MAT 3A AULA 7 MAT 3A AULA 7 1 MAT 3A AULA 7 2 MAT 3A AULA 7 3 MAT 3A AULA 7 4 MAT 3A AULA 7 5

Transcrição

1 MAT 3A AULA 7 MAT 3A AULA 7 1 (4; ) y = ax + b b = 0 = a 4 a = 1 f(x) = 0,5x MAT 3A AULA 7 {4a + b = (1) } + {7a + b = 4} = 3a = a = 3 MAT 3A AULA b = B = 8 3 b = 3 MAT 3A AULA 7 4 Do gráfico temos: f(0) = 0,5 f(1) = 0 f(x) é decrescente f(x) > 0 para x < 1 f(x) < 0 para x < 1 f(x) > 0,5 para x < 0 V F F V V V MAT 3A AULA 7 5

2 S = V S = ,04V Alternativa C MAT 3A AULA 7 6 k + 10 = 0 k = 10 k = 5 f(x) = 5x + 10 MAT 3A AULA 7 7 f(x) decrescente, então, a <0 f(x) intercepta eixo y em um valor positivo, logo, b > 0 Alternativa A MAT 3A AULA 7 8 a + b = 3 a + b = 1 b = 4 a = 1 f(x) = x + MAT 3A AULA 7 9 a + b = -3 -a + b = 6 3ª = 9 1 a = 3 b = 3 b a = 3 (3) = 6 MAT 3A AULA a + b = a + b = 05 49ª = 1 86 a = 38 b = 15

3 f(x) = 38x + 15 f(50) = = 91 MAT 3A AULA 7 11 a + b = 6 3a + b = (-1) a = 4 a = MAT 3A AULA 7 1 L(x) = 45x 5x 500 MAT 3A AULA 7 13 P = 4,60 + 0,96 d P = 19,00 19 = 4,60 + 0,96 d = 15 km Alternativa C MAT 3A AULA º Mês: ,40 = 700 m S = , S = 650,00 º Mês: 1400 m S = , S = 1000,00 Alternativa C MAT 3A AULA 7 15 T = x T = 150-1,5x T = 1,5 (1 - x) Alternativa A MAT 3A AULA 7 16

4 ì V 1 = ï 40 d í ïv = îï 48 d V1 = V d = d 0 = 5 d d 10 = 5d d = 4 MAT 3A AULA litro = ml = (400 ml diesel) + (600 ml álcool) Vol. Diesel com ml de álcool 400 = 0,3 ( x) x = ml MAT 3A AULA 7 18 ì70,00;0 < x 50 L = í î45 + 0,50x;x > 50 ì40,00;0 < x 40 C = í îx;x > 40

5 I Falsa. C(80) = 80,00 II Verdadeira x = 69 ìl(69) = 84,50 í îc(69) = 69,00 III Falsa ì ìl(80) = 85,00 ïx = 80 í ï îc(80) = 80,00 í ï ìl(100) = 95,00 x = 100 ï í î îc(100) = 100,00 MAT 3A AULA 7 19 a) P(x) = 3, + 0,8 x b) P(x) 10 3,0 + 0,80 x 10 x 146 km xmáx = 146 km MAT 3A AULA S S 18 4 S 14 u. a MAT 3A AULA 8 1

6 Inteceptar eixo das ordenadas: x = 0 f (0) f (0) 10 Alternativa C MAT 3A AULA 8 zeros da função : Raízes f(x)=0 x x 3 0 x( x 3) 0 x 0 (0,0) ou x 3 (3,0) Alternativa B MAT 3A AULA 8 3 Análise do b 4ac x ex IR 1 Gráfico não intercepta o eixo das abscissas. Alternativa A MAT 3A AULA 8 4 y y y v v v 4a Alternativa C MAT 3A AULA 8 5

7 y v 1 1 4a 4.1. k k 4 k 1 Alternativa D MAT 3A AULA 8 6 Tangencia o eixo das abscissas 0 0 ( 4) 4.1. m 0 m 4 Alternativa D MAT 3A AULA 8 7 f ( x) 4x x Raízes x x x x : 4 0 0; 4 O(0,0) f ( x) Concavidade : a 0 Alternativa C MAT 3A AULA 8 8 h( t) 40t 5t h(3) h(3) 75m Alternativa C MAT 3A AULA 8 9 x x x v v v b a ( ).1 1 Alternativa B MAT 3A AULA 8 10

8 b 4 1 xv xv xv a yv yv yv 0 4a V,0 Alternativa A MAT 3A AULA 8 11 Único ponto em comum com eixo das abscissas 0 0 m m m m 4m 4 0 y x x 1 x y y. 1 1 Alternativa D MAT 3A AULA 8 1 f x x x ( ) y y v v 3 4.( 1). 4.( 1) Alternativa B MAT 3A AULA 8 13

9 A x.(400 x) A 400x x A máx Vértice 400 xv xv 100m.( ) 100 Lados : 100 m;00m 0,5 00 Alternativa B MAT 3A AULA 8 14 R( x) x(50000 x) R( x) x x R x v máx Vértice xv ( ) Alternativa E MAT 3A AULA 8 15 Re ceita ( preço).( quantidade) R( x) x.(86 x) R( x) 86x x R x v máx Vértice 86 xv 1,50.( ) Alternativa B MAT 3A AULA 8 16 R( x) kx( P x) R( x) Pkx kx Parábola concavidade pra baixo; Passa pela origem; Alternativa E

10 MAT 3A AULA 8 17 R( x) 44000kx kx R x v máx Vértice 44000k xv 000.( k) Alternativa B MAT 3A AULA 8 18 x(x + p) = 0 x = 0 x = p p = 3 p = = k = k MAT 3A AULA 8 19 a) solo h( t) 0 3t 3t 0 3 t(1 t) 0 t 0 s ( início) ou t 1 s ( retorno) b)

11 h( t) 3t 3t h máx Vértice 3 1 tv tv s.( 3) h h h máx máx máx 1 h ,75m MAT 3A AULA 8 0 MAT 3A AULA 9 1 f x ( ) x 16 V a 10 F a 10 F a 0 Mínimo V a 0 Mínimo V b 0 x 0 v MAT 3A AULA 9 A(1,) f ( x) f (1) f k k (1) Alternativa D MAT 3A AULA 9 3

12 y x x 5 1 y v 4.( 5).( 1) 4 yv 4.( 5) 5 Alternativa B MAT 3A AULA 9 4 Gráfico : y máx 3 Im( f ) ],3] Alternativa D MAT 3A AULA 9 5 x v 1 5 xv 3 Forma Fatorada y f ( x) a( x 1)( x 5) 3 f (3) 3 a(3 1)(3 5) 3 a 4 3 f ( x) ( x 1)( x 5) 4 Alternativa B MAT 3A AULA 9 6 f x x x ( ) 10 9 a 1 x Raízes x f ( x) a( x x )( x x ) 1 f ( x) ( x 1)( x 9) Alternativa C MAT 3A AULA 9 7

13 xv b a 4m 4 m 0,5 ( m 1) Alternativa A MAT 3A AULA 9 8 y ax bx c * Concavidade a 0 * c 0 * x 0 b 0 v Alternativa A MAT 3A AULA 9 9 q ap b 460 a.6 b 450 a.7,50 b ,50 a a 3 b q p A ( quantidade).( preço) 0 A p 500. p 3 0 A p 500p 3 A p máx v Vértice 500 pv 37, Alternativa D MAT 3A AULA 9 10

14 L x x x ( ) Lmáx Vértice L L v v 48 4.( 1).( 10) 4.( 1) ,00 Alternativa A MAT 3A AULA 9 11 A( x) (30 x). x A( x) 30x x A x máx v Vértice 30 xv 15.( 1) Lados: 15m x 15m Alternativa A MAT 3A AULA 9 1 d( x) x x d x máx v Vértice 1 1 xv.( 1) 1 36x MAT 3A AULA 9 13

15 Passa pelo ponto (0, 5) xv = 3 x1 = 1, logo, x = 5 Forma Fatorada y f ( x) a( x 1)( x 5) f (0) 5 a(0 1)(0 5) 5 a 5 y f ( x) 5( x 1)( x 5) y mín Vértice y f (3) y 5(3 1)(3 5) y 0 mín mín mín Im( f ) : [ 0, [ Alternativa A MAT 3A AULA 9 14 L( x) R( x) C( x) L x x x x ( ) 16 (4 8 3) L x x x ( ) Lmáx Vértice x v 4 xv 3.( 4) Alternativa C MAT 3A AULA 9 15

16 c x1. x a k kx. 1 x 1 Alternativa D MAT 3A AULA 9 16 R( x) 55,50(54 x). x R( x) ,50 x. x R( x) 190x,50x R x v máx Vértice 190 xv 38.(,50) Alternativa C MAT 3A AULA 9 17 f (x) = ax + bx + 1 f (x) = a(x + 3)(x - 4) f (x) = ax - ax -1a Comparando : 1 = -1a a = -1 b = -a b = 1 f (x) = g(x) ìg(-) = f (-) -m + n = -(-) + (-) + 1 -m + n = 6(I) ï í ì f (x) = 10 -x + x +1 = 10 -x + x + = 0 x = -1 ï í î îx = g() = 10 m + n = 10(II) ì-m + n = 6 í îm + n = 10 n = 16 n = 8;m = -1 b.n = 1.8 = 8 Alternativa D MAT 3A AULA 9 18

17 L( x) R( x) C( x) L x x x x ( ) L x x x ( ) x 10 I L x x x VERDADEIRO x 40 ( ) ( ) II L( x) crescente : x 5( VERDADEIRO) III L Vértice máx 50 xv xv 5( FALSO).( 1) IV L L (50) (50) (50) 400 PREJUÍZO( VERDADEIRO) MAT 3A AULA 9 19 a) b)

18 f ( x) g( x) x 1 ( x 1)( x ) 3 ( x 1) ( x 1)( x ) 0 3 ( x1) 1 ( x) 0 3 x1 0 x 1 1,0 ou ( x ) 0 x, 3 MAT 3A AULA 9 0 a) y a( x 0)( x 4) 1 V(1,16) 16 a(1 0)(1 4) a 9 y 1 x ( x 4) 9 b) o 3 r : y tg30 x y x 3 Igualando : 3 1 x x ( x 4) x x ( x 4) x ( x 4) x 0 O(0,0) ou 3 1 ( x 4) 0 x P 4 3 3,

19 MAT 3B AULA 7 MAT 3B AULA 7 1 tg 30 = x 3 = x x = 0,58 x = 1,16 João S = 1,16 S = 1,16 ST = 3 = 6 S ST = 0,19 = 19% MAT 3B AULA 7 A = A = 34m

20 MAT 3B AULA 7 3 S = 90 (90-50)(90-65) S = S = 60 5 S = S = abc 4R = = R 30 4R = 4 5 R 35, So = R = 3,14 (35,) 3 890,6 MAT 3B AULA 7 4 Em um triângulo retângulo, a área pode ser definida como o semiproduto dos catetos, sendo assim: S = 5.6 S = 15m Alternativa E MAT 3B AULA 7 5 h = L 3 h = 3 S = 3 S = 3

21 MAT 3B AULA 7 6 S = sen 60 S = S = 18 MAT 3B AULA 7 7 x = x = 34 MAT 3B AULA 7 8 S = 8 (8-5) (8-6) S = 8 3 S = 4 3 S = 1 MAT 3B AULA 7 9 h = R 9 R 8 R + + = 1 5 S = 4R = S = 4 S = S = P r MAT 3B AULA 7 10

22 p = 1 S = = 70 = 1 5 AO BO O R 9 R 8 R + + = 1 5 4R = 1 5 1R = 1 5 R = 5 MAT 3B AULA 7 11 L C 7 = 5 + x 5 x cos = 5 + x 5x x 5x 4 = 0 x = 5 11 x = 8 x = 3 P = 10 S = S = 10 3 MAT 3B AULA 7 1

23 MAT 3B AULA 7 13 I) x x = = x = 1 sen 45 sen 30 1 sen 45 = R = R R = 1m II) sen 30 = h 1 = h h = III) A + A = 1 sen sen 45 A + A = A + A = MAT 3B AULA AF é a medida da diagonal do retângulo ABFE - como CE é um arco de circunferência com centro em A, AC = AE = m A = (B h)/ A = m c) AD = 1 m e AE = m, logo: (AF) = (FE) + (1 + ) (AF) = = 4 + = 6,8

24 AF =,6 m - como FH é um arco de circunferência com centro em A, AF = AH =,6 m. Logo: (AG) = (AH) + (GH) (AG) =,6 + 1 AG =,8 m - O ângulo GAH é: sen GÂH = GH AG = 1,8,8 GAH = 0,9º MAT 3B AULA 7 15 * A1 = A (AB) = (EF) AB = EF * Se EF = L AB = L e EP = L * A área do quadrado ABCD é: A = ( L ) = L * A área do triângulo é: A = B h = L L = L * taneˆfp = EP EF = 0,5L L = 0,5 * (FP) = (EF) + (EP) (FP) = L + L 4 (FP) = L 5 MAT 3B AULA h = (8 + 3 ) 6

25 13h = h = 4 Sen = 4 6 sen = 3 MAT 3B AULA 7 17 (1) = 1 x a sen 30 () = 1 x b sen 150 (3) = 1 b y sen 30 (4) = 1 a y sen 150 ( ) = a + b x + a + b y ax + bx + by + ay 4 4 a + b x + y ( ) = ( ) = 5 cm MAT 3B AULA 7 18 Sen A + cos A = 1 cos  = 3 5 sen  = 4 5 tg  = 4 3

26 sen C = 5 5 = h + y y = 5 0 y = 5 tg  = h x 4 3 = 5 x x = 3 5 A = x + y h A = A = 5 sen C = h 5 5 h = 5 h = 10 5 = 5 5 h = 5 cm MAT 3B AULA 7 19 Resolução no material MAT 3B AULA 7 0 Resolução no material

27 MAT 3B AULA 8-1 AM RJ 865 km RJ RS km AM RS x x = ( 865) + (1 141) x = km MAT 3B AULA 8 A = A = A =?? x 10 + = rx + ry = 100 x = y 10 x = x x = x + x x = 50 4 x = 1,5 MAT 3B AULA 8 3

28 Adotar um ponto P entre A e C, mais próximo de C tal que AP = 50 e CP = 100 Traçar um arco com raio 50 com centro em A tal que Q é o ponto de encontro do arco com AB. Traçar um arco com raio 100 tal que R seja o ponto de encontro com BC AP + CP = AC = 350 AQ = 50 e CR = 100 AB = 650 BQ = AB - AQ BQ = BQ = 400 BR = BQ BR = 400 BC = BR + CR ----> BC = > BC = 500 MAT 3B AULA 8-4 x = x = 5 sen = 4 5 MAT 3B AULA 8 5 x cos = 5 5 MAT 3B AULA = x = x + 36 x = 36 x = 6 A = b h = 6 6 = 18 m

29 MAT 3B AULA 8 7 x = x = 13 x 3,6 m MAT 3B AULA x x = = sen 10 sen 45 1 x x = = x = = MAT 3B AULA 8 9 = + = 96 3 = 96 = 3 x = 180 x = x = 5

30 MAT 3B AULA 8 10 sen 60 = h 3 h = h = 3 MAT 3B AULA 8 11 x = x = 11 6 x = 5 MAT 3B AULA 8 1 S = p p - a p - b p - c S = S = 3 4 S = 1 MAT 3B AULA 8 13 AE = AE = sen 60 = 10 + CE CE = = 10 + CE CE = 5 MAT 3B AULA 8 14 x = 8 + (1 x) 8 (1 x) 1 x = x + x x

31 16x = 11 x = 7 MAT 3B AULA 8 15 xy = xy AND = yx = xy CMH = xy AMN = 4xy xy xy 4xy - xy 3xy = = ABCD = 4xy MAT 3B AULA 8 16 A = sen 10 = 3 4 A ABC = 1 3 4

32 A = 1 AT = = MAT 3B AULA 8 17 (LC) = + - cos cos = cos = cos = - 4

33 DAM (LC) X = cos(180 ) X = X = 1 MAT 3B AULA 8 18 ABC (LC) 7 = cos B 49 = cos B cos B = 1 ABM AM = cos B AM = AM = AM = 13

34 MAT 3B AULA 8 19 Resolução no material MAT 3B AULA 8-0 Resolução no material MAT 3B AULA 9 1 Pela interpretação direta: alternativa E MAT 3B AULA 9 - CPF: d1d d1 = = = 19 1 de resto d1 = 0 d = = = de resto d = 11 = 9 MAT 3B AULA 9-3 nº de pessoas novas > nº de pessoas que deixaram a pop. N + 1 > M + E MAT 3B AULA 9 4 Dia + Noite = 1 m 8º (Dia + Noite) = 8 m

35 9º Dia = 10 m (Sem necessidade de descer afinal chegou ao topo do muro) Alternativa D MAT 3B AULA = de resto quarta-feira + dias = sexta-feira MAT 3B AULA 9 6 1º salto = x º salto = x 1, 3º salto = x,7 3x 3,9 = 17,4 3x = 1,3 x = 7,1 MAT 3B AULA 9 7 Se em um caso extremo, tivéssemos 1 pessoas nascidas uma em cada mês do ano, a 13ª pessoa, com certeza, faria com que PELO MENOS DUAS PESSOAS FAZEM ANIVERSÁRIO NO MESMO MÊS. Alternativa C MAT 3B AULA x 10 = x = 10 9 MAT 3B AULA = 5 8 = = = 6 4 = 8 1 = = = 3 com 8 de resto.

36 MAT 3B AULA 9 10 Aldo para Dino que fornece o número do Ênio Aldo para Ênio que fornece o número de Carlos Aldo para Carlos. 3 telefonemas Alternativa C MAT 3B AULA 9 11 Se fizer tudo 3,6 = 18 séries 17 intervalos Caminhada: 10 min. Desc. Caminhada: 1 min. 18 séries (0,5 cada): 9 min Descanso ente as séries (1 min. de cada): 17 min = 37 min. MAT 3B AULA 9 1 Ritmo de coleta dos 0 alunos 1Kg/3h 4Kg/h Sendo assim: Aluno Coleta (Kg/h) x x = 00 x = 10Kgqh 10 dias = 10 Kg 0 dias = 800 Kg = 90 Kg MAT 3B AULA 9-13 Máquina.0 megapixels = 10 6 pontos

37 Reduz 95%, ou seja, usa 5% de 3 bytes = 0,15 bytes (valor de cada ponto) Total ponto Valor do ponto = ,15 Total ponto Valor do ponto =0, Total ponto Valor do ponto = bytes 300 Kb (uma foto) = Kb 45 MB MAT 3B AULA 9 14 Gasto em 6 dias = 6( ) = 4 70 reais Hectares colhidos em 6 dias: 6 0 = 10 hec Como os gastos são ineriores a R$ 5 000,00, então Hectares Horas x x = 9 horas MAT 3B AULA 9 15 Distância = 7 16 = 11Km L Km X 11 x = 84L d = massa vol 750 = y 84 y = g ou 63 Kg 605 Kg + 63 Kg = 668 Kg MAT 3B AULA 9 16

38 I) x > 4 x > 16 y < y < 4 y > 4 Assim sendo, x y > 16 4 x y 1 III) como y > 0 e y > y > y > y < y < + x < 1 = x y < 1 Mas 1 < 0 x y < 0 MAT 3B AULA , = = MAT 3B AULA 9 18 INÍCIO: n + 1 1º marinheiro pagou n º marinheiro pagou n - 1 Imediato deu para cada um n n - 3 = 4 o 1 5n o n - 3 5n n + = 4 = 4 = = n - 1 n -3 3n - 5 3n n 51 = 87n 145 n = 94 n + 1 = 95

39 MAT 3B AULA 9 19 resolvido no material MAT 3B AULA 9-0 resolvido no material

40 MAT 3C AULA 7 MAT 3C AULA = = 90 MAT 3C AULA 7 (1) = 7 MAT 3C AULA 7 3 = a13 A13 = (1) A13 = (1) MAT 3C AULA 7 4 (1) = = 10 MAT 3C AULA 7 5 ( ) = 4 1 ( ) = (11) = 7

41 MAT 3C AULA 7 6 (1) = = 7 MAT 3C AULA ( 1) = 3 MAT 3C AULA ( ) = 6 5 = 30 MAT 3C AULA 7 9 A = (1) (4 1) = 3 MAT 3C AULA 7 10 (1)3 1 x 1 = 5 ( x) = 5 + x = 5 x = 5 (1)5 x y 1 = 10

42 ( xy) = y = 10 3y = 1 y = 4 MAT 3C AULA (4 + 1 ) ( ) 3 (7) (9) MAT 3C AULA (+) ( ) 6 3 = 18 MAT 3C AULA () (6) ( ) (6) 5 = = 3 5 D(30) = ( ) = 16 MAT 3C AULA 7-14 A + B =

43 (3) (3) ( ) = MAT 3C AULA 7 15 () (x 3 + x x x 3 + x x ) = 0 () (x + x) = 0 4x 4x = 0 4 x(x 1) = 0 x = 0 e x = 1 MAT 3C AULA 7 16 x (x + x) x 3 + x MAT 3C AULA 7-17 x (6x + 1 4x 3) 0 x (x ) 0 MAT 3C AULA 7-18 x (x + 4 6x + 1) 0 x (x 6x + 5) 0

44 MAT 3C AULA 7-19 x y z t x ( ) y ( ) + z ( ) t ( ) 3x 1y + z + t ( ) = 0 MAT 3C AULA 7 0 X 3 (x + 4x + 1) 0 3x (x 4x + 3) 0 {x IR / x 0 ou 1 x 3} MAT 3C AULA S = = S S 1 S = 0 e S1 = 1 S 1

45 1 0 1 S S = = S 3 4 S4 = 1 e S3 = S 4 3 MAT 3C AULA = = MAT 3C AULA A11 = = 4 A1 = = 1 + A13 = = A14 = = 3 deta = (1) + 1 () + 3 (3) deta = deta = MAT 3C AULA 8 4 deta = deta = 0 MAT 3C AULA Alternativa A MAT 3C AULA 8 6 deta = 5 det(3a) = det(3a) = 135

46 MAT 3C AULA 8 7 1x + 0y + 9z 8z 15x 18y = 8 3x + y + z = 8 60x + 3z + 7y 36z 48x 80y 1x 4z 8y = 4 (8) 3 MAT 3C AULA VERDADEIRO (Propriedade) 0 VERDADEIRO (Propriedade) 04 VERDADEIRO (Condição de existência da Matriz Inversa) 08 det (ka) = k 5.det (A) VERDADEIRO 16 FALSO O número de colunas de A precisa ser igual ao número de linhas da outra matriz. SOMA = SOMA = 15 MAT 3C AULA 8 9 Matriz Triangular Determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Det(A) = a 11 a a 33 a 44 Alternativa B MAT 3C AULA x = y 6x = y MAT 3C AULA 8 11 x 3 6 = 48 x 3 = 8 MAT 3C AULA 8 1

47 det(m N T ) = detm detn T det(m N T ) = 3 det(m N T ) = 6 MAT 3C AULA 8 13 deta = 4 e detb = 3 A B = (4) 3 = 1 MAT 3C AULA 8 14 (deta) 3 = 3 deta (deta) = 3 deta = 3 MAT 3C AULA deta = 40 deta = 5 ( 1 3 )3 detb = 3 detb = 4 det(ab) = 5 4 det(ab) = 10 MAT 3C AULA 8 16 a) FALSO det (A) =.det(a) b) FALSO Há outras matrizes diferentes da identidade que possuem determinante igual a 1; c) VERDADEIRO Cada linha ou coluna que multiplicamos por uma constante, o determinante fica multiplicado pela mesma constante; d) FALSO Há outras matrizes diferentes da Nula que possuem determinante igual a zero; e) FALSO O det (A) será o oposto do produto dos elementos da diagonal secundária. Alternativa C MAT 3C AULA deta = 4 deta =3

48 3 3 detb = 54 detb = A B = 3 = 6 MAT 3C AULA 8 18 deta = 3 4 det( 3 B) = 3 4 aij = 3b ij 4 A = 3 B ( 3 )4 detb = 3 detb = 4 7 MAT 3C AULA 8 19 * Matriz de vandermonde = det = ( 1) (3 1) (3 ) (4 1) (4 ) (4 3) det = 3 det = 1 MAT 3C AULA 8 0 a) detp = 16ab + 5ab 3b 3a detp = 3 (a 7ab + b ) b) detq = 3 detp detq = 8 [3 (a 7ab + b )] detq = 4 (a + 7ab b ) Logo é divisível por 4

49 MAT 3C AULA 9 1 Tabela 1 4m + 5c Tabela Total de fechaduras de mogno: = Total de fechaduras de cerejeira: = 6 Assim, = 18 MAT 3C AULA 9 æ ç ç è ö æ ç ç ø è ç 6 5,5 5,5 4 4,5 3 3 ö ø æ ç = ç è ç , ,5 39, ö ø No mercado C gastarão menos do que em A e B MAT 3C AULA = deta = deta = 1 MAT 3C AULA = deta = deta = 1 MAT 3C AULA =

50 = MAT 3C AULA = = = 0 MAT 3C AULA 9 7 (1) = = = 3 MAT 3C AULA = = = 6 MAT 3C AULA = (-1) = (1) ( ) (1) (9) = 9 MAT 3C AULA 9 10 deta = det(a t ) (deta) = () 3 det A deta = = (-1) (-1)

51 = (1) (16) = 16 MAT 3C AULA 9 11 I) ( 1) II) det(3a) = 18 3 deta = 18 deta = det(ab t ) = 6 deta detb = 6 detb = 6 detb = 3 III) 6 + x 1 + x x = 0 x 16 = 0 x = ± 4 MAT 3C AULA 9 1 (1) m m 1 p m m r 1 m m(1 s) 1 1 s 1 1 s (1) 0 p r ms s s (1) (mspr) mprs MAT 3C AULA (1) = (1)

52 (1) = 3 (1) = 3 MAT 3C AULA (1) = = 4 MAT 3C AULA 9 15 (1) = = 3 x(x 1) x x + (x 1) 3 x x x x + x x x 5x x = 4 e x = 1 MAT 3C AULA x x x x = x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 e x = 1

53 deta (x = 1 ) = ( 1 ) 1 = 1 1 = 1 MAT 3C AULA 9 17 (1) 0 0 x 1 0 x 0 x x x = x x x 1 = 0 x (1 + x )( x ) = 0 x 0 ou x = 0 x = MAT 3C AULA 9 18 (1) 0 0 c a 0 c 1 b c = +abc MAT 3C AULA 9 19 (1) x 1 x 0 6 x 0 x 6 x = (6 x) x x 1 = (6 x) (1 + x)( + x) = 0 x = 6 ou x = 1 ou x = S = {1; ; 6} MAT 3C AULA 9 0 a) deta > 0 16 x 3 36x 64x > 0 16 x 3 100x > 0 x(16x 100) > 0

54 b) B A C = = MAT 3D AULA a = 180 a = a = 36 a = 18 MAT 3D AULA 7

55 Para que o polígono seja invariante por rotações em torno do seu centro, basta os ângulos formados pelos três eixos que partem do centro (dois a dois) serem iguais, ou seja, cada ângulo deve valer 10º. Alternativa D MAT 3D AULA 7 3 Na utilização de octógonos, forma-se entre eles um QUADRADO. Alternativa B MAT 3D AULA 7 4 ( V ) Número de vértices é sempre igual ao número de lados. VERDADEIRO ( V ) Dodecágono possui 1 lados ( V ) Polígono regular: Lados iguais e ângulos iguais ( V ) Polígono regular: Lados iguais e ângulos iguais MAT 3D AULA 7 5 Si = (n ) 180 Si = (0 ) 180

56 Si = Si = 3 40 MAT 3D AULA 7 6 Si = (1 ) 180 Si = d = n(n 3) d = 1 9 d = 54 MAT 3D AULA 7 7 Si = 50 (n ) 180 = 50 n = 14 n = 16 d = d = 104 MAT 3D AULA 7 8 ai = (5 - ) ai = ai = 108 MAT 3D AULA 7 9 ae = 0 ai = = (n - ) 180 n 0n = 360 n = 18 d = d = 135 MAT 3D AULA 7 10 d = 9 n(n - 3) = 9 n 3n 18 = 0 S = 3 P = 18

57 x = 6 e x = 3 Si = (n ) 180 Si = Si = 70 MAT 3D AULA 7 11 Si = 50 n = 16 d = d = d = não passam pelo centro MAT 3D AULA 7 1 ai ae = 150 (n ) n n = n = 150n 30n = 70 n = 4 d = 4 1 d = 5 ae = ae = 15 MAT 3D AULA 7 13 a + b + c + d + e = 5 36 = 180

58 MAT 3D AULA 7 14 I) d = n n(n 3) = n n 3n n = 0 n 5n = 0 n = 0 ou n = 5 II) d = 4n n(n 3) = 4n n 3n = 8n n 11n = 0 n = 0 ou n = 11 III) n(n 3) d n 3 = = n n MAT 3D AULA 7 15

59 MAT 3D AULA 7 16 d n nn ( 3) n n 3 ( n 3) PAR n ÍMPAR Alternativa B MAT 3D AULA 7 17 Si = (n ) = (n ) 180 = 180n 60 Como é ângulo interno de um polígono 0 < < < 180n 60 < < 180n < < n < ,5 < n < 13,5 n = 13 Então: = = = 80

60 MAT 3D AULA 7 18 n 3n = 99 n 3n 198 = 0 S = 3 e P = 198-3n (n 1) -3 (1+1) n > n + n + 1 3n > n 6n n + 5n > 0 D(n) = {, 5, 9, 14,...} MAT 3D AULA 7 19 Resolvido no material MAT 3D AULA 7 0 Resolvido no material MAT 3D AULA 8 1 A mediana de um triângulo divide-o em dois triângulos de áreas iguais. Alternativa D MAT 3D AULA 8 A1 = A A3 = A4 A5 = A6 A6 = A5 Pergunta A1 = A6? A1 = A6 = A3

61 MAT 3D AULA 8 3 ( V ) Ponto de encontro das medianas: Baricentro ( F ) Ponto de encontro das mediatrizes: Circuncentro ( F ) Ponto de encontro das bissetrizes: Incentro ( V ) Ponto de encontro das alturas: Ortocentro MAT 3D AULA > MAT 3D AULA 8 5 < a < 8 MAT 3D AULA 8 6 Altura: Segmento perpendicular traçado de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto. Alternativa D MAT 3D AULA 8 7 MAT 3D AULA 8 8

62 MAT 3D AULA 8 9 MAT 3D AULA 8 10 MAT 3D AULA 8 11 y 0 70 y 90 o o o Alternativa C

63 MAT 3D AULA 8 1 MAT 3D AULA BE EC 5 BE 5 (3) = = = = BE = = = = = DE = 5 BD DE 15 DE 15 MAT 3D AULA 8 14 CG = 3 cm CM = CM = 13 MAT 3D AULA = 3 CGD AGD QR AR QR 6 = = 6 15 AR 15 AGE BGE = 3 ABC = ABC = 64 MAT 3D AULA 8 16

64 No ABC 15 0 = x 14 - x 10 15x = 0x 35x = 10 x = 6 QR AR QR 6 = = = 0, AR 15 MAT 3D AULA 8 17 MAT 3D AULA 8 18 Resolução no material MAT 3D AULA 8 19 Resolução no material MAT 3D AULA 9 1

65 , 0,8 4 = x x = 8,8 3, = 5,6 metros 3, MAT 3D AULA 9 d' b d b = = 3 a c a c b d' = d = d' a 3c 3 MAT 3D AULA 9 3 S = ( ) 5 S = 5 x h 15 = x = 15 4h 4 y h 30 = y = 15 4h 4 z 3h 45 = z = 15 4h 4 Comprimento mínimo: = 5 cm MAT 3D AULA 9 4 Como a sombra do poste é de 3 m, ela é 5 vezes menor que a sombra do poste. Logo, a altura do poste é também 5 vezes a altura do poste, H = 5 3 H = 5 m. MAT 3D AULA = x x = cm 100 = 600 m.

66 MAT 3D AULA 9 6 MAT 3D AULA x x 6 0 = = 4 + 6x + 4x = 10x 5 = 10x x = 5, m. MAT 3D AULA 9 8 0,1x = 1,8 x = 18 MAT 3D AULA 9 9

67 Analisando a figura 1 a 1 = a + z 1 + b a + ab = ax x = 1b Analisando a figura a b = a + y b + 1 ab + a = ab + by a = by y = a b MAT 3D AULA 9 10 MAT 3D AULA ,6 + 10,8 = 44,4 cm MAT 3D AULA 9 1 DA = x 5 FD = 3x 5 BF = x 5

68 x 1 5 DE FG = 4x FG DE 5 = 4 MAT 3D AULA ) A1 = = = AB CD 3 A 3 9 0) 10 5 = 5 04) 10x 1 = 9x = 60 3x 1x = 60 x = x 9 08) Sim, na proporção de 3 para 1 16) = 5 MAT 3D AULA x = x 5 x = 15 MAT 3D AULA 9 15 PC PA CA = = PA PB AB x y 6 3 = = y x x = 3 4 3(x 7) y y = 4 x = 3 4 3(x 7) 4 16x = 9x x = 63 x = 9

69 MAT 3D AULA 9 16 h 1 = x = 10 5h 10 x 5 x h 5 = = h h = 5h 5h = 40 h = 1,6 MAT 3D AULA 9 17 GA//JE FJE ~ FGA JE EF 1 = = GA AF 5 JE = 1 5 GA HC//GA DHC ~ DGA HC CD 1 = = GA AD 3 HC 1 3 GA 1 GA HC 3 5 = = JE 1 3 GA 5 MAT 3D AULA 9 18 S = p r 6 4 = r r = H + r + r = 4 h = 4 3 h = 1 ABC ~ ADE 6 4 = DE 1 DE = 1,5 cm MAT 3D AULA 9 19 Resolução no material MAT 3D AULA 9 0

70 Resolução no material MAT 3E AULA 7 MAT 3E AULA 7 1 triângulo pitagórico: 3, 4 e 5 tan α = c.oposto c.adjacente = 3 4 MAT 3E AULA 7 ( F ) sec x possui os mesmos sinais que cos x; ( V ) cossec x possui os mesmos sinais que sen x; ( F ) cosx e sec x são NEGATIVOS no 3º quadrante; ( V ) cosx e cossec x são NEGATIVOS no 3º quadrante; ( V ) tg x e cotg x possuem os mesmos sinais em TODOS os quadrantes; MAT 3E AULA c c cm 6 senx senx 0, cos x cos x 0, tgx tgx 0, sec x sec x 1, cos sec x cos sec x 1, cot gx cot gx 1,33 6

71 Alternativa C MAT 3E AULA 7 4 y = 1 cos x y = sen x MAT 3E AULA 7 5 sen(a) = 0 A = 0 o cos A = 1 A = 180º cos A = -1 Alternativa D MAT 3E AULA 7 6 Sen x + cos x = 1 cos x = Cos x 16 5 = cosx = 4 5 MAT 3E AULA M + M = 1 1 M + M + 4M + 4 = 1 4M = 4 M = 1 MAT 3E AULA 7 8 secx = 1 13 = cos x 1 cos x = º quadrante sen x = sen x = semx = 5 13

72 MAT 3E AULA 7 9 Sec x tg x sen x sen x cos x cos x sen x 1 sen x cos x MAT 3E AULA m m 5 MAT 3E AULA = = 1 cos 10 1 MAT 3E AULA 7 1 senx = 5 cos x cos x = senx 5 sen x = 1 cos x sen x = 1 sen x 5 5sen x + sen x = 5 sen x = 5 6 MAT 3E AULA 7 13 cossecx = 1 sen e secx = 1 cos sen x = sen x = 8 9

73 semx = 8 9 semx = 3 cossex = 3 3 = 4 MAT 3E AULA cos 1 sen 1 sen = 1 - sen θ 1 sen = sem + 1 MAT 3E AULA 7 15 y = (1 cos )(1 sen ) cos sen y = 1 sen cos + cos sen cos sen y = sen sen MAT 3E AULA 7 16 cos x cos x sen x senx cosx MAT 3E AULA sen x cos 4 x 4 4 cos - sen x 4 4 cos x - sen x 1 cos x = sec 4 x cos x - sen x MAT 3E AULA 7 18 a cosu(cos v + sen v = a cosu MAT 3E AULA 7 19

74 senx = 3 cos x 4 e senx = 3 5 sen x + cos x = 1 9 cos x 16 cos x = 1 cos x = 16 5 cosx = 4 5 y = 4 5 ( 3 5 ) y = 1 5 MAT 3E AULA 7 0 cos x = cosx = 3 y = y = y = y = y = 7 MAT 3E AULA tgx = 1 3

75 sec x = 1 + tg x sec x = sec x = 4 3 secx = 3 = sec x = secx = y = 1 cos + cos sen - cos sen cos y = sen + cos (1 - cos ) 1 - cos y = cosx = 8 10 e senx = 6 10 tgx = 6 8 = 3 4 = 0, senx + cosx = 1 cosx = m 4 cosx = 4 - (1 - m ) 4 cosx = ± 3 + m 08.06

76 E = 1 senx 1 cos x - senx - cosx E = 1 sen x senx 1 cos x cos x E = cos x senx cos x E = sen x 3 cos x 3 sen x = cotg3 x E = Cos x cossec x E = Cos 1 x sen x E = cotg x y = cot g x 1 cos sec x - sec x y = cos x sen x 1 sen x cos x y = m = senx cos x + cos x senx senx cosx m = sen x + cos x senx cosx senx cosx m = senx + cos x = cos x senx

77 cos x senx + senx cos x = 5 cos x + sen x senx cosx = 5 sex cosx = 1 5 [sem(x) + cos(x)] = [sem(x) + cos(x)] = = senx = 4 5 cosx = 3 5 tgx = (1 + tg + tg) 9 ( ) = cosx = 4 5 senx = 3 5 y = y = y = y =

78 f(60 o ) = f(60 o ) = = y = cos tg45 - sen180 o o o cot g90 cossec90 + sec70 o o o y = y = cos sen = k cos = k sem sen + cos = 1 sen + k sen = 1 sen 1 = 1 + k y = 1 sen sen y = 1 sen 1 y = k y = 1 + k k y = k - 1 k y = tg - tg sec sec y = sen cos - sen cos cos cos 1 cos cos

79 y = sen cos sen cos y = (1 cos )(1 sen ) sen cos y = 1 sen cos + sen cos sen cos y = cos cos * senx = cos(90 x) * sen 80 = cos (90 80) = cos 10 Sen 70 = cos (90 70) = cos 0 Sen 60 = cos 30 Sen 50 = cos 40 y = (sen 10 + cos 10) + (sen 0 + cos 0) + (sen 30 + cos 30) + (sen 40 + cos 40) + (sen 50 + cos 50) y = y = Sen x + senx cosx + cos x = a 1 + b = a y = (cosx senx) senx cos x + y = (cosx senx) cos x - senx senx cosx + y = cos x - senx cosx + sen x + senx cosx senx cosx y = 1 senx cosx y = cossecx sec

80 08.0 *Pertence ao 3º Q * cosx = 1 sec = = cos x Senx = = MAT 3E AULA y = cos30 o = = 100 cos80 o y = sen30 o cos60 o tg 45º y = y = 1,5

81 09.04 F o sec100 sec 80 o V sen100 sen80 V cos100 cos80 o V tg100 tg80 F o o cos sec100 cos sec 80 o F cot g100 cot g80 o o o o o o (V) 0º + 30º / 180º 30º (F) 0 + 5º / 180º + 5º = 05º (V) 0 + 0º / 360º 0º (V) A = 180º - B (V) cos θ = 1 para ambos (V) tan θ < 0 e de mesmo valor = 6 com 180 de resto Sen 340 = sem 180 o =

82 y = cos30 o sem60 o tg45 o cos90 o y = y = cos60 o + sen70 o + tg45 o = 3 com resto de 10 cos100 = cos10 o = cos60 o = sen30 o b = a a + b = N = N = N = 1

83 [; 1] * cossec460 o = 300 o * sec1110 o = 30 o *cotg05 o = 45 o A = A = o o I tg9 tg88 VERDADEIRO o o II tg178 tg88 FALSO o o III tg68 tg88 VERDADEIRO o o IV tg7 tg88 VERDADEIRO Alternativa D A (cosx, senx) para qualquer quadrante, então: A = 30º B = 10º º Sentido Horário B = 150º B, Alternativa A Ang. Complementares cos88 o = sen o cos86 o = sen4 o... Cos44 o = sen46 o cos = cos 178 = cos 18 = cos 358 cos 4 = cos 176 = cos 184 = cos 356

84 ... cos 88 = cos 9 = cos 68 = cos 7 ENTÂO cos 0 o + cos o + cos 4 o + cos 6 o cos 358 o + cos 360 o = B B = cos 0 o + cos 90 o + cos 180 o + cos 70 o + cos 360 o + 4 (cos o + cos 4 o + cos 4 o cos 44 o + sen 44 o sen 4 o + sen o ) B = () B = B = =

85 = 3 com 330 de resto

86 y = y = y = y = y = y = a) = com 110 o de resto = 3 com 115 o de resto

87 Sen830 o b) = 1 com 175 o de resto = 185 o cos190 o