço rotatvo. De modo a estudar a efcêca da máqua, regstou-se o º de cachos ão retrados, fazedo varar a velocdade de rotação do braço, equato a máqua vajava através do arruameto a uma velocdade costate. O resultado daexperêca ecotra-se a prop. de cachos ão apahados y Tabela - velocdade do motor(r.p.m.), x O objectvo é averguar como é que a velocdade do motor afecta a proporção de cachos ão apahados, para poder decdr, por exemplo, qual a velocdade adequada. Exemplo 3: O uso de radocarboo a atrbução de datas Pode-se estmar a dade de materas orgâcos através da medção de um elemeto radoactvo (o radocarboo). Cotudo, verfcou-se através da amostragem de maderas de dades cohecdas, que a dade por radocarboo ão é equvalete à dade verdadera e portato é ecessáro fazer-se um ajustameto. A tabela 3 dá a dade de radocarboo de amostras de sub-fósses de carvalhos jutamete com a formação da dade relatva verdadera obtda através da formação dada pelos aés das árvores. 1

11 Idade por radocarboo, (aos ates 195) y Tabela-3 Idade por aés da árvore, (aos uma escala flutuate) x O osso objectvo é averguar como podemos coverter a data por radocarboo de modo a ecotrarmos a data verdadera. Por exemplo, se obtvermos uma data por radocarboo de 43, qual é a data verdadera? Exemplo 4: Capacdade físca de estudates Medu-se a dstâca atgda o salto por cada um de 11 estudates de educação físca. Os resultados ecotram-se a tabela 4 jutamete com medções da altura, peso do corpo, e gordura Tabela-4 Gordura (kg), Peso (kg) x x Altura (cm) x1 Dst.salto (cm), y 11

12 O objectvo do estudo é saber se (e em caso afrmatvo como) é que a dstâca do salto é afectada pelo peso, gordura e altura do estudate. Resumdo temos: Experêca Resultado Codção experêca clíca ível de proteía tempo de gestação experêca agrícola proporção de cachos ão velocdade do motor apahados experêca hstórca data por radocarboo data por aés experêca desportva dstâca de salto altura, peso dos estudates Recaptulado estes exemplos podemos verfcar que há algo de comum etre eles. Com efeto, em todos pretedemos averguar como é que o resultado de uma experêca é afectado pelas codções sob as quas a experêca é efectuada. No 1º exemplo, queremos saber como é que o tempo de gestação afecta o ível de uma proteía as futuras mães. No º exemplo, o cohecmeto de como é que a velocdade do motor afecta a proporção de cachos ão apahados, pode permtr a selecção da velocdade adequada. No exemplo do radocarboo, a compreesão da relação exstete etre a dade por radocarboo e a dade verdadera (medda por um outro processo) permteos usar aquele método em stuações futuras para datar ovos elemetos. Por fm a exstêca de uma possível relação etre a dstâca do salto e outras característcas dos estudates, pode permtr ao professor uma selecção mas adequada de desportstas. Cotuado esta aálse podemos avaçar mas formalmete e dzer que temos em questão, essecalmete, dos tpos de varáves cosoate o papel que desempeham a experêca. Uma varável resposta (ível da proteía o exemplo 1, proporção de cachos ão apahados o exemplo, dade por radocarboo o exemplo 3 e dstâca de salto o exemplo 4) e uma (ou mas) varáves explcatvas (tempo de gestação o exemplo 1, velocdade do motor o exemplo, dade por aés o exemplo 3 e o exemplo 4 altura e dos tpos de peso). O objectvo é a descrção de um tpo de relação partcular etre estes dos tpos de varáves. [Reparemos os gráfcos que se seguem e pesemos um pouco se cosegumos descobrr alguma relação especal]. 1

13 protea H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca Scattergram for colums: X 1 Y gestação Fgura 4.9 Nuvem de potos para os dados de proteía Fgura 4.1 Nuvem de potos para os dados da apaha da uva 13

14 dstâca radocarboo H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca Scattergram for colums: X aés 1 Y1 Fgura 4.11 Nuvem de potos para os dados da atrbução de dade por radocarboo 1 Scattergram for colums: X 1 Y altura Fgura 4.1 Nuvem de potos para os dados de desporto relacoado dstâca e altura 14

15 dstâca dstâca H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca 1 Scattergram for colums: X 1 Y peso Fgura 4.13 Nuvem de potos para os dados de desporto relacoado peso e dstâca 1 Scattergram for colums: X 1 Y gordura Fgura 4.14 Nuvem de potos para os dados de desporto relacoado gordura e dstâca 15

16 peso H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca Scattergram for colums: X 1 Y gordura Fgura 4.15 Nuvem de potos para os dados de desporto relacoado gordura e peso Dá-se o ome de REGRESSÃO à técca estatístca que serve para explorar a relação etre uma varável resposta e uma ou mas varáves explcatvas. Um modelo é uma descrção de um tpo de relação partcular etre dferetes varáves. Um exemplo bem cohecdo de um modelo, é aquele que descreve a relação etre a dstâca s percorrda por uma partícula e o tempo t que leva a percorrer, omeadamete s = t, em que é a posção cal da partcula o state t = e é a velocdade méda. Se e forem descohecdos, basta observar s para dos valores dsttos de t e resolver as equações resultates para obter e Se por qualquer razão a dstâca ão puder ser medda exactamete, havedo um erro de medção (e) de atureza aleatóra, etão o que observamos é uma quatdade y (e ão s) que podemos o etato admtr ser tal que y = s + e. A relação etre y e t ão é etão exacta, mas apeas aproxmada. Sedo agora e descohecdos ão podemos obter estes valores observado apeas dos valores de t e respectvos y, pos ão há uma relação fucoal exacta etre y e t, mas apeas uma relação fucoal com erro de medção (descohecdo). Observado o etato város valores de y para dferetes valores de t, métodos estatístcos permtem-os obter valores aproxmados (estmatvas) para os verdaderos valores de e 16

17 As stuações que os teressam são exactamete deste tpo. Os modelos que ós vamos estudar ão pretedem pos descrever a realdade exactamete, mas apeas aproxmadamete. O objectvo é procurar, para cada stuação, os modelos mas smples que melhor descrevem a realdade. Damos o ome de modelos de regressão a modelos estocástcos (por oposção a determístcos) que exprmem relações etre uma varável resposta e uma ou mas varáves explcatvas. Esta relação pode ser lear ou ão lear. O modelo de regressão é smples se houver apeas uma varável explcatva e é múltplo se houver mas do que uma varável explcatva. Nós vamos aqu car apeas o estudo do modelo de regressão lear smples. 4.. O M O D E L O D E R E G R E S S Ã O L I N E A R S I M P L E S Supohamos que temos dados da forma (y,x ), = 1,...,, e que queremos explorar a relação etre a varável explcatva x e a varável resposta y. Um modelo de regressão lear smples pode ser escrto a forma: y x (1) ode represeta o erro assocado à -ésma observação. Admte-se que os erros têm uma méda e uma varâca costate descohecda. Váras questões se podem pôr: 1º Como obter os valores de e (parâmetros descohecdos)? º Como se pode decdr se o modelo descreve bem a realdade? 3º Como obter outro modelo que a descreva melhor? 4º Como utlzar o modelo para respoder a questões sobre o problema em causa? Um prmero passo, formal mas extremamete útl, para tetar descobrr a relação exstete etre duas varáves é fazer uma represetação gráfca. Cosderemos etão o exemplo 1. Façamos um gráfco em que dcamos em ordeadas os valores da varável resposta (ível da proteía) e em abcssas o valor da varável explcatva (tempo de gestação). Podemos começar por observar que quado o tempo de gestação aumeta, também aumeta o ível da proteía. Esta relação ão está, o etato, muto bem determada. Há grade quatdade de ruído (erro), ou varabldade as medções. Adaptar o modelo (1) a estes dados 17

18 proteía (mg/ml) H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca sgfca que admtmos que o ível de proteía exacto, dgamos y* é tal que y* x. No etato ós observamos y e ão y*, mas admtmos que y y *. Se cosegurmos determar valores adequados para e, etão podemos deduzr qual a relação lear que exprme y* o ível da proteía em fução do tempo de gestação. Adaptemos etão váras rectas ( y x) a estes dados e para cada recta adaptada calculemos o valor da expressão: SS y y () 1 Aalsemos os gráfcos que se seguem: 1,4 1, 1 y =,9x +,56 y =,7x +,93,8 y =,x +,35,6,4 y =,3x +,, gestação (semaas) Fg Váras rectas adaptadas aos dados da proteía y 1..3x SS 1.5 y.56.9x SS.7 y 3.35.x SS 3.84 y x SS

19 Observamos que de todas as rectas calculadas a "melhor" parece ser aquela para a qual SS tem meor valor. Com efeto ao calcular SS estamos a calcular a soma dos quadrados dos valores estmados dos erros, sto é, a soma dos quadrados dos resíduos e y y, e assm é pos atural escolher a que tem meor SS. Sob esta perspectva, a recta óptma será a que tver meor valor de SS etre todas as rectas possíves. A este método de obter a recta óptma chama-se método dos mímos quadrados MÉTODO DE MÍNIMOS QUADRADOS Seja SS, y x (1) 1 a soma dos quadrados dos resíduos que vamos mmzar como fução de etemos um problema de estmação potual e o método que vamos utlzar é, como sugerdo, o Método de Mímos Quadrados. Defção 1: Sejam x, y, 1,...,, pares de observações satsfazedo a codção: I) para cada x, valor de uma varável ão aleatóra, as v.a.'s y são guas a y x, ode são v.a.'s com E, Var. Etão, aos valores de e que mmzam a soma de quadrados (1) SS, y x 1 chamam-se estmadores de mímos quadrados de e, e a este método de estmação chama-se Método de Mímos Quadrados. Para obter estes estmadores vamos dervar a soma de quadrados (1) em ordem a cada um dos parâmetros, obtedo as segutes equações SS, y x 1 SS, x y x 1 () 19

20 a que se chamam Equações Normas. E resolvedo o sstema de equações aterores em ordem a e obtém-se ˆ y x ˆ x x ˆ 1 x x 1 y y Efectuado algus cálculos, obtemos ada uma expressão smplfcada para ˆ ˆ y x x 1 x x 1 x y x y 1 x x 1 A recta dos mímos quadrados é etão: y ˆ ˆ x ˆ (5) Às dfereças etre os valores observados e os valores adaptados, e y ˆ y, 1,...,, dá-se o ome de resíduos e à quatdade SS, ˆ ˆ y y ˆ e, soma dos quadrados dos resíduos e costuma desgar- 1 1 se mas vulgarmete por SSe. Aplcado este método aos exemplos propostos: (3) (4) Exemplo 1: x 4., y.75, ˆ.18, ˆ.84, etão y ˆ = x (6)

21 proteía (mg/ml) protea H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca 1. y =.3x +., R-squared: gestação Fg Recta dos mmos quadrados para os dados de gestação. Se qusermos saber, por exemplo, qual o valor esperado do ível da proteía em uma mulher com 4 semaas de gestação, basta substtur o valor de x por 4 em (6) e obtemos.75. Podemos pergutar: Qual a cofaça que temos esse valor? Métodos estatístcos adequados permtem-os respoder a essa e outras questões relevates relatvamete ao modelo. Neste mometo a úca cosa que podemos fazer é obter a "melhor" recta. Uma aálse aproprada dos resíduos também os permte averguar da valdade da hpótese da leardade. Como já fo dto, os resíduos são as dfereças etre os valores observados da varável resposta e os correspodetes valores sobre a recta de regressão. São, estmatvas dos erros assocados a cada observação. 1,4 1, y =,3x +, 1,8,6,4, gestação (semaas) Fg Recta dos mímos quadrados e resíduos para os dados de gestação 1

22 proporção de cachos H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca Os segmetos de rectas vertcas que lgam cada poto à recta de regressão adaptada represetam os resíduos (algus). Pela observação do gráfco o que se pode coclur? Exemplo x 3.91, y.48, ˆ.38, ˆ.71, e a recta de regressão é y ˆ = x (7) y = -.71x +.38, R-squared: v elocdade Fg Recta dos mímos quadrados para o exemplo da apaha da uva Note-se agora que a recta já ão parece adaptar-se tão bem. Poderemos pôr dúvdas clusvamete sobre a leardade da relação etre as varáves em questão. Alás a utlzação desta recta a-os sugerr para uma velocdade de 4.6 uma proporção egatva de cachos ão apahados! Ora sto é mafestamete mpossível. Cosderemos a segute trasformação da proporção: h y l y 1 y façamos gora o estudo cosderado como varável resposta z = h(y) e varável explcatva a velocdade. Tabela -5 dados trasformados da apaha de uvas l(y/(1-y)) velocdade

23 radocarboo proporção de cachos H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca y = -.68x , R-squared: v elocdade Fg 4.. Recta de mímos quadrados para os dados trasformados da apaha de uvas A recta ˆ z ˆ z ˆ z x= x, adapta-se agora bastate bem. Note-se que ˆ z hy ˆ l y ˆ 1 y ˆ falmete a relação etre x e y é da forma y ˆ 1 y ˆ e ˆ z y ˆ e z ˆ 1 e z ˆ e x y ˆ 1 e x (8)Da relação (8) fere-se para uma velocdade de 4.66 uma proporção de cachos ão apahados gual a.57. Exemplo 3: x , y , ˆ 3636, ˆ.88, e y ˆ = x (9) y =.88x , R-squared: aés Fg 4.1. Recta dos mímos quadrados relatva aos dados de atrbução de dade por radocarboo. 3

24 Vemos como se adapta tão bem uma recta. Lembremo-os que o objectvo aqu era o de ecotrar a relação etre a atrbução de dade por radocarboo e dade real, para poder, com base a dade obtda pelo método de radocarboo, ferr a dade real. Este é um problema de "regressão versa" ou "calbração". Supohamos etão que observávamos uma data por radocarboo de 43 um objecto de teresse. Usado a relação obtda obteríamos uma dade real, a escala flutuate, de 8. O exemplo 4 dfere dos apresetados até agora pos temos mas do que uma varável explcatva. O método adequado para tratar de problemas desta atureza é utlzar a técca de regressão múltpla. Embora tehamos apresetado os gráfcos 4.1, 4.13, 4.14 sto ão sgfca que seja adequada uma aálse separada da relação de y com cada uma das varáves explcatvas. Apeas como exercíco ddátco podemos fazer essa aálse, mas ão com o propósto de trar quasquer coclusões sobre as possíves relações exstetes. Uma vez apresetado este método tem teresse dagar sobre a qualdade dos estmadores que obtvemos. Jutemos às hpóteses fetas sobre o modelo lear stetzadas a codção da defção do método de MQ, ada outra II) As v.a.'s são ão correlacoadas duas a duas, sto é, Cov, j, j,, j 1,...,. As boas propredades destes estmadores são eucadas o segute resultado que apresetamos sem demostração. Teorema de Gauss-Markov: Cosderemos o modelo lear defdo pelas codções I) e II). Etão, os estmadores de mímos quadrados de e dados pelas equações (3) são leares cetrados de varâca míma (BLUE- best lear ubased estmator). O método de mímos quadrados ão dá um estmador do parâmetro mas um estmador deste parâmetro baseado os estmadores de MQ de e é y ˆ ˆ x 1 SSe ˆ MSe (1) 1 Observações: 1. Voltemos aos dados do exemplo da secção (Tabela-), e cosderemos o modelo de regressão lear smples que desgaremos por modelo 1 4

25 resíduos humdade H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca y x modelo 1 Adaptemos a estes dados a recta de mímos quadrados: y = -,681x + 94,667 R =, profuddade Fgura-4. Note-se que a fgura 4.7 já sugera uma certa curvatura a relação etre X e Y, o que é mas patete depos da adaptação da recta de mímos quadrados. A fgura segute mostra que os resíduos são predomatemete postvos para valores pequeos de X, egatvos para valores termédos de X e de ovo postvos para valores grades de X. 4 Scattergram for colums: X 1 Y prof Fgura-4.3- Gráfco dos resíduos do modelo 1 A relação lear exstete etre estas duas varáves deve ser de tpo mas geral do que a regressão lear smples estudada até aqu. 5

26 resíduos humdade H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca Tal como as fguras aterores sugerem tetemos adaptar a estes dados uma curva do º grau, sto é, cosderemos o modelo com as varáves explcatvas X e X da forma: Y = 1 X X + modelo tedo-se ada a varável resposta Y como fução lear os parâmetros =, 1,. Este é um exemplo de modelo de regressão lear mas geral (regressão polomal) y =,195x - 7,143x + 117,33 R =, profuddade Fgura-4.4 A represetação gráfca dos resíduos versus a varável profuddade mostra que se dstrbuem agora aleatóramete em toro do poto zero e uma bada horzotal Scattergram for colums: X 1 Y prof Fgura-4.5- Gráfco dos resíduos do modelo O modelo lear que estudámos é um caso partcular do modelo lear mas geral 6

27 y x x... x (11) 1 1 p p Ode,,...,, p 1 são parâmetros descohecdos e 1 p v.a.' s com evar E ε. No caso de p> 1 temos mas do que uma varável explcatva, e ao modelo (5) chama-se um modelo de regressão múltpla. A deomação de modelo lear deve-se ao facto da parte determístca do modelo ser uma fução lear os parâmetros,,...,, p 1. O modelo 1 p, Var y e x, E que relacoa a varável explcatva x com a v.a. (resposta) y, ão é lear como fução da varável explcatva, mas é lear os parâmetros, logo é um modelo lear. As varáves explcatvas podem ser potêcas de uma varável, y x x... 1 p múltpla chama-se regressão polomal. p x, a este modelo de regressão. Em mutas stuações reas a compoete determístca do modelo ão é lear. Vejamos por exemplo: ) Certas populações de amas e platas tedem a crescer expoecalmete. Se Y represeta a dmesão da população o state t, podemos utlzar o modelo Y e t E 1 t (1) embora esta expressão ão seja lear os parâmetros podemos learzá-la. Aplcado logartmos a ambos os membros da gualdade obtemos o modelo lyt l 1t (13) cuja parte determístca já é lear os parâmetros que agora se podem estmar pelo método dos MQ l e. 1 ) Outro modelo que ocorre as cêcas bológcas é aquele que relacoa o peso (ou volume) de um orgasmo com alguma medda lear, como o comprmeto (ou peso). Se P é o peso e c o comprmeto, o modelo E (14) P c 1 7

28 é mutas vezes utlzado (equação alométrca). Se qusermos relacoar o peso de orgasmos seleccoados aleatoramete para comprmetos fxos observados, podemos aplcar logartmos às observações e obter o modelo l P=l + 1 l c+ (15) que é do tpo l P= x+ com =l, 1 e x=l c TESTES DE HIPÓTESES Outro problema com teresse é o dos testes de hpóteses. Cosderemos a segute stuação: Exemplo 1: Para estudar o efeto da temperatura (x) a velocdade (y) de certa reacção químca, foram efectuadas 8 experêcas laboratoras, que coduzram à segute relação lear: ^ y.14.79x com ˆ ˆ.91 e 8 ˆ ˆ.96 Há evdêca sufcete os dados de que o aumeto de temperatura faça com que a reacção estudada se processe mas rapdamete? Justfque. Tome =.5. O que pretedemos saber com esta perguta pode ser respoddo através de um teste das hpóteses: H : versus H 1 :. Exemplo : Efectuou-se um estudo em 9 países afrcaos em vas de desevolvmeto, para averguar da possível relação etre o úmero de habtates por médco e a esperaça de vda (em aos), tedo-se obtdo os segutes resultados: Tabela-6 Nº hab./médco E.méda vda(aos)

29 Há evdêca sufcete os dados que mostre que o úmero de habtates/médco está learmete relacoado com a esperaça méda de vda? Como respoder agora a esta questão? O modelo que supostamete se adapta aos dados é: Esp. Méda Vda=+ (º hab./médco)+ (1) Será que a varável º hab./médco (x), tem uma cotrbução sgfcatva a explcação da varável resposta Esp. Méda de Vda (y)? Com base a amostra observada vamos costrur um teste para a hpótese H : versus H 1 :. Exemplos como estes lustram bem as stuações em que pode ter teresse costrur um teste para uma hpótese sobre o parâmetro. Noutros casos o parâmetro de teresse pode ser a ordeada a orgem. Retomemos etão o modelo lear fazedo agora uma hpótese suplemetar sobre a dstrbução das v.a. s, sto é, y x com Gau,, =1,..., depedetes () Estmado os parâmetros e obtêm-se os valores x x 1 y ˆ ˆ ˆ x y ˆ,..., (3) Desta relação coclu-se que e 1 1 y yˆ y y ˆ x x 1 Por outro lado pode provar-se que: (4) 1 ˆ Gau, x x (5) 1 E que o estmador de tem dstrbução qu-quadrado, ˆ (6) Além dsso as varáves (5) e (6) são depedetes. Logo 9

30 ˆ ˆ 1 x x t (7) Etão o Itervalo de Cofaça de ível (1-) para o parâmetro é o segute: ˆ t 1 ˆ ˆ ˆ, t (8) ; 1 ; x x x x 1 1 No caso do exemplo ateror obtém-se as segutes estmatvas dos parâmetros e os respectvos tervalos de cofaça. Ustadardzed Coeffcets Coeffcets Stadardzed Coeffcets 95% Cofdece Iterval for B (Costat) habtatesme dco B Std. Error Beta Lower Boud Upper Boud 53,55 3,569 45,66 61,944 -,3,3 -,369 -,1,3 Depedet Varable: esperaça de vda Coclusão: O I.C. de 95% para esta amostra é (-,1,,3), cotém o zero levado à NÃO rejeção da hpótese ula ao ível de 5%. NOTA: Pode mostrar-se faclmete que o estmador do parâmetro está relacoado com r da segute forma x x r ˆ (9) y y Assm, ˆ mplca r= e vce-versa e cosequetemete a hpótese ula H : é equvalete a H :. No etato, o declve dá-os formação adcoal a quatdade de aumeto (decréscmo) em y por cada udade de aumeto em x. 3

31 4..5 Aálse de resíduos e Observações fluetes Depos de adaptarmos a retcta de MQ e ates de fazermos testes os parâmetros da regressão devemos fazer uma represetação gráfca dos resíduos para ver se alguma das hpóteses do modelo lear fo seramete volada. Audêcas de Programas de Televsão O sucesso de um programa de uma certa televsão comercal é em parte determado por um sstema de classfcação que dca a capacdade do programa atrar e mater os espectadores atetos. O drector de programas está preocupado com a audêca dos otcáros e pretede ecotrar os factores que a fluecam. Além das varáves (factores) óbvas tas como o formato, efetos especas, apresetador/a, fo sugerdo que podera exstr um efeto de arrastameto do programa exbdo medatamete ates das otícas. A classfcação do otcáro depeda em parte da classfcação do programa ateror, sto é, do programa dutor. Para quatfcar este efeto, fo observada uma amostra aleatóra das classfcações precedetes para váras regões e em város períodos de tempo ao logo dos últmos aos. Os dados cosstem de observações a varável y, classfcação do otcáro, e a varável x, que represeta as classfcações do programa dutor.,5,7,9 3,1 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1 4,3 4,5 4,7 4,9 5,1 5,3 Tabela-1 x y x y 3,8 5,5 4,1 5,7 5,8 5,9 4,8 6,1 5,7 6,3 4,4 6,5 4,8 6,7 3,6 6,9 5,5 7,1 4,15 7,3 5,8 7,5 3,8,5 4,75,7 3,9 7,3 6, 7,5 4,35 4,15 4,85 6, 3,8 7, 5,4 6,1 6,5 6,1 4,75 1, 1, 9,5 9, 31

32 Resduals y H. Iglésas Perera (DEIO) Lcecatura em Físca Ajustado aos dados um modelo lear obtém-se: ˆ 1.77 e ˆ. 665 ; ˆ MSE 1.4 e coefcete de determação R = y^ =,6654x + 1,765 R =,3963 televsão "dutor" Fgura- 1 Ao observar o dagrama de dspersão verfcamos que exstem 4 observações bastate afastadas das restates. Represetemos agora grafcamete os resíduos: X Varable 1 Resdual Plot X Varable 1 Fgura- A Fgura- mostra que para valores termédos da varável x ( dutor ) os resíduos parecem dstrbur-se aleatoramete em toro da recta e=; o etato, para valores pequeos de x a maor parte dos resíduos são postvos dcado que o modelo subestma as respostas, mas há dos grades resíduos egatvos sugerdo sobrestmação pelo modelo, a stuação verte-se para valores grades de x. 3

33 Olhado para a Fgura-1 verfcamos que estes 4 potos flacoaram o declve da recta de regressão. Parece que se retrássemos estas 4 observações a recta de MQ devera ter um declve perto de zero, dcado que provavelmete a varável x ão afecta a resposta. Estes potos vão ser ecarados como outlers e devem ser vestgados. Será que estas observações fluecam o modelo? Aalsemos os dados sem estas observações (7, 8, 9 e 3) e vejamos se as estmatvas dos coefcetes da recta de MQ vêm muto alteradas. Sem estas 4 observações obtém-se: ˆ ˆ. 6 e R =,161 Para melhor podermos comparar os resultados vamos escrever a tabela: Quadro Resumo Amostra completa Amostra reduzda ˆ,665,6 ˆ 1,77 3,713 R,396,161 s 1,4, Tal como esperávamos o declve da recta dmuu cosderavelmete, houve uma redução de cerca de 61%. O que os leva a coclur que as observações com resíduos grades devem ser sujetas a vestgação, pos podem dcar erros de dgtalzação ou também evdecar a exstêca de algum comportameto dos dados que pode passar despercebdo uma prmera aálse do problema em estudo. 4.3* PREDIÇÃO Temos ada a cosderar o problema da predção. Assm, supohamos que se obtveram os segutes pares de observações,y,..., x, x y 1 1 com base as quas desejamos predzer uma observação futura Y para um determado valor da varável cotrolada x. Note-se que Y é uma v.a. e ão um parâmetro, ão se trata pos de um problema de ferêca sobre parâmetros de uma dstrbução como até aqu temos feto. No modelo lear que estamos a estudar assummos que Y x, Gau,,.e., a dstrbução de Y está cetrada o valor 33

34 médo desta, EY x, e assm é atural usar Ŷ ˆ ˆ x como predctor de Y e que é smultaeamete o estmador de E Y. Voltemos aos exemplos apresetados o íco do capítulo e supohamos, por exemplo, que pretedíamos predzer o ível de proteía Y que uma futura mãe deve ter ao fm de x =4 semaas de gestação, o que ós pretedemos é predzer um valor partcular da v.a. Y. Etão usado (6) da secção 4.., temos que Ŷ , ao tomar este valor como predctor de Y estamos a cometer um erro de predção que é dado pela dfereça Errop= Y Ŷ erro é uma v.a. cuja dstrbução é ada gaussaa de parâmetros Y Ŷ EY EŶ e Ŷ EŶ Y EŶ x x EŶ x E Y x CovY,Ŷ VarŶ VarY Varˆ ˆx E Var Y 1 x x 1 x x Note-se ada que as v.a.'s ey Y Ŷ são depedetes, por sso Y,Ŷ Cov. Este (1) uma vez que o predctor Y ˆ só depede das observações Y 1,...,Y depedetes dey, através de ˆ e ˆ. Além dsso, poderíamos provar que a v.a. Y Ŷ tem dstrbução gaussaa por ser uma combação lear de gaussaas depedetes, de valor médo zero e varâca dada por (1) o que os leva a coclur que a v.a. Ŷ Y T Y,Ŷ t com s x x xx 1 x x ˆ 1 s xx () 34

35 Esta v.a. pode ser utlzada a costrução de um tervalo de predção para Y (Y é uma v.a. e ão um parâmetro, mas o prcípo para a costrução deste tervalo de predção é o mesmo do utlzado os I.C. para um parâmetro) de ível (1-. Vamos optar pelo tervalo de ampltude méda míma o que correspode a cosderar t T t 1 P 1 ; 1 ; (3) O tervalo de predção será etão, x x x x ˆ 1 ˆ 1 Ŷ t1 1,Ŷ t 1 ( 4 ) s 1 xx s xx Nota: A varâca do erro de predção Y Ŷ é tato meor quato mas próxmo de x estver o valor x ão observado da varável explcatva, para o qual queremos fazer a predção. Logo, a precsão do predctor aumetará com a proxmdade de x a x, e o mesmo acotece com a precsão do tervalo de predção (em termos de ampltude) como sera de esperar. É portato arrscado fazer prevsões para um futuro logíquo ou relatvamete a um passado remoto, para o qual o modelo até pode ão ser o "correcto". NOTA: As secções que têm astersco ão foram dadas este ao. 35