P..., A p n RACIOCÍNIO LÓGICO A 3 8 P 2 4 ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1 ANÁLISE COMBINATÓRIA PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) n.n.n...= total de ossibilidades Ex: Suondo que colegas vão sair de carro, sentados nos lugares disoníveis. De quantos modos odemos fazer isso, se: a) Todos souberem dirigir? b) Aenas três souberem dirigir? 7 FATORIAL(!) n! = n.(n ).(n )... n N e n Obs:! = e! = Ex:! =. =! =.. =! =... =! =... = Ex: Oito atletas disutarão a final dos m rasos na Olimíada. Desconsiderada a ossibilidade de emate, então o número de maneiras diferentes de comor o odium, é de: 8 7 Ou então: A 8 8! 8! 8!! 8.7..!! 8.7. PERMUTAÇÃO SIMPLES (anagramas) Imorta a ordem dos elementos (PFC) Ex: ) Serão distribuídos rêmios entre essoas, mas elas deverão se organizar em fila ara recebêlos. De quantas maneiras distintas isto ode ser feito? Ou então: P =! =... = ) Quantos anagramas odem ser formados com as letras da alavra PEDRÃO? 7 Ou então: P n n! P =! =... = 7 Simlificação Ex:!..! a)!! 8! 8.7..! b)!.!...!! 9! 9!.9! 9! 9!. c) ARRANJO SIMPLES Imorta a ordem dos elementos (PFC) A n (n n! n! ) PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO (anagramas) Imorta a ordem dos elementos (FÓRMULA) Ex: ) Quantos anagramas odem ser formados com as letras da alavra AMAR? P..!! 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores!! P..., n n!!!...

2 ) Quantos anagramas odem ser formados com as letras da alavra APROVAÇÃO? P, 9 9!!! !.! COMBINAÇÃO SIMPLES Não imorta a ordem dos elementos (FÓRMULA) Ex: Considerando times disutam o Cameonato Brasileiro da série A, calcule: a) Quantos jogos de ida são disutados em uma única rodada? C!!!!! 8!.9.8!. 8! 9 b) Quantos jogos são disutados, considerando as artidas de ida e de volta?.c C n.9 n!! n! (n 8 ) EXERCÍCIOS ) Três amigos irão ao teatro e seus ingressos ermitem que escolham três oltronas, entre cinco ré-determinadas de uma mesma fila, ara sentar-se. Nessas condições, de quantas maneiras distintas eles oderão se acomodar ara assistir ao esetáculo? ) Um cientista recebeu cobaias ara usar em seu estudo sobre uma nova vacina. Seus cálculos indicaram que o número de maneiras ossíveis de escolher elo menos cobaias é: ) Com o objetivo de manter a democracia, realizouse uma eleição ara comor a equie diretiva de um clube. Essa equie deve ser comosta or um diretor, um vice-diretor e um coordenador. Considerando que um gruo comosto or essoas resolveu articiar desse rocesso e que qualquer uma delas ode ocuar qualquer cargo, é correto afirmar que o número de equies que se ode formar com esse gruo é: Ou então: A Ou então: 9!! 8! 8!.9.8! 8!.9 8 ) Considere todos os números inteiros ositivos que odem ser escritos ermutando-se os algarismos do número. Quantos dos números considerados são menores que? ANÁLISE COMBINATÓRIA Macetão do Pedrão Não imorta a ordem COMBINAÇÃO C n n!! n! PFC, ARRANJO,PERMUTAÇÃO SIMPLES (não recisa fórmula) Imorta a ordem ) Uma rova de matemática consta 8 questões das quais o aluno deve escolher. De quantas formas ele oderá escolher as questões? ) Com os algarismos,,,, 7 e 8, quantos números ares de algarismos distintos odemos formar? PEDRÃO PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO P n,... n!!!... 7) Utilizando os algarismos,,,, e, quantos números ímares de algarismos distintos odem ser formados? 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

3 8) A Coa do Mundo de Futebol, que foi realizada na Alemanha a artir de junho de, contou com a articiação de seleções divididas em 8 gruos com equies cada, na rimeira fase. Dado que, em cada gruo, as seleções jogaram entre si uma única vez, qual o total de jogos realizados na rimeira fase? 9) A senha de acesso a um jogo de comutador consiste em quatro caracteres alfabéticos ou numéricos, sendo o rimeiro necessariamente alfabético. O número de senhas ossíveis será: ) De quantas formas odemos ermutar as letras da alavra ELOGIAR de modo que as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem? ) Calcule o número de anagramas da alavra CLARA em que as letras AR aarecem juntas e nesta ordem. ) O número de ermutações da alavra ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O é ) Considere um gruo formado or 7 homens e mulheres do qual se quer extrair uma comissão constituída or essoas. Quantas são as comissões formadas or homens e mulheres? ) Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses serão disostos em fila (disostos em linha reta) de modo que as essoas de mesma nacionalidade estejam semre juntas. De quantas maneiras distintas a fila oderá ser formada de modo que o rimeiro da fila seja um francês? ) A rova de um concurso é comosta somente de questões de múltila escolha, com as alternativas A, B, C e D or questão. Sabendo-se que, no gabarito da rova, não aarece a letra A e que a letra D aarece aenas uma vez, quantos são os gabaritos ossíveis de ocorrer? ) Para colocar reço em seus rodutos, uma emresa desenvolveu um sistema simlificado de código de barras formado or cinco linhas searadas or quatro esaços. Podem ser usadas linhas de três larguras ossíveis e esaços de duas larguras ossíveis. O número total de reços que odem ser reresentados or esse código é: 7) Um farmacêutico disõe de tios de vitaminas e tios de sais minerais e deseja combinar desses nutrientes ara obter um comosto químico. O número de comostos que oderão ser rearados usando-se, no máximo, tios de sais minerais é: 8) O coro clínico da ediatria de um certo hosital é comosto or rofissionais, dos quais são caacitados ara atuação junto a crianças que aresentam necessidades educacionais eseciais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de rofissionais, de tal maneira que deles, elo menos, tenha a caacitação referida. Quantas comissões distintas odem ser formadas nestas condições? 9) A boa e velha Loteria Federal é a que dá ao aostador as maiores chances de ganhar, mas or não agar grandes fortunas não está entre as loterias que mais recebe aostas. As mais oulares são Mega-Sena, Quina, Loto-fácil e Lotomania. Na Lotofácil, o aostador marca dos números que constam na cartela e tem uma em.8.7 chances, de acertar. Se fosse criada uma nova loteria, em que o aostador marcasse dos números disoníveis numa cartela, a chance de acertar uma aosta assaria a ser de uma em: 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

4 ) Aconteceu um acidente: a chuva molhou o ael onde Pafúncio marcou o telefone de Emingarda e aagou os três últimos algarismos. Restaram aenas os dígitos 87. Observador, Pafúncio lembrou que o número do telefone da linda garota era um número ar, não divisível or e que não havia algarismos reetidos. Aaixonado, resolveu testar todas as combinações numéricas ossíveis. Azarado! Restava aenas uma ossibilidade, quando se esgotaram os créditos do seu telefone celular. Até então, Pafúncio havia feito quantas ligações? ) Antônio e Bruno são membros atuantes do Grêmio Estudantil e estão se formando numa turma de 8 alunos. Uma comissão de formatura, com membros, deve ser formada ara a organização dos festejos. Quantas comissões odem ser formadas de modo que Antônio e Bruno sejam membros? ) Um jornalista foi designado ara cobrir uma reunião de ministros de estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Ao erguntar ao orteiro o número de ministros resentes, ele disse: "Ao saírem, todos os ministros se cumrimentaram mutuamente, num total de aertos de mão". Com base nessa informação, qual foi o número de ministros resentes ao encontro? PROBABILIDADES Esaço amostral = tudo que ode ocorrer Evento = o que quer o que quer tudo que ode ocorrer ) Um rofessor entrega 8 questões aos alunos ara que, em uma rova, escolham questões ara resolver, sendo que duas destas questões são obrigatórias. Ao analisar as rovas, o rofessor ercebeu que não havia rovas com as mesmas questões. Assim, é correto afirmar que o número máximo de alunos que entregou a rova é: ) De um gruo de essoas, entre as quais, Maria, Marta e Mércia, deseja-se escolher uma comissão com comonentes. Quantas comissões odem ser formadas, das quais articiem Maria e Marta, mas Mércia não articie? ) De quantas maneiras odemos classificar os emregados de uma micro-emresa nas categorias A ou B, se um mesmo emregado ode ertencer às duas categorias? Evento imossível n Evento certo n n % Conseqüência: % ou % Eventos comlementares % Imortantíssimo: e = multilica % 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

5 Ex: ) Arremessa-se um dado comum e observa-se a face voltada ara cima. Qual a robabilidade do valor obtido ser: a) Um número maior que? % b) Um número menor ou igual a? % c) Um número ar?, % d) Um número ímar?, % e) Um número rimo?, % f) Um número ar ou um número ímar? % g) Um número ar ou um número rimo? ) No arremesso de dois dados comuns, qual a robabilidade de obtermos nas duas faces voltadas ara cima valores cuja soma seja igual a? e ou e ou e ) No arremesso de uma moeda viciada, a robabilidade de se obter cara é igual ao dobro da robabilidade de se obter coroa. Qual a robabilidade de se obter cada um dos casos? (ca) (ca) (co) (co) (co) (ca) (co) (co) (co) Árvore das ossibilidades Considere a seguinte situação: Um casal deseja ter três filhos e retende saber qual a robabilidade de nascerem no mínimo dois meninos, sendo que a robabilidade de ser menino ou de ser menina tem o mesmo valor. ) No arremesso de dois dados comuns, qual a robabilidade de obtermos nas duas faces voltadas ara cima valores múltilos de? 9 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

6 Observa-se que o total de ossibilidades é igual a 8 (tudo que ode ocorrer), e que no mínimo dois homens (dois ou três homens) são ossibilidades (o que quer), então: 8, % A questão anterior ode ser calculada, sem o uso da árvore das ossibilidades, da seguinte forma: H 8 H M e e ou Ou então: H M e e 8 H M ou e, % H H e H ou H e H e HHM ou HMH ou MHH ou HHH são ossibilidades, sendo cada uma com robabilidade igual a /8, então: 8, % ) Um dado defeituoso aresenta duas faces com ontos. No lançamento deste dado, a robabilidade de sair uma face com ontos é: ) Uma escola fez uma esquisa de oinião entre os seus alunos ara decidir sobre as modalidades esortivas distintas de futebol que seriam riorizadas ara treinamento. Todos os alunos da escola resonderam à esquisa, otando or aenas uma modalidade. O gráfico a seguir resume o resultado da esquisa. EXERCÍCIOS ) Num sorteio com os números de a, a robabilidade de ser sorteado um número múltilo de é: ) Em uma esquisa de marketing foram entrevistadas duas mil essoas, que oinaram sobre duas embalagens de um roduto que seria lançado no mercado consumidor. O resultado foi o seguinte:. essoas referiram a rimeira embalagem, referiram a segunda e não gostaram de nenhuma delas. Escolhida uma essoa ao acaso, qual é a robabilidade estimada de ela gostar da rimeira embalagem? Sobre o exosto, assinale as alternativas com C (certa) ou E (errada). a) O número de alunos da escola é. b) Na escola, existem mais alunos do sexo feminino. c) Escolhendo aleatoriamente um aluno X da escola, a robabilidade de X ter otado or ginástica é %. d) Escolhendo aleatoriamente um aluno X da escola, a robabilidade de X ser mulher ou ter otado or vôlei é 7%. ) Um baralho comum de cartas tem três figuras (valete, dama e rei) de cada um dos quatro naies (aus, ouros, esadas e coas). Ao se retirar uma e) Escolhendo aleatoriamente um aluno homem X da escola, a robabilidade de X ter otado or basquete é %. carta do baralho, a robabilidade de ser uma carta que aresente figura de aus é: 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

7 ) De um total de estudantes da área de exatas, estudam Cálculo Diferencial e 8 estudam Álgebra Linear. Esses dados incluem estudantes que estudam ambas as discilinas. Qual é a robabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente esteja estudando Cálculo Diferencial ou Álgebra Linear? 7) Um casal retende ter três filhos. A robabilidade de nascerem dois meninos e uma menina, indeendentemente da ordem, é de: 8) Em uma mesa, estão esalhados ares de cartas. As duas cartas de cada ar são iguais e cartas de ares distintos são diferentes. Suonha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. Então, a robabilidade de essas duas cartas serem iguais é: 9) No sorteio de um número natural de a, qual a robabilidade de sair um número ar ou um múltilo de três ou um número menor que 7? ) A robabilidade de se obter elo menos duas caras no lançamento simultâneo de moedas honestas, é igual a: ) Num sorteio, concorrem todos os números inteiros de a. Escolhendo-se um desses números ao acaso, qual é a robabilidade de que o número sorteado tenha algarismos distintos? ) Tem-se dois dados, sendo um erfeito e outro com todas as faces marcadas com ontos. Um deles é escolhido ao acaso e lançado. A robabilidade de se obter é: ) Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a robabilidade de se obter ou no dado e cara na moeda. ) Uma urna contém bolas: uma verde, uma azul e uma branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta na urna. Reete-se essa exeriência mais duas vezes. Qual a robabilidade de serem registradas três cores distintas? MATRIZES Utilizamos as matrizes ara organizar elementos em filas, sendo as horizontais chamadas de linhas, e as verticais chamadas de colunas. As matrizes são reresentadas or letras maiúsculas do alfabeto grego, e seus elementos serão cercados or arênteses ou colchetes. Podemos reresentá-las, de forma simlificada, or: A a ij mxn Onde: ij = índice do elemento, e indica a osição do elemento dentro da matriz, sendo i = linha e j = coluna. ) Há aenas dois modos de Cláudia ir ara o trabalho: de ônibus ou de moto. A robabilidade de ela mxn = ordem da matriz, e indica o total de linhas e ir de ônibus é % e, de moto, 7%. Se Cláudia for de colunas da matriz, sendo m = total de linhas e n = total ônibus, a robabilidade de chegar atrasada ao de colunas. trabalho é % e, se for de moto, a robabilidade de se atrasar é %. A robabilidade de Cláudia não se atrasar ara chegar ao trabalho é igual a: 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores 7

8 CONSTRUÇÃO DE MATRIZES ) Sendo A uma matriz de ordem x, cujos elementos são dados or a ij i j, se i j, então a i j, se i j As matrizes quadradas ossuem duas diagonais, chamadas de diagonal rincial e diagonal secundária: matriz A é: ) Sejam as matrizes A = (a ij ) x, tal que a ij = i j e B = (b jy ) x, tal que b jy = y j, determine as matrizes A e B. ) Construir a matriz A de ordem x tal que a ij i i j, se i j, se i j PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES Linha É a matriz formada or uma única linha. Ex: L = ( ) Coluna É a matriz formada or uma única coluna. Ex: C Retangular É a matriz na qual o número de linhas é diferente do número de colunas. Ex: R Quadrada É a matriz na qual o número de linhas é igual ao número de colunas. Ex: Q Identidade É a matriz quadrada onde os elementos da diagonal rincial são todos iguais a um e os demais são todos iguais a zero. Ex: I I Oosta É a matriz onde todos os elementos, em suas resectivas osições, são os oostos dos elementos da matriz original. É reresentada elo sinal negativo que antecede a matriz. Ex: A Transosta A É a matriz onde trocamos, ordenadamente, os elementos das linhas elos elementos das colunas. É reresentada ela letra t no exoente. Ex: A t A IGUALDADE DE MATRIZES Duas matrizes só odem ser iguais se ambas ossuírem a mesma ordem, e os elementos de uma forem iguais aos da outra, reseitadas as osições (mesma osição em ambas). 8 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

9 ) Calcule X e Y ara a igualdade A = B dado: y x A = e B = x ) Sejam X a a a Y, onde a R. Se X = Y, então a vale: 8 a e ) Dadas as matrizes A = (aij) x e B = (bij) x ; tal que: a ij i j,sei j e,sei j b ij i j Determine A B: ) Dadas A t = [ ], B t = [8 ] e C t = [ ], tal que: A B + M + C =, a matriz M t é: OPERAÇÕES COM MATRIZES Produto or um número real O roduto de um número real or uma matriz é igual ao roduto do número or todos os elementos da matriz. ) Da equação matricial x y + = z Calcule x, y, z e t t ) Dada a matriz A = (aij) x, tal que: a ij i j,sei,sei j j, determine A PRODUTO DE MATRIZES A condição ara que seja ossível efetuar o roduto de matrizes, ode ser exressa da seguinte forma: 7) Dada a matriz B = (bij) x tal que: b ij i j. Determine B Adição e subtração A adição e a subtração só odem ser efetuadas em matrizes de mesma ordem, sendo que as oerações serão feitas entre os elementos que ocuarem as mesmas osições nas resectivas matrizes. O meio tem que ser igual e os de fora dão a ordem da matriz resultante. Ex: A x x B x = não é ossível A x x C x = D x 8) Sendo A = e B =, o elemento c da ) Se A é a matriz, então A é: matriz C = A B é: 9) Sejam A =, B = 8 e C =, então a matriz X, tal que: A + B C X = é: ) Calcule X, sendo que X = A t + B t. Onde A = e B = ) Dado A =. Calcule X, sendo que ) Considere a matriz A = (a ij ) x, onde a ij i j. A raiz quadrada da soma de todos os elementos da matriz A é igual a: 7) Considerando as matrizes x A, I e x O, a soma dos valores numéricos de x, ara os quais a igualdade A A I = é verificada, é: X =.A + I 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores 9

10 8) Considere as matrizes A = ( a ij ) x, em que a ij = ( ) j e B = ( b ij ) x, em que b ij = ( ) i. O elemento c, da matriz C = ( c ij ) x, em que C = A.B, é: Aós o estudo dos determinantes, veremos uma regra rática ara a obtenção da inversa de uma matriz de ordem x. 9) Dadas as matrizes A = então ( A.B B.A ) é igual a: e B =, DETERMINANTES ) Sejam as matrizes A, B e C. Sendo D = A t + B.C, a soma dos elementos d e d da matriz D é igual a: ) O valor de x + y, ara que o roduto das matrizes x - A e B seja a matriz nula, é y - ) Uma matriz A é simétrica quando A = A t, onde A t é a matriz transosta de A. Se X A, B - ) Sendo A = X tal que A.X = B e AB é simétrica, o valor de X será: e B = ) Dadas as matrizes A = Calcule X, sendo que A. X = B t, obtenha a matriz e B =. Os determinantes reresentam as matrizes quadradas or um único valor, é o resultado de uma matriz quadrada. Sendo uma matriz A, reresentamos o determinante de A or det(a). Determinante de ordem O resultado de um determinante de ordem é igual ao rório valor que se encontra no determinante. Ex: Determinante de ordem O resultado de um determinante de ordem é obtido ela regra de Sarrus: multilicam-se os elementos da diagonal rincial (reetindo o sinal) e multilicam-se os elementos da diagonal secundária (trocando o sinal) e juntam-se os resultados. Ex: A det(a) ) Se A e B são matrizes do tio x, qual das seguintes oerações não ode ser efetuada? a) A B b) e) A B t t A B c) t ( A B) B d) B t A MATRIZ INVERSA Dizemos que uma matriz A ossui uma matriz inversa A, quando obedece à seguinte condição: A. A = A. A = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n. det(a) =.. = Determinante de ordem O resultado de um determinante de ordem ode ser obtido alicando-se uma extensão da regra anterior. Para facilitar a comreensão, odemos reetir as duas rimeiras colunas aós o determinante, e deois disso efetuar o cálculo: 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

11 Ex: Obtenção da inversa de ordem Para obtermos a inversa de uma matriz de ordem A det(a), odemos alicar uma regra rática: Ex: obter a inversa da matriz A det(a) = = Proriedades dos determinantes # Quando todos os elementos de uma fila são nulos, o resultado do determinante é zero; # Quando o determinante ossuir filas aralelas iguais ou roorcionais, seu resultado é zero; # O determinante da transosta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original: det(a t ) = det(a); # Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem, então det(a.b) = det(a).det(b); # O determinante da inversa de uma matriz é igual ao inverso do determinante da matriz original: det(a ) det(a) ) Dada uma matriz A, determine: 8 a) det(a) b) det(a t ) c) det(a ) d) det(a²) 7) Calcule o determinante da matriz A = # Quando trocamos duas filas aralelas de osição, o resultado do determinante ficará com o sinal trocado; 8) Determine o valor de x da matriz modo que o determinante seja igual a : x x x de # Quando multilicamos uma fila or um número, o resultado do determinante ficará multilicado or este número; 9) Determine o valor de x da matriz modo que o determinante se anule: x x de 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

12 ) Dada a matriz Método da adição A, calcule: x x x y y somando as equações x a) det(a) b) det(a t ) y y c) det(a ) d) det(a²) Três equações e três variáveis ) Calcule o valor do determinante A 9 Método da substituição Isolamos uma das variáveis em uma das equações e 8 7 a substituímos nas outras duas equações, reduzindo o sistema de três equações e três variáveis a um ) Calcule o valor do determinante A = sistema de duas equações e duas variáveis, o qual resolvemos, e deois então substituímos as soluções em uma das equações originais ara obter o valor da variável que faltava. ) Resolver a equação x x x = - x x x y y y z z z 7 ) A equação n n n = tem como isolando x na terceiraequação: x y z substituin do nas outras duas equações : solução ara n: ( ( y y z) z) y y z z 7 SISTEMAS LINEARES y y z z y z y z 7 Duas equações e duas variáveis: 7 y z 7y z ( ) Método da substituição x y y x x y x ( x) x x x x y y 7y z 7y z z z 7y. 7y 9 7y y x. x somando as equações 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

13 EXERCÍCIOS ) Um atirador deveria receber reais or tiro acertado no alvo e agar a metade cada vez que errasse. Deois de tiros, recebeu 8 reais. Quantos tiros acertou? ) Um taxista trocou uma nota de reais or notas de reais e reais num total de 9 notas. Quantas notas de cada valor o taxista recebeu? ) Em um estacionamento ara veículos areendidos há veículos entre motos e carros. Sendo o total de rodas igual a 8, quantos são os veículos de cada tio? custa R$,. Quantas multas de cada tio ele alicou? 7) Um acote tem balas, algumas de uva e as demais de laranja. Se a terça arte do dobro do número de balas de uva excede a metade do número de balas de laranja em unidades, então, nesse acote há quantas balas de cada tio? 8) Deseja-se intar duas fileiras de cinco quadrados num muro retangular de metros de comrimento or, metros de altura, conforme a figura a seguir. Os lados dos quadrados serão aralelos às laterais do ) O Sr. Pedrão é dono de uma equena fazenda, a muro e as distâncias entre os quadrados e entre cada qual é administrada elo filho dele, Pedro. Pedro gosta quadrado e a borda do muro serão todas iguais. de fazer algumas brincadeiras com o ai. No fim do Nessas condições, a medida do lado de cada mês, Pedro semre deve dar um relatório do quadrado, em metros, será: andamento da fazenda. O relatório deste mês foi o seguinte: Entre orcos e galinhas consegui contar 9) Uma fábrica de doces vende caixas com atas e cabeças. Quantos orcos e unidades de bombons recheados com dois sabores, quantas galinhas há exatamente na fazenda do Sr. morango e caramelo. O custo de rodução dos Pedrão? bombons de morango é de centavos or unidade, enquanto o dos bombons de caramelo é de ) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, uma centavos or unidade. Os demais custos de rodução essoa ercorre km or mês. Para isso, em são desrezíveis. Sabe-se que cada caixa é vendida alguns dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, or R$7, e que o valor de venda fornece um lucro uma motocicleta. Considerando que o custo do de % sobre o custo de rodução de cada bombom. quilômetro rodado é de centavos ara o automóvel O número de bombons de cada sabor contidos em e de 7 centavos ara a motocicleta, calcule quantos uma caixa é igual a: quilômetros a essoa deve andar em cada um dos veículos, ara que o custo total mensal seja de R$ ) Pafúncio, Estruício e Emingarda foram a uma 7,. lanchonete. Pafúncio comeu astéis e tomou dois sucos, agando R$9, elo lanche; Estruício comeu ) Um olicial rodoviário alicou durante uma blitz astéis e tomou um refrigerante, agando R$, aenas dois tios de multa, num total de 8, sendo elo lanche; Emingarda comeu um astel e tomou que o valor arrecadado será de R$,. Cada dois sucos, agando R$, elo lanche. Sabendo multa do tio A custa R$, e cada multa do tio B que todos agaram os valores certos de cada item, 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

14 então odemos afirmar que um astel e um suco custam o mesmo que dois refrigerantes. cédulas de cinco reais usadas ara o agamento da conta foi de: ) Emingarda será madrinha de casamento de sua irmã e retende resenteá-la com artigos de cozinha. Na rimeira loja or ela visitada, o reço de um conjunto que tem anelas, frigideiras e leiteira é de R$ 9,; na segunda loja visitada, o reço de um conjunto comosto or anelas, frigideira e leiteira é de R$ 79,; na terceira loja visitada o reço de um conjunto com anelas, frigideira e leiteira é de R$,. Se o reço de cada anela, da frigideira e da leiteira é o mesmo em todas as lojas or ela visitada, então ode-se afirmar que o reço de um conjunto comosto or anelas, frigideiras e leiteira é igual a: CONJUNTOS É um agruamento de elementos, e são reresentados or letras maiúsculas do alfabeto latino e seus elementos são disostos entre chaves. Ex: A = {vogais} = {a,e,i,o,u} Existem duas outras formas de reresentação: Comreensão A {x / x Diagramas é vogal} ) Pedrão entrou numa lanchonete e ediu hambúrgueres, suco de laranja e cocadas, gastando R$,. Na mesa ao lado, algumas essoas ediram 8 hambúrgueres, sucos de laranja e cocadas, gastando R$ 7,. Sabendo-se que o reço de um hambúrguer, mais o de um suco de CONJUNTOS NUMÉRICOS laranja, mais o de uma cocada totaliza R$,, calcule o reço de cada um desses itens. NÚMEROS NATURAIS (N) São aqueles que a natureza nos ensina: ) Uma herança de R$ 7., foi distribuída N = {,,,,,,...} entre irmãs, de modo que a filha do meio recebeu metade do que recebeu a filha mais nova e a mais NÚMEROS INTEIROS (Z) velha recebeu o equivalente à metade do que São os Naturais e seus oostos: receberam juntas a mais nova e a do meio. Em reais, Z = {...,,,,,,,,...} a filha mais velha recebeu: Obs: Z* = números inteiros menos o zero Z + = inteiros não negativos ) Uma conta no valor de R$ 9, foi aga com (Z + = {,,,...}) cédulas de dois, cinco, dez e de vinte reais, Z = inteiros não ositivos totalizando cédulas. Juntando-se as cédulas de (Z = {...,,,,}) cinco com as de dez reais usadas no agamento, obteve-se um total de dez cédulas, e a quantidade das cédulas de vinte reais usadas foi de um terço do número de cédulas de dois reais. A quantidade de 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

15 NÚMEROS RACIONAIS (Q) Um número racional Q ode ser definido como: Q Z Portanto, nos números racionais, além dos inteiros, estão as frações e os decimais obtidos como resultado das mesmas (exatos e não exatos eriódicos). NÚMEROS IRRACIONAIS (I) São os decimais não exatos e não eriódicos. Ex:,,e,7,,,,7 NÚMEROS REAIS (R) Ao juntarmos os números racionais (Q) com os irracionais (I), obtemos o conjunto dos números reais (R). Por diagramas: Z * EXERCÍCIOS ) Dado o conjunto A = {,,,{},}, comlete os esaços em branco a seguir: a) A b) {} A c) A d) {} A e) {{}} A f) A A g) A ) Seja o conjunto A = {, {},, {}, {, }} É correto afirmar que: a) A b) {,} A c) {,} A d) os elementos de A são e e) o número de subconjuntos de A é = OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS PERTINÊNCIA ( ou ) A ertinência (ertence ou não ertence) será utilizada quando relacionarmos elemento e conjunto. SUBCONJUNTO ( ou e ou ) Quando a relação for entre conjuntos, diremos que um conjunto está ou não contido em outro, ou ainda que um conjunto contém ou não outro. O número de subconjuntos de um conjunto é dado or n, onde n é o número de elementos do conjunto UNIÃO (U) Como o rório nome diz: vamos unir os conjuntos, ou seja, juntar os elementos dos dois conjuntos. Obs: Quando houver elementos reetidos, aenas um deles aarecerá no conjunto. Por diagramas: 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

16 INTERSECÇÃO ( ) Consideramos aenas os elementos em comum. Por diagramas: A B ) Em uma turma de alunos, raticam natação e futebol, 9 raticam natação e raticam futebol. a)qual a orcentagem de alunos que raticam um, e somente um, desses esortes? b)qual a orcentagem de alunos que não raticam nenhum desses esortes? ) Na escola do rofessor Golias, são raticadas duas modalidades de esortes: o futebol e a natação. Exatamente 8% dos alunos raticam futebol e %, natação. Se a escola tem alunos e todo aluno DIFERENÇA ( ) São os elementos que aarecem no rimeiro conjunto e que não aarecem no segundo conjunto. Por diagramas: A B ratica elo menos um esorte, então o número de alunos que raticam os dois esortes é: ) Em uma cidade com. habitantes há três clubes recreativos: Colina, Silvestre e Camestre. Feita uma esquisa, foram obtidos os seguintes resultados: % da oulação freqüenta o Colina; % o Silvestre; % o Camestre; 8% o Colina e o Silvestre; % o Colina e o Camestre; e % o Silvestre e o Camestre. Somente % freqüentam os três clubes. O número de habitantes que não freqüentam nenhum destes três clubes é: 7) Um instituto de esquisas entrevistou. EXERCÍCIOS ) Sejam os conjuntos: A x N / x 8 e B x R / x 8 indivíduos, erguntando sobre sua rejeição aos artidos A e B. Verificou-se que essoas rejeitavam o artido A; que essoas rejeitavam o artido B e que essoas não tem rejeição alguma. O número de indivíduos que rejeitam os dois artidos é: Assinale o que for correto. a ) A b ) A c ) A d ) A e ) A B B B B B B A 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

17 ) ) ) 7 ) 9 ) 8 ) 7) 8 8) 8 9). ) ) ) 8 ) ) ) ) 888 7) 8) 9) 88 ) ) ) ) ) 8 ) 8 ), % ) % ) ) ) a) V GABARITO ANÁLISE COMBINATÓRIA PROBABILIDADES b) V c) V d) V e) F ) % 7) 8 8) 99 9) 9% ) % ) 8% ) 8% ) 7 ) ) 9 ) ) A X A X ) A MATRIZES E DETERMINANTES e B 8 ) x = e y = ) a = ) A 7) B 8) c = 9) X Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores 7

18 ) X SISTEMAS LINEARES ) X ) 7 9 A B ) M t = ( ) ) x =, y =, z =, t = ) A ) 7) 8) 9) ) ) ) ) X ) X ) e) 9 7 ) a) det(a) = b) det(a t ) = c) det(a ) = / d) det(a²) = 7) det(a) = 8) x = e x = / 9) x = ) a) det(a) = b) det(a t ) = c) det(a ) = / d) det(a²) = ) det(a) = 8 ) det(a) = 9 ) x = e x = / ) n = e n = ) ) notas de R$, e notas de R$, ) 9 motos e carros ) orcos e galinhas ) km com o carro e km com a moto ) do tio A e do tio B 7) de laranja e de uva 8),m 9) de caramelo e de morango ) Falso ) R$, ) hambúrguer = R$,; cocada = R$,; suco = R$, ) R$ 9., ) 7 CONJUNTOS ) a) b) c) d) ou e) f ) g) ) b) ) a) V b) F c) V d) V e) V ou ) a) % b) % ) ) 7) 8 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

19 SENTENÇAS OU PROPOSIÇÕES São os elementos que exressam uma idéia, mesmo que absurda. Estudaremos aenas as roosições declarativas, que odem ser classificadas ou só como verdadeiras (V), ou só como falsas (F). As roosições serão reresentadas or letras do alfabeto latino:, q, r, s... Ex: : Pedrão é rofessor. q: Todas as mulheres dirigem mal. r: O Grêmio é o melhor time do Brasil. s: + = t:. + > u: ( ) SENTENÇAS FECHADAS São sentenças que odem ser classificadas ou só como verdadeiras ou só como falsas. Ex: + 7 = 8 < 9 MODIFICADORES O não (símbolos: ~ ou ) é utilizado ara reresentar a negativa de uma roosição. Lê-se: não. Ex: : Pedrão é um bom rofessor. ~ (ou ): Pedrão não é um bom rofessor. Obs: se o símbolo aarecer antes de um arênteses ( ), devemos ler: não é verdade que... Obs: há outros tios de sentenças que não serão estudadas or não oderem ser classificadas ou só como verdadeiras ou só como falsas: CONECTIVOS São utilizados ara comor roosições comostas, a artir de roosições simles: Interrogativas ex: Será que vou arender Conjunção: e (símbolo: ) lógica? Disjunção: ou (símbolo: ) Exclamativas ex: Feliz aniversário! Condicional: se..., então (símbolo: ) Imerativas ex: Exlique bem a matéria. Bicondicional: se, e somente se (símbolo: ) Cuidado: ara ser roosição é necessário esecificar o sujeito. Ex: Aquelas questões são PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS difíceis. (não é roosição) : Pedrão é rofessor. (simles) q: Karol é linda. (simles) SENTENÇAS ABERTAS q: Pedrão é rofessor e Karol é linda. São sentenças onde elementos são substituídos (comosta) or variáveis, não odendo ser classificadas ou só q: Pedrão é rofessor ou Karol é linda. como verdadeiras ou só como falsas, ois há infinitos (comosta) valores que odem ser substituídos nas variáveis, q: Se Pedrão é rofessor, então Karol é linda. tornando-as verdadeiras ou falsas. (comosta) Ex: x + y = q: Pedrão é rofessor se e somente se Karol x + > 7 é linda. (comosta) Se x é rofessor de y, então x é rofessor de z. 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores 9

20 TABELA-VERDADE É uma tabela que exibe todas as valorações que uma frase ode assumir. O número de linhas de uma tabela-verdade é dado or n, onde n é o número de roosições simles que comõem a tabela-verdade. CONECTIVO E ( ) CONJUNÇÃO Considere as seguintes situações: ª) : Pedrão é rofessor. (V) q: Karol é linda. (V) q: Pedrão é rofessor e Karol é linda. (V) ª) : Pedrão é rofessor. (V) q: Karol é linda. (F) q: Pedrão é rofessor e Karol é linda. (F) ª) : Pedrão é rofessor. (F) q: Karol é linda. (V) q: Pedrão é rofessor e Karol é linda. (F) ª) : Pedrão é rofessor. (F) q: Karol é linda. (F) q: Pedrão é rofessor e Karol é linda. (F) Observe que a conjunção q só é verdadeira se e q são verdadeiras. Para ajudar na interretação das roosições: a conjunção q também ode ser interretada como: # e então q: Pedrão é rofessor e então Karol é linda # e também q: Pedrão é rofessor e também Karol é linda # mas q: Pedrão é rofessor mas Karol é linda # embora q; Pedrão é rofessor embora Karol seja linda # assim como q: Pedrão é rofessor assim como Karol é linda # aesar de que também q: Pedrão é rofessor aesar de que Karol também é linda # não só, mas, ainda, q: não só Pedrão é rofessor, mas, ainda, Karol é linda # não aenas, como também q: não aenas Pedrão é rofessor, como também Karol é linda Pela tabela-verdade: q q V V V V F F F V F F F F CONECTIVO OU ( ) DISJUNÇÃO O conectivo ou ode ter dois sentidos; Inclusivo ( ): Pafúncio é atleta ou Pafúncio é lindo. (odem ocorrer as situações isoladamente ou ambas ao mesmo temo) Exclusivo ( ); Pafúncio é Paranaense ou Pafúncio é Catarinense. (não odem ocorrer ambas as situações ao mesmo temo). As situações de ou exclusivo não serão estudadas. Considere as seguintes situações de ou inclusivo: ª) : Pedrão é rofessor. (V) q: Karol é linda. (V) q: Pedrão é rofessor ou Karol é linda. (V) ª) : Pedrão é rofessor. (V) q: Karol é linda. (F) q: Pedrão é rofessor ou Karol é linda. (V) ª) : Pedrão é rofessor. (F) q: Karol é linda. (V) q: Pedrão é rofessor ou Karol é linda. (V) ª) : Pedrão é rofessor. (F) q: Karol é linda. (F) q: Pedrão é rofessor ou Karol é linda. (F) Observe que a disjunção q só é falsa se e q são falsas. 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

21 Pela tabela-verdade: q q V V V V F V F V V F F F CONECTIVO SE..., ENTÃO ( ) CONDICIONAL Considere as seguintes situações: ª) : Pedrão é rofessor. (V) q: Karol é linda. (V) q: Se Pedrão é rofessor então Karol é linda. (V Pedrão é rofessor e Karol é linda) ª) : Pedrão é rofessor. (V) q: Karol é linda. (F) q: Se Pedrão é rofessor então Karol é linda. (F quando Pedrão é rofessor Karol tem que ser linda ) ª) : Pedrão é rofessor. (F) q: Karol é linda. (V) q: Se Pedrão é rofessor então Karol é linda. (V quando Pedrão não é rofessor Karol ode ou não ser linda) ª) : Pedrão é rofessor. (F) q: Karol é linda. (F) q: Se Pedrão é rofessor então Karol é linda. (V quando Pedrão não é rofessor Karol ode ou não ser linda) Observe que a condicional q só é falsa se é verdadeira e q é falsa. Para ajudar na interretação das roosições: A condicional q também ode ser interretada como: # se,q: se Pedrão é rofessor, Karol é linda # q se : Karol é linda se Pedrão é rofessor # todo é q: toda vez que Pedrão é rofessor, Karol é linda # quando, q: quando Pedrão é rofessor, Karol é linda # imlica (ou acarreta) q: Pedrão ser rofessor imlica (ou acarreta) Karol ser linda # somente se q: Pedrão é rofessor somente se Karol é linda # é condição suficiente ara q: Pedrão ser rofessor é condição suficiente ara Karol ser linda # q é condição necessária ara : Karol ser linda é condição necessária ara Pedrão ser rofessor Pela tabela-verdade: q q V V V V F F F V V F F V CONECTIVO SE, E SOMENTE SE ( ) BICONDICIONAL Considere as seguintes situações: ª) : Pedrão é rofessor. (V) q: Karol é linda. (V) q: Pedrão é rofessor se e somente se Karol é linda. (V) ª) : Pedrão é rofessor. (V) q: Karol é linda. (F) q: Pedrão é rofessor se e somente se Karol é linda. (F) ª) : Pedrão é rofessor. (F) q: Karol é linda. (V) q: Pedrão é rofessor se e somente se Karol é linda. (F) ª) : Pedrão é rofessor. (F) q: Karol é linda. (F) q: Pedrão é rofessor se e somente se Karol é linda. (V) 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

22 Observe que a bicondicional q só é verdadeira se e q são ambas verdadeiras ou falsas. Para ajudar na interretação das roosições: A bicondicional q também ode ser interretada como: # se e só se q: Pedrão é rofessor se e só se Karol é linda # se então q e se q então : se Pedrão é rofessor então Karol é linda e se Karol é linda então Pedrão é rofessor # somente se q e q somente se : Pedrão é rofessor somente se Karol é linda e Karol é linda somente se Pedrão é rofessor # é equivalente a q e q é equivalente a : Pedrão ser rofessor é equivalente a Karol ser linda e Karol ser linda é equivalente a Pedrão ser rofessor # é condição necessária e suficiente ara q e q é condição necessária e suficiente ara : Pedrão ser rofessor é condição necessária e suficiente ara Karol ser linda e Karol ser linda é condição necessária e suficiente ara Pedrão ser rofessor # todo é q e todo q é : toda vez que Pedrão é rofessor, Karol é linda e toda vez que Karol é linda, Pedrão é rofessor Pela tabela-verdade: q q V V V V F F F V F F F V VALORAÇÃO LÓGICA Consiste em fazer a análise de roosições comostas, atribuindo um resultado V ou F ara as mesmas, utilizando ara isso o que foi estudado nos casos de alicação dos conectivos (,,, ). MONTAGEM DE UMA TABELA-VERDADE Entre os objetivos de montar uma tabela-verdade, temos o de determinar o número de valorações verdadeiras e falsas de uma sentença. A comaração entre as valorações de duas ou mais sentenças nos ermite verificar se as mesmas são: Equivalentes (são equivalentes quando ossuírem as mesmas valorações: V com V, F com F). Negativas (são negativas quando ossuírem as valorações oostas: V com F, F com V). Tautologia é uma roosição comosta onde os resultados da tabela-verdade são semre verdadeiros (V). Ex: Pela tabela-verdade: P V F V F V V Contradição é uma roosição comosta onde os resultados da tabela-verdade são semre falsos (F). Ex: Dizer q é o mesmo que dizer ( q) (q ). Se Pedrão é rofessor, então Karol é linda e, se Karol é linda, então Pedrão é rofessor são formas diferentes de exressar a mesma idéia. Pela tabela-verdade: P V F F F V F 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

23 Contingência é uma roosição comosta onde os resultados da tabela-verdade odem ser verdadeiros (V) e odem ser falsos (F). Ex: Pela tabela-verdade: P V F F F V V IMPLICAÇÕES LÓGICAS O símbolo é utilizado ara reresentar uma relação entre duas roosições (comostas ou não), o que é diferente do símbolo que é utilizado ara reresentar uma oeração entre duas roosições. A roosição q (dizemos imlica q) ocorre quando não houver VF (nessa ordem) nas colunas de suas tabelas-verdade. Também odemos afirmar que a roosição q ocorre quando a roosição q for uma tautologia Ex: q Pela tabela-verdade: q q ( q ) V V V V V F V V F V F V F F V V Observe na tabela-verdade que em q não ocorre VF (nessa ordem), e que ( q ) é uma tautologia. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS O símbolo é utilizado ara reresentar uma relação entre duas ou mais roosições, o que é diferente do símbolo que é utilizado ara reresentar uma oeração entre duas ou mais roosições. A roosição q (dizemos equivale a q) ocorre quando não houver VF nem FV nas colunas de suas tabelas-verdade. Ex: q q Pela tabela-verdade: q q q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V Observe na tabela-verdade que em q q não ocorre VF nem FV. No oular : só serão equivalentes quando os resultados de sua tabelas-verdade forem idênticos (V com V ou F com F). Observe na tabela-verdade que em q q todas as linhas são corresondentes (V com V ou F com F). NEGAÇÕES LÓGICAS Duas roosições são negativas quando na tabela-verdade observarmos que em todas as linhas ocorre VF ou FV. Ex: ( q) ; ( q) Pela tabela-verdade: q q q q V V F F V F V F F V F V F V V F F V F F V V F V 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

24 Observe na tabela-verdade que em ( q) ; ( q) todas as linhas são V com F ou F com V. EXERCÍCIOS ) Quais são as roosições declarativas, entre as sentenças abaixo? a) Feliz dia dos rofessores! b) Curitiba é a caital do Paraná. c) Quem é você? d) Pedro é filho de Pedrão. e) Faça os exercícios. f) Esta frase está errada. g) x y < h) =. i) + = j) x + = ) Considere as roosições: : João é filho de Ana. q: João é simático. Escreva cada uma das sentenças abaixo, dadas na forma simbólica: a) b) q c) q d) q e) q f) q g) q h) q i) q j) q k) ( q) l) ( q) m) ( q) n) ( q) o) ( ) ) Considerando as roosições abaixo, asse as sentenças ara a forma simbólica: : O rofessor ensinou. q: O aluno assou no concurso. a) O rofessor ensinou e o aluno assou no concurso. b) O rofessor ensinou ou o aluno assou no concurso. c) O rofessor não ensinou e o aluno assou no concurso. d) O rofessor não ensinou ou o aluno não assou no concurso. e) O rofessor não ensinou e o aluno não assou no concurso. f) Não é verdade que o rofessor ensinou e o aluno assou no concurso. g) Não é verdade que o rofessor não ensinou e o aluno não assou no concurso. h) Não é verdade que o rofessor não ensinou. i) Não é verdade que o aluno assou no concurso. j) O rofessor ensinou e não é verdade que o aluno não assou no concurso. ) Considere as roosições: : João é filho de Ana. q: João é simático. Escreva cada uma das sentenças abaixo, dadas na forma simbólica: a) q b) q c) q d) ( q) e) ( q) f) ( q) g) ( q) h) ( q) i) ( q) j) ( q) k) ( q) q 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

25 l) ( q) q h) ( q) (r s) m) ( q) q i) [ ( q) (r s)] n) ( q) q j) [ ( q) (r s)] k) [ ( r) (q s)] ) Dê o valor lógico de cada uma das roosições l) [ ( r) (q s)] abaixo: m) [( r) ( q s)] a) + = e > n) [ ( q)] [( q) ] b) + = ou > c) se + = então > o) [r (r s)] [(r s) s] d) + = se e somente se > 7) Construir a tabela-verdade ara cada uma das e) Pedrão é rofessor de matemática e de sentenças a seguir, dizendo quantas são as raciocínio lógico. f) Pedrão é rofessor de matemática ou de valorações verdadeiras e quantas são as valorações falsas: raciocínio lógico. a) q g) Pedrão é rofessor de matemática e de b) q ortuguês. c) q h) Pedrão é rofessor de matemática ou de d) ( q) ortuguês. e) q i) Lula é nordestino e Lula é residente. f) ( q) j) Lula é nordestino ou Lula é residente. g) ( q) k) Se Lula é nordestino então Lula é residente. h)( q) l) Lula é nordestino se, e somente se, Lula é i)( q) ( q) residente. j)( q) ( q) m) O curso Arovação é de Curitiba e Curitiba é a caital do Brasil. k)( q) ( q) n) O curso Arovação é de Curitiba ou Curitiba é a 8) Verifique se as roosições são equivalentes: caital do Brasil. a)q q o) Se o curso Arovação é de Curitiba então b) q q Curitiba é a caital do Brasil. c) q q d) q q ) Sendo e q roosições verdadeiras e r e s e) q ( q) roosições falsas, julgue cada uma das sentenças abaixo: f)( q) ( s) (q s) a) r 9) Verifique se as roosições são negativas: b) s q a) ( q) ; ( q) c) r s b) ( q) ; ( q) d) q c) ( q) ; ( q) e) ( q) (r s) d) ( q) ; ( q ) f) ( q) (r s) g) ( q) (r s) e) ( q) ; (q ) 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

26 ) Verifique se as roosições são tautologias, contradições ou contingências: a) ( r) (q r) b) ( r) ( q r) c) ( q) (q r) ) Escreva em linguagem simbólica e verifique que são logicamente equivalentes as roosições: Se meu nome é Pedrão, então ensinarei lógica. e Ensinarei lógica ou não me chamo Pedrão. ) Dizer Pedrão não é rofessor ou Serginho é aulista é o mesmo que dizer Se Pedrão é rofessor, então Serginho é aulista? ) Dizer Pedrão é rofessor ou Serginho não é aulista é o mesmo que dizer Pedrão não é rofessor e Serginho é aulista? Inversas; ara obter a inversa, basta negar as roosições. q tem como inversa q Duas roosições inversas não são logicamente equivalentes (uma ode ser verdade sem que a outra seja) Contraositivas: ara obter a contraositiva, devemos trocar o sentido da condicional e negar as roosições. q tem como contraositiva q q q Duas roosições contraositivas são logicamente equivalentes (semre que uma for verdade a outra também será) PRINCIPAIS NEGATIVAS E EQUIVALÊNCIAS ) É correto afirmar que a negativa da sentença Hoje é sexta-feira e amanhã não vai chover é Hoje não é sexta-feira ou amanhã não vai chover. ) É correto afirmar que a negativa da sentença Arendi lógica então acertarei esta questão é Arendi lógica e não acertarei esta questão? ) É correto afirmar que a negativa da sentença Se a crise aumentar, então as vendas de Natal vão cair é As vendas de Natal vão aumentar ou a crise vai diminuir? PROPRIEDADES DA CONDICIONAL NEGATIVAS As negações são muito exloradas como: a negativa de... é... # e virando ou: Original: q ( e q) Negação: ( q) q e vira ou e nega tudo. # ou virando e: Original: q ( ou q) Negação: ( q) q ou vira e e nega tudo. Recírocas: ara obter a recíroca, basta trocar o sentido da condicional. Ex: A negativa de Pedrão é rofessor ou Karol não é linda é: Pedrão não é rofessor e Karol é q tem como recíroca q linda. Duas roosições recírocas não são logicamente equivalentes (uma ode ser verdade sem que a outra seja) 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores

27 # se... então virando e: Original: q (se então q) Negação: ( q) q se...então vira e e nega a segunda. # e virando se... então: Original: q ( e q) Negação: ( q) q e vira se...então e nega a segunda. Ex: A negativa de Se Pedrão é rofessor, então Karol é linda é: Pedrão é rofessor e Karol não é linda. EQUIVALÊNCIAS As equivalências são muito exloradas como: dizer... é equivalente a dizer... # Se... então virando ou: Original: q Equivalência: q q Se... então vira ou e nega a rimeira. # ou virando se... então: Original: q Equivalência: q q ou vira se... então e nega a rimeira. Ex: Dizer Se Pedrão é rofessor então Karol é linda é logicamente equivalente a dizer que Pedrão não é rofessor ou Karol é linda. # Se...então virando se...então: Original: q Equivalente (contraositiva troca or q e nega tudo): q q Ex: Dizer Se Pedrão é rofessor então Karol é linda é logicamente equivalente a dizer Se Karol não é linda então Pedrão não é rofessor. EXERCÍCIOS 7) Dadas as roosições abaixo, determine as recírocas, as inversas e as contraositivas em cada caso: a) q b) q c) q 8) Considere a roosição: Se ele é um bom rofessor, então, ele exlica bem a matéria. Determine a recíroca, a inversa e a contraositiva. 9) Determine a recíroca da inversa da contraositiva da roosição q: ) Dizer que André é artista ou Bernardo não é Engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. ) A negação da sentença Ana não voltou e foi ao cinema é: a) Ana não voltou e foi ao cinema. b) Ana voltou e não foi ao cinema. c) Ana não voltou ou não foi ao cinema d) Ana não voltou e não foi ao cinema e) Ana voltou ou não foi ao cinema. 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores 7

28 ) Dizer Se meu nome é Pedrão, então ensinarei lógica. É logicamente equivalente a dizer que: a) Meu nome é Pedrão ou ensinarei lógica. b) Meu nome é Pedrão e ensinarei lógica. c) Se ensinarei lógica, então meu nome é Pedrão. d) Ensinarei lógica ou me chamo Pedrão. e) Ensinarei lógica ou não me chamo Pedrão. ) É correto afirmar que a negativa da sentença Arendi lógica, então acertarei esta questão é: a) Não arendi lógica, então não acertarei esta questão. b) Não arendi lógica, então acertarei esta questão. c) Arendi lógica e não acertarei esta questão. d) Arendi lógica e acertarei esta questão. e) Não acertarei esta questão, então não arendi ) Dizer Pedrão não é rofessor ou Serginho é lógica. aulista é o mesmo que dizer: a) Se Pedrão é aulista, então Serginho é rofessor. b) Se Pedrão não é rofessor, então Serginho não 7) É correto afirmar que a equivalente da sentença Se a crise aumentar, então as vendas de Natal vão cair é: é aulista. c) Se Pedrão não é rofessor, então Serginho é aulista. d) Se Pedrão é rofessor, então Serginho não é aulista. e) Se Pedrão é rofessor, então Serginho é aulista. a) As vendas de Natal vão cair então a crise não vai aumentar. b) As vendas de Natal não vão cair então a crise vai aumentar. c) As vendas de Natal não vão aumentar então a crise vai diminuir. d) As vendas de Natal não vão aumentar então a ) A negativa de Pedrão é rofessor ou Serginho não é aulista é: a) Pedrão é aulista e Serginho é rofessor. crise não vai diminuir. e) As vendas de Natal vão aumentar então a crise vai diminuir. b) Pedrão é rofessor e Serginho não é aulista. c) Pedrão não é rofessor e Serginho não é Lógica da argumentação aulista. d) Pedrão é rofessor e Serginho é aulista. Argumento e) Pedrão não é rofessor e Serginho é aulista. Um argumento é uma série de afirmações ) É correto afirmar que a negativa da sentença Hoje é sexta-feira e amanhã não vai chover é: a) Hoje é sábado e amanhã vai chover. (roosições chamadas de remissas) que irão gerar uma única roosição (chamada de conclusão). Podemos dizer então que: b) Hoje não é sexta-feira e amanhã não vai chover. remissas + conclusão = argumento c) Hoje não é sexta-feira e amanhã vai chover. d) Hoje não é sexta-feira ou amanhã não vai Obs: o argumento normalmente virá deois das chover. alavras ortanto (será reresentado elo símbolo ) e) Hoje não é sexta-feira ou amanhã vai chover. ou logo. 8 9 Neste curso os melhores alunos estão sendo rearados elos melhores Professores