Convecção Mista em Escoamento Laminar ou Turbulento num Canal Aquecido Inferiormente com Fontes Discretas

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1 NERSDADE FEDERAL DE TABÁ NSTTTO DE ENGENHARA MECÂNCA PROGRAMA DE PÓS-GRADAÇÃO EM ENGENHARA MECÂNCA DSSERTAÇÃO DE MESTRADO Convecção Misa em Escoameno Lamina o Tbleno nm Canal Aqecido nfeiomene com Fones Disceas Ao: oão Bapisa do Amaal nio. Oienado: Pof. D. Genésio osé Menon Co-oienado: Pof. D. Macelo osé Piani ajbá, Maço de 007

2 NERSDADE FEDERAL DE TABÁ NSTTTO DE ENGENHARA MECÂNCA PROGRAMA DE PÓS-GRADAÇÃO EM ENGENHARA MECÂNCA DSSERTAÇÃO DE MESTRADO Convecção Misa em Escoameno Lamina o Tbleno nm Canal Aqecido nfeiomene com Fones Disceas Ao: oão Bapisa do Amaal nio. Oienado: Pof. D. Genésio osé Menon Co-oienado: Pof. D. Macelo osé Piani Cso: Mesado em Engenhaia Mecânica Áea de Concenação: Temoflidomecânica Disseação sbmeida ao Pogama de Pós-Gadação em Engenhaia Mecânica como pae dos eqisios paa obenção do Tílo de Mese em Engenhaia Mecânica. ajbá, Maço de 007 MG Basil

3 A485c Amaal nio, oão Bapisa do Convecção misa em escoameno lamina o bleno nm canal aqecido infeiomene com fones disceas / oão Bapisa do Amaal nio. ajbá, (MG): NFE, 007. p. : il. Oienado: Pof. D. Genésio osé Menon. Co-oienado: Pof. D. Macelo osé Piani. Disseação (Mesado) nivesidade Fedeal de ajbá.. Méodo de volmes finios.. Tblencia. 3. Lamina. 4. Convecção misa.. Menon, Genésio osé, oien.. Piani, Macelo osé, co-oien.. nivesidade Fedeal de ajbá.. Tílo. CD 53.57(043)

4 NERSDADE FEDERAL DE TABÁ NSTTTO DE ENGENHARA MECÂNCA PROGRAMA DE PÓS-GRADAÇÃO EM ENGENHARA MECÂNCA DSSERTAÇÃO DE MESTRADO Convecção Misa em Escoameno Lamina o Tbleno nm Canal Aqecido nfeiomene com Fones Disceas Ao: oão Bapisa do Amaal nio. Oienado: Pof. D. Genésio osé Menon Co-oienado: Pof. D. Macelo osé Piani Composição da Banca Eaminadoa: Pof. D. Deovaldo de Moaes únio - NSANTA Pof. D. Nelson Manzanaes Filho - NFE Pof. D. Rogéio osé da Silva - NFE Pof. D. Genésio osé Menon, Pesidene - NFE

5 Dedicaóia À minha mãe Nesa, à minha esposa Sonia e ao me imão osé.

6 Agadecimenos A odos qe, de algma maneia, conibíam paa a ealização do pesene abalho. Em especial: Ao me oienado, Pof. D. Genésio osé Menon, pela compeência, paciência, amizade, e pelas discssões sempe validas. Ao me co-oienado, Pof. D. Macelo osé Piani, pelos ensinamenos, confiança e boa vonade. Ao amigo, Pof. Msc. Manel alene, a esse em paicla, cabe dize, qe foi o qe abi as poas paa conhecemos esses gandes pofissionais e amigos da nifei, e qe sempe eseve pesene colaboando, incenivando e apoiando. Também, aos amigos Moino e Maqes, eses, companheios de la, a Canon e Sanoo pelo apoio e colaboação, aos amigos ine, Ségio, Palo e Wilson pelo incenivo. E paa mes familiaes, minha mãe, me imão e minha esposa, qe foam impescindíveis, foam a base, o faol o poo sego.

7 Resmo AMARAL,. B.. (006), Convecção Misa em Escoameno Lamina o Tbleno nm Canal Aqecido nfeiomene com Fones Disceas, ajbá, p. Disseação (Mesado em Convesão de Enegia) - nsio de Engenhaia Mecânica, nivesidade Fedeal de ajbá. O esdo da convecção misa em escoamenos laminaes o blenos em canais em aplicações em esfiameno de componenes eleônicos, ocadoes de calo, a condicionado ene oos. O pesene abalho esda a convecção misa dos escoamenos laminaes e blenos em canais planos esfiados speiomene e aqecidos po das fones disceas localizadas infeiomene. O a fio ena no canal com pefis nifomes de velocidades e empeaas. Na solção nméica foi ilizado o méodo de volmes finios com malha deslocada. Foam ilizados os esqemas SOLA, pwind e Qick com o modelo de blência κ-ε padão. Na análise nméica o númeo de Reynolds vaio de 0 0 a 0 0, o númeo de Gashof de 0 3 a 0 5 e o númeo de Pandl paa o a foi fiado em 0,7. São apesenados eslados paa as disibições de velocidades e empeaas, bem como o númeo de Nssel médio paa as fones. eifica-se paa o escoameno lamina qe o númeo de Nssel médio não é afeado pelos númeos de Gashof esdados, paa númeos de Reynolds maioes qe 0 3. Paa o escoameno bleno o númeo de Nssel médio não é afeado pelos númeos de Gashof esdados paa númeos de Reynolds maioes qe 0 6. Palavas-chave Méodo de volmes finios, Tblência, Lamina, Convecção misa.

8 Absac AMARAL,. B.. (006), Mied convecion in Lamina o Tblen Flow inside Channel Heaed on he boom sface wih Discee Soces, ajbá, p. MSc. Disseaion - nsio de Engenhaia Mecânica, nivesidade Fedeal de ajbá. Mied convecion sdy wih lamina o blen flows inside channels can be applied o eleconic componen cooling, hea echanges, ai condiioning and so on. The pesen wok sdies lamina and blen mied convecion in plane channels heaed fom below and wih wo discee hea soces placed on he boom sface. The inle velociy and empeae pofiles ae nifom. The finie volme mehod wih saggeed gid is sed o nmeically solve he govening eqaions. The SOLA, pwind and Qick schemes ae sed wih he sandad blence model κ-ε. The Reynolds nmbe is anged fom 0 0 o 0 0, and he Gashof nmbe fom 0 3 o 0 5. Ai is sed wih he Pandl nmbe eqal o 0.7 elociy and empeae disibions as well as he aveage Nssel nmbe on he discee hea soces ae pesened. is veified ha he aveage Nssel nmbe is no affeced by anging he Gashof nmbes when lamina flows wih Reynolds nmbes highe han 0 3 ae consideed. The same behavio is obseved fo blen flows wih Reynolds nmbes ove 0 6. Keywods Finie volme mehod, Tblence, Lamina, Mied conveccion.

9 Smáio SMÁRO i LSTA DE FGRAS v LSTA DE TABELAS viii SMBOLOGA i LETRAS LATNAS i LETRAS GREGAS iii SPERESCRTOS iv SBSCRTOS v SGLAS v CAPÍTLO NTRODÇÃO. Moivação do Tabalho Casos Esdados no Pesene Tabalho Casos ilizados na alidação Caso ilizado paa Reslado Revisao da Lieaa Escoameno em dega Escoameno em canais com obsáclos Escoamenos Divesos Escoameno em canal com fones de calo Escoameno em cavidades com fones de calo Objeivos do Pesene Tabalho Delineameno do Pesene Tabalho

10 ii CAPÍTLO 4 MODELO MATEMÁTCO 4. Eqações Locais nsananeas Eqações Médias Modelos Hidodinâmicos paa Tblência Modelos Témicos paa Tblência Eqações paa Escoameno com simeia aial em Coodenadas Cilindicas Eqações paa Modelo de Tblencia κ-ε Eqações paa Modelo Témico Condições de Conono paa as Gandezas Tblenas CAPÍTLO 3 6 MÉTODO NMÉRCO 6 3. nodção Méodo dos olmes Finios Geação da Malha Esqemas Convecivos Esqema Convecivo pwind Esqema Convecivo Qick CAPÍTLO 4 34 TRATAMENTO NMÉRCO nodção Foma Geal da Eqação da Consevação Disceização Espacial Disceização das Eqações Componene Média da elocidade Aial Componene Média da elocidade Radial Eqação da enegia Eqação da consevação da massa Disceização Tempoal Acoplameno Pessão elocidade ilizando o méodo Sola Solção do Sisema de Eqações e Cálclo do Passo de Tempo Solção do Sisema Linea de Eqações Esabilidade Nméica e Cálclo do Passo de Tempo

11 iii 4.5 Diagama do Algoiimo Compacional CAPÍTLO 5 59 ALDAÇÃO DOS MÉTODOS nodção alidação : Escoameno Lamina em m Canal Aqecido po Baio e com m Dega na Enada alidação : Escoameno de Poiseille nm Canal Aqecido po Baio alidação 3: Escoameno Bidimensional Lamina em Canais com Dega na Enada alidação 4: Escoameno bleno em bo ilizando o modelo de blência κ-ε alidação 5: Escoameno Tbleno nm Canal com Dega CAPÍTLO 6 76 RESLTADOS nodção Convecção Misa em Canais com Fones Disceas de Calo Escoameno Lamina Escoameno bleno ilizando o modelo κ-ε Compaação de eslados dos egimes lamina e bleno CAPÍTLO 7 97 CONCLSÕES E SGESTÕES PARA TRABALHOS FTROS Conclsões Sgesões paa Tabalhos Fos APÊNDCE A 0 TRATAMENTO MATEMÁTCO PARA AS EQAÇÕES DE CONSERAÇÃO 0 A. Eqação da Consevação da Enegia A. Eqação da Consevação da Massa A.3 Eqação da Consevação da Qanidade de Movimeno A.3. Eqação da Qanidade de Movimeno na Dieção (Aial) A.3. Eqação da Qanidade de Movimeno na Dieção (adial) APÊNDCE B 4 PARÂMETROS ADMENSONAS 4

12 iv B. nodção B. Númeos de Nssel Local e Médio B.3 Definição dos Númeos de Pandl e Gashof REFERÊNCAS BBLOGRÁFCAS 7

13 v Lisa de Figas Figa. Canal com dega na enada (validação ) Figa. Geomeia e condições de conono (validação ) Figa.3 Geomeia e condições de conono (validação 3) Figa.4 Geomeia cilíndica de m do (validação 4) Figa.5 Geomeia do canal com dega (validação 5) Figa.6 Canal hoizonal com das fones disceas de calo Figa. Sisema de coodenadas cilíndicas paa escoameno de simeia aial, bidimensional,dieções, Figa. 3. Pincípio da malha deslocada - Malha pincipal.domínio bidimensional dividido em volmes de conole Figa. 3. Pincípio da malha deslocada Malhas deslocadas paa a componene média de velocidade aial na posição w Figa. 3.3 Pincípio da malha deslocada Malha deslocada paa a componene média de velocidade adial na posição s Figa 3.4 Ponos de avaliação dos ensoes de Reynolds Figa 3.5 Esqema convecivo pwind Figa 3.6 Esqema convecivo Qick Figa 4. Domínio abiáio de cálclo de volme Figa 4. Malha pincipal dividido em volmes de conole Figa 4.3 Malha deslocada. olmes secndáios paa velocidades Figa 4.4 Algoimo compacional Figa 5. Canal com dega na enada Figa 5. Malhas ilizadas no esdo da sensibilidade da malha paa o caso do escoameno em m dega Figa 5.3 Disibição da empeaa ao longo do canal pelo méodo pwind, vaiando G e o númeo de volmes na malha

14 vi Figa 5.4 Disibição da empeaa ao longo do canal pelo méodo Qick, vaiando G e o númeo de volmes na malha Figa 5.5 Númeo de Nssel médio ao longo da paede fia vess númeo de Fode paa 6000 volmes Figa 5.6 Geomeia do canal Figa 5.7 Geomeia e condições de conono Figa 5.8 Malha esada com 4000 volmes ilizada na validação Figa 5.9 soémicas e veoes velocidade paa os méodos pwind e Qick Figa 5.0 Númeo de Nssel médio na spefície speio em fnção do empo Figa 5. Númeo de Nssel médio na spefície speio vess empo, mosado em dealhe Figa 5. Geomeia e condições de conono da validação Figa 5.3 isão dealhada (ampliada) de ma peqena pae na enada do canal Figa 5.4 Disâncias compaadas com eslados nméicos e epeimenais (méodo Qick) Figa 5.5 Disâncias compaadas com eslados nméicos e epeimenais (méodo pwind) Figa. 5.6 Esqema do do paa o caso bidimensional em coodenadas cilíndicas Figa 5.7 Repesenação dos volmes paa meade speio da geomeia do do Figa 5.8 Componene Média de elocidade Aial vess /R, paa /D = 80 e Re= Figa 5.9 Geomeia do canal com dega Figa 5.0 Dealhe da malha na enada do canal Figa 6. Geomeia do canal e condições de conono Figa 6. Disibição de empeaas paa escoameno lamina com G= Figa 6.3 Disibição de empeaas paa escoameno lamina com G= Figa 6.4 Disibição de empeaas paa escoameno lamina com G= Figa 6.5 Disibição dos veoes velocidade paa escoameno lamina com G= Figa 6.6 Disibição dos veoes velocidade paa escoameno lamina com G= Figa 6.7 Disibição dos veoes velocidade paa escoameno lamina com G= Figas 6.8 Compaação ene os méodos de inepolação Qick e pwind paa o escoameno lamina Figas 6.9 Compaação dos escoamenos laminaes nas fones e

15 vii Figas 6.0 aiação empoal do Nssel Médio nas fones paa G=0 4 e méodo Qick Figas 6. aiação empoal do Nssel Médio nas fones paa G=0 5 e méodo Qick Figa 6. Disibição de empeaas paa escoameno bleno com G=0 5 e méodo Qick Figa 6.3 Disibição dos veoes velocidade paa escoameno bleno com G=0 5 e méodo Qick Figas 6.4 Compoameno do númeo de Nssel nas fones paa escoameno bleno com alos númeos de Reynolds ilizando o modelo κ-ε Figas 6.5 aiação empoal do Nssel Médio nas fones paa G=0 5 e méodo Qick paa alos númeos de Reynolds ilizando o modelo κ-ε Figas 6.6 Compaação dos escoamenos lamina e bleno ilizando o modelo κ-ε

16 viii Lisa de Tabelas Tabela 3. Legenda paa as figas 3., 3. e Tabela 4. Epessões paa os emos da eqação (4.) Tabela 4. Legenda das figas 4. e Tabela 4.3 Tempo de pocessameno em (s) paa os méodos Qick e pwind Tabela 5. Compaação dos desvios do númeo de Nssel médio na paede speio fia do canal Tabela 5. Compaação dos eslados do pesene abalho com valoes nméicos e epeimenais paa escoamenos em canais com m dega na enada Tabela 5.3 Compaação ene o pesene abalho e lieaa

17 i Simbologia Leas Lainas Símbolo A a f [a] B Designação coeficiene o consane abiáia áea da face do volme de conole maiz dos coeficienes coeficiene do emo fone {b O } veo emo fone C ε C ε C µ CON(T) CON() CON() Cp DFF(T) consane empíica consane empíica consane empíica flo convecivo da empeaa flo convecivo da componene da velocidade flo convecivo da componene v da velocidade calo específico a pessão consane do flido[/(kg ºC)] flo difsivo da empeaa

18 DFF() DFF() DX DY E FLSN() FLSN() FLX(T) FLX(T) FLX() FLX(T) FLX() FLWE() FLWE() F flo difsivo da componene da velocidade flo difsivo da componene v da velocidade laga do volme deslocado na dieção hoizonal, eio [m] laga do volme deslocado na dieção veical, eio y [m] nó a lese do cenal flo convecivo devido à componene de velocidade e difsivo na dieção do eio veical, y flo convecivo devido à componene de velocidade v e difsivo na dieção do eio veical, y flos convecivo e difsivo da empeaa flo convecivo devido à velocidade e difsivo da empeaa flo convecivo devido à componene de velocidade e difsivo flo convecivo devido à velocidade v e difsivo da empeaa flo convecivo devido à compoenene de velocidade v e difsivo flo convecivo devido à componene de velocidade e difsivo na dieção hoizonal, eio flo convecivo devido à componene de velocidade v e difsivo na dieção hoizonal, eio Númeo de Fode = Re /G g aceleação da gavidade [m/s ] G Geação de enegia cinéica de blência paa o modelo de blência κ-ε G númeo de Gashof =gβ (T h -T c )H 3 /v h h L H k K L Coeficiene de convecção médio [W/m C], ala do dega [m] Coeficiene de convecção local [W/m C] ala do canal [m], ala da cavidade [m] condibilidade émica do flido [W/(m ºC)] Consane de on Kámán laga da cavidade [m]

19 i [L] [L] N N O P p maiz iangla infeio maiz iangla infeio ansposa nó a noe do cenal númeo de Nssel médio =hh/k nó cenal pessão média do flido [Pa] pessão do flido [Pa] p flação da pessão [Pa] {P } P P Re campo de pessões númeo de Pandl =µ c p /K = v/α númeo de Pandl bleno = v T / α T númeo de Reynolds = H / v q flo de calo [W/m ] R S S S S3 S4 S φ T T aio nm pono do cilindo [m] aio do cilindo [m] nó a sl do cenal, designação de ma spefície genéica designação de deeminada spefície designação de deeminada spefície designação de deeminada spefície designação de deeminada spefície emo fone na eqação de anspoe, paa a vaiável φ insane de empo [s] empeaa do flido [ºC] empeaa média [ºC] T flação da empeaa T [ºC] T h T c empeaa qene [ºC] empeaa fia [ºC]

20 ii T 0 + empeaa de efeência [ºC] velocidade aial média [m/s] velocidade adimensional = /* * velocidade de aio = τ 0 ρ velocidade do flido na dieção hoizonal [m/s], velocidade aial insanânea [m/s] flação da velocidade [m/s] enso qadáico de Reynolds i j enso de Reynolds v enso miso de Reynolds T i v flo bleno de enegia émica velocidade do flido na dieção veical y [m/s], velocidade do flido na dieção adial y [m/s] velocidade média na dieção veical o adial y [m/s] v flação da velocidade v[m/s] v v enso qadáico de Reynolds v T flo bleno de enegia émica i W X Xs Xs XC y Y + nó a oese do cenal coodenada hoizonal, coodenada aial compimeno de ecolameno na paede infeio [m] compimeno de eciclação speio [m] compimeno de sepaação [m] laga do volme pincipal na dieção hoizonal, eio coodenada veical, coodenada adial disância adimensional a paede = + y/v

21 iii YC ala do volme pincipal na dieção veical, eio y Leas Gegas Α α Β δ ij CON DFF T ε Ρ difsividade émica do flido difsividade émica blena do flido coeficiene de epansão émica do flido Dela de Konecke incemeno de empo [s] incemeno de empo de convecção incemeno de empo de difsão incemeno de empo émico dissipação da enegia cinéica de blência densidade do flido θ coodenada angla, empeaa adimensional =( T-T c ) / ( T h -T c ) φ vaiável anspoada, valo insanâneo φ valo flane Φ Γφ Γ,Γ κ valo médio coeficiene de anspoe difsivo da vaiável φ coeficiene de difsão enegia cinéica de blência µ viscosidade dinâmica do flido [kg / (m s)] τ ο ensão de cisalhameno na paede

22 iv υ viscosidade cinemáica do flido [m/s ] υ eff viscosidade cinemáica efeiva = υ +υ [m/s ] υ viscosidade cinemáica blena do flido [m/s ] σ ε σ k Ω Ψ, Ψ E N O S W consane de difsão paa ε consane de difsão paa κ Domínio Temos dos ensoes de Reynolds o flo bleno de enegia émica volme genéico volme de conole a lese do cenal volme de conole a noe do cenal volme de conole cenal volme de conole a sl do cenal volme de conole a oese do cenal Speescios valo médio eo

23 Sbscios v i j E N ne nw O S se sw W pono nodal i pono nodal j efeene ao nó a lese do cenal efeene ao nó a noe do cenal face ese do volme deslocado a noe em elação ao cenal - nodese face oese do volme deslocado a noe em elação ao cenal - nooese efeene ao nó cenal efeene ao nó a sl do cenal face ese do volme deslocado a sl, em elação ao cenal - sdese face oese do volme deslocado a sl em elação ao cenal - sdoese efeene ao nó oese do cenal Siglas QCK SGE SOLA Qadaic pseam nepolaion fo Convecive Kinemaics simlação de gandes escalas Solion Algoihm PWND pseam Difeence Scheme

24 Capílo NTRODÇÃO. - MOTAÇÃO DO TRABALHO O esdo da convecção misa de escoamenos laminaes e blenos no ineio de canais aqecidos o esfiados em despeado aalmene mio ineesse, devido às divesas aplicações na engenhaia. De modo especial, o esdo da convecção misa em canais com aqecimeno na spefície infeio, em sido objeo de esdos aais, visando conhece a dinâmica do escoameno do flido e da ansfeência de calo. O avanço no conhecimeno das écnicas compacionais da dinâmica dos flidos em conibído paa o desenvolvimeno de eqipamenos com maio eficiência. Com ma melho compeensão do pocesso de convecção misa, é possível oimiza e melhoa o desempenho de mias aplicações, como po eemplo: esfiameno de componenes eleônicos, ocadoes de calo, aqecimeno o esfiameno de podos alimenícios, sisemas de aqecimeno e oos. No pesene abalho esda-se a convecção misa do escoameno nm canal com das fones disceas qenes, fiadas na spefície infeio do canal. Os pefis de velocidades e

25 empeaas são nifomes na enada. A spefície speio é esfiada e manida nma empeaa baia, enqano qe a spefície infeio é isolada emicamene, eceo nas das fones disceas, onde se maném ma empeaa nifome ala. A análise nméica iliza o méodo de volmes finios com malhas esadas e deslocadas, e considea o escoameno lamina o bleno, bidimensional, pemanene o não pemanene, de flidos newonianos com popiedades físicas consanes. iliza-se o méodo Sola paa o acoplameno pessãovelocidade, os esqemas de inepolação pwind e Qick paa os emos convecivos das eqações de consevação, e paa os emos difsivos iliza-se o esqema de difeenças cenadas. Paa o escoameno bleno foi ilizado o modelo de blência - padão.. - CASOS ESTDADOS NO PRESENTE TRABALHO.. - Casos ilizados na alidação Com a finalidade de esa os códigos compacionais desenvolvidos, foam ealizadas compaações de eslados paa cinco casos-ese, qe são: alidação : Escoameno lamina em m canal aqecido po baio e com m dega na enada. alidação : Escoameno de Poiseille nm canal aqecido po baio. alidação 3: Escoameno bidimensional lamina em canais com dega na enada alidação 4: Escoameno bleno em bo ilizando o modelo de blência κ-ε. alidação 5: Escoameno bidimensional bleno nm canal com dega. As figas. aé.5 apesenam as geomeias dos cinco casos esdados no pesene abalho. A figa. mosa m poblema com escoameno nm canal hoizonal com m dega na enada. O flido ena no canal com m pefil linea de empeaas e com m pefil paabólico de velocidades. As paedes speio e infeio são, especivamene,

26 esfiadas e aqecidas nifomemene. A paede veical do dega é isolada. Na saída do canal, êm-se condições de conono com foneia abea. Em odas as paedes se considea a condição de não escoegameno, iso é, as velocidades são nlas nas paedes. A figa. apesena a geomeia da validação. Considea m poblema envolvendo convecção misa em m canal com placas paalelas com pefil paabólico de velocidades oalmene desenvolvidos e m pefil linea de empeaas na enada. As paedes speio e infeio são, especivamene, esfiada e aqecida nifomemene. O escoameno é consideado bidimensional, lamina, incompessível e não pemanene. 3 H L Figa. Canal com dega na enada (validação ). H Figa. Geomeia e condições de conono (validação ). L A figa.3 apesena m escoameno bidimensional lamina em canal com dega na enada. O flido ena com m pefil paabólico de velocidades oalmene desenvolvido. Em odas as paedes se considea a condição de não escoegameno.

27 4 H L Figa.3 Geomeia e condições de conono (validação 3). A figa.4 mosa o esqema qe consise em m do de seção cicla de aio R e compimeno L. O flido ena nma das eemidades com velocidade nifome na dieção e com velocidade nla na dieção. A figa.5 apesena a geomeia da validação 5. Ese caso é ilizado paa a validação do pogama paa o caso de escoameno bleno com convecção foçada ene placas planas paalelas com ma epansão bsca. L C R L Figa.4 Geomeia cilíndica de m do (validação 4). H L Figa.5 Geomeia do canal com dega (validação 5).

28 5.. - Caso esdado nesse abalho A figa.6 mosa a geomeia do poblema esdado. Considea-se o escoameno de convecção misa em egime lamina o bleno nm canal com das fones de calo, fiadas na spefície infeio do canal. O flido ena no canal com baia empeaa. Os pefis de empeaa e velocidade do flido na enada são nifomes. As spefícies infeioes são manidas adiabáicas, eceo nas spefícies das fones de calo, onde empeaas alas são pescias. A spefície speio é manida esfiada com empeaa baia e nifome. Na saída do canal, aplicam-se condições de conono de foneia abea. Como condição inicial se considea em odo o domínio: == T=0. Y = T=0 5 T= T= Fone Fone ==0 ==0 T=0 T Y 0 X 5 Figa.6 Canal hoizonal com das fones disceas de calo.3 - RESÃO DA LTERATRA Na lieaa écnica disponível são enconados váios abalhos sobe escoamenos laminaes e blenos com o sem ansfeência de calo, envolvendo esdo nméicos laminaes e modelos de blência como: κ-ω, κ-ε, SGE e oos. Na evisão bibliogáfica foam enconados esdos de escoamenos laminaes e blenos em: canal com epansão bsca de áea (dega), canal com obsáclos, canal de placas paalelas e canal com fones de calo fiadas na paede. Dene eses abalhos, algns foam selecionados e apesenados na evisão bibliogáfica a segi.

29 Escoameno em dega Esdos de escoameno e ansfeência de calo em canais com dega sido ealizados ano nmeicamene qano epeimenalmene. Emboa a geomeia seja simples sgem no escoamenos compleos conendo eciclações, sepaações e ecolamenos qe são casados pela mdança epenina na áea da geomeia e ambém pelas condições émicas. Ese ipo de poblema apesena gande ineesse no esdo de ansfeência de calo em sisemas de esfiameno de componenes eleônicos, câmaas de combsão, ocadoes de calo de ala pefomance, eqipamenos de pocessos qímicos, sisemas de conole ambienal e passagens de esfiameno em pás de binas. Apesenam-se a segi algns abalhos elevanes da lieaa écnica. Nieckele e al. (996) esdaam o escoameno bleno em egime pemanene, aavés de m canal de placas planas com m dega na enada. A azão ene as alas na enada e na saída foi de /3 e o númeo de Reynolds foi de, Foi ilizado o méodo de volmes finios, com esqema powe-law. Os eslados obidos com o modelo - RNG foam compaados com os eslados obidos pelo modelo - padão. Os aoes conclíam qe o modelo - RNG moso ma azoável melhoa na pedição das gandezas médias envolvidas, em elação ao modelo - padão, com m baio cso compacional. Giovannini e Bols (997) esdaam a ansfeência de calo na egião de ecolameno após m dega. Foi veificado qe o coeficiene de ansfeência de calo foi máimo póimo da egião de ecolameno do escoameno. A análise moso o papel fndamenal das esas de vóices no qe diz espeio ao escoameno e ansfeência de calo. Mecanismos de impaco e vaeda caegaam o flido fio eeno em dieção à paede sólida qene. Dane m ciclo de fomação e descolameno de m vóice, a inflência de m dos mecanismos ciados aneiomene, deemina a posição elaiva dos ponos de ecolameno e a máima ansfeência de calo. Ahn e al. (997) fizeam m esdo nméico do escoameno bleno sobe m dega com a paede inclinada. m modelo - não - linea paa a baio númeo de Reynolds foi ilizado. As eqações govenanes foam disceizadas pelo méodo de difeenças finias com m esqema de apoimação linea e paabólico híbidos de segnda odem. O escoameno foi analisado paa valoes de Reynolds igais a 395 e 600. A pefomance do

30 modelo foi validada, compaando-se os eslados nméicos obidos com eslados nméicos e epeimenais enconados na lieaa, apesenando-se ma boa concodância. Silveia Neo e al. (99) analisaam o escoameno bleno nm dega. O objeivo do abalho foi dedicado à simlação das esas coeenes às qais se desenvolvem paa m escoameno sbmeido a ma mdança de velocidade, após o dega. Das azões de aspeco (ala do dega sobe a ala do canal) foam consideadas, paa númeos de Reynolds igais a e Paa o caso isoémico, as esas coeenes foam obidas pela simlação nméica na camada de misa após o dega. Os eslados nméicos apesenaam ma boa concodância com os eslados epeimenais. Nma segnda pae do abalho, ma esaificação émica foi imposa no escoameno paa númeos de Richadson igais a 0, 0,5 e 0,5. O númeo de Pandl foi fiado em 0,7. As esas coeenes nos ês casos foam podzidas na vizinhança do dega e desapaeceam ao longo do escoameno paa númeos de Richadson maioes. Ab-Mlaweh e al. (00) eaminaam epeimenalmene o efeio da ala dos degas em escoamenos com convecção misa blena, ao longo de placas planas veicais. Os eslados mosam qe a inensidade blena das flações ansvesais e longidinais e a inensidade das flações de empeaa ao longo do escoameno, amenaam à medida qe a ala do dega ameno Escoameno em canais com obsáclos 7 acovides e al. (00) ealizaam m esdo de ansfeência de calo bidimensional em passagens com esições, sando modelos de blência paa baios númeos de Reynolds. O esdo foi ealizado paa canais anlaes, bos e canais planos. Apesenaam os eslados da velocidade média paa m canal anla com esições, e o númeo de Nssel local paa bos e canais planos com esições. Realizaam divesas compaações paa algns modelos de blência. accaino e al. (00) esdaam nmeicamene os efeios das condições émicas de conono na ansfeência de calo em passagens com esições. Os eslados obidos, com a condição de flo de calo consane na paede e ansfeência de calo conjgada foam compaados no abalho, paa ilsa os difeenes efeios da ansfeência de calo local. Foam ealizadas compaações ene eslados nméicos, medidas epeimenais e

31 coelações de dados, mosando como a ansfeência de calo é sensível aos ipos de condições de conono sadas no modelo nméico. Tsai e al. (000) ilizaam os modelos de blência de baio Reynolds no esdo nméico do escoameno de m flido com ansfeência de calo, em m canal eangla com esições fiadas na paede. eificaam qe os modelos de blência esdados apesenaam bons eslados, mas possíam m compoameno difeene ene os modelos, no cálclo da ansfeência de calo. As eqações qe govenam o escoameno foam disceizadas ilizando-se o méodo de volmes finios, com o aanjo de malha deslocada. O algoimo PSO foi ilizado no acoplameno das velocidades e pessões. Foam apesenados os pefis de velocidades, as disibições de empeaa e o númeo de Nssel local. Maa e al. (000) invesigaam os efeios de esições no escoameno, da foça de Coiolis e da azão de aspeco no escoameno bleno idimensional em canais. ilizaam o modelo de blência sb-malha dinâmico. Também consideaam a vaiação da velocidade de oação. O méodo de disceização das eqações ilizado foi o méodo de difeenças finias. Foam apesenados eslados dos veoes de velocidades médios paa algns planos. O númeo de Nssel local foi calclado na spefície qe possi as esições. Ci e al. (003) esdaam o escoameno bleno nm canal com esições. Foam consideados ês ipos de esições. Foi ilizado o modelo de blência sb-malha dinâmico, jnamene com o méodo de volmes finios, paa disceização das eqações de consevação. O pefil de velocidades médias e as linhas de coene média foam deeminadas. Os veoes de velocidade insanâneos foam apesenados. Os eslados obidos foam compaados com eslados epeimenais Escoamenos Divesos 8 Ghadda e al. (986) moivados pelo esfiameno de placas de cicio inegados, esdaam o escoameno peiódico lamina em canais cogados. Eles veificaam qe a ansfeência de calo pode amena em aé 5% dependendo da oscilação. Lesie e Méais (996) apesenaam m esdo sobe a simlação de gandes escalas (SGE) inclindo dealhes maemáicos de váios modelos sb-malha como: modelo de Smagoinsky, modelo especal de Kaichnam, modelos de fnção-esa, fnção esa

32 seleivo, fnção esa filado, modelos dinâmicos e oos. Nesse esdo, cada modelo foi descio e compaado, qando possível, com oos modelos e aé mesmo com eslados epeimenais. Também nesse esdo, são apesenadas váias aplicações da SGE paa escoamenos blenos compessíveis e incompessíveis, com ênfase na geação de vóices. Kim e al. (997) esdaam a convecção foçada em ono de dois blocos aqecidos colocados em m canal com escoameno plsane. Eles ilizaam m escoameno oscilaóio na enada paa amena a oca de calo. Os aoes enconaam ma feqüência paicla de oscilação qe podzi a máima oca de calo. Bagshaw e al. (999) esdaam nméica e epeimenalmene o escoameno do a nm canal fomado po placas cogadas do ipo denes de sea. Na modelagem nméica, paa compaação dos eslados, foi ilizado m sofwae comecial paa escoamenos no egime lamina e bleno. O modelo de blência κ-ε foi ilizado. ma malha com 900 elemenos foi adoada na disceização da egião de escoameno. Na modelagem nméica, foi adoada a ága como flido de abalho, manida na empeaa consane e com númeo de Reynolds da odem de 0 3. Os eslados mosaam qe a gosidade da spefície do canal inflencio basane o compoameno do escoameno Escoameno em canal com fones de calo 9 Kennedy e Zebib (983) apesenaam m esdo sobe os efeios de m escoameno lamina de convecção foçada e naal nm canal hoizonal com ma fone discea de calo localizada na paede speio o na infeio, e ambém o caso com das fones de calo localizadas em ambas as paedes. Baseados na compaação de eslados, eles sgeiam váias disposições das fones paa o pojeo émico de disposiivos eleônicos. Mahaney e al.(990) fizeam m esdo compaaivo da ansfeência de calo po convecção misa epeimenal e nméica com fones de calo disceas nm canal eangla hoizonal. A análise consideo m modelo idimensional de convecção misa, com m aanjo de 4 filas, sendo qe cada fila monada na pae infeio do canal coném fones de calo qadadas. As medidas epeimenais consideaam os egimes laminaes de ansfeência de calo caaceizados pelas convecções foçada, naal e misa, e ambém pelo início de ansições paa a blência. A vaiação do númeo de Nssel médio das filas, com o númeo de Reynolds, eibi m mínimo, sgeindo qe, devido às foças de empo, a ansfeência de calo pode se melhoada.

33 Choi e Oega (993) invesigaam nmeicamene os efeios do escoameno de convecção foçada e naal ene placas planas paalelas com ma fone de calo discea. Na análise nméica foi ilizado o méodo de difeenças finias. A análise veifico a inflência da velocidade de enada do escoameno, do ânglo de inclinação do canal e do empo indzido pela fone discea. Os eslados indicaam qe, em geal, o númeo de Nssel nas fones depende foemene da inclinação do canal. eifico-se qe as mdanças no númeo de Nssel e na empeaa máima nas fones, foam despezíveis qando o canal esá ene 45 e 90. Paa m dado númeo de Reynolds fio, com o ameno do númeo de Gashof, veifico-se m eflo de a na saída do canal, paa o caso em qe o escoameno foi favoável às foças de empo. Bessaih e Kadja (000) ealizaam ma simlação nméica de convecção conjgada naal - blena onde ês componenes ceâmicos igais e aqecidos foam colocados em m canal veical de paedes adiabáicas. m modelo de ansfeência de calo conjgada bidimensional e m modelo padão de blência κ-ε foam sados paa se obe os campos de velocidades e empeaas. Foam esdados os efeios do espaçameno ene os componenes eleônicos e o desligameno de fones. O desligameno de fones foi pacialmene vanajoso somene qando os componenes desligados foam monados ene os componenes ligados. Rao e al. (00) esdaam nmeicamene a convecção misa bidimensional, pemanene, incompessível e lamina, com adiação na spefície nm canal com placas paalelas veicais e com ma fone geadoa de calo embida em cada paede. As empeaas médias e máimas locais decesceam com o ameno da emissividade da spefície. A empeaa máima da paede decesce apoimadamene 50%, à medida qe a spefície da paede mdo de boa efleoa paa boa emissoa. Esas empeaas ambém amenaam com o ameno da azão de aspeco. eifico-se ainda qe a medida qe a fone se afaso da enada do canal, a empeaa máima ameno. Gimaães (007) analiso nmeicamene aavés do méodo de elemenos finios com esqema de Peov-Galekin, a convecção misa lamina nm canal inclinado, com ma, das o ês fones disceas, fiadas na spefície infeio. Nas fones foi manida a condição de flo de calo consane. Na análise ealizada o númeo de Reynolds vaio na faia de a 0, o númeo de Gashof de 0 3 a 0 5, e o ânglo de inclinação do canal de 0 o a 90 o. Foam apesenadas as disibições de velocidades e empeaas, bem com o númeo de Nssel 0

34 médio, em fnção dos divesos paâmeos. Foi veificado qe paa baios númeos de Reynolds, o ânglo de inclinação do canal em efeio significaivo na disibição de empeaas Escoameno em cavidades com fones de calo Papanicola e alia (990,99) invesigaam a convecção misa conjgada nma cavidade eangla com ma fone discea o múliplas fones fiadas na paede. Os aoes veificaam qe os campos de velocidades e empeaas podem se oscilaóios, dependendo da posição elaiva das fones no ineio da cavidade. eificaam ainda qe a posição das fones na paede veical foi mais favoável em emos de esfiameno. Madhavan e Sasi (000) ealizaam m esdo da convecção naal com fones de calo no ineio de ma cavidade, visando a aplicação no esfiameno de eqipamenos eleônicos. eifico-se qe o númeo de Rayleigh, o númeo de Pandl e as condições de conono afeaam foemene o escoameno do flido e a ansfeência de calo. Foam apesenadas coelações nméicas paa a empeaa máima nas fones e paa o númeo de Nssel, nma laga faia de númeos de Pandl e Rayleigh. Concli-se qe a empeaa adimensional foi máima paa númeo de Pandl igal a 50. Y e oshi (00) invesigaam a ansfeência de calo em componenes eleônicos qe sam fones de calo com pinos. A placa com pinos foi fiada sobe o componene aqecido, o qal foi embido na base de ma cavidade. Foi significaiva a oca de calo ene a fone com pinos e o flido confinado na cavidade. eifico-se qe a adiação conibi de maneia impoane paa a ansfeência de calo global. Reslados epeimenais mosaam qe o ameno da oca de calo foi bem difeene qando a oienação do canal foi veical o hoizonal. Bae e Hyn (003) ealizaam m esdo da convecção naal lamina não pemanene nma cavidade veical eangla com ês fones disceas embidas na paede. Os eslados mosaam a inflência da condição émica da fone infeio, nas empeaas das fones poseioes. A análise ansiene dos campos de velocidades e empeaas moso a esa física dos escoamenos. O esdo enfaizo qe as empeaas ansienes nas fones ecedeam os valoes coespondenes a siações de egime pemanene.

35 Kokawa e al. (005) esdaam nmeicamene a convecção naal conjgada nma cavidade qadada com ês fones de calo pobeanes, igalmene espaçadas, monadas nma paede veical. Todas as paedes da cavidade foam manidas isoladas emicamene, eceo a paede veical dieia qe foi manida esfiada com empeaa consane. A análise nméica ilizo o méodo de elemenos finios com esqema de Galekin e malha não esada. A melho disposição do conjno de fones foi obida qando a fone de calo de maio poência esava localizada na posição speio. Foi veificado qe a azão ene as condividades émicas da fone e do flido não afeaam a pefomance do sisema..4 - OBETOS DO PRESENTE TRABALHO No pesene abalho são esdados poblemas envolvendo a convecção misa ene placas planas paalelas hoizonais. Como aplicações dese esdo, desacam-se os sisemas de a condicionado, ocadoes de calo, esfiameno de componenes eleônicos e mios oos de ilização indsial. Em odos os casos são mosadas as linhas de coene e isoémicas, bem como a análise dos númeos de Nssel em algmas spefícies dos especivos domínios..5 - DELNEAMENTO DO PRESENTE TRABALHO O pesene abalho é apesenado na foma de capílos e apêndices. Nos capílos são descios os poblemas esdados, os eslados nméicos obidos, o ipo de solção nméica ilizada, o modelo de blência, a validação do código compacional desenvolvido e a evisão bibliogáfica ealizada. á nos apêndices, são apesenadas as infomações mais dealhadas dos assnos mais impoanes abodados no pesene abalho. A segi, visando ma melho compeensão do abalho, é dada ma idéia geal do desenvolvimeno dos capílos e apêndices.

36 No capílo apesena-se o modelo maemáico. É apesenada a fomlação maemáica paa as eqações insanâneas, médias e o modelo de blência - paa escoameno com simeia aial. No capílo 3 é apesenado o méodo nméico. Nese capílo são apesenados o méodo dos volmes finios, os esqemas convecivos pwind e Qick e o pincípio da malha deslocada. No capílo 4 o aameno nmeico consise na inegação das eqações de consevação sobe m volme de conole, e a segi o eoema de Gass é ilizado paa ansfoma ceas inegais de volme em inegais de spefície iliza-se o pincípio da malha deslocada paa a disceização espacial. As eqações são disceizadas no empo sob a foma semi-implicia. No capílo 5 é feia a validação dos eslados. Nese qino capílo é esado o pogama compacional desenvolvido paa escoameno lamina e bleno. Compaam-se os eslados obidos com aqeles enconados na lieaa paa validação do pogama compacional. No capílo 6, são apesenados os eslados paa o escoameno nm canal aqecido infeiomene po das fones disceas. No capílo 7 são apesenadas as conclsões e sgesões paa abalhos fos. Nesse capílo, são apesenadas as pincipais conclsões obidas nesse abalho. Também são feias algmas ecomendações paa possíveis abalhos fos, visando esende os esdos ealizados nese abalho. No apêndice A é apesenado o aameno maemáico paa as eqações locais. Aqi é apesenada a disceização das eqações sobe os volmes de conole. 3

37 Capílo MODELO MATEMÁTCO. - EQAÇÕES LOCAS NSTANTÂNEAS As elações necessáias paa desceve o escoameno de m flido e a ansfeência de enegia deno de m meio em movimeno, são as eqações da consevação da massa, da qanidade de movimeno e da enegia. Esas eqações insanâneas são dedzidas com base nos pincípios fndamenais da consevação da massa, da qanidade de movimeno e de enegia, fndamenadas em m volme de conole difeencial. As eqações de consevação insanâneas são apesenadas a segi: Eqação da Consevação da Massa: i j 0. (.) Paa escoameno incompessível ( consane), a eqação (.), edz-se a:

38 5 0 j i. (.) Eqação da Consevação da Qanidade de Movimeno: i i j j j i j i j j i i g p. (.3) Paa escoameno incompessível, com popiedades físicas consanes, a eqação (.3), ona-se: i j i j i j j i i g p. (.4) Eqação da Consevação da Enegia: Despezando o anspoe de enegia devido a dissipação viscosa, a geação inena de calo e os efeios de adiação, em-se a eqação de enegia escia como: i i i i T T T. (.5). - EQAÇÕES MÉDAS No pesene abalho paa escoameno bleno, iliza-se a decomposição de Reynolds, qe é a decomposição das vaiáveis aleaóias insanâneas na soma de m valo médio no empo e ma flação desa média. Φ, (.6) sendo o valo insanâneo, Φ o valo médio e o valo flane.

39 6 Aplicando a eqação (.6), paa as componenes de velocidades, pessão e empeaa, especivamene, em-se i, i i v v i, p P p, (.7) T T T. Anes de se aplica a decomposição de Reynolds, faz-se necessáio inodzi algns conceios efeenes à média esaísica. A média empoal de ma qanidade em m pono fio no espaço é dada po: 0 T d. (.8) T 0 Os valoes médios são calclados nm inevalo de empo T sficienemene gande paa qe sejam compleamene independenes do empo. Sendo assim, po definição, odas as qanidades médias descevendo flações são igais a zeo, o seja: 0, v 0, p 0, T 0. (.9) Aplicando a decomposição de Reynolds e obendo a médias esaísicas, as eqações insanâneas, dadas po (.), (.4) e (.5), podem se escias na foma de eqações médias, como: Eqação da Consevação da Massa: j i 0. (.0)

40 7 Eqação da Consevação da Qanidade de Movimeno: i j P i g T i j i j i i j i. (.) Eqação da Consevação de Enegia: T i T it i T i i. (.) Compaando e analisando a eqação média da qanidade de movimeno com a eqação insanânea, veifica-se o sgimeno do emo conendo o podo das componenes de flação de velocidades, i j, o qal, é denominado enso de Reynolds. Analogamene, nas eqações média e insanânea de enegia, sge m segndo emo, coespondene ao flo de calo bleno, i T, o qal, epesena a coelação ene as flações de velocidade e empeaa. Com o sgimeno desses emos, o sisema de eqações eslanes não pode se esolvido po cone m númeo de incógnias maio qe o númeo de eqações. Nese caso, a fim de esolve o sisema de eqações, faz-se so de meodologias de Modelos de Tblência. Podem se deeminadas as incógnias a pai de sas eqações de anspoe, poém isso popocionaa o apaecimeno de momenos de odem speio e de novas incógnias. Como conseqüência eses novos emos necessiaão ma nova modelação. Desa foma m modelo de blência deve se inodzido com a apoimação das coelações de ma cea odem, em emos de coelações de meno odem e de qanidades do escoameno médio..3 - MODELOS HDRODNÂMCOS PARA TRBLÊNCA No pesene abalho, a fim de deemina as componenes do enso de Reynolds, iliza-se o Modelo - padão, epesenado pelo sisema de das eqações difeenciais dados pelas eqações (.6) e (.8).

41 8 O Modelo de blência κ-ε padão peence a família dos modelos baseados em das eqações difeenciais, onde as gandezas blenas anspoadas são: i) a enegia cinéica de blência κ ; ii) a aa de dissipação de enegia cinéica de blência ε. O conceio da viscosidade blena de Bossinesq ( ), considea qe o enso de Reynolds é popocional ao gadiene de velocidade média. Tem-se, segndo Rodi (978), paa ma siação geal de escoameno, a segine elação: i j i j ij, (.3) j i 3 sendo a viscosidade blena, qe ao conáio da viscosidade molecla υ, não é ma popiedade do flido, mas depende foemene do escoameno, vaiando de m pono ao oo do escoameno e de escoameno paa escoameno. O emo envolvendo o dela de Konecke δ ij é necessáio paa ona a eqação aplicável ambém paa o enso nomal (qando i=j), pois, nese caso, de acodo com a eqação (.), o emo envolvendo o gadiene de velocidade média é nlo. Condo, os ensoes nomais são, po definição, qanidades posiivas e sa soma é igal ao dobo da enegia cinéica de blência κ (Rodi 978), o seja: i i. (.4) De acodo com a hipóese de Cho, qe pode se visa em Rodi (978), a viscosidade blena pode se deeminada em fnção da enegia cinéica de blência κ e da dissipação da enegia cinéica de blência ε, como: C, (.5) sendo qe C μ = 0,09 é ma consane. A eqação da enegia cinéica de blência, confome mosado em Cavalho (993), pode se escia como:

42 9 G j j j j, (.6) sendo =,0 o númeo de Pandl paa a difsão da enegia cinéica de blência κ, com o emo G, dado po: j i j i G. (.7) Paa a dissipação de enegia cinéica de blência, confome mosado em Cavalho (993), em-se: C G C j j j j. (.8) sendo =,30 o númeo de Pandl paa a difsão da dissipação de enegia cinéica de blência e C ε =,44 e C ε =,9 consanes empíicas Com a ilização das eqações (.4), (.6), (.7), (.8), ona-se possível a esolção do sisema de eqações fomado pelas eqações da consevação da massa (.0) e da consevação da qanidade de movimeno (.)..4 - MODELOS TÉRMCOS PARA TRBLÊNCA O poblema de fechameno paa o poblema émico apaece na eqação da enegia (.). Nessa eqação é necessáio deemina o flo de calo bleno T i. ma foma lagamene ilizada paa deemina o flo de calo bleno é considea a hipóese qe elaciona a difsividade émica blena ( ), com o gadiene de empeaa, dado po: i i T T. (.9)

43 0 blena No poblema de fechameno émico é necessáio deemina a difsividade émica. so é ealizado consideando elação (.0), sendo o númeo de Pandl bleno P, consane com o valo de 0,9.. (.0) P.5 - EQAÇÕES PARA ESCOAMENTO COM SMETRA AXAL EM COORDENADAS CLÍNDRCAS Paa popociona maio genealidade no esdo desse abalho, as eqações de consevação seão aadas em coodenadas cilíndicas, paa ma geomeia com simeia aial. Emboa, seja apesenada ma validação paa escoameno bleno em bo, oos esdos são apesenados, somene paa poblemas com geomeias descias em coodenadas caesianas. O escoameno com simeia aial é enendido aqi, como m escoameno qe possi das componenes de velocidade e nas especivas dieções e, confome mosa a figa.. Paede do bo Figa. Sisema de coodenadas cilíndicas paa escoameno de simeia aial, bidimensional, dieções,. As eqações da consevação da massa, da qanidade de movimeno e da enegia em coodenadas cilíndicas paa o escoameno, são apesenadas a segi:

44 Eqação da Consevação da Massa: 0 o 0. (.) Eqação da Qanidade de Movimeno na Dieção (aial): P v. (.) Eqação da Qanidade de Movimeno na Dieção (adial): P v v v. (.3) Eqação da Consevação da Enegia: 0 T T a T T v T T T. (.4).5. - Eqações paa o modelo de blência - Hipóese da viscosidade blena de Bossinesq ij i j j i j i 3, (.5) sendo: C e 09 C 0,. Os ensoes de Reynolds em coodenadas cilíndicas são dados po: 3, (.6)

45 3 v v, (.7) v. (.8) Enegia cinéica de blência : G k eff k eff. (.9) Dissipação de enegia cinéica de blência : C G C eff eff, (.30) Sendo: G,,9. C,44 ; C,30;,0; ; eff.5. - Eqações paa o modelo émico ilizando a eqação (.0), os flos de calo blenos são dados po: i i T P T T, (.3) T P T T v. (.3)

46 Condições de conono paa as gandezas blenas Condições de conono na enada: A enegia cinéica de blência ( ) e a dissipação de enegia cinéica de blência (ε) são admiidas nifomes na enada do canal confome Pn e Spalding (977) e Lin(989): 0,005, (.33) 3 C. (.34) 0,03R 0,09. Sendo a velocidade média de enada, R o aio do do, Cμ ma consane igal a Condições de conono na saída: As condições de conono ilizadas na saída são: 0 e 0. (.35) Condições de conono na paede: Paa a aplicação de condições de conono em ma paede, é necessáio m aameno especial. Esa necessidade povém do fao qe, nas poimidades da paede, eise ma sbcamada lamina com foes gadienes na dieção nomal à paede e, paa obe-se ma solção com boa pecisão, faz-se necessáio ma malha basane efinada nesa egião, o qe amenaia consideavelmene o empo de cálclo. Po oo lado, o modelo - é válido paa gandes númeos de Reynolds e, poano não se aplica à egião da sbcamada lamina póima a paede onde os efeios viscosos são impoanes. Paa evia a ilização de modelos de blência mais compleos qe levam em cona esses foes gadienes o ainda paa evia a ilização de malhas mais efinadas, nessas egiões faz-se so das chamadas leis de paede, qe coespondem à disibição de velocidade + em fnção de Y +, definidas a segi.

47 4 Consideando qe y é a disância ene m deeminado pono do escoameno e ma spefície sólida, a velocidade média angencial a esa spefície nese pono. As vaiáveis + e Y + são definidas como: Y * y *, (.36), (.37) sendo Y + a disância adimensional à paede, e + a velocidade adimensional qe elaciona a velocidades médias e a velocidade de aio *. A velocidade de aio * é definida como: * o, (.38) A egião póima à paede segndo Cavalho (993), pode se dividida em ês egiões paa as qais os valoes da enegia cinéica de blência e da dissipação da enegia cinéica de blência, são deeminados confome se mosa a segi: Região : Sb-camada viscosa (Y + 5) + = Y +, (.39) = 0, (.40) = 0. (.4) Região : Sb-camada ampão (5 Y + 00) Y dy, (.4) 0 Y 4K Y ep A, (.43) C

48 5 * 3. (.44) K Região 3: Sb-camada inecial (Y + 00) log EY K *, (.45), (.46) C * 3. (.47) K Sendo, K a consane de on Kámán igal a 0,4; A é ma consane igal a 6,0; E é m paâmeo de gosidade, qe paa paedes hidalicamene lisas em m valo igal a 9,0. Paa deemina a velocidade de adimensional + ilizada no cálclo de e na egião póima a paede, sbsii-se nas eqações (.36) e (.37), (as qais elacionam + com Y + ) as eqações (.39), (.4) o (.45), dependendo do valo de Y +. O enso miso de Reynolds (993) como: o v na egião póima a paede é calclado segndo Wasi v. (.48) Na simlação nméica a condição de conono dada pela eqação (.48) apeseno bons eslados qando aplicada na paede. Os valoes de o e de + não são imposos no escoameno, eles são deeminados aavés de m méodo de convegência consideando as condições do escoameno no passo de empo aneio.

49 Capílo 3 MÉTODO NMÉRCO 3. - NTRODÇÃO Aavés das leis de consevação da massa, qanidade de movimeno e enegia obém-se as eqações difeenciais qe elacionam as gandezas elevanes paa m coníno de espaço e empo. Tais eqações podem iliza o méodo analíico o o méodo nméico paa a sa esolção. m méodo analíico ao esolve as eqações qe epesenam m poblema físico daá ma solção fechada, e seá possível enão calcla os valoes das vaiáveis dependenes em nível infiniesimal, o seja, paa m númeo infinio de ponos. á o méodo nméico em po fim esolve ma o mais eqações difeenciais, sbsiindo as deivadas eisenes na eqação po epessões algébicas qe envolvem a disceização da fnção incógnia. Nese caso deve se escolhida ma egião de esdo (domínio compacional) qe seá disceizado, o seja, dividido em volmes, sendo qe paa cada volme esá associado m pono nodal. Ao conjno de ponos disceos dá-se o nome de malha. A solção seá obida paa cada m desses ponos da malha. Enão, fica clao qe ao se opa em faze ma apoimação nméica da eqação difeencial, obém-se a solção paa m númeo finio e disceo de ponos. Os eqisios fndamenais de ma boa apoimação nméica é qe ela enha consisência, esabilidade e convegência. A consisência eise qando os eos de ncameno endem a zeo qando a malha ende a m númeo infinio de ponos. Assim, a

50 solção das eqações disceizadas deve ende a solção das eqações difeenciais, qando o amanho da malha ende a zeo. A esabilidade eise qando não hove oscilações nméicas espúias. A insabilidade ocoe qando o esqema nméico não é apopiado, o algns paâmeos como incemeno de empo e dimensões dos volmes de conole não são escolhidos convenienemene. Oos faoes ambém inflenciam na esabilidade, ais como: eos de aedondameno de máqina, méodo de aameno de acoplamenos ene as vaiáveis, ec. A solção nméica obida apesena convegência, qando os desvios com elação à solção eaa foem menoes qe m desvio máimo especificado. No caso de não se conhece a solção eaa de m poblema, poca-se compaa os desvios nos eslados nméicos coespondenes a ma malha menos efinada com oa mais efinada. Os eslados seão saisfaóios qando os cálclos indicaem independência da malha. A convegência é conseqüência da consisência e da esabilidade, esas dão condições necessáias paa qe a solção nméica enda paa a solção das eqações difeenciais qando a malha é efinada MÉTODO DOS OLMES FNTOS O méodo dos olmes Finios (Paanka, 980), (eseeg e Malalasekea, 995) e (Maliska, 004) consise na divisão do domínio de cálclo em ma malha com m númeo finio de volmes de conole não sobeposos. Cada volme de conole possi em se ineio m único pono da malha, chamado de pono nodal, como mosado na figa 3.. A inegal de volme das eqações de consevação é ealizada, consideando-se m pefil paa a vaiável. Seá ilizado paa as apoimações m pefil linea coníno ene os ponos da malha. Assim, as eqações da consevação da massa, da qanidade de movimeno e da enegia são inegadas nm volme de conole genéico do domínio, obendo-se m conjno de eqações algébicas paa cada volme de conole. A vanagem é qe as vaiáveis anspoadas são sempe consevadas sobe qalqe númeo de volmes de conole e dese modo sobe odo o domínio de cálclo. O méodo gaane a consevação das qanidades como massa, qanidade de movimeno e enegia ano localmene como globalmene.

51 GERAÇÃO DE MALHA Como descio po Maliska (004) o pincípio do aanjo desenconado o pincípio da malha deslocada ( saggeed gid ) é ilizado paa mane as caaceísicas eais do poblema, sendo m aanjo fisicamene consisene. As epessões de balanço das gandezas escalaes, como pessão, massa, enegia cinéica de blência (), dissipação de enegia cinéica de blência () e empeaa são avaliadas no ceno dos volmes de conole pincipais, enqano qe as gandezas veoiais, como as velocidades são deeminadas nas faces dos volmes de conole pincipais. Ese pocedimeno popicia melho esimaiva dos flos convecivos. Na figa 3. é mosada a malha a se ilizada na disceização do domínio do poblema. As malhas definidas pelas linhas ponilhadas epesenam os volmes pincipais, onde no ceno geoméico esão as gandezas escalaes e nas faces deses as velocidades. As eqações da consevação da massa, qanidade de movimeno, enegia, enegia cinéica de blência e dissipação de enegia cinéica de blência podem se escias em ma foma compaca geal qe seá apesenada aavés da eqação (4.), do capílo 4. A fomlação nméica da eqação geal (4.) seá objeo de esdo, inegando as eqações de consevação sobe cada m dos volmes de conole. A disceização do domínio físico é feia sando o pincípio da malha deslocada e o méodo semi-implício Sola. Dois esqemas de disceização espaciais seão ilizados no pesene abalho, paa o emo convecivo: o esqema pwind, qe emboa seja eemamene simples apesena bons eslados, e o esqema Qick, ese úlimo apesenando meno difsão nméica qe o pimeio. Os eânglos hachados das figas 3., 3., 3.3 definem os especivos volmes pincipais e deslocados paa as vaiáveis do poblema, qe são: P,, e T. O enelaçameno dos ês volmes de conole ilizados podem se visos nas figas 3. aé 3.3. As Figas 3. e 3.3 mosam a malha pincipal sbdividida geomeicamene. Os volmes deslocados são definidos pela áea hachada, onde em se ceno geoméico, esaão localizadas as vaiáveis veoiais, qe são as componenes de velocidade. Esas das malhas enelaçadas como dio aneiomene consii o pincípio da malha deslocada. Os ponos de avaliação dos ensoes de Reynolds são mosados na figa 3.4. Os ensoes qadáicos, vv e ambém T, v T são avaliados no ceno da malha

52 9 pincipal, enqano qe o enso miso v é avaliado no pono poposo inicialmene po Pope e Whielaw (976) e esendido po Hogg e Leschzine (989) paa o caso de escoamenos aissiméicos, com o objeivo de amena a esabilidade do méodo de simlação. Tabela 3. Legenda paa as figas 3., 3. e 3.3. Posição da componene da velocidade Posição da componene v da velocidade Posição das oas vaiáveis (P, κ,ε, T, ec) n N n Conono do domínio do poblema W w o w P,,,T O e s e E s S Figa. 3. Pincípio da malha deslocada - Malha pincipal, Domínio bidimensional dividido em volmes de conole.

53 30 N nw n n W w P,,,T E w w O e e s sw s S Figa. 3. Pincípio da malha deslocada Malhas deslocadas paa a componene média de velocidade aial na posição w. N n n W w w P,,,T O e e E sw s s se s S Figa. 3.3 Pincípio da malha deslocada Malha deslocada paa a componene média de velocidade adial na posição s.

54 3 N W O, vv E T, vt v S Figa 3.4 Ponos de avaliação dos ensoes de Reynolds ESQEMAS CONECTOS Os esqemas convecivos são fnções de inepolação sadas paa deemina o valo das vaiáveis a seem anspoadas em ponos da malha onde essas vaiáveis não são calcladas. Paa o aameno nméico do emo convecivo, dois esqemas de fácil implemenação são inodzidos no pogama, o esqema pwind e o esqema Qick Esqema convecivo pwind Consideando-se m caso nidimensional mosado na figa 3.5, onde a vaiável a se convecada deno do escoameno é vizinhança conhecida O e E, da segine foma: e, o esqema pwind esima e em fnção de sa

55 3 e O se e 0 (velocidade no senido + ) e E se e 0 (velocidade no senido ) sendo e a velocidade no nó e. E E e e o O e X Figa 3.5 Esqema convecivo pwind O esqema pwind leva a ma disceização esável, poém, inodz eos de ncameno de pimeia odem ( Hand e al, 98 ). m efinameno da malha, a pincípio, podeia ameniza eses eos, poém, em poblemas de engenhaia como escoamenos blenos em egime não pemanene e alas velocidades, o ga de efinameno necessáio pode ona-se impaicável Esqema convecivo Qick Consideando-se m caso nidimensional onde a vaiável a se convecada deno do escoameno é e, o esqema Qick esima e, W e EE, da segine foma: e em fnção de sa vizinhança conhecida O,

56 33 e O E W E O se e 0, 8 e O E O EE E se e 0. 8 Sendo e a velocidade no nó e. EE EE E E W W O O e e e X Figa 3.6 Esqema convecivo Qick O esqema Qick (Leonad, 979) consise em ma inepolação qadáica sobe ês ponos, combinando ma inepolação linea e m emo de coeção. Os eos de ncameno casados pela ilização dese esqema são de eceia odem, qe são menoes qe os eos de ncameno casados pela ilização do esqema pwind, sem, condo amena significaivamene o empo compacional. Como pode se viso na figa 3.6 o esqema Qick considea m maio númeo de nós vizinhos paa esima o valo da vaiável e qe o esqema pwind, o qe lhe confee a possibilidade de maio aceo.

57 Capílo 4 TRATAMENTO NMÉRCO 4. - NTRODÇÃO Nese capílo é apesenado o aameno nméico das eqações paa escoameno lamina o bleno, incompessível, bidimensional, paa flidos com popiedades físicas consanes, no sisema de coodenada cilíndicas. Desacam-se como ponos impoanes nese capílo: a disceização das eqações; as popiedades dos esqemas de disceização; a apesenação da definição de viscosidade efeiva nas eqações de qanidade de movimeno devido aos ensoes de Reynolds, esa somene paa a blência; o aameno do acoplameno pessão-velocidade; a écnica da solção semi-implícia; condições iniciais e condições de conono FORMA GERAL DA EQAÇÃO DA CONSERAÇÃO As eqações da consevação da massa, qanidade de movimeno, enegia, enegia cinéica de blência e dissipação de enegia cinéica de blência podem se escias em ma foma compaca geal dada po:

58 35 S. (4.) Na eqação (4.), ma é gandeza qe pode epesena:,,, T, κ o ε. Dependendo da gandeza, os paâmeos,,, e apesenados na abela 4.. S assmião os valoes Tabela 4. Epessões paa os emos da eqação (4.). S v P v v P v T α α T v T 0 κ v eff v eff 0 0 G ε v eff v eff 0 0 C G C Sendo: v v, eff v G,,00,,30, C e C,9. A eqação geal (4.), aplica-se paa escoameno lamina o bleno. Eneano, paa o escoameno lamina consideam-se os emos e nlos. E as eqações (.6) e

59 36 (.8), paa o modelo - qe são eclsivas paa o escoameno bleno e qe poano não são consideados paa o escoameno lamina DSCRETZAÇÃO ESPACAL Disceização das eqações Seja m domínio qalqe de volme, invaiane no empo, endo como foneia ma spefície egla S e seja n o veo niáio nomal a m elemeno de S diigido paa o eeio de, (figa 4.). Os pocessos de anspoe no domínio podem se epessos pela eqação (4.). A inegação dessa eqação no volme esla: d S d d d. (4.) Figa 4. Domínio abiáio de cálclo de volme. Aplicando-se o eoema de Gass no segndo e eceio emos do lado esqedo da eqação (4.) em-se: d S.n ds.n ds d S S. (4.3) n s S

60 37 o ainda: S d S.n ds.n ds.n ds.n ds.n ds.n ds S d S S S S. (4.4) As figas (4.) e (4.3) mosam a foma e a nomenclaa ilizada na disceização do domínio do poblema, a posição das gandezas a seem obidas ambém é mosada. A abela 4. mosa a legenda ilizada nas figas 4. e 4.3. DX() R(+) + N P N T N R(+) nw n (,+) ne O R() YC() W P W (,) O w P(,) T(,) (+,) e E P E T W T E R() sw s (,) se DY() R(-) - S P S T S XC() - + X X(-) X() X() X(+) X(+) Figa 4. Malha pincipal dividido em volmes de conole

61 O pincípio da malha deslocada confome viso no capilo 3, é ilizado paa mane as caaceísicas eais do poblema (Paanka, 980). Ese pocedimeno popicia melho esimaiva dos flos convecivos. A figa 4. mosa os volmes de conole pincipais paa as gandezas escalaes e secndáios paa as velocidades, já a figa 4.3 mosa os volmes de conole deslocados paa as gandezas escalaes e paa as velocidades. 38 Tabela 4. Legenda das figas 4. e 4.3. Posição da componene da velocidade Posição da componene v da velocidade Posição das oas vaiáveis (P, κ,ε, T, ec) DX() R(+) + N P N T N R(+) nw n (,+) ne W O R() YC() W P W (,) O w P(,) T(,) (+,) e E P E T W T E R() sw s (,) se DY() R(-) - S S P S T S XC() - + X X(-) X() X() X(+) X(+) Figa 4.3 Malha deslocada. olmes secndáios paa velocidades.

62 Componene média da velocidade aial A eqação (4.), inegada paa a componene média da velocidade aial, no volme de conole w,definido pela figa (4.3) paa o escoameno com simeia aial, pode se escia na foma: w w FLX a P P w f W W O. (4.5a) sendo: P(, ) P(, ) P O, P W, (4.5b) FLX w a f FLWE O a f FLWE O W W a f FLSN nw a f FLSN sw nw sw. (4.5c) As áeas das faces do volme de conole w e o volme w são dados po: a a a f O f nw f sw w a f W R( )YC ( ) R ( ) DX( ) R ( ) DX( ) R( )YC ( ) DX( ). (4.5d) Sendo a soma dos flos convecivos e difsivos dados, especivamene, po: FLWE FLWE FLSN FLSN 0 CON 0 DFF 0 W CON W DFF W nw CON nw DFF sw CON sw DFF sw nw. (4.5e) ilizando-se o esqema pwind paa os emos convecivos da componene média de velocidade aial, nos divesos ponos nodais, em-se: CON ( ), (4.6) O O O

63 sendo: O,, e (4.7) O O, se, se 0. O O 0; (4.8) 40 CON ( ), (4.9) W W W sendo: W,, e (4.0) W W, se W, se 0. W 0; (4.) CON ( ), (4.) nw nw nw sendo: nw,, e (4.3) nw nw, se nw, se 0. nw 0; (4.4) CON ( ), (4.5) sw sw sw sendo: sw,, e (4.6) sw sw, se sw, se 0. sw 0; (4.7)

64 4 ilizando-se o esqema Qick paa os emos convecivos da componene média de velocidade aial, nos divesos ponos nodais, em-se: CON O O O (4.8) sendo: O,, e (4.9). 0 se,,, 8,, 0; se,,, 8,, O O O O (4.0) CON W W W (4.) sendo: W,, e (4.). 0 se,,, 8,, 0; se,,, 8,, W W W W (4.3) CON nw nw nw (4.4) sendo:,, nw e (4.5). 0 se,,, 8,, 0; se,,, 8,, nw nw nw nw (4.6)

65 CON sw sw sw (4.7) sendo: sw,, e (4.8) sw sw 8,,,,, 8,,,,, se 0. se sw sw 4 0; (4.9) Paa os emos difsivos é ilizado o esqema de difeenças cenadas como sege: DFF,, O O XC, (4.30) O O DFF W W w,, XC( ), (4.3) W DFF v nw v nw nw,, DY ( ), (4.3) nw DFF v sw v sw sw,, DY ( ). (4.33) sw Componene média de velocidade adial A eqação (4.) inegada paa a componene média de velocidade adial no volme de conole s definido pela figa (4.3), paa escoameno com simeia aial, pode se escia na foma:

66 R ( ) XC( ) P S P O ( SF s s s FLX s ) 43, (4.34a) sendo: P(, ) P(, ) P, P O S, (4.34b) FLX s a f FLWE se a f FLWE se sw a f FLSN O a f FLSN S O S sw. (4.34c) As áeas das faces do volme de conole s e o volme s são dadas como: e a a a e ainda: f se f O f S S a f sw R( ) XC( ) R( ) XC( ) FLWE FLWE FLSN FLSN R ( ) DY( R ( ) DY( ) ) XC( ) se CON se DFF sw CON sw DFF 0 CON 0 DFF 0 S CON S DFF S, (4.34d) se sw, (4.34e) XC( ) DY( ) (, ) SF s (4.34f) R ( ) ilizando-se o esqema pwind paa os emos convecivos da componene média de velocidade adial, nos divesos ponos nodais, em-se: CON se, (4.35) se se sendo: se,, e (4.36)

67 se se, se se 0;, se 0. se 44 (4.37) CON, (4.38) sw sw sw sendo: sw,, e (4.39) sw sw, se sw 0;, se 0. sw (4.40) CON, (4.4) O O O sendo: O,, e (4.4) O O, se 0;, se 0. O O (4.43) CON, (4.44) S S S sendo: S,, e (4.45) S S, se 0;, se 0. S S (4.46)

68 ilizando-se o esqema Qick paa os emos convecivos da componene média de velocidade adial, nos divesos ponos nodais, em-se: 45 CON, (4.47) se se se sendo: se,, e (4.48) se se 8,,,,, 8 0;,,,,, se 0. se se se (4.49) CON, (4.50) sw sw sw sendo: sw,, e (4.5) sw sw 8,,,,, 8,,,,, se 0. se sw sw 0; (4.5) CON, (4.53) O O O sendo: O,, e (4.54) O O 8,,,,, 8,,,,, se 0. se O O 0; (4.55)

69 46 CON, (4.56) S S S sendo: S,, e (4.57) S S 8,,,,, 8 0;,,,,, se 0. se S S (4.58) Paa os emos difsivos é ilizado o esqema de difeenças cenadas como sege: DFF v se v se se (, ) (, ) DX( ), (4.59) se DFF v sw v sw sw (, ) (, ) DX( ), (4.60) sw DFF vv O vv O O (, ) (, ) YC( ), (4.6) O DFF vv S vv S S (, ) (, ) YC( ). (4.6) S Eqação da enegia A eqação (4.) inegada como eqação da enegia no volme de conole O definido pela figa (4.) paa escoameno bidimensional com simeia aial, esla:

70 sendo: R YC XC T T FLX FLXR FLX FLX T 0 T FLXRT FLX T 0 T XC FLSN T FLSN T 0 0 T R YC FLWET FLWET 0 0 n 0 e s w 47, (4.63a), (4.63b) FLWE( T ) FLWE( T ) FLSN ( T ) FLSN ( T ) n s e w CON CON CON CON T e DFF T e T w DFF T T n DFFT n T s DFF T s w. (4.63c) ilizando o esqema pwind paa os emos convecivos da eqação da enegia, emse: sendo: T. T (4.64) CON e e e e, e (4.65) T e T, se e 0; T e T, se 0. e (4.66) sendo: CON T w w T w (4.67) w, e (4.68)

71 48 T T w w T T, se 0;, se 0. w w (4.69) sendo: T T (4.70) CON n n n n, e (4.7) T T n n T T, se 0;, se 0. n n (4.7) sendo: CON T s s T s (4.73) s, e (4.74) T T s s T T, se 0;, se 0. s s (4.75) ilizando o esqema Qick paa os emos convecivos da eqação da enegia, em-se: CON sendo: T e e T e (4.76) e, e (4.77)

72 T T e e T, T, T, T, T, 8 T, T, T, T, T, 8 se 0. se e 49 0; (4.78) e sendo: T T (4.79) CON w w w w, e (4.80) T T w w T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, 8 8 se 0. se w w 0; (4.8) sendo: T T (4.8) CON n n n n, e (4.83) T T n n T, T, T, T, T, 8 T, T, T, T, T, 8 se 0. se n n 0; (4.84) sendo: CON T s s T s (4.85) s, e (4.86)

73 T T s s T, T, T, T, T, 8 T, T, T, T, T, 8 se 0. se s s 0; 50 (4.87) Paa os emos difsivos, seá ilizado o méodo das difeenças cenadas: DFF(T ) e DFF(T ) w DFF(T ) n DFF(T ) s e, T, T T a a ; (4.88) DX ( ) w, T, T T a a ; (4.89) DX ( ) n, T, T T a a ; (4.90) DY ( ) s, T, T T a a. (4.9) DY( ) solando a empeaa no insane de empo em qe esá sendo avaliada, na eqação (A3.9), em-se: T T FLX T 0 R YC XC. (4.9) Em cada insane de empo as empeaas são calcladas em odos os volmes de conole do domínio, aplicando-se a Eqação (A3.3) Eqação da consevação da massa A eqação (4.) inegada como eqação da consevação da massa no volme de conole O definido pela figa (4.) paa escoameno bidimensional com simeia aial, esla: a a a a 0. (4.93a) f e e f w w f n n f s s

74 5 As áeas das faces dos volmes de conole O são dadas po: a a a f e f n f s a f w R( ) YC( ) R ( ) XC( ) R ( ) XC( ). (4.93b) Disceização Tempoal Os emos dependenes do empo são escios da segine foma: Sendo qe insane. +Δ.. (4.94) epesena a gandeza no insane e epesena a gandeza no Assim, as eqações da qanidade de movimeno paa as componenes médias de velocidade podem se escias na foma: w P P FLX w W O (, ) (, ) a f. (4.95) w w w e P P FLX e O E (, ) (, ) a. (4.96) f e e e s n FLX P P SF s S O s (, ) (, ) a f. (4.97) s s s s a FLX (, ) (, ) f n P P SF O n N n n n n (4.98)

75 Acoplameno pessão-velocidade ilizando o méodo SOLA 5 O acoplameno pessão-velocidade é feio aavés do méodo SOLA qe consise em sbsii as epessões das componenes médias de velocidade no insane dadas pelas eqações (4.95) a (4.98), obidas a pai da eqação de qanidade de movimeno, na eqação da coninidade disceizada, dada pela eqação (4.93). Paa o volme de conole O, esla: a O P O - a W P W a E P E a S P S a N P N = b O, (4.99) sendo qe os coeficienes das pessões são: a O = a W + a E + a S + a N, (4.00) YC ( ) a W, (4.0) DX( ) YC ( ) a E, (4.0) DX( ) XC ( ) a S, (4.03) DY( ) e XC( ) a N, (4.04) DY( ) b O DX DY, YC, YC, XC, XC FLX( ) W DX FLX( ) FLX( ) FLX( ) S N DY E (4.05) As eqações aneioes fomam m sisema de eqações lineaes epesenado pela eqação (4.06). ap, (4.06) b O

76 sendo a ma maiz de coeficienes conhecidos, b m veo conhecido e dependene do campo de velocidades e empeaas. O 53 O méodo SOLA consise em calcla as velocidades epliciamene aavés das eqações (4.55) a (4.58), em segida esolve impliciamene a epessão (4.06) e calcla o campo de pessões SOLÇÃO DO SSTEMA DE EQAÇÕES E CÁLCLO DO PASSO DE TEMPO 4.4. Solção do sisema linea de eqações Obseva-se qe os coeficienes a i (i=e,w,s,n) da eqação (4.99), dependem apenas de paâmeos geoméicos, enqano qe o emo b O, no lado dieio da eqação depende do campo de velocidades e empeaas no empo aneio e do passo de empo de cálclo. Desa foma, em cada caso obém-se ma eqação linea paa cada nó do domínio de cálclo. O sisema de eqações eslane gea ma maiza qe é calclada ma só vez, pois depende apenas de paâmeos geoméicos da malha, enqano o veo b em qe se calclado a cada passo de empo, po depende do campo de velocidades e empeaas aneio. A maiz de coeficienes fomada pelo sisema de eqações lineaes possi banda siméica, definida e posiiva. Paa sa solção, foi ilizado o méodo de Choleski (Bebbia, 978). O sisema linea fomado pelo conjno de odas as eqações dos nós pincipais do domínio de cálclo pode se escio como: O ap, (4.06) b O

77 54 A maiz dos coeficienes de pessão [a] é decomposa ma só vez, pois ses elemenos dependem apenas de gandezas geoméicas da malha, qe são independenes do empo. O méodo de Cholesky calcla ma maiz iangla infeio, de modo qe: LL a, (4.07) sendo qe [L] é a maiz iangla infeio e [L] é a sa ansposa. Sbsiindo a eqação (4.07) em (4.06), em-se: LL P b. (4.08) O Fazendo-se: P X L, (4.09) Das eqações (4.08) e (4.09) vem: X L, (4.0) b O como [L] e {b O } são conhecidos em cada passo de empo, deemina-se {X }. Sbsii-se enão {X }na eqação (4.09) e deemina-se o campo de pessões {P } Esabilidade nméica e cálclo do passo de empo Nesse abalho é ilizado o méodo SOLA (Hi e al., 975) qe consise em inega os emos difsivos e convecivos de foma eplícia e o emo de gadiene de pessão de foma implícia. Os emos convecivos e difsivos das eqações da qanidade de movimeno sendo esimados de maneia eplícia, esla nma limiação do passo de empo de cálclo. Paa qe haja esabilidade do méodo nméico foi adoado nese abalho o cálclo do passo de empo ecomendado po (iland, 986), po e sido saisfaóio em efeências

78 pesqisadas po (Mainelli, 994) e (Cavalho, 993). A segi é apesenada a meodologia adoada: 55 Condição de convecção: conv v y (4.) Condição de difsão: DFF v y (4.) O passo de empo consideando ambos os fenômenos seá: CON DFF (4.3) A fomlação apesenada é aplicada em odo o domínio de cálclo e em cada passo de empo é adoado o meno valo obido de Δ. A meodologia ilizada paa a deeminação do passo de empo émico é semelhane à ilizada paa o passo de empo hidodinâmico, difeindo-se apenas na difsão. Condição de convecção: CON v y (4.4) Condição de difsão: DFF y (4.5) O passo de empo émico, consideando ambos os fenômenos seá:

79 56 T CON DFF (4.6) A fomlação acima é aplicada em odo o domínio de cálclo e em cada passo de empo é adoado o meno valo obido de Δ. O passo de empo final de cálclo seá o meno valo obido ene o hidodinâmico e o émico. 4.5 DAGRAMA DO ALGORTMO COMPTACONAL A Figa 4.4 apesena o flogama do pogama desenvolvido na lingagem FORTRAN. A segi, apesena-se o diagama de blocos do algoimo compacional com ma beve descição de cada bloco do pogama. No bloco B, são lidos os dados do caso a se calclado, como a geomeia básica, númeo de volmes sisema de coodenadas e esqema convecivo. No bloco B3, em-se a geação da malha do domínio de calclo, as popiedades do flido, númeo oal de ineações e condições iniciais da empeaa e velocidades bem como as especivas condições de conono. O bloco B4 gea a maiz dos coeficienes de pessão, qe depende eclsivamene de paâmeos geoméicos do poblema. No bloco B5, inicia-se o pocesso ieaivo do pogama, com a deeminação do passo de empo hidodinâmico e émico, os qais são calclado a cada ineação. O bloco B6 calcla o veo solção paa as pessões nos volmes de conole. No bloco B7, em-se a esolção do sisema maicial paa as pessões. No bloco B8, deemina-se as componenes hoizonal e veical das velocidades em fnção das pessões, aplicando-se as eqações da qanidade de movimeno disceizadas nos volmes do domínio. Nese bloco emos ambém a deeminação dos pefis de enegia cinéica de blência, a dissipação da enegia cinéica de blência e do campo de empeaas paa cada volme de conole do domínio.

80 57 No bloco B9 veifica-se o loop de empo. Paa a apesenação dos gáficos é ilizado o pogama Tecplo paa as linhas de coene e isoemas e Sigma Plo paa os demais. Os pogamas dese abalho foam eecados nm micocompado PC Ahlon XP 800+, com 5 Mb de memóia RAM, ilizando-se o compilado Compaq isal Foan 6.5 em plaafoma Windows XP. Tabela 4.3: Tempo de pocessameno em (s) paa os méodos Qick e pwind. Escoameno lamina Re = 0 3 Escoameno bleno Re = 0 8 Méodo Qick 4 s 745 s Méodo pwind s 736 s A abela 4.3 apesena o empo de pocessameno ípico paa escoameno lamina o bleno nm canal com das fones disceas do pesene abalho. Foi consideada ma malha com 6000 volmes, 0000 passos de empo, G = 0 5 e P = 0,70. O méodo pwind apesena m empo meno do qe o méodo Qick ano paa os casos blenos como paa os laminaes, mas nada epessivo. Consideando qe o méodo Qick é m modelo de odem speio em elação ao pwind, a peqena difeença de empo apesenada nos gia a pefei o méodo Qick.

81 58 B-nício B-Leia de dados B3-Condições iniciais e de conono B4-Monagem da maiz dos coeficienes de pessão B5-Cálclo de B6-Cálclo do veo b o = + B7-Resolção do sisema maicial paa a pessão Campo de pessões B8-Resolção dos sisemas paa,,, e T. Campo de velocidades, Campo de empeaas, ec Não B9-Aingi o empo final f? Sim B0-Fim Figa 4.4 Algoimo compacional.

82 Capílo 5 ALDAÇÃO DOS MÉTODOS 5. - NTRODÇÃO: Nese capílo são compaados paa efeio de validação, os eslados obidos nese abalho, nos qais se ilizo o Méodo dos olmes Finios, com váios poblemas epeimenais e nméicos padões da lieaa, como lisados abaio: alidação : Escoameno lamina em m canal aqecido po baio e com m dega na enada. alidação : Escoameno de Poiseille nm canal aqecido po baio. alidação 3: Escoameno bidimensional lamina em canais com dega na enada alidação 4: Escoameno bleno em bo ilizando o modelo de blência κ-ε. alidação 5: Escoameno bidimensional bleno nm canal com dega. No apêndice B são apesenadas as definições dos divesos paâmeos adimensionais qe seão ilizados nese abalho.

83 5.. - alidação : Escoameno lamina em m canal aqecido po baio e com m dega na enada. 60 Paa a pimeia validação do código compacional desenvolvido em FORTRAN, foi ealizado m esdo do escoameno de convecção misa nm canal aqecido po baio com m dega na enada. São apesenadas compaações com os eslados do abalho de Gimaães (007). O esdo é ealizado consideando m escoameno bidimensional em egime lamina, incompessível e não-pemanene, nm canal fomado po placas paalelas. Na enada do canal eise m dega onde se considea m pefil paabólico de velocidades e m pefil linea de empeaas. A figa 5. mosa a geomeia e as spefícies do conono do poblema paa a análise. T Figa 5. Canal com dega na enada. As condições iniciais e de conono adimensionais são dadas po: Condições iniciais ( = 0): No domínio: == T=0 Condições de conono ( > 0): Em S E : = 4Y(0,5-Y); = 0; T = Y; Em S F : = = 0; T = 0 Em S Q : = = 0; T = ; Em S : T/ X = 0; sendo a velocidade de efeência 0 igal à velocidade média na enada.

84 A figa 5. apesena ês disceizações, ilizadas no esdo de efinameno da malha paa o poblema de convecção misa lamina nm canal hoizonal com m dega na enada. Todas as malhas são esadas conendo volmes qadilaeais. As malhas esão mosadas pacialmene. A qanidade de volmes nas ês malhas são, especivamene, 4000, 5000 e 6000 volmes. A abela 5. mosa os desvios dos númeos de Nssel paa casos com Re = 0 e F = /75, /50 e /300 paa as ês malhas da figa 5. Nesa abela são apesenados ene paêneses os valoes pecenais dos desvios em elação a malha aneio. Considea-se qe a malha com 6000 volmes apesena desvios peqenos compaados à malha de 5000 volmes. O máimo desvio é de,0%, e o meno desvio é de 0,%. Assim, a malha com 6000 volmes foi consideada saisfaóia, paa se ilizada na obenção dos pesenes eslados. 6 Malha de 4000 volmes, visa pacial Malha de 5000 volmes, visa pacial Malha de 6000 volmes, visa pacial: Figa 5. Malhas ilizadas no esdo da sensibilidade da malha paa o caso do escoameno em m dega.

85 Nas figas 5.3 e 5.4 são apesenadas as disibições de empeaas paa o escoameno no ineio do canal, especivamene, paa os méodos pwind e Qick. Nessas figas o númeo de volmes de conole nas malhas são 4000, 5000 e 6000, o númeo Reynolds é fiado em 0, e o númeo de Gashof vaia de 30000, e A dinâmica do escoameno paa esa geomeia é mio ciosa e complea. O escoameno pincipal do flido em o efeio de pomove m escoameno po convecção foçada e qe em como paâmeo elevane e dominane, o númeo de Reynolds. m oo escoameno secndáio se oigina devido ao empo casado pelo aqecimeno na placa infeio o do esfiameno na placa speio. O aqecimeno do flido na spefície infeio faz qe o flido enha a endência de se movimena paa cima na foma de plmas émicas ascendenes. O flido jno a spefície speio fia em a endência de foma plmas émicas descendenes. Esse movimeno ascendene o descendenes das plmas émicas é conolado pelo númeo de Gashof. Compaado os casos das figas 5.3 e 5.4, com os mesmos paâmeos, poém com méodos difeenes (pwind e Qick), não se veificam gandes difeenças nos padões de escoamenos. eificam-se em geal m defasameno ene as plmas fomadas no escoameno devido a convecção naal. A abela 5. mosa ma compaação dos eslados paa os méodos pwind e Qick, dese abalho, com os de Gimaães (007) qe ilizo o méodo de elemenos finios. São apesenados eslados paa ês malhas com 4000, 5000 e 6000 volmes. Nessa abela são apesenados ene paêneses, os desvios pecenais ene os valoes obidos pelo méodo coespondene, poém compaando ma malha mais efinada e ma menos efinada. Po eemplo, paa F = 0,033 com o méodo Qick o desvio é de,8 % qando se compaa ma malha com 5000 e 6000 volmes. Paa ma malha com 6000 volmes, o máimo desvio do pesene abalho é de,98 % paa o méodo pwind e 0,67 % paa o méodo Qick. A figa 5.5 apesena ma compaação dos eslados do númeo de Nssel médio da abela 5., paa 6000 volmes, em fnção do númeo de Fode. O máimo desvio ene os ês méodos paa númeos de Fode 0,033; 0,0066 e 0,0033 são, especivamene, 4,59%, 8,353 % e,545 %. 6

86 63 Malha de 4000 volmes: Caso.: Re=0, G= Caso.: Re=0, G=60000 Caso.3: Re=0, G=0000 Malha de 5000 volmes: Caso.4: Re=0, G= Caso.5: Re=0, G=60000 Caso.6: Re=0, G=0000 Malha de 6000 volmes: Caso.7: Re=0, G= Caso.8: Re=0, G=60000 Caso.9: Re=0, G=0000 Figa 5.3 Disibição da empeaa ao longo do canal pelo méodo pwind, vaiando G e o númeo de volmes na malha.

87 64 Malha de 4000 volmes: Caso.: Re=0, G= Caso.: Re=0, G=60000 Caso.3: Re=0, G=0000 Malha de 5000 volmes: Caso.4: Re=0, G= Caso.5: Re=0, G=60000 Caso.6: Re=0, G=0000 Malha de 6000 volmes: Caso.7: Re=0, G= Caso.8: Re=0, G=60000 Caso.9: Re=0, G=0000 Figa 5.4 Disibição da empeaa ao longo do canal pelo méodo Qick, vaiando G e o númeo de volmes na malha.

88 N Tabela 5. Compaação dos desvios do númeo de Nssel médio na paede speio fia do canal. 65 Méodo Númeo de olmes Númeo de Nssel médio na paede fia N Re=0 F=/75 = 0,033 F=/50 = 0,0066 F=/300 = 0,0033 Gimaães (007) 4000,7907,9575 3, ,85 (0,86%) 3,096 (4,47%) 3,6 (0,90%) 6000,8469 (,%) 3,655 (,0%) 3,585 (,0%) 4000,5965 3,3 3,6578 pwind 5000,6596 (,43%) 3,066 (,37%) 3,799 (,97%) 6000,73 (,98%) 3,57 (,58%) 3,770 (,0%) ,079 3,5536 4,95 Qick ,046 (0,93%) 3,5496 (-0,%) 4,93 (-0,06%) ,04 (,8%) 3,554 (0,%) 4,3 (0,67%) 4,6000 4,4000 4,000 4,3 4,0000 3,8000 3,770 3,6000 3,554 3,4000 3,57 3,000 3,0000 3,585 3,655 3,04,8000,6000 Gimaães(007) Re=0,8447,73,4000 Qick Re=0 pwind Re=0,000,0000 0,000 0,0040 0,0060 0,0080 0,000 0,00 0,040 F Figa 5.5 Númeo de Nssel médio ao longo da paede fia em fnção do númeo de Fode paa 6000 volmes.

89 5.. - alidação : Escoameno de Poiseille nm canal aqecido po baio 66 Paa a segnda validação do código compacional desenvolvido em FORTRAN, foi ealizado m esdo do escoameno de convecção misa nm canal aqecido po baio. Os eslados são compaados com o abalho de Comini e al. (997). O esdo é ealizado consideando m escoameno bidimensional em egime lamina, incompessível e nãopemanene da convecção misa nm canal com placas paalelas. Na enada do canal em-se m pefil paabólico de velocidades e m pefil linea de empeaas. As figas 4. e 4. apesenam a geomeia ilizada nesa compaação. As dimensões ilizadas paa o canal são: H=, L=5. Como condição inicial se considea em odo o domínio: == T=0. As condições de conono paa as velocidades e v, e a empeaa T são: na spefície S (enada do canal) = 6y(-y), v = 0, (sendo a velocidade média na enada do canal) e empeaa T= -y; na spefície S : = v =0 e T =0; paa a spefície S 3 ( saída do canal) 0 e T 0 ; e paa a spefície S 4 : = v = 0 e T =. Os paâmeos, Re, P e F, êm os segines valoes aibídos: Re=0, P=0,67 e F=/50. Figa 5.6 Geomeia do canal. v 0 T c 0 T y 6y ( y) v 0 v 0 T h Figa 5.7 Geomeia e condições de conono. 5

90 67 Figa 5.8 Malha esada com 4000 volmes ilizada na validação. Pode-se ve nas figas 5.9 (a) e (b) as disibições das empeaas ao longo do canal jnamene com os veoes velocidades, paa o empo de 9746,54 segndos. Obsevam-se céllas de eciclação qe caminham ao longo do canal, como ambém m escoameno pincipal passando po ene esas céllas. a) pwind b) Qick Figa 5.9 soémicas e veoes velocidade paa os méodos pwind e Qick. A figa 5.0 mosa o númeo de Nssel médio na spefície speio em fnção do o empo. A figa 5. é idênica à figa 5.0, poém com ampliação da escala. Apoimadamene após segndos, o egime se ona qase-peiódico. O númeo de Nssel médio empoal na paede speio paa o méodo pwind é,5 e paa o méodo Qick é,34. O valo do númeo de Nssel médio empoal enconado po Comini (997) foi,34, caaceizando m desvio de 3,84 % paa o méodo pwind e 0 % paa o méodo Qick.

91 N 68 Figa 5.0 Númeo de Nssel médio na spefície speio em fnção do empo.,6 N_pwind,5 N_Qick,4,34,3,5,, (s) Figa 5. Númeo de Nssel médio na spefície speio vess empo, mosado em dealhe.

92 alidação 3: Escoameno bidimensional lamina em canais com dega na enada A eceia validação é ealizada fazendo a compaação com eslados epeimenais apesenados po Lee e Maeesc (998) e Amaly e al. (983); e com eslados nméicos enconados po Lee e Maeesc (998), Galing (990), Sohn (988) e Gimaães (007). O escoameno do a, na pesene análise de compaação, é bidimensional, lamina, isoémico, incompessível e não-pemanene. O domínio é m canal hoizonal com m dega na enada, com as condições iniciais e de conono semelhane a validação, eceo qe nesse caso o escoameno é isoémico. Considea-se na enada do canal m pefil paabólico de velocidades dado po 4y(0.5 y) e v = 0, sendo a velocidade média na enada do canal. O domínio compacional jnamene com as condições de conono esão mosados na figa 5.. A figa 5.3 apesena a malha esada ilizada paa gea os eslados paa a validação 3. São ilizados 6000 volmes qadilaeais. Figa 5. Geomeia e condições de conono da validação. Figa 5.3 isão dealhada (ampliada) de ma peqena pae na enada do canal.

93 As figas 5.4 e 5.5 mosam as disâncias Xs, Xs e X medidas paa compaação pelos méodos Qick e pwind, especivamene. Somene pae do canal é mosada em ambas as figas. 70 Xs Xs X Figa 5.4 Disâncias compaadas com eslados nméicos e epeimenais (méodo Qick). Xs Xs X Figa 5.5 Disâncias compaadas com eslados nméicos e epeimenais (méodo pwind). A abela 5. mosa os eslados calclados nesse abalho sando os méodos pwind e Qick, compaados com abalhos nméicos e epeimenais enconados na lieaa. Nesa abela são mosados os compimenos de sepaação (Xs), os compimenos de ecolameno na paede speio (Xs) e os compimenos de ecolameno na paede infeio (X), bem como o compimeno de eciclação speio (Xs- Xs). Sendo qe Hd= e H=0,5 são as alas do canal e da abea na enada, especivamene. Como pode se viso na abela 5., O méodo pwind pevê os compimenos (Xs) e (Xs- Xs) bem abaio dos oos valoes nméicos e epeimenais. Eneano, o méodo Qick, no geal, apesena boa concodância dos pesenes eslados compaados àqeles da lieaa.

94 Tabela 5. Compaação dos eslados do pesene abalho com valoes nméicos e epeimenais paa escoamenos em canais com m dega na enada. Reslados epeimenais Lee and Maeesc (998) Amaly e al. (983) Pesene abalho (Qick) Pesene abalho (pwind) Reslado nméicos Gimaães (007) Galing (990) Lee and Maeesc (998) 7 Sohn (988) 6,45 7,0 5,9 4,3 5,75 6, 6,0 5,8 s 5,5 5,7 4, 3,9 4,95 4,85 4,8 - s 0,5 0,0 9,6 6,3 9,9 0,48 0,3 - s - s 5, 4,3 5,5,4 4,95 5,63 5,5 4,63 Re Hd/H, alidação 4: Escoameno bleno em bo ilizando o modelo de blência κ-ε. Nese iem em-se o popósio de valida o escoameno bleno, com simeia aial, isoémico, em coodenadas cilíndicas paa modelo de blência κ-ε jnamene com o méodo Qick. Na figa 5.6 é mosado o esqema qe consise nm do de seção cicla de aio R e compimeno L = 65R. O flido ena com velocidade nifome na dieção e com velocidade nla na dieção. Nas paedes do bo a velocidade do flido é nla. Paede do bo R L Figa. 5.6 Esqema do do paa o caso bidimensional em coodenadas cilíndicas.

95 A figa 5.7 mosa a geomeia da malha ilizada no cálclo compacional, a qal, devido à simeia epesena a meade speio da geomeia do do. Nesa figa são epesenadas em linha acejadas as foneias dos volmes e pelas linhas cheias os cenos onde esão os nós. Nos cenos dos volmes esão as gandezas escalaes como pessão, empeaa, enegia cinéica de blência e a dissipação de enegia cinéica. Nas faces do volme esão velocidades. 7 M M 4 R 3 R = = L L L C L Figa 5.7 Repesenação dos volmes paa meade speio da geomeia do do. A figa 5.8 mosa a componene média de velocidade aial, compaados com os dados epeimenais de Nikadse (933); paa escoameno compleamene desenvolvido bo com Re= Obseva-se qe o pefil obido pelo modelo de blência κ-ε moso boa concodância com os dados de Nikadse.

96 73,4,,0 / médio 0,8 0,6 0,4 0, Pesene Tabalho Nikadse 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 / R Figa 5.8 Componene Média de elocidade Aial vess /R, paa /D = 80 e Re= alidação 5: Escoameno bleno nm canal com dega Paa valida o modelo de blência κ-ε foi esdado o caso do escoameno bleno de m canal com m dega. A figa 5.0 apesena a geomeia esdada e a figa 5. apesena dealhes da malha ilizada, a qal possi 80 volmes na dieção e 45 volmes na dieção y, com m oal de 800 volmes de conole. Nessa qina validação foam consideados os segines paâmeos: númeo de Reynolds Re =,30 5 e númeo de Pandl P = 0,7. ilizo-se m pefil de velocidade bleno desenvolvido na enada do canal.

97 74 Figa 5.9 Geomeia do canal com dega. Figa 5.0 Dealhe da malha na enada do canal. Foi idenificado o pono de ecolameno sobe o eio após o dega. Compao-se o compimeno de ecolameno (medido a pai da oigem dos eios) com os eslados epeimenais de Kim (978), e os eslados nméicos de Bio e al. ( 000) e Oliveia (005). A abela 5.3 apesena a compaação dos eslados do compimeno de ecolameno obidos nese abalho e aqeles obidos nméica e epeimenalmene po oos aoes.