Calibração geométrica de câmeras, aplicando o método dos mínimos quadrados

Transcrição

1 Aca Scieniam 0(4):495-50, 998. ISSN Calibaçã geméica de câmeas, aplicand méd ds mínims qadads Ain Mac Plidói *, Flai Bli e Maíci Figeied Depaamen de Infmáica, Uniesidade Esadal de Maingá, A. Clmb, 5790, , Maingá-Paaná, Bail. amplid@din.em.b Pnifícia Uniesidade Caólica d Paaná, A. Imaclada Cnceiçã, 5, Pad Velh, , Ciiba-Paaná, Bail. *Ah f cespndence. RESUMO. Paa na pssíel a isã aificial, isã cmpacinal, é necessái esle ma séie de pblemas de aáel cmpleidade. O pimei pblema a se eslid é a calibaçã das câmeas qe seã iliadas pel sisema de isã aificial. N pcess de calibaçã, deem-se ilia padões cnhecids e cm cdenadas R cnhecidas, ma e qe pblema básic cnsise em asscia m pn em R, espaç idimensinal, cm m pn em R, plan de imagem plan de eina da câmea, qe enle fenômens óics, eleônics, eleônic-nméics e mecânics, s qais cnibem cm es paa sisema. Paa minimiá-ls, é necessái qe sisema de isã aificial seja edndane, qe se enham mais eqações d qe incógnias paa eslê-l. Paa esle esse sisema, pa-se, nese abalh, pel méd ds mínims qadads. Apesena-se, ambém, ma medlgia paa aqisiçã ds padões necessáis à calibaçã. Palaas-chae: calibaçã de câmeas, isã p cmpad, mínims qadads. ABSRAC. Gemeic calibain f cameas appling leas-sqaes mehd. mae aificial isin cmpe isin pssible, i is necessa sle a seies f pblems f easnable cmplei. he fis pblem is he calibain f he cameas which will be sed b he aificial isin ssem. he calibain pcess eqies he, se f well-nwn paens wih nwn R cdinaes, nce he basic pblem cnsiss f assciaing a pin in R, idimensinal space, wih anhe pin in R, image plane plane f camea eina, inling pical, elecnic, elecnic-nmeical and mechanical phenmena ha cnibe wih misaes he ssem. minimie hem i is necessa ha he aificial isin ssem be edndan haing me eqains han aiables. he leas-sqaes mehd was applied sle his ssem. A mehdlg apppiae he acqisiin f he necessa calibain paens is als pesened. Ke wds: camea calibain, cmpe isin, leas sqaes. A isã aificial idimensinal pemie cnfei aibs qaliais as sisemas qe jsificam se s, p eempl: bôs qe se lcmem de fma independene (nã mniada), bôs fis em ma linha de pdçã, s qais pecisam deemina pns específics nas peças fabicadas, independene da anslaçã e da açã das mesmas cm efeência a m sisema de cdenadas fi, cndi, de fma aônma, eícls ames, pcessa imagens de saélies qand se necessia esabelece cdenadas de fma amáica de bjes de lgaes (F e al., 987; Gnale e hmasn, 978). Paa da m sisema cm isã aificial idimensinal, é necessái ilia mais de ma câmea de aqisiçã de imagens, psicinadas em pespecias difeenes, mas cm m camp de isã em cmm (ineseçã ene s plans imagem). Nmalmene, sã iliadas das câmeas paa cada sisema, cnsiind m sisema aificial de isã esée bincla. Enean, cm eisem mis es inínsecs assciads e, ambém, mias inceeas n camen de dads ene as das câmeas (maching), mis sisemas já apaecem dads cm isã esée incla, cm ês câmeas. Cm iss, edem-se as inceeas pel esqema de açã: m pn, segmen de ea, paa eisi n sisema de isã aificial, em qe se is p, pel mens, das câmeas.

2 496 Plidói e al. A cnsidea qe sisema de efeência é fi em elaçã às câmeas, p eempl, cen geméic de m bô, êm-se qe caliba as câmeas d sisema de isã aificial em elaçã a esse sisema de efeência. A esa peaçã dá-se nme de calibaçã geméica das câmeas e is pde se fei em cndições cnladas em m labaói. (Mensbach, 986; sai, 987). Caliba gemeicamene ma câmea cnsise em esabelece m cnjn de eqações qe pmam a ansfmaçã pnal de d pn M(, Y, Z) d espaç R, qe em cm efeencial m sisema de cdenadas mnd (O w, w, Y w, Z w ), paa espaç R, assciad cm m pn imagem M i (, ) n plan imagem plan eina da câmea qe esá definid p m efeencial específic, (Figa ). Y w pns, qal em a capacidade de amaena ma amsagem de pns P, (Figa ). Ow Yw w Zw m(,) I I * (piels) (piels) Y C O fc (f) (0, 0) Cen óic Y P(,, ), (,, ) Relações Geméicas Y Z Z M i M Figa. Mdel geméic de ma câmea O Plan imagem plan eina (R ). w O w Z w Espaç idimensinal (R ). Figa. Ilsaçã ds aspecs geméics geais enlids na calibaçã de ma câmea Ese cnjn de eqações dee epesena ma ealidade física qe cnsidea s segines fenômens enlids: ) óic - pel cnjn de lenes da câmea; ) eleônic - qe ansfma ma imagem idimensinal cnína em ma imagem analógica; ) eleônic-nméic - qe cnsise em ansfma a imagem analógica em ma imagem digial (discea) passíel de qanificaçã pnal; 4) mecânics - cnesã d sisema de efeência em R paa R. Dessa fma, idenificam-se dis ips de paâmes qe sã necessáis paa se caliba ma câmea: s paâmes eínsecs (maies de açã, anslaçã) e s paâmes inínsecs (faes de escala e pjeçã d cen óic). Paa melh análise desses paâmes, bsee, a segi, mdel das ansfmações óicas de ma câmea. Mdel de ma câmea Na Figa, ilsa-se m mdel de ansfmaçã óica qe ce em ma câmea. Cnsidee pn idimensinal P qe é pjead n plan imagem da câmea, fmand pn (piel) m. Pde-se cnsidea qe plan imagem da câmea é m eiclad disce de Obsee qe sisema eiclad d plan imagem da câmea é disce e, pan, pde eisi m e inínsec assciad a sisema na cnesã d pn P (,, ), espaç cnín, paa pn m(, ), espaç disce. P eempl, spnd qe pn P (0,, ) pdeia se cneid paa m(,.5), indicand qe pn n plan imagem da câmea cpaia ma célla d eiclad cespndene à linha e à clna.5, qe é impssíel, pis as céllas d eiclad sã disceas e, pan, só pdeia se (, ) (, ). Dessa fma, paa qe as elações geméicas msadas na Figa sejam edadeias, é necessái indi qa ceficienes: s faes de escala K e K e a pjeçã d cen óic (, ) sbe plan imagem da câmea. (, ) (piels) piel m(, ) O (, ) (, ) (-, - ) (, ) Figa. Reiclad d plan imagem da câmea (piels) Os faes de escala K e K sã iliads paa se fae a cnesã de nidades ene s sisemas e qe egem sbe plan imagem da câmea. Um pn n sisema é epess em

3 Calibaçã geméica de câmeas 497 nidades méicas, milímes, p eempl, e n sisema ele é epess em piels. O sisema de eqações () elacina s paâmes enlids nesa cnesã. K K () Enean, cm eisem es inínsecs à cnsçã da câmea, sabe-se qe a pjeçã d cen óic sbe plan imagem nã incide eaamene n cen d plan imagem. Necessiase, enã, anslada a igem d sisema na dieçã d pn (, ) qe é a cdenada da pjeçã d cen óic d plan imagem. Dessa fma, pcedend a anslaçã (sisema de eqações ()), a cdenada (, ) d piel d pn m fica elacinada cm sa especia cdenada idimensinal (D). - K - K K, K > 0 () Na edade, a deeminaçã ds ales de,, e cnsii pimei pblema a se eslid paa se caliba ma câmea. Paa algmas câmeas, cm a CCD VÍDEO, pde-se be camp de mada de isa e, a pai da disância fcal (f), da pfndidade, da laga e da ala d camp de isa, calcla s ales de e. Assim, a diidi as das elações d sisema de eqações () pela disância fcal f e faend: K f e K f (-a) bém-se sisema de eqações (). + a f () + a f Reesceend esse sisema cm m sisema de cdenadas hmgêneas (Nble, 969) e cnsideand Z 0 (ea spe d fc da câmea - Figa ) e faend S Z se a cnsane de hmgeneiaçã e cnsidea, ainda, qe U S. e V S., sisema de eqações ilsad em () é ansfmad n sisema hmgêne de eqações (4). U a. +. Z V a. Y +. Z S Z (4) O sisema de eqações (4) pde se esci na fma maicial, sisema de eqações (5), end, pan, a fma geal: U M., nde M é ma mai 4 e é denminada: mai de ansfmaçã pespecia. Obsee qe, se S 0, eqiale die qe Z 0 e, pan, pn n espaç idimensinal se encna n plan fcal da câmea e, dessa fma, s piels de cdenada (,) cnids nesse plan nã esã definids n plan imagem da câmea. Ainda, n sisema de eqações (5), em-se: - se e M sã cnhecids, calclam-se as cdenadas (D) ds pns imagens m i (,) assciads cm s pns P (,, ); - se U e M sã cnhecids, pdem-se ecnsi s pns D, P (,, ), assciads cm s pns imagens m i (,); - se U e sã cnhecids, calcla-se a mai de ansfmaçã pespecia M. U S. 0 0 Y V S. 0 0 Z S S { { U M Sisemas de cdenadas cm deslcamen ígid (5) Em algmas siações, paa efei de simplificações, pde-se fae cincidi sisema de cdenadas da câmea O cm sisema de cdenadas mnd (O w ). Enean, as gandes aplicações eigem qe esses sisemas de cdenadas sejam aads em sepaad, cm ilsa a Figa 4. Os sisemas de cdenadas da câmea, O e O, sã fis em elaçã à câmea e efeencial mnd (O w ) é fi em elaçã a mnd. Cm s efeenciais sã independenes, s sisemas de cdenadas da câmea pdem se me, fi a mimen da câmea (O é fi em elaçã a O ), em elaçã a efeencial mnd. Nesse cas, e w pde fnece a psiçã da câmea e ds ses sisemas de cdenadas em qalqe insane em elaçã a efeencial mnd. A se faeem esas cnsideações, a câmea esá lie paa ealia mimens de anslaçã e de açã em elaçã a O w.

4 498 Plidói e al. O w Z w Y w w w Figa 4. O Refeencial mnd e s sisemas de cdenadas da câmea Cm d efeencial (O,, Y, Z) pde se calclad a pai d efeencial mnd (O w, w, Y w, Z w ) pel sisema de eqações (6). W Y YW R + (6) Z Z nde: W R O Y é a mai de anslaçã. O Z é a mai de açã. Cnsideand a mai de ansfmaçã pespecia M, sisema de eqações (5), qe pesspõe a cincidência ds efeenciais mnd e s da câmea e sisema de eqações (6), qe aa efeencial mnd e s efeenciais da câmea em sepaad, ded-se a Eqaçã (7), qe pssibilia cálcl da na mai de ansfmaçã pespecia, eigida paa qe se pssam aa, em sepaad, s efeenciais mnd e s da câmea. M R 0 (7) nde: 0 (0 0 0), e () Desenlend algebism desse sisema, encna-se sisema (8) (8) Sabend qe s ees linhas, i, da mai de açã, R, pssem as segines elações:. se i j i 0 j (i, j,,,...) se i j Aaés de algebism, pde-se, facilmene, cnsaa qe s paâmes inínsecs (, ), K (aaés de ) e K (aaés de )) sã deeminads pelas Eqações (9-a), (9-b), (9-c) e (9-d), especiamene. (a) (b) (c).... (d) (9) De fma análga, deeminam-se s paâmes eínsecs (mai de açã R ( ) e mai de anslaçã ( ) ), aaés das Eqações 0-a, 0-b, 0-c, 0-d, 0-e e 0-f, especiamene. (a) (b) (c) (d) 4 4 (e) (f) Cálcl da mai de ansfmaçã pespecia (0) Caliba ma câmea, em elaçã a m efeencial, significa deemina a mai de ansfmaçã pespecia eisene ene a câmea, mais pecisamene plan imagem da câmea, e efeencial D assciad a esa câmea. A Figa 5 msa pn P (, Y, Z ), peencene a R, send pjead n plan imagem de ma câmea, pjeçã esa qe passa pel fc C, cen óic, e se define sbe plan imagem n pn I (, ). Cnsideand as cdenadas hmgêneas da pjeçã de P (, Y, Z ) cm send pn U, V, S, enã, caliba ma câmea I

5 Calibaçã geméica de câmeas 499 cnsise em deemina a mai de ansfmaçã pespecia qe pemia ansfma pn P n pn I cespndene, qe é dad pela Eqaçã. I P. () nde: P ( Y Z ) ( U V S ) I I Plan imagem Y O C Z Pn R Figa 5. Pjeçã d pn P (R) sbe plan imagem (pn I (R)) Spnd cas geal S 0, as cdenadas n plan imagem I (em piels) sã dadas pela Eqaçã (). I U S V S D sisema de eqações () cncli-se qe: U. S 0 V. S 0 U V S P () () Desenlend-se a Eqaçã (), encna-se:. P + 4. P + 4. P + 4 Sbsiind (4) em (), em-se:. P + 4.(. P + 4 ) 0. P + 4.(. P + 4 ) 0 (4) (5) N sisema de eqações (5), n pcess de calibaçã de câmeas, s ales P, e sã cnhecids. Lg, ese sisema pssi incógnias: ( ), ( ), ( ), 4 e 4. Enã, paa se esle ese sisema é necessái qe se enha,,,..., n, nde n dee se n mínim 5, ma e qe, paa cada al de, bêm-se das eqações. Dessa fma, paa se calcla a mai de ansfmaçã pespecia, sã necessáis, n mínim, 6 pns, nã cplanaes, P e, s 6 pns I. Na páica, paa minimia s es inínsecs a sisema de isã aificial e de ncamen n pcessamen cmpacinal, ilia-se m núme mai de pns (da dem de ma cenena). A aplicaçã d méd ds mínims qadads O pblema em se aplica sisema de eqações (5) é qe nem sempe paâme 4 é cnhecid, a sp qe eise anslaçã n sisema, em-se qe e 0. Assim, sbsiind sisema de eqações (8) n sisema (5) e diidind eslad p, bém-se sisema de eqações (6).. P.. P + C ) (,..., n), n > 5. P.. P + C ) (6) O sisema de eqações (6) pde se epesenad pela fma maicial A. B, nde: P P 0 A (6-a) -. 0 (,..., n), n > P P 0. ( n ) ( ) C C (6-b) B (n ). +. (,..., n), n > 5 (6-c) (6-d). (6-e). +. C (6-f) +. (6-g) C +. (6-h)

6 500 Plidói e al. A slçã de A. B, pel méd ds mínims qadads é dada pela Eqaçã (7). (0-c) ( A. A). A. B (7) e, paind da Eqaçã (6-e), sabend qe, pde-se msa qe: (8) C (-a) C (-b) Aga, basa deemina s paâmes inínsecs e eínsecs da câmea paa se deemina a mai de ansfmaçã pespecia,, Eqaçã (8). Os paâmes inínsecs a seem deeminads sã: (, ) - cdenadas em piels d cen óic d plan imagem e (K, K ) - faes de escala (aaés de e pelas elações da Eqaçã (-a)). A nmenclaa das peações maemáicas sadas sã as segines: Y - pd inen ene s ees e Y. Y - pd eial een ene s ees e Y. - nma d e. As Eqações (9-a), (9-b), (9-c) e (9-d) fnecem s paâmes necessáis paa se calclaem s paâmes inínsecs da câmea. (a) (b) (9) (c) (d) Os paâmes eínsecs: mai de açã, R, e mai de anslaçã,, pdem se calclads pelas eqações (0-a), (0-b), (0-c), (-a), (-b) e (-c); lemband qe a mai de açã, de dem, é dada pels segines ees de dem :, e, seja, R ( ) e a mai de anslaçã, dem, é dada pels segines cmpnenes:, e, ( ). (0-a) (0-b) (-c) A segi, apesena-se a ppsa de m algim paa se be a mai de calibaçã d sisema a mai de ansfmaçã pespecia (). Dads de enada: N : núme de pns I e P cnhecids; ds s N pns P (, Y, Z K ) : cnhecids sbe a mia de calibaçã; ds s N Pns I (, ) : cnhecids sbe plan imagem em piels; Esas e ales iniciais: paa aé N defini a mai A (N ) (Eqaçã (6-a)) defini a mai B ( ) (Eqaçã (6-c)) Cálcls: calcla A calcla A.A calcla A.B calcla (A.A) -. A.B. Mai slçã pel méd ds mínims qadads. Eqaçã (7). decmp a mai em ( C C ). Eqaçã (6-b). calcla. Abscissa da cdenada d cen óic. Eqaçã (9-a). calcla. Odenada da cdenada d cen óic. Eqaçã (9-b). calcla. Relaçã d fa de escala K. Eqaçã (9-c). calcla. Relaçã d fa de escala K. Eqaçã (9-d). calcla. Pimei e da mai de açã. Eqaçã (0-a). calcla. Segnd e da mai de açã. Eqaçã (0-b). calcla. ecei e da mai de açã. Eqaçã (0-c). calcla. Pimei cmpnene da mai de anslaçã. Eqaçã (-a).

7 Calibaçã geméica de câmeas 50 calcla. Segnd cmpnene da mai de anslaçã. Eqaçã (-b). calcla. ecei cmpnene da mai de anslaçã. Eqaçã (-c). calcla. Mai de ansfmaçã pespecia. Eqaçã (8). Padã de pn Medlgia paa deeminaçã ds pns P E I Paa caliba ma câmea, pel méd aqi pps, é necessái cnhece as cdenadas (, Y, Z ) ds pns P, R e as especias cdenadas (, ) ds pns imagem qe sã fmads n plan imagem da câmea I, R. Paa iss, fam macads, em pe, 60 qadads, cm cm de lad cada, em das flhas de papel milimead, 0 em cada, de al fma qe ea pssíel e cnhecimen da psiçã d cen de cada qadad nas flhas de papel milimead. Essas flhas fam cladas, cada ma, em ma placa de papelã ígid e, em segida, essas placas fam cladas ma na a pelas sas bdas, de al fma qe ângl fmad pels plans das das placas fi de 90. Em segida, fi psicinada ma câmea de íde paa aqisiçã de ma imagem ds pns cnids nas placas, cm ilsa a Figa 6. Nese mesm pcess, pde-se esabelece a igem d sisema de cdenada mnd, O w, cm ilsa a pópia Figa 6. De psse de ma imagem digial d padã de pns P, paa se beem as especias cdenadas (, ), em piels, basa fae m pcessamen em cada padã de pn na imagem, a fim de calcla s especis cenóides, Figa 7, s qais cespndem dieamene às cdenadas pcadas. Z w Câmea O w Y w Figa 6. Ilsaçã da medlgia sada paa aqisiçã ds pns P e I w Figa 7. Ilsaçã de m padã de pn I e sa especia cdenada (, ) Dads e eslads bids Os 60 pns P peencenes a padã, bem cm s ses cespndenes pns I, sã apesenads na abela. Cm esses dads, fam bids s segines ales paa s paâmes inínsecs e eínsecs da câmea: R Paa se fae ma análise qaliaia sbe esses eslads, fi adad segine pcedimen:. Fi calclada a disância, d w, de cada pn P cm a igem de O w (0, 0, 0).. Os pns I fam ecnsíds paa R, P i, sand a mai de ansfmaçã pespecia bida nese epeimen e, ambém, fi calclada a disância, d Iw, desses pns cm a igem de O w.. Pcede-se, enã, a cálcl d desi elai ene esas disâncias: dd w -d Iw. Eses eslads pdem se bseads na abela. A calibaçã de ma câmea é apenas esági inicial de m sisema de isã aificial. Cnd, é nesse esági qe fica deeminada a pecisã cm qe sisema iá pea.

8 50 Plidói e al. abela. Dads e eslads pdids n epeimen P I P I Y Z V I Y I Z I d w d Iw d É fácil bsea qe, paa caliba ma câmea pel méd aqi pps, sã necessáis 6 pns P cnhecids e s ses especis pns I, s qais geam eqações. Enean, méd ds mínims qadads pemie qe se ciem sisemas edndanes, cm mais eqações d qe incógnias, e qan mai f núme de eqações n sisema, menes seã s es eínsecs e inínsecs d sisema. Nese abalh, fam sads 60 pns P, geand, pan, 0 eqações. A qalidade ds eslads bids pde se bseada na abela, nde se cnsaa qe mai desi pecenal bid é de 4.9%, msand a pecisã d méd e a qalidade da medlgia enlida na pae epeimenal. Lemband, ainda, qe esse desi é em elaçã à igem d sisema de cdenada mnd e nã em elaçã à disância

9 Calibaçã geméica de câmeas 50 ene s pns P e P i, se assim fsse, desi máim seia de.%. Esses desis pdem se minimiads, simplesmene amenand-se núme de padões cnhecids (pns P ). Refeências bibligáficas Mensbach, P. Calibain f a camea and ligh sce b fiing a phsical mdel. Cmp. Vis., Gaph. Im. Pcess., 5:00-9, 986. sai, R.Y. A esaile camea calibain echniqe f high-accac D machine isin mehdlg sing ff-he-shelf V cameas and lenses. IEEE J. Rb. Am., RA-, 4:-44, 987. F, K.S.; Gnale, R.C.; Lee, C.S.G. Rbics: cnl, sensing, isin and inelligence. New Y: McGaw- Hill, 987. Gnale, R.C.; Safabahsh, R. Cmpe isin echniqes f indsial applicains. Cmpe, 5():7-, 990. Nble, B. Applied linea algeba. New Jese: Penice-Hall, Englewd Cliffs, 969. Receied n Ocbe 5, 998. Acceped n Nembe, 998.