MAT 5A AULA a10 = a1 + (10 1) r. a10 = a10 = an = a1 (n 1) r. an = 2 + (n 1) 2. an = 2n a21 = a1 + (21 1) r

Transcrição

1 MAT 5A AULA a10 = a1 + (10 1) r a10 = a10 = an = a1 (n 1) r an = + (n 1) an = n a1 = a1 + (1 1) r a1 = a1 = a1 = 19 r = an = = 19 + (n 1) 73 = 19 + n n = 56 n = 18

2 13.05 an = 4 + (n 1) 3 an = 3n = 5 + (n 1) = 5n n = a15 = a1 + 14r = r 800 = 14r r = 00 a10 = a10 = a10 = 300 m a1 = 56 an = 147 r = = n 7 98 = 7n n = 14

3 13.09 a1 = 100 r = 5 an = = n 5 5n = n = (x r, x r, x, x + r, x + r) a1 +a5 = x + r + x r = x = a3 a1 + a5 = a = x x = 336 x = 168 a a1 = a3 a a = a1 + a3 a = a = 88 a = 144

4 13.11 x (1 3x) = x + 1 (x ) x 1 + 3x = x + 1 x + 3x = x = 6 3 x = 13.1 an = 136 a1 = 40 r = n 6 6n = 10 n = = a10 = a10 = 1 900

5 13.14 (70, 70 + r, r) r = 3r = 1 r = = % de 140 = 1 3,..., = 3 + 3n 3 n = 46 3, 6, 9, 1,..., 138 6, 1,..., = 6 + 6n 6 n = 3

6 13.16 k = + (n ) 7 k = 7n 5 k = 38 + (n 1)(1) k = 394 1n 7n 5 = 394 1n 19n = 399 n = 1 k = k = Os Números Retangulares: {, 6, 1, 0,... Rn-1, Rn} determinam uma P.A de ª ordem, ou seja, as diferenças entre os números consecutivos determinam uma P.A. Essa P.A das diferenças é: {4, 6, 8,..., dn-1} dn-1= [(n 1) 1]. = 100 (n ). = 96 n = 50 Sabendo que a diferença dn-1 é entre Rn e Rn-1, temos que o maior deles será o R50. ALTERNATIVA B PA: {a, b, 5a, d} a3 = a1 + r

7 5a = a + r r = a Assim, ficamos com P.A: {a, 3a, 5a, 7a}, ou seja, b = 3a e d = 7a. d 7a d 7 b 3a b 3 ALTERNATIVA D x = 40 x = 140 (x r, x, x + r) 140 (140 r)(140 + r) = r = r = 400 r = 0 prestações R$ 10,00; R$ 140,00; R$ 160,00) 13.0 Divisíveis por 4: {1996, 000, 004,..., 308} 308 = (n4 1).4 n4 = 79 Divisíveis por 00: {000, 00} n00 = Total = n4 n00 Total = 79 Total = 77

8 MAT 5A AULA (10; x; y; z; 40) y y 5 ALTERNATIVA C 14.0 a8 =? a1 = 100 a15 = 700 a15 = a1 + 14r 700 = r r = a8 = a8 = (x r, x, x + r) 3x = 1 x = x = 180 x = 60

9 x = 1 x = 7 (x r) (x r) = 315 7(49 r ) = r = 75 r = x + r = _ 39 a7 = a1 + 6r 39 = r 4 = 6r r = r = x + 3 (x 1) = 4 x + 4 = x x x 3 = 0 x = 3

10 x = 1 x 1 + x x + 4 = 7 cm a = 50 a5 = 400 a5 = a + 3r = r = 400 3r = 150 r = a1 + a0 = a41 a1 + a1 + 19r = a1 + 40r a1 = 1r a1 = 1 9 a1 = (x r, x r, x, x + r, x + r) 5x = 15 x = 3 (3 r)(3 r) 3 (3 + r) (3 + r) = 0 e r + 3 r = 0 r = 3 (3, 0, 3, 6, 9)

11 14.11 t t = t + 6 t + t = t + 1 t t = 0 t = 4 t = 3x (4, 10, 16) k 4k + 10k + 16k = 60 k = (4k, 10k, 16k) = (8, 0, 3) 14.1 a13 = a13 = m Total = = ) x x ) an = x 4 + (n 1) 4 = x n 4 x n 4 4 3) 1 4 (x + x + x + + x x x + 8)

12 6x 18 3 (x + 3) (x 0, x, x + 0) 3x = 180 x = (5, 8, 11, 14, 17) = f(n + 1) = f(n) + 1 f(n + 1) f(n) = 1 Então: (f(1), f(), f(3),..., f(n)) forma uma PA de razão 1 f(n) = f(1) + (n + 1) 1 f(101) = f(101) = ? = a57 a57 =

13 a57 = a57 = an = 1 + (n 1) bn = 10 + (n 1) 3 bn na n n n n (x r, x, x + r) (x + r) = x + (x + r) x 4xr = 0 x(x 4r) = 0 x = 4r (3r, 4r, 5r) SA = 3r 4r = 150 6r = 150 r = 5 r = 5 (15, 0, 5)

14 14.0 a9 = a1 + 8r = a1 + 8r (1) a7 = a1 + 6r = a1 + 6r = -a 1-8r = a 1 + 6r 54 = 18r r = = a a1 = a1 = de janeiro de

15 MAT 5A AULA S1 = 1 S1 = 15.0 S10 S (100 81) 19 = a30 = = = S30 = S30 = S30 = a1 = 1 a1 00 = a1 00 = a1 00 = Sn =

16 Sn = Sn = an = a1 + (n 1) 3 = 94 (a 94)n 1 = (97 3n + 94)n = n + 191n = 0 = 11 n = n = 30 e n = 30 a1 = 94 3n + 3 a1 = 97 3n a1 = a1 = (11, 13, 15,...,) an = 11 + (n 1) = 9 + r 11 9 n n Sn = 00 0n + n = 400 () n + 10n 00 = 0

17 n' = 10 n = x + 7 x + 1 = 1 x = 4 e x = 4 a8 = a8 = a8 = 75 S8 = (9 + 75) 4 S8 = (1,, 3,...) an = 1 + (n 1) 1 = n Sn = (1 n)n = 35 n + n 650 = 0 = 601 n = 1 51 n = 5 e n = 6

18 15.09 a1 = r a1 + r + a1 + 7r = 18 11r = 18 r = a10 = = S10 = S10 = 18 5 S10 = a1 = = a a1 = Sn = Sn = Sn = m S8 S (3 7 )

19 3 15 = x x 1;x 7;16 4 Para descobrir o valor de x, aplicamos a relação do termo médio, ou seja: x x 116 x7 4 x x 14 x 15 4 x 4 Substituindo, temos a seguinte P.A: 7;11;15 Para calcular a soma dos vinte primeiros termos, é necessário se conhecer o vigésimo termo, então: a a 19r 0 1 a a 83 0 Calculando a soma, temos: S S S a a ALTERNATIVA B (51, 61,..., 341) 341 = 51 + (n + 1) = 10n n = 30 S30 = (51 341) = 5 880

20 15.14 S10 S (100 81) 8 19 = S1 = 93 4 = 89 S = = 170 S3 = = 43 a3 = S3 S a3 = = = 89 + r r = 16 r = (8; 1;...; an) an = a1 + (n 1)rA an = 8 + (n 1).4 an = 4n + 4 S A = (a + a )n 1 n (8 + 4n + 4)n S A = S A = 4n + 1n S A = n + 6n

21 (17; 19;... ; bn) bn = b1 + (n 1)rB bn = 17 + (n 1). bn = n + 15 S S S B B B (b1 b n)n (17 n 15)n n 3n SB n 16n S A S B n 6n n 16n n 0 n 10n 0 n 10 ALTERNATIVA B a a 100 = 100 a1 + a100 = a a = 00 a101 + a00 = 4 a1 99r a1 99r 4 ( 1) 00r = r = = 10 a a1 = r = a1 = 1

22 a = a1 + 1 a3 = a + = a a4 = a3 + 3 = a a5 = a4 + 4 = a a100 = a = a100 = a a100 = a) a = a1 + r a4 = a1 + 3r a6 = a1 + 5r... an = a1 + (n 1) r Spar = a + a4 + a an Spar = a1 + r + a1 + 3r a1 + (n 1) r Spar = a a... a r (n 1) n RAIZES SOMA ÍMPAR Spar = n (1 n 1) n a1 + r

23 Spar = n a1 + n b) a1 = 4 4 r Spar = n a1 rn 4 r = 0 (4) = 4 an = 4 + (n 1) 4 an = 4n 8 4 4n 8 n Sn = Sn = n 6n > 0 n 6n > 0 Sendo assim: n (n 113) > 0 n > 113 no mínimo 114 termos Total de Tijolos = 5050 tijolos Como cada tijolo da linha superior é a média aritmética entre os dois que o sustentam, e, esses dois são termos consecutivos de uma P.A, esse tijolo da linha superior entra como termo médio dos dois termos em P.A da linha inferior.

24 Assim, os 5050 tijolos estão em P.A na qual o 1º termos é 10 e o último termo é 490. Ou seja: S S = MAT 5B AULA A pontuação mais regular é determinada pelo MENOR desvio padrão. Assim, Marco teve a pontuação mais regular pois possui o MENOR desvio padrão. ALTERNATIVA B 13.0 I VERDADEIRO Como todos os preços são iguais, o desvio padrão é zero; II FALSO A moda é o valor com maior frequência. A moda é R$ 71,00; III VERDADEIRO São Paulo: Média = 74,93 Mato Grosso do Sul: Média = 68,57 Minas Gerais: Média = 70,36 Goiás: Média = 71,07 Mato Grosso: Média = 70,14 Rio de Janeiro: Média = 75,00 IV VERDADEIRO Mato Grosso: Mediana = 70,00 (7º e 8º valores em ordem crescente iguais a 70,00) Minas Gerais: Mediana = 70,00 (7º e 8º valores em ordem crescente iguais a 70,00) V VERDADEIRO São Paulo: Variação (Maior Valor Menor Valor) = R$ 3,00 Mato Grosso do Sul: Variação = R$,00

25 Minas Gerais: Variação = R$ 1,00 Goiás: Variação = R$ 1,00 Mato Grosso: Variação = R$ 1,00 Rio de Janeiro: Variação = R$ 0,00 ALTERNATIVA D Ma = ,60 Me = Mo = Amplitude é a diferença entre o maior e o menor valores, então: a) A = 5 1 = 4 b) A = 7 4 = 3 c) A = 8 5 = 3 d) A = 9 6 = 3 d) A = 4 1= 3 ALTERNATIVA A A maior dispersão é aquela que apresenta maior amplitude. a) Amplitude = 0 b) Amplitude = 7 3 = 4 c) Amplitude = 8 = 6 d) Amplitude = 9 1 = 8 e) Amplitude = 10 0 = 10

26 ALETRNATIVA E Ma = 0 4 = 5 Dp = ( ) ( ) = Dp = A 4 = VERDADEIRA Quanto maior o desvio padrão, mais heterogênea é a amostra dos dados;. VERDADEIRA A diferença na variação resultou nos diferentes desvios padrões; 3. FALSO Como o desvio padrão é o menor, as notas foram menos dispersas; ALTERNATIVA B Sendo Salário Médio igual a s, temos: s = s = 50 s = R$1 000,00 Sendo a mediana igual a Med, temos:

27 o o (4 salário) (5 salário) Med (500) (500) Med Med R$500,00 Homogeneidade só é possível quando o desvio padrão é zero e o desvio padrão é zero apenas quando todos os elementos são iguais. ALTERNATIVA A I) Ma = 4 7 = 6 II) V = = III) Dp = 4 = I) (1; 4; 6; 9) Me = 4 6 = 5 II) Ma = 0 4 = 5 Mp = = III) Dp = ,5,9 IV) (V) Ma = = 30

28 Me = 9 V = = 6, )(V) Me = = 140 ) (F) 3) (V) Dp = Dp = Dp = 10 = 10 1,41 = 14, Ma = = 35 Dp = ,5 1, d) Ma = = x 0 = % = =

29 13.15 Cálculo da Média Aritmética: x 6 o x 38 C Cálculo da Variância: v v (38 38) (38 37) (38 35) (38 41) (38 39) (38 38) v 3,33... Cálculo do Desvio Padrão: v v v 3, v v 9 5,48 v 3 v 1,83 Afastamentos: 1 desvio : [36,17 o C,39,83 o C] 4 em 6 = 66,67% desvios: [34,34 o C,41,66 o C] 6 em 6 = 100% 3 desvios : 100% ALTERNATIVA D 13.16

30 01) Verdadeiro 9 4 = 0,375 37,5% 0) Verdadeiro M = 3 6 = 0,5 04) Verdadeiro Ma = 1 6 = Dp = ) Falso (1,,, 3, 6, 10) Me = 3 =,5 16) Falso. Dos 6 países sul-americanos participantes do evento, CONSTANTES DA TABELA, 3 não ganharam medalha de ouro, logo 50%. Mas, foram 11 os países que participaram do evento, logo a porcentagem relativa ao item 16 é: 3 11 = 0, % 3) Falso O número de medalhas de bronze conquistadas pelo Brasil, nesse evento, foi 3 que representa exatamente 50% das 6 conquistadas em a) Ma = = 4 V = V = 6,8 0 5

31 Dp = 6,8 =,6 d) DPB = 9 = * Cálculos antes do acréscimo de n objetos de massa 4kg x x 4kg v 6 v 1kg * Cálculos após o acréscimo de n objetos de massa 4kg x 4kg v n n n n 4 6 n 4 n 18 ALTERNATIVA A Exercício Resolvido no material 13.0 Exercício Resolvido no material

32 MAT 5B AULA a) (F) - Cristina tem o IMC de 15 e o normal é entre 18,5 e 4,9. b) (F) - Maria tem o IMC de 0 então está dentro da normalidade 18,5 e 4,9. c) (V) João tem o IMC de 35 e está na faixa de obesidade e risco elevado de doença. d) (F) Antônio está com sobrepeso, mas o risco de desenvolver doença é elevado e não muito elevado. e) (F) Sergio está com IMC de 45, ou seja, obesidade grave e muitíssimo elevado o risco de desenvolver doença Pelas medalhas de ouro (9 medalhas) iria para a 13ª colocação. Com as medalhas de prata (6 medalhas), assumiria a 1ª colocação e as medalhas de bronze (13 medalhas) não alterariam essa classificação. ALTERNATIVA B

33 14.03 Na escala onde o mês de DEZ tem 375 milhões de anos. 504 anos torna-se insignificante. Anos Hora ,001 hora pouco antes da meia noite do dia 31/dez. 504 x a) VERDADEIRO b) FALSO seriam Sudeste e Nordeste. c) FALSO seria a Norte e não a Sudeste. d) FALSO Não é excelente, afinal, quase 50% (47,8%) não possui nem coleta. e) FALSO A soma das duas é inferior ao percentual da região Sudeste. ALTERNATIVA A Ma = ,8 638,8 110,5% = 915,9 Km % de = I - VERDADEIRO x1 x... xn M n x1 k x k... xn k M n x1 x... xn nk M n M M k

34 II FALSO Dp 1 n x M (x M)... (x M) n Dp Dp (x k M k) (x k M k)... (x k M k) n 1 n 1 n x M (x M)... (x M) Dp Dp III VERDADEIRO n M x x... x n 1 n kx1 kx... kxn M n k(x1 x... x n) M n M k M IV VERDADEIRO Dp 1 n x M (x M)... (x M) n Dp Dp Dp Dp 1 n 1 n 1 n x1 M (x M)... (xn M) k n Dp k Dp Dp k Dp (kx Mk) (kx Mk)... (kx Mk) n [k(x M)] [k(x M)]... [k(x M)] n k (x M) k (x M)... k (x M) n V VERDADEIRO

35 Dp Dp Dp 1 n x M (x M)... (x M) 1 n n x M (x M)... (x M) (M M) n1 1 n x M (x M)... (x M) n1 Dp ALTERNATIVA E Ma = 4 6 = A = Largura Altura Preço/Área = Preço A 3 A = = P/A = = 0,5 3 A = = 800 P/A = = 0,5 40 A = = P/A = = 0, x 600 = 8,5 x = 5 100

36 y y = y = 9y y = x 11 = 45 x = = = 48, Média salário = = = = = = R$ 400, k 100 = 9,83 k = x y 98 = 8,5 983 x y = 833 x + y = 150 3x y = 15

37 5x = 45 x = 85 y = x x = x = 99 o ) I - VERDADEIRO x1 x... xn M n x1 k x k... xn k M n x1 x... xn nk M n M M k II FALSO Dp 1 n x M (x M)... (x M) n Dp Dp (x k M k) (x k M k)... (x k M k) n 1 n 1 n x M (x M)... (x M) Dp Dp III VERDADEIRO n

38 M x x... x n 1 n kx1 kx... kxn M n k(x1 x... x n) M n M k M IV VERDADEIRO Dp 1 n x M (x M)... (x M) n Dp Dp Dp Dp 1 n 1 n 1 n x1 M (x M)... (xn M) k n Dp k Dp Dp k Dp (kx Mk) (kx Mk)... (kx Mk) n [k(x M)] [k(x M)]... [k(x M)] n k (x M) k (x M)... k (x M) n V VERDADEIRO Dp Dp Dp 1 n x M (x M)... (x M) 1 n n x M (x M)... (x M) (M M) n1 1 n x M (x M)... (x M) n1 Dp ALTERNATIVA E

39 ) (V) Ma = = = 7 ) (V) V = = = 1,33 3) (V) Dp = V Exercício resolvido no material Na primeira metade do tanque, o volume altera pouco a cada alteração da altura, ou seja, o volume cresce mais lentamente. Na segunda metade, com a mesma alteração de altura da primeira, o volume altera bastante, ou seja, o volume cresce rapidamente. ALTERNATIVA E Exercício resolvido no material 14.0 Exercício resolvido no material

40 MAT 5B AULA Fundo Casa Palmeira Total Azul 4 Cinza A e E Com a mesma cor B e D com a mesma cor todas as barras claras/escuras A B C D E 1 1 = 8 8 = * Usando a engrenagem quebrada EC EP = 1 * Usando as demais engrenagens (boas) EC EP = = I V 3 = 6

41 _ = A B C 3 ou = = ,6, = , 5 ou = Em cada ano temos 6 opções = Que já participam = = 64

42 I_(1, 3, 9) = = = 1,75 0,75 60 = 45 1h 45 min = 480 E = = ª ª 3ª 4ª 3 3 = 36

43 15.14 NR: nº que repete NA: nº ausente 3 casos. * NR = 1 NA = 8 (tira 1 e 10) 1 8 = 8 * NR = 10 NA = 8 (tira 1 e 10) 1 8 = 8 * NR 1 e NR 10 NR há 8 opções NA há 7 opções 8 7 = 56 (exceto 1, 10 e NR) Somando os três casos temos: = Total de senhas sem as restrições: = 10 6 Dentre as senhas que não são permitidas, para os dois algarismos centrais há 1 opções e, para os demais 4 algarismos há 10 opções cada, assim: = Subtraindo: ALTERNATIVA A P I 3 3 = 9

44 P I = 36 P I_ = 108 P I = 16 P I = = L = = TOTAL = 65

45 13 _ 13 _ = 75 1 (1313) = = Exercício resolvido no material 15.0 Exercício resolvido no material MAT 5C AULA

46 6x = y + z 6x y y = 0 1x = 6z 1x 6z = 0 z = x 6x = y + z 6x y z = 0 6x y 4x = 0 x = y S = {(x, x, x), x, x IR} 13.0 x y 40 5x 00y x 5y x 00y y = 700 y = 4 z = d = 5b

47 c = a + 10 a = nº par b =? 1d + 5c + 10d + 50a = 400 5b + 5a b + 50a = b + 55a = 350 3b + 11a = 70 a = nº par = 3b = 70 b = 48 3 b = I (F) II (V) III (V) IV (V) (m )(m + )x = m m = 0x = 4 m = 0x = 0 m ± 3 1 sol m = 0

48 m = 30 m = m 0 3m 4 m a = 0 a = e b = y 3z = 3 y = 3 3z m = 0

49 + 15 4m m = 0 5m = 15 m = n n ( 1) n = 0 n = 35 m + n = = m m m m 130 m m 0 = 0

50 3m 4 m 6 = 0 m = 10 m = n n 5 n 5 0 n 5 m n m = m m = 0 14m = 4 m = n n 5 n 5 = (11) n = 3 m n = 3 3 = m 1 = 0

51 1 3m + m 6 = 0 5m = 10 m = n n 10 n n 3 m + n m = 0 6m m 4 = 0 4m = 16 m = n n n + 15 = n = 7 m + n = x 4z 7 x 3(1 z) 8 x 4z 7 x 3z 5 ( 1) z = e z =

52 y = 3 e x = 1 x + y + z = = x + y + z + t = 4 x + y z t = 4 + y = 0 y = 0 x z t 4 x z t 6 x + y = 10 x + z = 5 x z t = 4 x z + t = 6 c) possível e indeterminado, sendo x + z = = = a = 0

53 I) (V) Se D = 0 = 0 ou a = 0 = SI II) (V) = (1) 5 4 z = 3 z = 6 III) (F) 10 10a a 5 D = = (1 ) Se D 0 0 SPD Ou Exercício resolvido no material 13.0 Exercício resolvido no material MAT 5C AULA

54 x y z 8, 80 x y z 10,10 3x + 3y + 3z = 18,90 x + y + z = 6,30 6A 6B 3C 153 6A B 4C 16 4B + C = 7 C = 4B 7 > 0 B > A 4B C 10 3A 3 C 63 A 3B = 39 A = 39 3B > 0 B < a) (F)

55 A + B = 5 B + C = 7 A = 5 7 A = 5 b) (F) B + C = 7 BC = 7 C = 9 B = 18 c) (V) Como A = 5 B > 5 B + C = 7 C < A B C 51 3A B C 63 ( ) 4A 3C = 75 4A +3C = 75 C = 75 4A 3 5 4A 3 > 0 A < 18, x + 3y = 8 x = 1

56 10y = 30 y = Escalonando o sistema, temos: x y 7 x y 4 3x y 15 x y 7 0x 5y 10 0x 4y 6 Com as ª e 3ª equações, percebemos que: y = E y = 1,5 O que faz o sistema ser IMPOSSÍVEL, ou seja, S.I ALTERNATIVA E Escalonando o sistema, temos: 3x y 6x 4y 4 9x 6y 6 3x y 0x 0y 0 0x 0y 0 Sobrando apenas a 1ª equação, temos a relação do sistema. Ou seja, o sistema é S.P.I. 3x y definindo as INFINITAS soluções Solução: 3x x, Para x = 0, tem-se y = 1. O par (0, 1) é uma das soluções do sistema. ALTERNATIVA C

57 14.07 X Y 3Z 3 () 4X Y 6Z 7 4X 3Y 6Z = 6 4X + Y 6Z = 7 (IMPOSSÍEL) x 3y 3z 6 ( 3) 3x 9y 11z 0 z = z = x y z 7 x y z 3 y + z = 4 y + z = x + y + z = 7 x + = 7 x = n 3m 9 m 3n 3 3 3m n 7 ( 3) m 3n 0 9m 3n 1 m 3n 0 7m = 1 m = 3 n =

58 a 1 1 a a a (5) 5(7 a) = 7 4a a = 7 4a 14a = 8 a = 14.1 Escalonando o sistema, temos: x y 3z 5 6x 3y az b x y 3z 5 0x 0y (9 a)z 15 b Com a ª equação, temos a seguinte relação para z: 15 b z 9 a Assim, para ser impossível, é necessário que: 15 b 0 9 a 0 b 15 a 9 ALTERNATIVA C x y 4 3x 5y 6 ( ) 8y = 8 y = 1 6x = x = 1 3 kx + y = 5

59 k = 5 k + 6 = 15 k = x 3y 7 3x 3y 1 5x = 5 x = 1 y = 3 a 6 = a = x + y = x + y = 1 a) tem solução 3z z = 0 z = 1 b) tem solução 3z 35 + z = 5 4z 60 z = 15 c) tem solução 3z 35 + z = 17 4z = 5 z= 13 d) tem solução 67 4z + z = 5 3z = 4 z= 14 e) F 67 4z + z = 0 3z = 47 z=

60 Escalonando o sistema, temos: x y z 3 x y 3z 5 x y z 3 0x 3y z 1 Com a ª equação, temos a relação z = 1 3y. Substituindo essa relação na 1ª equação, temos: x y 1 3y 3 x 4 5y O sistema é S.P.I e a solução é: {4 5y, y, 1 3y} Podemos então montar a seguinte tabela de valores para as possíveis soluções: (...) x y z ALTERNATIVA D I) 4x + 6y + 10z = 6 II) 4x + 6y + kz = 6 z = 0 x em função de y III) 4x + ay + bz = 6 SPI x y z 3 x y z 3 5x 10y 5z 495 x y 5z 99 ( 1) x y z 3 x=3z-35 y 4z 67 y=67-4z* Mas x, y, z, então

61 3z z 67 4z Então, z pode ser 1, 13, 14, 15 ou 16 Testando cada i em * y = 67 4z a) A + B + 3C = A + 5B + 3C = () A B 3C B C 3500 A + B + C = b) B = min B + C = C = C = 500 C = Considerando os dados do enunciado montamos o seguinte sistema: x y 3z 3 x y 4z 5 Escalonando o sistema temos: x y 3z 3 x y 4z 5 x y 3z 3 0x y z

62 Da ª equação temos a relação y = z. Substituindo essa relação na a equação, temos: x + (z ) + 3z = 3 x = 7 5z O sistema é S.P.I com a seguinte solução: {7 5z; z ; z} a) x = 7 5z E y = z b) Montando uma tabela com os possíveis valores, temos: x y z MAT 5C AULA A: 8x + 7y = 7,4x + 7,4y B: 7x + 5y = 5,8x + 5,8y 0,6x 0, 4y 0 1,x 0,8y 0 x = 3 y 15.0 z = x 3x + y = y y = w 3x + w = w w = 3x (x, y, z e w) = x, 3x, x e 3x 15.03

63 x y 5z 0 () 3x y 3z 0 x y 5z 3 7x 7z 0 x + y + 5z = 0 x + y 5x = 0 y = 3x 7x + 7z = 0 x = z S = {x, 3x, x) = = = = = 0 = = x = 7z 14z + y + 4z = 0 y = 10z (x + y = 3z) D 0 k 1 1 4k 0

64 4k 1 0 k ± D m = 0 1 m = 0 m = k k 3 = x 3 4k 3k = 0 k 7k + 10 = 0 S = {7} I) (V) = = 0 II) Como a alternativa III apresenta solução diferente de 0 para x, y e z, então é F. III) (V)

65 ( 4) 4 5 ( ) = x = 3y x = 3y = m m m = 0 5m + 10 = 0 m = = = 0 = 4 = 15.1 x y z t 0 x y z t 0 x + t = 0 x = t {x + y z t = 0 x + y = z + t 3ª equação na 1ª z + t = o z = t

66 z = x 1ª equação X + y + x x = 0 y = x S = {x, x, x, x) x y z 0 L1 x y z 0 L x 3y 3z 0 L3 L1 L x 0 x 0 L1 L3 4y 4z 0 y z S.P.I S : (0; z;z) ALTERNATIVA D x x 1 y y x 5y x x y y (1 )x 5y 0 S.P.I D 0 x (1 )y D 0 (1 ) (1 ) ALTERNATIVA E

67 15.15 S.P.I D 0 3 7m 6 D 0 3m 4 0 m 1 m 9m 8m(m 1) 18m(m 1) 4 0 m 10m 4 0 m 1 ou m ALTERNATIVA E x y z 0 4x y z 0 3x y z 0 0x 5y 10z 0 y z 3x. z z 0 x z S : z; z;z ALTERNATIVA D x y 0 ( ) x 3y 0 (3) 6x 6y 0 6x 5y 0 x = 0 e y = 0

68 15.18 y = 3 y y = +x 4x - (3) z + z = 0 3 1x z + 6z = 0 1x + 4z = 0 z = 3x S = {x, x, 3x) m = 9 m 3 + 3m 4 m = 14 D = 0 m = 4 SPI D 0 m 4 SPD 15.0 D 0 3 m 1 m 1 1 = 6 6m +m 6 + 3m m 0 6 m m 3m 0 {m IR/m 0 e m 3

69 MAT 5D AULA C = S = 4 11 = 64 S = R$ 64, C = 4 8 C = 19 reais R$ 19, x = 60 x = 10 o = 180 = 110 o x + 7 = x + 13 x = 6 x = x 5 = x + 11

70 x = 16 x = = O 80 O = 80 O

71 13.09 I) (V) R =13 = 169 cm II) (V) d = = 144 d = 1 cm III) (F) 10 1 = 61 cm * Ângulo α é ângulo inscrito do arco AB, então, α = AB ; * Ângulo β é ângulo inscrito do arco AC, então, β = AC * Ângulo δ é ângulo externo do triângulo e é distante de α e β, então,δ = α + β Ficamos com: δ = α + β δ = AB + AC ALTERNATIVA A ; x = 65 o + 5 o

72 x = 90 o º ) Traçar o segmento AF; º) Como EF é perpendicular à BC e passa pelo seu ponto médio, temos que EF é diâmetro da circunferência; 3º) Ao ligar as extremidades E e F do diâmetro no ponto A, formamos o triângulo retângulo EFA retângulo em A; 4º) Perceber que o triângulo EFA possui um ângulo reto em A e o ângulo AÊF. Assim como o triângulo EUM possui ângulo reto em M e o ângulo UÊM que é o mesmo que o ângulo AÊF; 5º) Se dois triângulos possuem dois ângulos iguais, o terceiro também o será, ou seja, o triângulo EUM é semelhante ao triângulo EFA. ALTERNATIVA E = 6 cm o + 50 o = 180 o

73 = 50 o = x 180 o x = x + 90 o 90 o = 3x x = 30 o Si = 540 o 13.17

74 S = 1 a a sen30o S = 1 4 a sen 30o = h 1 h = ODC S = 6 1 = 3 9 S = 3 = o o 30 x

75 x = Exercício resolvido no material 13.0 Exercício resolvido no material MAT 5D AULA Área = (Área retângulo) +. (Área setor 90º) Área = (4. 3) Área = (1 + 8 ) m Área = ( ,14) Área = 37,1 m ALTERNATIVA C 14.0

76 tg30 o x 3 x x 3 0,58 x 1,15 km Área do João P 100 Área Total 1,15 P ,15 P P 19,17% ALTERNATIVA E A área da foto 1 é um círculo de raio 1 km, ou seja: A A km O aumento da área é equivalente a um quadrado de lado km menos um semicírculo de raio 1km, ou seja: 1 Aumento 1 Aumento 4 km Para o cálculo percentual desse aumento, fazemos:

77 4 P P P 83,33% ALTERNATIVA E ( V ) 3 h 6 3 h h 3 3cm ( V ) d d 10 cm ( V ) 3 A A 4 A 3 3cm ( V ) Cálculo do lado do quadrado A 50 5 cm Cálculo da diagonal do quadrado

78 d d 5 d 10cm h = 6 3 h = S = L 3 4 = 16 3 L = 64 L = 8 h = R = = h = 5 = L 3 L = 10 3 = = L = d = R L = R R = L R 1 4L 4

79 14.09 d = 3 + d 3d = 36 d = 1 d = tg 30 o = h 3 3 h 3 3 h = 1 S = 3 1 S = L = R 3L = L3 9 9 L R = L 3 R = L R = R = S = 6 S S = 6 R 3 4

80 S = 3R Ahex = 1ª Atri = 6ª A A hex tri 1A = 6A Ahex = Atri Ahex =

81 S6 = 18 S 180 = 18 S S = S6 = 3 6 L 3 4 = 3 L = 3 L = 3 SPAB = 1 AB h = 1 3 h = h =

82 3 SABC 3 1 sen 10o h o tg60 3 x h 3 3x h x 3 3 h 3 x 9 Sabendo que h 3, temos: x 6 Tem-se também que b x, ou seja, b. 3

83 Se chamarmos h y 3, teremos, 3 y. 6 Considerando a área sombreada como um paralelogramo de base b e altura y, ficamos com: s b.y 3 s s 36 s 9 4 s S 9 3 ALTERNATIVA D L 3 4 = C = R = 4 R = S = S = Exercício resolvido no material 14.0 Exercício resolvido no material

84 MAT 5D AULA Seja b, a base e h a altura, temos: Perímetro = 60 b + h = 60 b + h = 30 Sendo b = h, temos: h + h = 30 h = 10 Logo, b = 0. Área = b. h Área = Área = 00 ALTERNATIVA A 15.0 Sendo a o lado do triângulo equilátero e b o lado do hexágono, temos que os perímetros dos dois polígonos são iguais. Então: 3a = 6b a = b Logo:

85 a 3 Áreatriângulo 4 hexágono Área b Áreatriângulo a Área 6b Área Área hexágono triângulo hexágono hexágono Áreatriângulo Área 3 ALTERNATIVA C b 6b A Área que o cão pode circular é a soma entre a Área 1 (retângulo de dimensões 0m x 9m) e duas vezes a Área (semicírculo de raio 9m). Assim: Área Área1 Área 1 Área Área m ALTERNATIVA D Se considerarmos que o quadrado ABCD possui lado igual a x, o triângulo ADE terá base igual a x e altura também igual a x. Assim:

86 ÁreaAED ABCD x Área ÁreaAED 1 Área ABCD x x ALTERNATIVA B Ligando as extremidades do arco CB no centro O da circunferência, forma-se um triângulo equilátero BCO de lado 3cm e o setor circular COB de 60º e raio 3cm. A área sombreada é: Área Área Área Sombreada Setor Triângulo ÁreaSombreada ÁreaSombreada cm 4 ALTERNATIVA A Considerando que o ângulo interno do hexágono regular é 10º, os triângulos terão ângulos internos iguais a 60º. Podemos concluir então que a figura possui: 6 triângulos equiláteros de lado, 1 hexágono regular de lado e 1 região circular cujo raio é o apótema do hexágono regular.

87 Cálculo do raio do círculo: 3 r a6 r 3 A região sombreada é a soma das áreas dos 6 triângulos com a área do hexágono subtraída a área do círculo, então: Área 6 Área Área Área sombreada triângulo hexágono círculo sombreada sombreada 3 3 Áreasombreada Área Área ALTERNATIVA B Como a circunferência intercepta os lados do triângulo em seus pontos médios, o raio da circunferência é de 3 cm. Como o triângulo é equilátero, o ângulo do vértice que coincide com o centro da circunferência é de 60º formando então um setor circular de 60º e raio 3 cm. A área destacada corresponde à área do triângulo subtraída da área do seto. Então: Área Área Área destacada triângulo setor Áreadestacada Áreadestacada 9 3 Áreadestacada 9 3 cm 6 ALTERNATIVA E 15.08

88 Como os catetos medem 3 e 4, temos que a hipotenusa mede 5 (Teorema de Pitágoras). Aplica-se então a relação métrica (Cateto1).(Cateto) = (Altura).(Hipotenusa) 3. 4 = h. 5 h =,4 Perceber que a altura h é o raio do setor de 90º centrado em A, assim, a área destacada fica como: Área Área Área as sinalada triângulo setor Áreaas sinalada,4 4 1 Áreaas sinalada 6 3 5,76 4 Área 1,68 as sinalada ALTERNATIVA E Na figura temos: quadrados de lados: A (maior) e a (menor) Circunferências de raios: R (menor) e r (maior) r equivale a metade da diagonal do quadrado maior, ou seja, A r A r

89 R equivale a metade do lado do quadrado maior, ou seja, Igualando as duas relações, concluímos que A R A R r R r R. R equivale a metade da diagonal do quadrado menor, ou seja, a R a R a r A área hachurada é a quarta parte área resultante de retirar do círculo menor a área do quadrado menor. Assim: 1 Área Área Área 4 1 Áreahachurada R a 4 1 r Áreahachurada r 4 Área hachurada Círculo Menor Quadrado Menor hachurada ALTERNATIVA B r Vamos chamar de t o lado do triângulo, q o lado o quadrado e c o raio do círculo. Assim: 3t 4q c A partir disso podemos concluir que: c t 3 c q ` No cálculo das áreas vamos encontrar: c 3 3 At At 4 9 c c Aq Aq 4 Ac c c 3

90 Para concluirmos quem possui o maior/menor valor de área, vamos aproximar 3 e 3 1,7. Então: At 1,7c Aq,5c Ac 3c Ac > Aq > At ALTERNATIVA B Vamos considerar que o círculo de diâmetros AB e CD possui centro no ponto O. O raio desse círculo é de 1 dm, e temos que OA = OB = OC = OD = 1 dm. O triângulo OAC será retângulo isósceles, ou seja, o ângulo OÂC mede 45º e o segmento AC mede dm. A intersecção das áreas dos círculos é calculada somando metade do círculo de raio 1 dm com dois segmentos circulares de 45º com centro em A no círculo de raio dm. Calculando a área de um dos segmentos circulares: Área Área Área segmento setor triângulo ACO 1 11 Áreasegmento 8 1 Áreasegmento 4 Sendo assim, a área pedida fica: 1 1 Área 4 Área 1 Áreasegmento Área 1 dm ALTERNATIVA D 15.1

91 Para que M seja ponto médio de BC respeitando a exigência dos lados paralelos do paralelogramo, os pontos P e N também serão pontos médios dos respectivos lados a que pertencem. Sendo assim, se traçarmos o segmento PM, pela semelhança de triângulos (base média), teremos o triângulo ABC dividido em 4 triângulos iguais. O paralelogramo BPNM é formado por desses 4 triângulos, ou seja, a área do paralelogramo é metade da área do triângulo ABC. Assim: Área Paralelogramo Área triângulo Lembrando ainda que o triângulo pitagórico de cateto 5 e hipotenusa 13 terá para o outro cateto a medida 1, então: Área Área Paralelogramo Paralelogramo cm ALTERNATIVA C Vamos considerar que o ângulo do setor é. Fazendo uma regra de 3 para o comprimento de arco temos: rad x y x rad y Considerando que o rolo de tela tem 8 m de comprimento, então: x y 8 x x 8 8 x x

92 Fazendo agora a regra de 3 para a área de setor, encontramos: rad 40 rad x 80 x Igualando as relações lembrando que x 0, temos: 8 x 80 x x 80 8 x x x 8x 80 0 x 4m 5 y 0m x 14x 40 0 x 10m 0,8 y 8m Como x é maior que y, então, x = 10 m. ALTERNATIVA C Se M e N são pontos médios dos lados e a circunferência passa pelo vértice A então, necessariamente, a circunferência passa pelo centro do quadrado. Chamando o centro do quadrado de O e o centro da circunferência de P, temos que a distância AO é metade da diagonal do quadrado e também é o diâmetro da circunferência. Assim, OT = AP e CP = 3.AP.

93 Com o segmento PT, o triângulo CPT é retângulo em T, então: CP CT OT 3.AP k AP AP k 8 Considerando lado do quadrado sendo x, temos: AC x 4.AP x x AP 4 Substituindo, temos: x k 4 8 x k 16 8 x k Como a área do quadrado é x, logo, podemos expressar a área do quadrado como sendo k. ALTERNATIVA C Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo destacado, temos:

94 3 3 r 6 r 9 9 r 3r 36 1r r r 36 r,4cm ALTERNATIVA D Se M e N são pontos médios, os segmentos BM e NA são medianas, sendo assim, P é o baricentro do triângulo ABC. Se traçarmos o segmento CP, teremos a 3ª mediana e, com as três medianas traçadas, o triângulo ABC fica dividido em 6 triângulos de mesma área. A região MNPC é formada por desses 6 triângulos, ou seja, a área de MNPC é a terça parte da área do triângulo ABC. Assim: 1 ÁreaMNPC Área 3 1 ÁreaMNPC 36 3 Área 1cm MNPC ABC ALTERNATIVA B 15.17

95 Na análise da figura, percebe-se que a área hachurada é a área do triângulo equilátero de lado 8 cm subtraída da área de dois triângulos equiláteros de lado 4 cm e de um setor circular de 60º e raio 4 cm. Então: Área Área Área Área hachurada Triângulo Maior Triângulo Menor Setor Áreahachurada Áreahachurada Áreahachurada 8 3 cm 3 ALTERNATIVA C Cálculo da área a A área a é composta por um círculo de raio r. Assim: a r Cálculo da área b A área b consiste em retirar do setor de 10º do círculo grande, um setor de 10º do circulo pequeno e dois semicírculos do círculo pequeno. Então:

96 1 1 1 b 3r r r b r 3 Cálculo de a 100 b a r b 5 r 3 a b Sendo a hipotenusa igual a 10 cm, temos: b 1 + c 1 = 10 c = 1 b Aplicando Pitágoras, temos: 10 = b + c 100 = b + (1 b) 100 = b b + b b 1b + = 0 Se isolássemos o b em função de c, encontraríamos a mesma equação para c, ou seja, as raízes dessa equação são os valores de b e c.

97 bc Para calcularmos a área do triângulo, temos: Área. Sendo b e c raízes da equação quadrática, b. c é o produto das raízes que é igual a. Então: b.c Área Área Área 11cm 15.0 a) a a a b) A área do tampo da mesa será a soma entre a área do triângulo equilátero mais três segmentos circulares de 60º e raio igual ao lado do triângulo. Sendo o lado do triângulo igual a 100 cm, calculamos primeiramente a área de cada segmento circular. Assim: Área Área Área segmento setor triângulo Áreasegmento Áreasegmento cm 3 Com isso, chegamos ao valor da área do tampo da mesa com: Área Área 3 Área tampo triângulo segmento Áreatampo Área tampo tampo Área cm

98 MAT 5E AULA Repetição do comprimento gráfico = Período da função f(x)=4.sen(4x) p= p= 4 ALTERNATIVA A 13.0 f(x)=4.cosx f(x) cosx= 4 Como -1cosx 1 Então f(x) f(x) 4 ALTERNATIVA D y=5+sen(6x) y-5 sen(6x)= Como -1 sen(6x) 1 Então y y-5 3 y 7 ALTERNATIVA B 13.04

99 y=5+sen(6x) p= 6 p= 3 ALTERNATIVA B f(x)=senx Dom(f):IR Im(f):[-1,1] Mín=-1/Máx=1 p= 0, crescente g(x)=3.senx Dom(g):IR Im(g):[-3,3] Mín=-3/Máx=3 p= 0, crescente FVVVV f(x)=senx Dom(f):IR Im(f):[-1,1] Mín=-1/Máx=1 p= Ímpar g(x)=cosx Dom(g):IR Im(g):[-1,1] Mín=-3/Máx=3 p= Par VVVVV

100 13.07 f(x)=senx+ 4 p= p= ALTERNATIVA A y=1+senx y-1 senx= Como -1 senx 1 Então y y-1-1 y 3 ALTERNATIVA D y=a+bsen(cx+d) Gráfico: a=0 b= d=0 1 p= 4 = c= c c Então: 1 y=sen x ALTERNATIVA B 13.10

101 y=sen(kx) p= k K p Inversamente proporcional ALTERNATIVA E Qualquer triângulo a base será o período da função, assim: p= p=8 base=8 4 Maior triângulo, então, terá a maior altura que corresponde ao valor máximo da função. Assim: x f(x)=3.sen 4 x f(x) sen = 4 3 Como x -1sen 1 4 Então f(x) f(x) 3 Máx=3 Altura=3 (base) (altura) Área(máxima)= 8 3 Área(máxima)= Área(máxima)=1 ALTERNATIVA A 13.1

102 P=A+Bsen(Cx+D) Gráfico: A=0 1 B= 16 D=0 1 p= = C=51 C 56 C Comparando: 1 a=b a= 16 f=c f=51 f=56 Logo: 1 a f= 56=16 16 ALTERNATIVA B f(x)=18,8-1,3sen t p= p= Para sen t =-1 f(x)=0,1 Máximo 365 sen t =1 f(x)=17,5 Mínimo t = t=91,5dias ABRIL sen t =1 f(x)=17,5 17h30min 365 ALTERNATIVA D 13.14

103 f(x)=a+bsen(cx+d) Gráfico: a= b= d=0 p= = c=1 c c Logo: f(x)=+senx Im(f)=[0,4] f =f =+sen =+ =+ 3, ALTERNATIVA D * Período é o tempo entre duas marés altas, ou seja, período é de 1h; * Máximo: 3 para t = 0 / t = 1 /... * Mínimo: 0,03; Se for função Seno: y=1,515+1,485.sen t+ 6 Se for função Coseno: y=1,515+1,485cos ALTERNATIVA A t y=4+8sen x Máximo sen x - =1 1 3 Então, x - = x = 1 6 x = 14h ALTERNATIVA C

104 13.17 * O Ponto A tem ordenada 0 e abscissa negativa, assim: cos(x)=0 x= +k x= +k 4 k=-1 x=- A -,0 4 4 * O ponto B tem ordenada -1 e abscissa positiva correspondente à segunda determinação positiva, assim: cos(x)=-1 x= +k x= +k k=0 x= 3 3 k=1 x= B,-1 * Calculando o coeficiente angular da reta, temos: y -y B A m= x B -x A -1-0 m= m=- 7 ALTERNATIVA A f(x)=senx g(x)=cosx h(x)=senx + cosx ,50 0,85 1, ,70 0,70 1,40 = (Máximo) 60 0,85 0,50 1, ,50-0,85-0, ,70-0, ,85-0,50 0, ,50-0,85-1,35 5-0,70-0,70-1, ,85-0,5-1,

105 300-0,85 0,50-0, ,70 0, ,50 0,85 0, p = π h = p.h = π ALTERATIVA B a) D(t)=1+1,6.cos t /0 t=50 Então: D(50)=1+1,6.cos D(50)=1+1,6.cos 3 1 D(50)=1+1,6. D(50)=1,8horas D(50)=1h48min b) D(t) 1 1+1,6.cos t cos t Então: 3 t t t t dias

106 13.0 F(t)=1-4cos t 1 a) Para cos t =-1 F(t)=1-4.(-1) F(t)=5 1 Para cos t =1F(t)=1-4.(1) F(t)=17 1 Variação o o 17 C F(t) 5 C b) F(t)=3 1-4cos t =3 1 1 cos t =- 1 Então: t= t=8horas Horário:14h 1 3 ou 4 t= t=16horas Horário:h 1 3 MAT 5E AULA arc sen x = 0,5 x = 30º ALTERNATIVA A

107 14.0 a) FALSO x = arc sen (1), então, senx = 1 b) FALSO x = arc cos (1), então, cosx = 1 c) FALSO x = arc sen (1), então, senx = 1 d) VERDADEIRO e) FALSO x = arc sen (1), então, senx = 1 ALTERNATIVA D ( V ) ( V ) ( V ) ( F ) 0 = arc sen (0) ( V ) ( V ) ( V ) ( F ) 1 = arc cos 3 ( V ) ( V ) ( V ) = arc cos (0) = 90º ALTERNATIVA E 14.06

108 y = arc sen (1) + arc cos (0,5) y = 90º + 60º y = 150º y = 5 3 ALTERNATIVA A x = arc tg (-1) x = 315º x = - 45º ALTERNATIVA E y cosarc sen 3 Então temos que: 1 sen e y = cos 3 Pela relação Fundamental, encontramos: 1 3 cos 1 cos 3 A função arc sen (x) é definida no 1º e 4º quadrantes, ou seja, o o 1 quadrante ou 4 quadrante. Sendo assim, temos que cos 3 ALTERNATIVA D 14.09

109 sen tgarc sen 3 3 tg? Sabendo que a função arc sen (x) é definida no 1º e 4º quadrantes, ou seja, o o 1 quadrante ou 4 quadrante e Aplicando a Relação Fundamental, temos: 3 1 cos 3 cos 1 Sendo assim, encontramos: tg tg ALTERNATIVA D O valor mínimo da pressão ocorrerá quando o seno valer -1, ou seja, sent 1 3 t t ALTERNATIVA D. Então: f(x) = cos x é PAR ALTERNATIVA E 14.1 Sendo f(x) = a + b.sen(cx + d), temos:

110 a = 0 b = 1 P c c c d = 0 Então, f(x) sen( x) f f f sen sen sen f f f f f f 6 4 ALTERNATIVA A f(x) A sen kx 01) VERDADEIRO - O período da função seno depende de K 0) FALSO - P P P k 04) VERDADEIRO A imagem de f(x) é [-A, A], ou seja, [-1, 1] 08) FALSO - A imagem de f(x) é [-A, A], ou seja, [-, ]. Valor máximo será igual a 3. 16) VERDADEIRO f sen 1 0 f 3) VERDADEIRO Passar pela origem do sistema significa x = 0, então, f(0) A sen k 0 0 f(0) 0(Origem) SOMA = Primeiro, calcula-se o valor de h sen h 1 Substituindo o valor encontrado, temos g1 arc cos(1) g1 0..

111 Substituindo o valor encontrado, temos Ou seja, f gh 0. ALTERNATIVA E f 0 arc sen 0 f cos = 1 = 10 = 40 tg40 = tg ( ) = tg180 tg60 1 tg180 tg60 = o o x 3 arc cos x 3 60 x 180 tg (x) = tg 360º = 0 ALTERNATIVA A f(x) 0 senx h 0 h senx 0 h Ou seja, h 1 h 1 e 0 h 1 h 1 Logo, h = -1. ALTERNATIVA C 14.18

112 f(x) arc sen(x 3) 1 x x x ALTERNATIVA E Podemos escrever a função da seguinte forma: f(x) cos(4x)cos sen(4x)sen f(x) cos(4x) a) Im: [-1, 1] b) P P y cos arc sen arc cos 5 5 Temos então: 3 3 arc sen sen ; arc cos cos ;0 5 5 Aplicando a Relação Fundamental para os dois ângulos e considerando os sinais dos quadrantes que cada um deles é definido, temos: 4 cos 5 3 sen 5 ` Considerando então y cos, fazemos:

113 y coscos sensen y y 5 MAT 5E AULA Substituindo P = 0º e Q = 10º nas relações fornecidas no enunciado, temos como correta sen 0º +sen 10º =.sen 15º. cos 5º. ALTERNATIVA D 15.0 Substituindo P = 60º e Q = 30º nas relações fornecidas no enunciado, temos como correta cos 60º + cos 30º =.cos 45º. cos 15º. ALTERNATIVA A y = sen (7x) + sen (3x) 7x 3x 7x 3x y sen cos y sen 5x cos x ALTERNATIVA A

114 15.04 y = cos(7x) cos(3x) 7x 3x 7x 3x y sen sen y sen 5x sen x ALTERNATIVA E o o m cos105 cos15 o o o o m cos cos o o m cos 60 cos 45 1 m m ALTERNATIVA E 15.06

115 y cos140 cos 0 cos100 o o o o o o o y cos cos cos100 y cos80 cos 60 cos100 o o o 1 o o y cos80 cos100 o o y cos80 cos100 o o o o y cos cos o o y cos90 cos( 0) y 0 o ALTERNATIVA E o o o o o o sen146 sen86 sen cos sen146 sen86 sen 116 cos 30 o o o o o o o sen146 sen86 sen 116 sen146 sen86 3sen 116 o o o ALTERNATIVA D cos5x cos3x E sen5x sen3x cos 4x.cos x E senx.cos4x E cot gx ALTERNATIVA E cos70 sen60 cos70 cos30 o o o o cos70 sen60 sen50 sen0 o o o o cos70 sen60 cos 40 sen0 o o o o

116 ALTERNATIVA D y sen3x senx senx y senx cos x senx y senx cos x 1 ALTERNATIVA A sen40 cos10 cos50 cos10 o o o o sen40 cos10 cos30 cos 0 o o o o 3 sen40 cos10 cos 0 o o o sen40 cos10 3 cos 0 o o o ALTERNATIVA C 15.1 o o sen40 cos 40 P sen0 o cos0 o sen40 cos 0 sen0 cos 40 P o o o o o o sen0 cos 0 o o sen(40 0 ) sen0 o cos0 o P 1 P cos0 P sec 0 Substituindo, temos: o P 1 sec 0 1 o o P 1tg 0 o ALTERNATIVA C 15.13

117 o o o o o o 135 x 135 x 135 x 135 x sen(135 x) sen(135 x) sen cos o o o sen(135 x) sen(135 x) sen(135 )cos x o o sen(135 x) sen(135 x) cos x o o sen(135 x) sen(135 x) cos x ALTERNATIVA D sen sen5 sen3 sen3 cos sen3 sen3 sen3 sen sen5 sen3 sen3 cos 1 sen3 sen3 sen sen5 sen3 cos sen 1 sen3 sen sen5 sen3 cos sen3 sen sen5 sen3 4cos sen3 ALTERNATIVA B a x a 3x a x a 3x sen cos sen(a x) sen(a 3x) cos(a x) cos(a 3x) a x a 3x a x a 3x cos cos 3a 4x sen sen(a x) sen(a 3x) cos(a x) cos(a 3x) 3a 4x cos sen(a x) sen(a 3x) 3a 4x tg cos(a x) cos(a 3x) ALTERNATIVA C 15.16

118 sen7x sen3x senx 4cos x sen3x sen7x sen3x senx sen7x sen3x sen3x senx sen7x sen3x senx sen5x cos x senx cos x sen7x sen3x senx cos x sen5x senx sen7x sen3x senx cos x sen3x cos x ALTERNATIVA A senx cos x senx sen x x x x x senx cos x sen cos senx cos x senxcos 4 senx cos x senx senx cos x senx Essa expressão também pode ser escrita da seguinte forma: senx cos x sen x ALTERNATIVA D sen sencos sencos coscos coscos sen sencos sencos coscos coscos coscos sen tg tg coscos ALTERNATIVA A

119 15.19 o o sen100 sen0 y o o cos100 cos 0 o o o o sen cos y o o o o cos cos o o sen60 cos 40 y o o cos 60 cos 40 o y tg60 y sena senb k cosb cos A A B A B sen cos k B A B A sen sen B A A B sen cos k B A B A sen sen A B cos k B A sen k cot g30 k 3 o