UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM MATEMÁTICA O Uso de Desigualdades a Resolução de Problemas Alessadro Moteiro de Meezes MANAUS 04

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM MATEMÁTICA Alessadro Moteiro de Meezes O Uso de Desigualdades a Resolução de Problemas Trabalho de Coclusão de Curso apresetado ao Programa de Mestrado Profissioal em Matemática da Uiversidade Federal do Amazoas, como requisito parcial para obteção do título de Mestre em Matemática Orietador: Prof Dr Nilomar Vieira de Oliveira MANAUS 04

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4 ALESSANDRO MONTEIRO DE MENEZES O USO DE DESIGUALDADES NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Trabalho de Coclusão de Curso apresetado ao Programa de Mestrado Profissioal em Matemática da Uiversidade Federal do Amazoas, como requisito parcial para obteção do título de Mestre em Matemática Aprovado em 5 de Setembro de 04 BANCA EXAMINADORA Prof Dr Nilomar Vieira de Oliveira Presidete Prof Dr Raul Rabello Mesquita Membro Prof Dr Marcus Atôio Medoça Marrocos Membro

5 AGRADECIMENTOS A Deus, por me icluir em Seus sohos e plaos, por permitir que eu o cohecesse verdadeiramete e por me coceder mais essa vitória A miha mãe, Maria do Rosário da Silva Moteiro, que, pela busca excessiva do bem de seus filhos lutou e sofreu para criar-os e educar-os, torado-se crucial para que eu percebesse a ecessidade de estudar de verdade e, com isso, poder retribuir uma pequea fração de tudo que ela já fez por mim A miha avó i memoriam), Marcelia da Silva Moteiro, por tudo que me esiou, pela experiêcia de vida que me passou e por ter me ajudado em muitos mometos difíceis da vida equato Deus a permitiu estar aqui Ao meu tio, Joaquim Moteiro Filho, por ter pago a taxa da miha iscrição o vestibular em 005, valor que ão tíhamos, e me possibilitou a chace de igressar a uiversidade A miha esposa, Ivete Arruda Moteiro, por ter aparecido a miha vida em um mometo em que eu estava ficado sem forças para sohar, por ter ivestido espiritualmete em mim com seus otáveis cohecimetos cristãos e experiêcia de vida e me fazer escrever uma lista de sohos em 008, ajudado-me a dar os primeiros passos, depois de priorizar uma vida com Cristo, para coquistar cada um deles Ao meu orietador Prof Dr Nilomar Vieira de Oliveira, por sempre acreditar em meu potecial, pela paciêcia em me coduzir ao logo de cada dúvida que surgiu este trabalho, pela liberdade e ajuda que me deu a escolha do tema e por seus cometários e sugestões que foram iestimáveis Ao Prof Dr Reato de Azevedo Tribuzy, por ter sido meu orietador e formador a graduação durate três aos do programa PIBIC; programa que me deu uma sólida formação e amadurecimeto em Matemática as áreas de Aálise Real e Aplicações, Álgebra Liear e Aplicações, Álgebra Pura e Geometria Euclidiaa Plaa, agregado cohecimetos que favoreceram imesamete para que eu pudesse passar sem dificuldades as ove disciplias cursadas o PROFMAT

6 Ao Professor Dr Raul Rabello Mesquita, pela forma como coduziu, a graduação, as disciplias: Estruturas Algébricas, Geometria I e Geometria II, pois isso foi um dos "clicks" para adquirir o amadurecimeto ecessário a fim de igressar o mestrado acadêmico aida durate a graduação Ao CNPQ e à CAPES por um somatório de cico aos de bolsas de estudos Por último, mas ão meos importate, a todos os meus professores de graduação os aos de 008 a 009, pois foram quatro períodos espetaculares Ao meu amigo Fábio Costa, e a todas as pessoas que, de forma direta ou idireta, cotribuíram para o desevolvimeto deste trabalho

7 Somete Deus é a solução Nossas vidas poderiam ser comparadas a uma grade equação a qual todos os dias tetamos ecotrar pequeas e grades raízes O fato é que a equação que se compara à ossa vida hoje, pode ter um grau a mais ou a meos amahã, e somos pequeos demais para sempre sabermos extrair as raízes corretas Poderíamos passar a vida iteira ecotrado soluções que só favorecem a ós mesmos, pois achamos que a equação é ossa e podemos solucioá-la sempre do osso próprio jeito No etato, ão fomos ós quem a criamos Quem criou, já criou sabedo todas as raízes e implicações Quem criou já sabia que por causa das ossas decisões, o grau ou a quatidade de raízes, falsas ou verdadeiras, poderia aumetar ou dimiuir a cada dia Quem criou sabe de forma perfeita a melhor solução para cada implicação de sua equação Não sei qual é a sua situação hoje, talvez você esteja a dias tetado ecotrar raízes de ode é impossível extrair Talvez você esteja ecotrado as raízes de um outro cojuto uiverso, muito loge do uiverso de Deus Talvez você esteja tão vazio que a sua equação o mometo é de grau zero Não importa em que icógita, grau ou coeficietes você esteja, ão importa a sua situação, Deus tem uma solução perfeita de hoje em diate para a sua equação Etregue sua vida de uma vez por todas a Deus, pois Ele é o úico que pode preecher o que está faltado em você A solução da sua, da miha e de todas equações do mudo todo é do tamaho de Deus Só Ele é capaz de resolver Ele tem as verdadeiras respostas para cada um de ós, mas precisamos pertecer totalmete a Ele Etregue-se a Deus e tudo estará resolvido pois Ele já lhe criou com as respostasalessadro Moteiro - /0/03)

8 RESUMO As Desigualdades Matemáticas, que quase ão são abordadas o Esio Fudametal e Médio mas que podem ser muitas vezes até mais importates que as igualdades, são de extrema importâcia para vários ramos da Matemática, tais como Álgebra, Trigoometria, Geometria e Aálise, e costituem-se também ferrametas muito poderosas para a resolução de problemas de olimpíadas, demostração de desigualdades geométricas, cálculo de máximos e míimos e cálculo de limites Neste trabalho são apresetadas de forma clara e cocisa algumas desigualdades matemáticas que ão precisam de estudos avaçados a área para serem compreedidas Uma mete com algum treiameto para o raciocíio lógico-matemático, um breve cohecimeto da matemática formal, de álgebra e geometria plaa são totalmete suficietes São apresetadas e demostradas: A Desigualdade Triagular, Desigualdade das Médias, Desigualdade de Beroulli, Desigualdade Cauchy - Schwarz, Desigualdade do Rearrajo, Desigualdade de Tchebishev, Desigualdade de Jese, Desigualdade de Youg, Desigualdade de Hölder, Desigualdade de Mikowski e a Desigualdade de Schür Ao fial do trabalho, aproveitamos algumas destas desigualdades para defiir o úmero de Euler e mostrar a divergêcia da série harmôica Selecioamos, também, algus problemas que estudates do esio básico ficam iibidos de solucioá-los por ão cohecer tais desigualdades e que só apredem a resolver com o cohecimeto de Derivadas quado chegam o esio superior Etre eles, ecotramse questões de olimpíadas iteracioais, problemas de otimização e como ecotrar a equação da reta tagete a uma elipse através da Desigualdade das Médias e de Cauchy Palavras-chave: Desigualdades Matemáticas, Máximos e Míimos, Problemas de Olimpíadas, Cálculo de Limites

9 ABSTRACT The mathematical iequalities, which are almost ot discussed i elemetary ad high school, but that ca be eve more importat tha the equalities, are extremely importat to several parts of Mathematics, such as algebra, trigoometry, geometry ad aalysis, ad also costitute very powerful tools to the resolutio of Olympiad problems, demostratio of geometrical iequalities, maximum ad miimum calculatio ad limit calculatio This paper presets, i a clear ad cocise way, some of the mathematical iequalities that do ot require advaced studies i the area to be uderstood A mid with some traiig i math logical thikig, a superficial kowledge of formal mathematics, algebra ad plae geometry are eough The paper presets ad demostrates: the Triagle Iequality, Iequality of Arithmetic ad Geometric Meas, Beroulli s Iequality, Cauchy-Schwarz Iequality, Rearragemet Iequality, Chebyshev s Iequality, Jese s Iequality, Youg s Iequality, Hölder s Iequality, Mikowski Iequality ad Schür s iequality At the ed of this paper, we take some of these iequalities to defie the Euler s costat ad to show the harmoic series divergece We also selected some problems that primary educatio studets are ihibited to solve for ot kowig such iequalities ad who oly lear how to solve them with the learig of Derivative i higher level educatio There ca be foud, amog them, iteratioal Olympiad questios, optimizatio problems ad how to fid the equatio of taget lie to a ellipse through the Iequality of Arithmetic ad Geometric Meas ad the Cauchy-Schwarz Iequality Keywords: Mathematical Iequalities, Maxima ad Miima, Olympiad Problems, Limits Calculatio

10 LISTA DE SÍMBOLOS N Cojuto dos úmeros aturais Q Cojuto dos úmeros racioais I Cojuto dos úmeros irracioais R Cojuto dos úmeros reais P Cojuto dos úmeros reais positivos x Valor absoluto de x = Igual Diferete > Maior < Meor Maior ou igual Meor ou igual MQ Média Quadrática MA Média Aritmética MG Média Geométrica MH Média Harmôica Somatório variado de a i= AB AB A BC Segmeto AB Medida do segmeto AB Medida do âgulo ABC se θ Seo do âgulo θ cos θ Cosseo do âgulo θ S Área de um Triâgulo p Perímetro l x Logarítmo atural de x lim x Limite de x com tededo ao ifiito max {a, a, a 3,, a } Maior elemeto de {a, a, a 3,, a } mi {a, a, a 3,, a } Meor elemeto de {a, a, a 3,, a } Idica o fim de uma demostração

11 Sumário Itrodução Desigualdades Básicas Relações de Ordem os Números Reais Valor Absoluto 5 3 Desigualdade Triagular 5 4 A Fução Quadrática 8 5 Uma Desigualdade Fudametal 9 Desigualdades Numéricas Desigualdade das Médias Com duas e três variáveis Geeralização 6 Desigualdade de Beroulli 8 3 Desigualdade de Cauchy-Schwarz 4 Desigualdade do Rearrajo 6 5 Desigualdade de Tchebishev 8 6 Desigualdade de Jese 3 7 Desigualdade de Youg 33 8 Desigualdade de Hölder 34 9 Desigualdade de Mikowski 35 0 Desigualdade de Schür 36 3 Algumas Aplicações de Desigualdades 38 3 Cálculo de Máximos e Míimos 38 3 Problemas de Olimpíadas Desigualdades Geométricas Cálculo de Limites O Número e 57 Cosiderações Fiais 69

12 Referêcias Bibliográficas 70 A Euciados e demostrações de teoremas auxiliares 7 A Desidade do Cojuto I em R 7 A Teorema de Bolzao - Weirstrass 73 A3 Teorema do Cofroto 73

13 Itrodução Neste trabalho apresetamos algumas desigualdades matemáticas e suas aplicações, tema que é muito amplo e também muito importate para vários ramos da Matemática e áreas afis A escolha do tema teve como pricipal objetivo cotribuir com aluos e professores do esio fudametal e médio devido à existêcia de pouco material dispoível sobre o assuto, pricipalmete em lígua portuguesa Ele foi dividido em três capítulos No primeiro, falamos sobre algumas desigualdades básicas, começado pela Relação de Ordem os Números Reais e termiado com uma apresetação geométrica da Desigualdade das Médias No segudo, é apresetada de uma maeira mais formal e algébrica a Desigualdade das Médias e sua geeralização, seguida de outras Desigualdades muito importates, a Desigualdade de Beroulli, Desigualdade Cauchy - Schwarz, Desigualdade do Rearrajo, Desigualdade de Tchebishev, Desigualdade de Jese, Desigualdade de Youg, Desigualdade de Hölder, Desigualdade de Mikowski e a Desigualdade de Schür E fialmete, o último capítulo, apresetamos algumas aplicações destas desigualdades como poderosas ferrametas o cálculo de máximos e míimos, problemas de olimpíadas, desigualdades geométricas e cálculo de limites, icluido, este último tópico, a defiição do úmero e, mais cohecido como Número de Euler e uma demostração da divergêcia da Série Harmôica

14 Capítulo Desigualdades Básicas Relações de Ordem os Números Reais Uma importate propriedade dos úmeros reais é que ele tem uma ordem que os permite comparar dois úmeros reais e decidir qual deles é maior, ou se são iguais Isso porque R é um corpo ordeado Assim, sedo R + o cojuto dos elemetos positivos de R, três propriedades devem ser satisfeitas: Axioma Dado x R, existe um subcojuto P R, e ocorre exatamete uma das três alterativas: i) x = 0, ii) x P x > 0), iii) x P x > 0) Esse cojuto P é chamado cojuto dos úmeros reais positivos e deotado por R + E valem as seguites propriedades: ) A soma de dois elemetos positivos é sempre positiva, ou seja, x, y R + = x + y R + Isto é: x > 0, y > 0 = x + y > 0) ) O produto de dois elemetos positivos é sempre positivo, isto é, x, y R + x y R + Em símbolos : x > 0, y > 0 x y > 0)

15 Idicado-se com R o cojuto dos úmeros egativos de R, ou seja, os elemetos x, ode x R +, temos que R = R + R {0} Agora, dados x, y R, podemos defiir a relação x é maior que y simbolicamete: x > y), da seguite maeira: x > y x y) R + Aalogamete, a relação x é meor que y simbolicamete: x < y) é defiida assim x < y y x) R + Propriedade Sejam w, x, y, z R, as seguites desigualdades são sempre verdadeiras: i) Ocorre exatamete uma das seguites possibilidades: x = y, ou x < y ou x > y ii) x < y, y < z x < z iii) x < y x + z < y + z iv) x < y, z > 0 xz < yz e x < y, z < 0 xz > yz v) x < 0, y < 0 xy > 0 vi) x < 0, y > 0 xy < 0 vii) x < y, w < z x + w < y + z viii) x < y y < x ix) x > 0 x > 0 x) x < 0 x < 0 xi) x > 0, y > 0 x y > 0 xii) 0 < x < y, 0 < w < z xw < yz xiii) x > x > x xiv) 0 < x < x < x xv) x > 0, y > 0 e x < y x < y 3

16 Demostração das quatro primeiras e da última propriedade: Demostração i) Tricotomia) Sejam x, y R Ou y x = 0, ou y x P, ou y x P isto é, x y P ) Logo, temos as seguites possibilidades: x = y, ou x < y ou x > y que se excluem mutualmete pela proposição ii) Trasitividade) Se x < y e y < z etão podemos afirmar que y x P e z y P Pela proposição, temos que y x) + z y) P, isto é, z x P Logo, x < z iii) Mootoicidade da Adição) Se x < y etão y x P Mas, y + z) x + z) = y x P O que sigifica que x + z < y + z iv) Mootoicidade da Multiplicação) Se x < y e z > 0 etão y x P e z P Assim, temos, pela proposição 3, que y x) z P, ou seja, y z x z) P, o que implica em x z < y z Caso cotrário, se x < y e z < 0, etão y x P e z P Desta forma, ovamete pela proposição 3, temos que y x) z) P, isto é x z y z) P, o que implica em x z > y z xv) Se x > 0, y > 0 e x < y etão x+y P e y x P Como y x = y+x)y x), etão y x P Logo, x < y 4

17 Valor Absoluto Defiição O valor absoluto de um úmero real x é deotado por x, e é defiido por { x = x se x 0, x se x < 0 Geometricamete x é distâcia do úmero x até a origem E x y é a distâcia etre os úmeros x e y Propriedade Sejam x, a e b úmeros reais, é sempre verdade que: i) x 0, com igualdade quado x = 0 ii) x = x iii) x x iii) x b b x b iv) x = x v) ab = a b vi) a b = a b, b 0 3 Desigualdade Triagular A desigualdade triagular afirma que para qualquer par de úmeros a e b, a + b a + b Além disso, a igualdade ocorre se, e somete se ab 0 Demostração ) Como ambos os lados da desigualdade são positivos, etão pelo item xv) da propriedade basta mostrarmos que a + b a + b ) 5

18 Vejamos: a + b = a + b) = a + ab + b = a + ab + b a + ab + b, pois ab ab = a + a b + b = a + b ) Ou seja, a + b a + b ) No caso de ser ab 0 teremos ab = ab = a b Logo, ocorrerá igualdade ) Temos que { { a a a a e b b b b Assim, por adição obtemos que { a + b a + b, a + b a + b) Mas isso implica, pelo item iii) da propriedade, que a + b a + b E se for ab 0, etão podemos ter a 0 e b 0 ou a 0 e b 0 No primeiro caso teremos cosequetemete que a = a, b = b e a + b = a + b, ou seja, ocorrerá a igualdade O segudo caso implicará que a = a, b = b e a + b = a + b), ou seja, também teremos igualdade Portato, a + b a + b, com igualdade se, e somete se, ab 0 A forma geral da Desigualdade Triagular para úmeros reais a, a,, a, é a + a + + a a + a + + a e sua demostração pode ser feita usado idução sobre Teorema Sejam x,y e z úmeros reais arbitrários, é sempre válido que: i) x y x y x y ; ii) x z x y + y z ; iii) x + y + z + x + y + z x + y + x + z + y + z 6

19 Demostração i) Se x y etão x y = x y Caso cotrário, se x < y etão x y > x y Logo, sempre é válido que x y x y Pela Desigualdade Triagular, temos x = x y) + y x y) + y, ou seja x y x y Temos também y = y x) + x y x) + x, o que resulta em y x y x Como x y = y x etão y x x y, isto é, x y x y ) Assim temos x y ) x y x y Logo, pelo item iii) da propriedade 5, podemos cocluir que x y x y Portato, para quaisquer úmeros reais x, y e z, sempre é verdade que x y x y x y ii) Como x z = x y) + y z), etão pela Desigualdade Triagular temos que x z = x y) + y z) x y) + y z) iii) Se x, y ou z for igual a zero, a desigualdade segue Vamos etão assumir que x y z > 0 Temos, pelo item vi) da proposição 5, que = x + y + z + x + y + z x + y x + z y + z x + y x + z + + y + z + y y x x x x x + z + z x x Como y e x z x, etão + y = + y x x e z + = + z x x Assim, temos = + y x + z + + y + z + y y x x x x x + z + z x x + y x + z + y x x + z ) + y + z y x x x x + z x Mas, + y x + z x + y x + z ) x e y + z y x x x + z Logo, x + y x + z x + y x + z ) + x y x + z y x x + z 0 x E disso segue que x + y + z + x + y + z x + y x + z y + z 0 Ou seja, x + y + z + x + y + z x + y + x + z + y + z 7

20 4 A Fução Quadrática A Fução Quadrática cuja lei de formação é pode apresetar-se também sob a forma Pois, fx) = ax + bx + c, ode a 0, b, c R, fx) = a x + b ) a 4a, ode = b 4ac ax + bx + c = a x + b a x + c ) a = a x ba b + x + 4a b 4a + c ) a ) = a x ba b b + x + a 4a 4a c ) a = a x + b ) ) b 4ac a 4a = a x + b ) a 4a E com essa forma fica mais acessível falar sobre máximos e míimos desta fução O valor míimo ou máximo, da fução quadrática é o meor ou maior, respectivamete, valor possível que f pode assumir quado fazemos x percorrer o cojuto dos úmeros reais Sedo a > 0, podemos otar que quato meor for o valor de x + b ), meor também a será o valor de f Como x + b ) 0, etão seu valor míimo é zero e isso ocorre quado a x = b b Similarmete, quado a < 0 o valor máximo de f é obtido para x = a a Exemplo Se x, y são úmeros positivos com x + y = a, etão o produto xy é máximo quado x = y = a Se x + y = a, etão y = a x Assim, xy = x a x) = x + ax = x a) + a e tem valor máximo quado x = a, ou seja, x = y = a 8

21 Exemplo Na figura abaixo ABCD é um retâgulo iscrito detro do círculo de raio r Ecotre as dimesões que os dão a maior área possível do retâgulo ABCD Figura : Retâgulo iscrito o círculo λ Como a área do retâgulo é A = x y = 4xy e y = r x, etão temos também que A = 4x r x Podemos, sem muita dificuldade, os covecermos de que as dimesões, que os dão o valor máximo de A, são as mesmas que os dão o valor máximo de A Assim, temos fx) = A = 6r x 6x 4 = 6 ) x r + 4r 4 E disso temos também que A é máximo quado x = r Como y = r x = r r = r, logo as dimesões pedidas são de um quadrado de lado r 5 Uma Desigualdade Fudametal A primeira desigualdade que cosideraremos, fudametal para a resolução de problemas, é a desigualdade etre a Média Aritmética MA) e a Média Geométrica MG) de dois úmeros ão egativos a e b que é dada por a + b ab, com igualdade se, e somete se, a = b Os úmeros a + b e ab são chamados de Média Aritmética e Média Geométrica de a e b, respectivamete E para demostrarmos esta desigualdade basta otarmos que 9

22 a + b ab = a + b ab com igualdade quado a = b, ou seja, a = b = a b ) 0 Observação A demostração desta desigualdade também pode ser feita usado propriedades geométricas Vejamos: Cosidere o semicírculo costruído abaixo com a = BD, b = DC e diâmetro BC = a + b Figura : Triâgulo iscrito Seja A o poto ode a perpedicular a BC em D itercepta este semicírculo, com AD = h Seja também E o poto de ecotro da projeção perpedicular de OD sobre o raio AO e a e b as projeções de AB e AC sobre BC, respectivamete Como os triâgulos ABD e CAD são semelhates, pois ambos são retos em D e os âgulos CÂD e A BD são cogruetes, etão h b = a h h = ab Como os triâgulos AOD e ADE também são semelhates, pois são retos em D e E e são cogruetes os âgulos AÔD e A DE, etão g ab = ab a+b Mas, g h a + b Logo, a + b g = ab a + b = a + b ) ab a + b A igualdade ocorrerá quado o poto O coicidir com o poto D Ou seja, quado a = b Nota: O úmero é chamado de Média Harmôica MH) etre a e b a + b 0

23 Capítulo Desigualdades Numéricas Apresetaremos a partir daqui, usado ideias simples e algus passos lógicos, resultados sobre desigualdades de rara elegâcia e muito importates para vários ramos da Matemática Desigualdade das Médias Com duas e três variáveis Veremos agora as desigualdades Aritmética, Geométrica, Harmôica e Quadrática, muito utilizadas a resolução de problemas Teorema Sejam a, b R + Os úmeros MQ = a + b, MA = a + b, MG = ab e MH = +, a b são chamados respectivamete de médias, quadrática, aritmética, geométrica e harmôica dos úmeros a e b, e é válido que Ocorredo igualdade se, e somete se, a = b MQ MA MG MH Demostração Primeiramete vamos provar que M Q M A

24 Sedo a, b R + temos que a b) 0 a ab + b 0 a + b ab a + b ) a + b + ab a + b ) a + b) a + b ) 4 a + b a + b a + b) 4 ) a + b a + b A igualdade ocorrerá se, e somete se, a b = 0, ou seja, a = b Temos também que a b) 0 a ab + b 0 a + b ab a + b ab Assim, temos que MA MG, ode a igualdade ocorre se, e somete se, a b = 0, isto é, a = b Fialmete provaremos que MG MH Para isso, otemos que a b) 0 a + b ab ab a + b ab ab a + b ab + a b Com igualdade se, e somete se, a b = 0, isto é, a = b Da mesma forma, para a, b, c R +, podemos defiir respectivamete de médias, quadrática, aritmética, geométrica e harmôica dos úmeros a, b e c, os úmeros: MQ = a + b + c, MA = a + b + c, MG = abc e MH = + + a b c

25 E de forma similar ao Teorema 3 temos, para três variáveis, o Teorema abaixo: Teorema Sejam a, b, c R + tais que MQ = a + b + c 3, MA = a + b + c, MG = 3 abc e MH = a b c Etão MQ MA MG MH Ocorredo igualdade se, e somete se, a = b = c Faremos somete a demostração da parte MA MG, mas faremos de uma forma especial Vejamos: Demostração A fim de remover a raiz cúbica, façamos a = x 3, b = y 3, c = z 3 Assim, precisamos mostrar que Ou seja, x 3 + y 3 + z 3 xyz 3 x 3 + y 3 + z 3 3xyz 0 Sedo x + y + z) x + y + z xy xz yz ) = x 3 + y 3 + z 3 3xyz, ) o que pode facilmete ser verificado fazedo a multiplicação dos termos do primeiro membro, e como a, b, c são ão egativos, etão x + y + z também é E desta forma, é suficiete mostrarmos que x + y + z xy xz yz 0 Mas, como é válido que x y) 0, x z) 0, y z) 0 Ou seja, x + y xy, x + z xz, y + z yz Etão, somado-se estas três desigualdades, membro a membro, obtemos: x + y + z ) xy + xz + yz) 3

26 Logo, x + y + z xy xz yz 0, como queríamos E a igualdade ocorrerá se, e somete se, x y) = 0, x z) = 0, e y z) = 0, o que equivale a x = y = z Isto é, a = b = c Observação Existem outras maeiras de verificar a validade da desigualdade ) Usado Fatorações: x 3 + y 3 + z 3 3xyz = x + y) 3 3xyx + y) + z 3 3xyz Usado Determiates: = x + y) 3 + z 3 3xyx + y) 3xyz = x + y + z) 3 3x + y)zx + y + z) 3xyx + y) 3xyz = x + y + z) 3 3x + y)zx + y + z) 3xyx + y + z) = x + y + z) [ x + y + z) 3x + y)z 3xy ] = x + y + z) [ x + y + z) 3xz 3yz 3xy ] = x + y + z) x + y + z xy xz yz ) Como um determiate ão se altera se substituímos uma liha com sua soma por duas outras, etão x y z x + y + z) x + y + z) x + y + z) z x y = z x y y z x y z x Logo, x 3 + y 3 + z 3 3xyz = x + y + z) x + y + z xy yz xz ) A desigualdade etre as médias também é válida para um úmero arbitrário de variáveis e existem dezeas de formas de fazer esta demostração Nossa demostração está baseada o lema apresetado e demostrado logo abaixo Vale ressaltar que a desigualdade etre as médias é de extrema importâcia para demostrar outras desigualdades mais complicadas e também para ecotrar máximos e míimos de expressões 4

27 Lema Se a, a,, a são úmeros reais positivos tais que a a a =, etão a + a + + a Valedo a igualdade se, e somete se, a = a = = a = Demostração Vamos provar isso por idução sobre Vejamos: Para =, a desigualdade é verdadeira pois se a = etão a Se = etão a a =, e como a + a a a, uma vez que a a ) 0, etão temos também que a + a Supohamos que a desigualdade seja válida para = k, isto é, para úmeros reais arbitrários e positivos a, a,, a k tais que a a a k = seja válido que a + a + + a k k, com igualdade se, e somete se, a = a = = a k = Vamos mostrar que ela também é válida para = k + Sedo os úmeros reais arbitrários e positivos a, a,, a k, a k+ tais que a a a k a k+ =, temos dois casos a cosiderar: i) Se todos os úmeros forem iguais, ou seja, se a = a = = a k = a k+, etão teremos a = a = = a k = a k+ =, pois por hipótese estamos supodo que a a a k = E este caso a desigualdade é claramete satisfeita ii) Se em todos os úmeros forem iguais, como ão podemos ter todos os úmeros meores que e em maiores que, uma vez que o produto deles é igual a, etão existirá etre eles um que é meor e outro que é maior que Assim, supodo sem perda de geeralidade que a < e a > Pela hipótese de idução, se para a sequêcia de k termos a a, a 3,, a k, a k+ acotecer que a a ) a 3 a k a k+ = etão, a a + a a k + a k+ k, ode ocorre igualdade se, e somete se, a a = a 3 = = a k = a k+ Desta forma, temos que a + a + + a k+ = a + a + + a k + a k+ + + a a a a = a a + a a k + a k+ + + a a a + a = a a + a a k + a k+ + + a ) a ) k + + a ) a ) > k +, pois a ) > 0 e a ) > 0 A igualdade ocorrerá se, e somete se, a a = a 3 = = a k = a k+ = e a ) a ) = 0, ou seja, a = a = a 3 = = a k = a k+ = Logo, devido ao pricípio de idução matemática, temos a demostração desejada 5

28 Geeralização Teorema 3 Desigualdade das Médias) Sejam a, a,, a úmeros reais positivos Os úmeros MQ = a + a + + a, MA = a + a + a a MG = a a a e MH = a + a + + a são chamados respectivamete de médias quadrática, aritmética, geométrica e harmôica dos úmeros a, a,, a, e é válido que MQ MA MG MH Com igualdade se, e somete se, a = a = = a Demostração Primeiramete vamos provar que MA MG, isto é, a + a + a a Seja MG = a a a a a a Temos, = a a a MG a = MG a MG a MG Mas isso implica que a MG a MG a MG que = Logo, pelo lema demostrado acima, temos a MG + a MG + + a MG Ou seja, a + a + a a a a a a Com igualdade se, e somete se, MG = a MG = = a MG, isto é, a = a = = a Mostraremos agora que MG MH, ou seja a a a a + a + + a 6

29 Por MA MG temos que Assim, temos que A igualdade ocorrerá se, e somete se, a a a a a = a a a a a a a + a + + a Por último, para mostrarmos que MQ MA usaremos que a a = a = = a, ou seja, a = a = = a Vejamos: a i a j ) 0 a i a j a i + a j ) MA) a + a + + a = = a + a + + a + a a + a a a a a + a + + a + a + a ) + a + a 3) + + a + a ) = a + a + + a ) = a + a + + a = MQ) Logo, MQ MA e a igualdade ocorrerá se, e somete se, a = a = = a Portato, para toda coleção de úmeros reais positivos a, a,, a é sempre válido que MQ MA MG MH E, além disso, a igualdade ocorrerá se, e somete se, a = a = = a 7

30 Desigualdade de Beroulli Teorema 4 Desigualdade Geeralizada de Beroulli) Sejam x i, i =,,,, úmeros reais com o mesmo sial, maiores que - Etão temos que + x ) + x ) + x ) + x + x + + x ) Demostração Faremos a demostração por idução sobre Para = temos que + x + x Supohamos que para = k, e úmeros arbitrários x i, maiores que, i =,,, k, com o mesmo sial, a desigualdade seja válida, ou seja + x ) + x ) + x k ) + x + x + x k 3) Para = k +, e x i >, i =,,, k, k +, arbitrários de mesmo sial, temos que x + x + + x k )x k+ 0 4) Mas, por 3) e 4) temos também que + x ) + x ) + x k ) + x k+ ) + x + x + + x k ) + x k+ ) = + x + x + + x k + + x + x + + x k )x k+ + x + x + + x k+ Portato, a desigualdade é válida para = k +, o que completa a demostração Corolário Desigualdade de Beroulli) Seja N e x > Etão + x) + x Demostração Fazedo x = x = x = = x a desigualdade 3), obtemos + x) + x Uma outra forma de demostrarmos esta desigualdade é otado que se 0 < a < b e N, tal que, etão a b a b a 8

31 Visto que b a b a = b + b a + + ba + a a + a + + a = a Basta tomarmos b = + x e a =, pois a b a b a + x) + x) + x) x + x) + x Note aida que o fato de ser b > 0, implica também em x > e x 0, pois a b, o que faz a demostração ser completa Observação Este corolário Desigualdade de Beroulli para N) pode aida ser demostrado pela desigualdade MA MG, e também por derivadas Os próximos dois corolários são extesões do corolário 3 Beroulli) Corolário Seja x > e r, r Q Etão + x) r + rx Demostração Seja r = m, ode mdcm, ) = Como r, etão temos que m > Fazedo a = a = = a = + rx e a + = a + = = a m = Temos: Se + rx 0, etão ão há o que fazer Assim, supodo que + rx > 0 e usado que MA MG temos que + x = mx + m m = rx + m m = + rx + m m = a + a + + a + a a m m m a a a m = m + rx) = + rx) m = + rx) r = + rx) + m m Mas isso equivale a dizer que + x) r + rx, o que queríamos demostrar Corolário 3 Seja x > e α R Se 0 < α <, etão + x) α + αx, e, se α < 0 ou α >, etão + x) α + αx, ode a igualdade ocorrerá se, e somete se, x = 0 9

32 Demostração Supohamos que α seja um úmero racioal tal que 0 < α < Assim, tomado-se α = m, ode m e são iteiros positivos e m <, teremos, pela hipótese de ser + x > 0 e também pela desigualdade MA MG, que + x) α = + x) m = + x) m m = + x) + x) + x) }{{}} {{ } m m + x) + + x) x) m + x) + m = = + mx = + m x = + αx Assim, + x) α + αx, e a igualdade ocorrerá quado todos os fatores da desigualdade forem iguais, ou seja, + x) =, x = 0 Com isso demostramos a primeira parte da desigualdade para o caso de α ser um úmero racioal Supohamos agora que α seja irracioal e que 0 < α < Como o cojuto dos úmeros irracioais é deso em R, etão deve existir uma sequêcia r = r, r,, r, ) de úmeros racioais com 0 < r < tal que lim r = α Desta forma, pelo que foi demostrado ateriormete para expoetes racioais, temos que E com isso, teremos + x) r + r x, x, =,, 3, + x) α = lim + x) r lim + r x) = + αx Com isso, vamos agora mostrar que para valores irracioais de α, ode 0 < α < e x 0, acotece que + x) α < + αx, ou seja, se x 0 etão ão ocorre igualdade Para isso, tomemos um úmero racioal r tal que α < r < Como 0 < α r demostrado, temos que + x) α α r + r x O que implica em + x) α + α r x ) r <, etão, pelo que já foi 0

33 E sedo x 0, temos aida que + α ) r r x α < + r x = + αx, ou seja, r + x) α < + αx Assim, o teorema fica demostrado para o caso em que x e 0 < α < Vamos mostrar agora sua validade para o segudo caso Seja α R tal que α < 0 ou α >, se + αx < 0, etão temos claramete a desigualdade satisfeita, uma vez que o primeiro membro é ão-egativo equato, o segudo é egativo Se, porém, + αx 0, ou seja, αx, teremos: Se α >, etão pelo que foi demostramos a primeira parte, será válido que Ou seja, + αx) α + αx = + x α + x) α + αx, ode a igualdade ocorrerá para x = 0 E se for α < 0 Se + αx < 0, etão a desigualdade é evidete Se + αx 0, etão tomado-se um úmero positivo Z tal que α <, ovamete pelo que foi demostrado a primeira parte do teorema teremos + x) α α x + x) α α x + x) α + α x, ode a última desigualdade deve-se ao fato de α x > 0 Pois, α x 0 α x 0 α x + α ) x α ) x α x + α x Logo, sabedo-se que + x) α α + x, elevado-se a ambos os membros e usado o

34 corolário 3, obteremos que + x) α + α x ) + α x = + αx Notemos que a igualdade ocorrerá se, e somete se, x = 0, e isso completa a demostração do teorema 3 Desigualdade de Cauchy-Schwarz A Desigualdade de Cauchy - Schwarz é uma das mais importates e utilizadas em toda a Matemática Ela tem muitas geeralizações, etre elas destacamos a desigualdade de Hölder, apresetada um pouco mais à frete Teorema 5 Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam a, a,, a e b, b,, b úmeros reais Etão temos que ie i= a i ) i= b i ) ) a i b i, a +a + +a )b +b + +b ) a b +a b + +a b ) A igualdade ocorre se, e somete se, as sequêcias a, a,, a ) e b, b,, b ) são proporcioais, ie a = a = b b = a b Demostração Cosidere o triômio a i x b i ) Como a i x b i ) 0 etão 0 Mas, i= a i x b i ) i= a i x b i ) = i= a i x a i b i x + b i ) = x a i x a i b i + i= i= i= b i i= Assim, para esse triômio ser ão-egativo para qualquer x R, o discrimiate ão pode ser positivo Ou seja, ) 4 a i b i 4 i= i= E isso implica em a i ) ) 0 i= b i

35 ) a i b i i= i= a i ) a desigualdade desejada A igualdade ocorre se e somete se a i x b i = 0, com i =,,,, ou seja, a b = a b = = a b i= b i ), Observação 3 Se fizermos b = b = b = ecotramos a desigualdade MA MG Corolário 4 Sejam a, b, x, y úmeros reais com x, y > 0 Etão temos que ) a x + b y a + b) x + y ) a x + b y + c z a + b + c) x + y + z Demostração ) Partido do pricípio que ay bx) 0 para todo a, b, x, y reais Temos a desigualdade satisfeita, pois ay bx) 0 a y abxy + b x 0 a y + b x abxy a xy + a y + b x + b xy a xy + abxy + b xy a yx + y) + b xx + y) xya + b) a y + b x)x + y) xya + b) a y + b x xy a x + b y a + b) x + y a + b) x + y A igualdade ocorrerá se ay = bx, ou seja, a x = b y Uma outra demostração seria otar que a+b) = ) a b x x + y e que pela Desigual- y dade de Cauchy-Schwarz ) a ) b a x x + y y x + b x + y) y ) Aplicado duas vezes a desigualdade ) demostrada acima, temos 3

36 a x + b y + c z a + b) x + y + c z a + b + c) x + y + z Com igualdade se, e somete se, a x = b y = c z Corolário 5 Sejam a, a,, a, b, b,, b úmeros reais tais que b, b,, b > 0 Etão i) a b + a b + + a b a + a + + a ) b + b + + b, ii) a b + a b + + a b a + a + + a ) a b + a b + + a b, iii) a b + a b + + a b a + a + + a a + a + + a ) b b b Com igualdades se, e somete se, a b = a b = = a b Demostração i) Por idução sobre ) Esta desigualdade é uma geeralização do corolário aterior Para =, temos claramete desigualdade satisfeita Supohamos que para úmeros reais arbitrários a, a,, a k ; b, b,, b k com b, b,, b k > 0, seja válido que a b + a b + + a k b k a + a + + a k ) b + b + + b k 5) Ou seja, a desigualdade seja válida para = k Temos, a b + a b + + a k b k + a k+ b k+ a + a + + a k ) b + b + + b k + a k+ b k+ Pelo resultado ) do corolário 3, temos também que Logo, a + a + + a k ) b + b + + b k + a k+ b k+ a + a + + a k + a k+ ) b + b + + b k + b k+ a b + a b + + a k+ b k+ a + a + + a k+ ) b + b + + b k+ 4

37 Isto é, a desigualdade também é válida para = k+ Portato, é sempre válida para N Com igualdade se, e somete se, a = a = = a b b b Vale relatar que, com esta desigualdade, podemos fazer outra demostração da Desigualdade de Cauchy-Schwarz, pois a + a + + a = a b + a b b b + + a b b a b + a b + + a b ) b + b + + b E isso implica diretamete que a + a + + a )b + b + + b ) a b + a b + + a b ) ii) Por i) temos a + a + + a = a + a + + a b b b a b a b a b a + a + + a ) a b + a b + + a b iii) Também é uma cosequêcia direta de i), pois a b + a b + + a b = a b a + a b a + + a b a a + a + + a a b + a b + + a b ) Observação 4 Estas três desigualdades também são chamadas de Desigualdades de Cauchy- Schwarz a forma Egel Corolário 6 Sejam a, a,, a ; b, b,, b úmeros reais Etão a + b + a + b + + a + b a + a + + a ) + b + b + + b ) 5

38 Demostração Por idução sobre ) Para = ão há o que demostrar Para = a desigualdade é válida, pois pela Desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que a + b ) a + b ) a a + b b ) a + b a + b a a + b b ) a + b a + b a a + b b a + b + a + b a + b + a + b a + a a + a + b + b b + b ) a + b + a + b a + a ) + b + b ) a + b + a + b a + a ) + b + b ) Supodo a desigualdade válida para = k, ou seja, a + b + a + b + + a k + b k a + a + + a k ) + b + b + + b k ) Para = k +, temos que E isso completa a demostração a + b + a + b + + a k + b k + a k+ + b k+ a + a + + a k ) + b + b + + b k ) + a k+ + b k+ a + a + + a k+ ) + b + b + + b k+ ) 4 Desigualdade do Rearrajo A Desigualdade do Rearrajo tem muitas aplicações e a partir dela podemos provar algumas desigualdades famosas, tais como a Desigualdade das Médias M A M G, a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, a Desigualdade de Nesbitt e a Desigualdade de Tchebyshev, apresetadas em sua sequêcia e que serão demostradas Teorema 6 Desigualdade do Rearrajo) Sejam a a a e b b b coleções de úmeros reais Para qualquer reordeação a, a,, a ) de a, a,, a ), temos que a b + a b + + a b a b + a b + + a b 6) a b + a b + + a b 7) 6

39 Além disso, as igualdades em 6) e 7) ocorrerão respectivamete se, e somete se, a, a,, a ) = a, a,, a ) e a, a,, a ) = a, a,, a ) Demostração Seja S = a b + a b + + a b Como existem fiitas!) reordeações de a, a,, a ), etão uma delas tora S máxima Supohamos que seja x, x,, x ) a reordeação que tora S máxima, provaremos que x, x,, x ) = a, a,, a ) Para isso, basta mostrarmos que x x x Sedo assim, supoha que existam ídices r < s, r e s, tais que x r > x s Multiplicado-se x r por a s e x s por a r, a variação de S será de a r x s + a s x r a r x r + a s x s ) Ou seja, a r a s )x s x r ) Mas a r a s )x s x r ) > 0, e isso implica que S aumeta, o que cotraria o fato de ser x, x,, x ) a reordeação que tora S máxima Assim, temos que x x x e disto resulta que x, x,, x ) = a, a,, a ) Portato, o maior valor possível para S é a b + a b + + a b, ou seja, a b + a b + + a b a b + a b + + a b De forma similar prova-se que o valor míimo de S é a b + a b + + a b, o que completará a demostração Corolário 7 Para qualquer reordeação a, a,, a ) de a, a,, a ), segue que a + a + + a a a + a a + + a a Demostração É uma cosequêcia direta do teorema, pois basta fazer a desigualdade 6), a i = b i para todo ídice i, i ) Corolário 8 Para qualquer reordeação a, a,, a ) de a, a,, a ), segue que a a + a a + + a a Demostração Também é cosequêcia direta Pois, tomado-se a desigualdade 6), b i = a i para todo ídice i, com i, obtemos a desigualdade desejada 7

40 5 Desigualdade de Tchebishev Teorema 7 Desigualdade de Tchebishev) Sejam a a a e b b b Etão temos que ) ) a i b i i= i= isto é, a i b i, a + a + + a ) b + b + + b ) a b + a b + + a b ) Com igualdade se, e somete se, a = a = = a ou b = b = = b Demostração ) Usado a Desigualdade do Rearrajo) Aplicado a desigualdade do rearrajo várias vezes, obtemos i= a b + a b + + a b = a b + a b + + a b, a b + a b + + a b a b + a b a b, a b + a b + + a b a b 3 + a b a b, a b + a b + + a b a b + a b + + a b, Adicioado-se membro a membro todas estas desigualdades obtemos, portato, a b + a b + + a b ) a + a + + a )b + b + + b ) Ode a igualdade ocorrerá se, e somete se, a = a = = a ou b = b = = b Demostração ) Pela hipótese de ser a a a e b b b podemos otar que para todo i, j {,,, } temos que a i a j )b i b j ) 0, ou seja, Com isso, gahamos que a i b i + a j b j a i b j + a j b i 8

41 ) ) a i b i i= i= = a b + a b + a b 3 + a b a b + a b + a b + a b 3 + a b a b + a 3 b + a 3 b + a 3 b 3 + a 3 b a 3 b + a 4 b + a 4 b + a 4 b 3 + a 4 b a 4 b + a b + a b + a b 3 + a b a b a b + a b + a b + a b + a b + a 3 b 3 + a b + a 3 b 3 + a 3 b 3 + a b + a 4 b 4 + a b + a 4 b 4 + a 3 b 3 + a 4 b 4 + a 4 b 4 + a b + a b + a b + a b + a 3 b 3 + a b + + a b = a i b i i= Ocorrerá igualdade se, e somete se, ocorrer igualdade a desigualdade a i a j )b i b j ) 0, isto é, a = a = = a ou b = b = = b Observação 5 A Desigualdade de Tchebishev também é verdadeira para o caso de termos a a a e b b b Porém se for a a a e b b b e vice-versa), etão teremos ) ) a i b i i= i= a i b i i= Vamos agora dar a defiição de Fução Covexa e em seguida apresetar mais duas belas desigualdades, a Desigualdade de Jese e a Desigualdade de Youg, muito úteis a resolução de problemas de olimpíadas 9

42 Fução Covexa Defiição Fução Covexa) Uma fução f : [a, b] R é chamada covexa o itervalo I = [a, b] se para todos x, y I e todo t [0, ] tivermos f t) x + ty) t) f x) + tf y) Geometricamete, o sigificado desta desigualdade é que o gráfico de f etre os potos x e y está abaixo do segmeto que ue os potos x, f x)) e y, f y)) Figura : Fução Covexa Propriedade Se f é covexa em [a, b], etão para todos x, y [a, b], temos que ) x + y f f x) + f y)) Demostração Fazedo t = a defiição temos a desigualdade desejada, pois ) x + y f = f ) x + ) y ) f x) + f y) = f x) + f y)) Observação 6 Uma fução f : [a, b] R é dita côcava se, e somete se, f t) x + ty) t) f x) + tf y) para todo t [0, ] e a x < y b 30

43 Exemplo A fução expoecial fx) = e x é covexa em R Pois, dado t [0, ] Multiplicado-se a desigualdade e t)x+ty t)e x + te y por e ty t)x, obtemos que e t)x+ty t)e x + te y te t)y x) + t)e ty x) 8) Agora, como é válido que e x + x para todo x R, etão temos Mas isso implica em e t)y x) + t)y x) e e ty x) ty x) te t)y x) + t)e ty x) t + t)y x)) + t) ty x)) = Logo, por 8) temos que a fução defiida por fx) = e x é covexa em R Observação 7 Uma maeira de verificar a validade da igualdade e x + x para todo x R, é otado que o gráfico de fx) = e x fica acima do gráfico de gx) = + x, ocorredo iterseção somete o poto 0, ), o que faz com que ocorra igualdade o poto x = 0 Outra, seria provado que fx) = e x x 0 para todos os valores reais de x Para isso, ote que f x) = e x = 0 quado x = 0 Assim, x = 0 é o úico valor crítico para fx) Sedo f x) = e x cotíua e também positiva em x = 0, pelo Teste da Derivada da Seguda temos que fx) tem um míimo local em x = 0, e este é também míimo global por haver um úico poto crítico Portato, f0) = 0 é o valor míimo global de fx), implicado em fx) = e x x 0 para todo x real, ou seja, e x + x para todo x R Exemplo A fução logarítmica defiida por fx) = l x é côcava em R Demostração Usado o fato de que a fução expoecial é covexa, veja exemplo aterior, temos que e t) l x+t l y t) e l x + t e l y = t) x + t y = e l t) x+t y) De ode segue que l t) x + t y) t) l x + t l y Portato, a fução logarítmica defiida por fx) = l x é côcava 3

44 6 Desigualdade de Jese Teorema 8 Desigualdade de Jese) Seja f : a, b) R uma fução covexa o itervalo a, b) Seja N e α, α,, α [0, ] úmeros reais tais que α +α + +α = Etão para quaisquer x, x,, x a, b) temos ié ) f α i x i i= α i fx i ), i= fα x + α x + + α x ) α fx ) + α fx ) + + α fx ) Demostração Faremos a prova desta desigualdade por idução sobre Para =, a desigualdade é válida, pois temos α = e sedo fx ) = fx ) temos também que fα x ) = α fx ) O caso = é também válido de acordo com a defiição 3 Supohamos agora que para um certo k > e todos x, x,, x a, b) e α, α,, α [0, ], com α + α + + α =, tehamos fα x + α x + + α k x k ) α fx ) + α fx ) + + α k fx k ) Seja = k + e cosideremos agora x, x,, x k+ a, b), e α, α,, α k+ [0, ] tal que α + α + + α k+ = Temos que Defiamos α x +α x + + α k+ x k+ = α x + α x + + α k x k ) + α k+ x k+ α = α k+ ) x + α k+ β i = α α k+ x + + α i α k+ e y = β x + β x + + β k x k Temos que y a, b) pois, como x, x,, x a, b), etão ) α k x k + α k+ x k+ α k+ β a + β a + β k a < β x + β x + β k x k < β b + β b + β k b a β + β + β k ) < β x + β x + β k x k < b β + β + β k ) ) ) α + α + + α k α + α + + α k a < β x + β x + β k x k < b α k+ α ) ) k+ αk+ αk+ a < β x + β x + β k x k < b α k+ α k+ a < y < b 3

45 Assim, já que f é covexa, temos fα x + α x + + α k x k + α k+ x k+ ) = f α k+ ) y + α k+ x k+ ) 9) Como β + β + β k = temos também que fy) = fβ x + β x + + β k x k ) β fx ) + β fx ) + + β k fx k ) α = fx ) + α k+ α k+ ) fy) + α k+ fx k+ ) 0) α α k+ fx ) + + α k α k+ fx k ) Jutado-se esta última desigualdade com a desigualdade 0), obtemos a Desigualdade de Jese Observação 8 Se a fução for côcava etão a Desigualdade de Jese iverterá, ou seja, fα x + α x + + α x ) α fx ) + α fx ) + + α fx ) 7 Desigualdade de Youg Teorema 9 Desigualdade de Youg) Sejam a, b úmeros reais positivos Se p, q > 0 satisfazem a codição p + q =, etão ab p ap + q bq A igualdade ocorre se, e somete se, a p = b q Demostração Fazedo x = p l a e y = q l b Como fx) = e x é covexa, veja exemplo ), etão temos que e x p + y q e x p + ey q e l a+l b e l ab el ap p ep l a p + ab p ap + q bq + el bq q eq l b q A igualdade ocorre se, e somete se, x = y, ou seja, se, e somete se, a p = b q 33

46 8 Desigualdade de Hölder Usaremos agora a Desigualdade de Youg para mostrar uma das Desigualdades mais úteis para a Aálise, a Desigualdade de Hölder e em seguida usaremos esta desigualdade para demostrar outra desigualdade famosa, a Desigualdade de Mikowski Teorema 0 Desigualdade de Hölder) Sejam a, a,, a ; b, b,, b úmeros reais positivos e p, q > tais que p + =, etão q a i b i i= A igualdade ocorre se, e somete se, ap b q i= a p i = ap b q ) p i= b q i = = ap b q ) q Demostração Façamos a = a i i= ap i ) p e b = b i i= bq i ) q para i =,,, Pela Desigualdade de Youg temos que ab = a i b i i= ap i ) p i= bq i ) q p a p i i= ap i ) + b q i q i= bq i ) Variado esta desigualdade para cada i, obtemos a b i= ap ) /p a p i= bq ) /q p i= ap ) + q a b i= ap ) /p a p i= bq ) /q p i= ap ) + q a b i= ap ) /p a p i= bq ) /q p i= ap ) + q Somado-as membro a membro, obtemos também que b q i= bq ) b q i= bq ) b q i= bq ) i= a ib i i= ap i )/p i= bq i )/q p i= ap i i= ap i ) + q i= bq i i= bq i ) = p + q = Ou seja, a i b i i= i= a p i ) p i= b q i ) q Ode, claramete, a igualdade ocorrerá se, e somete se, ap b q = ap b q = = ap b q Observação 9 Fazedo-se p = q = a Desigualdade de Hölder obtemos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz 34

47 9 Desigualdade de Mikowski Teorema Desigualdade de Mikowski) Sejam a, a,, a ; b, b,, b úmeros reais positivos e p >, etão ) p a i + b i ) p i= ) p a i ) p i= ) p + b i ) p, i= ode a igualdade ocorre se, e somete se, a b = a b = = a b Demostração Primeiramete podemos otar que Assim, a i + b i ) p = a i + b i ) a i + b i ) p = a i a i + b i ) p + b i a i + b i ) p a i + b i ) p = i= a i a i + b i ) p + i= b i a i + b i ) p ) i= Escolhedo-se para p > um úmero q > tal que p + = e aplicado a Desigualdade de q Hölder, obtemos para cada termo do lado direito da desigualdade ) que ) ) p q a i a i + b i ) p a i ) p a i + b i ) qp ), i= i= i= ) ) p q b i a i + b i ) p b i ) p a i + b i ) qp ) Desde modo, temos também que a i + b i ) p i= i= i= ) p a i ) p + i= Notado-se que qp ) = p, temos portato que i= i= b i ) p ) p i= a i + b i ) qp ) ) q Isto é, ) a i + b i ) p i= i= q ) p ) p a i ) p + b i ) p i= i= ) p ) p ) p a i + b i ) p a i ) p + b i ) p i= i= 35

48 0 Desigualdade de Schür Teorema Desigualdade de Schür) Sejam os úmeros reais a, b, c 0 e R Etão temos que a a b)a c) + b b a)b c) + c c a)c b) 0, com igualdade se, e somete se, a = b = c ou a = b e c = 0 ou permutações) Demostração Supohamos, sem perda de geeralidade, que a b c Vamos separar em casos: Caso : Se > 0, etão temos c 0 e c a)c b) 0 E isso implica que c c a)c b) 0 ) Como temos também que a c b c e a b, pois estamos supodo que a b, etão a a c) b b c) Mas, a a c) b b c) a a c)a b) b b c)a b) a a b)a c) b b a)b c) a a b)a c) + b b a)b c) 0 Logo, por isso e por ), temos a a b)a c) + b b a)b c) + c c a)c b) 0 Caso : Se 0, teremos a 0 e a b)a c) 0 Implicado em a a b)a c) 0 3) E, por ocorrer que a c) a b) e c b, pois estamos supodo b c, temos também 36

49 que c a c) b a b) Ora, mas isso implica também em b b a)b c) + c c a)c b) 0 De fato, c a c) b a b) c c a) b b a) c c a)b c) b b a)b c) b b a)b c) c c a)c b) b b a)b c) + c c a)c b) 0 Assim, pela desigualdade 3) e por esta última, temos a a b)a c) + b b a)b c) + c c a)c b) 0 Portato, pelos resultados provados os casos e, a desigualdade é válida para todo R E a igualdade ocorrerá se, e somete se, a = b = c ou a = b e c = 0 ou permutações) Corolário 9 Se a, b, c são úmeros reais positivos, etão são válidas as desigualdades: i) a 3 + b 3 + c 3 + 3abc aba + b) + bcb + c) + cac + a) ii) abc a + b c)b + c a)c + a b) iii) Se a + b + c =, etão 9abc + 4ab + bc + ca) Demostração Para o caso i) basta fazer = a desigualdade de Schür Pois, aa b)a c) + bb a)b c) + cc a)c b) 0 a 3 ca a b + abc + b 3 b c ab + abc + c 3 bc c a + abc 0 a 3 + b 3 + c 3 + 3abc a b + ab + b c + bc + c a + ca a 3 + b 3 + c 3 + 3abc aba + b) + bcb + c) + cac + a) 37

50 Capítulo 3 Algumas Aplicações de Desigualdades 3 Cálculo de Máximos e Míimos Nesta seção, vamos tratar mostrar a importâcia das desigualdades demostradas o capítulo aterior a maximização e miimização de problemas Vamos aplicar algumas delas e mostrar como é acessível e fasciate usá-las em vários tipos de problemas de otimização Aplicação Seja x > 0 um úmero real Qual o valor míimo de x + x? Solução: Primeiramete ote que x + x = x + x + x Agora aplicado a desigualdade MA MG, obtemos x + x + x 3 3 x x 3 x = 3 4 = Logo, o valor míimo da expressão é 3 3 Aplicação Para todos os valores das variáveis a, b, c, d, reais positivas, qual é o meor valor da expressão E = a b + b c + c d + d a? Solução: Aplicado a desigualdade M A M G, obtemos a b + b c + c d + d a 4 a 4 b b c c d d a = Logo, o valor míimo de E é igual 4, e isso ocorre quado a = b = c = d 38

51 Aplicação 3 Paralelepípedo de Área Máxima) Prove que etre todos os paralelepípedos de área total fixada o de maior volume é o cubo Demostração Seja o paralelepípedo abaixo de dimesões a,b e ctemos: Figura 3: Paralelepípedo Seu volume é dado por E sua área superficial é V = abc S = ab + ac + bc Assim, pela desigualdade etre as médias MA MG, temos que ab + ac + bc 3 3 ab) ac) bc) = abc) 3 Dode, a igualdade ocorre se, e somete se, ab = ac = bc Ou seja, a = b = c Desta forma, temos S ) 3 abc) 3 V ) 3 S 6 Logo, o maior volume possível é V = ) 3 S e isso ocorre quado a = b = c 6 39

52 Aplicação 4 Cilidro de Área Míima) Prove que o cilidro circular reto de volume V fixado, que tem a meor área de superfície é aquele cujo diâmetro é igual à sua altura Demostração Seja o cilidro abaixo de Volume V, área superficial S, raio da base r e altura h Figura 3: Cilidro de volume fixo Temos que Assim, temos também que S = π r + rh ) e V = πr h S = π = π ) r + V πr r + V πr + V πr ) Aplicado agora a desigualdade MA MG, obtemos r + V πr + V ) 3 3 r πr V πr ) V V πr = 3 3 4π ) V 3 Logo, S mi = 6π E isso ocorre quado r = V 4π πr, ou seja, V = πr3 Mas isso implica que πr 3 = πr h Portato, a área míima ocorre quado r = h 40

53 Aplicação 5 Triâgulo de Área Máxima) Prove que etre todos os triâgulos de lados a, b e c com perímetro fixo p = a + b + c, o de maior área é o triâgulo equilátero Figura 33: Triâgulo de Área Máxima Demostração Seja o triâgulo acima de lados a, b e c e área S Temos, pela fórmula de Heró, que S = p p ) p ) p ) a b c Temos aida, aplicado-se a Desigualdade MA MG, que Ou seja, p a) + p b) + p c) 3 3 p a ) p b ) p c ) p a ) p b ) p c ) p a + p b + p c) 3 = p/)3 7 7 Desta forma, teremos etão Portato, a área máxima é S = S p p p/)3 7 = p 3, a qual é atigida quado 3 p a = p b = p c a = b = c E isso implica que a área máxima ocorre quado o triâgulo é equilátero, o que queríamos provar 4

54 Aplicação 6 Equação da Reta Tagete a Uma Elipse) Prove que a equação da reta tagete a uma elipse da forma x a + y b = em um poto x, y ) é dada por xx a + yy b = Figura 34: Elipse com reta tagete Demostração Supoha que a elipse da figura acima seja dada pela equação x a + y b =, e seja x, y ) o poto de tagêcia da reta r : mx + y = k, ode m e são fixos com m + 0, e k uma costate real Como o poto x, y ) pertece a elipse etão x a + y b = Por outro lado, como x, y ) também é um poto da reta tagete etão mx + y = k Como queremos que a reta r seja uma reta tagete, etão sua distâcia d à origem deve ser máxima Dode sabemos que d = k m + = mx + y m + Precisamos etão saber sob quais codições d é máximo Para isso, aplicado-se a Desigualdade 4