MODELO HIDRÁULICO PARA TRANSITÓRIOS LENTOS EM CONDUTO FORÇADO

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL ARQUITETURA E URBANISMO DEPARTAMENTO DE RECURSOS HÍDRICOS MODELO HIDRÁULICO PARA TRANSITÓRIOS LENTOS EM CONDUTO FORÇADO Luz Fernando Resende dos Santos Anjo Campnas, Julho de 2008.

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3 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL ARQUITETURA E URBANISMO DEPARTAMENTO DE RECURSOS HÍDRICOS MODELO HIDRÁULICO PARA TRANSITÓRIOS LENTOS EM CONDUTO FORÇADO Doutorando: Luz Fernando Resende dos Santos Anjo Orentador: Prof. Dr. Edevar Luvzotto Júnor Texto apresentado à Comssão de Pós- Graduação da Faculdade de Engenhara Cvl, Arqutetura e Urbansmo da Unversdade de Campnas, como parte dos requstos para a obtenção do título de Doutor em Engenhara cvl, na área de Recursos Hídrcos. Campnas, Julho de 2008.

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5 DEDICATÓRIA Aos meus pas, mnhas rmãs e mnha avó pelo carnho, apoo e ncentvo. Com profunda saudade, dedco este trabalho aos meus avós Fernando Slva dos Santos Anjo, Manoel dos Santos Anjo e Margarda de Lourdes Santos Anjo.

6 AGRADECIMENTOS A DEUS. Ao Prof. Dr. Edevar Luvzotto Júnor, por sua orentação, pelos conhecmentos transmtdos, sugestões e apoo prestados. Meus snceros agradecmentos por tudo o que me ensnou, pela confança em mm depostada e prncpalmente por sua amzade. formação. Aos professores do Departamento de Recursos Hídrcos, fundamentas à mnha Aos meus grandes amgos Elas Ncolas e Edwn Antôno Aranda por todo o apoo que precse nclusve nas horas mas dfíces. Vocês tveram uma mportânca fundamental na realzação deste trabalho. Aos meus amgos Fernando Coelho, Henry, Fabríco Vera, Aderson, Rogéro (lobão), pelo apoo e pelo prazer de uma alegre convvênca. Às secretáras Paula e Mram.

7 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... LISTA DE SÍMBOLOS... v x RESUMO... xv 1 INTRODUÇÃO OBJETIVOS REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Modelo hdráulco para conduto forçado Modelo de qualdade MODELO MATEMÁTICO Modelo hdráulco Modelo não nercal (EPANET) Modelo dnâmco nercal rígdo proposta dessa tese Modelo de qualdade PROGRAMA DO MDIR ESTUDO DE CASOS Estudo 01 Comprovação do MDIR Estudo 02 Avalação em regme transtóro Sstema hdráulco reservatóro-tubo-reservatóro Rede hdráulca Rede hdráulca Estudo 03 Aceleração da convergênca do regme permanente (transtóro fctíco)... 93

8 6.3.1 Sstema hdráulco reservatóro-tubo Rede hdráulca Estudo 04 Dspersão do componente em regme permanente Sstema hdráulco reservatóro-tubo Sstema hdráulco reservatóro-tubo-reservatóro Rede hdráulca Rede hdráulca Estudo 05 Dspersão do componente em regme transtóro Sstema hdráulco reservatóro-tubo-reservatóro Rede hdráulca Rede hdráulca Estudo 06 Sstemas hdráulcos conhecdos na lteratura Rede hdráulca Rossman (1996) DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Estudo 01 Comprovação do MDIR Estudo 02 Avalação em regme transtóro Sstema hdráulco reservatóro-tubo-reservatóro Rede hdráulca Rede hdráulca Estudo 03 Aceleração da convergênca do regme permanente (transtóro fctíco) Sstema hdráulco reservatóro-tubo Rede hdráulca Estudo 04 Dspersão do componente em regme permanente Sstema hdráulco reservatóro-tubo Sstema hdráulco reservatóro-tubo-reservatóro Rede hdráulca Rede hdráulca Estudo 05 Dspersão do componente em regme transtóro Sstema hdráulco reservatóro-tubo-reservatóro Rede hdráulca Rede hdráulca v

9 7.6 Estudo 06 Sstemas hdráulcos conhecdos na lteratura CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO ABSTRACT v

10 LISTA DE FIGURAS Fgura 3.1 Desenho esquemátco de uma rede hdráulca Fgura 3.2 Zonas de valdez de cada modelo Fgura 3.3 Volume de controle e superfíce de controle Fgura 3.4 Seqüênca de cálculo da concentração na seção Fgura 3.5 Exemplo de uma rede hdráulca Fgura 3.6 Elementos de volumes dscretos num tubo Fgura 4.1 Seções do tubo Fgura 5.1 Rede hdráulca Fgura 5.2 Janela prncpal do programa Fgura 5.3 Janela para smular o transente Fgura 5.4 Letura do arquvo de dados Fgura 5.5 Fluxograma do MDIR Fgura Reservatóro-Tubo-Válvula Fgura Vazão obtda pelo MDIR e por solução analítca Fgura Vazão no nó 3 pelo MDIR (numérca e analítca) e pelo EPANET Fgura Dos reservatóros acoplados por um tubo Fgura Valores das cargas nos nós 1 e 2 obtdas pelos dos modelos v

11 Fgura Valores das vazões nos tubos 1 e 2 obtdas pelos dos modelos Fgura Valores das cargas no nó 1 obtdas pelos dos modelos Fgura Valores das cargas no nó 1 obtdas pelos dos modelos Fgura Valores das cargas no nó 2 obtdas pelos dos modelos Fgura Valores das cargas no nó 2 obtdas pelos dos modelos Fgura Valores das vazões no tubo 1 obtdas pelos dos modelos Fgura Valores das vazões nos tubos 2 e 3 obtdas pelos dos modelos Fgura Carga hdráulca no reservatóro R1 - Dr = 3m e D = 400mm Fgura Carga hdráulca no reservatóro R2 - Dr = 3m e D = 400mm Fgura Vazão no tubo - MDIR X EPANET - Dr = 3m e D = 400mm Fgura Vazão no tubo MDIR - Dr = 3m e D = 400mm Fgura Carga hdráulca no reservatóro R1 - Dr = 3m e D = 150mm Fgura Carga hdráulca no reservatóro R2 - Dr = 3m e D = 150mm Fgura Vazão no tubo MDIR X EPANET - Dr = 3m e D = 150mm Fgura Carga hdráulca no reservatóro R1 - Dr = 3m e D = 600mm Fgura Carga hdráulca no reservatóro R1 - Dr = 3m e D = 600mm Fgura Carga hdráulca no reservatóro R2 - Dr = 3m e D = 600mm Fgura Carga hdráulca no reservatóro R2 - Dr = 3m e D = 600mm Fgura Vazão no tubo EPANET - Dr = 3m e D = 600mm Fgura Vazão no tubo - MDIR - Dr = 3m e D = 600mm Fgura Vazão no tubo - MDIR X EPANET - Dr = 3m e D = 600mm Fgura Vazão no tubo - MDIR - Dr = 3m e D = 600mm v

12 Fgura Rede hdráulca smétrca Fgura Varação de nível R7 e R8 MDIR Dr = 3m Fgura Varação de nível R7 e R8 EPANET Dr = 3m Fgura Varação de nível R7 e R8 MDIR X EPANET Dr = 3m Fgura Rede hdráulca mas complexa Fgura Convergênca de carga obtda pelo MDIR e EPANET Fgura Vazão e carga obtda pelo MDIR após aumento de demanda Fgura Flutuação de carga no nó 8 obtda pelo MDIR Fgura Convergênca dos valores das vazões para dferentes valores de dt Fgura Valores das vazões para dt = 30s Fgura Concentração do componente no nó 3 pelo MDIR e EPANET Fgura Dspersão do componente EPANET Fgura Dspersão do componente MDIR Fgura Dspersão do componente no nó 1 MDIR para dferentes valores de α Fgura Dspersão do componente no nó 2 MDIR para dferentes valores de α Fgura Dspersão do componente no R2 MDIR para dferentes valores de α Fgura Dspersão do componente nos nós 1 e Fgura Dspersão do componente nos nós 2 e Fgura Dspersão do componente no nó Fgura Dspersão do componente no nó Fgura Dspersão do componente no R Fgura Dspersão do componente - nós 2 e 6 para α < v

13 Fgura Dspersão do componente - nó 4 α < Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 1 - α < Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 2 - α < Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 3 - α < Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 4 - α < Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 5 - α < Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 6 - α < Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 7 - α < Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 8 - α < x

14 Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 9 - α < Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 10 - α < Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 11 - α < Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 12 - α < Fgura Dspersão do componente na rede hdráulca nó 13 - α < Fgura Valores das concentrações do componente pelos dos modelos Fgura Valores das concentrações do componente no nó Fgura Valores das concentrações do componente em R Fgura Dspersão do componente - Dr = 3m e D = 600mm Fgura Dspersão no sstema hdráulco nó Fgura Dspersão no sstema hdráulco nó Fgura Dspersão do componente - nó Fgura Dspersão do componente - nó 5 detalhe Fgura Dspersão do componente - nó Fgura Dspersão do componente - nó 7 detalhe Fgura Dspersão do componente - nó Fgura Dspersão do componente nó 12 detalhe Fgura Dspersão do componente - nó Fgura Dspersão do componente - nó 5 detalhe Fgura Dspersão do componente - nó Fgura Dspersão do componente - nó 7 detalhe Fgura Dspersão do componente - nó x

15 Fgura Dspersão do componente - nó 12 detalhe Fgura Sstema hdráulco proposto por Rossman Fgura Dspersão no sstema hdráulco - nó 2 Rossman Fgura Dspersão no sstema hdráulco nó 2 - α < Fgura A.1 Rede hdráulca x

16 LISTA DE SÍMBOLOS A A r A j A 12 área da seção transversal do tubo. Área da seção transversal do reservatóro. matrz Jacobana. matrz de ncdênca de ncógntas cargas nodas. A 21 matrz de ncdênca de ncógntas cargas nodas, transposta de A 12. A 10 A 11 a B C C T C m C es C c ' D D s d d m E T E F matrz de ncdênca de nós com carga fxa. matrz dos coefcentes de energa. celerdade. matrz dagonal quadrada de ordem np. concentração de um componente. concentração do componente no tanque ou reservatóro. concentração da demanda no nó. matrz dagonal dos coefcentes dos nós para o regme transtóro. concentração méda do componente. varação nstantânea da concentração do componente. dâmetro do tubo. coefcente de dspersão. coefcente que depende do problema: concentração, custo e dade. demanda no nó. matrz de ncdênca. transposta da matrz de ncdênca. vetor. x

17 F r F av F m F v F w f perda de carga devdo ao atrto. força de atrto vscoso. perda de carga localzada em acessóros. perda de carga num elemento. perda de carga dstrbuída. f (q) função da carga fator de atrto da fórmula unversal de perda de carga. f (Q) le que expressa a varação de carga nos tubos. G g H H 0 H 1 H 2 H B matrz dagonal quadrada aceleração da gravdade. carga pezométrca no nó. nó com carga hdráulca fxa ou conhecda. carga pezométrca no nó de montante. carga pezométrca no nó de jusante. carga hdráulca da bomba. H vetor de dferença de carga. H V perda de carga na válvula. H m dferença máxma de alturas entre reservatóros. h h 1 h 2 h 3 J j K Kd carga no nó. carga no reservatóro de nível varado. carga no nó da rede. carga no reservatóro de nível fxo. dentfcador do tubo ou trecho. matrz jacobana. dentfcador do nó. coefcente de perda de carga. coefcente de decamento da concentração do componente. x

18 K 1 L LV M T M Mp m m L m m o N NV NX N t NC n n v n nn no np P C Pk p p j p ρg coefcente de taxa de reação de prmera ordem. comprmento do tubo. valor assocado ao tubo: custo ou dade. matrz de conexão. transposta da matrz de conexão. produto de matrzes. massa do componente. coefcente de perda de carga localzada. descarga em massa nos tubos. demandas em massa nos nós. matrz dagonal do expoente do termo de perda de carga. valor assocado ao nó: custo. número de seções do tubo. número de tubos. número de tubos que convergem ao nó. nstante de tempo. expoente da vazão. vetor normal. número de nós com carga ncógnta. número de nós com carga fxa. número de tubos com ncógnta vazão. perda de carga da fórmula unversal de Darcy-Wesbach parâmetro em estudo: concentração, custou e dade. pressão no nó. nverso da dervada da perda de carga no tubo. cargas pezométrcas dos nós. xv

19 p ρg Q varação de carga pezométrca de um trecho. descarga em volume nos tubos. Q ( t) descarga em volume nos tubos ao longo do tempo. Q es descarga em volume das demandas nos nós. Q ( ) vazão que verte pela solera de um vertedor dentro do reservatóro. 1 t Q ( ) demanda de um nó na rede. 2 t Q ( ) vazão que entra ou sa de um reservatóro de nível fxo 3 t Q varação da vazão. q R R f r r o S SP Sf S j ds s T T c T r t t U U U vazão no tubo. coefcente de perda de carga. produto de matrzes. termo de perda de carga. rao do tubo. produto de matrzes. parâmetro externo assocado à condção de contorno. fluxo externo assocado ao nó. exstênca de uma válvula. elemento de superfíce. seção do tubo. parâmetro. duração total da varação. Parâmetro da frontera dos modelos hdráulcos tempo transcorrdo. ncremento de tempo. termo de nérca. vetor velocdade advectva. Vetor velocdade advectva méda. xv

20 u u ' V 0 V V dv W W w velocdade meda do fluxo de água. varação nstantânea da velocdade advectva. velocdade méda da seção transversal de um conduto. velocdade méda futura da seção transversal de um conduto. vetor velocdade na dreção do exo y. elemento de volume. constante. vetor velocdade na dreção do exo z. constante que relacona o número de courant. X comprmento de cada seção. x Z carga de elevação ρ γ β dstânca medda ao longo do exo da tubulação. massa específca. constante. constante. β matrz dagonal quadrada de ordem np. τ o T λ ε ε m ε T α tensão de csalhamento na parede do tubo. volume do tanque ou reservatóro. coefcente para o cálculo da dfusão. coefcente de dfusão. coefcente de dfusão molecular. coefcente de dfusão turbulenta. número de Courant. xv

21 RESUMO Este texto descreve as etapas que objetvam a utlzação da estrutura orgnalmente proposta por Todn e Plat no chamado método gradente (MG), utlzado para análse em regme permanente em nstalações a condutos forçados, na formulação de um modelo dnâmco nercal rígdo (MDIR), para a análse de escoamentos transtóros lentos neste tpo de nstalação. São apresentadas as bases teórcas para esta nova modelação, justfcadas através do equaconamento geral do escoamento fludo em condutos forçados. Os resultados obtdos pelo MDIR são comparados com os resultados obtdos pelo programa EPANET que utlza o método gradente. Dscussões a respeto da mportânca da ncorporação do efeto de nérca são apresentadas através de um estudo de casos, no caso de modelação hdráulca, e para análses de qualdade decorrentes desta. Palavras-Chaves: Método gradente, transtóros lentos, modelo dnâmco nercal rígdo. xv

22 1 INTRODUÇÃO O conhecmento do comportamento das varáves de estado, carga e vazão, com o transcorrer do tempo em nstalações hdráulcas em geral e, em partcular de nstalações a condutos forçados, é de suma mportânca quando se analsam os efetos decorrentes de manobras que alteram as condções de escoamento pela nstalação, tas como, os casos de alteração de demanda de consumo, abertura de válvulas, alteração do status do bombeamento. A análse do escoamento de fludo através de um sstema hdráulco a condutos forçados é usualmente feta de forma undmensonal segundo o exo dos condutos, segundo dferentes hpóteses smplfcadoras, que permtem a concepção de dstntos modelos. Estes modelos são classfcados, como observa Cabrera, et al. (1994), em modelos dnâmcos e estátcos, segundo a varação ou não do escoamento no tempo. Os modelos dnâmcos se subdvdem em modelos dnâmcos nercas e não nercas, caso levem ou não a nérca como elemento na varação temporal. Os modelos dnâmcos nercas podem, por sua vez, consderar ou não efetos de deformação do fludo e do conduto como decorrênca, o que leva a sub-classfcá-los em elástcos ou não elástcos (rígdos). Pelo o que fo observado nos parágrafos ntrodutóros, o modelo mas adequado para uma análse correta do comportamento dnâmco sera o nercal elástco. Entretanto, para sstemas muto complexos, esta pode ser bastante dspendosa, uma vez que demanda muto tempo de processamento, sendo empregado como smplfcação (na maora dos casos) smplesmente um modelo dnâmco não nercal. 1

23 Nesta lnha, Rossman (1993), desenvolveu um modelo computaconal, denomnado EPANET, que se consagrou como ferramenta para a análse de redes de dstrbução de água em regme permanente e em período extensvo. O programa emprega a solução do método gradente nas smulações dos sstemas hdráulcos. Além da smulação hdráulca, o modelo também ncorpora a possbldade de smulações para avalar a qualdade da água através da análse da dstrbução de um determnado componente (por exemplo, o cloro) pelo sstema hdráulco em período extensvo, com base num modelo dnâmco não nercal. Iglessas (2004) chama a atenção para o fato que a análse em período extensvo usando uma modelação estátca pode conduzr a erros de resultados pelo fato desses neglgencarem o efeto da nérca. Chaudhry e Islam (1998) fzeram uma análse da dstrbução espacal e temporal de componentes, todava empregando uma modelação dnâmca nercal rígda. Comparando os resultados com os obtdos pelo EPANET eles concluíram que o efeto da nérca era relevante no caso da dspersão desse componente. Justfcaram o modelo rígdo como satsfatóro desde que as manobras realzadas fossem lentas a ponto de não causarem a compressbldade do fludo e a deformação dos tubos (denomnando essa condção de transtóro lento). Outros autores também já propuseram, como descrto no capítulo de revsão bblográfca, solução para esse tpo de escoamento, entretanto tas soluções parecem não serem de fácl emprego e, portanto, não sensblzaram a comundade técnco-centífca. Conclu-se que o modelo dnâmco nercal rígdo, para a análse de sstemas de abastecmento de água, pode ser uma solução bastante nteressante para se levar os efetos de nérca do escoamento de fludo, embora se saba que está se desprezando efetos elástcos que podem ocorrer. Por outro lado o programa EPANET e os seus dervados comercas apresentam a técnca mas empregada e dfundda na avalação estátca e de período extensvo, o que o tornou quase um padrão e uma unanmdade na comundade técnco-centífca. 2

24 Em decorrênca do que fo apresentado encontrou-se motvação para o desenvolvmento de uma pesqusa vsando à mplementação do modelo dnâmco nercal rígdo aprovetado da estrutura do programa EPANET modfcando a montagem do sstema de equações que defnem as condções de escoamento de tal sorte a permtr a análse de transtóros lentos. Acredta-se que com esse expedente os profssonas de engenhara que já empregam cotdanamente o software EPANET serão benefcados com a nova mplementação podendo realzar smulações dnâmcas mas próxmas da realdade, nclusve nas avalações das condções de qualdade da água. Nesse sentdo organzou-se uma nvestgação, a qual encontra-se descrta nesse trabalho, segundo a estrutura dos capítulos descrtos, a segur: No capítulo 2, apresentam-se os objetvos que nortearam o desenvolvmento desse trabalho de nvestgação. No capítulo 3, faz-se uma revsão da bblografa referente ao assunto que envolve os modelos hdráulcos e os modelos se qualdade, aplcados a sstemas hdráulcos. No capítulo 4, são apresentadas as equações referentes à elaboração do Modelo Dnâmco Inercal Rígdo (MDIR) e a forma com que ele fo estruturado para se realzar smulações que envolvem a qualdade de água. No capítulo 5, são apresentadas as rotnas computaconas que foram desenvolvdas para o modelo proposto nesse trabalho. 3

25 No capítulo 6, são apresentados os exemplos empregados para valdar o MDIR e susctar dscussões. Seus resultados são comparados com o programa EPANET. No capítulo 7, são realzadas as dscussões dos resultados encontrados no capítulo anteror, ressaltando as vantagens e desvantagens do modelo proposto. desenvolvdo. Fnalmente, no capítulo 8, apresentam-se as conclusões referentes ao estudo 4

26 2 OBJETIVOS O objetvo desse trabalho é nvestgar a formulação do modelo dnâmco nercal rígdo (MDIR) para adequá-la à mesma estrutura que defne o sstema de equações com o qual é obtda a solução hdráulca no programa EPANET. Esta adequação rá permtr que as análses em período extensvo e de qualdade de água sejam mas condzentes, ou seja, contemplando os efetos da nérca, que decorrem de tas condções. Como contrbução margnal pretende-se dscutr sobre a mportânca do efeto da nérca em dferentes stuações que envolvem a dspersão de um componente. Estudos de casos foram propostos para avalar as proposções e as conseqüêncas do efeto da nérca em comparação com condções em que não se utlza tal expedente. 5

27 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 3.1 Modelo hdráulco para conduto forçado Usualmente os modelos dnâmcos nercas são utlzados na análse de escoamentos varados em que se consdera a mportânca do efeto da nérca do movmento de fludo, como é o caso do golpe de aríete e dos escoamentos osclatóros. Nos modelos dnâmcos em que não se consderam os efetos da nérca do escoamento é admtdo que a característca dnâmca seja fornecda por alterações temporas das condções de contorno, como por exemplo, varação dos níves dos reservatóros, varação de demandas etc. Estes modelos são usualmente empregados nas análses em período extensvo, como uma sucessão de aplcações do modelo estátco, após alteração das condções de contorno em cada ntervalo de análse. Pela natureza das equações que os governam, os modelos estátcos permtem apenas a análse em regme permanente, onde as grandezas assocadas ao escoamento não varam no tempo. Sob um ponto de vsta concetual, os modelos dnâmcos nercas elástcos englobam os demas modelos como subcasos decorrentes de smplfcações naturas deste caso geral. Koelle (1989) descreve a possbldade de um tratamento unfcado para o escoamento permanente, transtóro e osclatóro com base nesta modelação geral. Luvzotto Jr. (1995) apresenta uma sstematzação para a construção de um smulador hdráulco em período extensvo utlzando o 6

28 modelo dnâmco nercal elástco, valendo-se de celerdades e comprmentos fctícos para as tubulações com o objetvo de acelerar a convergênca do processo, quando smula o regme permanente. As equações geras que governam o escoamento fludo nos condutos de uma nstalação hdráulca a pressão, permtem a determnação das varáves de estado; carga e vazão ao longo da tubulação no transcorrer do tempo; H = H ( x, t) e Q = Q( x, t), onde x é a dstânca medda ao longo do exo da tubulação e t o tempo transcorrdo. Sob as hpóteses do modelo dnâmco nercal elástco, estas equações podem ser expressas através das equações da contnudade e da quantdade de movmento na forma (Streeter, 1993): H x + ga H Q + 2 a t x 1 Q Q Q + f 2 ga t 2gDA = 0 = 0 contnudade quantdade de movmento (3.1a, b) Sob a hpótese de modelo rígdo, a celerdade de propagação ( a ) torna-se nfnta, levando a zero o prmero termo do lado esquerdo da equação da contnudade, reduzndo esta equação a Q/ x = 0, de onde conclu-se que a vazão será a mesma em toda a extensão da tubulação para cada nstante de tempo t, logo Q = Q(t) e Q / t = dq / dt. A equação da quantdade de movmento ntegrada entre as seções extremas da tubulação, (1) seção de montante e (2) seção de jusante, dstantes um comprmento L meddo ao longo de seu exo, permte obter: LQ Q L dq ( H 2 H1) + f = (3.2) 2 2gDA ga dt 7

29 resultando na equação que governa o modelo dnâmco nercal rígdo. Se as varações de vazão no tempo dexam de exstr, dq / dt = 0, representando a condção de regme permanente, a equação do modelo estátco é obtda: LQ Q H 2 H1) + f = 0 (3.3) 2gDA ( 2 As equações (3.1), (3.2) e (3.3), mostram a herarqua entre as dversas concepções, resultante das smplfcações admtdas durante a elaboração dos modelos. A essênca deste trabalho está em aprovetar a estrutura de uma modelação estátca, baseada em (3.3) para uma modelação dnâmca baseada em (3.2), permtdo smultaneamente análses dnâmcas e estátcas. Nahavand e Catanzano (1973) propuseram a utlzação de um modelo nercal não elástco para a obtenção do regme permanente (como condção fnal de convergênca) de sstemas hdráulcos a condutos forçados. O método basea-se em três equações escrtas em forma matrcal. A equação (3.4) relacona a dferença de pressão de um trecho ( p ) com as pressões nos nós ( p ) do referdo trecho: { p } = [ M ]{ p} (3.4) onde M é a matrz de conexão, consttuída de elementos + 1, 1 e 0, do segunte modo: cada trecho da rede corresponde a uma lnha da matrz e cada nó da rede corresponde a uma coluna da matrz. Um elemento M j pode assumr os seguntes valores: M = 0 Se o trecho não tem conexão com o nó j. j 8

30 M = 1 Se o trecho tem conexão com o nó j e o escoamento do trecho chega ao nó. j M = + 1 Se o trecho tem conexão com o nó j e o escoamento do trecho sa do nó. j A equação (3.5) corresponde à equação da contnudade na forma matrcal: T [ M ] m + mo = {0} (3.5) onde T M é a transposta da matrz de conexão, descarga em massa nos tubos e as demandas nos nós. m e m o corresponde, respectvamente, a A equação (3.6) corresponde à equação da quantdade de movmento na forma de dferenças fntas (matrcal): m m t 0 = Ag L 1 p + ρ Z + ρh B F r g (3.6) onde L é o comprmento do tubo, g a aceleração da gravdade, A a área da seção transversal do tubo, ρ a massa específca, to ncremento de tempo, Z a carga de elevação, H B carga da bomba, e F r a perda de carga devdo ao atrto e corresponde a: 9

31 10 = A m m D L f g F r ρ (3.7) onde D é o dâmetro do tubo e f o fator de atrto da fórmula unversal de perda de carga de Darcy-Wesbach. Após algumas substtuções fetas nas equações (3.5) e (3.6) e resolvendo estas equações para m e para p, chega-se a: = 0 1 m F H Z p g m r B γ ργ ργ γ (3.8) onde γ corresponde a L Ag t + = o r B T m Mp m F H Z M M p ] [ } ]{ [ ] [ ] [ γ ργ ργ (3.9) onde: ] ][ ][1 [ ] [ C g M Mp T γ = (3.10) O processo de convergênca é obtdo partndo-se do prncípo de que o regme permanente está estabelecdo, logo a descarga em massa nos tubos e as demandas nos nós são

32 conhecdas e pode-se calcular, pela equação (3.9), as pressões nos nós. Uma vez obtdas, calculam-se as dferenças de pressão nos trechos pela equação (3.4) e fnalmente obtêm-se as novas descargas em massa pela equação (3.8), realmentando novamente o processo de cálculo. Dnz (2004) ampla o método para smulações em período extensvo e em regme transtóro. Ele propõe também um modelo híbrdo assocando o modelo aos algortmos genétcos para obtenção de regras operaconas otmzadas. No seu trabalho, as equações anterores são escrtas da segunte forma: p p = [ M ] (3.11) ρg ρg p onde corresponde a varação de carga pezométrca de um trecho e ρg pezométrcas dos nós nos referdos trechos. p ρg as cargas T [ M ]{ Q} { Q } = {0} (3.12) + es onde Q e nós. Qes corresponde, respectvamente, a descarga em volume nos tubos e as demandas nos πd V V πd πd Z πd πd ρ L = p + g L + gh B g H V FaV t ρ ρ ρ (3.13) L 4 4 onde 0 V e V corresponde, respectvamente, à velocdade presente e futura do escoamento, perda de carga na válvula e F av a força de atrto vscoso e corresponde a: HV 11

33 F = ρ (3.14) av gap C sendo P C a perda de carga no trecho através da fórmula unversal de Darcy-Wesbach. Assm, as equações para vazão e carga podem ser escrtas respectvamente: p 0 { Q} = { β + β Z + βh B β HV βpc } + { Q } (3.15) ρg onde: ga t β = (3.16) L p = [ Mp] ρg 1 [ M T ]{ β Z βh B + β H V + βp C 0 Q } [ M ] 1 { Q es } (3.17) onde: [ Mp] = [ M T ] β[ M ] (3.18) Uma vez obtdas as vazões nos tubos e as cargas nos nós do regme permanente, para uma rede de dstrbução de água, a análse do regme transtóro é realzada em seguda. A equação da contnudade é reescrta da segunte forma: 12

34 T { H}{ A} [ M ]{ Q} + { Qes} = (3.19) t A varação de demanda no nó corresponde a: { Q es } * = [ C es ] P es ρg (3.20) onde * { Q es } é a matrz coluna das vazões que entram e saem da rede através dos nós em regme transtóro, e C es a matrz dagonal dos coefcentes calculados para os nós com demanda para o regme transtóro. O autor afrma que esses coefcentes são os mesmos para o regme permanente. O (*) é nserdo nas varáves que estão em regme transtóro. No regme transtóro, para calcular as cargas pezométrcas dos nós, utlza-se a equação (3.21), desenvolvda a partr da equação (3.17): * p ρg = [ Mp] 1 { H} * { A} + [ Mp] t 1 T [ Mp ]{ β Z βh * B + β H * V + βp C Q 0 } [ Mp] 1 [ C es ] P es ρg (3.21) O cálculo da dferença de carga pezométrca em cada um dos trechos da rede no regme transtóro é calculado pela equação: p ρg * p = [ M ] ρg * (3.22) Fnalmente, para se calcular as vazões nos tubos da rede, utlza-se a equação: 13

35 * * p * * 0 { Q} = { β + β Z + βh β HV βpc} + { Q } (3.23) ρg Um modelo nercal rígdo fo empregado por Holloway (1995) (apud Chaudhry e Islan, 1995) em uma formulação aplcada a malhas para analsar escoamentos lentamente varados em sstemas de dstrbução de água. Chaudhry e Islan (1995) empregaram este modelo como base para análse de qualdade de água em redes de abastecmento. Os autores enfatzam que varações nas demandas e manobras em equpamentos produzem efetos nercas mportantes sob o aspecto da qualdade da água. Esse modelo será dscutdo mas adante nesse trabalho. Shmada (1989) apresenta um modelo alternatvo ao proposto por Holloway para análse de escoamentos lentamente varados formulado com base em matrz de ncdênca nodal (não sendo necessáro à defnção de malhas) e na teora dos grafos. O autor salenta a facldade de tratamentos de contornos como válvulas. O modelo proposto é escrto da segunte forma: O vetor ncdênca E : H de dferença de carga está assocado com a carga no nó h e a matrz de T H = E h (3.24) onde T E é a transposta da matrz de ncdênca. A matrz de ncdênca é consttuída de elementos + S j, S j e 0, do segunte modo: cada nó da rede corresponde a uma lnha da matrz e cada trecho da rede corresponde a uma coluna da matrz. O valor de S j corresponde a exstênca ou não de um elemento. Se ele está aberto S j = 1 e se ele está fechado S j = 0. Um elemento E j pode assumr os seguntes valores: 14

36 E = 0 Se o trecho não tem conexão com o nó j. j E S Se o trecho tem conexão com o nó j e o escoamento do trecho chega ao nó. j = j E + S Se o trecho tem conexão com o nó j e o escoamento do trecho sa do nó. j = j A equação da quantdade de movmento é escrta da segunte forma: dq B dt = f ( q) + H (3.25) onde: L B = (3.26) ga { f ( q)} = S ( F + F + F ) q q (3.27) w m v onde q é a vazão no tubo e f (q) é em função da perda de carga e os valores F w, F m e correspondem, respectvamente, a perda de carga dstrbuída, perda de carga localzada em acessóros e perda de carga num elemento. F v, tpos: Para a equação da conservação da massa no nó, o autor dvde o equaconamento em três 15

37 A r dh dt 1 = E1q Q1( t) (tpo 1) (3.28) onde A é a seção transversal do reservatóro e Q ( ) é a vazão que verte pela solera de um r 1 t vertedor (septo) dentro do reservatóro. 0 = E q Q ( 2 ) (tpo 2) (3.29) 2 t onde Q ( ) é a demanda de um nó na rede. 2 t 0 = E q Q ( 3 ) (tpo 3) (3.30) 3 t onde Q ( ) é a vazão que entra ou sa de um reservatóro de nível fxo. 3 t A fgura 3.1 apresenta um desenho esquemátco de uma rede hdráulca para um melhor entendmento do que fo exposto. Os nós 1 e 2 são do tpo 1, 3 e 4 do tpo 2 e 5 e 6 do tpo Fgura 3.1 Desenho esquemátco de uma rede hdráulca. 16

38 As equações acma podem ser escrtas numa forma geral: A r dh dt 0 = Eq Q( t) 0 (3.31) A equação da quantdade de movmento pode ser reescrta na forma: dq dt 1 = B T T T [ f ( q) + E1 h1 + E2 h2 + E3 h3 ] (3.32) Dervando a equação (3.29) chega-se a: E dq dq2 ( t) = (3.33) dt dt 2 Substtundo a equação (3.32) na equação anteror, tem-se: h T T [ f ( q + E h + E h ] 1 dq2 ( t) 1 = R f E2B (3.34) dt 2 ) onde: 1 T R f E2B E2 = (3.35) 17

39 Substtundo a equação (3.34) na equação (3.32): dq dt [ f ( q) + E h ] T T 1 T 1 dq2 ( t) = W WE3 h3 B E2 R f (3.36) dt onde: W = B 1 1 ( S) (3.37) T 2 1 f S = E R E B 2 1 (3.38) O processo de cálculo apresentado pelo autor se faz da segunte manera: desde que Q ( ) e h ( ) são conhecdos (demandas nos nós e cargas fxas nos reservatóros), calcula-se os 2 t 3 t valores de q e h 1 pelo sstema formado pelas equações (3.28) e (3.36). Em seguda, calcula-se Q ( ) e h ( ), respectvamente pelas equações (3.30) e (3.34). Deve-se notar que o valor de 3 t 2 t Q ( ) é obtdo quando se conhece uma le de varação do vertedor, sto é: Q t ) = f ( ). 1 t ( 1 h1 dq Quando o regme é permanente, tem-se = 0 dt respectvamente, nas equações: e as equações (3.32) e (3.36) resultam, T T T f ( q) + E h1 + E2 h2 + E3 h3 1 = 0 (3.39) W T T [ f q) + E h + E h ] 0 ( = (3.40) 18

40 Shmada (1989) afrma que esta metodologa fo valdada quando comparada com resultados obtdos por outros modelos rígdos, ou elástcos trabalhando sobre o lmte de condções rígdas e que ela é satsfatóra para manter a contnudade nos nós (crtéro de convergênca). Chaudhry e Islam (1998) em contnudade a trabalhos anterores, como já ctado, estudaram a varação espacal e temporal da concentração de um componente em redes de dstrbução de água utlzando o modelo dnâmco nercal rígdo e enfatzaram a mportânca do efeto da nérca na dspersão desse componente. Os resultados obtdos foram comparados com os do EPANET que utlza o método gradente para a solução do sstema de equações que o governa. O modelo dnâmco nercal rígdo desenvolvdo pelos autores utlza uma forma de tratamento aplcado a uma malha, como descrto a segur: L dq ga dt = 2 m H1 H KQ Q (3.41) onde H 1 e H 2 corresponde, respectvamente, à carga pezométrca de montante e jusante no nó e K o coefcente de perda de carga. Para cada malha, tem-se: N t = 1 L ga dq dt N ( H1 H ) 2 N = t t K Q = 1 = 1 Q (3.42) onde o índce corresponde ao tubo e N t ao número de tubos. 19

41 Multplcando a equação por dt e ntegrando entre t 0 e t0 + t : N N t0 + t ( H1 H ) dt K Q Q dt 2 L N t t t n+ 1 Q t0 + t dq n = Q ga t 0 = 1 = = 1 1 t 0 (3.43) onde n Q e n+1 Q corresponde à vazão no nstante t 0 e t0 + t, respectvamente. Consderando que a energa se conserva na malha: N t = 1 L ga Q n+ 1 + N t = 1 K Q n tq n+ 1 = N t = 1 L ga Q n (3.44) O modelo proposto por Chaudhry e Islam (1998) tem a necessdade de defnr malhas (crcutos fechados) para sua aplcação. Quando sso não é possível, cram-se tubos fctícos para formar malhas fctícas de cálculo. Iglesas e Jmenez (2001) fazem uma síntese de aplcações de modelos para a análse de redes de dstrbução de água utlzados na atualdade, entre estes modelos são ctados; EPANET, KYPIPE, H 2 ONet, MIKE-NET e SARA. Segundo os autores, o KYPIPE é um dos poucos modelos que contnua aplcando a teora lnear como método alternatvo ao método gradente, utlzado pelos demas modelos, para a análse estátca e dnâmca (em período extensvo, não nercal). Iglesas (2004) apresenta uma técnca para estabelecer qual modelo é mas adequado para a smulação de um sstema hdráulco, sto é, defnr uma frontera que separa a smulação em período extensvo com o modelo nercal rígdo. Essa frontera é determnada pela aplcação 20

42 dos dos modelos num mesmo sstema hdráulco, onde se observa os erros gerados pela aplcação da smulação em período extensvo ao nvés do modelo nercal rígdo. Admte-se que a smulação em período extensvo é valda quando os erros relatvos forem nferores a 5% dos resultados obtdos pela aplcação do modelo nercal rígdo. Nas smulações são realzadas váras condções: varação de demanda ao longo do tempo, varação do expoente da curva de demanda, manobras em válvulas e bombas, etc. A segur são apresentados os procedmentos para se determnar essa frontera: Passo 1: realza-se uma análse dnâmca do fenômeno medante a smulação em período extensvo obtendo-se assm os valores das vazões nos tubos e as pressões nos nós ao longo do tempo. Passo 2: ajusta-se a evolução das vazões em cada tubo medante a equação (3.45). ( ) Q t b t = Q 0 + Q T (3.45) c onde Q ( t) vazão no tubo ao longo do tempo, Q 0 vazão ncal, Q varação da vazão, T c duração total da varação e b é um expoente característco da curva de varação da demanda. Desse ajuste supõe-se defnr para cada condção o valor do expoente b e uma varação Q. equação: Passo 3: determna-se para cada uma das condções um parâmetro T segundo a T L = b Q (3.46) ga 21

43 Passo 4: soma-se os termos de nérca de cada um dos camnhos que unem um nó analsado com qualquer reservatóro no sstema. De todos esses camnhos possíves selecona aquele que representa um valor mínmo desta soma. 3.47: Passo 5: com o termo de nérca estmado determna-se o parâmetro T r pela equação T 1 L = r b Q Tc H m T mn ga (3.47) onde T é o trajeto defndo no passo 4 e H m é a dferença máxma de alturas entre os mn reservatóros presentes no sstema hdráulco. Com o resultado obtdo por T r pode-se estmar o erro cometdo por aplcar a smulação em período extensvo ao nvés do modelo nercal rígdo num mesmo sstema hdráulco. 3.2, a segur: A representação desse erro em função do parâmetro calculado está lustrada na fgura 22

44 Fgura 3.2 Zonas de valdade de cada modelo. dferentes: Fazendo uma análse dessa fgura consegue-se estabelecer três zonas claramente Zona 1: T < 0, 55: deve-se aplcar o modelo nercal rígdo ao nvés da smulação em r período extensvo, pos os erros relatvos fcam acma de 5%. < r Zona 2: 0,55 T < 2 : é a frontera de separação entre os dos modelos. Portanto podese defnr se a aplcação da smulação em período extensvo é correta ou não. Os erros gerados podem não depender somente do parâmetro sstema hdráulco. T r como também das característcas própras do Zona 3: T > 2 : pode-se aplcar a smulação em período extensvo, pos os erros r relatvos fcam abaxo de 5% quando se compara os resultados obtdos pelo modelo nercal rígdo. 23

45 Até aqu exposto sntetza o estado da arte da modelação dnâmca nercal rígda sob o aspecto na obtenção de parâmetros hdráulcos. No tem segunte faz-se uma síntese, também na forma de revsão, dos modelos de qualdade de água com o objetvo de nortear os expermentos numércos futuros, quando da comparação entre modelo estátco e dnâmco em relação ao tema da qualdade. 3.2 Modelo de qualdade Nos últmos anos tem-se aumentando bastante a preocupação com a questão ambental e uma delas sera a qualdade da água em dversos campos: despejos de efluentes doméstcos e ndustras, recreação, sstemas de dstrbução de água, etc. Isso tem acarretado o surgmento de város modelos matemátcos que tentam smular a qualdade da água para esses dversos usos. Nesse tem são dscutdos alguns modelos de qualdade relaconados ao sstema de dstrbução de água, mas prmeramente são apresentadas algumas defnções extraídas de Eger (1991) para facltar o entendmento do assunto. De acordo com o autor essas defnções não devem ser rgorosas, mas sm servr para a apresentação de uma termnologa característca do assunto. Em alguns casos as defnções dadas podem não estar de acordo com as defnções adotadas em outras áreas do conhecmento. São elas: Consttunte: é um ente que descreve de alguma forma o estado da qualdade do meo em que ele se encontra. Outros nomes são por vezes utlzados como snônmos tas como: poluente, substânca e traçador. Eles podem ser classfcados como conservatvo, não conservatvo, atvo e passvo. Conservatvo é o consttunte cuja dstrbução espacal e temporal não é afetada por reações com outros consttuntes ou com o meo fludo envolvente e tal dstrbução só é afetada somente por processos físcos de transporte (ex.: o sal). Não conservatvo sera o oposto do conservatvo (ex.: o oxgêno dssolvdo). Atvo é o consttunte cuja presença afeta as característcas hdrodnâmcas do escoamento. Exemplos típcos sera o sal e a temperatura, os quas podem alterar a dstrbução espacal e temporal da densdade, 24

46 alterando as característcas de turbulênca e do própro escoamento médo. O passvo é o oposto do atvo e admte-se, como exemplo, o oxgêno dssolvdo. Concentração: é a forma usual adotada para se expressar a dstrbução de um componente. Em seu sentdo mas amplo a concentração reflete a quantdade de um consttunte exstente em um dado volume de uma regão no espaço, quando esse volume torna-se nfntesmal, deve ser grande o sufcente para que seja razoável supor a exstênca de um meo contínuo que permta a defnção de varáves matematcamente contínuas. A concentração é usualmente defnda como quantdade de massa de um consttunte exstente por undade de volume. Advecção: é o nome dado ao transporte de um componente pelo campo de velocdades do meo fludo que o contém. É pratca comum supor que a velocdade do componente seja gual à velocdade do fludo envolvente, embora sso não seja sempre correto. Isto é partcularmente notável no caso do transporte de sedmentos que se precptam ao longo da dreção vertcal com uma velocdade dferente da do fludo. Convecção: embora algumas áreas do conhecmento a convecção seja snônmo de advecção, é comum defn-la de uma forma alternatva, convecção é o transporte vertcal nduzdo por nstabldade hdrostátca, ou seja, decorrente de gradentes vertcas de densdade. Exemplos típcos são observados durante a formação de chuvas convectvas e em lagos submetdos a um esframento excessvo em suas camadas superores. Dfusão Molecular: o movmento decorrente da agtação térmca das partículas de um fludo promove o espalhamento das partículas dos consttuntes. Este processo faz com que exsta um espalhamento do consttunte em um meo mesmo que este meo apresente velocdade méda nula. Se o consttunte e o fludo receptor possuírem a mesma densdade, exste a tendênca de que o consttunte espalhe-se por todo o meo envolvente após um tempo sufcentemente longo. Dfusão Turbulenta: é um conceto análogo ao de dfusão molecular, mas com orgem no movmento turbulento dos fludos. A experênca demonstra que escoamentos turbulentos 25

47 possuem um poder de espalhamento de consttuntes muto mas ntensos que aquele observado em escoamentos lamnares análogos. Um exemplo sera o clássco expermento efetuado por Reynolds. A dfusão turbulenta é causada por turblhões dos mas varados tamanhos e orentações exstentes no escoamento, sendo na realdade, um movmento advectvo com resultados de aparênca dfusva. Como não exste anda uma forma precsa de se quantfcar o campo de velocdades nstantâneas de um escoamento turbulento, encontrou-se no conceto de dfusão turbulenta uma forma alternatva de se computar o efeto da turbulênca nos escoamentos e no transporte de poluentes. Advecção Dferencada: é um conceto relatvo à ocorrênca do fenômeno do csalhamento, ou seja, quando camadas adjacentes de um fludo apresentam deslocamentos relatvos entre s. Dspersão: é o nome dado ao efeto resultante da ação conjunta da dfusão (molecular e/ou turbulenta) e da advecção dferencada. É comum haver alguma confusão entre os concetos de dfusão e dspersão, embora sejam concetos dstntos. Matematcamente, o conceto de dspersão torna-se necessáro quando se consdera um fenômeno trdmensonal de forma smplfcada em uma ou duas dmensões. O conceto de dspersão resulta como uma forma de se consderar os efetos das dreções ao longo das quas foram adotadas smplfcações na formulação matemátca smplfcada resultante. Em geral, o transporte de um componente depende de suas propredades físcas e químcas e das característcas do escoamento. O cálculo da varação da concentração do componente é feto pela equação de transporte que consdera a dfusão e a convecção. Nesse trabalho consdera-se que o componente é conservatvo e passvo. A dspersão do componente é baseada na equação da conservação da massa aplcada num volume de controle nfntesmal ( dv ), realzando uma análse Eulerana, como mostra a fgura 3.3: 26

48 Fgura 3.3 Volume de controle e superfíce de controle. De acordo com Islam (1992) a taxa de varação da massa do componente no volume de controle, desprezando as reações químcas, é representada pela equação: dm dt = S CU n ds + S ε C n ds (3.48) onde m é a massa do componente, U é a velocdade advectva, ε o coefcente de dfusão e ds o elemento de superfíce. Consderando que o volume de controle não se deforma: dm = dt t V CdV = V C dv t (3.49) e a aplcando o teorema da dvergênca: S C U n ds = ( CU ) dv (3.50) V 2 ε C n ds = ε CdV (3.51) S V 27

49 A equação (3.52) resulta-se em: V dv t C 2 = V ( CU ) dv + ε CdV (3.52) V Como o volume V é arbtráro, a equação pode ser escrta: t C 2 = ( CU ) + ε C (3.53) Aplcando uma propredade de produto de vetores, tem-se: t C 2 = ( U ) C U C + ε C (3.54) Assumndo a hpótese de fludo contínuo e ncompressível ( U = 0) encontra-se a equação advecção-dfusão: C + U C = ε 2 C (3.55) t Segundo Islam (1992) o coefcente de dfusão assume valores dferentes dependendo do tpo de regme. No regme lamnar, a dfusão molecular é consderada como a maor causa da dfusão e, portanto ε = ε m. Porém, na maora das aplcações prátcas o escoamento é turbulento e a dspersão é mas rápda do que a dspersão que ocorre no regme lamnar. Devdo ao fato que no escoamento turbulento, a velocdade e a pressão são mas nstáves e aleatóras, o coefcente de dfusão molecular não pode ser aplcado no cálculo da dspersão em escoamentos turbulentos. Há váras aproxmações para representar a dspersão de um componente num escoamento turbulento, uma delas sera: 28

50 C = C+ c' (3.56) U = U + u' (3.57) onde C é a concentração méda ao longo de tempo, c ' é a varação nstantânea da concentração, U é a velocdade advectva méda ao longo do tempo e u ' sua varação nstantânea. Substtundo os termos acma na equação (3.55) e após algumas transformações matemátcas encontra-se: C 2 + ( U C + u' c') + ( V C + v' c') + ( W C + w' c') = ε m C (3.58) t x y z onde U, V e W são as velocdades, respectvamente, nas dreções x, y e z. Pela contnudade, tem-se: U x V + y W + z = 0 (3.59) Resultando na equação: C C + U + V t x C + W y C z 2 = ε m C ( u' c') ( v' c') ( w' c') (3.60) x y z De acordo com Taylor (1921), ctado por Islam (1992), alguns termos da equação acma são correspondentes ao coefcente de dfusão turbulento ( ε T ), como mostrado a segur: C u' c' = ε (3.61) Tx x 29

51 30 y C c v Ty = ε ' ' (3.62) z C c w Tz = ε ' ' (3.63) Substtundo esses termos na equação (3.60), tem-se: ) ( ) ( ) ( 2 z C z y C y x C x C z C W y C V x C U t C Tz Ty Tx m = ε ε ε ε (3.64) Escrevendo a equação acma na forma: ) ( ) ( z C y C x C z C y C x C z C W y C V x C U t C T m = ε ε (3.65) Sabendo-se que o coefcente de dfusão é a soma do coefcente de dfusão molecular com o coefcente de dfusão turbulenta: ε m ε T ε + = (3.66) A equação (3.65) pode ser escrta na forma: ) ( z C y C x C z C W y C V x C U t C + + = ε (3.67) Nesse trabalho, a análse da dspersão de um componente num sstema de abastecmento de água é undmensonal e, portanto: 2 2 x C x C u t C = + ε (3.68)

52 Eger (1991) afrma que quando um fludo que recebe um componente possu velocdade própra, este componente é transportado não só por dfusão, mas também pelo própro meo que o contém. É comum admtr que o componente seja transportado com velocdade gual a do fludo, quando ele é consderado conservatvo e passvo. Como a dspersão é o efeto da resultante da ação da dfusão juntamente com a advecção, a equação (3.68) é escrta na forma: C C + u t x = D s 2 C 2 x (3.69) onde D s é o coefcente de dspersão. A equação (3.69) é uma equação dferencal parcal parabólca lnear e sua solução numérca pode gerar uma dfusão artfcal, por esta razão, a advecção e a dfusão são resolvdas separadamente: C C + u t x = 0 (3.70) 2 C C Ds = 0 (3.71) 2 t x Com base no que fo exposto, recentemente város modelos hdráulcos para smulação de redes de dstrbução de água têm-se estenddos a análse de qualdade da água. A maora realza smulações em regme permanente e em período extensvo, sem levar em consderação o efeto da nérca da água. A segur são apresentados alguns autores que adotaram esse tpo de equaconamento. Segundo Males (1985) exstem três tpos de problemas que podem ser analsados em relação à qualdade da água numa rede hdráulca: a concentração de certo componente, a dade da água e o custo de servço de seu fornecmento (moeda/m 3 /s). Todos esses problemas são formulados devendo satsfazer o balanço de massa no nó e assumndo uma mstura completa. 31

53 Clark & Males (1985) desenvolveram um modelo para a smulação de abastecmento de água, baseado nas condções ctadas acma, estruturado da segunte forma: Pk = ({ Q Pk } + { d LV } + { d NV } + { Sf SP }) j j 1 j 2 I (3.72) onde o fluxo se dá do nó j para o nó e anda Pk é o parâmetro em estudo, LV corresponde ao valor assocado ao tubo j (custo ou dade da água), NV corresponde ao valor assocado ao nó (solução de custo), Sf fluxo externo conectado ao nó, SP o parâmetro externo correspondente à condção de contorno, I corresponde ao fluxo total que converge no nó e Q é o fluxo do nó j ao nó Se d 0 tem-se um problema de concentração e d 1 corresponde a um problema 1 = relaconado ao custo e dade. Para d 0 tem-se concentração ou dade e d 1 para problema de custo. 2 = 1 = 2 = Males (1988) aplcou o modelo acma em casos reas e comparou os resultados obtdos, afrmando que para utlzá-lo numa análse de qualdade da água num sstema de abastecmento, deve-se colher amostras num pequeno ntervalo de tempo ao longo de um grande período. Com essa técnca consegue-se obter uma percepção mas sgnfcatva dos fatores que nfluencam a qualdade da água nesse sstema. Ele anda recomenda que para futuros trabalhos, deve-se analsar a sensbldade de tas modelos de qualdade quando sujetos as váras manobras num sstema hdráulco. De acordo com Grayman (1988), modelos hdráulcos utlzados para determnar a vazão e a velocdade da água nos tubos, e de qualdade, utlzados para determnar a concentração de um determnado componente, podem ser desenvolvdos de forma ntegrada ou de forma separada. Nesse últmo, os resultados obtdos pelo modelo hdráulco são utlzados pelo modelo de qualdade. 32

54 Ele desenvolveu um modelo dnâmco de qualdade de água, aplcado num sstema de abastecmento, sem levar em consderação o efeto da nérca. As vazões nos tubos são fxadas num determnado período de tempo, sendo alteradas para os demas períodos. Os tubos são dvddos em váras seções e seu número é defndo por: NX L V = (3.73) t onde NX é um número ntero e o comprmento de cada seção é: L X = = V t (3.74) NX Com essas nformações a rotna numérca para o cálculo da concentração de certo componente num sstema hdráulco fca muto smples, como mostra a segur: A concentração numa seção é gual à concentração da seção anteror no próxmo passo de tempo, como mostra a fgura 3.4 abaxo: Fgura 3.4 Seqüênca de cálculo da concentração na seção. O cálculo da concentração numa seção é obtdo pela equação: 33

55 C x 1, t + 1 = C x, t + (3.75) Nesse caso a concentração do componente é conservatva. Se o componente é não conservatvo, pode-se usualmente representar um decamento de prmera ordem pela equação: C = Kd t t+ 1 Cte (3.76) onde Kd é um coefcente de decamento. O autor anda afrma que valores de podendo gerar resultados menos exatos. Se t grande acarretam um número de seções pequeno t for pequeno gera um número maor de seções podendo sobrecarregar o computador. Uma análse de sensbldade deve ser realzada. A solução do algortmo pode ser dvdda em três categoras: nformações geras, condções ncas e nformações necessáras para cada período de tempo. A segur são apresentados os passos para a solução do mesmo: Passo 1: para cada tubo defne-se o nó de montante e jusante Passo 2: em cada nó analsam-se os escoamentos nos tubos, se convergem é postvo, se dvergem é negatvo. Passo 3: defne-se uma ordem na lstagem de tubos e nós. Por exemplo, para a rede da fgura 3.5 abaxo, tem-se: 34

56 Fgura 3.5 Exemplo de uma rede hdráulca. nó A. Lsta: nó C, tubo 3, nó D, tubo 6, nó E, tubo 7, tubo 5, nó F, tubo 4, tubo 2, nó B, tubo 1, Passo 4: para cada elemento (nó e tubo) as concentrações são calculadas para um certo período de tempo. Passo 5: a concentração no nó é calculada pela méda artmétca ponderada das concentrações que convergem ao nó, tendo as vazões como peso, como mostra a equação (3.77): ( C j, tq j, t ) j C, t = (3.77) Q j j, t Passo 6: Cada tubo é dvddo num número ntero de seções tal que o tempo gasto para a concentração percorrer uma seção à outra seja o t assumdo. Passo 7: a concentração de cada seção no próxmo nstante corresponde à concentração da seção a montante do nstante anteror. 35

57 Passo 8: a cada novo nstante de tempo t atualzam-se os dados das concentrações das seções dos tubos e dos nós baseando-se nos valores das concentrações dos nstantes anterores. Se quser smular um decamento da concentração, é nesse nstante que se deve aplcar o coefcente de decamento. Clark (1993) afrma que as paredes das tubulações de uma rede de dstrbução de água podem resultar numa perda sgnfcatva de cloro resdual causando um grande mpacto negatvo na qualdade da água. Geralmente se gasta num sstema de dstrbução de água mas de 80% do captal assocado ao nvestmento da utlzação da mesma. Rossman (1993) apresenta um modelo na forma explícta para o cálculo da qualdade da água, realzando uma análse Lagrangeana. O componente transportado é alocado em elementos de volumes dscretos em cada tubo a cada nstante, reações ocorrem em cada elemento e em seguda o componente é transportado para o próxmo elemento de volume a jusante e fnalmente se mstura de forma completa no nó, como mostra a fgura 3.6 a segur: Fgura 3.6 Elementos de volumes dscretos num tubo. 36

58 O autor afrma que toda smulação necessta de uma condção ncal tanto na parte hdráulca (velocdade do fluxo) como na parte de qualdade (concentração ncal do componente) e o problema do transporte do componente se resolve pela segunte equação: C ( x, t) C ( x, t) t + u x R C [ ( x, t) ] = 0 (3.78) onde u é a velocdade méda do fluxo no tubo e [ C ( x t) ] R, é a expressão que defne a taxa de reação. Consderando um decamento de prmera ordem, tem-se a expressão: C Kd t ( x t + t) = C ( x u t, t) e, (3.79) No modelo assume-se mstura completa da concentração no nó de forma nstantânea e o cálculo da mesma se dá conforme a equação No caso de um reservatóro acoplado ao nó, tem-se a segunte condção de contorno: C T 1 + =, + Q t ( t t) T ( t) [ C ( L t) Q t + ( t) C ( t) ] T T (3.80) onde C T é a concentração do componente no tanque ou reservatóro e T o volume do mesmo. Deve-se tomar um cudado especal para os casos extremos que seram os tubos curtos com fluxos em altas velocdades, fazendo com que t assuma valores pequenos e tubos longos com fluxos em baxas velocdades, resultando um grande número de segmentos nos mesmos. Nesse caso deve-se mpor um número máxmo de segmentos. De acordo com Boulos (1995), frequentemente os modelos dnâmcos de qualdade de água são mas exatos e representam melhor a realdade, porém exstem certas lmtações como o comprmento do tubo e a velocdade do fluxo. 37

59 Dentre os modelos de qualdade apresentados anterormente estão aqueles que fazem uma análse Eulerana e outros Lagrangeana. Rossman & Boulos (1996) fazem uma comparação dos modelos que seguem essas duas lnhas. Uma formulação que segue a lnha Lagrangeana já fo apresentada anterormente. Com relação a uma análse Eulerana, tem-se o cálculo da concentração segundo a formulação pelo método das dferenças fntas: t 2 t t t ( 1+ α ) C + ( 1 α ) C 0,5α ( α ) C R( C ) α (3.81) t+ t C, s = 0,5, s 1, s 1, s+ 1 +, s onde s é uma seção do tubo em estudo e α é o número de Courant defndo pela equação a segur: u t α = (3.82) x Nesse método, o número de courant deve estar sempre próxmo a 1 para evtar o surgmento da dspersão numérca. Esse problema não ocorre nos métodos que adotam uma análse Lagrangeana. Para a solução dos métodos ctados acma, consdera-se que no modelo hdráulco já se tem determnado a dreção e a velocdade do fluxo em cada tubo e os ntervalos de tempo especfcados. Os resultados obtdos das duas análses são comparados com os resultados encontrados no EPANET. Segundo os autores tanto os métodos Euleranos quanto os Lagrangeanos foram capazes de representar adequadamente a questão da qualdade da água num sstema de dstrbução de água. Islam & Chaudhry (1998) fazem uma análse das equações que envolvem os modelos de qualdade da água. Eles afrmam que o transporte de um componente, de forma geral, depende de suas propredades físcas e químcas e das característcas do escoamento. O cálculo da varação da concentração do componente é feto pela equação de transporte que consdera a dfusão e a 38

60 advecção do mesmo. O estudo é feto separadamente para tubos e nós de uma rede de dstrbução de água levando em consderação o efeto da nérca do escoamento, o que não estava sendo realzado pelos outros autores anterormente. A dspersão, a varação da velocdade do escoamento e a concentração de um componente varam no espaço e no tempo e uma equação undmensonal de transporte aplcada a um tubo pode ser escrta na forma: C C + u t x = D 2 C K C 2 x s 1 (3.83) onde D s o coefcente de dspersão e K 1 coefcente de taxa de reação de prmera ordem. A equação (3.83) que trata de uma equação dferencal parcal do tpo parabólco e sua solução analítca é obtda apenas para casos smples e, portanto, métodos de ntegração numérca são utlzados para casos mas complcados, como a análse dnâmca de rede de dstrbução de água. Segundo Holly (1975), ctado por Chaudhry e Islam, (1997), a dscretzação numérca do termo advectvo dessa equação é problemátca porque produz uma dfusão artfcal e dependendo de sua magntude, ela pode ser domnante sobre a dfusão físca e a solução obtda pode ser dferente do valor real. Por esta razão, a advecção e a dfusão podem ser resolvdas separadamente, como mostra as equações abaxo e seus resultados são combnados para obter a solução total. C C + u t x = 0 (3.84) 2 C C Ds + K1C = 0 (3.85) 2 t x 39

61 40 De acordo com Islam & Chaudhry (1997) o cálculo da advecção, representada pela equação (3.84), pode ser realzado através da solução numérca de váras equações, por dferenças fntas, segundo a lnha dos métodos Euleranos. Entre esses métodos, tem-se o método de Warmng-Kutler-Lomax apresentado nos passos a segur: Passo 1: ( ) t t t C C C C = +1 * 3 2 α (3.86) Passo 2: ( ) + = * 1 * * ** t C C C C C α (3.87) Passo 3: ( ) ( ) ( ) t t t t t t t t t t t t C C C C C w C C C C C C C C ** 1 ** = α α (3.88) onde w é calculado pela equação a segur e a sua escolha reduz a dspersão numérca: α α = w (3.89) Uma outra aproxmação por dferenças fntas sera o Lax scheme defndo pela equação: ( ) x C C u t C C C t t t t t t = (3.90)

62 Segundo Islam & Chaudhry (1998) no cálculo da dfusão, representada pela equação (3.85), pode-se utlzar a equação: t t ( λ K t) C + C t+ t t C = C λ + 1 λ (3.91) onde λ é calculado pela equação: t λ = D s (3.92) 2 x De acordo com Taylor (1954) e Holly (1975), ctado por Chaudhry e Islam (1997), se a dfusão molecular for neglgencada, o coefcente de dspersão pode ser estmado pela fórmula: τ 0 D s = 10,1 r o (3.93) ρ onde r o é o rao do tubo, τ 0 a tensão de csalhamento na parede do tubo e ρ a massa específca da água. Islam & Chaudhry (1998) ctam que város métodos numércos já foram estudados e as técncas de dferenças fntas são as mas atratvas para resolver esse tpo de problema. Segundo eles o tempo de detenção do componente dentro do nó é consderado nsgnfcante e a concentração dentro de um reservatóro é assumda como sendo homogênea e, portanto, os tubos conectados ao reservatóro possuem a mesma concentração. Para bombas e válvulas a concentração é a mesma antes e depos destes elementos. Segundo Islam (1992) a utlzação do Lax scheme para a solução da equação dferencal parcal hperbólca para a convecção dá resultados satsfatóros desde que o número de Courant fque próxmo de 1. 41

63 Esse trabalho apresenta váras smulações envolvendo a qualdade da água no sstema hdráulco, levando em consderação o efeto da nérca do escoamento, uma vez que a estrutura do modelo hdráulco adotada é baseada no modelo dnâmco nercal rígdo. No cálculo da dspersão, a dfusão molecular é desprezada levando em consderação apenas a advecção e é utlzada a equação de Lax scheme, de forma undmensonal, para o cálculo das concentrações nos sstemas hdráulcos. O componente transportado é consderado conservatvo e passvo, pos o objetvo é apenas verfcar o efeto da nfluênca da nérca do escoamento para o seu transporte. O objetvo é demonstrar que o modelo dnâmco nercal rígdo, proposto nesse trabalho, permtrá uma análse de qualdade da água que seja mas condzente com a realdade. 42

64 4 MODELO MATEMÁTICO Esse capítulo apresenta o modelo dnâmco nercal rígdo como contrbução deste trabalho. Para a compreensão do desenvolvmento, que se basea na analoga formal ao método gradente, será feta uma breve dscussão sobre esta modelação como ntrodução a nova proposta subdvdndo a modelação em hdráulca (objeto prncpal) e de qualdade (margnal). 4.1 Modelo hdráulco É abordada a solução dada ao modelo estátco (não nercal) na forma proposta por Todn & Plat (1988) que é a base do módulo de solução hdráulca do programa EPANET, conhecdo como método gradente Modelo não nercal (EPANET) Dada uma rede hdráulca a condutos forçados, defnda por sua topologa, característcas físcas das tubulações e condções operaconas (tas como consumos nodas, nós com cargas fxas e uma le de varação de carga para cada tubo, expressa por f Q ) ), Todn & Plat (1988) apresentam na forma matrcal o problema da determnação da vazão pelos tubos e cargas nos nós, assumndo condção de regme permanente como: ( A12 H + f ( Q) = A10 H A21Q = q 0 (4.1 a,b) 43

65 onde: A 12 = A T 21 (np x nn) - matrz de ncdênca de ncógntas cargas nodas. A 10 (np x no) matrz de ncdênca de nós com carga fxa. Q T = {Q 1,...,Q P } (1 x np) vazão ncógnta em cada tubo. H T = {H 1,...,H p } (1 x nn ) cargas nodas ncógntas. q T = {q 1,...,q nn } (1 x nn) demandas nodas conhecdas H T o = {H 1 o,...,h no o } (1 x no) nós com cargas estabelecdas (conhecdas ou fxas) f(q) T = {f(q 1 ),...,f(q np )} le que expressa a varação de carga nos tubos. sendo: nn = número de nós com carga ncógnta. no = número de nós com carga fxa. np = número de tubos com ncógnta vazão. Os elementos da matrz A 12 são escrtos na forma: A (, ) 12 j = se a vazão no tubo chega se o tubo e o nó j não estão conectados se a vazão no tubo sa do nó ao nó j j e os elementos de A 10 defndos de forma smlar a A 12, mas em relação aos nós com carga fxa. Segundo Todn e Plat, o sstema representado por (4.1) pode ter mas de uma solução, dependendo do perfl da função f Q ), mas sendo possível provar que, se todas as f Q ) são ( funções monotomcamente crescentes a solução do sstema de equações dado por (4.1) exste e é únca. ( 44

66 Assumndo para cada tubo, a função f Q ) como: ( n 1 f ( Q ) = R Q Q (4.2) obtém-se o sstema de equações: A11 A12 Q A10 H 0. = A21 0 H q (4.3) onde A 11 é a matrz dos coefcentes de energa: A 11 R1 Q1 = M 0 n 1 L O L R np 0 M Q np n 1 (4.4) onde o sstema de equações (4.3) é o mesmo de (3.1), sendo a solução do sstema de equações, não lneares, dado por (3.3), únca no espaço de todas as ncógntas cargas e vazão. Os autores encamnham a solução do sstema de equações (4.3) através do método de Newton. Dferencando o sstema: NA A A12 dq de. = 0 dh dq (4.5) onde: 45

67 n K 0 N = M O M (4.6) 0 L n sendo: de = A (4.7) K K 11Q + A12 H + A10 H 0 dq = A Q K 21 q (4.8) resíduos a serem mnmzados através do processo teratvo, utlzando: dq = Q K +1 Q K (4.9) dh = H K +1 H K (4.10) gradente: O resíduo para a teração ( K +1), pode ser avalado através da aproxmação pelo K K K K E E E = E + dq dh (4.11) Q H K K K K q q q = q + dq dh (4.12) Q H Consderando a fórmula unversal de perda de carga pode-se defnr: 46

68 f(q ) = R Q Q (4.13) 2 com R = f L /(2gD A ) é o termo de resstênca avalada em cada tubo. Após operações artmétcas as equações (4.11) e (4.12) resultam: K + 1 K K K + 1 K K + 1 E 1 = A11 Q + A10 H 0 + GQ GQ + A12 H (4.14) K + 1 K + 1 q2 = A21Q q (4.15) onde G é uma matrz dagonal quadrada de ordem np: R1 Q G = M K O L 0 M 2R np Q np (4.16) K + 1 K + 1 Admtndo atngdo o objetvo ( E 0 e q 0 ), após algumas operações: 1 = 2 = A 1 K + 1 K 1 K K 1 21G A12 H q2 A21G A11 Q A21G A10 H 0 = (4.17) chamando o produto de matrzes, que multplca as cargas ncógntas do prmero termo, de J e o vetor resultante do segundo membro de F : JH K +1 = F (4.18) 47

69 onde a matrz J se assoca à matrz Jacobana e pode ser escrta como: J j = = j J j J j j = K 1 G 1 = G j K (4.19) O vetor resultante F pode ser escrto: F 1 H 0 j = QK D + RKQK QK + sgn( QK ) (4.20) K K GK j GK Uma vez obtda a solução para o sstema de equações dada por (4.18), para a determnação do vetor de cargas, podem-se obter as vazões pela equação: Q = Q G A Q G A H G A H (4.21) K + 1 K 1 K K 1 1 K A equação anteror pode ser escrta da forma explícta: 1 1 K + K K K 1 K + 1 K + 1 Q j = Qj [ A11 ] Qj sn al( Qj ) + ( H H j ) (4.22) j Gj Gj A solução teratva é feta com base na solução proposta de (4.18) para o sstema de equações baseado nas cargas nodas, os valores de carga obtdos permtem a determnação através da equação (4.21), das vazões pelos tubos, num processo teratvo até o estabelecmento da convergênca adotada. Este procedmento numérco encontra-se apresentado de manera smplfcada no manual do usuáro do programa EPANET, colocado na segunte forma: 48

70 AH = F (4.23) onde A é a matrz onde os elementos da dagonal são: A = p j (4.24) enquanto que os elementos não nulos fora da dagonal são: A = (4.25) j p j onde vazão: p j é o nverso da dervada da perda de carga no trecho entre os nós e j em relação a p j 1 = nv 1 (4.26) n r Q + 2m Q v j L j onde n v é o expoente da vazão, r o termo de perda de carga, localzada. m L o coefcente de perda de carga localzadas: Consderando as perdas pela Fórmula Unversal ( n = 2 ) e desprezando as perdas v p j 1 = (4.27) 2r Q j Note que esta equação é análoga a { G } 1. Cada termo do lado dreto da equação (4.23) é composto por uma parcela referente ao balanço da vazão no nó, à qual é adconado um fator de correção de vazão: 49

71 F = Qj D + yj + pj H j sgn( Qj ) (4.28) j j j onde y j corresponde a: y j j nv 2 ( r Qj + ml Qj ) sgn( Qj ) = p (4.29) Consderando novamente as perdas pela Fórmula Unversal ( n = 2 ) e desprezando as perdas localzadas: v ( r Qj ) sgn( Qj ) 1 2 y j = (4.30) 2r Q j A equação (4.28) resulta em: F = ( r Qj ) sgn( Qj ) Q j D + + j j 2r Q 1 2 j j 1 2r Q j H j sgn( Q ) j (4.31) Fazendo G = 2r Qj a equação resultante é análoga à equação (4.20). Após terem sdo calculadas as cargas no sstema (4.23) as novas vazões podem ser obtdos de acordo com a equação segunte: Q j j ( y p ( H H ) = Q (4.32) j j j A equação (4.32) é análoga à equação (4.22), uma vez substtuído os valores de p j e y j : 50

72 Q j 1 1 = Qj [ A11 ] Qj sgn( Qj ) + ( H H j ) (4.33) G G j j Modelo dnâmco nercal rígdo proposta dessa tese A equação do modelo rígdo pode ser expressa na segunte forma matrcal, aprovetando-se das defnções das matrzes anterormente defndas para o modelo estátco: dq A12 H + A10 H 0 + f ( Q) = β (4.34) dt onde β é uma matrz dagonal quadrada de ordem np, com o elemento (, ), formado pela relação obtda do tubo, dada por β = L /( ga ). Utlzando uma aproxmação smples para dq / dt, na forma: ( Q Q0 ) / t, com que Q 0 avalada em K relatva ao nstante ( t ) e Q avalada em ( K + 1) no nstante ( t + t ), e consderando que na evolução no tempo o termo de atrto possa ser avalado em relação ao nstante t, pode-se reescrever a equação anteror como: A H + A H + GQ + BQ 0 (4.35) = onde G e B são matrzes dagonas quadradas de ordem np : R1 Q01 G = M 0 B 1 L O L R np Q 0 M 0np B np (4.36) 51

73 L1 ga1 t B = M 0 L O L 0 β1 t M = M L np 0 ga t np K O K 0 M β np t (4.37) O sstema de equações a ser resolvdo para a solução do problema será: A 12 H + BQ = GQ A Q = q 21 0 A 10 H 0 (4.38) que resulta no sstema de equações: B A12 Q GQ0 A10 H 0 = A21 0 H q (4.39) que é lnear e tendo como uma propredade mportante o fato da matrz dos coefcentes ser constante, ou seja será montada apenas uma vez durante o processo de solução. O vetor de soluções é varável no tempo e dependerá da equação de resstênca utlzada. Consderando a Fórmula Unversal de perda de carga pode-se escrever: A 21 B GQ0 A21B A12 H A21B A10 H 0 = q (4.40) Separando os termos da equação acma tem-se: A21 B A12 H = A21B GQ0 A21B A10 H 0 q (4.41) 52

74 Chamando o produto de matrzes, que multplca as cargas ncógntas, de J e o vetor resultante do segundo membro de F : JH = F (4.42) Tem-se um sstema análogo ao do modelo estátco (anteror). J j = = j J j J j j = K 1 B 1 = B j K (4.43) Uma vez obtda a solução para o sstema de equação dada por (4.42), para a determnação do vetor de cargas, pode-se obter as vazões pela equação: Q = B GQ0 B A12 H B A10 H 0 (4.44) que reca em uma estrutura de solução smlar a dada por (4.18) e (4.21). O processo de solução é análogo, ou seja, resolve-se o sstema de equações para a determnação das cargas, equação (4.42), com os valores de carga obtdos determnam-se as vazões nos tubos por operações matrcas smples obtdas pela equação (4.44). Deve se observar que a matrz nversa que permte a solução do sstema de equações em (4.18 modelo estátco) depende de G, que é expresso em termos das vazões nas tubulações, sendo portando calculada em cada teração. No caso da equação (4.42 modelo dnâmco) a matrz nversa se mantém constante durante todo o processo, sendo, portanto necessáro calculála apenas uma vez, pos B não está expresso em termos das vazões. Os vetores solução apresentam em ambos os casos grau semelhante de complexdade de cálculo. Esta observação pode ser mportante na comparação entre os métodos, pos embora a convergênca no tempo 53

75 possa ser mas morosa, o fato de não necesstar o recálculo da matrz nversa, se o sstema for demasadamente grande pode reduzr sgnfcatvamente o tempo fnal de processamento. O mesmo nconvenente ocorrdo no sstema de equações (4.18) se repete no atual modelo se a escolha da aproxmação da equação (4.34) for msta ao nvés de smples, resultando na equação a segur: A H + A H BQ + GQ 0 (4.45) = O sstema de equações a ser resolvdo para a solução do problema será: A 12 H + GQ = BQ A Q = q 21 0 A 10 H 0 (4.46) Na solução desse sstema obtém-se a equação: A21 G A12 H = A21G BQ0 A21G A10 H 0 q (4.47) Note que a cada nova teração deve-se realzar a nversa de G ao nvés da nversa de B, pos seu valor depende dos valores das vazões de cada novo nstante de tempo. A matrz J assume o mesmo sstema da equação (4.42). Pela facldade apresentada empregou-se nesse trabalho a prmera forma de aproxmação. No anexo encontra-se um exemplo lustratvo para expor o que fo dscutdo anterormente. Quando alguns nós de um sstema hdráulco possuírem reservatóros de nível varado, os contornos dos mesmos são realzados fora da equação (4.42), da segunte forma: 54

76 Q = A t+ t H t + r H t (4.48) onde A r é a área da seção transversal do reservatóro. Quando se deseja smular um reservatóro de nível fxo, basta mpor no programa do modelo hdráulco que o nível no reservatóro permaneça constante com o tempo. Pode-se também empregar a equação (4.48) e adotar um valor muto grande para A r (nfnto), pos quando A r tende a nfnto Q tende a zero e, consequentemente, A r t+ t H = H t Cabe aqu observar a dferença fundamental de convergênca do método não nercal e o nercal proposto. No prmero caso a convergênca é numérca e decorrente do processo de mnmzação de resíduos, no segundo caso trata-se de uma evolução no tempo (convergênca no tempo) em que o fenômeno é descrto fscamente a partr de uma condção ncal para uma outra condção qualquer. Se o nteresse é a de obtenção da condção estátca, como faz o modelo estátco empregado no EPANET, o modelo proposto também poderá ser empregado. Nesse caso pode se abrr mão da precsão numérca durante a condção transtóra para se obter a aceleração da convergênca para o regme permanente adotando-se valores de dt maores. Cabe observar que o dt é a dscretzação numérca de uma equação dferencal e, portanto para garantr sua adequação ao fenômeno físco este valor deve ser pequeno para garantr a representação da dervada. O uso de dt' s grandes (dentro de certos lmtes, como serão observados em exemplos lustratvos) não traduz corretamente a evolução do fenômeno físco, embora para os testes efetuados tenha-se obtdo a convergênca para o regme permanente fnal, de forma acelerada. 55

77 4.2 Modelo de qualdade O modelo de qualdade aqu proposto e desenvolvdo tem apenas o ntuto de nvestgar o efeto da nérca na modelação de qualdade. Não se entrará na dscussão do modelo mas adequado para a smulação de qualdade da água, pos sto foge do escopo deste trabalho. Será empregado para a solução das equações dferencas que regem o fenômeno a técnca de dferenças fntas pelo método Lax-scheme. Esse método fo anterormente empregado com sucesso por Islam (1992) para o caso de escoamento a superfíce lvre. A dspersão é o efeto da resultante da ação da dfusão juntamente com a advecção e pode ser escrta na forma: C C + u t x = D s 2 C 2 x (4.49) onde D s é o coefcente de dspersão. A equação (4.49) é uma equação dferencal parcal parabólca lnear e sua solução numérca pode gerar uma dfusão artfcal, por esta razão, a advecção e a dfusão são resolvdas separadamente: C C + u t x = 0 (4.50) 2 C C Ds = 0 (4.51) 2 t x A dfusão é desprezada nas smulações desse trabalho e a advecção é resolvda por uma técnca de dferenças fntas, pelo método de Lax scheme : 56

78 C t+ t 1 2 t t t ( C + C ) C = u t + 1 C 2 x t 1 (4.52) Isolando o valor da concentração no nstante futuro tem-se: t t t [ C + C ( C C )] t 1 = α (4.53) 2 t+ t C onde α é o número de Courant. O estudo é feto separadamente para tubos e nós de um sstema hdráulco. A equação (4.53) é aplcada aos tubos, enquanto que nos nós, calcula-se a méda artmétca ponderada das concentrações que convergem a eles, tendo as vazões como pesos: C j NC = 1 = NC = 1 Q C Q (4.54) onde NC é o número de tubos das concentrações que convergem ao nó e nó em estudo. C j a concentração do A smulação da dspersão de um componente num sstema hdráulco é feta de forma separada do modelo hdráulco. Prmero se determna a vazão e a velocdade da água nos tubos, no nstante analsado, pelo modelo dnâmco nercal rígdo, e em seguda se resolve a dspersão do componente que, por sua vez, é calculada prmeramente nos tubos, utlzando a equação (4.53), e em seguda nos nós, pela equação (4.54). Nessa smulação são assumdas algumas hpóteses tas como: * o componente é conservatvo e passvo; 57

79 * mstura completa da concentração no nó de forma nstantânea; * concentração dentro do reservatóro é homogênea; * para bombas e válvulas a concentração é a mesma antes e depos destes elementos. Os exemplos nvestgados não contemplaram bombas e válvulas. Um cudado especal deve ser tomado para os nós de jusante de um determnado tubo. A dspersão do componente sempre camnha na dreção do fluxo e sempre é o nó de montante do tubo que contrbu com uma concentração no mesmo. Para evtar que um determnado nó, que está à jusante do tubo, devdo ao sentdo do fluxo, não contrbua com certa concentração, no próxmo nstante de cálculo, nesse mesmo tubo, o contorno desse nó deve estar desacoplado do mesmo. Se ocorrer nversão de sentdo do fluxo, ele passa a ser o nó de montante e, conseqüentemente, passa a contrbur com sua concentração. Como o modelo de Lax scheme trabalha com seções 1 e + 1 na sua equação, para se calcular a concentração do componente nas seções dos tubos que estão próxmas aos nós, crase uma seção fctíca, por uma aproxmação lnear, como mostra a fgura 4.1: Fgura 4.1 Seções do tubo. Para o sentdo do fluxo, no cálculo da concentração do componente na seção 1, usa-se a própra concentração do nó N1 como sendo o elemento C 1 da equação (4.53) e, conseqüentemente, C + 1 é a concentração na seção 2. Anda consderando o mesmo sentdo do fluxo, para o cálculo da concentração do componente na seção n, a concentração da seção correspondente a C + 1 é fctíca e calculada pela equação: 58

80 C (4.55) ns = 2Cn Cn 1 e o valor da concentração do componente correspondente a C 1 é o da seção n 1. Note que a concentração no nó N2 não contrbu nesse momento no cálculo da dspersão do componente no tubo, fcando desacoplado do mesmo. Se há nversão de fluxo, o nó N2 passa a ser o valor de C 1 no cálculo da concentração do componente na seção n e deve-se crar um nó fctíco para o cálculo da concentração na seção 1, de forma análoga: C 0 2C1 C2 = (4.56) Uma alteração é feta na equação (4.54) para o cálculo da concentração dos nós que possuem demandas ( d m ). A equação fca na segunte forma: C j = NC Q C + d = 1 NC = 1 m Q + d m C m (4.57) onde C m é a concentração do componente da demanda. O valor da demanda é atrbuído em módulo, pos ele é aprovetado da smulação do modelo hdráulco. Na aplcação do modelo dnâmco nercal rígdo, as demandas que entram no nó são adotadas negatvas e não tera sentdo físco nessa etapa do processo. Note que a concentração de um componente de um nó só é alterada se houver uma demanda externa adconada ao mesmo. Caso a demanda esteja sando do nó, a sua concentração não é alterada. 59

81 5 PROGRAMA DO MDIR Fo desenvolvdo um programa de computador com base no MDIR proposto nesse trabalho. Ele resolve, de forma separada, a parte hdráulca, utlzada para determnar a vazão (velocdade da água nos tubos) e a carga nos nós. A parte de qualdade é utlzada para determnar a concentração de um componente numa determnada seção, ou seja, os resultados obtdos pelo modelo hdráulco são utlzados na seqüênca pelo modelo de qualdade. Para a demonstração do programa se está empregando rede lustrada na fgura 5.1: Fgura 5.1 Rede hdráulca. O programa é consttuído por duas janelas. A prncpal, onde se calcula o regme permanente, havendo a possbldade de acelerar sua convergênca para o regme permanente, uma vez que valores dferentes para dt (nclundo valores grandes) podem ser adotados para esta convergênca, em detrmento da realdade físca da fase transtóra conforme será melhor 60

82 observado nas smulações do captulo 6. Para smular o transtóro, basta clcar no botão transente para se ter acesso à segunda janela (secundára), onde váras smulações poderão ser realzadas, como descrta a dante nesse capítulo. As fguras 5.2 e 5.3 representam, respectvamente, as janelas prncpal e secundára. Fgura 5.2 Janela prncpal do programa. Fgura 5.3 Janela para smular o transente. seguntes: As janelas apresentadas dão acesso a um conjunto de rotnas descrtas através dos passos 61

83 Passo1: com base em valores ncas arbtráros ou conhecdos de vazão calcula-se a matrz J e a matrz F. Como a matrz J ndepende dos valores das vazões, ela é calculada apenas uma vez, ao passo que, a matrz F é calculada a cada ntervalo de tempo. Passo 2: O sstema é resolvdo a cada teração (passo de tempo) fornecendo os valores de vazão e carga, respectvamente, nos tubos e nos nós do sstema hdráulco em estudo. Nessa etapa é feto o teste de convergênca para verfcar se o regme permanente fo atngdo. Se a convergênca ocorreu, as vazões e cargas fnas e o número de terações para que sso ocorra foram obtdos. Pode-se notar que é possível utlzar nessa fase dferentes valores para dt para acelerar a convergênca (no caso de se estar buscando apenas o regme permanente), como lustrado na fgura 5.2. Passo 3: A partr do sstema hdráulco já establzado, ou seja, vazões e cargas já determnadas para o regme permanente ncal, pode-se smular manobras que geram transtóros ou analsar a dspersão de um componente nesse sstema. Váras smulações podem ser realzadas como as descrtas a segur: A): Pode-se nserr uma certa concentração, de forma contínua ou não, de um componente num determnado reservatóro e analsar sua dspersão ao longo da nstalação, como mostra a prmera tabela da fgura 5.3. O nó fxo apresentado nessa tabela corresponde, respectvamente, aos reservatóros R7 e R8. Nessa smulação os reservatóros permanecem com carga hdráulca fxa. B): Pode-se nserr (valor negatvo) ou retrar (valor postvo) uma certa demanda num determnado nó (ou em város nós) de forma contínua ou não. Essa demanda pode possur uma certa concentração de um componente podendo-se analsar a sua dspersão em regme transtóro. Qualquer alteração na demanda ou na concentração do componente, ou nos dos smultaneamente, pode ocorrer, como lustrado na segunda tabela da fgura 5.3. O programa recalcula a matrz F, resolve o sstema de equações, gera as novas vazões e cargas e redstrbu o componente nos nós e nos tubos desse sstema. 62

84 C): Pode-se smular reservatóros com níves de água constante ou não, podendo escolher um dâmetro equvalente, assocando-se a um reservatóro clíndrco, como mostra a tercera tabela da fgura 5.3. D) O programa anda apresenta uma opção de alterar o número de seções que um determnado tubo possa ter. O número de seções sugerdas pelo programa refere-se a um número de courant gual a 1 referente ao modelo de cálculo na dspersão de um componente. Isso é lustrado na quarta tabela da fgura 5.3. O fluxograma apresentado na fgura 5.5 lustra todos os passos anterormente descrtos. Para uma melhor compreensão destes passos, o fluxograma é melhor detalhado na seqüênca de eventos descrtas a segur: 1) Letura de dados do arquvo (na forma apresentada na fgura 5.4). Fgura 5.4 Letura do arquvo de dados. 2) Incalzação das vazões. 63