MODELO DE OTIMIZAÇÃO A USINAS INDIVIDUALIZADAS PARA O PLANEJAMENTO ENERGÉTICO DA OPERAÇÃO VIA MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES

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1 Pesquisa Opeacional e o Desenvolvimeno Susenável 27 a 3/9/5, Gamado, RS MODELO DE OTIMIZAÇÃO A USINAS INDIVIDUALIZADAS PARA O PLANEJAMENTO ENERGÉTICO DA OPERAÇÃO VIA MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES Aníbal Tavaes de Azevedo FEEC - UNICAMP anibal@densis.fee.unicamp.b Auelio Ribeio Leie de Oliveia IMECC - UNICAMP auelio@ime.unicamp.b Secundino Soaes Filho FEEC - UNICAMP dino@densis.fee.unicamp.b Resumo No Basil, a geação de enegia eléica é pedominanemene de oigem hidaúlica. Paa minimiza os cusos de complemenação emeléica, consideando um hoizone de planejameno de váios anos à fene, é consideado o poblema de deemina quano cada usina hideléica deve gea em base mensal. A esolução do poblema enegéico uiliza o conole pediivo po meio de um modelo de oimização deeminísico, a usinas individualizadas, alimenado po um ouo modelo esocásico de pevisão de vazões. Difeenes modelos maemáicos, paa a oimização deeminísica, são esolvidos via méodos de ponos ineioes. Alguns casos são esados e implemenados em MATLAB, demonsando eficiência e obusez dos méodos. Palavas chave: Pogamação Não-Linea, Planejameno da Opeação Enegéica, Méodos de Ponos Ineioes. Absac In Bazil, hydoelecic plans geneae a lage amoun of elecic enegy. To minimize he hemal complemenaion fo vaious yeas planning hoizon is necessay o use a model decision ha conside how much wae will be used fo enegy geneaion fo each hydoplan in a monh base. To solve he enegeic poblem we use pedicive conol ha combines deeminisic opimizaion using individual hydoplan epesenaion and foecas model fo afluency peview. Mahemaical models fo deeminisic opimizaion ae developed and solved by ineio-poin mehods. Some cases ae esed in MATLAB, showing he efficiency and obusness of ineio-poin mehods. Keywods: Non-linea Pogamming, Enegeic Planning Opeaion, Ineio-poin mehods.

2 Pesquisa Opeacional e o Desenvolvimeno Susenável 27 a 3/9/5, Gamado, RS 1. Inodução No Basil, em 24, 86,6% da enegia eléica povinha de usinas hideléicas. Como algumas dispõem de esevaóios e gande capacidade de egulaização, é usualmene adoado no seo eléico um hoizone de planejameno de cinco anos, com disceização mensal, deeminando a geação de cada usina. Poém, a convesão da água ubinada nas usinas em enegia eléica, assim como as funções de cuso de complemenação emeléica são associadas a funções não lineaes. Além disso, as afluências são aleaóias. Isso esula em um poblema de oimização de gande poe, esocásico e não linea. Ese abalho segue a esolução do poblema de planejameno enegéico po meio do conole pediivo, combinando um modelo de oimização deeminísico a usinas individualizadas alimenado po um modelo esocásico de pevisão de vazões. O esudo e implemenação de um méodo de ponos ineioes paa a esolução do poblema deeminísico paa divesos esudos de caso seá abodado, compaando seu desempenho com um comando do MATLAB, o Fmincon. Na Seção 2 é apesenado um pimeio modelo maemáico deeminísico e o coespondene méodo de ponos ineioes paa esolve o mesmo. Na Seção 3, são esudadas modificações do modelo esudado na Seção 2, possibiliando a consução de méodos de ponos ineioes mais obusos e eficienes. Na Seção 4 são apesenados os esulados obidos e uma discussão aceca dos mesmos. Po úlimo, a Seção 5 fonece as conclusões e pespecivas de abalhos fuuos. 2. Modelo Maemáico Paa esolve o poblema enegéico, uma modelagem de fluos em edes com esições lineaes e função objeivo não-linea foi uilizada. Paa ano, pimeiamene os elemenos consiuines de uma usina hideléica são idenificados na Figua 1. Figua 1: Elemenos e vaiáveis de uma usina hideléica. As vaiáveis da Figua 1 esão elacionadas po meio das equações dadas po 1): u q v med 1 2 1) med hli φ ) θ u ) pc p k h q i l onde: u i, é a defluência m 3 /s), q i, é a ubinagem m 3 /s), v i, é o veimeno m 3 /s), i, é o volume do esevaóio hm 3 ), φ é o polinômio de coa de monane, θ é o polinômio de coa de jusane, pc i, é a peda de caga hidaúlica m), e k i é a poduibilidade específica MW/m 3 /s). 196

3 Pesquisa Opeacional e o Desenvolvimeno Susenável 27 a 3/9/5, Gamado, RS É necessáio, ambém, epessa a equação de balanço enegéico 2) paa cada usina i e peíodo : Δ 1 yu, u k, 2) 6 k Ω 1 i onde: Ω i é o conjuno de usinas a monane à usina Δ é o númeo de segundos do inevalo e 1 6 é a quanidade m 3 em um hm 3. Além disso, os limies de capacidade, dados po 3), devem se espeiados: u u onde: [, ] e [ u, u ] são os limies mínimos e máimos do amazenameno e da defluência da usina i no peíodo. u A função objeivo do poblema, dada po 4), visa minimiza a complemenação emeléica: T I Min Ψ D p i, )) 4) 1 i 1 onde: D é o mecado de enegia no peíodo, ψ.) é a cuva de cuso oal de podução do paque emeléico, nese abalho epesenada po uma função quadáica. O poblema descio po 1) aé 4) é um poblema de fluos em edes não-linea com acos capaciados, cuja fomulação maicial simplificada é dada po 5): 3) Min f ) S. a. : A b 5) min ma Uilizando que claeza do eo: ~ min e eliminando os ils, sem peda de genealidade, e paa maio Min f ) S. a. : A b s ma 6) A função lagangeana com baeia logaímica associada ao poblema 6) é dada po: m m ma l f ) y A b) w~ s ) z ) μ log s i ) log i ) 7) i 1 i 1 As condições de oimalidade de pimeia odem são dadas po: 1961

4 27 a 3/9/5, Gamado, RS Pesquisa Opeacional e o Desenvolvimeno Susenável 1962 ~ ~ ) 1 1 ma e μt z e μs w s b A z w y A f s z w y l l l l l l 8) onde: S e T são maizes diagonais com elemenos posiivos. A fomulação 8) pode se simplificada paa a fomulação 9), obsevando que e que w w ~ : ) ma XZ SW s b A z w y A f 9) Paa simplifica a noação, define-se que ) ) 2 f. Aplicando o méodo de Newon às condições de oimalidade 9): c b a p d ds dz dw dy d X Z W S I I A I I A ) 1) onde: XZe e SWe e s A b z w y A f c b a p d μ μ ma ) Reescevendo o sisema linea: c b a p d Zd Xdz Wds Sdw ds d Ad d dz dw A dy ) 11) Consideando que Z, X, W e S são maizes diagonais com elemenos posiivos, e, poano invesíveis, o sisema 11) é esolvido obendo cada uma das dieções confome a Figua 2:

5 Pesquisa Opeacional e o Desenvolvimeno Susenável 27 a 3/9/5, Gamado, RS Figua 2: Méodo de Ponos Ineioes paa o POLP. Cabe desaca que: O méodo da Figua 2 pode se facilmene modificado paa pemii a implemenação do MPI pedio-coeo [6], que seá o MPI adoado em odos os eses dese abalho. A invesão de AD 1 A envolve a maio pae do esfoço compuacional do méodo. Nese senido seá paiculamene impoane eploa a esuua espasa da essiana da função objeivo ). Dado que A é mn, m < n, endo m linhas lineamene independenes e ) é a maiz essiana nn associada a função objeivo f), definida posiiva, enão, AD 1 A é siméica e definida posiiva e, na páica, é uilizada a decomposição de Cholesky paa esolve o sisema linea [1]. Caso ) não seja uma maiz definida posiiva, enão, seá uilizado o pocedimeno, descio em [9], em que um valo λ é somado à diagonal pincipal da maiz essiana aé que a mesma seja ~ definida posiiva, ou seja, seá usada a hessiana peubada ) ) λi. 3. Paiculaidades do Poblema O modelo maemáico apesenado na Seção aneio é o pono de paida paa a consução de ouos modelos maemáicos e consideações aceca da esolução a se empegada no poblema enegéico. A segui são abodadas e discuidas algumas paiculaidades do poblema que ião demanda modificações no esquema básico de esolução do poblema, descio na Seção aneio. 1963

6 Pesquisa Opeacional e o Desenvolvimeno Susenável 27 a 3/9/5, Gamado, RS 1) Defluência X Tubinagem e Veimeno: Na Seção aneio, a vaiável, do sisema 5), engloba dois conjunos de vaiáveis: o volume i,, e a defluência u i,. Poém, ao ealiza ese ipo de consideação, a ubinagem q i, passa a se uma vaiável dependene da defluência u, de acodo com a seguine epessão: i ma q Ma{ u, q } 12) A epessão 12) é paiculamene poblemáica se fo obsevado que a função objeivo seá desconinua na sua deivada pimeia, geando um pono de quina. Iso seviu de moivação paa a elaboação dos seguines modelos maemáicos e méodos de esolução: Modelo,u): Considea como vaiáveis de decisão o volume i,, e a defluência u i,. O méodo de ponos ineioes não ofeece nenhum aameno especial paa a quina, usando a epessão 12). Modelo,u) modificado ou,u)m: Considea como vaiáveis de decisão o volume u, defluência i. Paa calcula o valo da deivada pimeia da função objeivo é uilizada a epessão q u, no luga da epessão 12). A moivação paa esa subsiuição é a de se veifica o quano a solução obida seá difeene paa uma solução cujo modelo maemáico considea 12). Modelo,q,v): Considea como vaiáveis de decisão o volume i,, a ubinagem q i, e o veimeno v i,. A pincipal vanagem dese modelo é elimina o poblema ofeecido pela epessão 12) ao considea a defluência u i, po meio da ubinagem q i, e o veimeno v i,. A desvanagem, poém, é que iso ocasiona um aumeno de 5% no númeo de vaiáveis, aumenando o esfoço compuacional po ieação do méodo de ponos ineioes. Modelo,q,v) modificado ou,q,v)m: Ese modelo só difee do modelo,q,v) no senido que a vaiável q, não pode ecede seu valo q. Poano, paa uma dada ieação, é efeuada a seguine aibuição: i ma ma Se q q, q q q. ma ma Se q > q, q q i,, e a 2) Eploando a esuua espasa: Consideando um modelo em que as vaiáveis de decisão são o volume u i,, podem se consideados ês possíveis esuuas espasas: i,, e a defluência Sem considea nenhuma esuua espasa paicula: fomulação dada po 5). Consideando a paição da maiz A em submaizes associadas às vaiáveis i, e u i, : Min f, u) ~ S. a. : A Su b u min min u u ma ma 13) 1964

7 Pesquisa Opeacional e o Desenvolvimeno Susenável 27 a 3/9/5, Gamado, RS Consideando a paição, denominada A i e S i, das submaizes A ~ e S: B1 L M L B B L 2 2 ~ M L A B L 3 e S M L. M M O M M M M M O M L B n B n L M onde: B é a maiz idenidade dividida po um fao elaivo ao númeo de segundos eisenes paa i cada inevalo de empo de um mês i selecionado e M é a maiz de incidência nó-aco paa as vaiáveis de defluência u,. i Paa o caso em que as vaiáveis são i,, q i, e v i,, a consideação de esuua espasa é análoga. Assim, a fomulação 5), com q v, po eemplo, seá dada po: u Min f, u) ~ S. a. : A Sq Sv b min ma 13) min q ma q q v 3) Maiz essiana: Paa o caso em que as vaiáveis de decisão são i, e u i, a maiz essiana possui a seguine esuua: u 14) u uu onde:, u e uu são maizes diagonais associadas aos valoes da deivada segunda da função objeivo. Uma opção, esudada nese abalho, é considea apenas as maizes e uu associadas à diagonal pincipal de e veifica o desempenho dos méodos de ponos ineioes ao uiliza esa apoimação da essiana. Paa as fomulações em que as vaiáveis de decisão são i,, q i, e v i,, a maiz seá dada po: q q qq qv 15) qv vv 4) Desenvolvimeno dos méodos de ponos ineioes: O desenvolvimeno dos méodos de ponos ineioes, apesenado na Seção 2, que seá denominado desenvolvimeno adicional, possui uma desvanagem. Caso a esuua espasa a se consideada seja modificada, enão, odo o pocesso de consução do méodo de ponos ineioes eá que se efeio, do sisema 5) aé as equações 11). Uma alenaiva é uiliza a abodagem poposa po Gondzio e Sakissian, descia em [4]. 1965

8 Pesquisa Opeacional e o Desenvolvimeno Susenável 27 a 3/9/5, Gamado, RS A meodologia de Gondzio e Sakissian consise no desenvolvimeno de um méodo de ponos ineioes paa uma maiz de esições A genéica, como o modelo genéico dado na Seção 2. O segundo passo é deemina os blocos maiciais que compõem a maiz A, definindo as opeações algébicas associadas a cada bloco. Cada bloco maicial deve aa de maneia eficiene os seguines cálculos maiciais: 1. Poduo de maiz com veo: Nz, N z paa A, D e Φ. 2. Dados A e D, calcula Φ. 3. Calcula os faoes ΦLL. 4. Resolve os sisemas Φb, Lzg e L zg. Eses cálculos são dealhadamene discuidos em [1, 4]. A pincipal vanagem dese enfoque é a euilização de código implemenado paa os blocos maiciais, pemiindo esolve poblemas com difeenes ipos de esuua espasa com um pequeno empo de desenvolvimeno de sofwae. 5) Pono Inicial: Devido à caaceísica não-linea da função objeivo é de fundamenal impoância o pono inicial a se uilizado pelo méodo de ponos ineioes. Nese senido foam esados quao ipos de inicialização: uma inicialização genéica [1], uma inicialização específica paa o poblema enegéico poposa po [5], uma modificação da inicialização de [5] que pivilegia a ubinagem média da vazão afluene e uma segunda modificação de [5] que pocua aibui o valo máimo da ubinagem paa odas as usinas em odos os peíodos. 6) Paâmeos do MPI: O paâmeo de cenagem é fiado em δ 1/n, o passo máimo é τ. 995, o númeo máimo de ieações é de 1, e o GAP γ é calculado como descio em [6, 1]. A segui um esumo das opções de dedução de méodos de ponos ineioes eisenes: Fomulações:,u),,u) modificado,,q,v) e,q,v) modificado. Esuua espasa: A, A e S, A i e S i. Maiz essiana: idiagonal complea) ou diagonal. Méodo de desenvolvimeno do méodo de ponos ineioes: adicional ou po blocos. Inicializações: quao ipos, uma genéica e ês específicas do poblema. Com iso é possível dize que eisem 196 possíveis vesões de MPI, sendo que foam implemenadas 96 vesões. Paa a esuua espasa A foam implemenadas odas as opções descias aneiomene, não sendo feio o mesmo paa as demais esuuas. Iso foi feio, pois os esudos de desempenho paa a esuua A sevião paa pioiza a implemenação das demais opções, paa as esuuas espasas A e S, e A i e S i. 4. Resulados e Conclusões O pimeio ese compuacional é veifica a eficiência e a qualidade das soluções obidas em função da fomulação escolhida. Paa ano, foi escolhida a usina de Funas, consideando as condições I): I.1) Volume inicial e final iguais a 1% do volume úil. I.2) Disceização mensal das decisões. I.3) Maiz essiana diagonal. I.4) Desenvolvimeno adicional do MPI. I.5) Inicialização genéica. Paa o conjuno de condições I) foam consideados ês peíodos hidológicos: Caso 1: peíodo seco ). Caso 2: peíodo úmido ). Caso 3: odo o hisóico de vazões disponível ). 1966

9 Pesquisa Opeacional e o Desenvolvimeno Susenável 27 a 3/9/5, Gamado, RS Os esulados de empo compuacional e o valo da função objeivo paa a solução final obida uilizando o méodo de ponos ineioes e o comando de oimização não-linea Fmincon [8] esão nas Tabelas 1 e 2, especivamene. O compuado uilizado em um pocessado Penium, 15 Mz, 256 M de Ram e odos os pogamas foam elaboados e eecuados em MATLAB 6.1 no ambiene Windows 2. Caso 1 Caso 2 Caso 3 MPI,u) ,u)m ,q,v) ,q,v)m Fmincon,u) *,u)m *,q,v) *,q,v)m * * Ulapassou o limie de empo máimo de 4 hoas ou 144 segundos. Tabela 1: Tempos compuacionais em segundos paa o MPI e o Fmincon. Caso 1 Caso 2 Caso 3 MPI,u) ,u)m ,q,v) ,q,v)m Fmincon,u) *,u)m *,q,v) *,q,v)m * * Ulapassou o limie de empo máimo de 4 hoas ou 144 segundos. Tabela 2: Valoes da solução final obida pelo MPI e pelo Fmincon. Um maio valo da função objeivo foi obido paa os modelos que uilizam defluência ao invés de ubinagem e veimeno no Caso 2 e no Caso 3. Paa esclaece esa difeença, foi elaboado o Caso 4 em que são consideadas as condições descias aneiomene, mas analisando o peíodo de 1982 aé Os esulados, obidos apenas po meio de méodo de ponos ineioes, podem se obsevados na Tabela 3 e na Figua 3.,u),u)m,q,v),q,v)m Tempos) Valo da F.o Tabela 3: Valoes da função objeivo e empo compuacional do MPI paa o Caso

10 Pesquisa Opeacional e o Desenvolvimeno Susenável 27 a 3/9/5, Gamado, RS m 3 /s m 3 /s,u meses,u)m meses m 3 /s m 3 /s,q,v) meses,q,v)m Figua 3: Valo da defluência, em m 3 /s e sob a legenda de efeiva, poposa pela solução de cada fomulação paa cada um dos doze meses do peíodo de maio de 1982 aé abil de A pai da Figua 3 é possível obseva que soluções em que a afluência é al que a solução óima consise em deflui acima da capacidade máima de ubinagem, ou seja, em que ocoe veimeno, as fomulações que uilizam a defluência como vaiável podem apesena solução final maio do que as fomulações que uilizam ubinagem e veimeno. Ouo ese elevane é veifica o ganho compuacional que pode eisi caso quando apenas a diagonal pincipal da essiana é consideada nos cálculos de oimização do MPI. Paa ano, o Caso 4 foi uilizado e os esulados obidos paa o MPI com essiana diagonal já foam descios na Tabela 3. A Tabela 4 fonece os esulados paa essiana Tidiagonal.,u),u)m,q,v),q,v)m Tempos) Não Convegiu Valo da F.o. Não Convegiu meses Tabela 4: Valoes da função objeivo e empo compuacional do MPI paa o Caso 4 consideando essiana Tidiagonal. Pela Tabela 4 é possível veifica que a qualidade da solução obida uilizando a essiana Tidiagonal não difee da qualidade da solução obida pela essiana Diagonal. Paa veifica se o cuso compuacional de uilização da essiana Tidiagonal, no caso de uso do MPI, é incemenado confome a dimensão do poblema é aumenada, foam uilizados os Casos 1, 2 e 3. Os esulados das Tabelas 5 e 6 são paa essiana Tidiagonal e devem se compaados com os esulados das Tabelas 1 e 2 paa o MPI. 1968

11 Pesquisa Opeacional e o Desenvolvimeno Susenável 27 a 3/9/5, Gamado, RS Caso 1 Caso 2 Caso 3 MPI,u).28 Não Convegiu Não Convegiu,u)m ,q,v) ,q,v)m Tabela 5: Tempos compuacionais em segundos paa o MPI usando essiana Tidiagonal. Caso 1 Caso 2 Caso 3 MPI,u) Não Convegiu Não Convegiu,u)m ,q,v) ,q,v)m Tabela 6: Valoes da solução final obida pelo MPI usando essiana Tidiagonal. Compaando as Tabelas 1 e 2 com as Tabelas 5 e 6 é possível veifica que o MPI, uilizando essiana Tidiagonal, obeve uma melhoia na função objeivo: no Caso 1 uma melhoia de.1 %, no Caso 2 uma melhoia de.1% e no Caso 3 uma melhoia de.1 %. Esa melhoia, poém, acaeou um acéscimo no empo compuacional: aé 5% no Caso 1, aé 25% no Caso 2 e aé 1772% no Caso 3. Um úlimo ese com o MPI é ealizado paa casos com mais de uma usina, consideando: O conjuno de condições I). Paa os modelos com ubinagem e veimeno o pono inicial consideado foi o poposo po [5]. A afluência consideada é a do peíodo seco ) Caso 5, e a do peíodo úmido ) Caso 6. São consideadas see usinas: Embocação, Iumbiaa, São Simão, Funas, Maimbondo, Água Vemelha e Ilha Soleia, cuja poência insalada conjuna coesponde à MW, ou seja, 5.33% da capacidade insalada das usinas hideléicas do SIN de acodo com o ONS. Os esulados do MPI paa esas consideações esão nas Tabelas 7 e 8. Caso 5 Caso 6 MPI,u) Não Convegiu Não Convegiu,u)m 4.94 Não Convegiu,q,v) ,q,v)m Tabela 7: Tempos compuacionais em segundos paa o MPI. Caso 5 Caso 6 MPI,u) Não Convegiu Não Convegiu,u)m Não Convegiu,q,v) ,q,v)m Tabela 8: Valoes da solução final obida pelo MPI. A Tabela 9 esume as dimensões dos poblemas elacionados com cada caso esolvido: Caso Númeo de vaiáveis Númeo de esições,u) e,u)m,q,v) e,q,v)m,u) e,u)m,q,v) e,q,v)m Tabela 9: Caaceísicas dos poblemas esolvidos em cada caso. 1969

12 Pesquisa Opeacional e o Desenvolvimeno Susenável 27 a 3/9/5, Gamado, RS 5. Tabalhos Fuuos Paa abalhos fuuos é ineessane ealiza os seguines eses compuacionais: Veifica o desempenho do MPI paa difeenes valoes dos paâmeos δ e τ, bem como implemena uma busca unidimensional paa o cálculo do passo máimo. Paa o Caso 6, a melho inicialização paa os modelos com vaiáveis, q e v foi a poposa po [5], sendo que a inicialização genéica de [1] não apesenou bom desempenho. Poano, paa poblemas com maio númeo de usinas deveão se fomulados novos ipos de inicialização. Implemena as demais opções falanes de MPIs, implemenando odas as 196 opções possíveis de MPIs e esando paa casos com maio númeo maio de usinas. A inicialização possui gande peso no númeo de ieações e aé mesmo na convegência ou não do méodo de ponos ineioes. A pesquisa po mais opções de inicialização é uma escolha impoane. Agadecimenos Ese abalho conou com o supoe financeio da Fundação de Ampao à Pesquisa do Esado de São Paulo FAPESP), do Conselho Nacional de Desenvolvimeno Cienífico e Tecnológico CNPq) e da Coodenação de Apefeiçoameno de Pessoal de Nível Supeio CAPES). Refeências Bibliogáficas [1] Azevedo, A.T., Oliveia, A.R.L., Soaes, S., Uma alenaiva na obenção de méodos de ponos ineioes oienados a objeo eploando esuuas espasas paa poblemas de oimização, XXV Ibeian Lain Ameican Congess on Compuacional Mehods in Engineeing, 24. [2] Cavalho, M, e Soaes, S., An efficien hydoemal scheduling algoihm, IEEE Tansacions on Powe Sysems, vol. 2, n. 3, pp , [3] Cicogna, M., Modelo de planejameno da opeação enegéica de sisemas hidoémicos a usinas individualizadas oienado po objeos, Tese de Mesado da FEEC UNICAMP Campinas, [4] Gondzio, J. e Sakissian, R., Paallel ineio poin solve fo sucued linea pogams. Mahemaical Pogamming, 963): , 23. [5] Medina, J., Quinana, V.., Conejo, A.J., A clipping-off ineio-poin echnique fo medium-em hydo-hemal coodinaion, IEEE Tansacion on Powe Sysems, vol. 14, no. 1, [6] Mehoa, S. On implemenaion of a pimal-dual ineio poin mehods, SIAM Jounal on Opimizaion 24): , [7] Oliveia, G., e Soaes, S., A second-ode newok flow algoihm fo hydoemal scheduling, IEEE Tansacions on Powe Sysems, vol. 1, n. 3, pp , 1995 [8] Schikowsk K., Nlqpl: A foan-subouine solving consained nonlinea pogamming poblems, Annals of Opeaions Reseach, vol. 5, pp , [9] Vandebe R. J., e Shanno, D. F., An ineio poin algoihm fo nonconve nonlinea pogamming, Technical Repo - hp:// [1] Wigh, S. J., Pimal-Dual Ineio Poin Mehods, SIAM Publicaions, SIAM, Philadelphia, PA, USA,