REDUÇÃO DE VIBRAÇÕES UTILIZANDO MÚLTIPLOS SISTEMAS PASSIVOS DE ABSORÇÃO. Diego Rodrigues Torres

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1 COPPE/UFRJ REDUÇÃO DE VIBRAÇÕES UTILIZANDO MÚLTIPLOS SISTEMAS PASSIVOS DE ABSORÇÃO Diego Rodigues Toes Dissetção de Mestdo pesentd o Pogm de Pós-gdução em Engenhi Civil, COPPE, d Univesidde Fedel do Rio de Jneio, como pte dos equisitos necessáios à obtenção do título de Meste em Engenhi Civil. Oientdoes: Clos Mglut Ney Roitmn Rio de Jneio Setembo de 2010

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3 Toes, Diego Rodigues Redução de Vibções utilizndo Múltiplos Sistems Pssivos de Absoção / Diego Rodigues Toes. Rio de Jneio: UFRJ/COPPE, XI, 81 p.: il.; 29,7 cm. Oientdoes: Clos Mglut Ney Roitmn Dissetção (mestdo) UFRJ/ COPPE/ Pogm de Engenhi Civil, Refeêncis Bibliogáfics: p Redução de Vibções. 2. Contole Pssivo. 3. Múltiplos Absosoes. 4. Análise Dinâmic. I. Mglut, Clos, et l. II. Univesidde Fedel do Rio de Jneio, COPPE, Pogm de Engenhi Civil. III. Titulo. iii

4 DEDICATÓRIA P meu vô, Abílio, e p Cid (in memoin). iv

5 AGRADECIMENTOS A Deus, pelo dom d vid. Aos pofessoes Clos Mglut e Ney Roitmn, pel oientção, estímulo e pciênci que tivem p comigo dunte confecção deste tblho. Aos meus pis, Ivn e Dúni, pelo mo, feto e vloes que mim fom tnsmitidos, moldndo o que sou hoje. Aos meus imãos, Ptty e Pedo, pel mizde, compeensão e cinho. Aos meus demis fmilies, em especil, à minh vó, Lind, e à minh bis, Teez, pelo mpo e pesenç constnte. Aos migos que fiz no Lbotóio de Estutus d COPPE o longo dest jond, pel mizde e compnhi dispensds, pinciplmente à Tm, Flávi, Rosn, Hecto e Nelson. Ao Geoge, po te me fonecido sus otins bseds no Método de Anoldi, o que possibilitou o desenvolvimento do sistem utilizdo neste tblho. Ao CNPq pel bols que me foi concedid dunte bo pte do peíodo em que este tblho esteve em fse de elboção. Aos colegs d Petobs. v

6 Resumo d Dissetção pesentd à COPPE/UFRJ como pte dos equisitos necessáios p obtenção do gu de Meste em Ciêncis (M.Sc.) REDUÇÃO DE VIBRAÇÕES UTILIZANDO MÚLTIPLOS SISTEMAS PASSIVOS DE ABSORÇÃO Diego Rodigues Toes Setembo/2010 Oientdoes: Clos Mglut Ney Roitmn Pogm: Engenhi Civil Sistems de contole vêm sendo ns últims décds cd vez mis considedos como medid pátic p edução dos níveis de vibções em estutus civis. Dente os inúmeos dispositivos existentes, destcm-se os sistems de contole pssivo bsedos n tnsfeênci d enegi mzend n estutu p sistems uxilies, denomindos bsosoes. O objetivo deste tblho consiste no desenvolvimento de metodologis visndo o pojeto de múltiplos sistems bsosoes instldos num estutu. P tnto, fom implementds fements numéics que pemitem nálise do poblem no domínio d feqüênci utilizndo dois modelos distintos, um bsedo num fomulção nlític do poblem, em que estutu é modeld como um sistem mecânico de um gu de libedde, e outo bsedo num fomulção numéic n qul estutu é modeld em elementos finitos. Atvés d plicção ds metodologis desenvolvids em dus estutus distints (um vig e um lje) são pesentdos os esultdos d utilizção de múltiplos bsosoes com msss menoes distibuíds espcilmente o longo d estutu em compção doção de pens um sistem de bsoção com mesm mss totl. Os esultdos obtidos mostm que, de um modo gel, doção de múltiplos bsosoes pece coesponde um solução bstnte inteessnte tendo em vist os níveis de edução que podem se lcnçdos. vi

7 Abstct of Dissettion pesented to COPPE/UFRJ s ptil fulfillment of the equiements fo the degee of Mste of Science (M.Sc.) VIBRATION CONTROL USING MULTIPLE TUNED MASS DAMPERS Diego Rodigues Toes Septembe/2010 Advisos: Clos Mglut Ney Roitmn Deptment: Civil Engineeing Contol systems in ecent decdes hve been incesingly seen s pcticl wy to educe vibtion levels in civil stuctues. Among the mny existing devices, stnds out pssive contol systems bsed on the tnsfe of enegy stoed in the stuctue by uxiliy systems, known s bsobes, commonly clled tuned mss dmpes. The im of this dissettion is to develop design's methodologies of multiple tuned mss dmpes instlled in stuctue. Theefoe, it wee implemented numeicl tools fo nlyzing the poblem in the fequency domin using two diffeent models, one bsed on n nlyticl fomultion of the poblem, in which the stuctue is modeled s one degee of feedom system, nd nothe bsed on numeicl fomultion in which the stuctue is modeled by finite elements. Though the ppliction of methodologies developed in two distinct stuctues ( bem nd slb) it's shown the esults of dopting multiple bsobes with lowe msses sptilly distibuted long the stuctue s comped to doption of only one bsoption system with the sme totl mss. The esults show tht, in genel, the doption of multiple tuned mss dmpes ppes to coespond to solution quite inteesting in view of the eduction levels tht could be chieved. vii

8 ÍNDICE 1 INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO DO TRABALHO OBJETIVO E DESCRIÇÃO DO TRABALHO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA FORMULAÇÃO TEÓRICA DO PROBLEMA FORMULAÇÃO ANALÍTICA ANÁLISE DA ESTRUTURA ORIGINAL ANÁLISE DO SISTEMA ESTRUTURA + SISTEMAS DE ABSORÇÃO FORMULAÇÃO NUMÉRICA DESENVOLVIMENTO NUMÉRICO ORGANIZAÇÃO DAS FERRAMENTAS NUMÉRICAS MONTAGEM DAS MATRIZES RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE AUTOVALOR APLICAÇÃO APLICAÇÃO 1: ANÁLISE DE UMA VIGA BI-APOIADA APLICAÇÃO 2: ANÁLISE DE UMA LAJE CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO A. VERIFICAÇÃO DO FUNCIONAMENTO DO SISTEMA DESENVOLVIDO...77 ANEXO B. EXPRESSÕES DE JANGID viii

9 LISTA DE FIGURAS Fig. 1.1 Vist gel e detlhe d Millenium Footbidge loclizd sobe o Rio Thâmis/Londes [8] e [9] Fig. 1.2 Detlhe com oito bsosoes instldos no vão centl d Ponte Rio Niteói [42] Fig. 2.1 Pssos d metodologi utilizd p fomulção nlític de um sistem estutul diciondo de um conjunto com tês sistems de bsoção Fig. 2.2 Metodologi plicd p fomulção numéic de um sistem estutul diciondo de sistems de bsoção Fig. 3.1 Fluxogm epesentndo estutu gel do sistem desenvolvido Fig. 3.2 Relção ente motecimento e feqüênci (Amotecimento de Ryleigh) Fig. 4.1 Vist gel d estutu em estudo com tês bsosoes instldos [17] Fig. 4.2 Fom modl do 1º modo de vibção d vig, nomlizd em elção à mss modl Fig. 4.3 FRF d estutu oiginl e d estutu com o bsoso S1 instldo Fig. 4.4 FRF do sistem estutu + bsoso S1 vindo-se () e (b) Fig. 4.5 Respost ótim d FRF d estutu utilizndo Den Htog Fig. 4.6 FRF d estutu diciondo de 2 ou 3 bsosoes deivdos do bsoso pelimin Fig. 4.7 FRF do sistem estutu + S3 vindo-se () (b) e (c) Fig. 4.8 Respost ótim d FRF d estutu utilizndo Jngid e MinMx Fig. 4.9 Distibuição n feqüênci dos bsosoes ix

10 Fig FRF d estutu diciond de 2, 3 ou 5 bsosoes clibdos pelo pocedimento MinMx p s situções A e B Fig Distibuição n feqüênci dos bsosoes p tês situções distints Fig Compção ds eduções () e txs de motecimento (b) ótims p múltiplos bsosoes instldos no vente do modo e distibuídos o longo d estutu Fig Vist gel d estutu de ensio d plc de lumínio do LADEPIS Fig Modos de vibção d plc () 1º modo; (b) 2º modo; (c) 3º modo Fig FRF d plc compd FRF nomlizd d vig Fig Anjo d distibuição dos bsosoes n plc Fig FRF s d plc 2 m x 1.5 m p T1 () e T2 (b), confontndo modelo nlítico x fomulção numéic Fig FRF d plc vindo-se elção lgu/compimento (b/l) Fig FRF d plc 2 m x 1.8 m p T1 e T2, Fig FRF d plc 2 m x 1.8 m p T1 e T2, Fig. A.1 Plc submetid à compessão no plno Fig. A.2 Coelção teóic x numéic do efeito de cegmento xil ns feqüêncis ntuis d plc LADEPIS x

11 LISTA DE TABELAS Tbel 4.1 Compção ente s feqüêncis ntuis teóics e s obtids no modelo numéico Tbel 4.2 Qudo comptivo dos pâmetos modis d estutu contold Tbel 4.3 Pâmetos modis, coelção fomulção nlític x numéic p estutu com o sistem S Tbel B.1 Vloes dos coeficientes ns expessões explícits de Jngid p os pâmetos ótimos dos bsosoes xi

12 1 INTRODUÇÃO 1.1 Motivção do Tblho O pojeto estutul deve tende o Estdo Limite Último (ELU), que coesponde à veificção d estutu qunto su integidde qundo submetid cegmentos extemos de pojeto, e o Estdo Limite de Seviço (ELS), em que estutu é veificd qunto su funcionlidde de codo com o fim p qul estutu foi pojetd. Um edifício esidencil, po exemplo, deve tende exigêncis qunto o confoto humno devido vibções excessivs o psso que um lbotóio pecis tende exigêncis qunto deslocmentos máximos p não compomete o funcionmento dos equipmentos [1]. Em gel, o Estdo Limite Último (ELU) ege o dimensionmento estutul. Entetnto, com os vnços ecentes qunto à esistênci e ductibilidde dos mteiis, cição de novos mteiis compósitos e contínu evolução dos ecusos computcionis, possibilitndo doção de pemisss de pojeto menos consevdos e, po conseguinte, possibilitndo novs concepções quitetônics, têm exigindo o pojeto de estutus civis cd vez mis ojds. Com est tendênci de estutus cd vez mis esbelts, ocoe ntulmente edução dos vloes ds feqüêncis ntuis, conduzindo vloes póximos ds feqüêncis de cegmentos mbientis (vento, sismos, onds e més), de tividdes humns, de máquins e de pssgem de táfego, podendo cet em elevds mplitudes de espost d estutu. Em decoênci disso, s elevds esposts estutuis povenientes de solicitções estutuis coiqueis tis como, po exemplo, s deivds de tividdes humns (nd, coe, pul, dnç, etc.) tem cusdo tnstonos os usuáios, o que vem despetndo o inteesse de muitos utoes [2,3,4,5]. Em 1991, o CEB [6] publicou um boletim com um séie de ecomendções em que são definids medids pátics de pojeto considendo limites máximos de deslocmento e de celeção em função do fim o qul estutu seá pojetd. Um cso que teve gnde epecussão, o qul ilust este poblem, foi o ocoido n inugução d Millenium Footbidge, Inglte, mostd ns Fig. 1.1 (-b). Est estutu consiste num pssel metálic suspens e extemmente flexível. Ao se 1

13 inugud, n vid do milênio, est começou pesent oscilções lteis de poximdmente 20 cm o longo dos seus 345 m de compimento, pecisndo se inteditd. Estudos elizdos concluím que ção do cminh ds pessos poduzi um cg ltel que se sinconizv com estutu ness dieção [7], conduzindo ssim, elevdos níveis de vibções. ) Vist gel b) Detlhe d pssel em uso Fig. 1.1 Vist gel e detlhe d Millenium Footbidge loclizd sobe o Rio Thâmis/Londes [8] e [9]. No Bsil, podem-se cit um séie de estutus que pesentm poblems de vibção em estdo de seviço, dente s quis o Estádio do Mcnã, devido às ções ds gndes tocids pulndo em sinconismo [10], e Ponte Rio - Niteói, devido às ções decoentes do despendimento de vótices sobe os tbuleios do vão centl povocds po ventos d odem de 60 km/h [11]. Estes exemplos ilustm como o Estdo Limite de Seviço (ELS) tem-se tondo cd vez mis condicionnte p o dimensionmento estutul. Dest fom, se ton cd vez mis necessáio que engenheios consideem em seus pojetos nálise do 2

14 compotmento dinâmico estutul tl como o estudo de edução ou contole de vibções. Até medos dos nos 60, o poblem de vibções em estutus e visto pelos engenheios como um poblem se soluciondo medinte enijecimento estutul, como po exemplo, inclusão de piles intemediáios ou efoço estutul ds vigs. Tl medid tem po objetivo ument s feqüêncis ntuis d estutu distncindo s mesms d fix espectl ds excitções. O estudo de LENZEN [12] eflete bem o pensmento dos engenheios d époc em elção à utilizção de sistem de bsoção p o contole de vibções. Aind que este estudo tenh epesentdo um mco qunto o início ds pesquiss elcionds contole de vibções em estutus civis, o mesmo cit doção de bsosoes sem mis detlhes e ecomend como medid coetiv o enijecimento estutul. Os sistems de contole sugim então nest époc como um ltentiv o enijecimento estutul p estutus já existentes e que pesentvm poblems de vibções não pevists em pojeto onde intevenção po meio de enijecimento ou efoço tonv-se inviável. Segundo BATTISTA [13], podem-se dividi os sistems de contole em dois gndes gupos: - Sistems Pssivos: Mecnismos de Amotecimento Adicionl; Isoldoes de Vibção; Absosoes de Vibção. - Sistems Ativos: Sistems de Contole Ativo; Sistems de Contole Semi-tivo; Sistems de Contole Pssivo-Ativo (Sistems Híbidos). 3

15 Os sistems pssivos se distinguem dos sistems tivos pelo fto de não necessit de fontes extens de enegi de contole, como po exemplo, tudoes. Devido à inexistênci de dispositivos eletônicos, su mnutenção é muito mis simples que de sistems tivos, tonndo su confibilidde extemmente lt desde que clibdo coetmente. Além disso, o seu custo de instlção é mis bixo. Em contptid sus pincipis limitções efeem-se à bix eficiênci p cgs tnsientes hj vist su espost não se imedit. Out limitção está ssocid à fix de feqüênci em que tu, ssim como su sensibilidde em elção incetezs qunto o compotmento dinâmico do sistem estutul. Ests ccteístics levm à necessidde do conhecimento do especto ds cgs tuntes, d identificção dos pâmetos modis d estutu e d clibção dequd dos bsosoes. Um fom de eduzi ests deficiêncis é tvés d doção de múltiplos sistems de bsoção, de modo cobi um bnd mio de feqüêncis lém de minimiz os efeitos de clibções ml-elizds. Além disso, como gnde pte ds ções mbientis e ds povocds pels tividdes humns pode se epesentd po pocessos estocásticos em que pcel tnsiente é menos epesenttiv que pcel pemnente, sistems pssivos se pesentm gelmente como opção mis viável em elção à doção de sistems tivos. Po isso, nos sistems pssivos, nálise em feqüênci ton-se extemmente inteessnte tnto sob o ponto de vist numéico, qunto p intepetção físic do poblem. Os sistems com múltiplos bsosoes de vibção têm sido mplmente pesquisdos p váios tipos de cegmento ssim como váios modelos têm sido popostos considendo difeentes configuções (tis como bsosoes inteligdos e não-inteligdos) e difeentes tipos de motecimento (viscoso, histeético, de Coulomb, etc.). A mioi dos tblhos elizdos sobe este tem conside estutu epesentd po um sistem mss-mol-motecedo de 1 GL (um gu de libedde). Esse tipo de modelgem tem como bse consttção obtid po lguns utoes [14,15] de que p situção em que s feqüêncis ntuis d estutu estão bem espçds modelgem d estutu epesentd po 1 GL é suficiente p epesent o compotmento do sistem estutul diciondo de sistems bsosoes. Entetnto, à medid que o gu de complexidde d estutu em inteesse ument, os modos vão se tonndo mis póximos [16]. Como conseqüênci est 4

16 pemiss pss se ton fls, fzendo-se necessáio tc o poblem de fom numéic considendo estutu como um todo, exigindo-se mioes ecusos computcionis, um vez que se tt d solução de um poblem de utovlo complexo com mtizes com dimensão dus vezes mio do que dimensão d modelgem convencionl. Com o cescente vnço d cpcidde de pocessmento e de memói dos computdoes potáteis est metodologi tem se tondo viável. MAGLUTA [17], p conton limitção de memói fente à époc, ecoeu à técnic de sub-estutução, em que são definidos nós intenos, efeentes à mlh d estutu e nós extenos onde estão os poios e os nós d estutu que se conectm os bsosoes. Assim sendo, medinte um tnsfomção de coodends os nós intenos são sintetizdos pemitindo que dimensão totl do poblem sej bem eduzid, fcilitndo ssim o cálculo ds feqüêncis ntuis e modos de vibção. Apes de est técnic pesent bos esposts p os deslocmentos e celeções, el possui limitções qunto à vlição dos esfoços solicitntes. N hipótese d existênci de cgs xiis tundo simultnemente os bsosoes, po exemplo, mbos como gentes de contole pssivo, este método ton-se deficiente. Um cso pático sei implementção de bsosoes em ises flexíveis ou em estutus potendids. Assim sendo, ton-se necessáio o desenvolvimento de um fement numéic p estimtiv do poblem de utovlo mis eficiente. Po outo ldo, o pojeto de sistems de bsoção tvés de modelgens d estutu po elementos finitos, pode se ton poibitivo e té mesmo desnecessáio, como é o cso em que obtenção d clibção de pojeto dos sistems bsosoes é elizd tvés de um busc numéic dos pâmetos ótimos destes dispositivos p situção em que s feqüêncis ssocids os modos de vibção d estutu estão bem espçds. Neste cso, é mis inteessnte um bodgem po meio de modelos d estutu epesentd po um sistem de 1 GL. 1.2 Objetivo e Descição do Tblho O pincipl objetivo deste tblho é o desenvolvimento de metodologis visndo o pojeto de múltiplos sistems de bsoção. P tnto, fom desenvolvids dus metodologis p nálise no domínio d feqüênci de sistems estutuis diciondos de sistems de bsoção. A pimei metodologi desenvolvid, qul pte d hipótese 5

17 de que os modos de vibção estão bem espçdos em feqüênci, é bsed num fomulção nlític do poblem n qul estutu é condensd em um sistem mss-mol-motecedo de 1 GL, o qul é ssocido múltiplos bsosoes que podem est loclizdos em quisque pontos d estutu. A segund metodologi coesponde um fomulção numéic considendo estutu modeld po elementos finitos diciond de múltiplos sistems de bsoção. A eficiênci ds metodologis desenvolvids é vlid tvés ds sus plicções em dus estutus: um vig bi-poid e um lje simplesmente poid em todos os bodos, ns quis é diciondo um númeo distinto de sistems bsosoes. Dest mnei, ognizção gel do pesente tblho pode se esumid d seguinte mnei: Cpítulo 1 Tt d intodução o pesente tblho po meio de um descição sumái espeito ds pesquiss sobe os bsosoes té os dis tuis tvés d pesentção do estdo d te deste tem; Cpítulo 2 São pesentdos os conceitos fundmentis p fomulção do poblem ccteizdo po geg múltiplos bsosoes sintonizdos em um modo de vibção específico loclizdos em pontos distintos d estutu; Cpítulo 3 São descits de fom bem genéic s fements numéics implementds em lingugem Fotn dndo ênfse p esolução do poblem de utovlo com o conjunto de otins implementds po AINSWORTH JR. [18], bseds no Método de Anoldi com Reinício Implícito visndo solução do poblem de utovlo complexo de um mnei mis eficiente; Cpítulo 4 São pesentds s plicções ds metodologis desenvolvids p o pojeto de múltiplos sistems de bsoção utilizndo dus estutus distints: um vig bi-poid e um lje poid nos quto bodos, como já menciondo nteiomente; 6

18 Cpítulo 5 São pesentds lgums conclusões espeito do pesente tblho desenvolvido, bem como são elencds um séie de sugestões de tblhos futuos de modo d continuidde nest linh de pesquis. 1.3 Revisão Bibliogáfic N litetu intencionl, os bsosoes pssivos de vibções são comumente chmdos de Tuned Mss Dmpes (TMD) e consistem em um ou mis sistems mssmol-motecedo gegdos o sistem pincipl cujo pincípio de funcionmento se bsei n tnsfeênci de enegi do sistem pincipl p o sistem secundáio (no cso, os bsosoes) seguid d dissipção dest enegi tvés de seu motecedo [1]. O mco p o início do estudo destes dispositivos p edução e contole de vibções dt de 1909, qundo FRAHM [19] plicou este conceito básico de tnsfeênci de enegi p eduzi o movimento de otção em tono do eixo longitudinl de nvios. O modelo empegdo no cso e muito simples, consistindo em um sistem mss-mol gegdo um sistem pincipl tmbém epesentdo po um mss e um mol. Tl dispositivo no cso pesentv um séie de limitções sendo plicável somente p sistems mecânicos submetidos cgs hmônics cuj feqüênci e conhecid pioi. Além disso, eventuis desvios de clibção do bsoso tonvmno ineficz podendo té mesmo mplific s esposts [20]. ORMONDROYD e DEN HARTOG [21] concluím posteiomente que dicionndo um motecedo o bsoso de Fhm, o mesmo se tonv mis eficiente e mis obusto qunto eventuis desvios n feqüênci de excitção. DEN HARTOG [22] deu seqüênci o estudo obtendo expessões ótims p os pâmetos modis dos bsosoes considendo motecimento viscoso p estes dispositivos e desconsidendo o motecimento do sistem pincipl. Mis tde, BISHOP e WELBOURN [23] incluím motecimento à mss pincipl em seus estudos e SNOWDOWN [24] estendeu o modelo utilizdo po Den Htog p outos tipos de motecimento. WARBURTON [25], THOMPSON [26], TSAI e LIN [27] e MAGLUTA [17] dem continuidde à pesquis po pâmetos ótimos p os bsosoes p difeentes 7

19 tipos de solicitções. TSAI e LIN [27], po meio de justes de cuvs deivds de buscs numéics visndo à minimizção do FAD ( Fto de Amplificção Dinâmic ), obtivem fómuls p pâmetos ótimos do bsoso, concluindo que, qunto mio o motecimento do sistem pincipl, meno eficiênci dos bsosoes. Consttm tmbém que existênci de motecimento no sistem pincipl influenci mis n clibção d feqüênci do que n clibção do motecimento ótimo p o bsoso e que s esposts do sistem com bsoso gegdo são pouco influencids pelo motecimento do sistem pincipl. MAGLUTA [17] investigou s vntgens e limitções de sistems pssivos, elizndo estudos pméticos e buscs po pâmetos ótimos p bsosoes gegdos em estutus, po meio do lgoitmo de pogmção line multi-objetivos Gol Pogmming. Como esultdos deste estudo fom pontdos vloes páticos p s zões de mss e de motecimento seem utilizdos no pojeto de gndes estutus. Nos nos 90, busc po dispositivos de contole pssivo menos sensíveis desvios de clibção, ou sej, mio obustez, levm divesos utoes à pesquis de modelos considendo mis de um bsoso gegdo à estutu. Destcm-se neste peíodo os tblhos ds efs. [15] e [28,29,30,31,32,33,34]. XU e IGUSA [28] consttm que se utilizndo múltiplos bsosoes com feqüêncis ntuis distibuíds unifomemente em tono d feqüênci ntul d estutu, o sistem de contole ton-se mis eficiente e mis obusto que um único bsoso com mesm mss totl p sistems excitdos po bnds de feqüêncis lgs. Em IGUSA e XU [31] é pesentd um fomulção nlític p nálise de sistems com múltiplos bsosoes e p otimizção dos bsosoes tvés de cálculo vicionl p sistems excitdos po bnds lgs em feqüênci. Estes utoes concluem que lgu ótim p bnd de feqüêncis é popocionl à iz qudd d mss totl dos bsosoes. KAREEM e KLINE [32] pontm como s pincipis vntgens d doção de múltiplos bsosoes, lém d mio eficiênci e obustez, mio potbilidde dos mesmos devido à utilizção de menoes msss, tonndo-os ttivos tnto p novs 8

20 instlções qunto p constuções de uso tempoáio e p estutus que sofem o pocesso de etofit (modificção de su funcionlidde). ABE e IGUSA [15], po meio d teoi d petubção, investigm influênci d poximidde ente s feqüêncis ntuis d estutu no compotmento d estutu diciond de múltiplos bsosoes igulmente espçdos em feqüênci. Eles consttm que, p estutus cujs feqüêncis ntuis estão espçds, o pojeto de bsosoes de modo eduzi s mplitudes de espost de detemindo modo não depende ds demis feqüêncis, podendo estutu se epesentd como um sistem mss-mol-motecedo de 1 GL. JANGID [34], tvés de justes de cuvs oiunds de buscs numéics, genelizou o estudo desenvolvido po Tsi e Lin p múltiplos bsosoes, obtendo expessões p pâmetos ótimos dos bsosoes p sistems não-motecidos submetidos excitções de bse, supondo s feqüêncis dos bsosoes distibuíds unifomemente em tono d feqüênci médi de clibção. GU et l. [35] utilizm múltiplos bsosoes p eduzi s mplitudes de espost do 1º modo de vibção n dieção veticl d ponte estid Yngpu, em Xngi - Chin, considendo influênci d ção do vento e ds cgs odoviáis n feqüênci ntul d estutu. Neste estudo fom obtidos pâmetos ótimos p sete conjuntos difeentes de bsosoes locdos no vão centl, coobondo os estudos nteioes de que os pincipis pâmetos de influênci no pojeto dos bsosoes são zão de feqüênci e lgu de bnd, sendo tx de motecimento dos bsosoes um viável secundái. Mis ecentemente, novs pesquiss têm pontdo que distibuição não-unifome em feqüênci dos bsosoes, tl como doção de vloes distintos p s txs de motecimento dos bsosoes conduz mioes eduções ns esposts d estutu [36,37]. Além disso, estudos têm pontdo doção de bsosoes inteligdos como um bo ltentiv p edução de deslocmentos no topo de edifícios, mobilizndo menos espço p colocção e tução dos bsosoes. Tl solução conduz vloes difeentes dos pâmetos ótimos obtidos p bsosoes comuns, ou sej, nãointeligdos [38,39]. 9

21 No que se efee à plicção pátic d doção de múltiplos bsosoes p minimiz edução de vibções em estutus, pode-se cit s mesms estutus já mencionds nteiomente, Millenium Footbidge e Ponte Rio - Niteói. N Millennium Footbidge solução dotd consistiu n doção de 37 motecedoes viscosos tundo como mecnismos de motecimento dicionl, 4 pes de bsosoes p contol os deslocmentos hoizontis n dieção tnsvesl à pssel e complementmente 26 pes de bsosoes instldos sob o tbuleio p eduzi os deslocmentos veticis [40]. N Ponte Rio - Niteói, solução dotd p eduzi oscilções veticis d odem de 50 cm p cim e p bixo povocds pel mplificção do 1º modo de vibção ntul pel ção de despendimento de vótices, coespondeu à doção de um conjunto de 32 sistems bsosoes, designdos como MADS ( Múltiplos Absosoes Dinâmicos Sinconizdos ), pojetdos pelo Pof. Ronldo C. Bttist d COPPE/UFRJ e instldos no inteio dos cixões ds vigs metálics do vão centl d ponte [41]. A Fig. 1.2 ilust instlção destes dispositivos n estutu. Fig. 1.2 Detlhe com oito bsosoes instldos no vão centl d Ponte Rio Niteói [42]. 10

22 2 FORMULAÇÃO TEÓRICA DO PROBLEMA Neste cpítulo seão pesentdos os modelos teóicos utilizdos no pesente tblho p investigção do compotmento dinâmico de um estutu copld um ou mis bsosoes. É ddo enfoque p nálise do sistem estutu + sistems de bsoção no domínio d feqüênci utilizndo dus fomulções distints: um fomulção nlític bsed num modelo d estutu condensd em um sistem de 1 GL e out fomulção numéic bsed num modelo disceto d estutu. Adicionlmente tmbém são pesentds s esttégis dotds p obtenção d FRF (Função de Respost em Feqüênci) em cd um desses csos. 2.1 Fomulção nlític A fomulção do poblem de mnei nlític utilizd neste tblho implic n utilizção de um modelo que conside estutu como um sistem mss-molmotecedo de 1 GL, chmdo de sistem pincipl. Agegdo este sistem pincipl tem-se os sistems bsosoes. A Fig. 2.1 ilust esquemticmente epesentção do modelo teóico d estutu mis tês bsosoes tvés de um modelo nlítico deste mesmo sistem coespondente um sistem pincipl de 1 GL, o qul epesent um dos modos d estutu pincipl, copldo 3 GL não-inteligdos, os quis epesentm os bsosoes. Modelos nlíticos similes este epesentndo um estutu diciond de múltiplos bsosoes já fom mplmente estuddos po divesos utoes [28,29,34]. Entetnto, o que se popõe neste tblho é que este modelo sej extpoldo p o cso em que os bsosoes estejm situdos em qulque posição d estutu, visto se est um situção mis elist. Ms p que isto sej possível, é necessáio pimeio pesent lguns conceitos básicos espeito d nálise modl de estutus, onde plicção d tnsfomção do espço el p o espço modl e vice-ves é detlhd. 11

23 Modelo teóico estutu + sistems de bsoção Modelo disceto d estutu Modelo nlítico do sistem estutu + sistems de bsoção Modelo 1 GL d estutu Fig. 2.1 Pssos d metodologi utilizd p fomulção nlític de um sistem estutul diciondo de um conjunto com tês sistems de bsoção. - Análise d estutu oiginl Os copos elásticos podem de um modo gel, tvés d discetizção do meio contínuo, se epesentdos po um sistem mecânico fomdo po n gus de libedde (dí designção n GL). A equção que expess o equilíbio dinâmico de um sistem dest ntuez é dd po: onde: MX CX KX F(t) (2.1) M, C, K Mtizes de mss, motecimento e igidez, espectivmente, de dimensões nn; X, X, X, F(t) Vetoes de deslocmento, velocidde, celeção e de foç, espectivmente, de dimensões n1. Ttndo-se de um sistem estutul, s mtizes K e M podem se obtids po meio do método dos elementos finitos. D mesm mnei, montgem d mtiz C se dá pel hipótese gelmente válid p s estutus usuis de que C M bk, ou sej, mtiz de motecimento é popocionl às mtizes de igidez e de mss. A 12

24 ess hipótese dá-se o nome de Amotecimento de Ryleigh. Mioes detlhes espeito d montgem dests mtizes podem se encontds em [43] e no Cpítulo 3 deste tblho. Adotndo-se s hipóteses de que estutu estej sob vibção live, ou sej, o veto de foçs F sej nulo e que o deslocmento em um ponto i poss se escito como o poduto de um pcel efeente à vição d su posição no tempo q (t), po out pcel com infomção do espço dd pelo i-ézimo temo de um veto qulque i, o veto de deslocmentos d estutu pode se escito como X. q( t). Aplicndo hipótese de Ryleigh e ssumindo que espost d estutu no tempo pode se descit po um compotmento hmônico, isto é, que q it ( t) q0e, é possível demonst que o poblem de vibções lives motecido deivdo d eq. (2.1) pode se simplificdo p um poblem de vibções não-motecids, que é descito pelo seguinte poblem de utovlo genelizdo: 2 K M (2.2) onde, o uto-veto epesent um veto el de dimensão n1 contendo s coodends modis dos gus de libedde e iz qudd do utovlo 2 feqüênci ntul ngul efeente est fom modl, sendo possível obte teoicmente tntos pes dests viáveis quntos foem os gus de libedde deste sistem. A espost d eq. (2.1) go pode se escit como supeposição de m modos de vibção d estutu, dd po: n X q t) q ( t) q ( ) (2.3) 1 1( 2 2 m m t A eq. (2.3) coesponde o veto de deslocmentos X escito num bse modl, }. Isto signific que o sistem dinâmico, que petence um espço el { 1 2 m n, pode se pojetdo em um subespço do espço modl tmbém 13 n. Como o númeo de gus de libedde de um modelo em elementos finitos é bem mio que o númeo de modos considedos, que coespondem gelmente os modos ssocidos às feqüêncis mis bixs, é possível conclui que m n. No cso, solução do poblem de utovlo d eq. (2.2) efetud po meio de otins convencionis n

25 nálise estutul, como, po exemplo, s bseds n técnic de Iteção po Subespços [44], fonece ess bse modl. Isso seá boddo mis com mis ênfse no Cpítulo 3. Além disso, é possível demonst que fom um bse otogonl em elção às mtizes K, M e C. Po conseqüênci, tem-se que: T M m T C c (2.4) T K k onde, m, c e k coespondem mss, motecimento e igidez modl, espectivmente, do modo e que o poduto dos temos cuzdos T {} é igul l zeo, onde l. Pé-multiplicndo eq. (2.1) po T -ézim equção de um sistem de m equções go descopldo: e utilizndo (2.4), tem-se ssim m q c q k q f (2.5) A eq. (2.5) expime condensção d estutu em um sistem mss-molmotecedo de 1 GL, cuj espost é coodend genelizd q efeente o - ézimo modo de vibção dess estutu. D mesm mnei, pcel d dieit d expessão epesent pojeção d foç no espço el p o espço modl dd po T f = F(t). A condensção d estutu num sistem mecânico de 1 GL coesponde o pimeio psso p obtenção do modelo nlítico de um estutu diciond de um sistem de bsoção. É impotnte esslt que, como s mgnitudes dos uto-vetoes são bitáis, é usul oto-nomlizção d bse modl em elção à mtiz de mss Nesse cso bse modl fic { / m 1/, / m 1/ / m 1/ } e mss modl po m m conseqüênci, ton-se igul à unidde p todos os modos. Além disso, n pátic montgem d mtiz de motecimento de Ryleigh d estutu não é necessái. No cso, o motecimento modl pode se estimdo dietmente d elção 14 c 2 m, onde é tx de motecimento do -ézimo modo. Pelo fto de tx de motecimento ssocid um modo de vibção se um ddo pumente expeimentl,

26 o tendimento à hipótese de Ryleigh exige um ttmento específico p este pâmeto, cuj explnção seá pesentd no Cpítulo 3. Considee go que estutu estej excitd po um foç hmônic no gu de libedde. Desse modo foç f d eq. (2.5) pode se expess po i t F e 0 onde o índice se efee à coodend modl desse gu de libedde no modo. D mesm mnei, coodend genelizd q (t) pode se expess po Substituindo esss elções em (2.5), obtém-se: q it q0 e. ( 2 it it ω m iω. c k ) q0 e F0e (2.6) Eliminndo infomção do tempo dd pelo temo i t e n eq. (2.6) em mbos os ldos, tem-se equção de equilíbio do -ézimo modo expess no domínio d feqüênci. Ess equção pode se escit d seguinte mnei: q ω m iω. c k ) ( F (2.7) onde, o temo d esqued pode se intepetdo como mplitude do deslocmento genelizdo do -ézimo modo submetido um foç hmônic genelizd de mplitude F0. Potnto, pcel ( ) 0 1 pode se encd como Função de Tnsfeênci, isto é, função que coelcion um dd entd (no cso, foç) um síd (no cso, o deslocmento) do -ézimo sistem. Lembndo que espost d estutu no tempo é dd pel eq. (2.3), o deslocmento de um gu de libedde b no domínio d feqüênci pode se escito como: Logo, m b X b q (2.8) 1 0 X b m 1 2 ω m b iω. c F0 k (2.9) que pode se e-escito d seguinte fom: X ( ) H ( ) F ( ) (2.10) b b 15

27 onde, H b m b ( ) 2 (2.11) i1 ω m iωc. k é Função de Respost em Feqüênci (FRF), tmbém chmd po Flexibilidde Dinâmic, que coelcion o deslocmento em b devido à foç em enqunto que X () e F () coespondem os espectos do deslocmento e d foç, espectivmente. Anlisndo expessão (2.11) é possível conclui que FRF d estutu é obtid pels contibuições ds Funções de Tnsfeênci de cd modo multiplicds pelos temos b. Estes temos podem então se encdos como os esponsáveis pel pojeção ds Funções de Tnsfeênci do espço modl p o espço el. Como seá visto mis fente est popiedde seá explod p fomulção d FRF do sistem estutu + sistems de bsoção. - Análise do sistem estutu + sistems de bsoção Considee go que sej instldo um bsoso num ponto i d estutu e que este dispositivo estej ssocido o -ézimo modo de vibção d estutu. Neste cso, o índice pode se supimido e, dotndo p denominção do sistem pincipl o índice p e, p o bsoso o índice, eq. (2.5) pode se e-escit como: m q c q k q f f (2.12) p p p p i onde, f é foç do bsoso sobe estutu, epesentd como um foç exten em dição foç exten pincipl f p T F. Relizndo-se o digm de copo live do bsoso equção que expess o equilíbio dinâmico do bsoso é dd po: onde, c x x i kx xi m x (2.13) x e x i coespondem, espectivmente, os deslocmentos do bsoso e d estutu n posição i. 16

28 Desse modo, foç execid pelo bsoso sobe estutu no ponto i é igul à pcel d esqued d eq. (2.13), equivlente som de um pcel de foç de motecimento com um pcel de foç elástic. Como x q, tem-se que: i i x q k x q 0 m x c (2.14) i i Logo, f c x q k x q (2.15) i Aplicndo (2.15) em (2.12) tem-se equção explícit que epesent o equilíbio do sistem pincipl. Sendo ssim, s eqs. (2.12) e (2.14) expessm o sistem dinâmico de um estutu condensd em um sistem mecânico de 1 GL diciondo de um bsoso instldo em qulque posição d estutu. A genelizção p n bsosoes diciondos em n posições distints, consiste no somtóio ds foçs oiunds desses bsosoes sobe o sistem pincipl, ou sej: f n i1 c i x q k x q i i i i i (2.16) onde, o índice i go se efee o i-ézimo bsoso instldo, sendo infomção d posição destes dispositivos n estutu supimid d fomulção de modo que i coesponde go à coodend modl onde o i-ézimo bsoso está instldo n estutu. Aplicndo (2.16) em (2.12), e gupndo s n equções dos bsosoes, obtêm-se s seguintes n+1 equções de equilíbio: m q c q p p p k q 1 c x q ic x iq nc x nq i i n n k x 1q ik x iq nk x nq f p 1 1 m i i x q k x q 0 x 1 c i n n m x i i c i x q k x q 0 i i i i i (2.17) 17

29 18 0 q x k q x c x m n n n n n n n n Renjndo (2.17) e escevendo n fom mticil, tem-se eq. (2.1) em que: n i p m sim m m m M n i n n i i n k k k p c sim c c c c c c c C n i n n i i n k k k p k sim. k k k k k k k K T n i x x x q 1 X T p f 0 0 F (2.18) A eq. (2.18) expime o sistem dinâmico de um estutu condensd em um sistem mecânico de 1 GL diciondo de n bsosoes instldos em n posições quisque d estutu. Esse sistem difee de um sistem usul n medid em que o deslocmento d estutu está escito no espço modl o psso que os deslocmentos do sistem de bsoção pemnecem no espço el. Potnto, visulizção de um modelo nlítico como o d Fig. 2.1 possui cáte pens ilusttivo.

30 Considee go mesm situção tl qul nlisd oiginlmente em que estutu está excitd po um foç hmônic de mgnitude F 0 no gu de libedde. Nesse cso, o compotmento dinâmico d estutu diciond do sistem de bsoção é epesentdo pel 1ª linh do sistem expesso em (2.17), que po su vez depende de viáveis escits ns demis linhs desse sistem, ou sej, est equção está copld às demis, difeentemente d situção oiginl. Como colocção do sistem de bsoção coesponde à intodução de um sistem de ntuez distint do sistem estutul oiginl, não é zoável doção d hipótese de Ryleigh nesse cso, ou sej, C M bk e, po conseguinte, o descoplmento deste sistem exige um ttmento difeente do pesentdo p estutu oiginl. De um modo gel, espost de qulque sistem egido pel eq. (2.1) no domínio d feqüênci pode se expess po: 1 X( ) B( ) F( ) (2.19) onde, B() é ddo po: 2 B( ) ( M i C K) (2.20) e, potnto, FRF do sistem expesso em (2.20) é dd po su mtiz inves, ou sej, H ( ) B( ) 1. Logo, o deslocmento d coodend genelizd do sistem estutul diciondo do sistem bsoso pode se obtido po: q H ( F (2.21) 0 ) 1,1 0 Como o deslocmento de um ponto b d estutu é ddo po X q b b 0, expessão finl que coelcion espost neste ponto b p um sistem estutu + sistem de bsoção submetido um foç F 0 num ponto d estutu fic: X b H ( F (2.22) ) 1,1 b 0 Po conseqüênci, conclui-se que FRF que coelcion espost em um ponto b submetido um foç em um ponto d estutu é expess po: H ( ) H ( b, b ) 1,1 (2.23) 19

31 A eq. (2.11) sintetiz fomulção nlític de um sistem estutul diciondo de múltiplos bsosoes loclizdos em quisque pontos dest estutu. Tl como n fomulção d estutu oiginl, o temo b é esponsável pel pojeção d Função de Tnsfeênci do espço modl p o espço el. A inves de B () tl como descit n eq. (2.23) pode se obtid utilizndo seguinte popiedde: B( ) 1 A B( ) det[ B( )] (2.24) onde, A ( ) indic mtiz djunt que equivle à tnspost d mtiz dos co-ftoes. Clculndo-se s ízes do polinômio ccteístico de det[ B ( )] 0, obtém-se n+1 pólos e seus espectivos complexos conjugdos. Po conseguinte, o denomindo d pcel à dieit d eq. (2.24) pode se eescito como: n te det[ B ( )] C ( i ) ( i ) (2.25) 1 Logo: H ( ) 1,1 C te Cofto[ B( ) n 1 ( i ) ( i ) 1.1 ] (2.26) Expndindo (2.26) em fções pciis [45], obtém-se que: n A A 1,1 1,1 H ( ) 1,1 1 i i (2.27) onde A é o esíduo complexo do sistem pincipl ssocido o -ézimo modo. 11 A eq. (2.27) ssocid (2.23) explicitm po completo FRF d estutu diciond do sistem de bsoção. Igulmente, tods s infomções p o cálculo dos pâmetos modis do sistem estutu + sistem de bsoção são fonecids pelos n+1 pólos, os n+1 esíduos A e fom modl oiginl. 20

32 É possível demonst que equção que define o -ézimo pólo é dd po: λ 1 2 ξ ω ω ξ i (2.28) Logo, feqüênci ntul do -ézimo modo é dd po ω e tx de motecimento é dd po Re( ) /, onde Re ( ) é pcel el de ( ). D mesm mnei, é possível demonst que fom modl do -ézimo modo do sistem pincipl + sistem de bsoção é dd po qulque um ds coluns d mtiz de esíduos A, de dimensão (n+1)(n+1). Po conseqüênci fom modl complex do -ézimo modo de um sistem estutu + sistem de bsoção p um estutu com m gus de libedde diciond de n bsosoes pode se estimd pel seguinte coelção: T A A A (2.29) / 1,1 vente 1 m 2,1 n1,1 onde, vente coesponde à coodend modl do vente do modo, equivlente à coodend modl d estutu oiginl com mplitude máxim tl como A, pode i j se intepetdo como o esíduo loclizdo n linh i e colun j petencente à mtiz de esíduos A. Anlisndo (2.29), é possível constt que fom modl oiginl qundo multiplicd pelo esíduo complexo A ton-se complex. Entetnto, ess 1, 1 tnsfomção se dá pens com o intuito de comptibiliz s coodends modis d estutu com s coodends modis do sistem de bsoção, que são gndezs complexs. Isso signific que s foms modis d estutu em essênci não são lteds pelo céscimo do sistem de bsoção utilizndo est fomulção. Como seá visto mis dinte, ess hipótese nem sempe é válid, como po exemplo, qundo os modos d estutu oiginl se encontm póximos uns dos outos e po conseqüênci, ess fomulção nlític popost pede cuáci. 21

33 2.2 Fomulção numéic A fomulção numéic do poblem é de um modo gel bem mis simples e diet que fomulção nlític pesentd nteiomente. Tl como nquel fomulção, estutu é discetizd em elementos finitos, ms, difeentemente do modelo nlítico, intodução dos sistems de bsoção se dá dietmente neste modelo disceto d estutu. Potnto, o modelo numéico utilizdo nest fomulção é constituído d estutu dividid em elementos finitos e dos bsosoes que d mesm mnei, tmbém podem se modeldos po elementos discetos. A Fig. 2.2 ilust de fom simplificd metodologi empegd nest fomulção p situção em que um estutu é diciond de tês sistems bsosoes quisque. Modelo Teóico Modelo Numéico Fig. 2.2 Metodologi plicd p fomulção numéic de um sistem estutul diciondo de sistems de bsoção. Compndo Fig. 2.1 com Fig. 2.2, fic clo que metodologi d fomulção numéic é bem mis diet que fomulção nlític. Se n Fig. 2.2 cd ponto epesent um gu de libedde, colocção de n elementos bsosoes n estutu oiginl discetizd em um sistem m GL, intoduz n gus de libedde o sistem e sendo ssim, o modelo numéico d estutu diciond dos bsosoes coesponde um sistem m+n GL. Os temos d equção que expess o equilíbio de um sistem dinâmico dd pel eq. (2.1) p o modelo numéico pesentdo neste cso ficm: 22

34 23 n e m m m 1 M n n n n e e c c c c c c c c c c C n n n n e e k k k k k k k k k k K T n e e x x x x 1 X T e f e f 0 0 F (2.30) onde o índice e se efee os temos, ns mtizes e vetoes, petencentes à estutu oiginl. Confome já foi pesentdo, s mtizes de igidez e de mss d estutu são obtids po meio do método dos elementos finitos tl como mtiz de motecimento dess estutu pode se dd pel hipótese de Ryleigh. O fto então de que o modelo numéico não fz distinção ente oigem dos gus de libedde, sejm eles dvindos d estutu ou dos sistems bsosoes, todos sendo

35 descitos no espço el indic que fomulção numéic é tmbém mis simples, visto que não há mnipulção de tnsfomções do espço el p o modl e vice-ves, tl como é exigido pel fomulção nlític. Entetnto, ind que fomulção ds equções de equilíbio deste sistem sej mis simples, solução e obtenção d FRF deste sistem possuem um custo computcionl bem supeio. Confome já menciondo, hipótese de Ryleigh não é válid e, potnto, pojeção do modelo numéico p um espço modl, o que pemitii o descoplmento ds equções deste sistem, não pode se elizd utilizndo um bse fomd pelos uto-vetoes obtidos pel solução d eq. (2.2). No modelo numéico estutu é modeld po elementos finitos e nomlmente são utilizds mlhs com centens ou té milhes de gus de libedde conduzindo à necessidde de um fomulção eficiente p obte os pâmetos modis. Tomndo-se po hipótese que o sistem n GL estutu + sistem de bsoção encont-se vibndo livemente, ou sej, sem foçs extens, o deslocmento do sistem pode se expesso po X e t onde é um dos modos de vibção e é o pólo ssocido. Desse modo esolução d eq. (2.30) eci no seguinte poblem de utovlo qudático [46]: 2 M C K 0 λ (2.31) A solução de um poblem dest ntuez pode se efetud po meio de um pocesso de lineizção do poblem de utovlo tvés de um mudnç de viável, tl como seguinte: X Y X (2.32) 2n1 A equção difeencil de movimento de um sistem mecânico expess po (2.1), pode se e-escit então d seguinte mnei: C M Y K 0 Y F( ) (2.33) n2n n2n t 24

36 Como o númeo de incógnits em (2.33) é o dobo do nº de equções, solução deste sistem não pode se detemind. Adicionndo ess equção seguinte identidde: M 0 Y 0 M Y 0 (2.34) n2n n2n obtêm-se o seguinte sistem go detemindo: B Y A Y Q(t) (2.35) onde: K A 0 C B M 0 M M 0 2n2n 2n2n (2.36) e F( t) Q ( t) 0. 2n1 A eq. (2.35) coesponde à equção difeencil de movimento de um sistem mecânico escito no espço de estdos [45]. A pti dest equção, fzendo Q ( t) 0 e Y e t, eci-se no seguinte poblem de utovlo genelizdo: A B (2.37) onde,, sendo equivlente o poblem de utovlo d eq. (2.31) 2 n 1 lineizdo. A solução do poblem expesso em (2.37) poduz n uto-vetoes e seus espectivos complexos conjugdos, ssocidos n utovloes e seus espectivos complexos conjugdos. Potnto, est técnic pes de bstnte diet pesent desvntgem de dob dimensão do poblem, o que incoe num mio custo computcionl. Como já menciondo, em gel o cômputo dos pimeios modos de vibção d estutu é suficiente p expimi o compotmento estutul e, potnto, 25

37 esttégi se dotd p solução numéic deste poblem consiste n pojeção deste poblem p um subespço tl como elizdo p estutu oiginl. Devido o fto dos utovloes e uto-vetoes seem complexos, utilizção de otins convencionis n nálise de estutus bseds n técnic de Iteção po Subespço [44] não é plicável. Entetnto, este poblem de utovlo ind ssim pode se pojetdo p um subespço conhecido como Subespço de Kylov [46]. Utilizndo o IRAM ( Implicit Restted Anoldi Method - Método de Anoldi com Reinício Implícito), AINSWORTH JR. [18] implementou este método tvés de um séie de otins em Fotn que seão utilizds neste tblho e o pincípio de funcionmento deste método seá boddo em mio pofundidde no Cpítulo 3. A solução d eq. (2.37) pemite constução de um bse modl m 1 m, sendo que m n, n qul o poblem definido pel 1 eq. (2.35) pode se pojetdo. Sendo ssim, espost deste sistem é obtid pel supeposição ds esposts dos 2m modos, ou sej: Y t) ( t) ( t) ( ) (2.38) 1 1( 1 1 m m m m t onde, (t) coesponde à coodend genelizd do -ézimo modo. Os uto-vetoes podem se oto-nomlizdos em elção à mtiz B. Como conseqüênci diet disso, tem-se que: T A T B 1 (2.39) T tl como, ( ) 0, se l. l T Logo, pé-multiplicndo po e utilizndo eq. (2.38), -ézim equção do sistem d eq. (2.35) fic: T α(t) α( t) F( t) (2.40) Se no cso o sistem se encont submetido po um foç hmônic no gu de i t libedde, pojeção dest foç n -ézim equção (2.40) é dd po F e 0 e o 26

38 27 deslocmento d coodend genelizd ssocid pode se expesso po t i e t 0 ) (. Desse modo, tem-se que: t i t i t i e F e α e α i (2.41) Eliminndo t i e eq. (2.41) pode se e-escit como: ) ( F i α (2.42) A pti d eq. (2.38), é possível demonst que o deslocmento em um ponto b é ddo po: m b b X b ) ( (2.43) Logo, 0 1 F i i X m b b b (2.44) e, potnto, FRF que coelcion o deslocmento em um ponto b um foç em um ponto é dd po: m b b b i i H 1 ) ( (2.45) É impotnte esslt que equção que define é extmente mesm expess no desenvolvimento d fomulção nlític do item nteio, dd pel eq. (2.28), d qul podem se cptuds s feqüêncis ntuis e s txs de motecimento dos m modos poduzidos. Estes pâmetos junto com s coodends modis dds po seão no Cpítulo 4 utilizdos p coelção dos esultdos obtidos po est fomulção com os esultdos obtidos pel fomulção nlític popost. Em conseqüênci disto, conclui-se que FRF do sistem estutul diciondo de sistems bsosoes, é montd pti de seus pâmetos modis, tl qul FRF d estutu oiginl foi explicitd.

39 3 DESENVOLVIMENTO NUMÉRICO Neste cpítulo são descits s fements numéics desenvolvids em lingugem Fotn p esolução do poblem de múltiplos sistems pssivos copldos um estutu modeld em elementos finitos. Apesent-se inicilmente ognizção gel dos sistems computcionis com um descição esumid ds esttégis dotds ns modelgens. Em seguid são bodds s técnics empegds p esolução do poblem de utovlo, dndo ênfse às otins desenvolvids po AINSWORTH JR. [18] bseds no Método de Anoldi com Reinício Implícito. 3.1 Ognizção ds fements numéics O sistem computcionl foi desenvolvido em lingugem Fotn com finlidde de se obte um fement numéic p plicção ns divess pesquiss elcionds sistems de contole pssivo que estão sendo elizds no LADEPIS (Lbotóio de Dinâmic e Pocessmento de Imgens e Sinis), d COPPE. Este pogm englob nálise de um sistem estutul sob tensões nomis, que simul o efeito de potensão p tenução de vibções estutuis, n medid em que, são modificds s ccteístics modis d estutu oiginl (p mioes detlhes, ve o tblho d ef. [47]), e/ou diciondo de múltiplos sistems bsosoes. Em esumo, o pogm foi dividido hiequicmente nos seguintes módulos: EST_0: é o módulo esponsável pel leitu ds popieddes físics, geométics e pel nálise estátic d estutu. Nest etp é montd mtiz de igidez d estutu sendo gvd em fomto bináio junto com outs infomções essenciis d estutu. Este módulo lê s foçs estátics ou deslocmentos pescitos, clcul os deslocmentos e slv s tensões tuntes n estutu em fomto bináio; KG_0: é um módulo ltentivo, que somente é utilizdo qundo estutu é submetid solicitções xiis. Este módulo ecebe os ddos d estutu gvdos em disco fonecidos pelo módulo EST_0 e mont mtiz geométic d estutu em função ds tensões obtids nesse módulo. Em seguid, gv em bináio mtiz de igidez modificd pel contibuição d mtiz geométic; 28

40 DIN_0: é o módulo de nálise dinâmic d estutu oiginl. Este módulo lê s infomções gvds em disco d estutu do módulo EST_0 e, em cso de tensões xiis, lê mtiz de igidez modificd do módulo KG_0. Em seguid mont mtiz de mss, clcul os modos e s feqüêncis ntuis d estutu e impime em fomto ASCII. Po fim, ele egv em bináio s infomções d estutu oiginl com mtiz de mss e de igidez modificd; DIN_1: é o módulo de nálise dinâmic d estutu diciond dos sistems de bsoção. Este módulo lê o quivo bináio escito pelo módulo DIN_0, seguido d leitu dos coeficientes de motecimento de Ryleigh e d leitu ds ccteístics dos bsosoes. Em seguid, mont mtiz de motecimento d estutu, intoduz os bsosoes ns mtizes de igidez, mss e motecimento. Po fim, mont s mtizes A e B do espço de estdos, clcul e impime s foms modis, feqüêncis ntuis e s txs de motecimento do sistem estutu + bsosoes nos fomtos ASCII e bináio; DIN_FRF: é um módulo de pós-pocessmento do pogm. Ele ecebe os pâmetos modis obtidos no módulo nteio e clcul e impime FRF (Função de Respost em Feqüênci) do sistem estutul diciondo dos sistems de bsoção. O esquem gel de funcionmento do sistem está ilustdo no fluxogm d Fig

41 Leitu dos ddos d estutu EST_0 K,, etc. Cgs xiis? Sim KG_0 Não K, M, etc. DIN_0 k' k e k G Leitu dos coef., b e dos bsosoes DIN_1,,, DIN_FRF Função de Respost em Feqüênci (FRF) Fig. 3.1 Fluxogm epesentndo estutu gel do sistem desenvolvido. Como já mostdo no cpítulo nteio, fom desenvolvids dus metodologis p nálise de um sistem estutul diciondo de um ou mis sistems de bsoção. A pimei metodologi, que é bsed num modelo nlítico d estutu epesentd po um sistem mecânico de 1 GL, ecebe os pâmetos modis obtidos pelo módulo DIN_0, sendo s etps subseqüentes dest fomulção elizds no MthCd. Já segund metodologi, que consiste num fomulção mis complet, bsed num modelo numéico d estutu em elementos finitos diciond dos bsosoes, é esolvid po completo pelo sistem computcionl desenvolvido. Resslt-se que, o módulo KG_0 foi implementdo com finlidde específic de investig doção d potensão como um ltentiv p edução de vibções estutuis em ljes. P um investigção expeimentl desse gêneo, foi montd no 30

42 LADEPIS/COPPE um estutu de ensio que consiste num plc de lumínio (ve Fig. 4.13). Um futu coelção numéico x expeimentl dos esultdos dos ensios possibilitá, po exemplo, vlidção do método de Glekin Itetivo poposto po MACHADO [47] p o cálculo ds cgs cítics e ds feqüêncis ntuis de plcs etngules com condições de contono bitáis. Sendo ssim, com o intuito de veific o funcionmento deste módulo, foi elizdo um estudo pmético do efeito de um pé-tensão ns feqüêncis ntuis dest plc modeld po elementos finitos e seus esultdos são pesentdos no ANEXO A. Adicionlmente, esse sistem computcionl é complementdo pelo pogm de pé e pós-pocessmento GID, esponsável pel geção ds mlhs e pel visulizção ds foms modis. 3.2 Montgem ds mtizes Confome foi menciondo no cpítulo nteio, s mtizes de igidez e mss d estutu são montds utilizndo o método dos elementos finitos. As montgens desss mtizes se dão pti ds contibuições ds ijezs e msss dos elementos que incidem sobe um detemindo nó do modelo numéico d estutu. No pesente tblho, o sistem computcionl foi implementdo com um bibliotec possuindo elemento de pótico espcil e elemento de csc de oito nós, conhecido como elemento seendipity. O elemento de pótico espcil foi extído do pogm utilizdo po FARIA [48] o psso que o elemento de csc foi fonecido pelo Pof. Fenndo L. B. Ribeio, d COPPE/UFRJ. A escolh pel utilizção desse elemento de oito nós em detimento d utilizção de um elemento de csc MITC (do inglês Mixed Intepoltion of Tensoil Components ) de quto nós, mis comumente empegdo, é justificd pelo fto d disponibilidde de ntemão d mtiz geométic do elemento seendipity. Out zão p escolh desse elemento é devido o fto de su modelgem equee um númeo infeio de elementos. A descição detlhd d fomulção destes elementos pode se encontd em [44,49]. D mesm mnei, montgem d mtiz de motecimento d estutu é elizd com bse n hipótese de Ryleigh, em que C M bk. Ess elção pode se e-escit d seguinte mnei: 31

43 0.5 b (3.1) ( m m Os coeficientes e b n eq. (3.1) podem se obtidos pel fixção de dois pes, ) e, ) ( n n ssocidos dois modos quisque. Em gel, tx de motecimento dd po (3.1) em função d feqüênci pode pesent tês compotmentos distintos: (i) A tx de motecimento é popocionl à mss ( 0, b = 0); (ii) A tx de motecimento é popocionl à igidez ( = 0, b 0); (iii) A tx de motecimento é popocionl à mss e igidez ( 0, b 0 ). A Fig. 3.2 ilust esss tês situções. Fig. 3.2 Relção ente motecimento e feqüênci (Amotecimento de Ryleigh). No cso de estutus existentes, obtenção desses pes (, ) se dá po meio do empego de técnics de identificção estutul, podendo se obtidos quntos pes foem necessáios p s nálises. No cso em que mis de dois modos são de inteesse n investigção, os coeficientes e b podem se estimdos posteiomente, tendo em vist minimizção do eo cometido pel poximção de um cuv justd, com o uxílio do método dos mínimos quddos [43]. No pesente tblho, como seá visto no Cpítulo 4, o compotmento do motecimento dos sistems estutuis nlisdos seá sempe estimdo como popocionl à mss, confome sugeido em [17]. Como já menciondo no cpítulo nteio, o método dos elementos finitos demnd um bo discetizção do modelo. As mlhs utilizds são em gel consideáveis, d odem de milhes de gus de libedde, conduzindo um elevdo custo de memói p o mzenmento ds mtizes de igidez, mss e 32

44 motecimento. A fim de eduzi este custo, s mtizes fom mzends em pefil skyline, técnic bstnte empegd n nálise estutul. Nest esttégi, mtiz é mzend em um veto e s posições dos coeficientes d digonl pincipl são guddos em um veto denomindo de jdig. No cso, esse veto é comptilhdo pels mtizes de igidez, mss e motecimento. A colocção dos sistems de bsoção no modelo numéico d estutu intoduz novs linhs e coluns ns mtizes de igidez, mss e motecimento. Isso já foi boddo pel fomulção numéic pesentd no cpítulo nteio. Sob o ponto de vist de implementção, esslt-se que intodução dos bsosoes, que é efetud no módulo DIN_1, ument os vetoes com os temos dests mtizes e conseqüentemente, dicion novs posições no veto jdig. 3.3 Resolução do poblem de utovlo Como já foi comentndo no cpítulo nteio, tendo em vist que o númeo de utovloes necessáios p nálise, k, é muito meno que o númeo totl de gus de libedde n dos modelos numéicos utilizdos, esttégi dotd p solução de um poblem de utovlo genelizdo, tl como expesso pels eqs. (2.2) e (2.37), consiste n pojeção do poblem p um subespço S com dimensão k. De um modo gel, esolução de um poblem dest ntuez se dá po um pocedimento de Ryleigh-Ritz, ddo pelo lgoitmo segui: Algoitmo 1 Pseudocódigo do método de Ryleigh-Ritz p Ax x [18] 1: Clcule um mtiz otonoml V cujs coluns geem o subespço S de dimensão k 2: Clcule pojeção de odem k k de A em S: V T AV 3: Resolv Ty y 4: e x Vy O gnde desfio ssocido o pocedimento de Ryleigh-Ritz eside n obtenção de um bse de Ritz V que gee o subespço S de inteesse. Bsedo neste pocesso, com o objetivo de esolve o poblem d eq. (2.2), BATHE [44] desenvolveu um técnic conhecid como Iteção po Subespços, bstnte difundid p nálise estutul. Est técnic, em esumo, consiste no seguinte pocedimento: pti de um conjunto de p vetoes de ptid, que fomm um bse do subespço S 0, inici-se um 33

45 ciclo itetivo do lgoitmo 1, que se ence qundo os p vetoes convegem p um bse S. Adicionlmente, um checgem d seqüênci de Stum confim que todos os uto-vetoes obtidos estão ssocidos os modos mis bixos. As otins em lingugem Fotn que esolvem o poblem de utovlo do módulo DIN_0 utilizndo técnic de Iteção po Subespços fom extíds do sistem utilizdo po FARIA [48], e são pticmente cópis ds otins pesentds em [44]. Resslt-se que esss otins se utilizm do mzenmento em pefil skyline, sendo o p dotdo coespondente o min.(2k; k+8). Adicionlmente, coment-se que otin que esolve o poblem de utovlo eduzido equivlente o do psso 3 do lgoitmo 1 obtido p cd psso i do ciclo itetivo do pocesso utiliz o Método de Jcobi [44]. Apes de ests otins seem extemmente eficientes n esolução do poblem d eq. (2.2), els não são plicáveis p esolução do poblem de utovlo expesso pel eq. (2.37), cuj solução fonece utovloes e uto-vetoes complexos. Em temos páticos, pincípio nd impede que técnic de Iteção po Subespços sej condiciond o poblem d eq. (2.37), entetnto um dptção dest ntuez demndi um estudo mis pofunddo dest técnic. O Método de Jcobi, po exemplo, necessiti se substituído po outo método visto que ele só é plicável p mtizes simétics positivo-definids, situção em que pode se demonstdo que os utovloes e uto-vetoes são sempe eis [46]. Em vitude disso, p esolve um poblem do tipo (2.37), MAGLUTA [17] dotou esttégi de condensção d estutu utilizndo um técnic de subestutução ssocid o cálculo do poblem de utovlo com dimensão eduzid com otins bseds n técnic QZ implementds po MOLER e STEWART [50]. Ess esttégi foi necessái visto que o conjunto de otins d QZ clcul todos os utovloes e, conseqüentemente, o custo computcionl envolvido fici muito elevdo, sem um edução d dimensão do poblem. Aind que os pâmetos modis obtidos com ess esttégi tenhm pesentdo bo cuáci em seu tblho, MAGLUTA [17] pont que obtenção dos esfoços nos elementos utilizndo este pocedimento fic pejudicd pel condensção d estutu. 34

46 Um ltentiv à esttégi popost po MAGLUTA [17] consiste n utilizção de métodos bsedos no subespço de Kylov, que é ddo po: v, A v 2 1 Av1, A v1,, k1 1 (3.2) onde v 1 é um veto inicil não-nulo. A idéi fundmentl consiste em obte um bse otogonl V escit no subespço de Kylov de tl mnei que pojeção do poblem oiginl neste subespço de dimensão k conduz o poblem eduzido do tipo do lgoitmo 1. Os pincipis métodos ssocidos o subespço de Kylov são os métodos de Lnczos e de Anoldi. Utilizndo um pojeção otogonl (poximção de Glekin), n qul o subespço de pondeção é igul o subespço de poximção S, é possível demonst que os métodos de Lnczos e Anoldi são idênticos, com difeenç que pojeção d mtiz A em S conduz um mtiz ti-digonl p Lnczos e um mtiz supeio de Hessenbeg, em Anoldi. Igulmente, é possível demonst que p A simétic, mtiz supeio de Hessenbeg eci num mtiz ti-digonl. A pti dest ccteístic, AINSWORTH JR. [18] desenvolveu em su Tese de Doutodo um fement numéic cpz de esolve qulque poblem de utovlo genelizdo tvés de um conjunto de otins implementds em lingugem Fotn, denominds po EIGENP, bseds no método de Lnczos/Anoldi com Reinício Implícito. Esse conjunto de otins foi incopodo o módulo DIN_1 p solução do poblem de utovlo d eq. (2.37) tvés de lgums modificções. O lgoitmo de ftoção de Anoldi é descito segui: 35

47 Algoitmo 2 Pseudocódigo d ftoção de Anoldi em k pssos se k 0 0, senão estende ftoção em mis j pssos (poblem genelizdo) [18]. 1: Entd: A, B, V v v v 2: k k j 0 3: Se ( k 0 ) então 0, H 0, f 0 k 0 1, 2, k 0 4: Ge o veto de ptid v 1, tl que v 1 1 5: 1 w1 B Av1 ; H1 v1 w1 ; 6: f1 w1 H1v1 ; 7: k 0 k0 1; 8: Fim se 9: Loop i k,, k 1: 0 10: i f i 11: f i vi V i 1 ; 1 V i, vi1 1 12: w i B Avi 1 i 1 H i 13: Hˆ i T iei T 14: h V i 1wi 1 H Hˆ h 15: i 16: f w V h i i1 i1 i1 17: Pocesso de Re-otogonlizção. 18: Fim loop 19: k k 0 T k k A e-otogonlizção menciond no psso 17 do lgoitmo 2 se fz necessái em vitude d ccteístic intínsec o pocesso de ped de otogonlidde d bse V ged. N fement implementd em [18], ess e-otogonlizção é elizd tvés do Pocesso de Gm-Schmidt. A pti d ftoção de Anoldi obtêm-se mtiz H (mtiz supeio de Hessenbeg), que equivle à mtiz do poblem de utovlo pojetdo no subespço. O poblem de utovlo eduzido, po conseguinte, é esolvido tvés d decomposição QR. À ftoção de Anoldi, no cso, é ssocid um tnsfomção espectl, com finlidde de se obte o subespço ssocido à fix espectl de inteesse [18]. No pesente tblho, fix espectl de inteesse coesponde à que possui s feqüêncis mis bixs. Além disso, como em pincípio não é conhecido o númeo de ciclos do 36

48 lgoitmo 2 necessáios p convegênci d ftoção Anoldi/Lnczos, com finlidde de melho o desempenho do método, ftoção é einicid com um veto de ptid pé-condiciondo, utilizndo um esttégi de einício implícito desenvolvid po SORENSEN [51], que dá oigem o Método de Anoldi/Lnczos com Reinício Implícito. O Algoitmo 2 most que um ftoção do tipo Anoldi/Lnczos é elizd tvés de opeções básics de álgeb line. Isso pemite que o pogm sej dptável difeentes fomtos de mzenmento ds mtizes A e B do poblem de utovlo n dimensão oiginl. Como já menciondo no item nteio, esttégi utilizd no pesente tblho consiste no mzenmento em pefil skyline ds mtizes de igidez, mss e de motecimento do sistem estutul diciondo dos sistems bsosoes, que conseqüentemente, fomm s mtizes do espço de estdos A e B d eq. (2.37). Sendo ssim, dequção do conjunto do EIGENP o poblem foi elizd tvés d doção de um estutu de ddos que conside que s mtizes são fomds po blocos equivlentes às mtizes K, M e C (ve o njo ds mtizes n eq. (2.36)), mzendos no fomto skyline. Igulmente o poduto mtvec, que efetu o poduto mtiz-veto, foi dptdo p ess estutu de ddos. Adicionlmente, esslt-se que o sistem desenvolvido em [18] foi implementdo p computção plel utilizndo ns opeções mtemátics, s bibliotecs BLAS ( Bsic Line Álgeb Subpogms ) e LAPACK ( Line Algeb PACKge ). A dptção desse sistem p o funcionmento em um PC foi elizd medinte destivção ds chmds em MPI (do inglês Messge Pssing Intefce ) do conjunto EIGENP no módulo DIN_1, tl como pé-compilção ds otins que compõem ests bibliotecs. 37

49 4 APLICAÇÃO Neste cpítulo seão pesentds s plicções dos conceitos e ds fements numéics descitos nos cpítulos nteioes p o estudo do compotmento estutul sob o efeito d dição de um ou mis bsosoes. O pimeio item deste cpítulo consiste no desenvolvimento de um metodologi p o pojeto de um ou mis bsosoes que contemple o fto destes dispositivos estem posiciondos em qulque locl d estutu. Esse estudo foi conduzido num vig metálic vindo-se configução d instlção desses dispositivos, tl como os pâmetos de clibção dos bsosoes com o intuito de se vli os níveis de edução máximos obtidos e outos spectos páticos que egem opção po um ou mis sistems bsosoes. O segundo item tt d investigção do compotmento estutul p situção em que um ou mis bsosoes estão clibdos p eduzi s vibções de um detemindo modo sendo que estutu possui outos modos de vibção cujs feqüêncis ntuis estão póxims deste modo em nálise. Esse estudo foi conduzido num lje vindo-se elção ente lgu e compimento de mnei vli influênci dos modos djcentes n clibção dos sistems de bsoção, bem como veific s possíveis difeençs ns esposts obtids pels dus fomulções desenvolvids neste tblho. 4.1 Aplicção 1: Análise de um Vig Bi-poid Confome menciondo nteiomente, neste item seá pesentdo o desenvolvimento de um metodologi p o pojeto otimizdo de um ou mis bsosoes. P tl, foi escolhid um estutu de ensio, montd no LADEPIS (Lbotóio de Dinâmic e Pocessmento de Imgens e Sinis) d COPPE, que já seviu de objeto de estudo p muitos tblhos, dente os quis o de MAGLUTA [17]. Est estutu é ilustd n Fig. 4.1 e consiste num vig de ço de seção et de 3 x 5/16, bi-poid, com vão live de poximdmente 1.5 m. 38

50 Fig. 4.1 Vist gel d estutu em estudo com tês bsosoes instldos [17]. P o cálculo ds feqüêncis ntuis e foms modis expesso pel eq. (2.2), est estutu foi modeld em elementos finitos utilizndo 16 elementos de pótico espcil com o uxílio do módulo DIN_0 descito no Cpítulo 3. Nest nálise fom clculdos os tês pimeios modos de vibção dest estutu. Com o intuito de se vli cuáci ds esposts obtids, estes vloes numéicos são confontdos n Tbel 4.1 com os vloes teóicos p um vig bipoid expessos em [43]: onde: - n é feqüênci ntul ngul do modo n; - E é o modo de elsticidde; - I é o momento de inéci; 2 EI n n (4.1) 4 ml - m é mss line, que coesponde o poduto d mss específic pel áe d seção tnsvesl; - L é o compimento d vig. 39

51 Tbel 4.1 Compção ente s feqüêncis ntuis teóics e s obtids no modelo numéico d estutu oiginl. Modo de vibção Feqüêncis ntuis (Hz) Teóico Numéico Eo Reltivo (%) 1º º º Obsev-se pel Tbel 4.1 que difeenç ente os vloes teóicos e os obtidos numeicmente são pticmente impeceptíveis, demonstndo que o módulo DIN_0 está funcionndo coetmente e que discetizção popost é suficiente p desceve o compotmento dinâmico dest vig. A mss modl ssocid estes modos pode se estimd como sendo, segundo teoi clássic [43], igul à metde de su mss totl. Neste cso, o vlo obtido é poximdmente igul 3.5 kg. Resslt-se que vlo semelhnte este tmbém foi obtido n nálise numéic elizd. Nest etp do tblho seá ddo enfoque à edução ds vibções ssocids o pimeio modo de vibção d estutu, cuj fom modl nomlizd em elção à mss modl é ilustd n Fig Sob o ponto de vist pático escolh deste modo é bstnte coeente, pois em estutus flexíveis, é muito comum que o especto ds ções possu enegi n fix de feqüênci em que se encont pimei feqüênci ntul d estutu. Fig. 4.2 Fom modl do 1º modo de vibção d vig, nomlizd em elção à mss modl. 40

52 P comptibiliz os esultdos numéicos com os expeimentis obtidos em [17] p vig simples (feqüênci ntul ssocid o 1º modo de vibção d vig em 8.23 Hz) foi elizdo o juste d feqüênci ntul do pimeio modo. P este juste foi necessáio eduzi igidez à flexão, EI, dotd inicilmente em 5 %. Resslt-se que desvios dest odem são nomis qundo se tblh com ddos eis, um vez que existe um séie de incetezs n modelgem tis como: espessu coet d vig o longo de seu compimento, o módulo de elsticidde, etc. Expeimentlmente tx de motecimento ssocid o pimeio modo foi estimd em 0.68 % [17]. Assumindo que o compotmento d estutu oiginl pode se epesentdo pel hipótese de Ryleigh e que est é popocionl somente à mss (isto é, b = 0, vide eq. (3.1)), é possível obte o pâmeto e mtiz de motecimento d estutu. Com o objetivo de veific s fomulções desenvolvids, foi simuld instlção de um bsoso no meio do vão, que coesponde o vente do modo, locl onde coodend modl p o pimeio modo é máxim, tl como ilustdo n Fig Confome poposto em [17], o bsoso foi clibdo com feqüênci ntul de 8.1 Hz e coeficiente de motecimento de 2.0 N.s/m. Neste tblho esse sistem bsoso seá designdo de sistem S1. A Tbel 4.2 most um qudo comptivo ente lgums esposts obtids em [17] e s do pesente tblho obtids nliticmente e numeicmente. O efeito d inclusão do sistem S1 ns foms modis está epesentdo pels coodends modis desse sistem bsoso, que estão nomlizds em elção às coodends modis do vente do modo, no cso o meio do vão live, e estão pesentds n Tbel 4.2 utilizndo notção pol (módulo x fse). 41

53 Tbel 4.2 Qudo comptivo dos pâmetos modis d estutu contold. Modo Feqüênci Ntul (Hz) Tx de Amotec. (%) Coodends Modis (S1) Expeimentl [17] Numéico [17] Anlítico º Numéico º Expeimentl [17] b Numéico [17] Anlítico º Numéico º Os esultdos pontdos pel Tbel 4.2 mostm que s esposts obtids p s feqüêncis ntuis e txs de motecimento pesentm bo cuáci com elção às obtids em [17]. Isso signific que mbs s fomulções pesentds neste tblho, nlític e numéic, estão funcionndo dequdmente. Outo ponto inteessnte se efee às coodends modis obtids. A fom modl d estutu em mbos os modos 1. e 1.b é bem semelhnte à fom modl d estutu oiginl ilustd n Fig A difeenç se dá extmente com elção à fse ente estutu e o bsoso. No modo 1. o bsoso está em fse com estutu o psso que no modo 1.b o bsoso se move em sentido contáio. A intodução d constnte de motecimento do bsoso S1 ge um pequen defsgem ness elção ente os deslocmentos do bsoso e estutu, como most Tbel 4.2. A Fig. 4.3 pesent FRF estimd no meio do vão d estutu oiginl e com o bsoso S1. Pode-se obsev nest figu bo eficiênci obtid o se utiliz o sistem de bsoção. 42

54 0.008 Deslocmento / Foç (m/n) Oiginl C/ bsoso S Fequênci (Hz) Fig. 4.3 FRF d estutu oiginl e d estutu com o bsoso S1 instldo. A eficiênci lcnçd com utilizção do sistem de bsoção pode se quntificd tvés de um expessão que conside elção ente o mio pico do módulo d FRF oiginl e com bsoso: / Redução (%) A 1 c bs 100 Aoig (4.2) Aplicndo ess expessão n FRF ilustd n Fig. 4.3, edução decoente d instlção do bsoso S1 pode se estimd neste cso em 80 %, qul é bstnte significtiv. De um mnei gel, doção de mioes msss p os bsosoes implicm em mioes níveis de eduções desde que os mesmos sejm devidmente clibdos. MAGLUTA [17] pont em seu tblho que, pti de um elção de mss ente mss do bsoso e mss modl d estutu de poximdmente 0.20, dição de mss não cet em gndes gnhos de eficiênci. N pesente nálise elção de mss utilizd encont-se n fix de Isso signific que busc po um eficiênci mio deste dispositivo não pode pti pelo cminho do céscimo de mss. Sendo ssim, o céscimo de eficiênci deve se lçndo po meio de um busc pel clibção ótim do sistem de bsoção ou ltentivmente, pel doção de múltiplos bsosoes como seá visto mis dinte. Mesmo poque utilizção de elções de msss elevds tem um fote limitnte pático, pinciplmente p estutus que não fom pojetds considendo est sobecg. 43

55 Um vez que mss do bsoso é tomd como fix, clibção deste dispositivo se dá pel escolh d igidez k e do coeficiente de motecimento c que conduzm às melhoes esposts estutuis. Esses dois pâmetos são encontdos comumente n litetu, de fom indiet, tvés d elção ente feqüênci ntul do bsoso e d estutu e d tx de motecimento do bsoso. No cso do bsoso S1 dotdo em [17], cuj espost d estutu já foi ilustd n Fig. 4.3, esses pâmetos podem se estimdos em e 4.0 %. As Fig. 4.4 (-b) esboçm um estudo pmético elizdo p ess vig onde é mostdo o compotmento do módulo d FRF d estutu diciond do bsoso S1 vindo-se um destes dois pâmetos po vez. () (b) Fig. 4.4 FRF do sistem estutu + bsoso S1 vindo-se () e (b). 44

56 Anlisndo Fig. 4.4., é possível not que p vloes de menoes que o dotdo peliminmente, o vlo máximo ds esposts se dá no 2º pico d FRF, efeente o modo 1.b. À medid que o vlo desse pâmeto ument, pecebe-se que mplitude d FRF p esse modo 1.b diminui o psso que o 1º pico, ssocido o modo 1. ument, pssndo este então possui mplitude máxim d espost. Isso most que influênci do pâmeto n clibção do bsoso se dá no blncemento d Função de Tnsfeênci. Já vição do pâmeto ilustd n Fig. 4.4.b indic que o efeito deste n clibção do bsoso se dá tvés d unifomizção ds mplitudes ds esposts. À medid que esse pâmeto cesce mplitude d nti-fequênci, vle compeendido ente os dois picos [17], sobe o psso que mplitude desses picos ci. Potnto, clibção do bsoso consiste n mnipulção destes dois pâmetos de tl fom que os níveis de edução, ddos pel expessão (4.2) sejm mximizdos. No cso, o se obtido, que está elciondo com clibção d igidez d mol do bsoso, coesponde àquele que conduz um FRF mis blnced possível, isso é, cujos dois picos sejm poximdmente de mesm mgnitude. D mesm mnei o, ssocido com clibção d constnte de motecimento, coesponde àquele que cete num unifomizção dest FRF. Sendo ssim é possível fim, pelo que foi discutido e pelo disposto ns Fig. 4.4 (-b), que n clibção deste sistem de bsoção, os pâmetos ótimos encontm-se nos intevlos 0.9 ot 1. 0 e ot A estimtiv dos pâmetos ótimos pode-se d então po meio de buscs numéics ou nlítics. Voltndo à nálise d Fig. 4.4.b é possível constt que vição de não fet espost d FRF em dois pontos, designdos P e Q. Isso indic que os dois pâmetos e podem se tblhdos sepdmente. DEN HARTOG [22] ptindo dess pemiss demonstou nliticmente que clibção ótim do bsoso é obtid seguindo seguinte esttégi: o ótimo é tingido qundo do tendimento d condição de que s mgnitudes d FRF nos pontos P e Q sejm iguis, o que ge um FRF pefeitmente blnced. Em seguid obtêm-se o ótimo pelo tendimento de que vição desss mgnitudes n feqüênci sej igul zeo. 45

57 Desse modo, FRF obtid utilizndo um bsoso clibdo tvés ds expessões de Den Htog fonece um bo estimtiv d edução máxim possível. Esss expessões podem se escits em função de um dd elção de mss ef ente o bsoso e mss efetiv d estutu: 1 1 ef 3 ef 8 1 ef (4.3) A mss efetiv d estutu coesponde à mss modl equivlente p o ponto em que está situdo o bsoso, dd po m p 2 /, onde é coodend modl do ponto [25]. A Fig. 4.5 ilust FRF obtid utilizndo s expessões de Den Htog p um bsoso de 0.5 kg ( = 0.14) pimeimente situdo no meio do vão e depois um quto do vão, sendo pesentds ests esposts o ldo ds poduzids pel clibção pelimin. Fig. 4.5 Respost ótim d FRF d estutu utilizndo Den Htog. Obsev-se pel Fig. 4.5 que s esposts estimds pels expessões de Den Htog pesentm níveis de edução bem supeioes os obtidos utilizndo clibção pelimin, p s dus posições testds. A edução p o cso do bsoso situdo no 46

58 meio do vão pode se estimd em 95 % enqunto que p o cso do bsoso situdo um quto do vão ess edução pode se estimd em poximdmente 93 % em contposição os 80 % estimdos p o bsoso dotdo inicilmente. De fto, como tx de motecimento dess estutu é muito bix (vlo estimdo de 0.68 % [17]), o modelo nlítico dess vig diciond de um bsoso se ton muito póximo do modelo clássico investigdo po Den Htog, onde o sistem pincipl não possui motecimento, conduzindo dest mnei às eduções máxims p est estutu e os pâmetos ótimos p este bsoso. Pode-se demonst que p vloes de tx de motecimento supeioes os estimdos p est vig, os pontos P e Q ilustdos não estão bem definidos e, po conseguinte, esttégi dotd po Den Htog que pemitiu obtenção ds expessões (4.3) difee d clibção ótim. Neste cso é necessái um busc numéic p obte esses pâmetos ótimos. É possível conclui tmbém que colocção do bsoso fo do vente do modo cet num ped inevitável de eficiênci. Entetnto, est ped pode se menos significtiv, desde que sej considedo no pojeto deste dispositivo que clibção ótim depende do ponto de instlção do mesmo. Embo doção de um bsoso tenh sido bstnte eficiente n edução dos picos d FRF, tx de motecimento necessái p o bsoso é extemmente elevd, n fix de 22 % (p o cso do bsoso um meio do vão) 16% (bsoso situdo um quto do vão), tonndo-se muito difícil de se lcnçd n pátic. Além disso, incetezs qunto à feição d feqüênci ntul d estutu e qunto à clibção dos bsosoes o longo do tempo podem compomete eficiênci destes dispositivos. Est últim pode se contond po um mnutenção peventiv do sistem bsoso. Já incetez qunto à feição d feqüênci ntul é ineente o compotmento estutul visto que s ções, que em gel não são deteminístics, como po exemplo, de cgs de multidão, integem com estutu, fetndo sus ccteístics modis [4]. Um ltentiv sei doção de mis de um bsoso tundo sobe estutu. A idéi consiste em distibui mss totl do bsoso em váios com msss menoes, sendo cd qul clibdo p tblh num detemind feqüênci. Como seá visto mis dinte, isso popocion mio confibilidde o sistem de bsoção, lém do que como s msss são menoes, s foçs dos bsosoes sobe estutu e po conseqüênci, s tensões locis, tmbém o são. 47

59 Um nov viável que suge neste cso é o esplhmento em feqüênci dos bsosoes. Ess viável pode, de um modo gel, se epesentd po um pâmeto dimensionl, designdo simplesmente po lgu de bnd nomlizd [28], ddo pel elção d difeenç ente mio e meno feqüênci desses bsosoes pelo vlo médio ds feqüêncis desses sistems. No cso em que n sistems bsosoes são instldos, distibuídos unifomemente num fix de feqüênci, n 1 médio / e feqüênci de clibção de um j-ézimo bsoso qulque deste conjunto é obtid pel seguinte expessão: n 1 j médio 1 j (4.4) 2 n 1 Sendo ssim, considee então que o bsoso S1 instldo no meio do vão fosse substituído po um conjunto de dois ou tês sistems bsosoes, designdos espectivmente po S2 e S3, com mesm elção de mss p todos os sistems totlizndo mesm elção de mss em S1, 0. 14, com tl como s txs de motecimento destes sistems fossem mntids s mesms do bsoso pelimin, ou sej, 4.0 %. Abitndo p esses dois conjuntos, são obtidos p os pâmetos dos sistems bsosoes em S2 e S3, espectivmente: S2. ( 0. 86) e S2.b ( ); S3. ( 0. 86), S3.b ( 0. 96) e S3.c ( ). Po conseguinte, têm-se ssim definids s clibções dos dois conjuntos. As fements desenvolvids neste tblho já fom testds p s esposts obtids em temos dos pâmetos modis do sistem n situção em que um bsoso é diciondo à estutu demonstndo o bom funcionmento ds dus fomulções implementds. Com o intuito de vli se o mesmo vle p situção em que múltiplos bsosoes estão diciondos, foi elizdo um teste no qul fom instldos os dois sistems de bsoção do conjunto S2 sendo o pimeio bsoso, S2., loclizdo no meio do vão e o segundo, S2.b, situdo um quto do vão d vig. A Tbel 4.3 most coelção dos pâmetos modis obtidos pels dus fomulções desenvolvids. As coodends modis dos bsosoes estão, como n veificção nteio, nomlizds em elção às coodends modis do vente do modo. médio 48

60 Tbel 4.3 Pâmetos modis, coelção fomulção nlític x numéic p estutu com o sistem S2. Modo Feqüênci Ntul (Hz) Tx de Coodends Modis Amotec. (%) S2. S2.b 1. 1.b 1.c Anlítico º º Numéico º º Anlítico º º Numéico º º Anlítico º º Numéico º º A bo coelção ente os vloes numéicos e os nlíticos d Tbel 4.3 compov mis um vez bo pefomnce ds fements desenvolvids. Em especil, esses pâmetos modis encontdos testm que o modelo nlítico poposto neste tblho pode se utilizdo p o pojeto de múltiplos bsosoes instldos em quisque pontos desde que estutu possu feqüêncis ntuis bem espçds. Dest fom, s póxims nálises neste item podem se conduzids pens com fomulção nlític. As coodends modis dos bsosoes S2. e S2.b mostm que dição de dois bsosoes funcion de mnei semelhnte situção de um sistem com um bsoso: no modo 1., os dois bsosoes compnhm o deslocmento d estutu; no modo 1.b, o bsoso S2.b compnh o movimento d estutu o psso que o bsoso S2. se move em sentido contáio; po fim no modo 1.c mbos os bsosoes se movem em sentido contáio o movimento d estutu. Além disso, bo coelção ente s coodends desses sistems obtids pels dus fomulções most que intodução do sistem de bsoção n vig não lte s foms modis dos modos gedos em elção à fom do modo oiginl. O póximo psso d nálise foi simulção d instlção dos dois conjuntos de sistems de bsoção S2 e S3 já definidos nteiomente com todos os dispositivos situdos no meio do vão d vig. A Fig. 4.6 pesent FRF d vig com esses dois conjuntos, juntmente com s esposts obtids p o sistem S1 e estutu oiginl. 49

61 Fig. 4.6 FRF d estutu diciondo de 2 ou 3 bsosoes deivdos do bsoso pelimin. Como pode se obsevdo n Fig. 4.6, instlção de cd sistem de bsoção implic no umento de um modo de vibção em tono d feqüênci ntul d estutu oiginl e, s nti-fequêncis coespondem às feqüêncis ns quis clibção dos bsosoes foi elizd. Como o bitdo é igul p esses dois csos, pode-se obsev que s nti-fequêncis dos extemos coincidem. De um modo gel, clibção de um sistem de edução com n bsosoes de msss iguis pode se elizd então tvés do juste de tês pâmetos fundmentis:, e. P um melho entendimento d influênci de cd um destes pâmetos no compotmento estutul pesentm-se ns Fig. 4.7 (-c) os esultdos obtidos com o estudo pmético elizdo d vig com o conjunto de sistems S3 situdos no meio do vão. 50

62 () (b) (c) Fig. 4.7 FRF do sistem estutu + S3 vindo-se () (b) e (c). 51

63 A Fig most que à medid que o pâmeto ument há um lgmento d bnd de feqüêncis ente o pimeio e o último pico, e que s mplitudes máxims tendem se desloc dos picos ds extemiddes p os centis. Isso signific que influênci do pâmeto n FRF se dá no sentido de unifomiz s mplitudes dos picos. Obsev-se ns Fig. 4.7 (b) e (c) s quis pesentm, espectivmente, os esultdos ssocidos às vições dos pâmetos e 52, um compotmento bstnte simil o pesentdo p um sistem com um único bsoso, isto é, o pâmeto fet simeti ente os picos, o psso que influenci mgnitudes dos picos e os vles d FRF. Apes de esse estudo pmético sevi p pont influênci de cd um dos pâmetos, e de se obsev n Fig. 4.7.c existênci dos pontos P e Q tl como n Fig. 4.4.b, não existem modelos teóicos p obtenção dos pâmetos ótimos confome pesentdo p um único dispositivo. Assim sendo, clibção ótim p múltiplos bsosoes só pode se obtid numeicmente, ou ltentivmente, po técnics vicionis como s utilizds po IGUSA e XU [31]. Embo expessões nlítics com s de Den Htog não existm p múltiplos bsosoes, s expessões obtids po JANGID [34] po meio de justes de cuvs oiunds de buscs numéics p um modelo clássico como o investigdo po Den Htog, onde o sistem pincipl não possui motecimento, fonecem um bo estimtiv d clibção ótim p múltiplos bsosoes. Esss expessões podem se encontds no ANEXO B. As pemisss dotds nest fomulção são semelhntes às dotds p os conjuntos de bsosoes S2 e S3 do estudo pelimin. A clibção dos sistems de bsoção consiste n distibuição unifome ds feqüêncis dos bsosoes podendo se escit em função dos pâmetos, e com difeenç que, de modo se ti vntgem d fbicção homogêne ds mols, seguindo popost de XU e IGUSA [28], igidez é tomd como fix vindo-se mss destes dispositivos. Sendo ssim, s expessões de Jngid podem se encds como um genelizção ds expessões de Den Htog p um sistem com múltiplos bsosoes instldos. Entetnto, esss expessões fom encontds p situção em que todos os bsosoes estão situdos no mesmo ponto. Po questões de disponibilidde do espço físico necessáio o sistem de bsoção nem sempe pode fic concentdo num

64 mesmo locl d estutu. A idéi no pesente tblho consiste em distibui esses sistems bsosoes o longo d estutu. Apes de se esped um ped de eficiênci, visto que pte dos bsosoes cb ficndo distnte do vente do modo, ess medid pesent vntgens pátics de instlção que podem pevlece n escolh do sistem de bsoção se dotdo. Como s expessões de Jngid não são plicáveis p ess situção, p obtenção d clibção ótim de um conjunto de sistems de bsoção distibuídos n estutu, foi implementdo um pocedimento de otimizção copldo à fomulção nlític. A esttégi dotd foi plicção de um pocedimento que contemplsse minimizção dos máximos do módulo d FRF d estutu e o mesmo tempo considesse minimizção ds difeençs ente os picos e vles d FRF, de modo que mesm ficsse o mis blnced possível. Desse modo, tem-se um poblem de Otimizção Multi-objetivo, em que se busc melho solução tendendo dois ou mis objetivos em gel conflitntes, demndndo utilizção de fements mis sofisticds que s disponíveis pelo pcote do MthCd [52], como po exemplo, técnic de otimizção Gol Pogmming utilizd po MAGLUTA [17]. No pesente estudo, este poblem foi contondo tvés d doção de um Função Alvo que considesse os dois objetivos pondedos po pesos. Em síntese, o poblem em questão consiste n minimizção de um Função Alvo dd pel seguinte equção: onde, n F( Y) PMx. H ( P A i A (4.5) 1 ) 2 i1 A i é o i-ézimo pico ou vle d FRF, A médi dos picos e vles, e P 1 e P 2 pesos dotdos p ponde impotânci dd cd um dos objetivos dento d Função Alvo. Obtêm-se como esultdo d minimizção d Função Alvo s viáveis de decisão Y, que fonecem os pâmetos ótimos dos bsosoes. Fom escolhids como viáveis de decisão, s elções ente feqüênci ntul de cd bsoso e feqüênci ntul d estutu, i, e tx de motecimento dos bsosoes,. P delimit s fixs em que seão elizds s buscs pelos pâmetos ótimos, fom imposts s seguintes estições: 53

65 inf sup inf 1 sup inf n sup (4.6) onde, os índices epesentm limites supeioes e infeioes dento dos quis espe-se que os pâmetos possm vi. Tem-se ssim expess esttégi dotd p obtenção dos pâmetos ótimos, ot e ot. Potnto, esttégi dotd difee d utilizd no estudo pmético, tl como d popost po XU e IGUSA [28] e utilizd po JANGID [34] onde clibção do sistem de bsoção se dá pel obtenção dos pâmetos, e já pesentdos. Um conseqüênci diet disto é que o númeo de viáveis de decisão depende do númeo de bsosoes. A escolh po ess esttégi em detimento d bodd nteiomente é justificd pelo fto de que, como os bsosoes estão posiciondos em locis distintos, clibção dos bsosoes distibuídos unifomemente n feqüênci e, potnto, utilizção do pâmeto, não gnte um FRF blnced. Como distibuição ds feqüêncis dos bsosoes não segue um pdão, p que solução ótim não tendesse sempe p mss totl concentd no bsoso situdo n coodend de mio mplitude modl d estutu, s msss dos bsosoes são fixds, estndo distibuíds unifomemente nesses dispositivos. Com o intuito de vli o desempenho desse pocedimento de otimizção, clibção de um sistem com pens um bsoso instldo n estutu foi testd. Após mnipulção dos pesos, fom obtidos com bo cuáci os mesmos pâmetos e expessos ns fómuls de Den Htog. Isso pov que o pocedimento implementdo funcion. Entetnto, tendo em vist poblems de convegênci, busc pelos pâmetos ótimos pode se ton bstnte tblhos visto que o pocesso exige um vedu dos pesos d Função Alvo que conduzm às soluções ótims. Como bse do pocedimento de otimizção eside n minimizção do máximo do módulo d FRF d estutu, este pocedimento pode se chmdo simplesmente de MinMx. A fim de veific eficiênci dest metodologi, foi elizd um nálise buscndo os pâmetos ótimos p dois, tês e cinco bsosoes todos instldos no vente do modo, isto é, no meio do vão. As FRF s ssocids estes esultdos são 54

66 pesentds n Fig. 4.8 compds com s obtids utilizndo-se os pâmetos de Jngid. Adicionlmente, nest figu tmbém é pesentd espost obtid p um único sistem clibdo utilizndo fomulção de Den Htog. Fig. 4.8 Respost ótim d FRF d estutu utilizndo Jngid e MinMx. Pode-se obsev n Fig. 4.8 tvés ds esposts obtids em temos ds FRF s que os níveis de edução dotndo-se múltiplos bsosoes o invés de pens um, desde que devidmente clibdos, encontm-se n mesm fix dos pesentdos p o cso de um bsoso. As eduções obtids plicndo s expessões de Jngid podem se estimds em poximdmente 94.5 % p s tês situções nlisds (dois, tês ou cinco bsosoes instldos) o psso que s eduções obtids empegndo o pocedimento MinMx podem se estimds em 95.3, 95.5 e 95.7 %, espectivmente. Estes esultdos demonstm que o pocedimento poposto pesent um bo consistênci em elção o de Jngid, e s difeençs pesentds pelos dois métodos podem se devids o fto de esttégi de otimizção dotd po Jngid difei d pesentd neste tblho. O estudo de Jngid foi diigido p estutus sob excitção de bse, tendo como objetivo minimizção do FAD ( Fto de Amplificção Dinâmic ) dos deslocmentos. Além disso, os bsosoes são distibuídos de mnei unifome o longo de um fix de feqüênci, vindo-se mss e fixndo-se igidez dos bsosoes. No pocedimento MinMx, s msss são, confome já menciondo, iguis e o pogm possui libedde qunto à distibuição em feqüênci 55

67 dos bsosoes. A Fig. 4.9 ilust compção d distibuição dos pâmetos obtidos com s dus metodologis. Fig. 4.9 Distibuição n feqüênci dos bsosoes. Pecebe-se pels eduções obtids pelo pocedimento MinMx que doção de um númeo mio de bsosoes cet num ligei melho d eficiênci, poém pouco epesenttiv. O gnde gnho d opção po váios bsosoes pode se vlido, po exemplo, em temos ds menoes txs de motecimento necessáis n clibção ótim. As txs de motecimento obtids pel fomulção de Jngid p s nálises elizds são n odem de 14.6, 11.6 e 9.0% p dois, tês ou cinco bsosoes instldos, espectivmente, o psso que s obtids pel busc numéic são um pouco infeioes, 12.4%, 9.0 e 7.0%, espectivmente. Poém, ests txs são bem infeioes que estimd p o cso de pens um bsoso, 22 %. Estes esultdos demonstm que doção de mis de um bsoso pece se um solução bstnte tente, hj vist su eficiênci no que concene os níveis de edução obtidos e s menoes txs de motecimento necessáis p clibção ótim destes dispositivos. Além dests vntgens, ind se pode slient o fto ds msss seem bem infeioes individulmente, o que tz gnde fcilidde pátic p su instlção. Apes ds conclusões cec ds vntgens d doção de múltiplos bsosoes o invés de um bsoso possuindo mesm mss totl, est medid demnd mis espço físico p instlção desses dispositivos. Desse modo, locção de todos os 56

68 bsosoes no vente do modo, locl que conduz os mioes níveis de eduções, tonse muits vezes inviável em temos páticos. Um ltentiv p conton est limitção, sei distibuição dos bsosoes o longo d estutu. P vlição dest medid, fom elizds s nálises de dois, tês e cinco bsosoes, como já exemplificds nteiomente, distibuídos n vig go d seguinte mnei: Dois bsosoes: um situdo no meio do vão e outo bsoso situdo um quto do vão; Tês bsosoes: um no meio do vão, um um quto do vão e outo tês qutos do vão; Cinco bsosoes: um no meio do vão, um um quto do vão, um tês qutos do vão, um tês oitvos e outo cinco oitvos do vão live. Nest situção, como os bsosoes estão situdos em posições distints, um vlição pelimin utilizndo s expessões de Jngid pede o sentido um vez que esss expessões fom obtids p situção em que todos os bsosoes estão situdos n mesm posição. O pocedimento MinMx desenvolvido, lido à fomulção nlític pesentd, pemite obtenção d clibção ótim p bsosoes situdos em posições distints. Um viável mis que suge go é distibuição em feqüênci dos bsosoes em função de sus posições n estutu. Se est viável não fo devidmente consided no pocesso de otimizção, espost pode convegi p um mínimo locl. É zoável se fim que distibuição em feqüênci dos bsosoes que conduz à solução ótim segue um pdão em função de su posição n estutu. Pode se, po exemplo, que os bsosoes posiciondos ns menoes coodends modis d estutu devm se clibdos de modo possuíem s feqüêncis mis lts. Est situção, foi chmd neste tblho de cso A. Out situção plpável de ocoe, é o inveso, ou sej, os bsosoes mis póximos do vente modl coespondem os de clibção mis lt em feqüênci. Est situção foi denomind cso B. Relizndo-se nálise dests dus situções, obtêm-se s soluções ótims p dois, tês ou cinco bsosoes instldos ns posições já mencionds. As FRF s obtids dests nálises são pesentds n Fig coelcionds com FRF de um único bsoso (S1) instldo no meio do vão clibdo com Den Htog. 57

69 Fig FRF d estutu diciond de 2, 3 ou 5 bsosoes clibdos pelo pocedimento MinMx p s situções A e B. Atvés d Fig é possível conclui que, de um modo gel, colocção dos bsosoes de mnei distibuíd n estutu pode esult em vloes póximos dos níveis de eduções pesentdos p o cso em que um sistem de bsoção é instldo no vente do modo. Além disso, s eduções obtids p mbs situções estudds A e B encontm-se n fix de %, o que demonst tvés d coelção dos gáficos ds Fig. 4.8 e Fig que instlção de múltiplos bsosoes fo do vente po um questão de limitção físic, não implic num ped epesenttiv de eficiênci. Os vloes encontdos p s txs de motecimento dos bsosoes tmbém se situm n fix dos vloes obtidos nteiomente p o cso dos bsosoes no vente do modo: 10.8, 8.0 e 7.2 % p situção A e 8.7, 7.9 e 7.8 % n situção B p dois, tês e cinco bsosoes instldos, espectivmente. Aind que mbs s situções tenhm pesentdo bos eduções, nlisndo Fig é possível constt que n situção A, FRF encont-se mis blnced. Isso se deve o fto dos bsosoes encontem-se melho distibuídos que n situção B. Sendo ssim, pode-se induzi que clibção ótim pesentd n configução A possui mio obustez que clibção d configução B e, potnto, é esttégi mis ecomendável no pojeto dos bsosoes. 58

70 Como e pevisto, clibção ótim dos bsosoes neste cso é difeente d clibção p configução em que todos os bsosoes estão concentdos no vente. A Fig pesent distibuição em feqüênci dos bsosoes p s dus configuções bodds neste tblho, bsosoes concentdos no vente e distibuídos o longo d estutu, nomlizd em elção à feqüênci ntul d estutu. Fig Distibuição n feqüênci dos bsosoes p tês situções distints. Compndo os vloes pesentdos n Fig. 4.11, é possível obsev que lgu de bnd de distibuição dos bsosoes n feqüênci, p configução em que os bsosoes estão distibuídos n estutu, situções A e B, é meno que lgu de bnd d configução em que todos os sistems estão concentdos no vente. Tmbém é possível se constt que situção A conduz à clibção mis blnced dente s tês, visto que os bsosoes estão espçdos de mnei mis unifome. Igulmente, nest situção A, clibção médi dos bsosoes, ou sej, médi ds elções de feqüênci dos bsosoes é ligeimente mio que ns demis situções. Isto pode se explicdo pelo fto de que elção de mss efetiv é lted um vez que os bsosoes estão posiciondos em pontos distintos d estutu. As Fig e Fig b pesentm, espectivmente, edução e tx de motecimento obtids com o númeo de bsosoes o longo d estutu. Estes esultdos são compdos com situção em que pens um bsoso é instldo. Cbe esslt que situção fo do vente pesentd nestes gáficos p fo do vente 59

71 equivle o cso A p 2, 3 e 5 bsosoes o psso que p um bsoso est situção equivle um bsoso instldo um quto do vão. () (b) Fig Compção ds eduções () e txs de motecimento (b) ótims p múltiplos bsosoes instldos no vente do modo e distibuídos o longo d estutu. Obsev-se n Fig que, o se desloc um único bsoso p fo do vente existe um gnde ped de eficiênci, poém o se distibui em váios bsosoes este fto cb não sendo tão elevnte. Adicionlmente tmbém pode se obsevdo nest figu que à medid que é utilizdo um númeo mio de bsosoes, eficiênci gel tende ument e difeenç ente est ou não no vente tende ci. Out vntgem que se pode veific (vide Fig b) é que os vloes necessáios p s txs de 60

72 motecimentos pesentm um decéscimo bstnte elevdo à medid que é utilizdo um mio númeo de bsosoes. Estes esultdos demonstm clmente eficiênci que pode se lcnçd com utilizção de váios bsosoes. 4.2 Aplicção 2: Análise de um Lje O estudo desenvolvido p um vig utilizndo-se múltiplos bsosoes, clibdos de tl fom eduzi os deslocmentos ssocidos um modo isoldo, demonstou que fomulção nlític pesent um bo coelção com modelgem mis complet, isto é, po elementos finitos. Sendo ssim, pode-se fim que ess fomulção é mis ttiv, visto o meno custo computcionl envolvido. Entetnto, est fomulção nlític do poblem possui limitções. Isso se deve o fto dest fomulção pti d hipótese simplificdo de que os modos de vibção d estutu podem se descopldos pioi, desconsidendo o efeito d inteção ente os modos de vibção. Est hipótese em gel é válid, desde que feqüênci ntul do modo se contoldo estej suficientemente espçd ds demis feqüêncis ntuis d estutu. Confome já menciondo, n medid em que o gu de complexidde de um estutu ument, est pemiss ton-se cd vez menos elist. Com o objetivo de vli o compotmento de um sistem estutul diciondo de múltiplos bsosoes no cso em que dus ou mis feqüêncis ntuis d estutu pesentem ente si pequens difeençs, foi elizd nálise de um lje qul é pesentd neste item. Est nálise lém de busc vli utilizção de múltiplos sistems de bsoção p edução dos níveis de vibção, tmbém busc veific cuáci d fomulção nlític compndo-se sus esposts com s obtids pel fomulção mis complet elizd tvés de elementos finitos. P est nálise foi consided inicilmente um plc de lumínio etngul de dimensões 2.0 m x 1.5 m com 5 mm de espessu e poid nos seus quto bodos. De fto, um plc pesentndo ests ccteístics foi montd no LADEPIS e um vist gel dest estutu é mostd n Fig

73 Fig Vist gel d estutu de ensio d plc de lumínio do LADEPIS. Ess estutu foi modeld po elementos finitos utilizndo 144 elementos de csc, sendo su mlh ged pelo pogm GID. A esolução d eq. (2.2) utilizndo o módulo DIN_0 do pogm desenvolvido fonece s feqüêncis ntuis e os modos de vibção nomlizdos em elção à mss. As Fig (-c) ilustm os tês pimeios modos obtidos, sendo estes nomlizdos em elção à mss modl, que neste cso é estimd em 10.2 kg p todos os modos, vlo equivlente um quto d mss totl, tl como pevê teoi clássic [43]. () (b) 62