UMA ABORDAGEM SOBRE DESIGUALDADES E SUAS APLICAÇÕES

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS MESTRADO EM MATEMÁTICA UMA ABORDAGEM SOBRE DESIGUALDADES E SUAS APLICAÇÕES GABRIEL CARVALHO VELAME CRUZ DAS ALMAS 014

2 UMA ABORDAGEM SOBRE DESIGUALDADES E SUAS APLICAÇÕES GABRIEL CARVALHO VELAME Trabalho de coclusão de curso apresetado ao curso de Mestrado Profissioal em Matemática do Cetro de Ciêcias Exatas e Tecológicas da Uiversidade Federal do Recôcavo da Bahia e a Sociedade Brasileira de Matemática, como parte dos requisitos para a obteção do título de mestre. Orietador: Prof o Dr. Juarez dos Satos Azevedo CRUZ DAS ALMAS 014

3 UMA ABORDAGEM SOBRE DESIGUALDADES E SUAS APLICAÇÕES GABRIEL CARVALHO VELAME Trabalho de coclusão de curso apresetado ao curso de Mestrado Profissioal em Matemática do Cetro de Ciêcias Exatas e Tecológicas da Uiversidade Federal do Recôcavo da Bahia e a Sociedade Brasileira de Matemática, como parte dos requisitos para a obteção do título de mestre. Baca Examiadora: Cruz das Almas, 0 de Março de 014.

4 Aos meus pais e e à miha irmã Daiela, com muito amor.

5 "Se as pessoas ão acham a Matemática simples é só por que aida ão perceberam o quato a vida é complicada" Joh vo Neuma

6 AGRADECIMENTOS A Deus, em primeiro lugar, em especial à miha MÃE (i memoria), que sempre me icetivou os estudos, à miha irmã, ao meu pai, à miha família, pela força dada, à miha oiva e sua família, por estarmos quase sempre jutos os mometos mais importates, aos meus amigos. Agradeço por poder cotar sempre com todos. A Istituição e a todos que a compõem. Ao professor e orietador Prof o Dr. Juarez dos Satos Azevedo, pelas cotribuições, pela orietação, que me levaram a execução e coclusão deste trabalho. A todos os colegas do mestrado, que cotribuíram diretamete esta etapa de ovos cohecimetos. Por terem sido compaheiros em todos os mometos. A todos aqueles que direta ou idiretamete cotribuíram para a realização deste trabalho de alguma forma, a todos que passaram pela miha vida e colaboraram para a costrução de quem sou hoje. Os meus siceros agradecimetos. Agradeço à Daiela, Daúbia, Jailso e Neilae, Roque, D. Hilda, Aliso e Rose, Osildo, aos amigos da Copla, aos compaheiros do Eliel, que além de compaheiros de estrada, toraram-se grades parceiros, pela ateção, compahia, coselhos, por todos os risos, por me suportarem os mometos de iteso casaço e estresse. Agradeço ao professor Eleazar Madriz, que sempre me deu apoio. Efim, a todos os que, de alguma maeira, cotribuíram para a coclusão de mais esta fase da miha vida, os meus siceros agradecimetos. Gabriel Carvalho Velame

7 RESUMO Este trabalho cosiste a abordagem de desigualdades matemáticas e suas aplicações para o esio médio. Neste setido destacamos algumas desigualdades importates a literatura matemática que podem servir de suporte para o coteúdo estudado a matemática elemetar. A elaboração se deu a partir de pré-requisitos básicos de idução, propriedades básicas das desigualdades, módulo de um úmero real, médias, fuções covexa e côcava e úmeros complexos, seguida da apresetação das desigualdades, com demostrações acessíveis ao público com cohecimeto de matemática básica. O trabalho fializa com aplicações relacioadas ao tema abordado, proporcioado aos discetes o cotato com problemas que estimulam capacidade de raciocíio. A maioria das aplicações fazem relação com coteúdos do programa do esio básico, a área de geometria, álgebra e otimização. Palavras-chave: álgebra, desigualdades, esio médio, geometria, otimização.

8 ABSTRACT This work costitutes of mathematical iequalities ad their applicatios to high school approach. I this sese we highlight some importat iequalities i mathematics literature that may provide support for the cotet studied i elemetary mathematics. The preparatio took from basic prerequisites iductio, basic properties of iequalities, modulus of a real umber, medium, covex ad cocave fuctios, complex umbers, followed by presetatio of iequalities, with statemets accessible to the public with kowledge of basic mathematics. The work cocludes with applicatios related to the topic discussed, givig studets cotact with problems that stimulate reasoig ability. Most applicatios are compared with the cotets of the basic educatio program i the area of geometry, algebra ad optimizatio. Keywords: algebra, iequalities, high school, geometry, optimizatio.

9 SUMÁRIO Itrodução 10 1 Prelimiares Pricípio de Idução Matemática Propriedades Básicas das Desigualdades Módulo de um Número Real Médias Fuções covexas e côcavas Coceitos Básicos dos Números Complexos Produto Itero Desigualdades.1 Desigualdade de Cauchy-Schwarz Desigualdade Triagular Desigualdade das Médias Aritmética e Quadrática Desigualdade de Jese Cosequêcias da desigualdade de Jese Desigualdade das Médias Aritmética e Geométrica Desigualdade de Youg Aplicações das Desigualdades 33 Coclusão 50

10 LISTA DE FIGURAS 1.1 Eixo Orietado Módulo de um úmero real Distâcia de x a y Gráfico de uma fução: (a) côcava e (b) covexa Vetor OZ Soma de dois complexos Âgulo formado por dois vetores Triâgulo ABC Desigualdade triagular Represetação geométrica do problema Paralelepípedo de arestas x, x e h Modelo da lata de zico Represetação da folha de cartolia Retâgulo de lados a, b e diagoal c Problema das Torres Solução geométrica do problema das torres

11 INTRODUÇÃO Este trabalho visa costruir estratégias que motivem um tema pouco abordado o esio médio e esiado as vezes de modo superficial: as desigualdades. Muitos problemas de desigualdades foram desevolvidos a matemática evolvedo grades matemáticos como Euclides, Arquimedes, Jacques Beroulli, Newto, Cauchy e outros [1]. A êfase deste coteúdo os livros didáticos é escassa, apesar de existir muitos problemas iteressates que podem ser solucioados usado o recurso das desigualdades. Estima-se que o estudo das desigualdades teha seu iício o século IVa.C. com a desigualdade triagular euciada o livro I de Os Elemetos de Euclides e em seguida com o estudo de otimização para cálculos com figuras geométricas. Sabe-se que durate este período ão se cohecia ehum método uiforme para este tipo de otimização []. Neste setido um dos problemas mais atigos de otimização de figuras plaas, pode ser ecotrado o livro V I de Os Elemetos de Euclides, adaptado através do euciado: "De todos os retâgulos com o mesmo perímetro, qual tem área máxima?"[3]. No presete trabalho foram abordadas algumas desigualdades, como exemplos: a desigualdade de Cauchy-Schwarz, a desigualdade triagular, a desigualdade etre as médias, a desigualdade de Jese, etre outras. No caso da desigualdade de Cauchy-Schwarz, possui grades aplicações a aálise, álgebra liear, mecâica quâtica, probabilidade, estatística e outras [4]. A desigualdade triagular que é empregada as aplicações de geometria euclidiaa e os úmeros complexos [5, 6]. A desigualdade etre as médias, abordada o esio médio e superior para resolver problemas de otimização [7]. A desigualdade de Jese bastate utilizada o estudo de otimização de fuções covexas e gahado destaque as áreas 10

12 de mecâica, termodiâmica, probabilidade, etc [8, 9]. Apesar da iúmeras aplicações das desigualdades a matemática superior, existe uma grade lacua a aplicação destas desigualdades o esio médio. Isto serve de motivação para estudarmos o tema em questão e propor ovas estratégias que estimulem o seu estudo e suas aplicações para o esio básico, visto que é importate para icetivar a liguagem matemática e o pesameto algébrico. De um modo geral as desigualdades começam a ser trabalhadas o esio médio a partir das iequações, iseridas o estudo das fuções. No etato há uma certa dificuldade por parte dos aluos em compreeder tal coteúdo, já que os mesmos têm dificuldade em resolver simples equações, ou seja, a partir do mometo em que começam a lidar com álgebra o etedimeto dos coteúdos se tora mais complicado [10]. Desta forma pretede-se mostrar a sua importâcia para diversas situações que evolvem a matemática em vários cotextos com abordagem o esio médio, destacado várias aplicações das desigualdades, como exemplo, problemas relacioados a máximos e míimos, evolvedo coceito de perímetro, áreas, volume, detre outros. O objetivo é que o aluo teha uma oção básica, explorado sua capacidade de raciocíio, causado mais iteresse e mais aprofudameto o coteúdo. Para tato, o trabalho foi dividido em três capítulos. O Capítulo I trata das prelimiares, ode se busca falar sobre algumas oções que facilitarão o etedimeto do coteúdo abordado. O Capítulo I I é destiado ao estudo de algumas desigualdades e suas demostrações, ode objetivou-se usar uma liguagem mais acessível, tetado fazer uma relação etre as desigualdades, apresetado as propriedades básicas de algumas desigualdades em várias seções de matemática. Já o Capítulo III coube a parte de variadas aplicações a área de geometria, álgebra e otimização. Motivados por este tema e após aálise cuidadosa da literatura, observamos que as aplicações aqui iseridas podem ser tratadas sem dificuldades o esio médio. 11

13 CAPÍTULO 1 PRELIMINARES NESTE capítulo iremos expor coceitos e resultados básicos de idução, propriedades básicas das desigualdades, módulo de um úmero real, médias, fuções côcava e covexa, úmeros complexos, produto itero, que se fazem ecessários para uma melhor compreesão do trabalho. Detalhes adicioais acerca destes assutos podem ser ecotrados em [11, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]. 1.1 Pricípio de Idução Matemática Utilizaremos um pricípio de cotagem cohecido como axioma de idução que será útil para demostrarmos a desigualdade de Jese e suas propriedades sobre o cojuto dos úmeros aturais defiido por N: Seja X N. Se 1 X e se, além disso, o sucessor de todo elemeto de X aida pertece a X, etão X = N. Um tratameto mais completo pode ser ecotrado em [11, 1]. A fim de usarmos uma liguagem a forma de propriedades, e ão de cojutos, podemos reescrever o axioma de idução da seguite forma: Seja P() uma seteça aberta sobre N. Supoha que i) P(1) é verdadeira; ii) N, sempre que P() é verdadeira, segue que P( + 1) é verdadeira. Etão, P() é verdadeira para todo N. 1

14 1. Propriedades Básicas das Desigualdades Destacaremos a seguir algumas propriedades, as quais se referem aos úmeros reais positivos [1]. Para idicarmos que um úmero real x é positivo, escrevemos x > 0. Temos que: i) Dado o úmero real x, há três possibilidades que se excluem mutuamete: ou x é positivo, ou x = 0 ou x é positivo. ii) A soma e o produto de úmeros positivos são aida úmeros positivos. Uma relação fudametal etre úmeros reais é a relação de desigualdade x < y. A desigualdade etre úmeros reais reduz-se ao cohecimeto dos úmeros positivos, pois a relação x < y sigifica que y x é um úmero positivo. As propriedades importates desta relação são: 1) Tricotomia: dados x, y R, é válida uma, e somete uma, das relações seguites: x < y, x = y ou y < x; ) Trasitividade: se x < y e y < z etão x < z, z R; 3) Mootoicidade da adição: se x < y, etão para todo z R, tem-se x + z < y + z; 4) Mootoicidade da multiplicação: se x < y e z > 0 etão xz < yz; 5) Se x = 0 etão x > 0; 6) Se 0 < x < y etão 0 < 1 y < 1 x ; 7) Se x < y e z é egativo etão xz > yz. Geometricamete a relação x < y sigifica que, um eixo orietado (Figura 1.1), o poto de abscissa y está a direita do poto de abscissa x. Figura 1.1: Eixo Orietado. Algebricamete tem-se x < y se, e somete se, y x = k é um úmero positivo. Desta forma, vale x < y se, e somete se, existe um úmero real positivo k tal que y = x + k. 13

15 1.3 Módulo de um Número Real Defiição 1.1. O módulo de um úmero real x, deotado por x, é defiido por x = { x, se x 0; x, se x < 0. (1.1) Outra forma de se defiir o módulo é x = x = max{x, x}. (1.) Observado os úmeros reais como potos da reta umerada, verificamos que o módulo de um úmero real x é a distâcia de x a 0 (vide Figura 1.). Em geral, dados x, y R, podemos Figura 1.: Módulo de um úmero real. otar que x y é igual a distâcia do poto X ao poto Y a reta, coforme Figura 1.3. Segue Figura 1.3: Distâcia de x a y. algumas relações de desigualdade evolvedo módulo de um úmero real. Para qualquer úmero real positivo d: x d d x d; (1.3) x < d d < x < d; (1.4) x d x d ou x d; (1.5) x > d x < d ou x > d; (1.6) 14

16 1.4 Médias Nesta seção iremos defiir as médias aritmética, geométrica, quadrática e harmôica, requisito básico para trabalharmos com desigualdade etre médias. Média aritmética Defiição 1.. A média aritmética A dos úmeros reais positivos x 1, x,..., x é defiida por: Média geométrica A = x 1 + x x. (1.7) Defiição 1.3. A média geométrica G dos úmeros reais positivos x 1, x,..., x é defiida por: Média quadrática G = x 1 x... x. (1.8) Defiição 1.4. A média quadrática Q dos úmeros reais positivos x 1, x,..., x é defiida por: x1 Q = + x x. (1.9) Média harmôica Defiição 1.5. A média harmôica H é defiida como o iverso da média arimética dos iversos dos úmeros. Etão para os úmeros reais positivos x 1, x,..., x temos: 1.5 Fuções covexas e côcavas H = 1 x 1 + x x 1. (1.10) Este coceito será usado a desigualdade de Jese, a qual é destaque o capítulo a seguir. Defiição 1.6. Uma fução cotíua f : I R, com o itervalo I R, é: ( ) x + y f (x) + f (y) i) covexa, se f, x, y I. 15

17 ( ) x + y ii) côcava, se f Podemos escrever as codições de covexidade e cocavidade através da seguite proposição: f (x) + f (y), x, y I. Proposição 1.1. Se f : I R é uma fução cotíua, etão: i) f é covexa se, e somete se, para todos x, y I e todo t [0, 1], tivermos: f (tx + (1 t)y) t f (x) + (1 t) f (y). (1.11) ii) f é côcava se, e somete se, para todos x, y I e todo t [0, 1], tivermos: f (tx + (1 t)y) t f (x) + (1 t) f (y). (1.1) A prova da Proposição 1.1 pode ser ecotrada em [14]. A defiição de covexidade, do poto de vista geométrico, sigifica que, para cada par de potos x e y escolhidos o itervalo I, o gráfico da fução ecotra-se abaixo do segmeto de reta secate que juta os potos (x, f (x)) e (y, f (y)) (Figura 1.4(b)). Já a fução côcava o gráfico se ecotra acima do segmeto de reta secate que juta os potos (x, f (x)) e (y, f (y)) (Figura 1.4(a)). (a) (b) Figura 1.4: Gráfico de uma fução: (a) côcava e (b) covexa. 16

18 Exemplo 1: A fução logaritmo atural, log : (0, + ) R, é côcava. De fato dados x, y úmeros reais positivos, temos x + y xy. Como a fução log, a base e, é crescete, segue que ( ) x + y log log log(x) + log(y) xy =, (1.13) valedo a igualdade se e somete se x = y. Usaremos este fato para demostrar a desigualdade etre as médias aritmética e geométrica. Exemplo : Outro resultado iteressate que aplicaremos as desigualdades é o fato da fução seo ser estritamete côcava o itervalo [0, π]. Seguido as ideias de Neto [14] e cosiderado x, y [0, π], é suficiete mostrarmos que ( ) x + y si(x) + si(y) si, (1.14) com igualdade quado x = y. Para tato, trasformado o primeiro membro em produto, obtemos ( ) x + y si(x) + si(y) = si cos ( x y ). (1.15) A codição x, y [0, π] garate que x+y [0, π], e daí si( x+y ) 0; mas como sempre temos cos( x y ) 1, segue etão que ( x + y si ) cos ( ) ( x y x + y si ), (1.16) ocorredo a igualdade se, e somete se, cos( x y x+y ) = 1 ou si( ) = 0. Vejamos estas duas possibilidades separadamete: 1) cos( x y π ) = 1: a codição x, y [0, π] garate que x y π, e esse itervalo temos que cos( x y ) = 1 se e só se x y = 0, ou seja, se x = y. ) si( x+y x+y ) = 0: segue de [0, π] que x+y = 0 ou π; mas como x, y [0, π], isso é similar a x = y = 0 ou x = y = π. Exemplo 3: Outro resultado a ser usado as aplicações é o fato da fução quadrática f (x) = x ser covexa em qualquer itervalo fechado [α, β]. De fato, sejam x, y [α, β], etão, para todo 17

19 t [0, 1] valem as desigualdades: (tx + (1 t)y) = t x + (1 t) y + t(1 t)xy t x + (1 t) y + t(1 t)(x + y ) = x [t + t(1 t)] + y [(1 t) + t(1 t)] = tx + (1 t)y, (1.17) ode da primeira para seguda liha usou-se a desigualdade xy x + y. 1.6 Coceitos Básicos dos Números Complexos Neste trabalho, a desigualdade triagular é aplicada a valores complexos. Assim, usado a referêcia de Carmo [16], iremos cosiderar o cojuto C como o cojuto dos úmeros complexos, muido das operações de adição e de multiplicação e satisfazedo os seguites ites: a) Existe um úmero i C com i = 1; b) Todo úmero Z C pode ser escrito de uma maeira úica a forma a + bi, ode a e b R. Usa-se a otação Re(Z) = a e Im(Z) = b para desigar a parte real e imagiária respectivamete do úmero complexo Z = a + bi. Da defiição adotada, decorre que podemos pesar em Z = a + bi como um poto (a, b) do plao cujas coordeadas são a e b, ou aida como vetor (isto é, o segmeto orietado) de origem O o sistema de coordeadas e extremidade (a, b) cujo vetor é dado por OZ (Figura 1.5). No Figura 1.5: Vetor OZ. 18

20 primeiro caso, o poto (a, b) é chamado de imagem do complexo Z = a + bi. No último caso, os úmeros a e b são chamados compoetes do vetor OZ. A operação soma de dois complexos é represetada por um vetor, cujas compoetes são as somas das compoetes dos vetores dados. Geometricamete a Figura 1.6 estabelece a diagoal do paralelogramo costruído através da soma dos vetores dados. Além disso o cojugado Figura 1.6: Soma de dois complexos. de um úmero complexo Z = a + bi, é defiido como Z = a bi e o seu módulo é o úmero real ão egativo Z = a + b. Geometricamete, Z mede a distâcia de O a Z, ou seja, mede o módulo do vetor que represeta o complexo Z. O cojugado e o módulo dos úmeros complexos possuem algumas relações iteressates coforme descritas a seguir: Para todo Z, W C, temos Z W = Z W; (1.18) Z ± W = Z ± W; (1.19) Z = Z; (1.0) Re(Z) = Z + Z ; (1.1) Z Z = Z ; (1.) Z = Z = Z ; (1.3) Re(Z) Re(Z) Z ; (1.4) Im(Z) Im(Z) Z ; (1.5) Z W = Z W ; (1.6) 19

21 e Z + W Z + W, (1.7) chamada de desigualdade triagular, que mostraremos a aplicação 3. Na próxima seção iremos defiir algumas operações etre vetores através do produto itero. 1.7 Produto Itero Uma das operações etre vetores é o produto itero. Defiição 1.7. Sejam u = (a 1, a,..., a ) e v = (b 1, b,..., b ) vetores em R, defiimos o produto itero euclidiao como: u, v = a 1 b 1 + a b a b. (1.8) Usaremos a otação u para idicar a orma ou comprimeto de um vetor u arbitrário que é dado pelo comprimeto de um segmeto represetate de u. Se u R, com u = (a 1, a,..., a ), temos que u = a 1 + a a. (1.9) Em particular, se v R e v = coordeadas, se v = (α, β) etão AA etão v = dist(a, A ). No caso de um sistema de v = α + β. (1.30) O âgulo etre dois vetores ão ulos, por exemplo, u, v R, é por defiição o âgulo BAC, ode u = AB e v = AC são represetações dos vetores dados mediates segmetos orietados com origem em A (Figura 1.7). Figura 1.7: Âgulo formado por dois vetores. Podemos defiir o produto itero euclidiao etre u, v de outra forma: 0

22 Defiição 1.8. O produto itero dos vetores ão-ulos u, v R, é o úmero u, v = { u v cosθ, se u = 0 e v = 0; 0, se u = 0 ou v = 0. (1.31) Vejamos algumas propriedades importates de produto itero: u + v, w = u, w + v, w ; (1.3) u, v + w = u, v + u, w ; (1.33) u, u = u ; (1.34) ku, u = k u, u, k R. (1.35) Estas propriedades do produto itero serão ecessárias a apresetação da desigualdade de Cauchy, como também a desigualdade triagular. No próximo capítulo abordaremos estas desigualdades. Um tratameto mais completo desta seção pode ser ecotrado em [17, 18, 19]. 1

23 CAPÍTULO DESIGUALDADES NESTE capítulo será feita uma abordagem sobre algumas desigualdades e suas respectivas demostrações. O objetivo é efatizar a importâcia de tais desigualdades e suas aplicações a literatura matemática, como a resolução de problemas de otimização, geometria, álgebra e aálise..1 Desigualdade de Cauchy-Schwarz Esta importate desigualdade, aparece em algus cotextos da matemática, como a álgebra liear (a aplicação de vetores), a aálise matemática, a resolução de problemas, detre outras. Para prová-la, iremos apresetar uma demostração simples usado apeas o triômio do segudo grau. Seguiremos a ideia de [0]. Teorema.1. Sejam a 1, a,..., a e b 1, b,..., b úmeros reais, ão todos ulos ( > 1), tem-se a 1 b a b a a b b. (.1) Além disso, a igualdade só ocorre se existir um úmero real positivo α, tal que a 1 = αb 1,..., a = αb ou b 1 = αa 1,..., b = αa. Demostração. Cosidere o triômio do segudo grau f (x) = (a 1 x b 1 ) + (a x b ) (a x b ). (.)

24 Desevolvedo cada parcela da soma acima, temos que f (x) = (a a )x (a 1 b a b )x + (b b ). (.3) Note que f (x) é uma soma de quadrados, logo f (x) 0 para todo real x. Nessas codições o discrimiate do triômio do segudo grau deve ser 0, ou seja, [ (a 1 b a b )] 4(a a )(b b ) 0. (.4) Daí, 4(a 1 b a b ) 4(a a )(b b ). (.5) Simplificado o fator 4 e extraido a raiz quadrada em ambos os membros, ecerramos a prova da desigualdade de Cauchy. real α. Logo substituido α a idetidade (.) temos: A igualdade segue se = 0, ou seja, o triômio tem uma raiz (a 1 α b 1 ) + (a α b ) (a α b ) = 0. (.6) Segue que todos os parêteses devem ser ulos, implicado que os a i e b i devem ser proporcioais, isto é, b i = αa i. Apresetaremos agora a desigualdade de Cauchy usado a defiição de produto itero. Ao tomarmos módulo em ambos os membros da idetidade (1.31) e sabedo que cos(θ) 1 para todo θ, obtemos a desigualdade de Cauchy: u, v u v. (.7) A igualdade é válida se, e somete se, u e v são múltiplos um do outro. A demostração pode ser ecotrada em [1, 4]. Vejamos agora a iteressate relação etre as equações (.1) e (.7), através das expressões a seguir: u, v = a 1 b 1 + a b a b, (.8) u = a i, (.9) v = bi. (.10) Fazedo as substituições de tais expressões a desigualdade (.7), verificamos a desigualdade (.1). 3

25 . Desigualdade Triagular Nesta seção faremos uma abordagem sobre a desigualdade triagular a qual tem sido extesivamete referida as aplicações matemáticas e tem origem a geometria euclidiaa. Maiores detalhes podem ser ecotrados em [6,, 15]. Teorema.. Dado o triâgulo ABC (vide Figura (.1)), o comprimeto de um dos lados é sempre iferior à soma dos comprimetos dos outros dois lados, ou seja, AB < AC + CB, (.11) AC < AB + BC, (.1) BC < BA + AC. (.13) Figura.1: Triâgulo ABC. Apresetamos a seguir uma versão da desigualdade triagular para úmeros reais a qual faz aalogia com a geometria plaa, evolvedo módulo de úmeros reais. Proposição.1. Para todos os reais ão ulos a e b, temos a + b a + b, (.14) ocorredo a igualdade se e só se a e b tiverem o mesmo sial. 4

26 Demostração. Se a + b 0, etão a + b = a + b a + b. Caso cotrário, se a + b < 0, etão a + b = a b a + b. Também são válidas as desigualdades que seguem: a b a + b, (.15) a b a b, (.16) a b a b. (.17) Destacamos a versão geral da desigualdade triagular, também cohecida a literatura matemática: a 1 + a a a 1 + a a, (.18) ocorredo a igualdade se, e somete se a 1, a,..., a tiverem todos o mesmo sial. A desigualdade triagular pode ser euciada a próxima proposição usado vetores. Para prová-la seguiremos as ideias de [1] usado a desigualdade de Cauchy (.7). Proposição.. Para todos os vetores u e v do plao vale a desigualdade triagular: u + v u + v, (.19) valedo a igualdade se, e somete se, um dos vetores u ou v é zero ou são múltiplos positivos um do outro. Figura.: Desigualdade triagular. Demostração. Como estamos trabalhado com úmeros reais ão egativos, a desigualdade (.19) equivale à desigualdade: u + v ( u + v ). (.0) 5

27 Da desigualdade de Cauchy-Schwarz (.7) e das propriedade de produto itero (1.33), (1.35), temos: u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v = u + u, v + v u + u v + v = ( u + v ), (.1) cocluido que u + v u + v. (.) Na próxima seção iremos itroduzir as desigualdades das médias aritmética e quadrática aplicado a desigualdade de Cauchy (.1)..3 Desigualdade das Médias Aritmética e Quadrática Uma prova alterativa da desigualdade das médias aritmética e quadrática é dada pela seguite proposição (vide [3]): Proposição.3. Dados úmeros reais positivos x 1, x,..., x, sua média aritmética é sempre meor ou igual que a média quadrática. Em símbolos: x 1 + x x x1 + x x, (.3) ocorredo a igualdade se e só se x 1 = x =... = x. Demostração. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, (x 1 + x x ) (x 1 + x x )( ) = (x 1 + x x ). (.4) Dividido ambos os membros por, ( x 1 + x x ) x 1 + x x, (.5) logo, x 1 + x x x1 + x x. (.6) 6

28 .4 Desigualdade de Jese Esta desigualdade está iserida o cotexto das fuções covexas e côcavas, defiidas o Capítulo 1. Veremos abaixo a forma geeralizada. Teorema.3. Sejam I R um itervalo aberto, f : I R uma fução cotíua. Se x 1,..., x I e t 1,..., t (0, 1), com t t = 1, etão t 1 x t x I e: i) Se f for covexa, etão f (t 1 x t x ) t 1 f (x 1 ) t f (x ), (.7) ocorredo a igualdade o caso em que f é estritamete covexa se e só se x 1 =... = x. ii) Se f for côcava, etão f (t 1 x t x ) t 1 f (x 1 ) t f (x ), (.8) ocorredo a igualdade o caso em que f é estritamete côcava se e só se x 1 =... = x. Demostração. Supohamos que f é covexa. Iremos utilizar o Pricípio de Idução 1.1 sobre > 1. O caso = segue da própria defiição de fução covexa. Supoha agora que, para um certo > e todos x 1,..., x I e t 1,..., t (0, 1), com t t = 1, tehamos t 1 x t x I e f (t 1 x t x ) t 1 f (x 1 ) t f (x ), (.9) ocorredo a igualdade quado x 1 =... = x. Cosideremos elemetos x 1,..., x, x +1 I e t 1,..., t, t +1 (0, 1) tais que t t + t +1 = 1. Defia y = t 1x t x 1 t +1 = s 1 x s x, (.30) com s j = t j 1 t +1 para 1 j. Como s s = 1 e s j (0, 1) para 1 j, segue da hipótese de idução que y I. Daí, t 1 x t x + t +1 x +1 = (1 t +1 )y + t +1 x +1 I, (.31) 7

29 e a covexidade de f f (t 1 x t x + t +1 x +1 ) = f ((1 t +1 )y + t +1 x +1 ) (1 t +1 ) f (y) + t +1 f (x +1 ), (.3) com igualdade se e só se y = x +1. Aplicado a outra metade da hipótese de idução, obtemos f (y) = f (s 1 x s x ) s 1 f (x 1 ) s f (x ) 1 = (t 1 1 f (x 1 ) t f (x )), t +1 com igualdade se e só se x 1 =... = x. Uido as desigualdades acima, cocluímos que f (t 1 x t x + t +1 x +1 ) (1 t +1 ) f (y) + t +1 f (x +1 ) t 1 f (x 1 ) t f (x ) + t +1 f (x +1 ), (.33) (.34) ocorredo a igualdade se e só se y = x +1 e x 1 =... = x. Mas é imediato verificar que tais codições equivalem a x 1 =... = x = x +1, coforme desejado..5 Cosequêcias da desigualdade de Jese.5.1 Desigualdade das Médias Aritmética e Geométrica A desigualdade etre a média aritmética e a média geométrica, utilizada em diversas aplicações matemáticas, pode ser vista como uma cosequêcia da desigualdade de Jese [14]. Cosidere a seguite proposição: Proposição.4. Dados úmeros reais positivos x 1, x,..., x, sua média aritmética é sempre maior ou igual a média geométrica. Em símbolos: x x ocorredo a igualdade se e só se x 1 = x =... = x. x 1...x, (.35) Demostração. Dados úmeros reais positivos a 1,..., a e, sabedo que a fução logaritmo atural é sobrejetiva, temos que existem reais x 1,..., x tais que a j = log(x j ) para 1 j. É importate observar que a fução log : (0, + ) R é estritamete côcava. Usado a desigualdade de Jese podemos otar que log(x 1 ) + log(x ) log(x ) 8 ( ) x1 + x x log, (.36)

30 ou aida ( ) log x1 + x x 1 x...x x log, com igualdade se e só se x 1 =... = x. Portato, pelo fato de a fução logaritmo atural ser crescete, verifica-se a desigualdade etre as médias aritmética e geométrica, ou seja, (G A), ( ) x1 + x x1 x...x x. (.37) A próxima desigualdade relacioa as médias geométrica e harmôica. Para demostrá-la vamos fazer uso da desigualdade que acabamos de estudar seguido as ideias de [15]. Desigualdade etre as Médias Geométrica e Harmôica Proposição.5. Dados x 1, x,..., x úmeros reais positivos tem-se x1 x... x, (.38) x 1 x x ou seja, H G. A igualdade vale se, e somete se, x 1 = x =... = x. vale Demostração. Usado a Proposição.4 com os úmeros x i substituídos por 1 x i (i = 1,,..., ) Agora otemos que cocluido que 1 x x x 1 1 x x x = x 1 x... x, (.39) x 1 x x 1 1 x 1 1x... x 1 (.40) 1 x 1 + x x 1 x 1 x... x. (.41) Observado as desigualdades apresetadas percebemos que H G A Q, ou seja, 1 x 1 + x x 1 x 1 x... x x 1 + x x x1 + x x. (.4) 9

31 .5. Desigualdade de Youg Teorema.4. Sejam p, q > 1, úmeros reais positivos, tais que 1/p + 1/q = 1. Temos que, x, y R +. xy xp p + yq q, (.43) Demostração. Usado o fato da fução logaritmo atural ser estritamete côcava em (0, + ), cosidere reais positivos a 1, a e b 1, b tais que b 1 + b = 1. Pela desigualdade de Jese (.8), temos que log (b 1 a 1 + b a ) b 1 log a 1 + b log a, (.44) com igualdade se e somete se a 1 = a. Fazedo b 1 = 1 p, b = 1 q, a 1 = x p e a = y q, obtemos ( x p ) log p + yq 1 q p log xp + 1 q log yq = log xy, (.45) Como a fução logaritmo atural é crescete, cocluimos que A igualdade acotece quado x p = y q. xy xp p + yq q. (.46) A seguir euciaremos um corolário que é cosequêcia da desigualdade de Youg (.43). Desigualdade de Holder Proposição.6. Sejam a 1, a,..., a e b 1, b,..., b reais positivos e p, q > 1 tais que 1 p + 1 q = 1. Etão com igualdade se e só se a i b i ( a p 1 b q 1 = ap b q a i p ) 1 p ( =... = ap b q. b i q ) 1 q (.47) 30

32 Demostração. Fazedo A = ( a i p ) 1 p e B = ( b i q ) 1 q, temos Sedo x i = a i A e y i = b i B = Queremos provar que x i p = 1 A p a a i b i AB i A.b i B a p i = 1, y q i = 1 B q b q i = (.48) x i y i 1. Pela desigualdade de Youg (.43), segue que x i y i ( ) p x i p + yq i = 1 q p x i p + 1 q y q i = 1. (.49) A igualdade é válida se x p i = y q i, 1 i, (.50) ou aida De outro modo temos a p 1 a p i A p = bq i Bq, 1 i. (.51) b q 1 = ap b q =... = ap b q = Ap B q. (.5) É imediato verificar que, se a codição acima for satisfeita, teremos igualdade. Seguido [4], a partir da desigualdade de Holder (.47) obtemos a desigualdade de Mikowski. Desigualdade de Mikowski Teorema.5. Para p > 1 iteiro e x i, y i reais positivos, temos com igualdade se, e somete se, p (x i + y i ) p p x p i + p y p i, (.53) x 1 y 1 =... = x y. 31

33 Demostração. Cosidere a expressão (x i + y i ) p = x i (x i + y i ) p 1 + y i (x i + y i ) p 1 (.54) Fazedo q > 1 de modo que 1 q = 1 1 p = p 1 p cada um dos somatórios acima, obtemos: e aplicado a desigualdade de Holder (.47) a = ( = [( (x i + y i ) p ( x i p ) 1 p [ x i p ) 1 p + ( x i p ) 1 p [ (x i + y i ) p ] p 1 p + ( y i p ) 1 p ][ (x i + y i ) p ] 1 q + ( y i p ) 1 p [ (x i + y i ) p ] p 1 p. y i p ) 1 p [ (x i + y i ) p ] p 1 p (x i + y i ) p ] 1 q (.55) Agora dividido por [ (x i + y i ) p ] p 1 p, segue o resultado desejado. No próximo capítulo trataremos de várias aplicações usado as desigualdades aqui abordadas. 3

34 CAPÍTULO 3 APLICAÇÕES DAS DESIGUALDADES NESTE capítulo apresetaremos aplicações das desigualdades em algumas áreas da matemática. Vamos fazer relação com problemas ligados a geometria, fuções, aálise combiatória, álgebra e cálculo diferecial. As relações etre médias, muito úteis a resolução de problemas de otimização serão abordadas esta seção. Aplicação 1 Esta aplicação de geometria plaa extraída de [14] evolve círculos e polígoos e faz uso da desigualdade de Jese (.8). Sejam dados o plao um semicírculo Γ de raio R e um diâmetro A 0 A 1 de Γ. Para cada iteiro >, mostre que existe um úico -ágoo A 0 A 1 A... A 1 satisfazedo as seguites codições: a) A,..., A 1 Γ. b) A área de A 0 A 1 A... A 1 é a maior possível. Cosideremos a Figura 3.1 para represetarmos esta aplicação. Seja A i OA i+1 = α i, 1 i 1 (com A = A 0 ). Etão α 1 + α α 1 = π e a fórmula do seo para a área de um triâgulo forece: A(A 0 A 1... A 1 ) = = 1 1 R si α i. 1 A(A i OA i+1 ) = ( ) R si A i OA i+1 (3.1)

35 Desde que a fução seo é estritamete côcava o itervalo [0, π], segue de (.8) que 1 Figura 3.1: Represetação geométrica do problema. 1 si(α i ) ( 1) si( 1 com igualdade se, e somete se, α 1 =... = α 1 = máxima satisfazedo as codições do euciado. 1 ( π α i ) = ( 1) si 1 ), (3.) 1 π. Logo, há um úico polígoo de área Aplicação Aplicação sugerida de [3] é voltada para estudates que desejam resolver questões de olimpíadas matemáticas. Sejam a, b, c > 0 úmeros reais tais que a + b + c = 1. Prove a desigualdade ( a + 1 ) ( + b + 1 ) + a b Demostração. ( c + 1 c ) (3.3) A fução f (x) = x é covexa o itervalo (0, ). De acordo com a desigualdade de Jese (.7) temos 1 3 ( ( a + 1 a ) ( + b + 1 ) ( + c + 1 ) ) ( ( 1 a + 1 b c 3 a + b + 1 b + c + 1 )), (3.4) c ou seja, ( a + 1 ) ( + b + 1 ) ( + c + 1 ) 1 ( a + b + c + 1 a b c 3 a + 1 b + 1 ) c 1 3 (1 + 9) = Os problemas a seguir serão resolvidos através das desigualdades etre médias. 34 (3.5)

36 Aplicação 3 A aplicação faz relação com aálise combiatória. Neste setido, o aluo pode explorar o coceito de desigualdade jutamete com o coteúdo de combiatória. O problema cosiste em mostrar que ( x y + + y ) 4 C 8,4, (3.6) x para quaisquer x e y reais positivos, ode C,p deota a combiação de elemetos tomados p a p. daí, Sabemos que C 8,4 = 8! 4!4! e portato = 70. Pela desigualdade (.35) temos que x + y x y + y x x y + + y x x y = xy, (3.7), (3.8) 4. (3.9) Elevado ambos os membros a quarta potêcia, vem que ( x y + + y ) (3.10) x Aplicação 4 Esta aplicação extraída de [5] poderia ser resolvida usado o pricípio de idução. Prove que para qualquer iteiro > 1 Observe que aplicado (.35) temos ( ) + 1! < (3.11)! = 1 3 < ( + 1) = = + 1. (3.1) Elevado ambos os membros da desigualdade aterior a eésima potêcia obtemos a prova desejada. 35

37 Aplicação 5 Este exemplo proposto por Korovki [6] faz uso da geometria espacial através do sólido geométrico prisma, em particular o paralelepípedo reto-retâgulo, explorado o tópico de volume. De todos os paralelepípedos cohecida a soma das três arestas perpediculares etre si, ecotrar o paralelepípedo de maior volume. Supoha m = a + b + c a soma das arestas e V = abc o volume do paralelepípedo. Aplicado a desigualdade (.35) temos 3 V = 3 abc a + b + c 3 = m 3, (3.13) etão V m3 7. (3.14) A igualdade ocorre se a = b = c = m, isto é, quado o paralelepípedo represeta um cubo. 3 Aplicação 6 Outra aplicação iteressate evolvedo geometria e as médias aritmética e geométrica. Se 100cm de material estiverem dispoíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, ecotre o maior volume possível da caixa e as dimesões para que isso ocorra. Figura 3.: Paralelepípedo de arestas x, x e h. 36

38 Observemos que a área da caixa é igual a x + xh + xh = 100 e seu volume é igual a V = x h. Aplicado a desigualdade etre médias (.35) temos = x + xh + xh 3 3 x xh xh = 3 4(x h) = 3 4V. (3.15) Logo V 4000 e o volume será máximo se, e somete se, x = xh. Como x + 4xh = 100 cocluimos que as dimesões são x = 0cm e h = 10cm e o volume máximo V = 4000cm 3. Aplicação 7 Seguido a ideia de [7], exploramos mais uma vez o coteúdo de geometria espacial, com o cilidro circular reto, trabalhado com área e volume. Se uma lata de zico de volume 16πcm 3 deve ter a forma de um cilidro circular reto (Figura 3.3), ache a altura e o raio do cilidro para que a quatidade de material usado em sua fabricação seja a meor possível. Seja r o raio da base, h a altura e S a área da superfície total do cilidro. Etão temos Figura 3.3: Modelo da lata de zico. r h = 16 e S = πrh + πr. Usado a desigualdade das médias em S, obtemos S 3 = πrh + πrh + πr 3 3 πrhπrhπr = 3 π 3 (r h) (3.16) = 3 π 3 (16) = 3 9 π 3 = 8π. 37

39 Com isso S 4π e S será míima se, e somete se, a igualdade ocorrer, isto é, quado πrh = πr. Temos que πrh = πr e r h = 16, obtedo h = 4cm e r = cm, verificado-se que, de fato, o míimo para S, S = 4π, ocorre para esses valores. Aplicação 8 Neste exemplo uma forma de solução é através de derivadas. Porém iremos resolvê-lo aplicado desigualdade etre médias. Dispomos de uma folha de cartolia de m por 3m e queremos costruir com a mesma uma caixa aberta com o maior volume possível. Quais devem ser as dimesões da caixa? Sedo x o comprimeto do lado do quadrado que deve ser recortado de cada cato da folha (vide Figura 3.4), ficaremos com uma caixa de dimesões x, 3 x e x. O volume da caixa Figura 3.4: Represetação da folha de cartolia. será V = ( x) (3 x) x, com 0 < x < 1. Vamos cosiderar os úmeros ( x), 3 x, 6x. Aplicado a desigualdade (.35), temos: 3 ( x)(3 x)6x ( x) + (3 x) + 6x, (3.17) 3 de modo que e, Logo 3 1( x)(3 x)x 7 3, (3.18) 3 1V 7 3. (3.19) V , (3.0) 38

40 com igualdade se, e somete se, ( x) = (3 x) = 6x. Daí cocluimos que o volume máximo se obtém quado x = 0.4 e as dimesões da caixa são 1.,. e 0.4. Aplicação 9 Também cohecida como Desigualdade Isoperimétrica para Triâgulos, vejamos esta iteressate aplicação extraída de [13]. Provar que etre todos os triâgulos de perímetro costate p, o equilátero é o de maior área. Demostração. Cosideremos um triâgulo de lados a, b e c com a + b + c = p. A área S desse triâgulo é dada pela fórmula de Hero, p S = ( p a)( p b)( p c). (3.1) Aplicado (.35), temos que S p ( p a + p b + p c 3 ) 3 = p 1 3. (3.) Cocluimos etão que a maior área possível é 1, a qual se obtém quado 3 p p a = p b = p c, (3.3) isto é, a = b = c. Cocluimos que triâgulo é equilátero e este caso p 1 3 = a 3. (3.4) 4 As duas aplicações posteriores tem como objetivo determiar máximo de fuções. Vejamos tais situações problema. Aplicação 10 Determie o valor máximo da fução f (x) = x(1 x), sedo x (0, 1). Pelo fato de ser uma fução quadrática, poderíamos calcular o valor máximo através da ordeada do vértice ou utilizado coceitos de cálculo diferecial. Para tato vamos usar a desigualdade (.35). Temos que x + (1 x) 39 x(1 x), (3.5)

41 logo x(1 x) 1 4, (3.6) com igualdade ocorredo se, e somete se, x = 1 x, ou seja, x = 1. Portato, substituido x = 1 em f (x) = x(1 x), verificamos que o valor máximo de f é 4 1. Aplicação 11 Determie o valor máximo da fução f (x) = x 3 (1 x), sedo x (0, 1). A tedêcia é usarmos os fatores da fução, como o problema aterior, ou seja, aplicar (.35) com os úmeros reais positivos x 3 e 1 x: x 3 + (1 x) x 3 (1 x). (3.7) Apesar de verdadeiro, esse fato ão dá um valor máximo para f. Outra maeira seria usar x, x, x, 1 x, todos positivos: isto é, x + x + x + (1 x) 4 4 x 3 (1 x), (3.8) x 3 (1 x) ( x + 1 ) 4, (3.9) 4 e mais uma vez ão chegamos a um valor máximo. Agora substituido 1 x por 3(1 x) temos: com isso x + x + x + 3(1 x) 4 4 x 3 3(1 x), (3.30) x 3 3(1 x) ( 3 4 )4, (3.31) se, e somete se, x 3 (1 x) (3.3) Como a igualdade ocorre com x = 3(1 x) = x = 3, verificado que o valor máximo de f 4 é

42 Aplicação 1 Esta aplicação é uma adaptação do problema de Euclides citado a Itrodução do trabalho. Vamos resolvê-lo usado desigualdade etre médias com base em [13]. De todos os retâgulos com o mesmo perímetro, qual tem área máxima? Cosideremos os lados do retâgulo x e y e o perímetro p, etão temos que x + y = p, com média aritmética de x e y igual a p. A área do retâgulo é A = xy. Aplicado a desigualdade etre a média aritmética e geométrica (.35) temos Logo, A = xy x + y = p. (3.33) A p (3.34) 4 e a igualdade só é obtida quado x = y. Portato, o retâgulo de maior área é o quadrado de área p 4. Aplicação 13 Através de [] trazemos um problema com geometria plaa, ode abordamos a figura do retâgulo, perímetro e diagoal. Para tato utilizaremos a desigualdade etre as médias aritmética e quadrática. Sejam a, b, c 0, em que a, b são os comprimetos dos lados do retâgulo e c a medida da diagoal do retâgulo, de acordo com Figura 3.5. Cocluir que de todos os retâgulos com medidas de lado e com diagoal o que tem maior perímetro é o quadrado de medida de lado c e o que tem maior área é o quadrado de medida de lado c /. Figura 3.5: Retâgulo de lados a, b e diagoal c. 41

43 Aplicado (.3) ao perímetro do retâgulo obtemos Simplificado, P = (a + b) = 4( a + b ) 4 a + b = 4 c = c. (3.35) P = 4( a + b ) c. (3.36) No caso da área do retâgulo, a desigualdade é dada por A = ab ( a + b ) = P 16 ( c) 16 Para a área e perímetro a igualdade verifica-se quado a = b. = c. (3.37) Aplicação 14 Outra aplicação evolvedo geometria plaa e otimização pode ser ecotrada em [15], capítulo 7. Determiar as dimesões do paralelepípedo de meor diagoal possível, sabedo que a soma dos comprimetos de todas suas arestas é 1. Cosidere um paralelepípedo retâgulo de dimesões a, b e c, como o comprimeto de todas suas arestas é 1, podemos escrever, 4a + 4b + 4c = 1, etão a + b + c = 3. Seja d a diagoal, sabedo que d = a + b + c, (3.38) e usado (.3) teremos a + b + c a + b + c 3 3 a + b + c 1 3 a + b + c 1 3 a + b + c 3 a + b + c 3. (3.39) Como queremos a meor diagoal e sabedo-se que igualdade MA = MQ, ocorre quado a = b = c, tomaremos d = 3 = a = b = c = 1. 4

44 Aplicação 15 Para fechar as aplicações com médias veremos agora um problema cuja solução depede da desigualdade etre as médias harmôica e geométrica. Sejam x, y, z R +, tal que x + y + z = 1. Prove que: L = xy z zx y yz x 1. (3.40) Demostração. Note que x = 1 3 (x + y + z) + x = x + y + z + (xy + yz + zx) + x 3 xy + yz + zx + (xy + yz + zx) + x = xy + yz + zx + x 3 = (x + y)(x + z). (3.41) Aplicado as desigualdades (3.41) e (.38) otamos que yz yz yz ( (x + y)(x + z) x x + y + 1 ). (3.4) x + z Aalogamete e xy z zx y xy zx ( 1 z + x + 1 ), (3.43) z + y ( 1 y + z + 1 ). (3.44) y + x Somado (3.4), (3.43) e (3.44) obtemos L yz ( 1 x + y + 1 ) + xy ( 1 x + z z + x + 1 ) + zx z + y ( 1 y + z + 1 y + x ) = 1 ( xy + yz xy + zx + x + z y + z + yz + zx ) = x + y + z = 1 (3.45) y + x. Para maiores detalhes vide [3]. 43

45 Aplicação 16 A desigualdade triagular provada ateriormete foi limitada a úmeros reais. Para superarmos esta lacua, faremos uma demostração aalítica com úmeros complexos seguido [6]. Quaisquer que sejam os úmeros complexos Z e W, temos Z + W Z + W, (3.46) com igualdade valedo se, e somete se, um dos úmeros é múltiplo escalar real ão egativo do outro. Demostração. Elevado Z + W ao quadrado, temos Z + W = (Z + W) (Z + W) = (Z + W) (Z + W) = Z Z + Z W + W Z + W W (3.47) = Z + Z W + W Z + W. Observe que Z W + W Z = Z W + W Z = Re(Z W) ZW = Z W = Z W, (3.48) logo, Z + W Z + Z W + W = ( Z + W ), (3.49) com isso cocluimos que Z + W Z + W. (3.50) Aplicação 17 O exemplo a seguir proposto por Oliveira [15] é uma aplicação da desigualdade triagular. Duas torres de alturas h 1 e h, respectivamete, estão separadas a uma distâcia d. As torres são amarradas por uma corda APB que vai do topo A da primeira torre para um poto P o chão, etre as torres, e etão até o topo B da seguda torre, como a Figura 3.6. Qual a posição do poto P que os dá o comprimeto míimo da corda a ser utilizada? Para resolvermos o problema imagiemos que a superfície do chão é um espelho e que refletimos o poto através deste, obtedo assim o poto B como mostra a Figura 3.7. Cosideremos 44

46 Figura 3.6: Problema das Torres. Figura 3.7: Solução geométrica do problema das torres. 45

47 o segmeto AB que itercepta o chão o poto P e verificaremos que este é o poto que os dá o comprimeto míimo da corda. Com efeito, supohamos que existe outro P situado etre as torres que os dá um comprimeto meor para a corda. A partir da Figura 3.7 é fácil ver que os triâgulos BPD e B PD são cogruetes, assim como os triâgulos BP D e B P D. Logo, as seguites igualdades seguem diretamete das cogruêcias: BP = B P; BP = B P. (3.51) Usado a desigualdade triagular o triâgulo AB P e as igualdades (3.51), temos AP + P B = AP + P B AB = AP + PB = AP + PB, (3.5) chegado assim à coclusão de que AP + PB os oferece o comprimeto míimo desejado. Iremos calcular agora a que distâcia está P da base D. Lembremos que AC = h 1 e BD = h e CD = d e tag( BPD) = h PD = h 1 d PD. (3.53) Daí tem-se PD = dh h 1 + h. (3.54) Aplicação 18 Esta aplicação faz uso da desigualdade de Cauchy-Schwarz, abordado propriedades de triâgulos retâgulos, com referêcia em [15]. Etre todos os triâgulos retâgulos de catetos a e b e hipoteusa c fixada, o que tem maior soma dos catetos s = a + b é o triâgulo isósceles. Usado (.1) temos que a + b = a 1 + b 1 a + b = c, (3.55) e este máximo é obtido quado a = α 1 e b = α 1 ou 1 = α a e 1 = α b. Em qualquer caso devemos ter a = b. A próxima aplicação extraída de [7] também é referete a desigualdade de Cauchy-Schwarz. 46

48 Aplicação 19 Cosidere a, b, c úmeros reais positivos, tais que abc = 1. Prove que 1 a 3 (b + c) + 1 b 3 (c + a) + 1 c 3 (a + b) 3. (3.56) Demostração. Faça x = ab, y = bc e z = ca. Temos que x, y, z são úmeros reais positivos, de tal modo que xyz = (abc) = 1. Reescrevedo o lado esquerdo de (3.56), temos 1 a (ab + ac) + 1 b (bc + ba) + 1 c (ca + cb) = = x y + z + y x + z + z x + y. y xz(x + z) + z xy(x + y) + x yz(y + z) (3.57) Por (.1), ( x y + z + y x + z + ) z [(y + z) + (x + z) + (x + y)] (x + y + z). (3.58) x + y Portato, x y + z + y x + z + = x + y + z 3 (xyz) 1 3 = 3. z x + y = 3 ( x + y + z ) 3 (x + y + z) (x + y + z) (3.59) Aplicação 0 Seguido Cevtkovski [3], veremos agora uma aplicação usado a desigualdade de Holder. Sejam x, y, z úmeros reais positivos. Prove a desigualdade x x + (x + y)(x + z) + y y + (y + z)(y + x) + z z + 1. (3.60) (z + y)(z + x) Demostração. Aplicado (.47) para = e p = q =, obtemos (x + y)(x + z) = (( x) + ( y) ) 1 (( z) + ( x) ) 1 x z + y x = xz + xy, (3.61) 47

49 ou seja, 1 (x + y)(x + z) 1 xz + xy = 1 x( y + z). (3.6) Etão, segue-se que Aalogamete, e x x + (x + y)(x + z) y y + (y + z)(y + x) z z + (z + y)(z + x) Somado as três últimas desigualdades, temos x x + (x + y)(x + z) + y y + (y + z)(y + x) + A igualdade ocorre se, e somete se, x = y = z. x x + x( y + z) = x x + y + z. (3.63) y x + y + z, (3.64) z x + y + z. (3.65) z z + (z + y)(z + x) x + y + z x + y + z = 1. Em seguida mostraremos mais uma aplicação, que será resolvida com a desigualdade de Mikowski, com base em [3]. Aplicação 1 Seja p 1 um úmero real arbitrário. Prove que, para qualquer positivo iteiro temos 1 p + p p ( + 1 ) p. (3.66) Se p = 1, etão a desigualdade dada é verdadeira, ou seja, tora-se a igualdade. Seja p > 1 e tomemos x 1 = 1, x =,..., x = e y 1 =, y = 1,..., y = 1. Pela desigualdade (.53) ((1 + ) p + (1 + ) p (1 + ) p ) 1 p (1 p + p p ) 1 p, (3.67) ou seja, ou, (1 + ) p p (1 p + p p ), (3.68) 1 p + p p ( + 1 ) p. (3.69) 48

50 A iteção este capítulo foi mostrar várias aplicações de desigualdades e suas relevates iterpretações com o ituito de que o aluo desevolva competêcias matemáticas, apresetado o cohecimeto de ovas iformações e istrumetos ecessários para que ele cotiue aprededo [8]. Ao fial deste capítulo observamos também que muitas aplicações das desigualdades estão ligadas a coteúdos do esio médio, já citados o iício do capítulo. Com resultados importates em algumas áreas da matemática, como exemplo a geometria, quado se trata de problemas de otimização evolvedo áreas de figuras plaas, como triâgulo, retâgulo, figuras espaciais o cálculo de área e volume, o cálculo com aplicações de máximo e míimo de fuções e problemas de competições matemática. Isto também motiva ampliar o cohecimeto sobre o assuto, em busca de mais resultados, como também a sua prática a sala de aula. 49

51 CONCLUSÃO Neste trabalho apresetamos uma itrodução sobre as desigualdades e a importâcia de suas aplicações, seguida do estudo de algumas desigualdades e suas demostrações, fializado com algumas aplicações que possam ser compreedidas pelos aluos do esio médio. Com base o tema abordado, acreditamos o desevolvimeto de competêcias para resolver vários problemas evolvedo desigualdades, levado em cosideração o ível do coteúdo que destacamos. Através deste estudo podemos perceber que existem muitas desigualdades e várias formas de demostrá-las. No etato priorizamos as formas mais básicas, devido ao público que queremos atigir versado sobre todos íveis de cohecimeto. Além disso apresetamos resoluções de diferetes situações problema que vão desde as questões cotextualizadas até as questões de competições matemáticas, ambas sigificativas para os aluos iteressados em matemática. Sabemos que a resolução de problemas é fudametal o esio de Matemática, fazedo com que o aluo efrete ovos desafios e desevolva sua capacidade de raciocíio, toradose mais crítico e ivestigativo. Com isso para trabalhos futuros podemos explorar estas desigualdades aplicado recursos mais avaçados e mostrado que existem outros camihos e outras áreas ode elas são muito importates. Cosequetemete ampliado osso público alvo, visto que diversas áreas usam ferrametas básicas de cálculo diferecial, itegral e álgebra para aplicações práticas. Diate do que foi explorado e apresetado, o estudos acerca das desigualdades é muito sigificativo e deve ser abordado com maior frequêcia seja o esio médio, ou para apro- 50

52 fudar o grau de cohecimeto. Isto é importate pois podemos proporcioar uma extesão mais complexa do trabalho em sala de aula, explorado e ivestigado aplicações de outras desigualdades a matemática. 51

53 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] FINK, A. M. A Essay o the History of Iequalities. Joural of Mathematical Aalysis ad Applicatios, v. 49, p , 000. [] CARVALHO, L. M. A. C. Problemas com Desigualdades para o Esio Secudário. Portugal: Uiversidade de Lisboa, 01. [3] SANTIAGO, A. E. E.; AUSTUDILLO, M. T. G. Etre Euclides e a Actualidade: Um Problema de Otimização. Portugal, 013. [4] WU, H. H.; WU, S. Various proofs of the Cauchy-Schwarz iequality. Mihály Becze, v. 17, p. 1 9, 009. [5] GARBI, G. G. A Raiha das Ciêcias: Um Passeio Histórico pelo Maravilhoso Mudo da Matemática. São Paulo: Editora livraria da Física 5 a ed., 010. [6] HEFEZ, A. Poliômios e Equações Algébricas. Rio de Jaeiro: SBM, 00. [7] ARAÚJO, F. H. A. Médias e Problemas de Otimização. Revista do Professor de Matemática,. 76, p. 7 9, 011. [8] OLIVEIRA, L. A. F.; SOUZA, F. L. Desigualdade de Jese. I:. Aais do CNMAC. SBMAC, c009. [9] BARATA, J. C. A. Curso de Física-Matemática. São Paulo: Departameto de Física Matemática da USP,