2. Métricas espaciais

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1 . Métrcas espacas.. Defnções Um dos aspectos mas relevantes no planejamento de um sstema logístco é a defnção da localzação dos pontos que formam uma cadea de suprmentos. Esses pontos são, normalmente, assocados a fornecedores, produtores, armazéns, depóstos e clentes, ou quasquer outros elementos de uma rede logístca para os quas é possível demarcar sua posção geográfca. A defnção da posção geográfca desses pontos contrbu, sobremanera, para reduzr custos de transportes, mnmzar tempo de atendmento, mamzar a satsfação do clente ou otmzar alguma medda de utldade que reflta as estratégas adotadas por uma cadea de suprmento. Tem-se, portanto de buscar métodos de análse que resolvam problemas de localzação geográfca dos pontos de uma cadea de suprmento, medndo de forma acurada as dstâncas entre esses pontos e procurando stuá-los de forma otmzada sob restrções de capacdade de produção, transporte, tempos e custos. De níco, uma característca mportante na análse de problemas de localzação é a restrção de percurso. Quando há condconantes de camnho entre dos pontos de uma cadea de suprmentos, fca-se dante de uma rede, onde os nós são os pontos já menconados e os camnhos são os arcos da rede. A análse de rede representa, de forma geral, os problemas de localzação sob um sstema de transporte em uma malha já defnda, onde se tem determnadas as possbldades de percursos. A otmzação de percursos em uma rede é tratada através de grafos e não será menconada nesta dssertação. PIZZOLATO [003] comenta que, quando não há restrção de percurso, pode-se dzer que há um conjunto nfnto de tneráros entre dos pontos, que, para os casos tratados nessa dssertação, este conjunto estara no mesmo plano. Este tpo de análse sem restrção de percurso se presta, por eemplo, para localzação de nstalações petrolíferas no mar ou para a defnção de pontos de dstrbução de servços elétrcos, telefôncos e de água. Também, pode-se utlzar esta abordagem para projetos de rede com restrções no percurso, onde há um número epressvo de confgurações, sem a necessdade de resultados detalhados. Um eemplo para esses casos ocorre, geralmente, em áreas geográfcas amplas,

2 8 onde os pontos, a serem determnados, podem ser cdades. estes casos agregamse os dados, smplfcando a análse e encontrando respostas menos precsas porém mas rápdas. Dante dessas ocorrêncas, ttula-se esse tpo de análse como análse agregada. a análse agregada sem restrções de percurso, o prmero passo para o problema de localzação de pontos é a defnção da métrca que se utlzará para a mensurar as dstâncas entre esses pontos. As métrcas mas utlzadas são a Métrca Eucldana e a Métrca Retangular. Conforme PIZZOLATO [003], a Métrca Eucldana utlza-se do prncípo de que o camnho mas curto entre dos pontos é uma reta e a mensuração dessa reta provém da geometra básca desenvolvda por Eucldes. A Métrca Retangular é mas utlzada em rede de artéras urbanas por ser mas coerente com os traçados perpendculares das rotas consttuídas de ruas e avendas, normalmente, ebdos nas cdades modernas ou planejadas. A Métrca Retangular é referencada, mutas vezes pelos autores norte-amercanos, como Métrca de Manhattan ou Métrca Metropoltana, devdo ao delneamento da rede urbana de transportes da Ilha de Manhattan na cdade de ew Yor. As dstâncas entre dos pontos nas métrcas eucldana e retangular podem ser defndas da segunte forma: Y B (XB,YB) A (XA,YA) Dstânca Eucldana Dstânca Retangular X Fgura Dstânca Eucldana e Retangular Dstânca Eucldana: DE AB [( X ) ( ) ] / A XB + YA YB

3 9 Dstânca Retangular: DR AB [ XA XB + YA YB ] a prátca, numa cadea de suprmento, raramente tem-se um trajeto entre dos pontos em forma de uma lnha reta ou de forma retangular tão clássca quanto da Ilha de Manhattan. ormalmente as dstâncas efetvas entre pontos são maores que a dstânca eucldana, já que essa é a dstânca mínma. Então para se usar a Métrca Eucldana ou a Métrca Retangular, procura-se ajustá-las às dstâncas reas, empregando um fator de correção. Esse fator, segundo OVAES [989], pode ser obtdo por regressão smples, tendo-se portanto: D AB a + bdeab ou D AB a + bdrab OVAES[970], tomando como amostra 0 lgações sobre a rede de estradas pavmentadas do Estado de São Paulo, ajustou, por regressão smples ( R 0, 989 ), a segunte relação entre as dstânca real e eucldana: D 3,9 +, DE (para DE 60Km ) D, 48DE (para D 60Km) O mesmo fo feto para a malha ferrovára do Estado de São Paulo, resultando na segunte relação ( R 0, 990 ) : D 9,8 +, 5DE Para a malha urbana da cdade de São Paulo, determnaram-se as seguntes relações entre a dstânca efetva e dstâncas eucldanas ou retangulares, meddas em qulômetros:

4 0 D 0,8+, 366DE (amostra de 57 pares de pontos, R 0, 950 ) D,3 +, 048DR (amostra de 30 pares de pontos, R 0, 766 ) Segundo OVAES [989], observa-se nas fórmulas de ajustes apresentadas anterormente que os fatores de correção para as malhas urbanas são geralmente maores que os estmados para as malhas rodováras. Isto ocorre devdo não só a razões hstórcas e geomorfológcas de crescmento das cdades mas pelas restrções de tráfego como sentdos obrgatóros e cruzamentos. OVAES [989] mencona que, ndependente do tpo de malha rodovára que se leva em conta, os fatores de correção para a Métrca Eucldana apresentam valores maores que os fatores para a Métrca Retangular,. De fato, se a dstânca retangular é sempre gual ou maor que a dstânca eucldana, sto deve normalmente ocorrer, ou seja: DEAB DRAB D b D b b R < b E R E DE DR AB AB Segundo OVAES [989], adota-se, para estudos prelmnares em malhas urbanas, b E gual a,30. Este mesmo valor é ctado por LOVE et al [988], como o sendo utlzado na provínca de Ontáro, no Canadá. Entretanto para a rede rodovára nos EUA, as dstâncas entre as prncpas cdades são 8% maores que as dstâncas eucldanas. Alguns autores apresentam outros tpos de métrcas para a mensuração de dstânca entre pontos. Embora essas métrcas não sejam tão utlzadas quanto às métrcas retangulares e eucldanas, elas podem medr com maor efcáca as dstâncas entre pontos, conforme as característcas de algumas malhas de transporte. LOVE et al [988] comentam ser naproprado assumr somente as métrcas eucldana e retangular como soluções de ajustes das dstâncas entre pontos. Os autores concluem que as métrcas eucldana e retangular são apenas dos casos

5 especas, onde ρ é gual a e ρ é gual a, respectvamente, para a segunte função: D ρ ρ / [ X ] ρ A XB + YA Y, ρ. ρ ( AB) B Modelar as dstâncas reas usando Dρ ( AB) como função resultara em meddas mas acuradas do que se restrngr o uso para a métrca retangular ( ρ ) ou métrca eucldana( ρ ). LOVE et al [988] apresentam, portanto, cnco fórmulas que foram utlzadas para mensuração de dstâncas em áreas urbanas e ruras amercanas na década de 70. São elas: A prmera fórmula é uma métrca retangular com os eos nclnados de um ângulo θ, com um fator de correção constante K e dos pontos q com coordenadas (q,q) e r com coordenadas (r,r): d ( q, r; ) q( θ ) r( θ ), θ, > 0 onde q ( θ ) qcosθ + qsenθ, r ( θ ) rcosθ + r senθ, ( θ ) qsenθ cosθ e r ( θ ) rsenθ + r cosθ q + q A segunda fórmula é a métrca eucldana( ρ ) com um fator de correção constante K, para dos pontos q e r com coordenadas (q,q) e (r,r), respectvamente: / d ( q, r; ) ( q r), > 0 A tercera fórmula é uma generalzação da segunda fórmula. Para outros valores de ρ, e usando nclnações de eos, pode-se obter dstâncas mas precsas. Ela utlza um fator de correção constante K,

6 para dos pontos q e r com coordenadas (q,q) e (r,r), respectvamente: / ρ ρ 3,, q r ( q r; ρ) d, > 0, ρ LOVE et al [988] utlzaram essa fórmula com e ρ guas a, para o cálculo de dstâncas de armazéns com baías retangulares e observaram que para plantas de armazéns com retornos obrgatóros para cruzamentos, o valor de K se alterava, dferentemente do valor de ρ. Ou seja, quanto maor era o número de bloqueos, K aumentava epressvamente e ρ tenda a permanecer com valores prómos a. Os autores acrescentam que o mesmo racocíno se aplca a malhas urbanas com ruas de mão únca e retornos obrgatóros para cruzamentos. A quarta fórmula é um desdobramento da tercera fórmula e também pode obter valores de dstâncas mas precsos com a nclnação dos eos. Ela utlza um fator de correção constante K, para dos pontos q e r com coordenadas (q,q) e (r,r), respectvamente. Os parâmetros ρ e s podem ter valores dferentes. d / s ρ 4,, q r ( q r;, s) ρ, > 0, ρ, ρ / s A qunta fórmula utlza, para dos pontos q e r com coordenadas (q,q) e (r,r) respectvamente, os fatores m,m e m3 como correção ao nvés do K utlzado em outras fórmulas: d / [ ], 0 ( q r; m, m, m ) m( q r) + m( q r)( q r ) + m3( q r ) 5, 3 m > e m < 4mm3

7 3 LOVE et al [988] aplcaram estas cnco fórmulas em 7 regões dos Estados Undos. As dstâncas foram obtdas ou através das secretaras de transportes das regões ou dretamente de mapas de estradas publcados. Os autores escolheram regões que representassem a rede de estradas amercanas com seus dversos graus de obstruções físcas. Para seleconarem as melhores fórmulas foram utlzados dos crtéros de ajuste: O prmero crtéro de decsão era a mnmzação da soma dos desvos absolutos, sto é: AD f v v j t j+ d f ( a j, a ) A t jt, onde AD f - soma dos desvos absolutos entre a dstânca ajustada por uma fórmula e a dstânca real; d f ( a j t, a ) - A dstânca ajustada por uma fórmula; A jt - A dstânca real; O segundo crtéro de decsão mnmza a soma dos quadrados dos desvos absolutos, dvddos pelas dstâncas reas. SD f v [ ] v d f ( a j, at ) Ajt j t j+ A jt Este crtéro normalza os desvos quadrados e tem maor sensbldade para grandes desvos.

8 4 Os resultados da pesqusa de LOVE et al [988] ndcaram a quarta fórmula como a de melhor ajuste para as regões escolhdas. Contudo, nem sempre a defnção de seus parâmetros satsfzeram as condções necessáras de convedade, prejudcando o seu uso em modelos de locação com funções objetvas. A tercera e a qunta fórmula cumprram as condções de convedade para todos os casos e tveram bons ajustes. A tercera fórmula apresentou melhores resultados para eos com alguma nclnação aos eos orgnas. Fnalmente, BALLOU [00] apresenta duas fórmulas nteressantes para ajustamento de dstâncas a dstâncas reas. A prmera fórmula tem característcas híbrdas das métrcas retangulares e eucldanas e fo desenvolvda por BRIMLEY & LOVE [99]: D ab b + b [ ] / [ X X + Y Y ] + b ( X X ) + ( Y Y ) 0 a b a b a b a b Os coefcentes b0, b e b são encontrados pelo ajustamento da equação à dstânca real. A segunda fórmula evta as dstorções causadas na projeção de um globo num plano, utlzando as coordenadas de lattude-longtude e a fórmula de dstânca de grande círculo (trgonometra esférca). A fórmula do grande círculo (trgonometra esférca) é: D ab [ sen( LAT ) sen( LAT ) + cos( LAT ) cos( LAT ) LOG LOG ] { arccos } 3959 cos a b a b b a onde: Dab Epressa a dstânca entre os pontos a e b em mlhas; LAT a, LAT b Lattudes dos pontos a e b em radanos; LOG a, LOG b Longtudes dos pontos a e b em radanos; BALLOU [00] apresenta algumas vantagens para o uso desta fórmula: É possível utlzar as coordenadas de lattude e longtude em qualquer parte do mundo;

9 5 Há váras fontes dsponíves apresentando as lattudes e longtudes de dversos pontos do planeta; Os resultados são precsos; O sstema de coordenadas é bastante conhecdo. O autor mencona que o método do grande círculo é, geralmente, o método escolhdo em programas de computador para o planejamento logístco e utlza-se, na sua aplcação, os fatores de correção,7 e,0 para rodovas e ferrovas respectvamente... Ponto central... Métrca Eucldana Os problemas de localzação de pontos de uma cadea logístca têm como eemplo mas básco a defnção de somente um ponto que atenda a város outros pontos conhecdos desta cadea. A determnação deste ponto partu de soluções para obtenção do ponto central eucldano. Os prmeros resultados para se consegur o ponto central datam do começo do século XVII com Torrcell e Fermat e passam por város matemátcos como Henen, Smpson, Slvester e Perce. São soluções puramente geométrcas sem relação com produção ou custos. Somente com WEBER [909] teve-se o prmero caso de ncorporação da teora de locação ndustral na determnação do ponto central. Este ponto vsava otmzar meddas de utldade como tempo ou custo. Sua posção estara mnmzando a soma das dstâncas ponderadas dos pontos dados e as suas coordenadas, estaram determnadas satsfazendo à segunte função objetvo: [ ] / Mn f (, ) P ( ) + ( ) O ponto mínmo (,) é a solução da função objetvo. Este ponto é obtdo gualando a zero as dervadas de f(,) em relação à e. Tem-se, então:

10 6 f (, ) / P( ).[ ( ) + ( ) ] 0 f (, ) / P( ).[ ( ) + ( ) ] 0 Das equações acma, tem-se: P P [( ) + ( ) ] [( ) + ( ) ] / / e P P [( ) + ( ) ] [( ) + ( ) ] / / que são as coordenadas do ponto central. Observando as fórmulas das coordenadas, do ponto central, fca claro que a sua determnação requer algum método teratvo de convergênca, pos, para determnarmos e, precsa-se conhecer as dstâncas dos outros pontos ao ponto (,), o que envolve as varáves e que se deseja determnar. As soluções encontradas até a metade do século passado não travam proveto do cálculo numérco e de sua matemátca teratva, utlzada somente a partr do advento da nformátca. Entretanto E. Wesfeld, no ensao Sur le pont lequel la somme des dstances de n ponts donnés est mnmum publcado em 937 pela revsta japonesa Tôhou Mathematcs Journal, apresentou um método teratvo como solução que, curosamente, fcou totalmente desconhecdo até o fnal dos anos 60. Devdo a este fato, o método de Wesfeld é conhecdo como de autora de H.W. Kuhn e E. Kuenne pelo ensao An effcent algorthm for the

11 7 numercal soluton of the generalzed Weber problem n spatal problem, publcado em 96 pelo Journal of Regonal Scence. Segundo BALLOU[00], LEAL[003] e OVAES [989], o método de Wesfeld consste de:. Consdere ncalmente / + gual para qualquer valor de, ou seja a dstânca de qualquer ponto dado ao ponto central é a mesma;. Calcule os prmeros valores para e, com as seguntes fórmulas: P P 0 e P P 0 3. Calcule os valores de / +, usando os valores determnados anterormente para 0 e 0 ; 4. Use os valores determnados para / +, para calcular e através das fórmulas: + + P P / 0 0 / 0 0 e

12 8 P P / / 5. Repta as etapas 3 e 4 até que as terações sucessvas obedeçam a um crtéro de convergênca. Usam-se dos crtéros de convergênca. Um sera consderar a dferença relatva entre dos pontos sucessvos da teração menor que a precsão almejada. ( + ) ( ) ( ) / ε e ( + ) ( ) ( ) / ε O segundo crtéro tratara de termnar a teração da determnação do ponto central, epondo as dervadas parcas zero, a um valor bem prómo do nulo. f (, ) / e f (, ) / que tendem a f (, ) / ε e f (, ) / ε Há a possbldade do ponto central concdr com um dos pontos dados e, neste caso, haver a anulação da dstânca eucldana, provocando nstabldade numérca no cálculo. Para esses casos, OVAES[989] propõe o acréscmo de uma constante à segunte fórmula e eemplfca o valor do acréscmo em torno de 50 metros para dstâncas na ordem de qulômetros, sto é, 5 centésmos da undade medda da dstânca: De + / + D D, a constante referda, é postva e de valor desprezível. O método de Wesfeld é utlzado no tem SISLOG/Métrcas Espacas/Métrca Eucldana. este eemplo, ε está representado pelo campo

13 9 Precsão(%) e seu valor deve ser fornecdo em porcentagem. O campo Dt sgnfca a constante D. Fgura Entrada de dados do SISLOG/Métrcas Espacas/Métrca Eucldana FRACIS et al [99] abordam, de outra forma, a questão do ponto ótmo concdr com um dos pontos dados. Consderam o segunte vetor: m γ ( P)( P P), onde p γ ( X ), P é uma possível melhor locação de + / coordenadas (,), P é um dos pontos fornecdos juntamente com P e p é o peso relatvo no ponto. Defnem apresentado e concluem que relação: ρ como a dstânca entre a orgem e o vetor P será a melhor locação se satsfzer a segunte ρ p

14 30 Portanto, se for testada esta relação antes de se terar pelo método de Wesfeld, poder-se-á conclur se algum dos pontos dados é uma melhor locação ou não, evtando-se o uso de D, ou dspensando o método teratvo caso seja comprovada a concdênca com algum ponto dado. Conforme um eemplo de FRACIS et al [99], tem-se os seguntes valores: 3 4 p /6 /3 /3 /6 P (4,) (8,5) (,8) (3,) Tabela Pontos do eemplo de métrca eucldana de FRACIS et al [99] O valor de ρ, o ρ K termo para o ponto (4,) é 0, Este valor é maor que /6, não satsfazendo a relação ρ p. O valor de ρ é 0, que é menor que /3, o valor de p. Para o ponto (8,5) a relação ρ p é satsfeta, portanto P é uma melhor locação. FRACIS et al [99] apresentam também um outro crtéro de convergênca das terações pelo método de Wesfeld. Os autores apresentam a segunte relação: f ( X * ) { f ( X ) P : m} f ( X ) f ( X ) X + mn,...,, onde [ ] / * f ( X ) é o mínmo valor para f ( X ) P ( ) + ( ) f ( X ) é um provável mínmo valor de f ( X ) P ( ) + ( ) K-ésma teração; f ( X ) é o vetor lnha γ ( X)( X X) m P :,..., m são os pontos dados. [ ] / ; na O lado dreto da relação é o lmte nferor da função f (X ). Os autores chamam de gap a dferença entre o valor de f (X ) e o menor valor que ele

15 3 podera ter na -ésma teração. Quando gap for zero ou bem prómo de zero, sgnfca que X é o ponto central ótmo e que se podem encerrar as terações do Método de Wesfeld. FRACIS et al [99] propõem o uso do gap dvddo pelo menor valor que f (X ) podera ter na -ésma teração como um erro relatvo, er, a ser usado nas terações computaconas de locação ótma. Assm, tem-se: er mn f ( X ) T T { f ( X ) P :,..., m} f ( X ) X T T f ( X ) X + mn{ f ( X ) P :,..., m} A tabela a segur apresenta os pontos e os seus respectvos pesos usados no tem SISLOG/Métrcas Espacas/Métrca Eucldana. Este eemplo também é usado por FRACIS et al [99]. Ponto p P 0 0 P 0 0 P3 5 0 P4 6 Tabela Pontos do eemplo do SISLOG/Métrcas Espacas/Métrca Eucldana Como se tem o conhecmento antecpado de que nenhum ponto fornecdo é o ponto central, assumu-se Dt ou D gual a zero e para se obter um número consderável de apromações, adotou-se uma precsão(%) de 0,05. A coluna lmte_nferor epressa a relação: T { f ( X ) P : m} T Lmte _ Inferor f ( X ) f ( X ) X + mn,...,

16 3 Fgura 3 SISLOG/Métrcas Espacas/Métrca Eucldana/Resultado Deste modo pode-se constatar que o valor de f (X ) e seu lmte nferor convergem para 4,597, ou a sua dferença, no programa chamada de Gap, tende a zero. Algumas observações devem ser fetas quanto ao método de Wesfeld. Uma delas é relatada por BALLOU [00] quando conclu que, para uma solução bem próma da ótma, as fórmulas para 0 e 0, apresentadas, anterormente no segundo tem do método de Wesfeld, são sufcentes. As pesqusas realmente demonstram que o erro de se usar essas fórmulas é sgnfcantemente pequeno para os casos de: O peso de um ou alguns pontos não for epressvamente maor do que os pontos restantes; Haver um grande número de pontos dados; Consderar o peso, quando representado por custos ou recetas de transportes, lnearmente proporconas à dstânca. BALLOU [00] estma um erro médo de,6% do valor ótmo, para 50 pontos e taas lneares de transporte. o eemplo apresentado anterormente para somente 4 pontos, caso fosse consderada a ª apromação X * (4,50;4,000),

17 33 F(X) tera o valor de 5,63. Este valor é,07% maor que o valor de F(X) no ponto ótmo (4,).... Métrca Retangular A determnação do ponto central, que vsa otmzar meddas de utldade como tempo, dstâncas ou custos em relação a dversos outros pontos, pode segur a métrca retangular, quando aplcada à rede de corredores no nteror de armazéns retangulares ou malhas urbanas com característcas retangulares em suas vas. Sua solução está na otmzação da segunte função: Mn f (, ) P[ + ] + é a dstânca retangular entre um ponto de localzação e um ponto dado. A relação pode ser dstrbutvamente representada por: f (, ) P + P Consderando: f ( ) P e f ( ) P Tem-se: f (, ) f ( ) + f ( ) O nteressante na métrca retangular é que o momento de transporte total é a soma do momento de transporte no eo e o momento de transporte no eo. Se, portanto, f (, ) é gual a f ) + f ( ) e os dos termos f ( ) e f ( ) se ( mostram ndependentes, pode-se conclur que a mnmzação de f (, ) se dá mnmzando f ( ) e f ( ), separadamente. E mas, deduz-se que, como f ( ) e

18 34 f ( ) apresentam característcas guas como função, o modo de mnmzar uma função certamente se aplca a outra função. OVAES[989] apresenta um método efcente para a determnação dos mínmos de f ( ) e f ( ) conhecdo como Método de Fbonacc. Como a funçãosoma dos módulos é uma polgonal convea unmodal, pode-se afrmar que ela só tem um únco ponto mínmo. Sua forma, para o eo, no eemplo a segur é: 3 P X(,) (0,0) (5,0) (8,9) Tabela 3 Pontos para o eemplo do método de Fbonacc f ( ) Fgura 4 Gráfco da função f ( ) A aplcação do Método de Fbonacc segue o segunte pseudocódgo: Iníco Lea K;

19 35 /* K é o número de terações que determnará a precsão fnal deste */ /*processo*/ Encontre o etremo nferor de ; X:etremo nferor; Encontre o etremo superor de ; Xs:etremo superor; S:X; S:Xs; F:/(+ 5 ); /* F é o nverso da razão da seção áurea */ /* o segmento s-s é dvddo em 3 partes pelos pontos R e R*/ :; /* contador das terações*/ Enquanto K faça R:(-F)*(S-S)+S; R:F*(S-S)+S; G: f ( ) ; R G: f ( ) ; R Se G G então S:R Senão S:R; Fm se; I:+; Fm enquanto; Xc:(S+S)/; /* Xc é a abscssa do ponto central procurado*/ Fm Usa-se o mesmo pseudocódgo para se determnar Yc, cuja função para o eemplo eposto é: f ( )

20 Fgura 5 - Gráfco da função f ( ) O método de Fbonacc é utlzado no tem SISLOG/Métrcas Espacas/ Métrca Retangular/Método Fbonacc. K está representado pelo Campo úmero de Iterações. Segundo OVAES [989], o número de terações determna a precsão fnal do método, em relação ao ntervalo (S-S) ncal, descrto no pseudocódgo e esta precsão pode ser defnda como: ε F, onde ε é a precsão fnal. + 5 o eemplo anteror consderando o ntervalo ncal Xs-X gual a (8-0) e Ys-Y gual a (0-9), ambos meddos em qulômetros, tem-se, para um número de terações gual a 0, as precsões em relação as coordenadas X e Y, ε e ε, respectvamente: ε ε.( Xs X).(8 0) 53cm e ε ε.( Ys Y).(0 9) 73cm + 5 0

21 37 É possível que para um determnado problema deseja-se estmar o número de terações sufcentes para se atngr um certo valor de precsão ε. este caso tem-se para o número de terações K: K log(ε ) log(0,68034) Supondo o mesmo eemplo e desejando uma precsão de 50cm para ambas as coordenadas, ter-se-a: K log( ε ).log(8 0) log(0,0005).log(8) 3 log(0,68034) log(0,68034) e K log( ε ).log(0 9) log(0,68034) log(0,0005).log() log(0,68034) 38 Consderar-se-a o maor valor entre K e K, ou seja, 38 terações. Como o método apresentado por OVAES [989] é uma smplfcação do processo de Fbonacc, o autor recomenda usar K gual a 0. Este valor é,portanto, usado para resolver o eemplo apresentado na tabela a segur pelo tem

22 38 SISLOG/Métrcas Espacas/ Métrca Retangular/Método Fbonacc. Cdade X Y P (população) Tabela 4 Entrada de dados para SISLOG/Métrcas Espacas/Métrca Retangular/Método Fbonacc Fgura 6 - Entrada de dados do SISLOG/Métrcas Espacas/ Métrca Retangular/Método Fbonacc

23 39 O resultado, após 0 terações é: Fgura 7- Resultado do SISLOG/Métrcas Espacas/ Métrca Retangular/Método Fbonacc O programa SISLOG /Métrcas Espacas/Métrca Retangular/ Método Fbonacc permte entrar ou com o número de terações (K) ou com a precsão (ε ) e fornece, além do ponto central, as precsões ao longo dos eos das abscssas (ε ) e ao longo dos eos das ordenadas (ε ). Observa-se pelos gráfcos de f ( ) e f ( ) das fgs.4 e 5, já apresentados do eemplo anteror, que o ponto mínmo de ambas as funções encontra-se em uma abscssa ou ordenada de um ponto dado. Para determnar qual a abscssa ou ordenada que representa o mínmo de cada função, utlza-se um processo chamado Método da Dervada. Antes do Método da Dervada ser apresentado, cabem aqu algumas observações de FRACIS et al [99]. Voltando para os pontos fornecdos e representados grafcamente, tem-se : f ( ) , onde para 0 0 f ( ) (0 ) + (5 ) + (8 ) 43 3 ;

24 40 0 < 5 f( ) ( 0) + (5 ) + (8 ) 3 ; 5 < 8 f( ) ( 0) + ( 5) + (8 ) 7; > 8 f( ) ( 0) + ( 5) + ( 8) FRACIS et al [99], prmeramente, ordenam os valores das ordenadas ou das abscssas de forma crescente e observam que o coefcente de ou em algum ntervalo defndo por pontos adjacentes é a soma dos pesos dos pontos à esquerda menos a soma dos pesos dos pontos à dreta do ntervalo. Para f ( ), os valores de ordenados são 0,5 e 8. O coefcente de no ntervalo (0,5) é gual a (-(+)), ou seja, - e que o coefcente de neste ntervalo epressa o valor da dervada neste ntervalo. Os autores também relatam que o últmo coefcente de é gual à soma de todos os pesos e que este coefcente é smétrco com relação ao prmero. Outra afrmação verdadera é que o coefcente de em algum ntervalo, com eceção do prmero, é gual à soma do coefcente do ntervalo anteror com o dobro do peso do ponto lmte entre ambos os ntervalos. Por eemplo, o coefcente + de -7 é gual a ( +(*)) e o coefcente +3 de 3-43, é o resultado da soma de + de -7 pelo dobro de de 8. Esta últma observação faclta a determnação dos coefcentes que compõem f ( ). O prmero coefcente é p, a partr do prmero determna-se o segundo, o tercero e assm por dante. Sabendo-se que o ponto mínmo de f ( ) se dá quando a dervada de f ( ) passa de não-postva para não-negatva e que as dervadas de f ( ) estão representadas pelos coefcentes de em cada ntervalo, conclu-se que este ponto é um ponto determnado pelas abscssas fornecdas pelos pontos dados. Portanto, para se determnar o mínmo, se estabelece o segunte pseudocódgo para f ( ), conforme LEAL[003]: Inco Ordene os pesos por ordem crescente das abscssas; Mn: :0; n p Enquanto Mn < 0 faça ;

25 4 Fm :+; Mn : Mn + ; fm enquanto X mn : p O mesmo se faz para determnar Ymn. FRACIS et al [99] utlzam um outro procedmento para determnar Xmn e Ymn. Agora se somam os pesos, um a um, e o resultado da soma com cada parcela acrescda é comparado com a metade do somatóro dos pesos. Se o resultado da soma for maor que a metade do somatóro, Xmn ou Ymn será o ponto da últma parcela de peso acrescda. Por eemplo, no eemplo anteror, para se determnar Xmn, a metade do somatóro é 3/ ou,5. a prmera parcela é, que é menor que,5. A segunda parcela é, que ultrapassa,5. Então, o ponto da segunda parcela defne o valor de Xmn, sendo gual a 5. a verdade este método conhecdo como método da medana é deduzdo do método da dervada. este método também as abscssas ou ordenadas são colocadas em ordem crescente para o cálculo de Xmn ou Ymn, respectvamente. Assm descreve-se o pseudocódgo para Xmn. Inco Ordene os pesos por ordem crescente das abscssas; n p : Compara ;/* termo de comparação para o somatóro dos pesos*/ soma:0; :0; enquanto (soma<compara) faça :+; soma:soma+ fm enquanto Xmn: p ;

26 4 Fm Este pseudocódgo serve para determnar Ymn. A resolução do ponto central pelo Método da Dervada está apresentada no tem SISLOG/Métrcas Espacas/Métrca Retangular/Método da Dervada, para os pontos apresentados na tabela a segur. Para este tem fo utlzado o segundo pseudocódgo, tanto para Xmn como para Ymn. 3 P X(,) (0,0) (5,0) (8,9) Tabela 5 - Entrada de dados para SISLOG/Métrcas / Métrca Retangular/Método da Dervada O resultado para o ponto central é formado pela abscssa do ponto e a ordenada do ponto. Fgura 8 Resultado do SISLOG/Métrcas Espacas/ Métrca Retangular/Método da Dervada