M. Plank 539 lisar mais profunamente o signifiao o oneito e entropia. Uma iniaο~ao sobre o aminho a seguir nos é forneia ao se examinar a insustentabi

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1 538 Revista Brasileira e Ensino e F sia, vol. 22, no. 4, Dezembro, 2 Sobre a Lei e Distribuiο~ao e Energia no Espetro Normal Λ M. Plank I Introuο~ao As meias espetrais reentes realizaas por O. Lummer e E. Pringsheim e aquelas, aina mais notáveis, e H. Rubens e F. Kurlbaum 2, onfirmam ambasumresultao estabeleio anteriormente por H. Bekmann 3. Elas mostram que a lei a istribuiο~ao e energia no espetro normal, iniialmente estabeleia por W. Wien a partir e onsieraο~oes e inétia moleular ee- uzia, em seguia, por mim mesmo, a partir a teoria a raiaο~ao eletromagnétia, n~ao tem valiae universal. Em aa um esses asos, a teoria neessita e uma orreο~ao. Tentarei, no que se segue, fazer isto, baseano-me na teoria a raiaο~ao eletromagnétia que eu mesmo esenvolvi. Será neessário iniar, ent~ao, na seqü^enia e raio nios que onuzem a lei a istribuiο~ao e energia e Wien, o argumento a ser moifiao; este argumento everá ser ent~ao abanonao e substitu o e forma apropriaa. Mostrei, em minha última exposiο~ao sobre o assunto 4, que as bases f sias a teoria a raiaο~ao eletromagnétia, e inlusive a hipótese a raiaο~ao natural" 5, resistem as r tias mais severas. Como, e aoro om meu onheimento, os álulos n~ao apresentam erros, fia estabeleio que a lei a istribuiο~ao e energia no espetro normal se torna inteiramente eterminaa quano se poe alular a entropia S e um ressonaor raiante, osilano e maneira monoromátia, em funο~ao e sua energia e osilaο~ao U. Obtém-se, ent~ao, a partir a relaο~ao S=U = =, a epen^enia a energia U em funο~ao a temperatura. Como, por outro lao, uma relaο~ao simples 6 liga a energia U e a ensiae e raiaο~ao a freqü^enia e osilaο~ao orresponente, oorre o mesmo om a epen^enia a ensiae e raiaο~ao em funο~ao a temperatura. A istribuiο~ao e energia normal é, ent~ao, aquela para a qual as iferentes ensiaes e raiaο~ao, orresponeno as iferentes freqü^enias e osilaο~ao, possuem a mesma temperatura. Assim too o problema se resume a enontrar S em funο~ao e U, e o essenial a análise que se segue é onsagrao a soluο~ao essa quest~ao. Em meu primeiro estuo esse assunto, tinha, sem outra justifiativa, oloao S omo seno, por efiniο~ao, uma funο~ao simples e U,ehavia me ontentao, em seguia, em provar que esta forma a entropia satisfazia toas as exig^enias impostas pela termoin^amia. Pensavaent~ao que ela era a únia express~ao poss vel, e, portanto, que a lei e Wien, que se seguia iretamente ela, possu a neessariamente uma valiae universal. Um exame ulterior mais aprofunao 7 mostroume que evia haver outras express~oes satisfazeno as exig^enias, e que uma oniο~ao suplementar é neessária para se alular S sem ambigüiae. Areitava ter enontrao esta oniο~ao afirmano oque, a époa, me pareia plaus vel e eviente a esolha seguinte na presenοa e perturbaο~oes irrevers veis, pequenas e onstantes, um sistema omposto e N ressonaores i^entios, oloaos em um mesmo ampo estaionário e raiaο~ao, e enontrano-se nas vizinhanοas o equil brio térmio, verá aumentar sua entropia total S N = NS em funο~ao apenas e sua energia total U N = NU e e suas variaο~oes, sem que intervenha a a energia U os ressonaores iniviuais. Esta afirmaο~ao onuz neessariamente a lei e istribuiο~ao e energia e Wien. Mas, omo essa n~ao éverifiaa experimentalmente, somos levaos a onluir que este prin pio n~ao poe ser orreto em sua inteireza, e que a teoria eve ser moifiaa. 8 Deve-se, portanto, introuzir uma outra oniο~ao para permitir o álulo e S e, para isso, eve-se ana- Λ Artigo publiao no Annalen er Physik 4, (9), em que a iéia e quantizaο~ao e energia é aprimoraa e álulos mais elaboraos s~ao apresentaos em relaο~ao a sua omuniaο~ao e 4 e ezembro e 9 numa sess~ao a Aaemia Alem~a e Físia, publiaa em Verhanlungen en Deutshen Physialishen Gessellshaft B. 2, (9). Trauο~ao e Ileu e Castro Moreira. O. Lummer e E. Pringsheim, Verh. Deutsh. Phys. Ges. 2, 63 (9) 2 H. Rubens e F. Kurlbaum, Stizungber.. k. Wissensh. (Berlim), sess~ao e 25 e outubro, p. 929 (9). 3 H, Bekmann, Tese, Tübingen, 898. Ver também H. Rubens, Wie. Ann. 69, 582 (899). 4 M. Plank, Ann.. Physik, 79 (9) 5 Raiaο~ao o orpo negro, N.T. 6 Ver também a Eq. (8) abaixo. 7 M. Plank, op. it. p. 73 e seguintes. 8 Compare-se isto om as r tias já provoaas por esta afirmaο~ao ver W. Wien [Rapport au Congres e Paris 2, p. 4, 9] e O. Lummer [i. 2, p. 92, 9].

2 M. Plank 539 lisar mais profunamente o signifiao o oneito e entropia. Uma iniaο~ao sobre o aminho a seguir nos é forneia ao se examinar a insustentabiliae as suposiο~oes anteriores. No que vem a seguir, exploramos uma via que onuz a uma express~ao simples para a entropia e onseqüentemente a uma nova fórmula para a raiaο~ao, que paree n~ao estar em ontraiο~ao om vários os resultaos experimentais hoje observaos. II Cálulo a Entropia e um Ressonaor em Funο~ao a Energia. A entropia epene a esorem, e esta esorem, e aoro om a teoria a raiaο~ao eletromagnétia para osilaο~oes monoromátias e um ressonaor, quano ele se enontra em um ampo e raiaο~ao permanentemente estaionário, epene as irregulariaes pelas quais ele varia onstantemente em amplitue e fase ese que onsieremos intervalos e tempo granes em relaο~ao a uraο~ao e uma osilaο~ao, mas pequenos em relaο~ao a uraο~ao e uma meia. Se amplitue e fase fossem ambas absolutamente onstantes, as osilaο~oes se tornariam perfeitamente homog^eneas, a entropia n~ao poeria existir e a energia e osilaο~ao everia poer se transformar livre e ompletamente em trabalho. A energia onstante U e um ressonaor iniviual osilano e maneira estaionária eve ser onsieraa omo um valor méio no tempo ou, o que que á no mesmo, omo o valor méio as energias e um grane número N e osilaores i^entios, entro o mesmo ampo estaionário e raiaο~ao, sufiientemente afastaos uns os outros para n~ao se influeniarem mutuamente. É nesse sentio que nos referiremos a energia méia U e um únio ressonaor. Ent~ao, a energia total U N = NU () e um tal sistema, formao por N ressonaores, orrespone uma erta entropia total S N = NS (2) o mesmo sistema, em que S representa a entropia méia e um ressonaor partiular. Esta entropia S N epene a esorem om a qual a energia total U N se reparte entre os iferentes ressonaores iniviuais. 2. Consieremos agora que a entropia S N o sistema é, a menos e uma onstante aitiva arbitrária, proporional ao logaritmo a probabiliae W, seno que os N ressonaores t^em toos em onjunto a energia total U N S = k(log W ) + onst (3) No funo, esta relaο~ao se torna, me paree, uma efiniο~ao a probabiliae W, porque, nas hipóteses sobre as quais se baseia a teoria a raiaο~ao eletromagnétia, nenhuma iniaο~ao nos permite ar a esta probabiliae um sentio ou outro. Convém utilizar esta efiniο~ao por sua simpliiae, e também pela sua onex~ao ntima om um teorema a teoria inétia os gases Importa agora enontrar a probabiliae W, e moo que os N ressonaores possuam em onjunto a energia total U N. Para isto, será neessário que U N n~ao seja uma quantiae ont nua, infinitamente ivis vel, mas antes uma graneza isreta, omposta e um número inteiro e partes finitas iguais. Denominemos " a tal parte elementar e energia; teremos, portanto U N = P"; (4) one P representa um número inteiro, em geral grane. Deixaremos, no momento, ineterminao o valor e ". É eviente que agora a istribuiο~ao os P elementos e energia entre os N ressonaores só poe oorrer seguno um número finito e eterminao e maneiras. Chamaremos aa uma estas repartiο~oes e um omplexo" [omplexion], seguno o termo utilizao por Boltzmann para uma noο~ao semelhante. Se esignarmos os ressonaores pelos números, 2, 3,..., N, se os esrevermos uns em seguia aos outros, e se, ebaixo e aa ressonaor, oloarmos o número e elementos e energia que lhes s~ao atribu os quano e uma repartiο~ao arbitrária, obtemos para aa omplexo um par~ao a seguinte forma Fizemos a suposiο~ao aqui e que N =, P =. Onúmero R e toos os omplexos poss veis évisivelmente igual ao número e toos os arranjos poss veis e números que se poe obter para a linha inferior, quano N e P forem fixos. Para sermos preisos, notemos que ois omplexos evem ser onsieraos omo istintos se apresentarem os mesmos números, mas ispostos em orem iferente. A análise ombinatória nos iz que o número e omplexos poss veis é R = N(N + )(N +2)(N + P ) 23P = (N + P )! (N )!P! 9 L. Boltzmann, Sitzungber.. k. Wissensh. zu Wien (Anais as sess~oes a Aaemia Imperial e Ci^enias e Viena), (II) 76, 428 (877).

3 54 Revista Brasileira e Ensino e F sia, vol. 22, no. 4, Dezembro, 2 De aoro om a fórmula e Stirling temos, em primeira aproximaο~ao N! =N N ; e, onseqüentemente, entro essa aproximaο~ao R = (N + P )N+P N N P P 4. Ahipótese sobre a qual queremos basear os álulos a seguir poe ser assim enuniaa a probabiliae W para que os ressonaores possuam em onjunto a energia e osilaο~ao U N eve ser proporional ao número R e toos os omplexos poss veis formaos pela repartiο~ao a energia U N entre os N ressonaores. Em outros termos, um omplexo qualquer é t~ao provável quanto qualquer outro. Se essa hipótese éveraeira- mente realizaa na natureza, em última análise só aex- peri^enia poe eiir. Se, e fato, a experi^enia eiir a seu favor, a valiae esta hipótese everá onuzir anovas onlus~oes no om nio espe fio as osilaο~oes os ressonaores, notaamente sobre o aráter inifereniao as élulas o espaοo e fases e graneza iniialmente omparáveis" que aparee aqui, para retomar os termos e J. v. Kries. Prosseguir, ontuo, entro esta via e reflex~ao, paree prematuro no estao atual a quest~ao. 5. De aoro om a hipótese introuzia em onex~ao om a Eq. (3), a entropia o sistema e ressonaores sob onsieraο~ao, epois a eterminaο~ao aequaa a onstante aitiva, é e, onsierano (4) e () S N = k log R = k f(n + P ) log(n + P ) N log N P log P g ; (5) ff S N = kn ρ( + U" ) log( + U" ) U" log(u" ) Ent~ao, e aoro om a Eq. (2), a entropia S e um ressonaor omo funο~ao a sua energia U será aa por ff S = k ρ( + U" ) log( + U" ) U" log(u" ) (6) III Introuο~ao a Lei e Desloamento e Wien 6. Em seguia ao teorema e Kirhhoff a proporionaliae o poer emissivo e absortivo, a hamaa lei o esloamento, esoberta e batizaa por W. Wien, que inlui omo um aso espeial a lei e Stefan-Boltzmann a epen^enia a raiaο~ao total om a temperatura, fornee a ontribuiο~ao mais valiosa aos funamentos firmemente estabeleios a teoria a raiaο~ao térmia. Na forma aa por M. Thiesen, ela é assim expressa E = 5 ψ( ) ; em que é o omprimento e ona, E representa a ensiae volumétria a raiaο~ao o orpo negro" 2 entro a regi~ao espetral e +, representa a temperatura, e ψ(x) é uma erta funο~ao o argumento x apenas. 7. Desejamos agora examinar o que a lei e esloamento e Wien afirma sobre a epen^enia a entropia S e nosso ressonaor em relaο~ao a sua energia U e seu per oo arater stio, partiularmente no aso geral em que o ressonaor esteja situao em um meio iatérmio arbitrário.com este objetivo, generalizamos em seguia a forma a lei e Thiesen para a raiaο~ao em um meio iatérmio arbitrário om a veloiae a luz. Dese que n~ao temos que onsierar a raiaο~ao total, mas somente a raiaο~ao monoromátia, será neessário introuzir a freqü^enia, em vez o omprimento e ona, para omparar iferentes meios iatérmios. Vamos esignar, ent~ao, por u a ensiae volumétria e energia a raiaο~ao orresponente as freqü^enias e +, om as substituiο~oes u por E, = por e = 2 por. Chegamos ent~ao a u = 5 2 ψ Ora, a lei bem onheia e Kirhoff-Clausius nos iz que a energia emitia por uniae e tempo por uma superf ie negra em um meio iatérmio é, para Joh. v. Kries, Die prinipien er Wahrshleinlihkeitsrehnung (Os prin pios o álulo as probabiliaes) p. 36, Freiburg, (886). M. Thiessen, Verh. Deutsh. Phys. Ges. 2, 67 (9). 2 Poer-se-ia falar, e maneira mais apropriaa, e raiaο~ao brana", generalizano onvenientemente o que se hama habitualmente e luz perfeitamente brana.

4 M. Plank 54 uma temperatura eumnúmero e onas ao, inversamente proporional ao quarao 2 a veloiae e propagaο~ao a luz. A ensiae espaial e energia é portanto inversamente proporional a 3 e obtemos 5 u = 2 3f em que as onstantes a funο~ao f s~ao inepenentes e. Em lugar isso, poemos esrever, se f sempre esignar, no que se segue, uma nova funο~ao e um só argumento 3 3 u = f ; (7) na qual reenontramos o resultao bem onheio que a energia raiante u 3, ontia em um ubo e um omprimento e onas a uma aa temperatura e freqü^enia, é a mesma para toos os meios iatérmios. 8. Para passar agora a ensiae espaial e raiaο~ao u para a energia U e um ressonaor estaionário s nrono om o ampo e raiaο~oes one se enontra, om o número e ona, utilizaremos a fórmula (34) e minha exposiο~ao 3 sobre os proessos raiantes irrevers veis < = 2 2 U (< é a intensiae e uma raiaο~ao monoromátia, polarizaa linearmente); o que, junto om a equaο~ao bem onheia u = 8ß < á a relaο~ao u = 8ß2 U (8) 3 Da e e (7), resulta U = f ; em que n~ao aparee mais expliitamente. Em lugar isto poemos esrever também = f U 9. Vamos introuzir finalmente a entropia S o ressonaor, oloano = S U (9) Resulta que eintegrano S U = f U S = f U ; () ou seja, a entropia e um ressonaor osilano em um meio iatérmio epene apenas a variável U=, en~ao ontém naa além o que onstantes universais. Essa é, a meu onheimento, a forma mais simples a lei o esloamento e Wien.. Se apliamos a lei o esloamento e Wien, sob a última forma, a express~ao (6) a entropia S, nos amos onta que o elemento e energia " eve ser proporional ao número e osilaο~oes, e que portanto Assim ρ S = k + U log h " = h + U h U U ff h log h em que h e k s~ao onstantes universais. Substituino em (9), obtém-se = k h log U = + h U ; h e h=k ; () e, a partir e (8), obtemos a lei e istribuiο~ao e energia prouraa» u = 8ßh3 3 e h=k (2) Ou aina, se substituirmos o número e onas pelo omprimento e ona e, om a ajua a relaο~ao iniaa no item 7, temos E = 8ßh 5» e h=k 3 M. Plank, Ann. Phys., 99 (9).

5 542 Revista Brasileira e Ensino e F sia, vol. 22, no. 4, Dezembro, 2 Quanto as express~oes para a intensiae e para a entropia e uma raiaο~ao se propagano em um meio iatérmio, e a lei o aumento a entropia total, em proessos e raiaο~ao n~ao estaionários, eu os esenvolverei em outro artigo. IV Valores Numérios. Os valores as uas onstantes naturais h e k poem ser eterminaos e maneira bastante preisa om a ajua as meias ispon veis. F. Kurlbaum 4 enontrou que, se esignamos S t omo a energia total raiaa no ar por m 2 e um orpo negro, levao a uma temperatura e t graus ent graos, urante um seguno S S =; 73 Watt=m 2 =7; 3 5 erg=m 2 s Da se obtém a ensiae espaial a energia total a raiaο~ao no ar a temperatura absoluta 4 7; ( )=7; 6 5 erg=m 3 grau 4 Por outro lao, seguno (2), a ensiae espaial a energia total raiaa é, para = e, por integraο~oes suessivas u = Z = 8ßh u = 8ßh 3 6 u = 8ßh 3 Z Z 3 3 e h=k 3 he h=k + e 2h=k + e 3h=k + h 4+ k i ßk 4 = ; h 3 Se oloarmos isto igual a 7; 6 5, obtemos, om =3 k 4 h 3 =; (3) 2. O. Lummer e E. Pringsheim 5 eterminaram que o prouto m, em que m é o omprimento e ona o máximo a istribuiο~ao em E no ar e a temperatura, vale 294 μ.grau. Ou aina, em uniaes absolutas m =; 294 mgrau Por outro lao, e (3), quano iguala-se a zero a erivaa e E em relaο~ao a, em que = m, tem-se h 5k m exp h k m = e esta equaο~ao transenental fornee Segue-se que m = h 4; 96k h 4; 965 ; 294 = =4; 866 k 3 Da e e (4) enontram-se os valores as onstantes naturais h =6; ergs; k =; erg=grau Estes s~ao os mesmos valores iniaos em minha omuniaο~ao anterior. 4 F. Kurlbaum, Wie. Ann. 65, 759 (898). 5 O. Lummer e E. Pringsheim, Verh. Deutsh. Phys. Ges. 2, 76 (9).