Formulação Analítica do Momento-Curvatura de Secções Retangulares de Betão Armado

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1 Enontro Naional BETÃO ESTRUTURAL - BE6 FCTUC a 4 e novembro e 6 Formulação Analítia o Momento-Curvatura e Seções Retangulares e Betão Armao Foto o autor, om tamano 4 Pero Dias Simão Helena Barros Carla Ferreira Tatiana Marques 4 Resumo O presente trabalo apresenta uma estratégia omputaional, om reurso a um manipulaor algébrio simbólio, para a análise e seções e betão armao usano as relações onstitutivas materiais não lineares propostas pelo Euroóigo. Para o betão omprimio a relação onstitutiva é função a lasse e betão e vália para a análise estrutural em toos os níveis e arga em serviço ou rotura. Para o aço reorre-se a uma função ontinua que aproima os omportamentos elástio e plástio om enureimento em vez a traiional forma multi-linear. A relação momento-urvatura obtém-se através as epressões e equilíbrio entre momentos fletores e esforços aiais apliaos e tensões internas, amitino que a seção plana se mantém plana após a eformação e que eiste aerênia perfeita entre o aço e o betão. São apresentaas as soluções eatas a relação momento-urvatura. A rotura e apaiae e rotação a seção são eterminaas através as etensões últimas o betão ou a armaura. São apresentaos eemplos om seções retangulares e em T. Palavras-ave: Seção e betão armao, Euroóigo, relação momento-urvatura, apaiae e rotação INESC-Coimbra, DEEC, Rua Sílvio e Lima, Pólo II, Universiae e Coimbra, Departamento e Engenaria Civil, Coimbra, Portugal; pero@e.u.pt INESC-Coimbra, DEEC, Rua Sílvio e Lima, Pólo II, Universiae e Coimbra, Departamento e Engenaria Civil, Coimbra, Portugal; barros@e.u.pt INESC-Coimbra, DEEC, Rua Sílvio e Lima, Pólo II, Universiae e Coimbra, Departamento e Engenaria Civil, Coimbra, Portugal; arla@e.u.pt. 4 Eng. Civil por Departamento e Engenaria Civil, Coimbra; tatianaostaferreira@otmail.pt

2 Pero Dias Simão, Helena Barros, Carla Ferreira, Tatiana Marques. INTRODUÇÃO A resistênia, a apaiae e rotação e a estabiliae são elementos importantes no imensionamento e peças lineares e betão armao e requerem o oneimento o omportamento a seção em termos a relação momento-urvatura (M-) [,,], que epene a não lineariae o omportamento o aço e o betão [4]. Ambas as leis são efinias no Euroóigo (EC) [5]. O estuo a relação M- tem sio aborao por iferentes investigaores ao longo as éaas evio à sua relevânia prátia. Con e Gos [7] esenvolveram relações M- onsierano os efeitos as eformações plástias o aço e a utiliae o betão armao. Bate et al [8] fizeram a análise não linear e estruturas e betão armao através a moelação por elementos finitos D, one o efeito a retenção e tensões e tração no betão é onsierao (tension-stiffening moel). A análise não linear e seções e betão na rotura, foi estuao por Riva e Con [9], onsierano uma lei onstitutiva simplifiaa para o betão à ompressão. Noutra altura, os mesmos autores, [] esenvolveram relações M- reorreno à estratégia a limitação plástia em análise material não linear. Aina no onteto o métoo e elementos finitos, refira-se o trabalo e Spaone et al [] que moelou a relação M- através e elementos e Mawell. He et al [] analisaram seções reforçaas om polímeros e baio móulo e elastiiae, esenvolveno relações M- trilineares para a análise a resposta e seções em fleão. Torrio [] lineariza a relação momento-urvatura para obter o omportamento pós-rítio e pilares e betão e alta resistênia, numa análise geométria e material não lineares, onsierano o efeito e onfinamento o betão. Callamel e Helleslan [4] aotaram a relação M- baseaa na teoria e ano ontínuo na análise à enurvaura e pilares e betão armao e Pianet et al [5] usaram uma relação M- bi-linear para análise e instabiliae e pilares. Soluções analítias que onsieram a fenilação o betão foram esenvolvias em SM Ali et al [6]. Reentemente, o imensionamento à rotura e seções multiretangulares foi estuao por Silva et al [7]. Canrasekaran et al [8] esenvolveu epressões para álulo a apaiae e rotação. No trabalo e P. D. Simão et al [4] é feito o estuo a relação momento urvatura em seções transversais submetias à fleão simples ou omposta, onsierano o omportamento material efinio no EC [5] para a análise estrutural. Desprezam-se as eformações e esforço transverso. Neste trabalo são esenvolvias estratégias numérias para análise não linear, reorreno à programação simbólia em Matematia [6]. O moelo permite a eterminação a rotura e apaiae e rotação e é apliao a uas seções: retangular e em T. A relação M- teória obtia é omparaa om formulações aproimaas.. ANÁLISE NÃO LINEAR DA SECÇÃO DE BETÃO ARMADO.. Geometria a seção e leis onstitutivas o betão e o aço Geometria - Uma seção genéria e betão armao está representaa na Fig.. As araterístias geométrias são: a largura b, a altura, o reobrimento a (meio ese o entro geométrio o aço até à fae e betão) e a altura efetiva a, a área e aço traionao A st, e a área e aço omprimio A s. A variável efine a posição o eio neutro (na), é a orenaa transversal iniaa na Fig. quano a seção está submetia a esforço aial e momento fletor positivo (sem pera e generalização). Lei onstitutiva o betão - A tensão e ompressão o betão numa fibra genéria efinia pela orenaa, om a etensão, é aa pela epressão (ver [5]): f k k om k E f.5 () é a etensão orresponente à tensão máima e ompressão, f e E são os valores méios a resistênia à ompressão o betão e o móulo e elastiiae, respetivamente. A resistênia à tração o betão é esprezaa. A Fig. mostra a lei onstitutiva o betão à ompressão, para betões as lasses C a C9, normalizaa relativamente à tensão máima e a urva om k =, omo em [8], a que orrespone

3 Enontro Naional, Betão Estrutural 6 a forma polinomial simplifiaa a lei onstitutiva. A Fig. salienta a epenênia a lei onstitutiva em relação aos parametros k an. a As na A st b Figura. Seção retangular. Figura. Lei aimensional para várias lasses e betão. Lei onstitutiva o aço - O EC [5] propõe uma lei onstitutiva bilinear para o aço em tração e em ompressão (ver paragrafo..7 e [5]). Do ponto e vista omputaional, a lei bilinear levanta ois problemas: requer a parametrização a função argumento, neste aso a etensão o aço, s, para istinguir entre os iferentes troços a função; a egraação a efiiênia a análise que é introuzia por funções om erivaas esontinuas. A função e Riar e Abbott [9,] permite esrever e forma muito aproimaa a lei bilinear o aço atrtavés e uma função ontínua na seguinte forma: E E s s, pl s s E spl, s n n Es E s, pl s f sy one E s é o móulo e elastiiae o aço, E s,pl é o móulo em regime plástio (que o ponto e vista matemátio poe ser positivo, negativo ou nulo), f sy é a tensão limite e elastiiae, s é a etensão orrente na armaura e n um epoente positivo. A Fig. ilustra, para um aço orrente om f 45MPa e om E s,pl o valor positivo efinio em..7 e EC [5], a aproimação para iferentes valores e n. Para n = 8 a aproimação e Riar e Abbot é onsieraa sufiiente. sy () Figura. Variação a lei onstitutiva o aço, eq. (), om o parâmetro n... Seção e betão armao em fleão pura.. Análise eata Com as proprieaes efinias no ponto anterior, nomeaamente, geometria a seção, lei onstitutiva o betão e o aço, ipótese e Bernoulli [5, ], aerênia perfeita aço-betão, e as granezas a Fig. 4, estabelee-se o equilíbrio entre tensões internas e forças apliaas [,5].

4 Pero Dias Simão, Helena Barros, Carla Ferreira, Tatiana Marques a -a As Fs s,ma na - st Fst Strains Fores Ast b Etensões iagram Tensões iagram e forças Figura 4. Geometria e oorenaas para seção retangular sob fleão pura. Devio à elevaa não lineariae as epressões envolvias na análise, os métoos e resolução e a sua efiiênia epenem a solução iniial. A solução iniial mais simples é a aopção a profuniae o eio neutro ao pela meânia elementar [], onsierano os materiais lineares e elástios om móulos e elastiiae E para o betão e E s para o aço, e fazeno o equilíbrio entre as tensões e ompressão no betão e forças no aço. Este valor iniial e orrespone ao menor valor a rotação no intervalo e interesse. A análise não linear a seção onsierano a lei () para o betão e () para o aço iniia-se efinino a orenaa omo iniao na Fig. 4: a partir o eio neutro no sentio a parte e betão omprimia. Manteno-se vália a ipótese as seções planas após a eformação [5, ] e onsierano a rotação positiva a o sentio ireto, omo na Fig. 4, a etensão em qualquer ponto a seção e betão omprimio é aa por: Integrano as tensões e ompressão no betão, obtém-se a força F, () C F b (4) one é alulao substituino () em (). A epressão obtia é uma função não linear em e. Amitino a etensão no aço onstante na seção transversal as armauras, é possivel esrever a etensão e tração e e ompressão, respetivamente por: e s a st (5) Substituino as eqs. (5) na lei onstitutiva o aço, eq. (), poem ser alulaas as forças e tração, F st, e e ompressão, F s, ao nível as armauras: F st =A st st ; F s =A s s (6) As funções anteriores são não lineares em e. Se eistir apenas momento fletor apliao, seno nulo o esforço aial, a epressão e equilíbrio e forças: F F F s st (7) é também uma função não linear em e e permite efinir em função e. Para valores presritos e, a resolução a equação (7) em, através e um métoo numério omo, por eemplo, o e Newton- Rapson [], permite traçar o iagrama momento urvatura no intervalo e interesse. Com o álulo e através a epressão (7), para qualquer valor a rotação, o momento fletor orresponente é obtio substituino os valores e e na epressão e equilíbrio e momentos esrita em relação ao entro e graviae o aço traionao: 4

5 Enontro Naional, Betão Estrutural 6 M b a A s s (8) A epressão (8) permite traçar a urva momento urvatura, M-, para qualquer par e valores e. O organigrama a Fig. 5 esreve o programa esenvolvio para a análise o iagrama M- e uma seção retangular e betão armao. Figura 5. Organigrama e análise e seção retangular em fleão pura... A relação momento urvatura om álulo aproimao a profuniae o eio neutro... Aço em regime elástio A elevaa não lineariae o problema oloao no ponto anterior impee a sua resolução analítia. A solução analítia é apenas possível introuzino algumas simplifiações. Neste ponto esenvolvem-se epressões simplifiaas para a eterminação a profuniae o eio neutro e relação M-. Os resultaos obtios om estas epressões aproimaas são omparaos om os a análise rigorosa a seção, iniaa no ponto anterior. Assumino om k= em (), om em [8], a lei onstitutiva é uma função o seguno grau e a resultante as tensões no betão assume a seguinte forma: F b bf (9) Caso o aço esteja em regime linear elástio, as forças nas armauras são aas por: st A E ; F A E a F st s s () s s Substituino (9) e () a eq. (7), obtém-se a equação função a profuniae o eio neutro : A A E aa A s st s s st Es () bf bf Para valores não nulos a rotação, a equação úbia em tem soluções. Consierano os oefiientes 7 9 9, ,, E s aa s A st bf, Es ( As Ast ), b f, as soluções são: sol () 5

6 Pero Dias Simão, Helena Barros, Carla Ferreira, Tatiana Marques sol i i 6 / () sol i i ( ) / 6 (4) one i representa a raíz quaraa e -. Só om a atribuição as proprieaes geométrias e meânias a seção é possivel eterminar qual a solução om signifiao físio. Em [8] refere-se que a solução que orrespone à posição orreta o eio neutro é a eq. (4). Este fato foi onfirmao nos eemplos analisaos, esrito no ponto. Finalmente, o equilíbrio e momentos em relação às armauras traionaas fornee: bf 4 4 M A E a a s s Substituino em (5) o valor e obtio a resolução a eq. (), esoleno a solução om signifiao físio e entre as soluções () a (4), e fazeno variar no intervalo e interesse, obtém-se a urva M- pretenia. Este proeimento é válio om a armaura inferior em regime elástio ou etensão o betão omprimio inferior ao valor máimo r. O aço plastifia se a etensão atinge o valor sy = f sy / E s, om valores entre, e, nos aços orrentes que são inferiores às a rotura o betão, r.... Aço em regime plástio Neste ponto é feita a análise a seção quano a etensão na armaura é superior a sy. Assumino novamente k= na lei o betão (), é neessário proeer suessivamente aos passos seguintes: alular a resultante as tensões no betão forneia pela eq. (9); alular a força e ompressão na armaura superior aa pela eq. (); alular a força na armaura traionaa, F st =A st f sy ; esrever a equação úbia em através o equilíbrio e forças na seção (eq. (7)); atribuir as proprieae geométrias e meânias a seção em estuo; esoler a solução a equação úbia om signifiao físio e tomá-la omo a profuniae orreta o eio neutro; esrever a equação e equilíbrio e momentos fletores as forças em relação à armaura traionaa; epliitar o valor e M, função a rotação e e ; tal omo em..., presrever os valores e no intervalo pretenio e substituir os valores orresponentes e na equação e equilíbrio e momentos para obter a relação aproimaa momento-urvatura, M-... Seção retangular e betão armao em fleão omposta Em fleão omposta o eio neutro poe loalizar-se na seção, para valores moeraos o esforço aial, ou fora a seção, quano o esforço aial é elevao. Em fleão omposta a orenaa é efinia e forma iferente o ponto anterior, e aoro om a Fig. 6: a partir o boro superior a seção om o sentio iniao na Fig.6. Valores negativos e orresponem a seção traionaa. Valores e superiores a orresponem a seção om tensões apenas e ompressão. Com < < e amitino a ipótese e Bernoulli e seções planas após eformação, a etensão em qualquer ponto a seção poe ser alulaa por: Na eq. (6) o sinal negativo onfigura trações e etensões positivas abaio o eio neutro. A tensão no betão, onsierano ao por (6) e afetao o sinal negativo em (7), é alulaa por: (5) (6) 6

7 Enontro Naional, Betão Estrutural 6 f k k (7) a na st A s s,ma a F s F st A s b Strains Etensões iagram Fores Tensões iagram e forças Figura 6. Proprieaes e orenaas e seção em fleão omposta. A tensão a eq. (7) é multipliaa pela função e Heavisie H, anulano as tensões e tração no betão: H, om se e se (8) A integração as tensões e ompressão no betão,, entre os limites e, fornee a força e ompressão, F a eq. (9). O momento e F em relação ao entro e graviae a seção estabelee a eq. (): C F b H M C b H Seno as etensões nas armauras e tração, st, e e ompressão, s, alulaas por ; s a a st é possivel alular as forças nas armauras pelas epressões (9) () () Fst Ast st ; Fs As s () one st e s em () e () são forneios pela lei onstitutiva (). Os momentos as forças as eqs. () poem ser alulaos em relação a um eio situao a meia altura (M st = F st (-/) e M s = F s (/-a)) bem omo o momento prouzio pela força no betão F. Desta forma é possivel esrever o equilíbrio a seção soliitaa pelo esforço aial N e momento fletor M tomao a meia altura a seção: FC Fs Fst N M C Ms Mst M () O sistema não linear () poe ser resolvio por um métoo numério apropriao, omo o e Newton- Rapson []. Eistem uas opções: fiar o valor N e resolver o sistema relativamente a M e, omo em [7,8], para valores presritos e no intervalo em análise; inrementar N e M proporionalmente a um parâmetro omo nas eqs. (4), om o parâmetro a variar entre (M=) e (N=), N Nrot M Mrot om N b f rot f.5.5 sy M rot Ast As fsy Ast fsy b f aas b f As fs y bf (4) 7

8 Pero Dias Simão, Helena Barros, Carla Ferreira, Tatiana Marques A urva M- obtém-se resolveno o sistema (): resolveno a equação e equilíbrio o esforço aial e introuzino a solução na epressão e equilíbrio os momentos fletores. O sistema () epene as granezas (M, N,, ) ou (,,, ) se N e M variarem proporionalmente. Fiano uas estas granezas, N e ou e, obtêm-se as urvas M- presreveno valores e N ou. O valor iniial aotao na resolução o sistema não linear é, omo já foi ito, o valor e alulao quano se amitem os materiais em regime linear e elástio, a que orresponente o menor valor e no intervalo em análise. O organigrama o programa para o traçao as urvas M- em fleão omposta enontra-se na Fig. 7. Figura 7. Organigrama e análise e seção retangular em fleão omposta..4. Generalização a seções em T Os proeimentos apresentaos em. e. para o traçao a relação M - em seções retangulares poe ser generalizaa a seções om outras geometrias, omo seções em T ou H. Ilustra-se aqui a aaptação o proeimento à seção em T a Fig. 8: na resultante as tensões no betão; no entro geométrio a seção situao à istânia as fibras superiores a partir o qual é efinia a orenaa. Assume-se que o betão o banzo e largura b f está too omprimio. A resultante as tensões no betão e o respetivo momento relativamente ao entro e graviae a seção são alulaos, respetivamente, por (7) e (8): f (7) F b H b H C f w f f (8) M b H b H C f w f bf f - w As Figura 8. Proprieaes e orenaas a seção em T sob fleão omposta. bw.5. Formulação aproimaa para fleão omposta Utilizano uma estratégia análoga à o ponto... e onierano k= na lei o betão e aço em regime elástio, o equilíbrio e forças na seção retangular sujeita a N (positivo se ompressão) e M onuz a: 8

9 Enontro Naional, Betão Estrutural 6 bf bf aa E A E A E A E N (8) s s s s st s st s O resto o proeimento é análogo ao utilizao em... Aaptação similar poe ser feita no aso o aço traionao se enontrar em regime plástio, omo em.... EXEMPLOS E ESTUDOS PARAMÉTRICOS Os proeimentos esritos anteriormente, programaos no Matematia [6], foram apliaos às seções as Figs. 9 e. A seção a Fig. 9 foi analisaa em [8]. Os resultaos estão esritos nos pontos. para a seção retangular e em. para a seção em T. 85 a G =66 As 5 Ast 8 A st Figura 9. Seção retangular analisaa em. (mm). Figura. Seção em T analisaa em. (mm)... Eemplo : Seção retangular A seção é onstituia por C, om as araterístias meânias seguintes: f 8MPa ; E ; GPa ; ; k.6. As araterístias meânias o aço são: ; ; u.5. fsy 45MPa Es GPa sy =f sy /E s =.75; f su /f sy =.5; ; E s,pl /E s =.45 O reobrimento a armaura é a=,5m suk, 5 e a altura útil =,45m. A área e aço traionao é A, onstituía por 4, orresponeno st 5. a uma perentagem meânia e t = A st / b =.. Consieram-se ois valores para a área e aço omprimio: aso A om A s = ; aso B om A s =5. e = A st / A =.. Para aa um estes asos usam-se 7 valores o esforço aial, entre -5kN e 4kN. A Fig. mostra a influênia o esforço aial na relação M -. A urvatura varia entre e.4 ra/m. Os pontos assinalaos a negro iniam a rotura o betão, om etensão igual a u, emonstrano a limitação resente imposta pela rotura o betão à apaiae e rotação a seção om o aumento o esforço aial. Amitino a armaura plastifiaa om f sy =45 MPa, e aoro om..7 o EC [5]: Ast fsy rot.69 m.8bf Mrot.8 rot b f.4 rot kN.m (9) Na Fig., em fleão pura o momento fletor máimo é e 7.98 knm para Es, pl 95.5MPa e E s,pl /E s =.45. Com E s,pl =, o momento fletor máimo é e 65.7 knm, muito próimo os valores a epressão (9). A onsieração e E s,pl, omo iniao em [5] aumenta a apaiae resistente a seção ao momento fletor e,9%. A Fig. mostra a influênia o esforço aial na relação M - para o aso B (igual área e aço em tração e ompressão). Verifia-se que a resitênia ao momento fletor aumentou relativamente ao aso a Fig., para as mesmas forças aiais e a apaiae e rotação 9

10 Pero Dias Simão, Helena Barros, Carla Ferreira, Tatiana Marques iminuiu fortemente pela iminuição a etensão máima no betão evio à presença a armaura e ompressão. Neste aso não oorre rotura pelo betão, no intervalo e rotações analisao. Figura. Influênia o esforço aial na relação M -, no aso A, om C. Figura. Influênia o esforço aial na relação M -, no aso B, om C. A Fig. mostra a influênia a área e aço à ompressão na relação M - para o aso e fleão pura, mostrano a poua influênia a armaura e ompressão na resistênia a seção omo seria e esperar. A resistênia ao momento fletor é pouo influeniaa pela a introução e armaura e ompressão quano o esforço aial é elevao, mas, a apaiae e rotação aumenta, omo enunia a Fig. 4. Na Fig. 4, tal omo na Fig., os pontos assinalaos a negro iniam a rotura o betão que oorre om etensão igual a u. O aumento a área e armaura e ompressão esloa os pontos a rotura o betão no sentio a maior rotação a seção. Os resultaos obtios om as formulações analítias aproimaas em.. poem ser omparaos om os resultaos teórios o ponto.., a nível a urva M - e a profuniae o eio neutro. No aso a fleão pura a omparação é feita nas Figs. 5 e 6, onsierano a simplifiação om o aço em regime elástio (ponto...) ou om o aço em regime plástio (ponto...) sem enureimento. Os resultaos teórios orresponem ao uso a lei e Riar e Abbott a eq. (), om enureimento ao pelo moulo plástio E s,pl nulo ou E s,pl =.45 E s. Figura. Influênia a área e aço omprimia na relação M - (N= kn). Figura 4. Influênia a área e aço omprimia na relação M - (N=4 kn). A omparação as Figs. 5 e 6 atestam a programação esenvolvia nos intervalos e variação a urvatura, pois para o betão C o valor e k=,6 é pratiamente oiniente om as formulações analítias aproimaas one k=. No aso a mesma seção transversal mas om betão C5 (om f 58MPa ; E 7GPa ; u.5 ;.45 ; k.64), a omparação entre os resultaos teórios e os aproimaos é feita nas Figs. 7 e 8.

11 Enontro Naional, Betão Estrutural 6 Figura 5. Valor teório e simplifiao a profuniae o eio neutro, N=, sem aço à ompressão e C. Figura 7. Valores teórios e simplifiaos e, N=, sem aço à ompressão e C5. Figura 6. Valor teório e simplifiao o momento fletor M, N=, sem aço à ompressão e C. Figura 8. Valores teórios e simplifiaos e M, N=, sem aço à ompressão e C5... Eemplo : Seção em T A seção em T tem a geometria a Fig. em que G loaliza o entro e graviae a seção e betão. O betão é a lasse C. O betão e o aço têm as proprieaes já iniaas no ponto anterior. A área e armaura traionaa é Ast = 5. realizaa por 4 5, a que orrespone uma perentagem meânia e = Ast / A =.68. Consierou-se variação o esforço aial entre -kn e kn. As Figs. 9 e esrevem as relações profuniae o eio neutro-urvatura e momento-urvatura para os 8 valores o esforço aial iniaos. A etensão última no aço, s,uk, é atingia nos pontos assinalaos a inzento e verifia-se antes a etensão última o betão, u, assinalaa pelos pontos negros. Figura 9. Influênia o esforço aial (asos a 8) na relação -, na seção em T a Fig.. Figura. Influênia o esforço aial (asos a 8) na relação M -, na seção T a Fig..

12 Pero Dias Simão, Helena Barros, Carla Ferreira, Tatiana Marques 4. CONCLUSÕES Neste trabalo foi esenvolvia uma estratégia para álulo a relação M - e seções e betão armao onsierano no betão a lei onstitutiva não linear iniaas no EC para análise estrutural, e no aço a formulação ontínua e Abbott e Riar. Esta função aproima as leis bi-lineares om e sem enureimento e omputaionalmente é mais efiiente que a lei onstitutiva bilinear. A formulação foi esenvolvia no Matematia, mas poe ser failmente aaptaa a qualquer linguagem omputaional. O sistema e equações teórias eatas é resolvio numeriamente para seções retangulares e em T submetias a fleão simples ou omposta e poe ser generalizao a seções om outras geometrias. O proeimento utilizao na resolução o sistema não linear e equações teórias eatas poe traçar relações M - om inlinações negativas que surgem para valores elevaos as rotações, a que orrespone a etensão última o material, bem omo poe onsierar a resistênia o betão à tração. As urvas M - obtias poem ser usaas para moelar seções e peças sujeitas a argas ílias e aproimano as urvas e momento-urvatura por funções o tipo e Abbott e Riar, o omportamento não linear as seções poe ser inluio na análise global e peças e betão armao, nomeaamente pilares. Simplifiano a lei onstitutiva o betão, através a lei polinomial quano se onsiera k = em toas as lasses e betão, obteve-se o sistema e equações e a respetiva solução analítia para os asos etremos as armauras em regime elástio e em regime plástio perfeito. As soluções aproimaas e teórias foram omparaas. 5. AGRADECIMENTOS Este trabalo foi finaniao pela Funação para a Ciênia e a Tenologia através o projeto UID/MULTI/8/. REFERÊNCIAS [] Favre R; Koprna M; Putallaz JC (98) Deformations of onrete strutures: teoretial basis for te alulation. IABSE Perioia Vol.8, pp -4. [] Espion B; Halleu (988) Moment urvature relationsip of reinfore onrete setions uner ombine bening an normal fore. Materials an Strutures Vol., N. 5, pp 4 5. [] Walter R; Mielbrat M (99) Dimensionnement es strutures en béton Bases et tenologie. Traité e Génie Civil e l Eole Polytenique Féérale e Lausanne, Vol. 7. [4] Fantilli A; Ferretti D; Iori I; Vallini P (998) Fleural Deformability of Reinfore Conrete Beams. ASCE, Journal of Strutural Engineering, Vol. 4, N. 9, pp [5] EN 99--; Eurooe (4) Design of onrete strutures Part -: General rules an rules for builings. [6] Wolfram Corp. () Matematia version 8. Campaign (IL): Wolfram Corp. [7] Con M Z; Gos S K (97). Te fleural utility of reinfore onrete setions. International Assoiation for Brige an Strutural Engineering - IABSE Report, Vol., pp [8] Bate KJ; Walzak J; Wel A; Mistry N (989) Nonlinear analysis of onrete strutures. Computers & Strutures, Vol., N /4, pp [9] Riva P; Con MZ (988) Design ais for retangular reinfore onrete setions uner ombine bening an aial fores. Canaian Journal of Civil Engineering, Vol. 5, pp [] Riva P; Con MZ (99) Engineering approa to nonlinear analysis of onrete strutures. ASCE, Journal of Strutural Engineering, Vol. 6, N. 8, pp [] Spaone E; Ciampi V; Filippou F (99) A beam element for seismi amage analysis. Report n. UCB/EERC-9/7, Berkeley: Eartquake Engineering Resear Center, College of Engineering.

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