MAT 5A AULA a 10 = a 1 + (10 1) r. a 10 = a 10 = a n = a 1 (n 1) r. a n = 2 + (n 1) 2. a n = 2n 13.03
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- Wilson Caldas Aires
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1 MAT 5A AULA a 10 = a 1 + (10 1) r a 10 = a 10 = a n = a 1 (n 1) r a n = + (n 1) a n = n a 1 = a 1 + (1 1) r a 1 = a 1 = a 1 = 19 r = a n = = 19 + (n 1) 73 = 19 + n n = 56 n = 18
2 13.05 a n = 4 + (n 1) 3 a n = 3n = 5 + (n 1) = 5n n = a 15 = a1 + 14r = r 800 = 14r r = 00 a 10 = a 10 = a 10 = 300 m a 1 = 56 a n = 147 r = = n 7 98 = 7n n = 14
3 13.09 a 1 = 100 r = 5 a n = = n 5 5n = n = (x r, x r, x, x + r, x + r) a 1 +a 5 = x + r + x r = x = a 3 a 1 + a 5 = a = x x = 336 x = 168 a a 1 = a 3 a a = a 1 + a 3 a = a = 88 a = 144
4 13.11 x (1 3x) = x + 1 (x ) x 1 + 3x = x + 1 x + 3x = x = 6 3 x = 13.1 a n = 136 a 1 = 40 r = n 6 6n = 10 n = = a10 = a10 = 1 900
5 13.14 (70, 70 + r, r) r = 3r = 1 r = = % de 140 = 1 3,..., = 3 + 3n 3 n = 46 3, 6, 9, 1,..., 138 6, 1,..., = 6 + 6n 6 n = 3
6 13.16 k = + (n ) 7 k = 7n 5 k = 38 + (n 1)(1) k = 394 1n 7n 5 = 394 1n 19n = 399 n = 1 k = k = Os Números Retangulares: {, 6, 1, 0,... R n-1, R n } determinam uma P.A de ª ordem, ou seja, as diferenças entre os números consecutivos determinam uma P.A. Essa P.A das diferenças é: {4, 6, 8,..., d n-1 } d n-1 = [(n 1) 1]. = 100 (n ). = 96 n = 50 Sabendo que a diferença d n-1 é entre R n e R n-1, temos que o maior deles será o R 50. ALTERNATIVA B PA: {a, b, 5a, d} a 3 = a 1 + r
7 5a = a + r r = a Assim, ficamos com P.A: {a, 3a, 5a, 7a}, ou seja, b = 3a e d = 7a. d 7a d 7 b 3a b 3 ALTERNATIVA D x = 40 x = 140 (x r, x, x + r) 140 (140 r)(140 + r) = r = r = 400 r = 0 prestações R$ 10,00; R$ 140,00; R$ 160,00) 13.0 Divisíveis por 4: {1996, 000, 004,..., 308} 308 = (n4 1).4 n 4 = 79 Divisíveis por 00: {000, 00} n 00 = Total = n 4 n 00 Total = 79 Total = 77
8 MAT 5A AULA (10; x; y; z; 40) y y 5 ALTERNATIVA C 14.0 a 8 =? a 1 = 100 a 15 = 700 a 15 = a r 700 = r r = a 8 = a 8 = (x r, x, x + r) 3x = 1 x = x = 180 x = 60
9 x = 1 x = 7 (x r) (x r) = 315 7(49 r ) = r = 75 r = x + r = _ 39 a7 = a1 + 6r 39 = r 4 = 6r r = r = x + 3 (x 1) = 4 x + 4 = x x x 3 = 0 x = 3
10 x = 1 x 1 + x x + 4 = 7 cm a = 50 a 5 = 400 a 5 = a + 3r = r = 400 3r = 150 r = a 1 + a 0 = a 41 a 1 + a r = a r a 1 = 1r a 1 = 1 9 a 1 = (x r, x r, x, x + r, x + r) 5x = 15 x = 3 (3 r)(3 r) 3 (3 + r) (3 + r) = 0 e r + 3 r = 0 r = 3 (3, 0, 3, 6, 9)
11 14.11 t t = t + 6 t + t = t + 1 t t = 0 t = 4 t = 3x (4, 10, 16) k 4k + 10k + 16k = 60 k = (4k, 10k, 16k) = (8, 0, 3) 14.1 a 13 = a 13 = m Total = = ) x x ) a n = x 4 + (n 1) 4 = x n 4 x n 4 4 3) 1 4 (x + x + x + + x x x + 8)
12 6x 18 3 (x + 3) (x 0, x, x + 0) 3x = 180 x = (5, 8, 11, 14, 17) = f (n + 1) = f (n) + 1 f (n + 1) f (n) = 1 Então: (f (1), f (), f (3),..., f (n) ) forma uma PA de razão 1 f (n) = f (1) + (n + 1) 1 f (101) = f (101) = ? = a 57 a 57 =
13 a 57 = a 57 = a n = 1 + (n 1) b n = 10 + (n 1) 3 b n na n n n n (x r, x, x + r) (x + r) = x + (x + r) x 4xr = 0 x(x 4r) = 0 x = 4r (3r, 4r, 5r) SA = 3r 4r = 150 6r = 150 r = 5 r = 5 (15, 0, 5)
14 14.0 a 9 = a 1 + 8r = a 1 + 8r (1) a 7 = a 1 + 6r = a 1 + 6r = -a 1-8r = a 1 + 6r 54 = 18r r = = a a 1 = a 1 = de janeiro de
15 MAT 5A AULA S 1 = 1 S 1 = 15.0 S 10 S (100 81) 19 = a 30 = = = S 30 = S 30 = S 30 = a 1 = 1 a 1 00 = a 1 00 = a 1 00 = S n =
16 S n = S n = a n = a 1 + (n 1) 3 = 94 (a 94)n 1 = (97 3n + 94)n = n + 191n = 0 = 11 n = n = 30 e n = 30 a 1 = 94 3n + 3 a 1 = 97 3n a 1 = a 1 = (11, 13, 15,...,) a n = 11 + (n 1) = 9 + r 11 9 n n S n = 00 0n + n = 400 () n + 10n 00 = 0
17 n' = 10 n = x + 7 x + 1 = 1 x = 4 e x = 4 a 8 = a 8 = a 8 = 75 S 8 = (9 + 75) 4 S 8 = (1,, 3,...) a n = 1 + (n 1) 1 = n S n = (1 n)n = 35 n + n 650 = 0 = 601 n = 1 51 n = 5 e n = 6
18 15.09 a 1 = r a 1 + r + a 1 + 7r = 18 11r = 18 r = a 10 = = S 10 = S 10 = 18 5 S 10 = a 1 = = a a 1 = S n = S n = S n = m S8 S (3 7 )
19 3 15 = x x 1;x 7;16 4 Para descobrir o valor de x, aplicamos a relação do termo médio, ou seja: x x 116 x7 4 x x 14 x 15 4 x 4 Substituindo, temos a seguinte P.A: 7;11;15 Para calcular a soma dos vinte primeiros termos, é necessário se conhecer o vigésimo termo, então: a a 19r 0 1 a a 83 0 Calculando a soma, temos: S S S a a ALTERNATIVA B (51, 61,..., 341) 341 = 51 + (n + 1) = 10n n = 30 S 30 = (51 341) = 5 880
20 15.14 S 10 S (100 81) 8 19 = S 1 = 93 4 = 89 S = = 170 S 3 = = 43 a 3 = S 3 S a 3 = = = 89 + r r = 16 r = (8; 1;...; a n ) a n = a 1 + (n 1)r A a n = 8 + (n 1).4 a n = 4n + 4 S A = (a + a )n 1 n (8 + 4n + 4)n S A = S A = 4n + 1n S A = n + 6n
21 (17; 19;... ; b n ) b n = b 1 + (n 1)r B b n = 17 + (n 1). b n = n + 15 S S S B B B (b1 b n)n (17 n 15)n n 3n SB n 16n S A S B n 6n n 16n n 0 n 10n 0 n 10 ALTERNATIVA B a a 100 = 100 a 1 + a 100 = a a = 00 a a 00 = 4 a1 99r a1 99r 4 ( 1) 00r = r = = 10 a a 1 = r = a 1 = 1
22 a = a1 + 1 a 3 = a + = a a 4 = a = a a 5 = a = a a 100 = a = a 100 = a a 100 = a) a = a 1 + r a 4 = a 1 + 3r a 6 = a 1 + 5r... a n = a 1 + (n 1) r S par = a + a 4 + a a n S par = a 1 + r + a 1 + 3r a 1 + (n 1) r S par = a a... a r (n 1) n RAIZES SOMA ÍMPAR S par = n a 1 + r (1 n 1) n
23 S par = n a 1 + n 4 r S par = n a1 rn 4 b) a 1 = 4 r = 0 (4) = 4 a n = 4 + (n 1) 4 a n = 4n 8 4 4n 8 n S n = S n = n 6n > 0 n 6n > 0 Sendo assim: n (n 113) > 0 n > 113 no mínimo 114 termos Total de Tijolos = 5050 tijolos Como cada tijolo da linha superior é a média aritmética entre os dois que o sustentam, e, esses dois são termos consecutivos de uma P.A, esse tijolo da linha superior entra como termo médio dos dois termos em P.A da linha inferior.
24 Assim, os 5050 tijolos estão em P.A na qual o 1º termos é 10 e o último termo é 490. Ou seja: S S = MAT 5B AULA A pontuação mais regular é determinada pelo MENOR desvio padrão. Assim, Marco teve a pontuação mais regular pois possui o MENOR desvio padrão. ALTERNATIVA B 13.0 I VERDADEIRO Como todos os preços são iguais, o desvio padrão é zero; II FALSO A moda é o valor com maior frequência. A moda é R$ 71,00; III VERDADEIRO São Paulo: Média = 74,93 Mato Grosso do Sul: Média = 68,57 Minas Gerais: Média = 70,36 Goiás: Média = 71,07 Mato Grosso: Média = 70,14 Rio de Janeiro: Média = 75,00 IV VERDADEIRO Mato Grosso: Mediana = 70,00 (7º e 8º valores em ordem crescente iguais a 70,00) Minas Gerais: Mediana = 70,00 (7º e 8º valores em ordem crescente iguais a 70,00) V VERDADEIRO São Paulo: Variação (Maior Valor Menor Valor) = R$ 3,00 Mato Grosso do Sul: Variação = R$,00
25 Minas Gerais: Variação = R$ 1,00 Goiás: Variação = R$ 1,00 Mato Grosso: Variação = R$ 1,00 Rio de Janeiro: Variação = R$ 0,00 ALTERNATIVA D Ma = ,60 Me = Mo = Amplitude é a diferença entre o maior e o menor valores, então: a) A = 5 1 = 4 b) A = 7 4 = 3 c) A = 8 5 = 3 d) A = 9 6 = 3 d) A = 4 1= 3 ALTERNATIVA A A maior dispersão é aquela que apresenta maior amplitude. a) Amplitude = 0 b) Amplitude = 7 3 = 4 c) Amplitude = 8 = 6 d) Amplitude = 9 1 = 8 e) Amplitude = 10 0 = 10
26 ALETRNATIVA E Ma = 0 4 = 5 Dp = ( ) ( ) = Dp = A 4 = VERDADEIRA Quanto maior o desvio padrão, mais heterogênea é a amostra dos dados;. VERDADEIRA A diferença na variação resultou nos diferentes desvios padrões; 3. FALSO Como o desvio padrão é o menor, as notas foram menos dispersas; ALTERNATIVA B Sendo Salário Médio igual a s, temos: s = s = 50 s = R$1 000,00 Sendo a mediana igual a Med, temos:
27 o o (4 salário) (5 salário) Med (500) (500) Med Med R$500,00 Homogeneidade só é possível quando o desvio padrão é zero e o desvio padrão é zero apenas quando todos os elementos são iguais. ALTERNATIVA A I) Ma = 4 7 = 6 II) V = = III) Dp = 4 = I) (1; 4; 6; 9) Me = 4 6 = 5 II) Ma = 0 4 = 5 Mp = = III) Dp = ,5,9 IV) (V) Ma = = 30
28 Me = 9 V = = 6, )(V) Me = = 140 ) (F) 3) (V) Dp = Dp = Dp = 10 = 10 1,41 = 14, Ma = = 35 Dp = ,5 1, d) Ma = = x 0 = % = =
29 13.15 Cálculo da Média Aritmética: x 6 o x 38 C Cálculo da Variância: v v (38 38) (38 37) (38 35) (38 41) (38 39) (38 38) v 3,33... Cálculo do Desvio Padrão: v v v 3, v v 9 5,48 v 3 v 1,83 Afastamentos: 1 desvio : [36,17 o C,39,83 o C] 4 em 6 = 66,67% desvios: [34,34 o C,41,66 o C] 6 em 6 = 100% 3 desvios : 100% ALTERNATIVA D 13.16
30 01) Verdadeiro 9 4 = 0,375 37,5% 0) Verdadeiro M = 3 6 = 0,5 04) Verdadeiro Ma = 1 6 = Dp = ) Falso (1,,, 3, 6, 10) Me = 3 =,5 16) Falso. Dos 6 países sul-americanos participantes do evento, CONSTANTES DA TABELA, 3 não ganharam medalha de ouro, logo 50%. Mas, foram 11 os países que participaram do evento, logo a porcentagem relativa ao item 16 é: 3 11 = 0, % 3) Falso O número de medalhas de bronze conquistadas pelo Brasil, nesse evento, foi 3 que representa exatamente 50% das 6 conquistadas em a) Ma = = 4 V = V = 6,8 0 5
31 Dp = 6,8 =,6 d) D PB = 9 = * Cálculos antes do acréscimo de n objetos de massa 4kg x x 4kg v 6 v 1kg * Cálculos após o acréscimo de n objetos de massa 4kg x 4kg v n n n n 4 6 n 4 n 18 ALTERNATIVA A Exercício Resolvido no material 13.0 Exercício Resolvido no material
32 MAT 5B AULA a) (F) - Cristina tem o IMC de 15 e o normal é entre 18,5 e 4,9. b) (F) - Maria tem o IMC de 0 então está dentro da normalidade 18,5 e 4,9. c) (V) João tem o IMC de 35 e está na faixa de obesidade e risco elevado de doença. d) (F) Antônio está com sobrepeso, mas o risco de desenvolver doença é elevado e não muito elevado. e) (F) Sergio está com IMC de 45, ou seja, obesidade grave e muitíssimo elevado o risco de desenvolver doença Pelas medalhas de ouro (9 medalhas) iria para a 13ª colocação. Com as medalhas de prata (6 medalhas), assumiria a 1ª colocação e as medalhas de bronze (13 medalhas) não alterariam essa classificação. ALTERNATIVA B
33 14.03 Na escala onde o mês de DEZ tem 375 milhões de anos. 504 anos torna-se insignificante. Anos Hora ,001 hora pouco antes da meia noite do dia 31/dez. 504 x a) VERDADEIRO b) FALSO seriam Sudeste e Nordeste. c) FALSO seria a Norte e não a Sudeste. d) FALSO Não é excelente, afinal, quase 50% (47,8%) não possui nem coleta. e) FALSO A soma das duas é inferior ao percentual da região Sudeste. ALTERNATIVA A Ma = ,8 638,8 110,5% = 915,9 Km % de = I - VERDADEIRO x1 x... xn M n x1 k x k... xn k M n x1 x... xn nk M n M M k
34 II FALSO Dp 1 n x M (x M)... (x M) n Dp Dp (x k M k) (x k M k)... (x k M k) n 1 n 1 n x M (x M)... (x M) Dp Dp III VERDADEIRO n M x x... x n 1 n kx1 kx... kxn M n k(x1 x... x n) M n M k M IV VERDADEIRO Dp 1 n x M (x M)... (x M) n Dp Dp Dp Dp 1 n 1 n 1 n x1 M (x M)... (xn M) k n Dp k Dp Dp k Dp (kx Mk) (kx Mk)... (kx Mk) n [k(x M)] [k(x M)]... [k(x M)] n k (x M) k (x M)... k (x M) n V VERDADEIRO
35 Dp Dp Dp 1 n x M (x M)... (x M) 1 n n x M (x M)... (x M) (M M) n1 1 n x M (x M)... (x M) n1 Dp ALTERNATIVA E Ma = 4 6 = A = Largura Altura Preço/Área = Preço A 3 A = = P/A = = 0,5 3 A = = 800 P/A = = 0,5 40 A = = P/A = = 0, x 600 = 8,5 x = 5 100
36 y y = y = 9y y = x 11 = 45 x = = = 48, Média salário = = = = = = R$ 400, k 100 = 9,83 k = x y 98 = 8,5 983 x y = 833 x + y = 150 3x y = 15
37 5x = 45 x = 85 y = x x = x = 99 o ) I - VERDADEIRO x1 x... xn M n x1 k x k... xn k M n x1 x... xn nk M n M M k II FALSO Dp 1 n x M (x M)... (x M) n Dp Dp (x k M k) (x k M k)... (x k M k) n 1 n 1 n x M (x M)... (x M) Dp Dp III VERDADEIRO n
38 M x x... x n 1 n kx1 kx... kxn M n k(x1 x... x n) M n M k M IV VERDADEIRO Dp 1 n x M (x M)... (x M) n Dp Dp Dp Dp 1 n 1 n 1 n x1 M (x M)... (xn M) k n Dp k Dp Dp k Dp (kx Mk) (kx Mk)... (kx Mk) n [k(x M)] [k(x M)]... [k(x M)] n k (x M) k (x M)... k (x M) n V VERDADEIRO Dp Dp Dp 1 n x M (x M)... (x M) 1 n n x M (x M)... (x M) (M M) n1 1 n x M (x M)... (x M) n1 Dp ALTERNATIVA E
39 ) (V) Ma = = = 7 ) (V) V = = = 1,33 3) (V) Dp = V Exercício resolvido no material Na primeira metade do tanque, o volume altera pouco a cada alteração da altura, ou seja, o volume cresce mais lentamente. Na segunda metade, com a mesma alteração de altura da primeira, o volume altera bastante, ou seja, o volume cresce rapidamente. ALTERNATIVA E Exercício resolvido no material 14.0 Exercício resolvido no material
40 MAT 5B AULA Fundo Casa Palmeira Total Azul 4 Cinza A e E Com a mesma cor B e D com a mesma cor todas as barras claras/escuras A B C D E 1 1 = 8 8 = * Usando a engrenagem quebrada EC EP = 1 * Usando as demais engrenagens (boas) EC EP = = I V 3 = 6
41 _ = A B C 3 ou = = ,6, = , 5 ou = Em cada ano temos 6 opções = Que já participam = = 64
42 I_(1, 3, 9) = = = 1,75 0,75 60 = 45 1h 45 min = 480 E = = ª ª 3ª 4ª 3 3 = 36
43 15.14 NR: nº que repete NA: nº ausente 3 casos. * NR = 1 NA = 8 (tira 1 e 10) 1 8 = 8 * NR = 10 NA = 8 (tira 1 e 10) 1 8 = 8 * NR 1 e NR 10 NR há 8 opções NA há 7 opções 8 7 = 56 (exceto 1, 10 e NR) Somando os três casos temos: = Total de senhas sem as restrições: = 10 6 Dentre as senhas que não são permitidas, para os dois algarismos centrais há 1 opções e, para os demais 4 algarismos há 10 opções cada, assim: = Subtraindo: ALTERNATIVA A P I 3 3 = 9
44 P I = 36 P I_ = 108 P I = 16 P I = = L = = TOTAL = 65
45 13 _ 13 _ = 75 1 (1313) = = Exercício resolvido no material 15.0 Exercício resolvido no material MAT 5C AULA
46 6x = y + z 6x y y = 0 1x = 6z 1x 6z = 0 z = x 6x = y + z 6x y z = 0 6x y 4x = 0 x = y S = {(x, x, x), x, x IR} 13.0 x y 40 5x 00y x 5y x 00y y = 700 y = 4 z = d = 5b
47 c = a + 10 a = nº par b =? 1d + 5c + 10d + 50a = 400 5b + 5a b + 50a = b + 55a = 350 3b + 11a = 70 a = nº par = 3b = 70 b = 48 3 b = I (F) II (V) III (V) IV (V) (m )(m + )x = m m = 0x = 4 m = 0x = 0 m ± 3 1 sol m = 0
48 m = 30 m = m 0 3m 4 m a = 0 a = e b = y 3z = 3 y = 3 3z m = 0
49 + 15 4m m = 0 5m = 15 m = n n ( 1) n = 0 n = 35 m + n = = m m m m 130 m m 0 = 0
50 3m 4 m 6 = 0 m = 10 m = n n 5 n 5 0 n 5 m n m = m m = 0 14m = 4 m = n n 5 n 5 = (11) n = 3 m n = 3 3 = m 1 = 0
51 1 3m + m 6 = 0 5m = 10 m = n n 10 n n 3 m + n m = 0 6m m 4 = 0 4m = 16 m = n n n + 15 = n = 7 m + n = x 4z 7 x 3(1 z) 8 x 4z 7 x 3z 5 ( 1) z = e z =
52 y = 3 e x = 1 x + y + z = = x + y + z + t = 4 x + y z t = 4 + y = 0 y = 0 x z t 4 x z t 6 x + y = 10 x + z = 5 x z t = 4 x z + t = 6 c) possível e indeterminado, sendo x + z = = = a = 0
53 I) (V) Se D = 0 = 0 ou a = 0 = SI II) (V) = (1) 5 4 z = 3 z = 6 III) (F) 10 10a a 5 D = = (1 ) Se D 0 0 SPD Ou Exercício resolvido no material 13.0 Exercício resolvido no material MAT 5C AULA
54 x y z 8, 80 x y z 10,10 3x + 3y + 3z = 18,90 x + y + z = 6,30 6A 6B 3C 153 6A B 4C 16 4B + C = 7 C = 4B 7 > 0 B > A 4B C 10 3A 3 C 63 A 3B = 39 A = 39 3B > 0 B < a) (F)
55 A + B = 5 B + C = 7 A = 5 7 A = 5 b) (F) B + C = 7 BC = 7 C = 9 B = 18 c) (V) Como A = 5 B > 5 B + C = 7 C < A B C 51 3A B C 63 ( ) 4A 3C = 75 4A +3C = 75 C = 75 4A 3 5 4A 3 > 0 A < 18, x + 3y = 8 x = 1
56 10y = 30 y = Escalonando o sistema, temos: x y 7 x y 4 3x y 15 x y 7 0x 5y 10 0x 4y 6 Com as ª e 3ª equações, percebemos que: y = E y = 1,5 O que faz o sistema ser IMPOSSÍVEL, ou seja, S.I ALTERNATIVA E Escalonando o sistema, temos: 3x y 6x 4y 4 9x 6y 6 3x y 0x 0y 0 0x 0y 0 Sobrando apenas a 1ª equação, temos a relação do sistema. Ou seja, o sistema é S.P.I. 3x y definindo as INFINITAS soluções Solução: 3x x, Para x = 0, tem-se y = 1. O par (0, 1) é uma das soluções do sistema. ALTERNATIVA C
57 14.07 X Y 3Z 3 () 4X Y 6Z 7 4X 3Y 6Z = 6 4X + Y 6Z = 7 (IMPOSSÍEL) x 3y 3z 6 ( 3) 3x 9y 11z 0 z = z = x y z 7 x y z 3 y + z = 4 y + z = x + y + z = 7 x + = 7 x = n 3m 9 m 3n 3 3 3m n 7 ( 3) m 3n 0 9m 3n 1 m 3n 0 7m = 1 m = 3 n =
58 a 1 1 a a a (5) 5(7 a) = 7 4a a = 7 4a 14a = 8 a = 14.1 Escalonando o sistema, temos: x y 3z 5 6x 3y az b x y 3z 5 0x 0y (9 a)z 15 b Com a ª equação, temos a seguinte relação para z: 15 b z 9 a Assim, para ser impossível, é necessário que: 15 b 0 9 a 0 b 15 a 9 ALTERNATIVA C x y 4 3x 5y 6 ( ) 8y = 8 y = 1 6x = x = 1 3 kx + y = 5
59 k = 5 k + 6 = 15 k = x 3y 7 3x 3y 1 5x = 5 x = 1 y = 3 a 6 = a = x + y = x + y = 1 a) tem solução 3z z = 0 z = 1 b) tem solução 3z 35 + z = 5 4z 60 z = 15 c) tem solução 3z 35 + z = 17 4z = 5 z= 13 d) tem solução 67 4z + z = 5 3z = 4 z= 14 e) F 67 4z + z = 0 3z = 47 z=
60 Escalonando o sistema, temos: x y z 3 x y 3z 5 x y z 3 0x 3y z 1 Com a ª equação, temos a relação z = 1 3y. Substituindo essa relação na 1ª equação, temos: x y 1 3y 3 x 4 5y O sistema é S.P.I e a solução é: {4 5y, y, 1 3y} Podemos então montar a seguinte tabela de valores para as possíveis soluções: (...) x y z ALTERNATIVA D I) 4x + 6y + 10z = 6 II) 4x + 6y + kz = 6 z = 0 x em função de y III) 4x + ay + bz = 6 SPI x y z 3 x y z 3 5x 10y 5z 495 x y 5z 99 ( 1) x y z 3 x=3z-35 y 4z 67 y=67-4z* Mas x, y, z, então
61 3z z 67 4z Então, z pode ser 1, 13, 14, 15 ou 16 Testando cada i em * y = 67 4z a) A + B + 3C = A + 5B + 3C = () A B 3C B C 3500 A + B + C = b) B = min B + C = C = C = 500 C = Considerando os dados do enunciado montamos o seguinte sistema: x y 3z 3 x y 4z 5 Escalonando o sistema temos: x y 3z 3 x y 4z 5 x y 3z 3 0x y z
62 Da ª equação temos a relação y = z. Substituindo essa relação na a equação, temos: x + (z ) + 3z = 3 x = 7 5z O sistema é S.P.I com a seguinte solução: {7 5z; z ; z} a) x = 7 5z E y = z b) Montando uma tabela com os possíveis valores, temos: x y z MAT 5C AULA A: 8x + 7y = 7,4x + 7,4y B: 7x + 5y = 5,8x + 5,8y 0,6x 0, 4y 0 1,x 0,8y 0 x = 3 y 15.0 z = x 3x + y = y y = w 3x + w = w w = 3x (x, y, z e w) = x, 3x, x e 3x 15.03
63 x y 5z 0 () 3x y 3z 0 x y 5z 3 7x 7z 0 x + y + 5z = 0 x + y 5x = 0 y = 3x 7x + 7z = 0 x = z S = {x, 3x, x) = = = = = 0 = = x = 7z 14z + y + 4z = 0 y = 10z (x + y = 3z) D 0 k 1 1 4k 0
64 4k 1 0 k ± D m = 0 1 m = 0 m = k k 3 = x 3 4k 3k = 0 k 7k + 10 = 0 S = {7} I) (V) = = 0 II) Como a alternativa III apresenta solução diferente de 0 para x, y e z, então é F. III) (V)
65 ( 4) 4 5 ( ) = x = 3y x = 3y = m m m = 0 5m + 10 = 0 m = = = 0 = 4 = 15.1 x y z t 0 x y z t 0 x + t = 0 x = t {x + y z t = 0 x + y = z + t 3ª equação na 1ª z + t = o z = t
66 z = x 1ª equação X + y + x x = 0 y = x S = {x, x, x, x) x y z 0 L1 x y z 0 L x 3y 3z 0 L3 L1 L x 0 x 0 L1 L3 4y 4z 0 y z S.P.I S : (0; z;z) ALTERNATIVA D x x 1 y y x 5y x x y y (1 )x 5y 0 S.P.I D 0 x (1 )y D 0 (1 ) (1 ) ALTERNATIVA E
67 15.15 S.P.I D 0 3 7m 6 D 0 3m 4 0 m 1 m 9m 8m(m 1) 18m(m 1) 4 0 m 10m 4 0 m 1 ou m ALTERNATIVA E x y z 0 4x y z 0 3x y z 0 0x 5y 10z 0 y z 3x. z z 0 x z S : z; z;z ALTERNATIVA D x y 0 ( ) x 3y 0 (3) 6x 6y 0 6x 5y 0 x = 0 e y = 0
68 15.18 y = 3 y y = +x 4x - (3) z + z = 0 3 1x z + 6z = 0 1x + 4z = 0 z = 3x S = {x, x, 3x) m = 9 m 3 + 3m 4 m = 14 D = 0 m = 4 SPI D 0 m 4 SPD 15.0 D 0 3 m 1 m 1 1 = 6 6m +m 6 + 3m m 0 6 m m 3m 0 {m IR/m 0 e m 3
69 MAT 5D AULA C = S = 4 11 = 64 S = R$ 64, C = 4 8 C = 19 reais R$ 19, x = 60 x = 10 o = 180 = 110 o x + 7 = x + 13 x = 6 x = x 5 = x + 11
70 x = 16 x = = O 80 O = 80 O
71 13.09 I) (V) R =13 = 169 cm II) (V) d = = 144 d = 1 cm III) (F) 10 1 = 61 cm * Ângulo α é ângulo inscrito do arco, então, ; * Ângulo β é ângulo inscrito do arco, então, ; * Ângulo é ângulo externo do triângulo e é distante de α e β, então, = α + β Ficamos com: = α + β ALTERNATIVA A x = 65 o + 5 o
72 x = 90 o º ) Traçar o segmento AF; º) Como EF é perpendicular à BC e passa pelo seu ponto médio, temos que EF é diâmetro da circunferência; 3º) Ao ligar as extremidades E e F do diâmetro no ponto A, formamos o triângulo retângulo EFA retângulo em A; 4º) Perceber que o triângulo EFA possui um ângulo reto em A e o ângulo AÊF. Assim como o triângulo EUM possui ângulo reto em M e o ângulo UÊM que é o mesmo que o ângulo AÊF; 5º) Se dois triângulos possuem dois ângulos iguais, o terceiro também o será, ou seja, o triângulo EUM é semelhante ao triângulo EFA. ALTERNATIVA E = 6 cm o + 50 o = 180 o
73 = 50 o = x 180 o x = x + 90 o 90 o = 3x x = 30 o Si = 540 o 13.17
74 S = 1 a a sen30o S = 1 4 a sen 30o = h 1 h = ODC S = 6 1 = 3 9 S = 3 = o o 30 x
75 x = Exercício resolvido no material 13.0 Exercício resolvido no material MAT 5D AULA Área = (Área retângulo) +. (Área setor 90º) Área = (4. 3) Área = (1 + 8 ) m Área = ( ,14) Área = 37,1 m ALTERNATIVA C 14.0
76 tg30 o x 3 x x 3 0,58 x 1,15 km Área do João P 100 Área Total 1,15 P ,15 P P 19,17% ALTERNATIVA E A área da foto 1 é um círculo de raio 1 km, ou seja: A A km O aumento da área é equivalente a um quadrado de lado km menos um semicírculo de raio 1km, ou seja: 1 Aumento 1 Aumento 4 km Para o cálculo percentual desse aumento, fazemos:
77 4 P P P 83,33% ALTERNATIVA E ( V ) 3 h 6 3 h h 3 3cm ( V ) d d 10 cm ( V ) 3 A A 4 A 3 3cm ( V ) Cálculo do lado do quadrado A 50 5 cm Cálculo da diagonal do quadrado
78 d d 5 d 10cm h = 6 3 h = S = L 3 4 = 16 3 L = 64 L = 8 h = R = = h = 5 = L 3 L = 10 3 = = L = d = R L = R R = L R 1 4L 4
79 14.09 d = 3 + d 3d = 36 d = 1 d = tg 30 o = h 3 3 h 3 3 h = 1 S = 3 1 S = L = R 3L = L3 9 9 L R = L 3 R = L R = R = S = 6 S S = 6 R 3 4
80 S = 3R A hex = 1ª A tri = 6ª A A hex tri 1A = 6A A hex = Atri A hex =
81 S 6 = 18 S 180 = 18 S S = S 6 = 3 6 L 3 4 = 3 L = 3 L = 3 S PAB = 1 AB h = 1 3 h = h =
82 3 S ABC 3 1 sen 10o h o tg60 3 x h 3 3x h x 3 3 h 3 x 9 Sabendo que h 3, temos: x 6 Tem-se também que b x, ou seja, b. 3
83 Se chamarmos h y 3, teremos, 3 y. 6 Considerando a área sombreada como um paralelogramo de base b e altura y, ficamos com: s b.y 3 s s 36 s 9 4 s S 9 3 ALTERNATIVA D L 3 4 = C = R = 4 R = S = S = Exercício resolvido no material 14.0 Exercício resolvido no material
84 MAT 5D AULA Seja b, a base e h a altura, temos: Perímetro = 60 b + h = 60 b + h = 30 Sendo b = h, temos: h + h = 30 h = 10 Logo, b = 0. Área = b. h Área = Área = 00 ALTERNATIVA A 15.0 Sendo a o lado do triângulo equilátero e b o lado do hexágono, temos que os perímetros dos dois polígonos são iguais. Então: 3a = 6b a = b Logo:
85 a 3 Áreatriângulo 4 hexágono Área b Áreatriângulo a Área 6b Área Área hexágono triângulo hexágono hexágono Áreatriângulo Área 3 ALTERNATIVA C b 6b A Área que o cão pode circular é a soma entre a Área 1 (retângulo de dimensões 0m x 9m) e duas vezes a Área (semicírculo de raio 9m). Assim: Área Área1 Área 1 Área Área m ALTERNATIVA D Se considerarmos que o quadrado ABCD possui lado igual a x, o triângulo ADE terá base igual a x e altura também igual a x. Assim:
86 ÁreaAED ABCD x Área ÁreaAED 1 Área ABCD x x ALTERNATIVA B Ligando as extremidades do arco CB no centro O da circunferência, forma-se um triângulo equilátero BCO de lado 3cm e o setor circular COB de 60º e raio 3cm. A área sombreada é: Área Área Área Sombreada Setor Triângulo ÁreaSombreada ÁreaSombreada cm 4 ALTERNATIVA A Considerando que o ângulo interno do hexágono regular é 10º, os triângulos terão ângulos internos iguais a 60º. Podemos concluir então que a figura possui: 6 triângulos equiláteros de lado, 1 hexágono regular de lado e 1 região circular cujo raio é o apótema do hexágono regular.
87 Cálculo do raio do círculo: 3 r a6 r 3 A região sombreada é a soma das áreas dos 6 triângulos com a área do hexágono subtraída a área do círculo, então: Área 6 Área Área Área sombreada triângulo hexágono círculo sombreada sombreada 3 3 Áreasombreada Área Área ALTERNATIVA B Como a circunferência intercepta os lados do triângulo em seus pontos médios, o raio da circunferência é de 3 cm. Como o triângulo é equilátero, o ângulo do vértice que coincide com o centro da circunferência é de 60º formando então um setor circular de 60º e raio 3 cm. A área destacada corresponde à área do triângulo subtraída da área do seto. Então: Área Área Área destacada triângulo setor Áreadestacada Áreadestacada 9 3 Áreadestacada 9 3 cm 6 ALTERNATIVA E 15.08
88 Como os catetos medem 3 e 4, temos que a hipotenusa mede 5 (Teorema de Pitágoras). Aplica-se então a relação métrica (Cateto1).(Cateto) = (Altura).(Hipotenusa) 3. 4 = h. 5 h =,4 Perceber que a altura h é o raio do setor de 90º centrado em A, assim, a área destacada fica como: Área Área Área as sinalada triângulo setor Áreaas sinalada,4 4 1 Áreaas sinalada 6 3 5,76 4 Área 1,68 as sinalada ALTERNATIVA E Na figura temos: quadrados de lados: A (maior) e a (menor) Circunferências de raios: R (menor) e r (maior) r equivale a metade da diagonal do quadrado maior, ou seja, A r A r
89 R equivale a metade do lado do quadrado maior, ou seja, Igualando as duas relações, concluímos que A R A R r R r R. R equivale a metade da diagonal do quadrado menor, ou seja, a R a R a r A área hachurada é a quarta parte área resultante de retirar do círculo menor a área do quadrado menor. Assim: 1 Área Área Área 4 1 Áreahachurada R a 4 1 r Áreahachurada r 4 Área hachurada Círculo Menor Quadrado Menor hachurada ALTERNATIVA B r Vamos chamar de t o lado do triângulo, q o lado o quadrado e c o raio do círculo. Assim: 3t 4q c A partir disso podemos concluir que: c t 3 c q ` No cálculo das áreas vamos encontrar: c 3 3 At At 4 9 c c Aq Aq 4 Ac c c 3
90 Para concluirmos quem possui o maior/menor valor de área, vamos aproximar 3 e 3 1,7. Então: At 1,7c Aq,5c Ac 3c Ac > Aq > At ALTERNATIVA B Vamos considerar que o círculo de diâmetros AB e CD possui centro no ponto O. O raio desse círculo é de 1 dm, e temos que OA = OB = OC = OD = 1 dm. O triângulo OAC será retângulo isósceles, ou seja, o ângulo OÂC mede 45º e o segmento AC mede dm. A intersecção das áreas dos círculos é calculada somando metade do círculo de raio 1 dm com dois segmentos circulares de 45º com centro em A no círculo de raio dm. Calculando a área de um dos segmentos circulares: Área Área Área segmento setor triângulo ACO 1 11 Áreasegmento 8 1 Áreasegmento 4 Sendo assim, a área pedida fica: 1 1 Área 4 Área 1 Áreasegmento Área 1 dm ALTERNATIVA D 15.1
91 Para que M seja ponto médio de BC respeitando a exigência dos lados paralelos do paralelogramo, os pontos P e N também serão pontos médios dos respectivos lados a que pertencem. Sendo assim, se traçarmos o segmento PM, pela semelhança de triângulos (base média), teremos o triângulo ABC dividido em 4 triângulos iguais. O paralelogramo BPNM é formado por desses 4 triângulos, ou seja, a área do paralelogramo é metade da área do triângulo ABC. Assim: Área Paralelogramo Área triângulo Lembrando ainda que o triângulo pitagórico de cateto 5 e hipotenusa 13 terá para o outro cateto a medida 1, então: Área Área Paralelogramo Paralelogramo cm ALTERNATIVA C Vamos considerar que o ângulo do setor é. Fazendo uma regra de 3 para o comprimento de arco temos: rad x y x rad y Considerando que o rolo de tela tem 8 m de comprimento, então: x y 8 x x 8 8 x x
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