ON THE UNSTABLE EQUILIBRIUM OF ISOSTATIC REINFORCED CONCRETE COLUMNS SOBRE O EQUILÍBRIO INSTÁVEL DE PILARES ISOSTÁTICOS DE CONCRETO ARMADO

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1 Proeeings o the XXVI Iberian Latin-Amerian Congress on Computational Methos in Engineering CILAMCE 2005 Brazilian Asso. or Comp. Mehanis (ABMEC) & Latin Amerian Asso. o Comp. Methos in Engineering (AMC), O THE USTABLE EQUILIBRIUM OF ISOSTATIC REIFORCED COCRETE COLUMS SOBRE O EQUILÍBRIO ISTÁVEL DE PILARES ISOSTÁTICOS DE COCRETO ARMADO Flávio Menes eto llaavviioo@gmail.om www2.ita.br/~lavio Divisão e Engenharia e Inra-Estrutura Aeronáutia Instituto Tenológio e Aeronáutia - ITA CTA - Pça. Mal. Euaro Gomes, 50, , SJCampos, SP Brazil Abstra. Isostati reinore onrete olumns have limit point stability behavior, where there are two possible equilibrium states uner low ompressive axial loas: one stable an the other unstable; when subjete to higher axial loas there is no possible equilibrium. There are some simpliie hypothesis assessing the olumn stability, suh as in the moel olumn proess. This paper isuss the numeri attainment o the unstable equilibrium path o an isostati reinore onrete olumn uner these simpliie assumptions. Keywors: Stability, Moel Column, Reinore Conrete. Resumo. Pilares isostátios e onreto armao têm omportamento e estabiliae araterizao pelo hamao ponto limite, one há, para valores baixos e ompressão axial, uas onigurações e equilíbrio possíveis: uma estável e outra instável; para valores mais altos este arregamento não há equilíbrio possível. Há algumas hipóteses simpliiaoras para a veriiação a estabiliae omo, por exemplo, no proesso a oluna moelo (também onheio omo pilar parão ). Este trabalho apresenta uma isussão sobre a obtenção numéria o ramo instável a trajetória e equilíbrio e um pilar isostátio e onreto armao sob tais hipóteses simpliiaoras. Palavras haves: Estabiliae, Coluna Moelo, Conreto Armao. 1. ITRODUÇÃO O omportamento o equilíbrio e pilares isostátios e onreto armao, levano em onsieração as não lineariaes ísia e geométria, é araterizao pelo enômeno onheio omo ponto limite. Para valores pequenos o arregamento axial existem uas onigurações e equilíbrio possíveis: a estável, om menor energia assoiaa, e a instável, om maior energia (e, também, maiores lehas). Para arregamentos axiais maiores, além a arga rítia, não há equilíbrio possível.

2 Proeeings o the XXVI Iberian Latin-Amerian Congress on Computational Methos in Engineering CILAMCE 2005 Brazilian Asso. or Comp. Mehanis (ABMEC) & Latin Amerian Asso. o Comp. Methos in Engineering (AMC), M(x=0) La Lb L>L b a La ( r ) b ( r ) a Figura 1- Esboço o omportamento e ponto limite. A Figura 1 mostra um esboço usual o omportamento e ponto limite em um gráio uja absissa é o esorço normal apliao na extremiae livre e a orenaa é o momento letor total (primeira mais seguna orem) M na base (x=0) o pilar engastao-livre. São esquematizaas uas urvas para ois pilares om omprimentos istintos (L a e L b ), ilustrano a inluênia o omprimento o pilar na arga rítia ( r ) a e ( r ) b. Observe-se, aina, que o equilíbrio na arga rítia tem natureza instável. 2. TRAJETÓRIAS DE EQUILÍBRIO A obtenção a trajetória e equilíbrio é assunto bastante onheio, prinipalmente quano se onsiera sua parte estável. Poe ser obtia numeriamente, no aso e pilares e onreto armao, por proessos exatos (ierenças initas, métoo os elementos initos) ou, aina, por proessos simpliiaos, omo por exemplo, o proesso a oluna moelo ( pilar parão ). 2.1 Equilíbrio estável A trajetória estável e equilíbrio poe ser obtia utilizano-se o proesso as ierenças initas. Este proesso poe ser utilizao, om uma pequena aaptação, na obtenção o ramo instável a trajetória e equilíbrio. Divie-se o pilar, suposto engastao livre por omoiae, em m trehos. As seções transversais i são numeraas o engaste (i=0, x=0) ao topo (i=m, x=l). aturalmente os resultaos serão tão melhores quanto maior o número e ivisões e pilar. O proesso é geralmente iniiao om =0 para garantir que se tenha suesso na busa pelo equilíbrio estável. O proesso uniona melhor quano há retroalimentação, ou seja, em uma nova iteração eve-se esolher a leha alulaa na iteração anterior (utiliza-se =y m na próxima iteração).

3 Proeeings o the XXVI Iberian Latin-Amerian Congress on Computational Methos in Engineering CILAMCE 2005 Brazilian Asso. or Comp. Mehanis (ABMEC) & Latin Amerian Asso. o Comp. Methos in Engineering (AMC), M(x=0) () (b) (a) r Figura 2 Obtenção as trajetórias e equilíbrio. É interessante observar, omo esquematizao na Figura 2, que quano se arbitram lehas pequenas, azeno om que o momento letor total aia abaixo a trajetória estável e equilíbrio, o proesso numério onverge para o equilíbrio estável, região (a). O mesmo omportamento é observao para lehas um pouo maiores, que ausam momentos letores totais entre as trajetórias e equilíbrio estável e instável, região (b). Quano a leha iniial arbitraa é grane, ausano momento letor total aima a trajetória instável, região (), o proesso numério iverge levano, eventualmente, o pilar ao olapso (o ritério e resistênia, araterizao pelo Estao Limite Último ELU, não oi, para breviae este texto, omentao). Observa-se, assim, que a trajetória e equilíbrio instável não é alançaa pela apliação anterior o algoritmo lássio e ierenças initas, uma vez que o equilíbrio instável orrespone a um proesso numeriamente instável. A obtenção a trajetória estável até a arga rítia é eita por outro proesso numério: arbitra-se um passo para o esorço normal e, partino o zero, inrementa-se até que não seja obtio equilíbrio. este aso poe-se iminuir o passo e repetir o proesso até uma erta preisão esejaa para a obtenção a arga rítia. 2.2 Equilíbrio instável O equilíbrio instável poe ser obtio om uma apliação o algoritmo e ierenças initas. Uma primeira iéia seria ontrolar a onvergênia (ou ivergênia) e ir inrementano ou erementano a leha iniialmente arbitraa até obter-se uma resposta aequaa. Outra apliação seria varrer o plano -M, om passos pequenos, utilizano novamente o mesmo algoritmo (este proesso oi, eetivamente, utilizao e alguns resultaos são mostraos posteriormente). Outra alternativa, que onta om o respalo e orma (ABT, 2004), pelo menos para a parte estável o equilíbrio, é a utilização o proesso a oluna moelo ( pilar parão ). Este proesso é sobejamente onheio (Santos, 1987; Fuso, 1981) e se resume por

4 Proeeings o the XXVI Iberian Latin-Amerian Congress on Computational Methos in Engineering CILAMCE 2005 Brazilian Asso. or Comp. Mehanis (ABMEC) & Latin Amerian Asso. o Comp. Methos in Engineering (AMC), relaionar a leha no topo om a urvatura na base o pilar isostátio (por omoiae também suposto engastao-livre). 0,22 μ ν = 0,09 0,20 0,18 ν = 0,11 0,16 ν = 0,07 0,14 0,12 0,10 0,08 ν = 0,05 0,06 0,04 0,02 0,00 Seção retangular Duas amaas e barras simétrias Aço CA-50A ω = 0,4 δ = '/h = 0,05 le/h = 80 Exentriiae e/h = 0,1 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 Figura 3 Proesso o pilar parão ( oluna moelo ). A Figura 3 ilustra quatro urvas e um iagrama normal-momento-urvatura real e uma seção transversal retangular (uas amaas e barras, uplamente simétrias), om aço CA- 50A. Ilustra, aina, as retas e momento total para os mesmos quatro valores e esorço normal, evieniano que este proesso serve para a obtenção os ois pontos e equilíbrio: estável e instável. Salienta-se que o gráio a Figura 3 apresenta-se trunao nas absissas, ou seja, o ELU a seção transversal não é mostrao. Variano-se o valor o esorço normal poe-se obter tanto a trajetória e equilíbrio estável quanto a instável. Eetuano-se este proeimento para um aso espeíio, surpreenentemente, obteve-se uma trajetória om aparênia bastante peuliar. Para ertiiação esse resultao obtio preeeu-se a uma varreura, no plano -M, os pontos que, por ierenças initas, retornassem uma leha, a menos e uma preisão, igual à leha arbitraa. ote-se que este proesso numério é bastante emorao e ineiiente. Os pontos obtios onirmaram a tenênia a trajetória instável obtia pelo proesso o pilar parão. Os resultaos estes ois proessos são mostraos na Figura 4. θ

5 Proeeings o the XXVI Iberian Latin-Amerian Congress on Computational Methos in Engineering CILAMCE 2005 Brazilian Asso. or Comp. Mehanis (ABMEC) & Latin Amerian Asso. o Comp. Methos in Engineering (AMC), 0,32 μ 0,30 0,28 0,26 0,24 0,22 Seção retangular Duas amaas e barras simétrias Aço CA-50A ω = 0,4 δ = '/h = 0,05 le/h = 40 Exentriiae e/h = 0,1 0,20 Dierenças Finitas 0,18 0,16 0,14 0,12 ELU 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 Pilar parão 0,00 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 ν Figura 4 Trajetórias e equilíbrio e Estao Limite Último ELU (l e /h=40). A trajetória obtia por ierenças initas (iviino-se o pilar em ez trehos, m=10) oi alulaa variano-se o esorço normal aimensional e 0 até 0,42 om inremento e O momento letor variou e 0 até 0,3 om o mesmo inremento, totalizano quase 13 milhões e pontos testaos. Um ponto era onsierao e equilíbrio (instável ou estável) quano a ierença absoluta entre a leha alulaa e a arbitraa era inerior a Variano os parâmetros o pilar (omprimento, seção, área e armaura, aço, arranjo et.), ertamente haverá uma variação bastante intensa as trajetórias e equilíbrio. Dobrano o omprimento o pilar (e, onseqüentemente, sua esbeltez) são obtias as urvas mostraas na Figura 5 (que teve sua esala alteraa para melhor visualização o enômeno). É interessante notar, mais uma vez, que as urvas obtias pelo proesso as ierenças initas e o pilar parão apresentam um omportamento bastante similar. Para os asos apresentaos, entretanto, nota-se que o proesso o pilar parão apresenta onlusões ontra a segurança, aumentano a arga rítia e, aina, orneeno menores lehas para o equilíbrio estável. Aina é igno e nota o ato e a trajetória instável apresentar esontinuiae e erivaa.

6 Proeeings o the XXVI Iberian Latin-Amerian Congress on Computational Methos in Engineering CILAMCE 2005 Brazilian Asso. or Comp. Mehanis (ABMEC) & Latin Amerian Asso. o Comp. Methos in Engineering (AMC), 0,24 μ 0,22 0,20 0,18 ELU 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 Seção retangular Duas amaas e barras simétrias Aço CA-50A ω = 0,4 δ = '/h = 0,05 le/h = 80 Exentriiae e/h = 0,1 Dierenças Finitas 0,06 0,04 Pilar parão 0,02 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 ν Figura 5 Trajetórias e equilíbrio e Estao Limite Último ELU (l e /h=80).

7 Proeeings o the XXVI Iberian Latin-Amerian Congress on Computational Methos in Engineering CILAMCE 2005 Brazilian Asso. or Comp. Mehanis (ABMEC) & Latin Amerian Asso. o Comp. Methos in Engineering (AMC), 4 COCLUSÕES E COMETÁRIOS Este texto isutiu a obtenção a trajetória e equilíbrio e pilares isostátios e onreto armao. Mostrou-se que tal trajetória poe ser obtia om proesso exato (ierenças initas) e om um proesso simpliiao ( pilar parão ). Observou-se que a obtenção o ramo estável a trajetória e equilíbrio é bem mais simples o que a obtenção o ramo instável. A trajetória instável e equilíbrio oi obtia, iniialmente, om o auxílio o proesso o pilar parão. O resultao obtio ausou estranheza e, utilizano uma varreura no plano - M, obteve-se a onirmação, pelo proesso as ierenças initas, os resultaos obtios. Observou-se que a natureza instável o equilíbrio é aompanhaa a instabiliae numéria o problema. A omparação, nos ois asos numérios estuaos, mostrou o proesso o pilar parão omo seno ontra a segurança, superestimano o valor a arga rítia e, aina, subestimano o valor as lehas. ão é possível, entretanto, generalizar esta onlusão aa a orte não lineariae presente nos enômenos envolvios. A trajetória e equilíbrio ompleta, onsierano-se o ramo estável e o instável, não tem a aparênia traiional os esboços utilizaos para ilustrar o enômeno e ponto limite (Figura 1). Há, inlusive, muanças aentuaas e urvatura, omo poe ser observao nas Figuras 4 e 5 (onstruías para l e /h=40 e l e /h=80, respetivamente). Por im resta omentar que, embora numeriamente interessante, a obtenção a trajetória instável e equilíbrio é, e ato, um exeríio teório no aso os pilares e onreto armao. a prátia, evio à natureza quase monotônia a apliação os arregamentos, só se poe observar o equilíbrio estável. 5 REFERÊCIAS ABT, Assoiação Brasileira e ormas Ténias, BR-6118 Projeto e Estruturas e Conreto. ABT, São Paulo. Fuso, P.B., Estruturas e Conreto, Soliitações ormais. Guanabara Dois, Rio e Janeiro. Santos, L.M., Estao Limite Último e Instabiliae. Esola Politénia a Universiae e São Paulo, EPUSP, São Paulo.

8 Proeeings o the XXVI Iberian Latin-Amerian Congress on Computational Methos in Engineering CILAMCE 2005 Brazilian Asso. or Comp. Mehanis (ABMEC) & Latin Amerian Asso. o Comp. Methos in Engineering (AMC), 6 OTAÇÕES M μ = σ A M Apresentam-se alguns símbolos utilizaos neste texto. : Momento letor aimensional. h = γ M : Momento letor e álulo. k M k : Momento letor aratéristio. γ : Coeiiente e poneração as ações (usualmente 1,40) ν = σ A k : Esorço normal aimensional. = γ : Esorço normal e álulo. k : Esorço normal aratéristio. e : Exentriiae equivalente o esorço normal, σ = 0,85 M = e. : Tensão eetiva e álulo no onreto (o ator 0,85 é evio ao eeito Rüsh). k = : Tensão e álulo no onreto. γ k : Resistênia araterístia o onreto à ompressão aos 28 ias. γ : Coeiiente e poneração a resistênia o onreto (usualmente 1,40). A = bh : Área a seção transversal. b : Base a seção transversal retangular. h : Altura total a seção transversal. ' δ = : Posiionamento aimensional as amaas e barras. h ' : Distânia o CG a amaa e barras à bora mais próxima. As y ω = : Taxa meânia e armaura. σ A s A : Área total a armaura. y yk yk = : Tensão e esoamento e álulo a armaura. γ s : Tensão e esoamento araterístia. γ s : Coeiiente e poneração a resistênia o aço (usualmente 1,15). h θ =1000 : Curvatura majoraa aimensional. r 1 : Curvatura a seção transversal. r l e : Comprimento equivalente (omprimento e Euler, omprimento elástio) o pilar.