Algumas aplicações de desigualdades ao Ensino

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1 Uiversidade Federal do Piauí Cetro de Ciêcias da Natureza Pós-Graduação em Matemática Mestrado em Matemática Algumas aplicações de desigualdades ao Esio Básico Raimudo Alves de Brito Teresia - 016

2 Raimudo Alves de Brito Dissertação de Mestrado: Algumas aplicações de desigualdades ao Esio Básico Dissertação submetida à Coordeação do Programa de Pós-Graduação em Matemática, da Uiversidade Federal do Piauí, como requisito parcial para obteção do grau de Mestre em Matemática. Orietador: Prof. Dr. João Xavier da Cruz Neto Teresia - 016

3 1 FICHA CATALOGRÁFICA Serviço de Processameto Técico da Uiversidade Federal do Piauí Biblioteca Setorial do CCN B86a Brito, Raimudo Alves de. Algumas aplicações de desigualdades ao esio básico / Raimudo Alves de Brito Teresia, f. Dissertação Mestrado Profissioal) Uiversidade Federal do Piauí, Cetro de Ciêcias da Natureza, Pós- Graduação em Matemática, 016. Orietador: Prof. Dr. João Xavier da Cruz Neto. 1. Modelagem Matemática.. Fução Covexa. I. Título CDD 511.8

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5 i À miha esposa Rosiae e à miha filha Sofia, que ascerá o próximo mês de outubro, motivos de toda alegria a miha vida.

6 Agradecimetos Em primeiro lugar agradeço a Deus, que é resposável por tudo de bom que acotece a miha vida. Agradeço também: À miha esposa Rosiae pelo compaheirismo icodicioal e pela força dada em todas as mihas decisões. Aos meus pais Fracisco e Fracisca, sem os quais eu ão estaria escrevedo este texto. Ao Prof. Xavier, pelas orietações e por me cofiar este trabalho. Aos professores Juradir de Oliveira Lopes e Pedro Atoio Soares Júior, por aceitarem participar da miha baca de avaliadores. Às mihas chefes diretas, Aurilee e Kuerly, pelo apoio e compreesão, sem os quais seria muito difícil cocluir este texto. Aos professores do PROFMAT-UFPI pelo compromisso, seriedade e competêcia com que tratam a educação. Ao grades amigos da turma PROFMAT-014, em especial aos colegas, Bruo, Delao, Gildeoe, Gilso, Huerlle, Jerso, Pedro, Reé, Rubes e Samuel. Agradeço à CAPES pelo apoio fiaceiro. ii

7 iii Se a educação soziha ão trasforma a sociedade, sem ela, tampouco, a sociedade muda.. Paulo Freire

8 Resumo Neste trabalho estudamos o coceito, as pricipais propriedades e algumas aplicações das fuções covexas de uma variável real, ode osso pricipal objetivo foi mostrar sua utilização em problemas que evolvem desigualdades. Demostramos as desigualdades de Jese, de Beroulli, Youg, de Hölder, de Mikowski e estudamos as médias de potêcias, que culmiam as desigualdades etre médias. Fialmete, apresetamos uma seção com problemas que evolvem máximos ou míimos, os quais aplicamos as técicas estudadas ao logo deste trabalho. Palavras-chave: Fução covexa, Desigualdades, Médias, Esio Básico. iv

9 Abstract I this work we study the cocept, the mai properties ad some applicatios of covex fuctios of a real variable, where our mai objective was to show its use i problems ivolvig iequalities. We demostrate the Jese, Beroulli, Youg, Hölder, Mikowsk iequalities ad studied the power meas, culmiatig i the iequalities betwee meas. Fially, we preset a sectio with problems ivolvig maxima or miima, i which we apply the techiques studied throughout this work. Key-words: Covex fuctios, Iequalities, Meas, Basic Educatio. v

10 Sumário Resumo Abstract iv v 1 Fuções covexas Noções Prelimiares A desigualdade de Jese Caracterização de Primeira Ordem Caracterização de Seguda Ordem A Desigualdade de Beroulli Algumas desigualdades clássicas 4.1 Médias de Potêcias As Desigualdades de Youg e de Hölder A Desigualdade de Mikowski Aplicação em problemas do Esio Básico 3 4 Cosiderações fiais 39 Referêcias Bibliográficas 40 vi

11 Itrodução A escolha por fazer este trabalho sobre desigualdades talvez teha se dado, de modo icosciete, em 01, quado vimos uma das soluções apresetadas pela baca examiadora, para o item d) do problema abaixo, que correspode ao 4 o problema da OBMEP 01 - a fase - Nível 3, vide [10]. Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. O segmeto AB é perpedicular a essas retas e o poto P, esse segmeto, é tal que AP = e BP = 1. O poto X pertece à reta r e a medida do segmeto BX é idicada por x. O poto Y pertece à reta s e o triâgulo XPY é retâgulo em P. a) Explique por que os triâgulos PAY e XBP são semelhates. b) Calcule a área do triâgulo XPY em fução de x. c) Para quais valores de x a área do triâgulo XPY é igual a 5? d) Determie o valor de x para o qual a área do triâgulo XPY é míima e calcule essa área. O ites a) e b) saíram aturalmete de algumas aplicações de Geometria Plaa e o item c) se reduziu à resolução de uma simples equação do o grau. No item b) 1

12 Sumário foi mostrado que a área do triâgulo XPY é A[XPY] = x + 1 x e, fialmete, o item d) pedia que fosse calculado o valor míimo para essa área, ou seja, para x+ 1. Fizemos uma x solução para este item usado fuções quadráticas e depois ficou tudo certo. Acotece que quado saiu a pauta com o gabarito da prova, este item apresetou 5 resoluções diferetes para osso espato, pois havíamos pesado uma e com dificuldades. Em particular, a 5 a solução dizia exatamete o que se segue: 5 a solução: a desigualdade aritmético-geométrica diz que se a e b são dois úmeros positivos etão sua média aritmética é maior que sua média geométrica, isto é, a + b 1 1 x + ab exercício). Fazedo x = a e x = b, temos x x. 1 x = 1, ou seja, x + 1 x para qualquer valor de x; como para x = 1 temos x + 1 x = valor míimo da área. =, segue que esse é o No fial de 015, quado os reuimos com o Professor Xavier, osso orietador, para discutirmos sobre qual seria o coteúdo deste trabalho, ele apresetou ates que se falasse disso!) algumas otas de aulas que poderiam os ajudar e, qual ão foi a surpresa, ititulava-se simplesmete DESIGUALDADES. Destio? Não há como saber! Fato é que aceitamos a hora, pois teríamos a oportuidade de ampliar osso estudo sobre fuções covexas, suas pricipais propriedades e aplicar as desigualdades que delas derivam em problemas do Esio Básico. No capítulo 1 apresetamos o coceito de fução covexa de uma variável real, e como primeira aplicação mostramos a Desigualdade de Jese. Mostraremos as caracterizações de primeira e seguda ordem. Apresetamos, aida, uma demostração da Desigualdade de Beroulli usado fuções covexas. No capítulo, estudamos algumas das desigualdades geradas por fuções covexas, iiciado com a defiição de Médias de Potêcias. Mostramos, em seguida, as famosas desigualdades etre médias, mais precisamete, MH MG MA MQ. Em ato cotíuo, mostramos as desigualdades de Youg, Hölder e Mikowski. Buscamos, durate todo o texto, apresetar exemplos que ilustrem os coceitos abordados e que, além de tudo, ajudem a elucidar o que está sedo proposto da maeira mais didática que coseguimos. No capítulo 3, apresetamos problemas do Esio Básico, retirados da OBM, OB- MEP, de livros didáticos usados em uma escola comum, dos bacos de questões da OBMEPão é a OBMEP, mas os caderos que recebemos da comissão orgaizadora), do

13 Sumário 3 baco de provas e exames do PROFMAT, etc. Fialmete, o capítulo 4 trata das cosiderações fiais acerca deste trabalho. As pricipais referêcias que utilizamos durate o desevolvimeto deste trabalho foram as otas de aulas ão publicadas dos Professores João Xavier da Cruz Neto e Orizo Pereira Ferreira, itituladas Desigualdades, [], e os livros Aálise Real, volume 1 do Professor Elo Lages Lima, [6] e Tópicos de Matemática Elemetar: Itrodução à Aálise do Professor Atoio Camiha Muiz Neto, [8], mas além destas, cosultamos diversas outras referêcias em busca de um certo eriquecimeto, ou amadurecimeto, as ideias.

14 Capítulo 1 Fuções covexas Neste capítulo defiiremos as fuções covexas de uma variável real, estudaremos algumas de suas pricipais propriedades e caracterizações. Apresetaremos, também, as fuções estritamete covexas, côcavas e estritamete côcavas. Como primeiras aplicações, traremos, além de variados exemplos, a desigualdade de Jese e a de Beroulli. As defiições e resultados que aqui apresetamos podem ser ecotradas em [], [6] e [8]. 1.1 Noções Prelimiares Defiição 1. Seja I R um itervalo. Uma fução é dita covexa quado, dados a, x, b I, com a x b, o poto x, fx)) do gráfico de f está abaixo da reta que cotém a, fa)) e b, fb)), coforme a figura 1.1. a) b) Figura 1.1: Fução covexa 4

15 Capítulo 1. Fuções covexas 5 Sabemos que o coeficiete agular da reta que cotém a, fa)) e b, fb)) é dado por fb) fa) fb) fa) e, com isso, a equação da referida reta é tal que y = x a)+fa) b a b a fb) fa) ou que y = x b) + fb). Assim podemos cocluir que se o poto x, fx)) b a pertece ao gráfico de f, para que a mesma seja covexa, deve ser verificado simplesmete fb) fa) fb) fa) que fx) x a) + fa) ou que fx) x b) + fb), isto é: b a b a fx) fa) x a fb) fa), 1.1) b a ou fx) fb) x b fb) fa), 1.) b a ou seja, fx) fa) x a fb) fa) b a fx) fb). 1.3) x b Essas iequações sigificam que a secate que passa por a, fa)) e x, fx)) tem icliação meor que aquela que passa por a, fa)) e b, fb)) e esta, fialmete, tem icliação meor que a que passa por x, fx)) e b, fb)). Exemplo 1. A fução f : R R dada por fx) = x é covexa. Com efeito, sedo a e b reais, com a < b e x a, b], vamos usar a desigualdade 1.1), que equivale a mostrar fb) fa) fx) fa) que 0. Ora, b a x a fb) fa) b a fx) fa) x a = b a b a x a x a b a)b + a) x a)x + a) = b a x a = b + a x + a) = b x 0. Portato a fução quadrática fx) = x é covexa em R. Exemplo. Mostre que a fução fx) = x + 1 x é covexa para x 0, + ). Solução. Cosidere a, b as codições do domíio de f e x etre a e b. Devemos mostrar,

16 Capítulo 1. Fuções covexas 6 de acordo com 1.), que fx) fb) x b fx) fb) x b fb) fa) b a fb) fa) b a 0. Para tato, veja que: x + 1 x b + 1 ) b + 1 b b a + 1 ) a = x b b a 1 x b) + x 1 ) 1 b a) + b b 1 ) a = x b b a x b + b x b a + a b = bx ab x b b a x b)bx 1) = bx x b = bx 1 ab 1 bx ab abx 1) xab 1) = abx abx a abx + x = abx = x a abx 0. Portato a fução estudada é covexa em 0, + ). b a)ab 1) ab b a Aida supodo a < b, e x em [a, b], segue que 0 b x 1. Seja, diate disto, b a t = b x b x) = tb a). Daí temos que cada poto x do itervalo [a, b] se escreve b a como ta+1 t)b e, com isso, fx) [fb) fa)] x a +fa) equivale ote, pois vamos b a precisar a desigualdade abaixo, que x a = at + 1 t)b a = 1 t)b a)) a: fta + 1 t)b) [fb) fa)]. x a b a + fa) = [fb) fa)]. 1 t)b a) b a + fa) = 1 t)fb) 1 t)fa) + fa) = 1 t)fb) + fa)[1 1 t)] = tfa) + 1 t)fb), ou seja, uma fução f : I R é covexa se, e somete se, dados a, b em I e t [0, 1], tivermos veja a figura 1.1b) fta + 1 t)b) tfa) + 1 t)fb). 1.4)

17 Capítulo 1. Fuções covexas 7 Exemplo 3. A fução modular f : R R dada por fx) = x é covexa. cosiderado t [0, 1], a e b reais, temos De fato, fta + 1 t)b) = ta + 1 t)b ta + 1 t)b = t a + 1 t) b = tfa) + 1 t)fb). O próximo exemplo estuda a covexidade da fução real fx) = e x, mas para isso precisamos apresetar o seguite lema: Lema 1. Mostre que e x 1 + x para todo x R. Demostração. Seja g : R R defiida por gx) = e x x 1. Sabedo que g x) = e x 1, temos que o úico poto crítico de g ocorre em x = 0. Note também que g x) 0 em, 0] e que g x) 0 para x [0, ), dode cocluímos que g é moótoa ão crescete em, 0] e moótoa ão decrescete em [0, ). Como g0) = 0, temos que gx) 0 para todo x real, ou seja, sempre temos e x 1 + x, cocluido a demostração do lema. Exemplo 4. A fução f : R R dada por fx) = e x é covexa. Solução. Devemos mostrar que e tx+1 t)y te x + 1 t)e y, 1.5) com x e y reais e t [0, 1]. Note, ates disso, que e tx 1 t)y > 0 e que multiplicado a desigualdade 1.5) por e tx 1 t)y temos 1 = e tx+1 t)y.e tx 1 t)y te x.e tx 1 t)y + 1 t)e y.e tx 1 t)y = te x tx 1 t)y + 1 t)e y tx y+ty = te x1 t) 1 t)y + 1 t)e tx y) = te 1 t)x y) + 1 t)e tx y). Ou seja, para provar que f é covexa basta mostrar que te 1 t)x y) + 1 t)e tx y) )

18 Capítulo 1. Fuções covexas 8 Ora, de acordo com o lema 1, temos que e x 1+x para todo x real. Assim, desevolvedo o lado esquerdo de 1.6), temos: te 1 t)x y) + 1 t)e tx y) t1 + 1 t)x y)) + 1 t)1 tx y)) = t1 + x y tx + ty) + 1 t)1 tx + ty) = t + tx ty t x + t y + 1 tx + ty t + t x t y = 1. Portato a fução expoecial fx) = e x é covexa em R. Uma fução f : I R é cocava quado f é covexa. Aliás, vamos formalizar uma defiição para fuções côcavas. Defiição. Seja I R um itervalo. Uma fução é dita côcava quado, dados a, x, b I, com a x b, o poto x, fx)) do gráfico de f está acima da reta que cotém a, fa)) e b, fb)), coforme a figura 1.. Figura 1.: Fução côcava Aalogamete ao que foi exposto para fuções covexas, temos que uma fução é côcava se, e somete se, dados a, b em I com a < b e x etre a e b, tivermos fx) fa) x a fb) fa) b a fx) fb). 1.7) x b Da mesma forma que foi apresetado para fuções covexas, uma fução f : I R é côcava se, e somete se, dados a, b em I e t [0, 1], tivermos fta + 1 t)b) tfa) + 1 t)fb). 1.8) Exemplo 5. Já vimos o exemplo que a fução fx) = x + 1 x é tal que fx) fb) x b fb) fa) b a = x a abx.

19 Capítulo 1. Fuções covexas 9 Etão, sedo a, b, 0) com a < b e x etre a e b, temos a desigualdade fx) fb) fb) fa) 0, ou seja, a fução é côcava em, 0). x b b a Exemplo 6. Mostre que a fução logarítmica fx) = l x defiida para x 0, + ) é côcava. Solução. Devemos mostrar que e t l x+1 t) l y e ltx+1 t)y). Iiciemos lembrado que, pelo exemplo 4, a fução expoecial fx) = e x é covexa em R. Assim, para x e y reais e t [0, 1], segue que e t l x+1 t) l y te l x + 1 t)e l y = tx + 1 t)y = e ltx+1 t)y), isto é, e t l x+1 t) l y e ltx+1 t)y) e, fialmete, ltx + 1 t)y) t l x + 1 t) l y, como queríamos. Quado valem as desigualdades estritas em 1.3) e em 1.7) dizemos que as fuções são, respectivamete, estritamete covexa e estritamete côcava. 1. A desigualdade de Jese Proposição 1 Desigualdade de Jese). Seja f : I R uma fução covexa. Sejam os úmeros x 1, x,..., x k em I e os úmeros t 1, t,..., t k em R satisfazedo t i 0 para i = 1,,..., k e k t i = 1, vale a desigualdade k k f t i x i ) t i fx i ). 1.9) Se f é estritamete covexa, etão a igualdade em 1.9) é assumida somete se os úmeros x 1, x,..., x forem todos iguais. Demostração. Se k =, a relação é trivial quado t 1 = 0 ou t = 0. Caso cotrário, tome t 1 = t e t = 1 t), daí a covexidade de f resulta em ft 1 x+t y) t 1 fx)+t fy). Agora, supoha por idução, que a relação seja verdadeira para k 1 e cosidere os potos

20 Capítulo 1. Fuções covexas 10 x 1,..., x k em I e os úmeros positivos t 1,..., t k, tais que k t i = 1. Se t k = 0 ou t k = 1, etão ão há ada a provar. Caso cotrário, temos t 1 x t k x k = t t k 1 ) Para facilitar os cálculos, fixado t 1 = t 1 t t k 1 x t 1 t t k 1,..., t k 1 = t k 1 = 1), segue que 1.10) pode se reescrita como ) t k 1 x k 1 + t k x k. t t k ) t k 1 t t k 1 Note que t t 1 x t k x k = t t k 1 ) t 1 x t k 1 x k 1 ) + tk x k. 1.11) Como t t k 1 ) + t k = 1 e f é covexa, temos pelo caso k = e por 1.11) que ft 1 x t k x k ) t t k 1 )ft 1 x t k 1 x k 1 ) + t k fx k ). 1.1) Além disso, usado a hipótese de idução, o fato de que t t k 1 = 1 e a covexidade de f, temos de 1.1) que ft 1 x t k x k ) t t k 1 )ft 1 x t k 1 x k 1 ) + t k fx k ) t t k 1 )t 1 fx 1 ) t k 1 f k 1 )) + t k fx k ) = t 1 fx 1 ) + t fx ) t fx ). Portato a desigualdade é válida para todo k. Como uma primeira aplicação da Desigualdade de Jese, vamos mostrar a famosa desigualdade etre as médias aritmética e geométrica. Exemplo 7. Mostre que, para quaisquer úmeros reais positivos x 1, x,..., x vale a desigualdade x 1 x...x x 1 + x x. Solução. Já vimos que a fução fx) = e x é covexa. Cosidere, agora, t 1 =... = t = 1 e os úmeros reais positivos x 1, x,..., x. Sejam a 1 = l x 1, a = l x,..., a = l x. Daí, temos x 1 = e a 1, x = e a,..., x = e a e: x1 x...x = x 1 1.x 1...x 1 = e a 1.e a...e a = e a 1 + a a = ft 1 a 1 + t a t a ).

21 Capítulo 1. Fuções covexas 11 Aplicado a Desigualdade de Jese a última igualdade, temos o que segue: x1 x...x = ft 1 a 1 + t a t a ) t 1 fa 1 ) + t fa ) t fa ) = 1 el x el x el x = x 1 + x x. Notemos que a Desigualdade de Jese pode ser reescrita, os casos em que vale a relação t 1 =... = t k = 1 ), como f x x fx 1) fx ). A soma de fuções covexas gera uma fução também covexa. De fato, sedo f : I R, g : I R duas fuções covexas, e f + g : I R defiida em x como f + g)x) = fx) + gx), cosidere a, b em I e t [0, 1]. Desse modo, aplicado f + g a ta + 1 t)b, temos f + g)ta + 1 t)b) = fta + 1 t)b) + gta + 1 t)b) tfa) + 1 t)fb) + tga) + 1 t)gb) = tfa) + ga)) + 1 t)fb) + gb)) = tf + g)a) + 1 t)f + g)b). A desigualdade acima sigifica que f + g represeta uma fução covexa. Seguido com ossa proposta, vamos mostrar que a composição de duas fuções covexas resulta em uma fução covexa, mas para isso é ecessário que a fução extera seja ão decrescete. De um modo mais formal, temos o seguite: cosidere f : I J e g : J R fuções covexas, com g ão decrescete, etão g f : I R, defiida em x como g f)x) = g fx)) é covexa. Realmete, sejam f : I J e g : J R fuções covexas, com g ão decrescete. Etão se cosiderarmos a, b em I e t [0, 1], temos que g f)ta + 1 t)b) = g[fta + 1 t)b)] g[tfa) + 1 t)fb)] t.g[fa)] + 1 t)g[fb)] = tg f)a) + 1 t)g f)b).

22 Capítulo 1. Fuções covexas 1 Note que a hipótese de que g seja ão decrescete se faz ecessária a passagem da liha 1 para a liha, a demostração acima. O produto de duas fuções covexas f e g defiido em x como f.g)x) = fx).gx) pode ão gerar uma fução covexa. Com efeito, as fuções fx) = x e gx) = x 1 são covexas em R e, ao cotrário, fg)x) = x 4 x ão é covexa em R. Exemplo 8 POTI [11]). IMO) Se a, b e c são os comprimetos dos lados de um triâgulo, prove que abc a + b c)b + c a)c + a b). 1.13) Solução. Sedo, a figura abaixo, um triâgulo ABC de lados a = BC, b = AC e c = AB e sua circuferêcia iscrita, temos as relações a = y + z, b = x + z e c = x + y e, imediatamete, x + y + z = a + b + c x + y + z = a + b + c = p, ode p é o semiperímetro do triâgulo ABC. Com isso, temos que x = x + y + z y + z) = p y + z) = a + b + c y = x + y + z x + z) = p x + z) = a + b + c z = x + y + z x + y) = p x + y) = a + b + c a = b + c a, b = a + c b, c = a + b c. Como a, b e c são lados de um triâgulo, pela desigualdade triagular, segue que vale a + b c > 0, b + c a > 0 e c + a b > 0. Etão sedo u = a + b c, v = b + c a e w = c + a b, segue que a = y + z = a + c b + a + b c = w + u,

23 Capítulo 1. Fuções covexas 13 b = x + z = b + c a + a + b c = v + u, c = x + y = b + c a + a + c b = v + w. Assim a desigualdade 1.13) passa a ser escrita da seguite forma: ) ) ) w + u v + u v + w u.v.w. 1.14) Com a mudaça de variáveis acima, para resolver o problema basta mostrar a desigualdade 1.14), que é uma aplicação direta da desigualdade etre as médias aritmética e geométrica já que, sedo u, v e w positivos, temos w + u w.u, v + u v.u e v + w v.w, dode ) ) ) w + u v + u v + w w.u. v.u. v.w = u.v.w = u.v.w. Isso termia ossa resolução. 1.3 Caracterização de Primeira Ordem Proposição. Seja f : I R uma fução difereciável o itervalo aberto I. Etão f é covexa se, e somete se, f a)x a) + fa) fx), 1.15) para todo x, a I. Demostração. Supoha iicialmete, f covexa. Etão, sedo a, x I, temos por hipótese que f tx+1 t)a ) tfx)+1 t)fa) f tx+a ta ) tfx)+fa) tfa) f tx a) + a ) fa) tfx) fa)), ou seja, f a + tx a) ) fa) t fx) fa), 1.16)

24 Capítulo 1. Fuções covexas 14 para todo t [0, 1]. Fazedo tx a) = h temos t = ser escrita como f a + h ) fa) h x a fx) fa), isto é, h x a e a expressão 1.16) passa a f a + h ) fa) x a) fx) fa). 1.17) h Como tx a) = h, temos que h 0 equivale a t 0. Assim, passado o limite com h 0 a desigualdade 1.17) temos f a)x a)+fa) fx), que é o resultado desejado. Reciprocamete, dados x, y I e t [0, 1] tome a = tx + 1 t)y. Etão da equação 1.15) segue-se que f tx + 1 t)y ) x tx 1 t)y) + f tx + 1 t)y ) fx) f tx + 1 t)y ) 1 t)x y) + f tx + 1 t)y ) fx) 1.18) e f tx + 1 t)y ) y tx 1 ty)) + f tx + 1 t)y ) fy) f tx + 1 t)y ) tx y) + f tx + 1 t)y ) fy). 1.19) Assim, multiplicado 1.18) por t e 1.19) por 1 t), temos, tf tx + 1 t)y ) 1 t)x y) + tf tx + 1 t)y ) tfx) e 1 t)f tx + 1 t)y ) tx y) + 1 t)f tx + 1 t)y ) 1 t)fy). Fialmete, somado essas duas últimas desigualdades, obtemos f tx + 1 t)y ) tfx) + 1 t)fy). Isto coclui a prova da proposição. Perceba que y = fa) + f a)x a) é a equação da reta tagete ao gráfico de f o poto a, fa)). Portato, esta caracterização evidecia que uma fução covexa, difereciável, está acima de todas as suas tagetes em I. Além disso, também cocluímos que todo poto crítico em uma fução difereciável covexa é poto de míimo global. De fato, sedo a, fa)) um poto crítico, temos f a) = 0, dode, pela proposição aterior segue que fx) fa), para todo x I. Esta foi a demostração do resultado que euciaremos logo abaixo:

25 Capítulo 1. Fuções covexas 15 Corolário 1. Se f : I R é uma fução difereciável e covexa, etão todo poto crítico de f é um poto de míimo global. Proposição 3. Seja f : I R uma fução difereciável o itervalo aberto I. Etão f é covexa se, e somete se, f x) f y) ) x y) 0, 1.0) para todo x, y I. Demostração. Supoha, iicialmete, f covexa e cosidere x, y I. Daí, temos pela proposição que f x)y x) + fx) fy) e f y)x y) + fy) fx), 1.1) para todo x, y em I. Etão, segue-se de 1.1) que fx) + f x)y x) fy) fx) + f y)y x), Isto implica que f x) f y) ) x y) 0, para todo x, y em I e prova a primeira parte. Reciprocamete, é claro que o resultado é válido para x = y. Agora, dados x, y I com x y e t [0, 1], temos pelo Teorema do Valor Médio que, para todo a x, y), existem c e c com c x, a) e c a, y) tais que fa) fx) = f c )a x) e fy) fa) = f c )y a). Multiplicado a primeira igualdade por t, a seguda por 1 t, temos o que segue: tfa) + tfx) = tf c )a x) e 1 t)fy) fa) + tfa) = 1 t)f c )y a). Agora, somado as duas últimas igualdade, temos tfx) + 1 t)fy) fa) = f c )1 t)y a) tf c )a x), 1.) dode, tomado a = tx + 1 t)y, temos y a = y tx 1 t)y = y tx y + ty = ty x) e a x = tx + 1 t)y x = tx + y ty x = 1 t)y x),

26 Capítulo 1. Fuções covexas 16 e a igualdade 1.) passa a ser escrita como tfx) + 1 t)fy) f tx + 1 t)y ) = f c )1 t)ty x) f c )t1 t)y x). Fialmete, ote que existe k > 0 tal que c c = ky x), ou seja, y x = c c. k Assim, a igualdade aterior se reduz a tfx) + 1 t)fy) f tx + 1 t)y ) = 1 t)t f c ) f c ) ) c c ). k Como k > 0 e t [0, 1] segue imediatamete da igualdade aterior e da desigualdade 1.0) que tfx) + 1 t)fy) f tx + 1 t)y ) 0, ou seja, f tx + 1 t)y ) tfx) + 1 t)fy), cocluido a demostração. A desigualdade 1.0) sigifica que, sedo f covexa, sua derivada f é moótoa ão-decrescete em I. 1.4 Caracterização de Seguda Ordem Proposição 4. Seja f : I R duas vezes derivável o itervalo aberto I. Etão f é covexa em I se, somete se f x) 0, 1.3) para todo x I. Agora, se a desigualdade 1.3) é estrita etão f é estritamete covexa. Demostração. Se f é covexa, segue-se da Proposição 3 que f x) f y) ) x y) 0, f x) f y) ) x y) com x, y I e x y. Como x y) > 0, segue que 0, que x y) equivale a f x) f y) x y) 0, 1.4) pois x y 0. Fazedo x y a equação 1.4) obtemos, pois f é derivável, f x) 0, e isto prova a primeira parte. Reciprocamete, é claro que o resultado é válido para x = y. Agora, dados x, y I com x y, temos pelo Teorema do Valor Médio que existe a etre x e y tal que f y) f x) = f a)y x), isto é f y) f x))y x) = f a)y x). 1.5)

27 Capítulo 1. Fuções covexas 17 Como f a) 0 e y x) > 0 segue-se que f y) f x) ) y x) 0, para todo x, y I. Portato, pela Proposição 3 temos que f é covexa. Exemplo 9. Além de covexa, como já vimos, a fução fx) = e x é estritamete covexa para todo x real pois f x) = e x > 0 para todo x real. Exemplo 10. Além de côcava, como já vimos, a fução fx) = l x é estritamete côcava para x 0, + ) pois f x) = 1 < 0 esse itervalo. x Exemplo 11 POTI [11]). Sejam a, b e c e 0, 1) com a + b + c = 1. Calcule o valor míimo para a + a) b + b) c ) c) Solução. Iicialmete, ote que a fução gx) = x 10 apreseta g x) = 10x 9 0 para todo x 0, + ) e, o mesmo itervalo, temos que g x) = 90x 8 0, o que os faz cocluir que g é ão-decrescete e covexa em 0, + ). Além disso, pelo exemplo ) temos que hx) = x+ 1 x é covexa para x 0, + ). Logo fx) = g h)x) = x + 1 ) 10 x é covexa para x 0, + ). Agora, usado a desigualdade de Jese, temos ) a + b + c fa) + fb) + fc) f, 3 3 ) a + b + c ou seja, fa) + fb) + fc) 3f. Mas 3 fa) + fb) + fc) = a + a) b + b) c + 1 ) 10 c ) a + b + c e 3f = 3f 3 ) 1 1 = 3 3 a + 1 a) 10 + ) = 1010 b + b) , isto é, 39 c + 1 c ) , e o míimo, , ocorre quado a = b = c = 1, resolvedo o problema. 9 3 Exemplo 1 FONTELES [5]). Seleção para IMO 99) Para reais positivos satisfazedo a + b + c = abc, mostre que e determie quado a igualdade ocorre a 1 + b 1 + c 1.7)

28 Capítulo 1. Fuções covexas 18 A escolha deste exemplo se deu, basicamete, pela elegate solução que ecotramos o artigo Trigoometria e Desigualdades em Problemas de Olimpíadas, do Professor Rafael Tajra Foteles. Solução que apresetaremos, com algumas adaptações, a partir de agora. Solução. Como sabemos, a fução f : π/, π/) R dada por fx) = ta x é bijetiva e, com isso, temos que qualquer úmero real y pode ser escrito como ta x para algum x π/, π/). De modo mais particular, façamos a = ta x, b = ta y e c = ta z, com x, y e z em 0, π/), já que a, b e c são positivos. Essa trasformação é útil porque ta x = si x cos x = 1 si x + cos x cos x = cos = cos x. Com a trasformação acima, a + b + c = abc passa a ser escrita como ta x + ta y + ta z = ta x. ta y. ta z, 1.8) e, portato, o que devemos provar agora, de 1.7), é que cos x + cos y + cos z 3. Para isso, cosidere dois fatos relevates: a) A fução fx) = cos x é estritamete côcava o itervalo 0, π/). De fato, temos f x) = cos x e f x) = si x < 0 para todo x em 0, π/) b) Se vale 1.8), etão tax + y + z) = 0. Com efeito, veja que tax + y) + ta z tax + y + z) = ta[x + y) + z] = 1 tax + y). ta z ta x + ta y 1 ta x. ta y + ta z = 1 tax + y). ta z ta x + ta y + ta z ta x. ta y. ta z 1 ta x. ta y = 1 tax + y). ta z = 0. Portato, como x, y e z 0, π/) e tax + y + z) = 0, segue que x + y + x = π. Assim, por a), b) e pela desigualdade de Jesem, temos ) cos x + cos y + cos z x + y + z cos = cosπ/3) = Ou seja, cos x + cos y + cos z 3. Além disso, a igualdade ocorre se, e somete se, x = y = z = π/3 e, fialmete, se a = b = c = taπ/3) = 3, como queríamos.

29 Capítulo 1. Fuções covexas 19 Exemplo 13. Seja f : R R, defiida por fx) = 1 + x), ode N. As derivadas de primeira e seguda ordem de f são dadas, respectivamete por f x) = x + 1) 1 e f x) = 1)x + 1). 1.9) Temos dois casos a cosiderar: i) Se é par, etão f x) 0 para todo x R. Etão pela Proposição 4 segue-se que f é covexa em R. ii) Se é impar, etão temos dois casos: a) Se x [ 1, ), etão f x) 0 e este caso, pela Proposição 4 segue-se que f é covexa em [ 1, ). b) Se x, 1], etão f x) 0, dode pela Proposição 4 segue-se que f é covexa em, 1]. Exemplo 14. Dados s e t úmeros reais ão ulos com s < t. Seja f : 0, ) R defiida por fx) = x t/s. A derivada seguda de f é dada f x) = t/s)t/s 1)x t/s. Vamos dividir a aálise deste exemplo em três casos: i) Se t > s > 0, etão f x) > 0 para todo x 0, ). Etão pela Proposição 4 segue-se que f é estritamete covexa em R. ii) Se s < t < 0, etão f x) > 0 para todo x 0, ). Etão pela Proposição 4 segue-se que f é estritamete covexa em 0, ). iii) Se s < 0 < t, etão f x) > 0 para todo x 0, ). Etão pela Proposição 4 segue-se que f é estritamete covexa em 0, ). 1.5 A Desigualdade de Beroulli Nesta seção vamos dar uma demostração da desigualdade de Beroulli usado o coceito de fução covexa. A técica que vamos utilizar tem a vatagem, sobre a prova usual por idução, de possibilitar a obteção de uma melhor estimativa do itervalo ode a desiguladade é válida.

30 Capítulo 1. Fuções covexas 0 Proposição 5. Dado N com > 1. Se x [ 1 1, ), etão vale a desiguladade x + 1) 1 + x. 1.30) Demostração. Cosidere a fução f : R R dada por fx) = 1 + x), cuja covexidade foi estudada o exemplo 13. Vamos dividir a prova de 1.30) em duas partes: i) A desigualdade é válida para x R e par. De fato, pelo Exemplo 13 temos que f é covexa em R, etão pela Proposição vale a desiguladade fx) f0) + f 0)x 0), 1.31) para todo x R. Como f0) = 1 e f 0) =, a desigualdade acima passa a ser escrita como x + 1) 1 + x, cocluido a parte i). ii) Vamos dividir o caso de ser ímpar em dois casos, como segue: a) A desigualadade é válida para x [ 1, ). De fato, Pelo Exemplo 13 temos que f é covexa em [ 1, ). Etão pela Proposição, vale a desigualdade 1.31), ou seja, x + 1) 1 + x, cocluido o caso a). b) A desigualadade é válida para x [ 1 1, 1]. Com efeito, se x, 1] etão pelo Exemplo 13 temos que f é covexa. Daí, pela Proposição vale a desiguladade fx) f ) f )x + ). Sedo fx) = 1 + x), temos f x) = 1 + x) 1, f ) = 1 e f ) =, já que 1 é par. Com isso, a desigualdade acima é equivalete a x + 1) 1 x + ), 1.3) para todo x, 1]. Assim, somado x+1) aos dois lados da desigualdade 1.3), temos x + 1) x + 1) x + 1) + 1 x + ), cujo desevolvimeto segue logo abaixo x + 1) x + 1) + 1 x + ) = 1 + x) 1 + x) + x + 1) + 1 x + ) 1.33) = 1 + x) x + x + 1) x = 1 + x) + x + 1) x + 1) = 1 + x + x + 1) x + 1) 1 ).

31 Capítulo 1. Fuções covexas 1 Seja h : R R dada por hx) = x + 1) 1, com ímpar maior que 1. Note que h 1 1 ) = ) 1 = 1 ) 1 = = 0. A derivada h x) = 1)x + 1) é tal que h x) 0 para x, 1] e isto implica que h é ão-crescete esse itervalo. Assim, para x [ 1 1, 1], temos hx) h 1 1 ) = 0. Etão, pela defiição de h, temos que x + 1) 1 0 para x [ 1 1, 1]. Pelo que foi apresetado acima, temos que para x [ 1 1, 1], vale x e x + 1) 1 0, de ode segue que x + 1) x + 1) 1 ) ) Portato, temos das desigualdades 1.33) e 1.34) que x + 1) 1 + x + x + 1) x + 1) 1 ) 1 + x, para x [ 1 1, 1] e atural ímpar maior que 1. Assim, de i) e ii), segue-se que a desiguladade x + 1) 1 + x é válida o itervalo [ 1 1, ) para todo úmero atural > 1. Corolário Desigualdade de Beroulli). Se N e x [, ) etão vale a desiguladade x + 1) 1 + x. 1.35) Demostração. O resultado acima é válido para = 1. [, ) [ 1 1, ). Agora para > 1 ote que Proposição 6. Se a < etão existe 0 N e x 0 a, ) tal que x 0 + 1) 0 < x 0, 1.36) isto é, o itervalo [, ) é o maior itervalo ode a desiguladade 1.35) é válida para todo. Demostração. Seja ɛ > 0 tal que a < ɛ <. Mostremos que, para x 0 = ɛ, existe 0 N ímpar satisfazedo a desigualdade 1.36) ou equivaletemete que existe 0 N ímpar satisfazedo 1 + ɛ) 0 < 1 + ɛ) )

32 Capítulo 1. Fuções covexas Com efeito, supoha que ão existe um tal 0 que satisfaça a desiguladade 1.37). Etão, para todo N ímpar temos que e esta desigualdade implica que 1 + ɛ) 1 + ɛ), + ɛ) 1 + ɛ). 1.38) Asssim, pela desigualdade 1.38) e pelas propriedades da fução logaritmo, obtemos que l + ɛ) + l para todo N ímpar. Mas como lim l + ɛ) l1 + ɛ), 1.39) = 0 e lim l l + ɛ) l l1 + ɛ) = lim l1 + ɛ) lim + lim = 0, = 0 temos que o que é um absurdo pois ɛ > 0. Portato, para x 0 = ɛ, existe 0 N ímpar satisfazedo a desigualdade 1.36) e x 0 a, ). Exemplo 15 POTI [11]). Dados atural e a e b reais positivos, mostre que 1 + a ) b b a) +1. Solução. Dividido ambos os membros da desiguldade do euciado por, temos 1 + a ) 1 + b ) b a a b b a 1 + a ) 1 + b + b ) a a ) 1 + b b ) a 1 1 b) + a b ). a Portato, basta mostrar que 1 1 b) + a b ). a

33 Capítulo 1. Fuções covexas 3 Ora, como 1 + a b > 1 e 1 + b > 1, podemos aplicar a desigualdade de Beroulli a a cada parcela do primeiro membro da desigualdade acima, como segue 1 1 b) + a a ) b 1.40) e b ) a + b ). 1.41) a Agora, somado, membro a membro as desigualdades 1.40) e 1.41), temos 1 1 b) + a b ) a + a ) b + b ) a = 1 + a b b a = + a b + b a a = + b + b ) a 1, ou seja, 1 1 b) + a b ) a + a b + b ) a ) a Resta-os mostrar a desigualdade 1.4) que b + b ) a 1 0 e, para isso, basta aplicar a desigualdade MA MG para obter: com igualdade ocorredo se, e somete se, resolução. a b + b a 1 a b. b a 1 = 0, a b = b, ou seja, a = b, termiado ossa a

34 Capítulo Algumas desigualdades clássicas Neste capítulo defiiremos a média das potêcias de ordem t dos úmeros reais positivos x 1, x,..., x e gaharemos, como cosequêcia, as cohecidas desigualdades etre as médias harmôica, geométrica, aritmética e quadrática. Em seguida apresetaremos as desigualdades de Youg, Hölder e Mikowski. Os resultados aqui apresetados podem ser ecotrados em [1], [] e [8]..1 Médias de Potêcias Seja t um úmero real ão ulo. A média das potêcias de ordem t dos úmeros reais positivos x 1, x,..., x é defiida por 1 λ i x t) t i = λ 1 x 1 t + λ x t + λ 3 x 3 t... + λ x t) 1 t,.1) ode os pesos λ 1, λ,..., λ são úmeros reais ão egativos com λ i = 1. Podemos esteder a defiição de.1) em t = 0 como sedo igual a x λ i i = x λ 1 1.x λ.x λ x λ,.) pois lim t 0 1 λ i x t) t i = x λ i i..3) 4

35 Capítulo. Algumas desigualdades clássicas 5 De fato, lim t 0 1 λ i x t) t ) 1 i = lim λ 1 x t 1 + λ x t + λ 3 x t t t λ x t 0 = lim e l t 0 = lim t 0 e = e lim t 0 1 t l ) 1 t λ 1 x t 1 +λ x t +λ 3 x t 3...+λ x t λ 1 x 1 t +λ x t +λ 3 x 3 t...+λ x t lλ 1 x 1 t + λ x t + λ 3 x 3 t... + λ x t ) t. ) Sedo t 0, o limite acima cai uma idetermiação do tipo 0 pois lembre-se que ) 0 λ λ = 1 ) lim t 0 l λ 1 x t 1 + λ x t + λ 3 x t t λ x i = 0. Assim, aplicado a Regra de L Hospital o limite acima, em relação a t, temos: lim t 0 λ ) 1 1 x t t t λ i x i = e lim 1 l x λ x t l x t 0 λ 1 x 1t + λ x t + λ 3 x 3t... + λ x t coforme queríamos demostrar. = e = e λ 1 l x λ l x λ 1 + λ λ l x λ l x λ l x λ λ 1 + λ λ = e lxλ 1 1.xλ...xλ ) = x λ 1 1.x λ...x λ = Tomado os pesos λ 1 = λ =... = λ = 1/, etão a expressão.) passa a ser escrita como x 1 1.x 1...x 1 = x 1.x...x x, que é a média geométrica, MG, dos úmeros x 1, x,..., x. Tomado, aida, λ 1 = λ =... = λ = 1/, em.1) destacamos os seguites casos: a) Para t = 1, temos: 1 λ 1 x t 1 +λ x t +λ 3 x t 3...+λ x t) t 1 ) 1. 1 i = ) 1 = x 1 x x x 1 x x 3 que é de média harmôica, MH, dos úmeros reais positivos x 1, x, x 3,..., x. 1 b) Para t = 1, temos λ 1 x t 1 + λ x t + λ 3 x t λ x t) t x1 + x x ) =, que é a média aritmética, MA, dos úmeros positivos x 1, x, x 3,..., x. x λ i i, x

36 Capítulo. Algumas desigualdades clássicas 6 1 c) Fialmete, para t =, segue que λ 1 x t 1 +λ x t +λ 3 x t 3...+λ x t) t x = 1 + x x, que é a média quadrática, MQ, dos úmeros positivos x 1, x, x 3,..., x. Proposição 7. Se s < t etão 1 λ 1 x s λ x) s s 1 λ 1 x t λ x) t t..4) A igualdade em.4) é assumida se, e somete se, x 1 =... = x. Demostração. Dados s e t úmeros reais ão ulos. Seja f : 0, ) R defiida por fx) = x t/s. Iicialmete vamos dividir a prova em dois casos: i) Primeiros supohamos que 0 < s < t ou s < 0 < t. Neste caso, pelo Exemplo 14, segue-se que f é estritamete covexa. Etão aplicado a desigualdade de Jese aos potos x s 1,..., x s obtemos fλ 1 x s λ x s ) = ) t/s λ 1 x s λ x s λ 1 x s 1) t/s λ x s ) t/s = λ 1 x t λ x t, ou seja, ) t/s λ 1 x s λ x s λ1 x t λ x t,.5) e a igualdade é assumida somete se x 1 =... = x. Sedo t > 0 segue que a desigualdade [ ) ] t/s 1/t.5) é equivalete a λ 1 x s λ x s [λ 1 x t λ x t ]1/t, que é equivalete a.4), e a prova deste ítem esta cocluida. ii) Agora supohamos que s < t < 0. Neste caso, pelo Exemplo 14), segue-se que f é estritamete covexa. Etão aplicado a desigualdade de Jese aos potos x s 1,..., x s obtemos ) t/s fλ 1 x s λ x s ) = λ 1 x s λ x s λ 1 x s 1) t/s... λ x s ) t/s = λ 1 x t 1... λ x t, ou seja, ) t/s λ 1 x s λ x s λ1 x t 1) λ x t ),.6) e a igualdade é assumida somete se x 1 =... = x. Multiplicado a desigualdade.6) por 1 e a elevado a 1/t com t < 0 a desigualdade é equivalete a.4), e este ítem está

37 Capítulo. Algumas desigualdades clássicas 7 cocluido. Para fializar, ote que os ítems i) e ii) foi provado que a desiguladade é válida para úmeros reais ão ulos s < t. Agora, tomado limite com t 0 o caso em que s < 0 e fazedo s 0 o caso em que t > 0, obtemos 1 λ 1 x s λ x) s s 1 x λ 1 1.x λ.x λ x λ λ 1 x t λ x) t t, ) 1 pois, como mostramos, lim t 0 λ t t ix i = xλ i i Note-se que a Proposição 7 em particular implica, já que 1 < 0 < 1 <, em 1 x x x 1 x...x x x x x..7) Isto é, MH MG MA MQ e a igualdade é assumida, em qualquer uma das desigualdades acima, somete se x 1 =... = x. Exemplo 16 CVETKOVSKI [1]). Sedo a, b, c e d úmeros reais positivos obedecedo a relação a + b + c + d = 4, mostre que a + b + c + d ab + bc + cd + da..8) Solução. Como ab + bc + cd + da = a + c)b + d), dividido.8) por a + c)b + d), devemos mostrar simplesmete que 1 a + c + 1 b + d 1..9) De fato, usado a desigualdade MA MQ, temos que a + b + c + d a + b + c + d, 4 4 que equivale a a + b + c + d 4. Além disso, da desigualdade MA MH, segue que 1 a + c + 1 b + d = a + b + c + d, isto é 1 1 a + c b + d 1 a + c + 1 b + d 4 a + b + c + d = 1.

38 Capítulo. Algumas desigualdades clássicas 8 Exemplo 17. Sedo x R, tem-se si x + cos x. De fato, ote que a expressão si x + cos x tem seu valor máximo quado si x e cos x são positivos. Assim, da relação si x + cos x si x + cos x 1 MA MQ, seque que, dode si x+cos x =. Além disso, o máximo para a expressão é e ocorre quado si x = cos x =, ou seja, x = π + kπ, k Z. 4. As Desigualdades de Youg e de Hölder Proposição 8. Desigualdade de Youg) Dados p > 1 e q > 1 tais que 1/p + 1/q = 1 temos para todo úmero real x e y. xy 1 p x p + 1 q y q.10) Demostração. Já vimos que a fução g : 0, + ) R dada por gx) = l x é estritamete côcava, daí segue que fx) = lx é estritamete covexa o mesmo itervalo. Sejam A = x p + y q ) 1/p, B = x p + y q ) 1/q e os úmeros p, q, x e y, as codições do euciado. Etão, usado a covexidade de f e as propriedades dos logaritmos, temos [ ) p 1 x l + 1 ) q ] y 1 [ ) p ] x l + 1 [ ) q ] y l p A q B p A q B [ ) p ] 1/p [ ) q ] 1/q x y = l l A b = l x A l y B = l x ) A + l y B = l x. y ), A.B ou seja, x y AB 1 p ) p x + 1 A q ) q y..11) B Note agora que AB = x p + y q ) 1/p.x p + y q ) 1/q = x p + y q ) 1/p+1/q = x p + y q e que A p = B q = x p + y q. Com isso a desigualdade.11) passa a ser equivalete a x y 1 p x p + 1 q y q, que é o resultado que buscávamos, já que xy x y. Proposição 9. Desigualdade de Hölder) Sejam x 1,..., x e y 1,..., y duas sequêcias de úmeros reais. Se p e q são dois úmeros reais tais que p > 1, q > 1 e 1/p + 1/q = 1,

39 Capítulo. Algumas desigualdades clássicas 9 etão ) 1/p ) 1/q x i y i x i p y i q.1) e a igualdade é assumida se, e somete se, xp 1 y q 1 = xp y q =... = xp y q. Demostração. A demostração dessa desigualdade segue basicamete os mesmos passos da demostração de Desigualdade de Youg: usaremos a fução estritamete covexa ) 1/p fx) = lx) com x 0, ) e, apeas, trocaremos A por x p = x i p e B por y q = f, o fato de 1 p + 1 q que y i q ) 1/q. Diate do exposto, usado esta otação, a covexidade de = 1 e as propriedades da fução logaritmo temos, para cada i fixado, 1 x i ) p 1 y i ) ) q l + 1 l x i ) ) p + 1 l y i ) ) q p x p q y q p x p q y q = l x i ) y i ) l x p y [ q = l ] x i ) y i ) + l x p y q E esta desigualdade implica que = l x i x p y i y q ). x i y i 1 x i ) p 1 y i ) q. +.13) x p y q p x p q y q Agora somado a desigualdade.13) para i = 1,..., temos 1 1 x p y q x i y i 1 1 ) p p x p = 1 p x i p + 1 q 1 x p ) p x p ) p + 1 q = 1 p + 1 q = 1. 1 ) q y q 1 ) q y q ) q y q y i q Dessa última desidualdade segue, coforme queríamos demostrar, que ) 1/p ) 1/q. x i y i x p y q = x i p y i q

40 Capítulo. Algumas desigualdades clássicas 30 Note que para o caso particular p = q =, a desigualdade de Hölder, temos x iy i x i ) 1/ y i ) 1/, que é equivalete a ) x i y i ) x i y i )..14) A desigualdade.14) é muito usada e cohecida a literatura como desigualdade de Cauchy-Schwarz..3 A Desigualdade de Mikowski Proposição 10. Desigualdade de Mikowski) Sejam x 1,..., x e y 1,..., y duas sequêcias de úmeros reais. Se p > 1 etão ) 1 x i + y i p p ) 1/p ) 1/p x i p + y i p.15) e a igualdade é assumida se, e somete se, x 1 y 1 = x y =... = x y. Demostração. Note iicialmete que x i + y i p = x i + y i x i + y i p 1, e que, usado a desigualdade triagular covecioal, temos x i + y i p x i x i + y i p 1 + y i x i + y i p 1..16) Como p > 1, cosidere q, também maior que 1, tal que 1 p + 1 = 1, ou seja, q = p q p 1 p = qp 1). A razão para tomarmos q dessa forma é que vamos usar a Desigualdade de Hölder em cada uma das parcelas do lado direito da desigualdade.16) da seguite forma, pois 1 q = p 1 p ) 1/p ) 1/q x i x i + y i p 1 x i p x i + y i p 1 ) q ) 1/p ) 1 1/p = x i p x i + y i p,.17) = 1 1. De maeira aáloga ao que fizemos para obter.17), teremos p ) 1/p ) 1 1/p y i x i + y i p 1 y i p x i + y i p..18)

41 Capítulo. Algumas desigualdades clássicas 31 Agora, por.16),.17) e.18), segue que ) 1/p ) 1 1/p ) 1/p ) 1 1/p x i + y i p x i p x i + y i p + y i p x i + y i p ) 1/p ) 1/p ) 1 1/p = x i p + y i p x i + y i p. Fialmete, dividido a desigualdade acima por x i + y i p ) 1 1/p temos o resultado procurado. Note que para o caso particular p = q =, a desigualdade de Mikowski, temos ) 1 x i + y i ) 1/ x ) 1/, i + y i que é equivalete a ) x i + y i x i + y i..19) A desigualdade.19) é cohecida como desigualdade triagular geeralizada. Exemplo 18 CVETKOVSKI [1]). Desigualdade de Nesbitt) Sedo a, b e c úmeros reais positivos, prove que a b + c + b a + c + c a + b 3.0) Solução. A ideia básica dessa resolução é usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Para isso ote que que a desigualdade.0) equivale a a b + c b a + c c a + b a + b + c + a + b + c + a + b + c 9 b + c a + c a + b, ou seja 1 a + b + c) b + c + 1 a + c + 1 ) 9.1) a + b Desse modo, temos que mostrar a desigualdade.1). De fato, fazedo x = b + c, y = a + c e z = a + b, temos pela desigualdade de Cauchy-Schwarz que x + y + 1 z ) x y + 1 ) 1+1+1) = 9. Esta última desigualdade é equivalete à.1), z cocluido ossa resolução.

42 Capítulo 3 Aplicação em problemas do Esio Básico A seguir apresetamos uma série de problemas que podem ser aplicados a uma turma comum de Esio Médio, por exemplo. Problema 1 FEITOSA [4]: Baco de questões OBMEP ivel 3). a) Um quadrilátero com lados opostos iguais é um paralelogramo. As figuras a seguir mostram dois paralelogramos com os mesmos lados, sedo o segudo um retâgulo. Determie a maior área possível de um paralelogramo de lados b e h. b) Cosidere as duas figuras a seguir, ode a, b, x e y são úmeros reais positivos. Mostre que a figura da direita possui maior área. 3

43 Capítulo 3. Aplicação em problemas do Esio Básico 33 c) Usado o resultado do item aterior, prove a desigualdade de Cauchy-Schwarz para dois termos, ou seja ax + by a + b. x + y. Solução. a) Cosiderado todos os paralelogramos com lados b e h, de base b, por exemplo, temos que a área máxima ocorre quado a altura do paralelogramo é h, ito é, quado o paralelogramo é um retâgulo. Portato a área máxima de um paralelogramo de lados b e h é b.h e ocorre quado o paralelogramo é um retâgulo. b) Aqui temos uma aplicação do item aterior. Note que a figura da direita é igual à figura da esquerda trocado um paralelogramo de lados a + b e x + y por um retâgulo de lados a + b e x + y. Como a área do retâgulo é maior que a área do paralelogramo, segue que a área da figura direita é maior. c) Usado o resultado e as figuras do item aterior, temos as quatro desigualdades equivaletes abaixo: Isso termia ossa resolução. A[Figura esquerda] A[Figura direita] a + y)b + x) ab + xy + a + b. x + y ab + ax + by + xy ab + xy + a + b. x + y ax + by a + b. x + y. Problema PROFMAT [7]: Exame acioal de acesso - 01). Um fazedeiro deseja delimitar uma área retagular utilizado 40m de cerca e aproveitado um muro de mais de 40m) que já está costruído. Determie as dimesões do retâgulo de maior área que o fazedeiro cosegue delimitar. Solução. Sejam x e y as dimesões da superfície a ser cercada com, digamos, x perpedicular ao muro. Assim, temos que x + y = 40. Veja que, pela desigualdade MA MG, segue que 0 = x + y xy, ou seja, xy 00, xy = 00 se, e somete se, x = y e, portato, x = 10 e y = 0. Cocluido, a maior área que o fazedeiro poderá cercar será um retâgulo de 00m de área e dimesões 10m 0m.

44 Capítulo 3. Aplicação em problemas do Esio Básico 34 Problema 3 OBM [9]). Prove as desigualdades: a) a + b)b + c)c + a) 8abc, com a, b e c positivos; b) 1 + a 1 )1 + a ) a ), com a 1.a...a = 1 e a 1 0. Solução. a) Lembrado que a + b ab, b + c bc e c + a b)b + c)c + a) 8 a.b.b.c.c.a = 8 a b c = 8abc. b) Usado, aida, a desigualdade MA MG, temos que: ca, temos a a 1 a 1, 1 + a a,...) 1 + a a, dode 1 + a 1 )1 + a ) a ) a 1.a...a =. Problema 4 OBM [9]). Prove que a + b)a + c) abca + b + c) para quaisquer úmeros reais positivos a, b e c. Solução. Note que a+b)a+c) = a +ac+ab+bc = aa+b+c)+bc. Agora, veja que aa + b + c) + bc aa + b + c).bc = a bc + ab c + abc = abca + b + c), ou seja, a + b)a + c) abca + b + c). Problema 5 OBMEP [10]). Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. O segmeto AB é perpedicular a essas retas e o poto P, esse segmeto, é tal que AP = e BP = 1. O poto X pertece à reta r e a medida do segmeto BX é idicada por x. O poto Y pertece à reta s e o triâgulo XPY é retâgulo em P.

45 Capítulo 3. Aplicação em problemas do Esio Básico 35 a) Explique por que os triâgulos PAY e XBP são semelhates. b) Calcule a área do triâgulo XPY em fução de x. c) Para quais valores de x a área do triâgulo XPY é igual a 5? d) Determie o valor de x para o qual a área do triâgulo XPY é míima e calcule essa área. Solução. a) Note que os triâgulos PAY e XBP são retâgulos, respectivamete em A e B. Além disso, como B ˆXP + BˆPX = 90 = BˆPX + AˆPY, segue que B ˆXP = AˆPY e, fialmete, que os triâgulos PAY e XBP são semelhates pelo caso AA. b) Como os triâgulos PAY e XBP são semelhates, temos que AY 1 A[XPY] = A[ABXY] A[XPB]+A[PAY]), com A[ABXY] = 3x + 3 x, A[XPB] = x e A[PAY] =.AY x + AY).3 = AY =. Daí, temos que x ) A[XPY] = 3x + 3 x x + x 3x = x ) 3 + x ) x = x + 1 x. = = x. Assim, x + ).3 x = c) Basta resolver a equação x + 1 x = 5, que os forece duas raízes x 1 e x, com x 1 = 1 e x =. d) Este é o ítem que mais os iteressa, pois devemos miimizar a expressão x + 1 x. Ora, usado o fato de que MA MG, segue que x + 1 x x. 1 x x = 1. Logo, x + 1. Além x disso, a igualdade ocorre se, e somete, x = 1, isto é x = 1 e, portato, a área míima x procurada é, cocluido ossa resolução Problema 6 UFPI [1]: PSIU - o ao - 007). O valor máximo que a expressão assume é: a) 1 b) c) 3 d) 5 e) 3 y = cos x + si x

46 Capítulo 3. Aplicação em problemas do Esio Básico 36 Solução. Note que a expressão acima tem seu valor máximo quado si x e cos x são positivos. Assim, usado a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos que. cos x + 1. si x + 1. si + cos = 5, e a igualdade ocorre se, e somete se, cos x = 1 si x, ou seja, se ta x = 1. Portato o valor máximo de y = cos x + si x é 5, que correspode à alterativa d). Problema 7 PROFMAT [7]:AV-MA11-011). Levado em cota que um âgulo é máximo um certo itervalo quado sua tagete é máxima, resolva o seguite problema: Detro de um campo de futebol, um jogador corre para a liha de fudo do time adversário ao logo de uma reta paralela à lateral do campo que cruza a liha de fudo fora do gol ver figura). Os postes da meta distam a e b, com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador vê a meta sob âgulo máximo quado sua distâcia x ao fudo do campo é igual a ab Solução. Em cada istate, o jogador vê o gol sob o âgulo m = m+), ode m+ e são os âgulos etre sua trajetória e as retas que o ligam aos postes do gol, sedo que tam + ) = b x e ta = a x, temos: ta m = = tam + ) ta 1 + ta m. ta b x a x = 1 + b x.a x b a x x x + ba x.x

47 Capítulo 3. Aplicação em problemas do Esio Básico 37 Ou seja, ta m = b a. Note, agora, que b a é costate e, daí, segue que ta m será x + ba x máxima quado o deomiador for míimo, isto é, precisamos ecotrar o valor de x que miimiza a expressão x + ba x + ba x. Como MA MG, temos que x x. ba x = ab, ou seja, o deomiador da expressão acima é sempre maoir que ou igual a ab e a igualdade ocorre somete se os termos da média forem iguais, isto é x = ab, isto é, x x = ab, cocluido ossa resolução. Problema 8 FEITOSA [3]: Baco de questões OBMEP ivel 3). A figura a seguir mostra um quadrado de lado 1 com um vértice em comum com uma reta horizotal. Cosiderado todas as posições em que o quadrado ecosta apeas um de seus vértices a reta, qual a maior área possível do petágoo ABCEF ode E e F são as projeções ortogoais dos vértices A e C a reta horizotal? Solução. Note, pra iício de coversa, que os triâgulos ADF e DCE são cogruetes pelo caso ALA pois A ˆDF = 90 C ˆDE = DĈE, AD = CD e FÂD = 90 A ˆDF = C ˆDE. Além disso, como a área do petágoo é a soma da área do quadrado com a área dos dois triâgulos, temos: A[ABCEF] = AF.DF = AF.DF = AF.DF DE.CE + AF.DF Para ecotrar a área máxima do petágoo ABCEF, devemos maximizar a expressão AF.DF + 1 e o faremos usado a desigualdade etre as médias aritmética e geométrica.

48 Capítulo 3. Aplicação em problemas do Esio Básico 38 Para isso ote que AF.DF + 1 AF + DF + 1 = = 3 lembre-se que AF + DF = AD = 1 porque o triâgulo ADF é retâgulo!). Além disso, a igualdade A[ABCEF] = 3 ocorre se, e somete se, AF = DF. Portato a maior área possível para o petágoo ABCEF é 3. Problema 9 PROFMAT [7]:AV-MA1-011). Uma caixa retagular sem tampa tem arestas medido x, y e z veja figura, ode as lihas tracejadas idicam segmetos de arestas obstruídos por alguma face). a) Exprima a área e o volume da caixa em fução de x, y e z. b) Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 3, etão sua área é maior ou igual a 48. c) Determie as medidas das arestas da caixa de área míima com volume igual a 3. Solução. a) A área da caixa é A = xy + xz + yz e o volume, V = xyz. b) Usado a desigualdade das médias para os úmeros xy, xz e yz, segue que: xy + xz + yz 3 3 xy.xz.yz = 3 4xyz) = = 16 Já que xyz correspode ao volume da caixa que vale, por hipótese, 3. Com isso, temos que A = xy + xz + yz 48, como queríamos. c) Do item aterior, temos que a A 48, com a igualdade ocorredo se, e somete se, xy = xz = yz, ou seja, x = y = z. Além disso, como o o volume da caixa é 3, segue que 4z 3 = 3 z = e, fialmete, x = y = 4. Portato as dimesões da caixa de área míima são, 4 e 4.