3 Formulação da membrana hiperelástica

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1 Fmlaçã a membana ipeelásica Nese capíl é apesenaa a melagem maemáica e membanas ciclaes e anlaes peiamene sbmeias a esfçs aiais e açã. Essa membana é cnsiía e m maeial isópic e incmpessíel qal é mela cm m maeial ne-hkean. m maeial a membana cnsieaa é alamene elásic cnsiease a eia a elasiciae paa ganes efmações en p base a eia e membanas apesenaa p Geen e Akins 9. Assim bêm-se a eqaçã e eqilíbi a membana sb açã aial nifme e as eqações e mimen a membana peiamene acinaa... Melagem maemáica Uma melagem maemáica paa m pblema e membanas ipeelásicas e gemeia cicla anla espessa cnsane aiáel é apesenaa a segi. Uilia-se ma fmlaçã aiacinal qe pemie ei a ma única expessã inegal s s elemens qe inflem n pblema analisa. Aaés pincípi e Hamiln bêm-se as eqações geais e mimen e as cnições e cnn paa pblema. Assim seja ma membana anla e plana e espessa ai exen inefma R ai inen inefma ο e massa específica Γ. A membana cm b inen fix é sbmeia a m eslcamen aial axissiméic alcançan m ai acina final R f e enã é fixaa a lng e se b exen. Pseimene à aplicaçã eslcamen aial esáic peba-se a membana aaés e ma pessã epenene emp na ieçã ansesal à spefície méia. Paa a cnsieaçã a membana e gemeia cicla cmplea cnsiease ai inefma inen e inicialmene cnsiea-se a espessa

2 Fmlaçã a membana ipeelásica aiáel na ieçã aial e pseimene nas eqações e eqilíbi e mimen paiclaia-se a espessa cm cnsane. As gemeias inefmaa e efmaa sã apesenas na Figa.. X x P R x x P Rf R X X a Inefmaa b Defmaa Figa. nfigações a membana inefmaa e efmaa na ieçã aial. Dessa maneia paa a spefície méia inefmaa apesenaa na Figa. - a em-se: x cs x sen. x ne é a cenaa na ieçã aial a membana inefmaa é a cenaa na ieçã cicnfeencial a membana inefmaa e x é a cenaa na ieçã ansesal à membana inefmaa. Paa a cnfigaçã efmaa a spefície méia após a açã e pebaçã ansesal apesenaa na Figa. - b em-se: X X cs sen. X ne é a cenaa aial a membana efmaa; é a cenaa cicnfeencial a membana efmaa; X é a cenaa na ieçã ansesal à membana efmaa e:

3 Fmlaçã a membana ipeelásica. ne e epesenam s eslcamens epenenes emp nas ieções aial cicnfeencial e ansesal especiamene; e epesenam as cenaas e m pn qalqe a membana acinaa esaicamene nas ieções aial cicnfeencial e ansesal especiamene. As exensões pincipais sã efinias pela aã ene s cmpimens efma e inefma S e s especiamene nas ieções pincipais. O seja: S λ i i. si Assim paa a membana sbmeia a esfçs e açã em-se: λ. ne e λ.. A exensã nmal à spefície méia λ é aa impliciamene em ems as as exensões pincipais n plan pela spsiçã e incmpessibiliae maeial seja I. A pai a eqaçã. em-se: fisicamene: a λ. A H λ. ne H é a espessa a membana efmaa. nsiean sisema e cenaas plaes s enses méics caianes e cnaaianes a membana inefmaa sã efinis p: a α.9 α a.

4 Fmlaçã a membana ipeelásica e a membana efmaa p: α A. α α A A. O inaiane e efmaçã I é a p: λ I i i... Fncinal e enegia a membana A fnçã e enegia e efmaçã W paa maeiais ipeelásics pe se escia em fnçã s inaianes e efmaçã a spefície méia a membana I I e I ben-se a fnçã W. A enegia elásica e efmaçã U é a inegal lméica a fnçã W na cnfigaçã inefmaa sen paa a membana plana aa p: π W U R. O em efeene a abal as fças exenas W e é ealia pela fça nifmemene isibía a lng b exen f qe p eslcamen aial pela pessã isáica exciaa nifmemene isibía na spefície a membana epenene emp P e pes pópi Γg ne Γ é a massa específica a membana e g é a aceleaçã a gaiae. nsiea-se qe pes pópi a membana age pepeniclamene à spefície méia a membana. A pessã ealia abal sbe a aiaçã lme sfi pela membana Tielking e Feng 9 seja: i P P. ne i é lme incls a cnfigaçã inefmaa Figa.- a qe é nl e é lme incls a cnfigaçã efmaa Figa.- b.

5 Fmlaçã a membana ipeelásica Assim abal as fças exenas pe se esci cm: We π f P Γg. R A enegia cinéica T é aa p: R π & & & T Γ. ne. A fnçã qe epesena amecimen é aa p: R e R & ω ζ Γ π. ne ζ é ceficiene e amecimen e ω é a feqüência naal sisema. Definis s fncinais e enegia eqações. a. cega-se à segine fnçã e agange: T R U.9 e W e Pain a fnçã e agange cega-se às eqações ifeenciais paa caa cas paicla analisa nese es... Análise esáica Paa a membana anla plana sbmeia apenas a esfçs e açã aial axissiméic em-se: λ. λ. λ. Nese cas s enses méics caianes e cnaaianes a membana acinaa sã as p: A α.

6 Fmlaçã a membana ipeelásica 9 A α. e pimei inaiane e efmaçã I é efini p: I. Dessa fma a fnçã enegia e efmaçã pe se escia cm W W. Paa be a eqaçã e eqilíbi pae-se a enegia pencial al efinia cm a ifeença ene a enegia e efmaçã elásica e abal ealia pela fça aia exena f. Aplican-se pincípi a enegia pencial al esacináia e ilian-se inegaçã p paes bém-se a eqaçã e eqilíbi na ieçã aial: W W W. e a cniçã e cnn: R R f W π π. Nese cas as cmpnenes e eslcamen esáic cicnfeencial e ansesal e especiamene sã nls. Além iss a membana anla ambém esá sbmeia à segine cniçã e cnn:. As ensões pincipais e ma membana e maeial ipeelásic sã aas p: i i i W λ λ σ.9 Paa a membana cicla as ensões pincipais pem se escias cm: σ.

7 Fmlaçã a membana ipeelásica σ. As eqações as ensões pincipais paa a membana anla cm aiaçã a espessa e cm espessa cnsanes sã escias a mesma maneia pém a cenaa aial esáica é ifeene em caa cas.... Eqaçã e eqilíbi paa membana e espessa aiáel. Paa a membana bém-se a eqaçã e eqilíbi e cniçã e cnn sbsiin-se pimei inaiane e efmaçã. na fnçã enegia e efmaçã.9 e epis nas eqações. e.. Assim paa ma membana e espessa aiáel a eqaçã e eqilíbi é aa p:. e a cniçã e cnn em R cm: R f.... Eqaçã e eqilíbi paa membana e espessa cnsane. Paa ma membana anla e espessa inefmaa cnsane após a sbsiiçã a fnçã enegia e efmaçã nas eqações. e. bém-se a eqaçã e eqilíbi:. e a cniçã e cnn em R : R f.

8 Fmlaçã a membana ipeelásica... Mé e inegaçã nméica P se a eqaçã ifeencial a membana apesenaa aneimene. alamene nã-linea na-se necessái em ces cass a iliaçã e més nméics paa a eslçã ese sisema. Pe-se be ma slçã nméica e fma eficiene ansfman pblema e al e cnn em m pblema e al inicial e ilian-se a segi més e inegaçã nméica. Um mé e inegaçã nméica amplamene esa na lieaa paa esle ese ip e pblema é mé e Rnge-Ka. O sisema e eqações cespne a cama pblema e al e cnn ne ma cniçã e cnn é cnecia em e ma é cnecia em R. Pém necessia-se e as cnições iniciais enã a cniçã e cnn lie é inicialmene abiaa e ajsaa pel sing me Kayeman 99 e a inegaçã nméica ealiaa pel mé e Rnge-Ka sen a cnegência a slçã bia pel mé e Nen- Rapsn. Dessa maneia nese abal é saa ma melgia incemenalieaia ne a pai e ma cnfigaçã e eqilíbi cnecia é bia ma na cnfigaçã e eqilíbi assciaa a m incemen paâme e cnle. Is é fei san-se mé e Rnge-Ka e qaa em paa inega sisema e eqações ifeenciais qe escee pblema e algim e Nen Rapsn paa minimia e nas cnições e cnn. N sing me é feia inicialmene ma escla s ales as aiáeis lies e pescias e m pn inicial x i míni e inegaçã ne se em qe as aiáeis pescias eem se cnsisenes cm as cnições e cnn específicas pn e as lies sã abiaas. As eqações ifeenciais sã inegaas nmeicamene cm em m pblema e al inicial cegan a pn final míni x f. Sã em geal encnaas iscepâncias ene as aiáeis bias p inegaçã nméica em x f e s especis ales pescis nese pn já qe s ales as cnições iniciais lies nã sã cnecis a pii. Tna-se enã necessái efea m ajse as cnições e cnn lies em x i em fnçã as iscepâncias eecaas em x f. Os pceimens e inegaçã as eqações e e ajse as cnições iniciais sã

9 Fmlaçã a membana ipeelásica epeis sisemaicamene aé qe as as cnições e cnn pescias em x f sejam saisfeias cm ga e pecisã eseja. Nese cas as eqações ifeenciais e pimeia em iliaas na inegaçã nméica sã: y. y. e as cnições iniciais: f R R..9 Após m es e cegência em fnçã as cenaas acinaas a membana cicla aa-se m pass e aman igal a x - m paa as inegações nméicas aaés mé e Rnge-Ka... Análise inâmica Nessa análise em-se p bjei es as ibações lineaes e nãlineaes as membanas em es. Pain a fnçã e agange apesenaa em.9 e aplican pincípi e Hamiln cegam-se às eqações ifeenciais e mimen:... Dessa fma sbsiin pimei inaiane e efmações. na fnçã e agange.9 e pseimene nas eqações e mimen. a. bêm-se as eqações e mimen em fnçã s eslcamens. Após a

10 Fmlaçã a membana ipeelásica lineaiaçã sisema encnam-se as segines eqações e mimen lineaes paa a membana cicla anla e espessa aiáel na ieçã aial: a Dieçã aial 9 9 Γ c ζ.

11 Fmlaçã a membana ipeelásica b Dieçã cicnfeencial Γ c ζ. c Dieçã ansesal Γ c ζ.

12 Fmlaçã a membana ipeelásica nsiean a espessa a membana inefmaa cnsane pe-se simplifica as eqações lineaes e mimen ben-se: a Dieçã aial 9 9 Γ c ζ.

13 Fmlaçã a membana ipeelásica b Dieçã cicnfeencial Γ c ζ. c Dieçã ansesal Γ c ζ. O gif é aqi sa paa ifeencia s ems as eqações ifeenciais s ses ceficienes qe sã fnções esa e ensões iniciais.

14 Fmlaçã a membana ipeelásica.. Mé s elemens finis O mé s elemens finis é m pceimen nméic qe pe se aplica a pblemas e gemeia iegla cnições e cnn abiáias e iesas ppieaes s maeiais. Esse mé cmbina áis cnceis maemáics esabelecen e eslen m sisema e eqações lineaes nã lineaes e em si exensiamene sa paa análise e pblemas sficienemene cmplexs paa seem slcinas aaés s més analíics clássics més nméics simplificas. É m mé esáil fnamena na iisã cnín em es em elemens. A fma e iisã epene pblema a se analisa exigin ma familiaiaçã sái cm as caaceísicas s iess elemens finis passíeis e iliaçã mesm a enaia e áis ips e iisã. Nese es é ilia pgama Abaqs esã.. Uma bee abagem s ips e elemens fnecis pel pgama paa a análise e membanas ipeelásicas é feia a segi.... Tips e Elemens Exisem is ips e elemens e membanas ispníeis n Abaqs : elemens geais e membana e elemens e membana axissiméics. Eses elemens sã efinis pel cóig apesena na Figa.. M D R Inegaçã Reia Núme e nós Dimensã Membana Figa. - Desciçã ip e elemen e membana saa pel Abaqs. Tem-se n Abaqs elemens ianglaes cm e nós e elemens qailaeais cm e 9 nós cm msam a Tabela. e a Figa..

15 Fmlaçã a membana ipeelásica Tabela. Tips e elemens e membana ispníeis n Abaqs. Sigla Tip Nº e nós MD iangla MD qailaeal MDR qailaeal cm inegaçã eia MD iangla MD qailaeal MDR qailaeal cm inegaçã eia MD9 qailaeal 9 MD9R qailaeal cm inegaçã eia 9 9 Figa. Repesenaçã gáfica s elemens e membana e casca. Elemens e membana sã sas paa mela esas qe nã apesenem esisência à flexã pincipal caaceísica e membanas. A escla ip específic e elemen a se sa en nies e elemens ispníeis fi e mel mela ma membana a qal se espeaa ganes eslcamens e efmações. A biblieca Abaqs incli ambém ês gps e elemens e casca: asca Fina asca Espessa e e Finaliae Geal. Os elemens e casca e Finaliae Geal leam em cnsieaçã a efmaçã p cisalamen as qais se nam mi peqenas à meia qe se imini a espessa a esa. Os

16 Fmlaçã a membana ipeelásica 9 elemens e asca Espessa sã necessáis qan é impane cnsiea-se s efeis e cisalamen aaés a espessa a casca. m ciéi páic cnsiea-se qe ma casca é espessa qan sa espessa f mai qe / men ã cnái é cnsieaa fina. P sa e s elemens inicas paa casca fina espeam eses efeis já qe nas cascas finas eses efeis sã mi peqens em cmpaaçã as e flexã. Esa apximaçã é feia pela impsiçã a cniçã e Kicff: amiese qe a seçã plana nmal à seçã méia a casca pemanece plana e nmal ane a efmaçã. Nese abal paa análise e membanas ipeelásicas fam aas an elemens e membana cm e casca. Um es fi ealia paa ienifica elemen mais appia em fnçã caegamen bem cm a gemeia iliaa. Os elemens e casca sã efinis na fma esqemáica ilsaa na Figa.. S R Gas e ibeae Inegaçã Reia Núme e nós asca Figa. - Desciçã ip e elemen e casca saa pel Abaqs. Tem-se n Abaqs elemens e casca ianglaes cm e nós e elemens qailaeais cm e 9 nós cm apesenas na Tabela. e na Figa.. Paa algns ips e análises ais cm a e iseese maeial a isceiaçã mel n Abaqs nã pe se ealiaa cm elemens e casca e membana. Uma maneia e cnla esse pblema é cm s e elemens sólis iimensinais. Na biblieca Abaqs exisem inúmes elemens sólis qe pem se e ma as ês imensões axissiméics cilínics. Nese abal é ilia elemen sóli iimensinal qan nã é pssíel a isceiaçã pblema cm elemens e casca e e membana. Os elemens sólis sã efinis n Abaqs a maneia apesenaa na Figa.:

17 Fmlaçã a membana ipeelásica Tabela. Tips e elemens e casca ispníeis n Abaqs. Sigla Tip Nº e nós STRI iangla casca fina S iangla geal efmaçã finia SR iangla cm inegaçã eia SRS iangla cm baixa efmaçã e membana STRI iangla casca fina S qailaeal geal efmaçã finia SR qailaeal cm inegaçã eia SRS qailaeal cm inegaçã eia e baixa efmaçã e membana SR qailaeal casca fina SR qailaeal casca espessa SR qailaeal casca fina S9R qailaeal casca fina 9 D R H Híbi cm pessã cnsane Inegaçã Reia Núme e nós Dimensã Elemen cnín Figa. - Desciçã ip e elemen e sóli saa pel Abaqs. Os elemens sólis iimensinais ispníeis n Abaqs sã apesenas na Figa. e na Tabela..

18 Fmlaçã a membana ipeelásica Figa. Repesenaçã gáfica s elemens sólis iimensinais. Tabela. Tips e elemens sólis iimensinais ensã/eslcamen ispníeis n Abaqs. Sigla Tip Nº e nós D eae DH eae íbi D pisma iangla DH pisma iangla íbi D qailaeal DH qailaeal íbi DI qailaeal cm ms incmpaíeis DIH qailaeal cm ms incmpaíeis e íbi DR qailaeal cm inegaçã eia DRH qailaeal cm inegaçã eia e íbi D eae qaáic DH eae qaáic íbi M eae qaáic mifica MH eae qaáic mifica e íbi D pisma iangla qaáic DH pisma iangla qaáic íbi D qailaeal qaáic DH qailaeal qaáic íbi DR qailaeal qaáic cm inegaçã eia DRH qailaeal qa.cm in.eia e íbi