SUGESTÕES DE GESTÃO CURRICULAR DO PROGRAMA E METAS CURRICULARES MATEMÁTICA A

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1 SUGESTÕES DO PROGRAMA E METAS ES MATEMÁTICA A 10 Ọ ANO Expoente 10

2 SUGESTÕES FLEXÍVEL DO PROGRAMA E METAS ES DE MATEMÁTICA A Apesr de considerrmos que opção mis dequd é seguir sequênci propost no mnul Expoente 10, tendo em considerção s sugestões de gestão flexível que constm no documento «Orientções de gestão curriculr pr o Progrm e Mets Curriculres de Mtemátic A», presentmos outr possibilidde de gestão curriculr, tendo sempre por bse o mnul Expoente 10. Os exercícios e os problems presentdos devem ser seleciondos de cordo com s crcterístics dos lunos/turms. Os exercícios e os problems que o professor opte por não resolver em sl de ul, podem ser resolvidos pelos lunos de form utónom. O professor poderá disponibilizr os seus lunos s resoluções respetivs, disponíveis quer no Dossier do Professor quer em. NOTA Certos descritores encontrm-se ssinldos com o símbolo «+». Reltivmente os que correspondem proprieddes que os lunos devem reconhecer, procedimentos que devem efetur ou problems que devem resolver, especificrm-se nos Cdernos de Apoio diferentes níveis de desempenho. No cso d resolução de problems, o símbolo «+» prece sempre, pois é inevitável que se possm considerr diferentes níveis de desempenho. Qunto os reltivos proprieddes que os lunos devem provr, entende-se que, embor todos devm conhecer o resultdo em cus e sber plicá-lo, elborção d respetiv demonstrção é fculttiv, não sendo portnto exigível os mesmos. Os descritores de um mesmo objetivo gerl, reltivos demonstrções muito semelhntes entre si, encontrm-se ssinldos com o símbolo «#», ficndo o critério do professor quis devem ser trtdos como exemplo.

3 LÓGICA E TEORIA DOS CONJUNTOS LTC10 De cordo com o Progrm e Mets Curriculres, o domínio Lógic e Teori dos Conjuntos reúne tems fundmentis e trnsversis todo o Ensino Secundário, pelo que pode ser considerdo centrl neste ciclo de estudos. Assim, pode ser integrdo no trtmento de conteúdos pertencentes outros domínios, bem como em revisões de conteúdos de nos nteriores. Neste sentido, presentm-se dus proposts possíveis pr um trtmento trnsversl deste domínio. Propost A Sugere-se inicir o no letivo com Introdução à Lógic bivlente e à Teori dos conjuntos, bordndo Rdicis e Potêncis de Expoente Rcionl entre os dois objetivos geris LTC10 e trblhr trnsverslmente os descritores em contextos mis brngentes e complexos. Este domínio é inicido no 10 ọ no ms, no que diz respeito às plicções que inevitvelmente vão sendo suscitds pelos outros domínios, só se deve considerr efetivmente cumprido no 12 ọ no. A este propósito, observ-se ind que no domínio Cálculo Combintório, no 12 ọ no, o primeiro objetivo gerl é Conhecer proprieddes ds operções com conjuntos, o que está intimmente relciondo com bordgem inicil efetud no 10 ọ no. Introdução à Lógic bivlente e à Teori dos conjuntos 1. Operr com proposições SUGESTÕES Este cpítulo pode ser encrdo como um primeir bordgem Lógic e Teori dos Conjuntos, ms com perspetiv de que, o longo dos três nos e em sucessivs oportuniddes, estes conteúdos se irão profundndo. Assim, os problems propor os lunos devem estr de cordo com perspetiv de que este é um tem trnsversl que jud os lunos dotr um lingugem e um rciocínio mtemáticos rigorosos. Domínio Álgebr - Rdicis e Potêncis de expoente rcionl Propõe-se que se bordem, em seguid, os Rdicis e Potêncis de expoente rcionl, Álgebr. Deste modo, obterá mis exemplos pr plicção ds operções lógics sobre proposições. 2. Relcionr condições e conjuntos Retomr o Domínio LTC10, bordndo o tem Condições e Conjuntos como um primeir bordgem idelmente relciond com conhecimentos que os lunos já têm do Ensino Básico, e que será complementd e enriquecid com tods s plicções que vão surgindo, desde logo no domínio Geometri Anlític (por exemplo, n definição de conjuntos de pontos no plno), ms tmbém no domínio Funções Reis de Vriável Rel (definição de função injetiv, sobrejetiv, domínio de um função ), e, de form mis gerl, o longo de todo o Ensino Secundário Por se trtrem de descritores clrmente relciondos com o rciocínio demonstrtivo, exigem lgum mturidde; ssim, sugere-se um primeir bordgem mis elementr, ms sempre com perspetiv de que mis trde serão utilizdos em novs bordgens e em contextos mis brngentes e complexos. Propost B Sugere-se integrr este tem, de form trnsversl, no trtmento de conteúdos pertencentes outros domínios, bem como em revisões de conteúdos de nos nteriores. 3

4 SUGESTÕES Este conjunto de descritores pode ser introduzido nos tems Rdicis e Potêncis de expoente rcionl e n resolução de problems de álgebr, trvés de revisões sobre problems de geometri (teorem de Pitágors no plno e no espço áres e volumes) Introdução à Lógic bivlente e à Teori dos conjuntos 1. Operr com proposições 1. Designr por "proposição" tod expressão p suscetível de ser "verddeir" ou "fls" e designr estes tributos por "vlores lógicos". 2. Sber que um proposição não pode ser simultnemente verddeir e fls e designr est propriedde por "Princípio de não contrdição". 3. Sber, dds proposições p e q, que "p é equivlente q" é um proposição, designd por "equivlênci entre p e q", que é verddeir se e somente se p e q tiverem o mesmo vlor lógico e representá-l tmbém por "p q". 4. Sber, dd um proposição p, que "não p" é um proposição, designd por "negção de p", que é verddeir se p for fls e é fls se p for verddeir e representá-l tmbém por " ~p ". 5. Justificr, dd um proposição p, que ~(~p) p, designndo est propriedde por "lei d dupl negção". 6. Sber, dds proposições p e q, que "p e q" é um proposição, designd por "conjunção de p e q", que é verddeir se e somente se p e q forem simultnemente verddeirs, e representá-l tmbém por "p q". 7. Sber, dds proposições p e q, que "p ou q" é um proposição, designd por "disjunção de p e q", que é fls se e somente se p e q forem simultnemente flss, representá-l tmbém por "p q" e justificr que p ~p é um proposição verddeir, designndo est propriedde por "Princípio do terceiro excluído". 8. Sber, dds proposições p e q, que "p implic q" é um proposição, designd por "implicção entre p e q", que é fls se e somente se p for verddeir e q for fls, representá-l tmbém por "p q", designr p por "ntecedente" e q por "consequente" d implicção e reconhecer, dd um proposição r, que se p q e q r então p r. 9. Sber que, por convenção, em qulquer sequênci de operções lógics, menos de utilizção de prênteses, se respeitm s seguintes prioriddes: negção; conjunção e disjunção; implicção e equivlênci. 10. #Provr, dds proposições p e q, que proposição ~(p q) é equivlente à proposição p ~q. 11. #Provr, dds proposições p e q, que proposição p q é verddeir se e somente se p q e q p forem mbs proposições verddeirs e designr est propriedde por "princípio d dupl implicção". 12. #Provr, dd um proposição p e representndo por V (respetivmente F) um qulquer proposição verddeir (respetivmente fls), que p V p, p V V, p F p e p F F. 13. #Provr, dds proposições p e q, que ~(p q) ~p ~q e que ~(p q) ~p ~q e designr ests equivlêncis por "Primeirs Leis de De Morgn". 14. #Provr, dds proposições p, q e r, que (p q) r p (q r), p q q p e que (p q) r (p r) (q r), bem como s que se obtêm permutndo em tods s ocorrêncis os símbolos " " e " ", e designá-ls respetivmente por "ssocitividde", "comuttividde" e "distributividde". 4

5 15. #Provr, dds dus proposições p e q, que proposição p q é equivlente à proposição ~q ~p, designr est últim implicção por "implicção contrrrecíproc d implicção p q" Simplificr expressões envolvendo operções com proposições, substituindo-s por proposições equivlentes envolvendo menos símbolos, e determinr o respetivo vlor lógico sempre que possível SUGESTÕES 2. Relcionr condições e conjuntos 1. Designr por "expressão proposicionl" ou por "condição" um expressão p(x) envolvendo um vriável x tl que, substituindo x por um objeto, se obtém um proposição p(). 2. Sber, dd um condição p(x), que "qulquer que sej x, p(x)" é um proposição que é verddeir qundo e pens qundo se obtém um proposição verddeir sempre que se substitui x em p(x) por um objeto rbitrário, representá-l por "Ax, p(x)", e designr o símbolo "A" por "quntificdor universl". 3. Identificr um condição p(x) como "universl" se Ax, p(x) for um proposição verddeir e reconhecer que disjunção de qulquer condição com um condição universl é um condição universl. 4. Sber, dd um condição p(x), que "existe x tl que p(x)" é um proposição que é verddeir se e somente se, pr pelo menos um objeto, p() for verddeir, representá-l por "Ex: p(x)" e designr o símbolo "E" por "quntificdor existencil". 5. Identificr um condição p(x) como "possível" se Ex: p(x) for um proposição verddeir, como "impossível" se não for possível e reconhecer que disjunção de qulquer condição com um condição possível é um condição possível e conjunção de qulquer condição com um condição impossível é um condição impossível Este conjunto de descritores pode ser introduzido qundo do estudo Geometri Anlític no Plno e no Espço. 6. Sber, dd um condição p(x), que negção d proposição Ax, p(x) é equivlente à proposição Ex: ~p(x), que negção d proposição Ex: p(x) é equivlente à proposição Ax, ~p(x), designr ests proprieddes por "Segunds Leis de De Morgn", reconhecendo-s informlmente em exemplos, e justificr que negção de um condição universl é um condição impossível e vice-vers. 7. Representr, dd um condição p(x) e um conjunto U, proposição Ax, x U p(x) por "Ax U, p(x)", e, no cso de ser verddeir, designr p(x) por "condição universl em U". 8. Representr, dd um condição p(x) e um conjunto U, proposição Ex: x U p(x) por "Ex U: p(x)", no cso de ser verddeir designr p(x) por "condição possível em U" e, no cso contrário, por "condição impossível em U". 9. +Reconhecer, dd um condição p(x) e um conjunto U, que negção d proposição Ax U, p(x) é equivlente à proposição Ex U: ~p(x), que negção d proposição Ex U: p(x) é equivlente à proposição Ax U, ~p(x) e designr um elemento U tl que ~p() como um "contrexemplo" pr proposição Ax U, p(x) Este conjunto de descritores pode ser introduzido qundo do estudo do domínio Funções Reis de Vriável Rel. 5

6 SUGESTÕES Este conjunto de descritores pode ser introduzido qundo do estudo Geometri Anlític no Plno e no Espço Representr, dd um condição p(x), por "{x: p(x)}" um conjunto A tl que x, x A p(x), designndo iguldde A = {x: p(x)} por "definição em compreensão do conjunto A pel condição p(x)". 11. Sber, ddos conjuntos A e B, que A = B se e somente se Ax, x A x B. 12. Designr, ddo um objeto e um conjunto A, por "elemento de A" qundo A, ddos objetos 1,, k ( k ), representr por "{ 1,, k }" o conjunto A cujos elementos são extmente 1,, k e designr iguldde A = { 1,, k } por "definição em extensão do conjunto A de elementos 1,, k ". 13. Identificr, dd um condição p(x) e um conjunto U, o conjunto {x: x U p(x)} como "conjunto definido por p(x) em U" (ou "conjunto-solução de p(x) em U") e representá-lo tmbém por "{x U: p(x)}". 14. Identificr, ddos conjuntos A e B, o "conjunto união (ou reunião) de A e B" e o "conjunto interseção de A e B" respetivmente como A B = {x: x A x B} e A B = {x: x A x B}. 15. Identificr, ddos conjuntos A e B, A como estndo "contido em B" ("A B") qundo x, x A x B e, nesse cso, designr A por "subconjunto de B" ou por "um prte de B". 16. Designr, ddos conjuntos A e B, por "diferenç entre A e B" o conjunto {x A: x B} e representá-lo por A\B ou simplesmente por B qundo B A e est notção não for mbígu, designndo-o então por "complementr de B em A". 17. Justificr, dds condições p(x) e q(x), que proposição Ax, p(x) q(x) é equivlente à proposição Ax, (p(x) q(x)) (q(x) p(x)) e designr um demonstrção d segund proposição por "demonstrção por dupl implicção" d primeir. 18. Reconhecer, ddos conjuntos A e B, que A = B se e somente se A B e B A, e designr est propriedde por "princípio d dupl inclusão". Este descritor pode ser introduzido qundo do estudo do domínio Funções Reis de Vriável Rel Reconhecer, dds condições p(x) e q(x), que negção d proposição "Ax, p(x) q(x)" é equivlente à proposição "Ex: p(x) ~q(x)", isto é, que ess proposição é fls se e somente se existir tl que p() é verddeir e q() é fls Resolver problems 6

7 ÁLGEBRA ALG10 SUGESTÕES A compreensão dos procedimentos e posterior prátic devem ser preocupções prioritáris n bordgem inicil deste domínio. No entnto, os subdomínios Rdicis e Potêncis de expoente rcionl podem ser intercldos entre os dois objetivos geris Lógic e Teori dos Conjuntos, com vntgem de proporcionr mis exemplos de plicção ds operções lógics sobre proposições e resolução de problems de geometri elementr. Rdicis 1. Definir e efetur operções com rdicis 6. #Provr, ddos números reis não negtivos e b e um número n pr, que n n n b = b e reconhecer que, pr m m, ( n ) = 7. #Provr, ddos números reis e b e um número n ímpr, que b = b e reconhecer que, pr m m, ( n ) = n m. n m. n n n 8. #Provr, ddos números reis e b (respetivmente números reis e b não negtivos), b 0, e um número n ímpr (respetivmente um número n pr), que n = n e justificr que pr m, ( ) m n n m b = b. n b b 9. #Provr, ddos números nturis n e m (respetivmente números nturis ímpres n e m) e um número rel não negtivo (respetivmente um número rel ), que n m nm. = Pode optr por demonstrr pens um dests regrs e explicr que nos restntes csos se utiliz um procedimento nálogo. Potêncis de expoente rcionl 2. Definir e efetur operções com potêncis de expoente rcionl 3. Resolver problems Divisão inteir de polinómios 4. Efetur operções com polinómios 5. Resolver problems Este tem Álgebr pode ser explordo o longo do domínio Funções Reis de Vriável Rel, pois tem qui plicção imedit, o que pode constituir um ftor de motivção e de compreensão, otimizndo os contextos de resolução de problems. 7

8 SUGESTÕES GEOMETRIA ANALÍTICA GA Geometri Anlític no plno 1. Definir nliticmente conjuntos elementres de pontos do plno 2. Resolver problems Não se sugerem lterções reltivmente o que é proposto no mnul Cálculo vetoril no plno 3. Operr com vetores 4. Operr com coordends de vetores 5. Conhecer proprieddes dos vetores diretores de rets do plno 6. Resolver problems Geometri Anlític no espço 7. Definir referenciis crtesinos do espço 8. Definir nliticmente conjuntos elementres de pontos do espço Cálculo vetoril no espço 9. Definir vetores do espço 10. Operr com coordends de vetores do espço 11. Resolver problems 8

9 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FRVR10 VOL. 2 SUGESTÕES Generliddes cerc de funções 1. Definir composição de funções e função invers de um função bijetiv 10. Justificr, ddos conjuntos A e B e um função f: A B bijetiv, que pr todo o y pertencente B existe um e pens um elemento x pertencente A tl que f(x) = y e, representndo-o por x y, designr por "função invers de f" função f 1 : B A tl que Ay B, f 1 (y) = x y Reconhecer, dd um função f: A B bijetiv, que f 1 é bijetiv e que (f 1 ) 1 = f e designr tmbém f 1 por "bijeção recíproc de f" Cso hj necessidde, pr um melhor gestão do tempo no 10 ọ no, estes descritores poderão ser trblhdos pens no 11 ọ no. Generliddes cerc de funções reis de vriável rel 2. Relcionr proprieddes geométrics dos gráficos com proprieddes ds respetivs funções 8. +Reconhecer, dd um função rel de vriável rel bijetiv f e um plno munido de um referencil monométrico, que os gráficos crtesinos ds funções f e f 1 são imgem um do outro pel reflexão xil de eixo de equção y = x. 14. Reconhecer, ddos um função rel de vriável rel f, um número 0 < < 1 (respetivmente > 1) e um plno munido de um referencil ortogonl, que o gráfico { } crtesino de um função g definid em D g = x : x D por g(x) = f(x) é f imgem do gráfico crtesino de f pel diltção horizontl (respetivmente pel contrção horizontl) de coeficiente Cso hj necessidde, pr um melhor gestão do tempo no 10 ọ no, estes descritores poderão ser trblhdos pens no 11 ọ no. 3. Identificr intervlos de monotoni de funções reis de vriável rel 4. Identificr extremos de funções reis de vriável rel Estudr funções elementres e operções lgébrics sobre funções 4. Justificr que função f: definid por f(x) = x 2 é bijetiv e que pr todo o x + 0, f 1 (x) = x. 5. Justificr que função f: definid por f(x) = x 3 é bijetiv e que pr todo o x, f 1 (x) = 3 x. 6. Determinr o domínio e esboçr o gráfico de funções definids nliticmente por f(x) = n x b + c (, b, c, n {2,3}, 0) Cso hj necessidde, pr um melhor gestão do tempo no 10 ọ no, estes descritores reltivos funções irrcionis poderão ser trblhdos pens no 11 ọ no. 9

10 SUGESTÕES O tem Divisão inteir de polinómios, Álgebr, poderá ser explordo qundo d bordgem deste descritor. Cso hj necessidde, pr um melhor gestão do tempo no 10 ọ no, poderá trnsitr pr o 11 ọ no operção com função quociente. VOL Identificr "função polinomil" como um função que pode ser definid nliticmente por um polinómio com um só vriável. 9. Identificr, dds funções f: D f, g: D g, um número rel α e um número rcionl r, s funções f + g: D f D g ("som de f com g"), fg: D f D g, f ("produto de f por g"), g : D f ("quociente de f por g", onde D f = D f g g {x D g : g(x) 0}), αf: D f ("produto de f pelo esclr α") e f r : D f r ("potênci de expoente r de f", onde D f r é o conjunto dos números reis x pr os quis está definido f(x) r ), como s funções com os domínios e conjunto de chegd indicdos, definids, pr cd elemento x do respetivo domínio, respetivmente f por (f + g)(x) = f(x) + g(x), (fg)(x) = f(x)g(x), (x) = f ( x ), (αf)(x) = αf (x) e f r (x) = f(x) r, g g(x) podendo utilizr-se, pr representr s potêncis de expoente rcionl, s notções envolvendo rízes. O tem Divisão inteir de polinómios, Álgebr, poderá ser explordo qundo d bordgem deste descritor Resolver problems 1. +Resolver equções e inequções envolvendo s funções polinomiis e composição d função módulo com funções polinomiis. Cso hj necessidde, pr um melhor gestão do tempo no 10 ọ no, este descritor poderá ser trblhdo pens no 11 ọ no. 2. +Resolver equções e inequções envolvendo s funções riz qudrd e riz cúbic. NOTA Os professores e os lunos têm o seu dispor um vsto conjunto de recursos que fcilitm o cálculo, s representções geométrics e representção gráfic de funções. Tods ests ferrments devem ser utilizds ns sls de ul, prlelmente com s bordgens nlítics, de form motivr e enriquecer compreensão. 10

11 ESTATÍSTICA EST10 VOL. 2 SUGESTÕES Crcterístics mostris 1. Mnipulr o sinl de somtório 2. Utilizr s proprieddes d médi de um mostr 3. Definir e conhecer proprieddes d vriânci e do desvio-pdrão de um mostr 4. Definir e conhecer proprieddes do percentil de ordem k 5. Resolver problems Por questões de gestão de tempo, pode optr-se por cumprir os objetivos geris 1, 2, 4 e 5 (pr os conteúdos sinl de somtório, proprieddes d médi e proprieddes dos percentis) no 10 ọ no. Os objetivos geris 3 e 5 (pr os conteúdos proprieddes d vriânci e do desvio-pdrão de um mostr) poderão ser trtdos pens no 11 ọ no, cso não sej possível no 10 ọ no. De form gilizr lecionção Esttístic de 10 ọ no, envimos lhe dus presentções PowerPoint. NOTA Sugere-se que se resolvm problems com recurso à tecnologi num contexto rel, envolvendo nomedmente s noções de médi, desvio-pdrão e percentis de um mostr de ddos. 11