Interação luz-matéria: tratamento clássico

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1 Inteação luz-matéia: tatamento clássico 95 Inteação luz-matéia: tatamento clássico 9 9. Modelo do oscilado hamônico Neste ponto queemos apofunda nosso conhecimento sobe o índice de efação e paa isto vamos lança mão de um modelo bastante tadicional em óptica, que utiliza um oscilado hamônico paa epesenta o átomo. Este é um modelo puamente clássico uma vez que tanto a posição do eléton assim como o campo eletomagnético são tatados como vaiáveis clássicas. Já no modelo semi-clássico, o átomo é consideado como um sistema quântico, apesentando níveis discetos de enegia, mas o campo elético continua sendo tatado como uma vaiável clássica. No modelo completamente quântico, quantiza-se o campo elético, que assim como o átomo, é tatado como vaiável quântica. Consideemos um meio dielético isotópico, onde é sabido que os elétons estão pemanentemente ligados aos núcleos. Supomos que cada eléton, de caga -e desloca-se uma distância x da posição de equilíbio. Neste caso, haveá um dipolo elético induzido no átomo, que é dado po p -ex. Se houve N átomos po unidade de volume e todos tiveem o mesmo deslocamento na dieção x, a polaização do meio seá a soma da contibuição de todos os dipolos, de acodo com: P -Nex (9.) Paa encontamos o deslocamento x, vamos considea o modelo em que o eléton de massa m está ligado hamonicamente ao núcleo de massa M atavés de uma mola de constante elástica K, como mosta a Fig. 9.. Neste desenho, o átomo já possui um momento de dipolo estático pemanente, mas isto não influi na análise que ealizaemos paa o cálculo

2 96 Inteação luz-matéia: tatamento clássico do dipolo induzido pela onda eletomagnética. Paa eliminamos o dipolo pemanente bastaia tomamos o eléton distibuído sobe uma casca esféica concêntica com o núcleo (shell model). Quando este oscilado é submetido a um campo eletomagnético, o campo elético age apenas sobe o eléton, esultando num movimento oscilatóio foçado. Como M >> m, o deslocamento do núcleo devido a este campo que oscila apidamente é pequeno e seá despezado. De outa foma, a massa eduzida podeia se usada, levando basicamente ao mesmo esultado. x m B E k K M Fig Oscilado hamônico amotecido sujeito a um campo elético lineamente polaizado na dieção x. Vamos supo ainda que este oscilado hamônico seja viscosamente amotecido e vamos chama a constante de amotecimento de mb. Iemos na seção 9.4 calcula este fato de amotecimento, fazendo sua ligação com a aceleação da caga, que emite adiação como se fosse uma antena (dipolo oscilante). Como estamos inteessados na inteação da luz com a matéia, vamos supo que o átomo está na pesença de uma onda eletomagnética na qual o campo elético popaga-se na dieção z e é lineamente polaizado na dieção x, como mosta a Fig. 9.. Isto daá oigem a um deslocamento em tono da posição de equilíbio, que é descito pela segunda lei de Newton como: d x dx + mb + Kx ee (9.) dt dt m onde E é amplitude do campo elético sentido pelo eléton. A solução desta equação difeencial é bem conhecida dos textos básicos de mecânica clássica. No estado estacionáio, supomos que x(t) tem um compotamento hamônico, com fequência ω igual à do temo foçante (campo elético).

3 Inteação luz-matéia: tatamento clássico 97 Paa facilita as contas, vamos toma o campo elético e o deslocamento na foma exponencial como: E(t) E exp iωt (9.3a) ( ) ( iωt) x(t) x exp (9.3b) x é amplitude do deslocamento do eléton no egime estacionáio, que pode se um númeo complexo paa leva em conta qualque ataso da esposta face à excitação aplicada pelo campo elético. Pela substituição das equações (9.3) na eq. (9.) obtemos o valo de x atavés da igualdade: (-mω - iωmb + K) x -ee (9.4) onde as exponenciais em ωt foam canceladas. Desta expessão obtemos o deslocamento x(t), o que nos pemite esceve a polaização como: Ne P E (9.5) -mω iωmb + K Dos livos textos de eletomagnetismo (ve efeência 9.) temos que o campo elético sentido pelo átomo (E ) está elacionado ao campo elético dento do meio atavés de: P E E + (9.6) 3ε que quando substituído na eq. (9.5) nos leva à expessão final paa a polaização elética induzida no meio: Ne / m P E (9.7) ω ω iωb onde ω K/m Ne /3m ε é a fequência de essonância do átomo. Este é o esultado cental que oigina do modelo do oscilado hamônico. Vamos em seguida utilizá-lo paa obte infomações sobe o índice de efação do meio. 9. Dispesão comática do índice de efação Vimos na seção 3. que a polaização está ligada à susceptibilidade elética do meio po:

4 98 Inteação luz-matéia: tatamento clássico Po compaação com a eq. (9.7) temos: P ε χ ~ ~ E ( ε - ε )E (9.8) ~ Ne /mε χ ( 9.9) ω ω iωb de onde vemos que χ ~ é um númeo complexo. Paa ealça este fato estaemos usando um ~ sobe uma vaiável sempe que ela fo complexa. Po outo lado, da eq. (9.8) temos que ~ ε /ε k e ~ n + χ ~. Com isto conseguimos estabelece a dependência do índice de efação com a susceptibilidade do meio, que po sua vez especifica como este esponde ao campo elético da onda. Notamos que o índice de efação também passa a te uma natueza de númeo complexo. Supondo que χ ~ é muito meno que, podemos expandi o índice de efação em séie de Taylo e assim obtemos: ~ n ~ ~ (9.) ( + χ) + χ +... n + i κ sendo n e κ as pates eal e imagináia do índice de efação complexo, espectivamente. Como veemos na póxima seção, o pimeio está ligado à velocidade de fase da onda eletomagnética e o segundo à sua atenuação quando da popagação pelo meio. Vamos inicialmente concenta nossa atenção na pate eal de ~ n, dada po: Ne n + mε ( ω ω ) ( ω ω ) + ( ωb) (9.) O pimeio fato que nos chama a atenção é a dependência de n com a fequência da luz. Esta dependência, que leva o nome de dispesão comática, está mostada na Fig. 9.. Em geal, as tansições atômicas mais intensas dos mateiais tanspaentes ocoem na egião do ultavioleta e assim, nas egiões do visível (.4 a.7 μm) e infavemelho póximo (.7 a.5 μm) o índice de efação aumenta com a fequência (diminui com λ). Isto significa que quanto mais deslocado paa o infavemelho fo o compimento de onda da luz, meno seá n e

5 Inteação luz-matéia: tatamento clássico 99 consequentemente, maio seá sua velocidade de popagação uma vez que v c/n. Logo, se tivemos um pulso cuto de luz com uma distibuição espectal contendo váias feqüências, as feqüências menoes caminhaão mais apidamente que as feqüências maioes e o pulso alaga ao se popaga. Este fato é danoso na áea das comunicações ópticas, pois o alagamento dos pulsos impõe um limite à taxa de epetição máxima possível de se tansmiti po uma fiba óptica. Nos meios compostos po moléculas, ω coesponde à fequência de vibação molecula que em geal se enconta no infavemelho médio (.5 a 5 μm). Mesmo assim, o tatamento apesentado acima continua válido pois estaemos na egião de dispesão nomal localizada à dieita de ω, onde o índice de efação também aumenta com a fequência. A única egião com compotamento difeente é a egião de dispesão anômala, na qual o índice de efação diminui com a fequência. Poém, do ponto de vista das comunicações ópticas, esta egião não tem inteesse já que nela existe gande absoção de luz, como veemos a segui. n(ω) infavemelho dispesão nomal visível dispesão anômala dispesão nomal ω ω Fig Dependência do índice de efação com a fequência da luz. Do ponto de vista pático, costuma-se utiliza uma elação empíica ente o índice de efação n e o compimento de onda paa um dado meio tanspaente, conhecida como equação de Sellmeie. A foma usual desta equação paa os vidos é: Bλ Bλ B3λ Biλ n ( λ) (9.) λ λ λ λ C C C C 3 i i

6 Inteação luz-matéia: tatamento clássico onde B Bi e Ci são os coeficientes de Sellmeie, deteminados expeimentalmente, e λ é o compimento de onda da luz no vácuo, medido em micômetos. Cada temo da soma epesenta uma absoção óptica com foça de oscilado B i, no compimento de onda C. Esta equação foi i deduzida em 87 po W. Sellmeie como uma extensão da fómula de Cauchy, esultante do tabalho de Augustin Cauchy paa modela a dispesão. Como exemplo, os coeficientes paa um vido cown comum de boosilicato, conhecido como BK7, são mostados na Tabela 9.. Eles coespondem a duas essonâncias, uma no ultavioleta e outa no infavemelho. Peto de cada pico de absoção, a equação dá valoes não físicos paa n e nestas egiões um modelo mais peciso paa a dispesão, conhecido como modelo de Helmholtz, deve se usado. Os coeficientes de Sellmeie paa muitos vidos óticos podem se encontados no catálogo de vidos da Schott. Tabela 9. - Coeficientes de Sellmeie paa o BK7. Coeficiente Valo B.396 B - BB x B B3-3 C x μm - C.7944x μm C x μm Longe dos picos de absoção, o valo de n tende a n + B i k e, onde k e é a constante dielética do meio. A equação de Sellmeie também pode se escita como: n B λ B λ ( λ ) A + + (9.3) λ C λ C

7 Inteação luz-matéia: tatamento clássico onde o coeficiente A epesenta a contibuição da absoção que ocoe no ultavioleta paa o índice de efação no infavemelho. 9.3 Absoção Vimos na seção 4. que a velocidade de fase da onda é dada po v ~ λf ω/k, ou altenativamente, k ω/v ~ n ω/c (n + iκ)ω/c, onde agoa explicitamos a natueza complexa do veto de popagação. Uma onda plana descita po um veto de popagação complexo pode se escita como: ~ E E exp i [ k z ωt] E exp αz exp{ i kz ωt]} (9.4) { } { } [ onde k n ω/c é a pate eal do veto de popagação, ligada à popagação da onda com velocidade c/n. Po outo lado, vemos que a intensidade da onda (I α E*E) é atenuada exponencialmente, com um decaimento dado pelo coeficiente de absoção α, ligado com a pate imagináia de ~ n atavés de α κω/c. De acodo com as equações (9.9) e (9.) podemos esceve: Ne ω b α ( ω) (9.5) mcε ω ω + ωb ( ) ( ) que é chamada foma de linha Loentziana. Esta cuva, mostada na Fig. 9.3, é mais ponunciada quanto meno fo o fato de amotecimento b. Paa um mateial com váias tansições, a deteminação das posições das feqüências de essonância é chamada de espectoscopia. α(ω) b ω ω Fig. 9.3 Dependência do coeficiente de absoção com a fequência da luz.

8 Inteação luz-matéia: tatamento clássico 9.4 Espalhamento O modelo do oscilado hamônico amotecido é bastante útil paa desceve o espalhamento da adiação po átomos ou moléculas. Neste modelo é fundamental que o cento espalhado seja bem meno que o compimento de onda da luz, tal que o campo elético possa se consideado unifome paa efeito de simplificação dos cálculos. A seção de choque paa o cento espalhado é definida como σ(ω) α(ω)/n, onde α(ω) é o coeficiente de absoção dado pela eq. (9.5). Com isso obtemos: σ( ω) e ω b (9.6) mcε ω ω + ωb ( ) ( ) Temos tês limites a considea, dependendo de como ω se compaa a ω : ω << ω σ( ω) e bω (9.7) mcε ω ω ω σ( ω) e (9.8) mcε b ω >> ω σ( ω) e b (9.9) mcε ω Paa continuamos a análise pecisamos agoa detemina o valo de b. Consideamos na eq. (9.) a existência de uma foça de atito viscoso do tipo F at -mbv, que é esponsável po uma dissipação de enegia a uma taxa P Fat v -mbv, onde P é a potência dissipada. Po outo lado, é sabido dos textos mais avançados de eletomagnetismo que a potência emitida po uma caga aceleada é dada po: P 4πε 3c 4 e a e ω v (9.) 3 3 πε 3c onde na última passagem tomamos a solução dada na eq. (9.3b) po x(t) x exp(-iωt), que nos leva à v(t) dx/dt -iω x(t) e a(t) dv/dt -iω v(t) -ω x(t). Compaando a eq. (9.) com a potência dissipada pelo atito viscoso chegamos à seguinte expessão paa b:

9 Inteação luz-matéia: tatamento clássico 3 b πε 3mc e ω (9.) 3 Substituindo este valo nos casos limites mencionados acima obtemos: Caso - ω << ω - Espalhamento Rayleigh σ ( ) ω ω 5 x ω 6πε mc ω ω e (9.) onde o fato numéico possui unidades de cm -. Este caso é impotante paa a popagação de luz em fibas ópticas, onde as absoções atômicas mais intensas ocoem no ultavioleta. Assim, existe uma peda muito maio paa a luz visível do que paa a infavemelha. Esta expessão também explica também a co azul do céu e o avemelhado do pô do sol. A luz que vem do Sol é chamada de luz banca poque coesponde à combinação de um númeo muito gande de coes. Quando esta luz atavessa a pate supeio da atmosfea ocoe um espalhamento pela ação de moléculas ali existentes. As coes mais póximas do azul, anil e violeta sofem um efeito de espalhamento maio do que as coes laanja e vemelha. Considee os aios de luz banca que saem do Sol, mas que não vem dietamente na nossa dieção. No entanto, as componentes de coes azuladas sofeão um desvio pelas moléculas da atmosfea e acabaão chegando até nós. Desta foma, a co azul que vemos coesponde à luz que saiu do Sol, não está vindo inicialmente na nossa dieção, mas foi desviada pela pate supeio da atmosfea, chegando assim aos nossos olhos. A co avemelhada do po do Sol pode se explicada com base neste mesmo efeito. Quando o Sol se põe, os aios de luz banca estão vindo na nossa dieção. Poém, as componentes de coes azuladas são espalhadas paa o lado e acabam não chegando até nós, sobando assim apenas as coes mais avemelhadas. Caso - ω ω - Espalhamento essonante σ ( ω) 3 λ (9.3) π

10 4 Inteação luz-matéia: tatamento clássico Vemos então que na essonância a seção de choque é popocional ao quadado do compimento de onda da adiação incidente, Caso 3 - ω >> ω - Espalhamento Thompson σ( ω) 6πε e 5 5 x (9.4) mc Neste caso, a seção de choque é paticamente constante e este egime é chamado de espalhamento Thompson, caacteizado po espalha igualmente todas as feqüências. 9.5 Foças adiativas sobe átomos neutos O desenvolvimento de técnicas paa apisiona e esfia íons evolucionou a áea da física atômica há duas décadas. A possibilidade de se isola um único íon e eduzi seu movimento témico a uma tempeatua de poucos mk pemite a supessão dos deslocamentos Dopple de pimeia e segunda odens, possibilitando medidas espectoscópicas e padões de tempo de pecisão sem pecedentes. O advento de váios expeimentos bem sucedidos demonstando o esfiamento de íons apisionados sugeiu a possibilidade de se faze o mesmo com átomos neutos. A neutalidade elética da espécie apisionada abe uma nova pota no estudo de efeitos onde altas densidades, não conseguidas com íons, são úteis ou necessáias, tal como em colisões atômicas fias e efeitos quânticos coletivos. Além do mais, o apisionamento e esfiamento de átomos neutos fazem as medidas espectoscópicas mais simples devido à supessão do efeito Dopple e o aumento do tempo de tânsito do átomo num feixe de lase de pova. Melhoias substanciais na pecisão de elógios atômicos e medidas de constantes fundamentais podem se ealizadas. A possibilidade de se estuda colisões com átomos lentos dá ao investigado um melho entendimento das foças atômicas e ligações químicas ente os átomos. Em altas densidades, os pacotes de onda epesentando os átomos começam a se supepo de tal foma que os efeitos quânticos se manifestam. Paa um sistema de bósons, a tansição de fase conhecida

11 Inteação luz-matéia: tatamento clássico 5 como condensação de Bose-Einstein pode se obsevada, demonstando uma pevisão muito impotante da estatística quântica. Amadilhas óticas eficientes paa o apisionamento de átomos neutos são agoa constuídas otineiamente e esultados bastante inteessantes são obtidos com esta técnica. Paa entende como os átomos neutos podem se feados e apisionados com um feixe de lase, é impotante sabe a foça a execida sobe o átomo pelo campo de adiação lase. Emboa existam um tatamento completamente quântico, assim como um tatamento semi-clássico paa desceve a inteação ente o átomo e a onda eletomagnética, uma abodagem clássica é impotante como uma altenativa mais simples de intoduzi este assunto ao nível de gaduação. Paa isto, utilizaemos novamente o modelo do oscilado hamônico amotecido intoduzido na seção 9.. Este modelo, entetanto, pevê que a foça elética média execida sobe eléton é nula uma vez que o campo elético vaia hamonicamente no tempo. Assim, paa explica a existência da foça, teemos que lança mão do campo magnético. Uma vez que o eléton adquie uma velocidade finita devido à foça elética, o campo magnético exece uma foça ao longo da dieção do veto de popagação do campo eletomagnético. Esta foça é chamada de foça espontânea. Existe também uma foça induzida, também conhecida como foça de dipolo ou de gadiente, cuja oigem é que se segue: uma vez que o campo elético desloca o eléton da sua posição de equilíbio, o átomo adquie um momento de dipolo induzido que pode inteagi com o gadiente do campo elético e leva a uma foça na dieção do gadiente. A foça induzida é usada paa apisiona e esfia tansvesalmente átomos neutos enquanto que a foça espontânea é usada pincipalmente paa esfiamento. Vamos agoa calcula estas foças e discuti suas popiedades. A. Foça espontânea Consideando a geometia da Fig. 9., vemos que a foça magnética agindo sobe eléton é: e / c xb & (9.5) F s ( ) ẑ onde, de acodo com as equações de Maxwell B E/c. A solução paa o caso estacionáio da eq. (9.) pode se utilizado paa enconta x& da eq.

12 6 Inteação luz-matéia: tatamento clássico (9.5). Fazendo uma média tempoal sobe um peíodo de oscilação, encontamos que a foça magnética agindo sobe o eléton é dada po: e E mc ω b Fs ( ) ( b) ẑ ω ω + ω (9.6) com b dado pela eq. (9.). Paa obte esta expessão, consideamos que o núcleo é muito pesado paa segui a oscilação ápida do campo elético. Po outo lado, como a eq. (9.6) tem um valo médio finito e o eléton está fotemente ligado ao núcleo, o átomo adquie uma velocidade v(t) ao longo da dieção de popagação da onda eletomagnética. Esta velocidade induz um efeito Dopple e a feqüência de tansição no efeencial do laboatóio se tansfoma de acodo com: ω ω ω (+v/c) e a equação que desceve a foça espontânea agindo sobe átomo é: e E mc ω b Fs [( )( )] ( b) ẑ ' ' ω ω ω + ω + ω (9.7) Estamos inteessados no caso em que a feqüência da luz está póxima da feqüência de essonância (ω ω ); potanto, supondo v/c <<, podemos esceve ω ω ω e eq. (9.7) se tona: + e E M atv & mc 4 Fs [ Δ ω ( v / c) ] + b b ẑ (9.8) onde M at M + m é a massa do átomo e Δ ω ω é a dessintonia ente as feqüências do lase e de essonância. Esta é a foça espontânea, que nesta descição clássica vêm do campo magnético agindo sobe eléton cuja componente x de velocidade é poduzida pelo campo elético. B. Foça de dipolo Quando o campo elético desloca o eléton da sua posição de equilíbio, existe um dipolo elético induzido que pode inteagi com o campo elético. A enegia de inteação é dada po: U p E exe (9.9) onde x é a já conhecida solução da eq. (9.). Potanto, a foça induzida é:

13 Inteação luz-matéia: tatamento clássico 7 e Fi U m com φ tg [ωb/(ω ω cos (ωt + φ)cosωt ( ω ω ) + ( ωb) E (9.3) )] sendo o ataso de fase ente x e E. Realizando uma média tempoal sobe um peíodo de oscilação da mesma maneia que foi feito paa a foça espontânea, encontamos a foça induzida como: F i e m ( ω ω ) + ( ωb) ω ω E (9.3) Usando a tansfomação de efeencial dado po: ω ω ω (+v/c) e a apoximação de essonância póxima (v/c << ), encontamos: F i e 4m ω Δ ω ( v / c) [ Δ ω ( v / c) ] + b E (9.3) A foça induzida é muito impotante paa o apisionamento de átomos neutos. Paa um feixe Gaussiano focalizado, sintonizado abaixo da feqüência de essonância (Δ < ), a foça estaá diigida na dieção do valo máximo da intensidade do lase (I α E ). Potanto, um átomo póximo ao foco sofeá uma foça estauadoa diigida paa ele uma vez que a intensidade diminui a pati do foco em todas as dieções. Bibliogafia 9.. J. R. Reitz, F. J. Milfod and R. W. Chisty, Fundamentos da Teoia Eletomagnética, Editoa Campus, RJ (98) 9.. G. R. Fowles, Intoduction to Moden Optics, Holt, Rinehat and Winston, NY (968) S. C. Zilio and V. S. Bagnato, Radiative foces on neutal atoms a classical teatment, Am. J. Phys. 57 (5) 47 (989).

14 8 Inteação luz-matéia: tatamento clássico Poblemas 9.. Calcule o tempo de vida clássico, t class enegia/(potência iadiada), de um eléton oscilando de acodo com: x x cosωt. 9.. Faça um esboço da seção de choque de espalhamento de um átomo em função de ω quando ω 6.8 x 5 ad/s Considee um átomo de sódio (M at 3.84x -6 kg e λ 589 nm) em essonância com um lase cuja iadiância é mw/cm. Qual seá a aceleação sentida pelo átomo? 9.4. Explique o que é foça de oscilado.