IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS EM MODELOS ECONÓMICOS DINÂMICOS*

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1 Aigos Ouono IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS EM MODELOS ECONÓMICOS DINÂMICOS Nikolay Iskev. INTRODUÇÃO A idenifi cação de paâmeos é um conceio que cada aluno de economia apende em economeia. O aameno usual da idenifi cação leva a pensa na idenifi cação como uma quesão écnica elevane apenas paa o abalho empíico, e considea os poblemas de idenifi cação como causados po defi ciências nos dados disponíveis, ou da meodologia esaísica uiliada paa esima os modelos. Nese aigo agumena-se que a análise de idenifi cação em um aspeo de modeliação económica impoane, e que pode se muio úil paa invesigadoes que não esão ineessados na esimação. A discussão cena-se no caso de modelos de equilíbio geal dinâmico esocásico (DSGE) que se onaam uma das pincipais feamenas de análise de macoeconomia modena. A essência do agumeno é que, quando o modelo económico fonece uma caaceiação complea do pocesso de geação de dados, a idenifi cação dos paâmeos pode se aada como uma popiedade do modelo eóico subjacene. Os paâmeos não seão idenifi cáveis ou sê-lo-ão facamene idenifi cáveis se as caaceísicas económicas que epesenam não êm, ou êm pouca, elevância empíica. Iso ano pode ocoe poque essas caaceísicas não são impoanes po si pópias, ou poque são edundanes dadas as caaceísicas epesenadas no modelo. Esas quesões são paiculamene elevanes paa os modelos DSGE, que são po vees ciicados po seem demasiado dealhados e, possivelmene, sobepaameeiados (Chai, Kehoe e McGaan, 9). Taa a idenifi cação de paâmeos como uma popiedade do modelo signifi ca que nós podemos esudá-lo sem uma efeência a um paicula conjuno de dados. Tal abodagem a pioi paa a idenifi cação nem sempe é possível em economeia já que nomalmene a elação ene o modelo económico e os dados obsevados é conhecida apenas pacialmene. Po exemplo, o gau de coelação ene os insumenos e as vaiáveis endógenas do modelo linea de vaiáveis insumenais simples depende de paâmeos que, na ausência de um modelo económico oalmene aiculado, não êm inepeação esuual. Em conapaida, quando esamos num cenáio de equilíbio geal, como no caso dos modelos DSGE, odos os paâmeos de foma eduida são funções dos paâmeos esuuais. Nese cenáio, podemos esuda de que foma as popiedades dos insumenos são deeminadas ou condicionadas pelas do modelo subjacene. No que segue uiliam-se ês exemplos, puamene esaísicos e dois modelos DSGE simples, O auo agadece os comenáios de João Sousa. As opiniões expessas no aigo são da esponsabilidade do auo, não coincidindo necessaiamene com as do Banco de Pougal ou do Euosisema. Evenuais eos e omissões são da exclusiva esponsabilidade do auo. Banco de Pougal, Depaameno de Esudos Económicos. Boleim Económico Banco de Pougal 85

2 Ouono Aigos paa ilusa a análise a pioi de idenifi cação e o ipo de pegunas que podem se espondidas com ese méodo. A apesenação baseia-se em divesos esudos: em Iskev (a) é explicado como deemina se os paâmeos de um modelo DSGE são idenifi cados; Iskev (a) mosa como avalia a inensidade da idenifi cação dos paâmeos idenifi cados; Iskev (b) discue o papel das vaiáveis obseváveis na esimação de modelos DSGE.. UM EXEMPLO SIMPLES Nesa secção, uilia-se um modelo simples paa discui o poblema da idenifi cação e explica a pincipal ideia po deás da abodagem da análise de idenifi cação a pioi. Considee o seguine pocesso auo egessivo de média móvel (ARMA (,)): x = x ε ε, <, <, ε (, ) + N (.) O painel (a) do Gáfi co mosa obsevações geadas po (.) com = =.4, =. O painel (b) mosa as ealiações do emo ε, =,..., T usado paa gea as obsevações paa x. As duas séies x e ε são idênicas. Gáfico EQUIVALÊNCIA OBSERVACIONAL COM UM PROCESSO ARMA (,) (a) x =.4x + ɛ.4ɛ 3 3 (b) x = ɛ Fone: Cálculos do auo. Ese exemplo ilusa o que é chamado em economeia de equivalência obsevacional: há dois valoes do veo de paâmeos θ =[,, ] ', θ = [.4,.4,] ' e θ = [,,] ', que podem podui as mesmas obsevações paa x. De faco, no modelo ARMA(,) há um númeo infi nio de combinações de ais valoes. Desde que se manenha fi xo, e fo igual a, as ealiações de x são indisinguíveis das de ε. 86 Banco de Pougal Boleim Económico

3 Aigos Ouono A aão paa essa equivalência obsevacional é fácil de compeende se consideamos a função de auo covaiância (ACF), que paa um pocesso ARMA (,) é dada po: ( + ) =( x )= ( )( ) =( xx )= (.) xx h h h h =( )=, A pai da defi nição é clao que = é equivalene a =, =, k k. Poano, quando os valoes do coefi ciene do emo auo egessivo são iguais aos do emo da média móvel, a função auo coelação do pocesso ARMA (,) x é idênica à do pocesso de uído banco ε. Iso implica que não podemos disingui os dados geados a pai de um modelo ARMA (,) de pocesso com um valo abiáio paa = a pai dos dados geados a pai de um ARMA(,) = =. Agoa, considee o Gáfi co, que mosa duas séies de obsevações geadas po (.) com θ = [,,] ' (linha sólida) e θ = [.7,.8,] ' (linha acejada), uiliando as mesmas ealiações de ε. Claamene, as duas séies são muio semelhanes, emboa não idênicas. Nese caso emos um exemplo de quase equivalência obsevacional: os dados geados a pai do modelo ARMA (,) com são difíceis de disingui dos dados geados pelo modelo com valoes abiáios de = e o mesmo valo de. Como podemos deea a fala de idenifi cação (equivalência obsevacional) de uma siuação de faca idenifi cação (quase equivalência obsevacional)? Um podeoso esulado, devido a Rohenbeg Gáfico QUASE EQUIVALÊNCIA OBSERVACIONAL COM UM PROCESSO ARMA (,) 3 x = x + ɛ ɛ = = =.7, = Fone: Cálculos do auo. Boleim Económico Banco de Pougal 87

4 Ouono Aigos (97), pevê uma condição necessáia geal e sufi ciene paa a idenifi cação, a sabe, que a mai infomação não é singula. Como Rohenbeg (97) saliena, a mai infomação é uma medida da quanidade de infomação sobe os paâmeos desconhecidos disponível na amosa. Um paâmeo não é idenifi cado quando não há nenhuma infomação sobe o mesmo na amosa, ou se a infomação exisene é insufi ciene paa disingui esse paâmeo de ouos paâmeos do modelo. Ambos os casos esulam numa mai infomação singula. No caso do modelo ARMA (,), a mai infomação é dada po: I (, )= (.3) De (.4) podemos calcula o deeminane de I (, ) ( ) de ( I (, )) = (.4) ( ) ( )( ) Uma ve que a não singulaidade é equivalene ao deeminane da mai se difeene de eo, a pai de (.4) é imediao que e é necessáio e sufi ciene paa a idenifi cação do modelo ARMA (,). A mai infomação ambém é úil paa deea poblemas de idenifi cação faca. Um paâmeo é idenifi cado, mas quando a infomação na amosa é muio limiada, pode se difícil disingui esse paâmeo de ouos paâmeos. Nese caso, a mai de infomação podeá se de caaceísica plena, mas esa muio peo de se singula. O gau de idenifi cação pode se medido uiliando o esulado que a mai de covaiância assinóica de um esimado efi ciene é igual ao inveso da mai de infomação dividido pela dimensão da amosa. Assim, as vaiâncias assinóicas dos esimadoes dos paâmeos ARMA e são: ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) va( ) =, va ( ) = ˆ T( ) T( ) (.5) As fómulas em (.5) evelam que as vaiâncias dos esimadoes são gandes quando assinoicamene. Iso sugee que as esimaivas dos paâmeos auo egessivos e das médias móveis seão muio impecisos quando os seus vedadeios valoes são semelhanes. Poano, e são facamene idenifi cados. Noe-se que ambos os desvios em (.5) dependem dos valoes de e. Assim, paa uma deeminada dimensão da amosa T, a inensidade da idenifi cação de cada paâmeo depende dos vedadeios valoes de ambos os paâmeos. Iso pode se viso claamene no Gáfi co 3, que mosa como as vaiâncias assinóicas vaiam em difeenes egiões no espaço de paâmeos. 88 Banco de Pougal Boleim Económico

5 Aigos Ouono Gáfico 3 VARIÂNCIAS ASSINTÓTICAS DOS PARÂMETROS DE UM PROCESSO ARMA (,) Fone: Cálculos do auo. Paa ganha alguma inuição sobe a elação ene os valoes dos paâmeos e a inensidade da idenifi cação, considee a seguine decomposição da mai de infomação (.4) ( )( ) I(, )= ( )( ) (.6) Noe-se que o pimeio e o úlimo emo do lado dieio são os mesmos da mai diagonal com elemenos iguais à ai quadada dos elemenos da diagonal de I (, ).Esa mai dá-nos uma indicação elaivamene à infomação sobe cada paâmeo conida na amosa, assumindo que o ouo paâmeo é conhecido. Po exemplo, ( ) /T é a vaiância assinóica de um esimado efi ciene de se fo conhecido. Poano, esaá ano mais peo de, quano mais infomação houve aceca de, paa um dado valo de. Da mesma foma, esaá ano mais póximo de quano mais infomação houve sobe, paa um dado valo de. Em seguida, considee-se a mai do meio. É uma mai de coelação que nos di quão simila é o efeio sobe a disibuição de x de uma pequena mudança num paâmeo, digamos, a uma pequena mudança nouo paâmeo, po exemplo,. Obseve-se que I (, ) é singula somene quando a mai de coelação em (.6) é singula, o que ocoe se e somene se o elemeno foa da ( )( ) diagonal, fo igual a -. Nese caso, uma pequena mudança, digamos um aumeno de, em exaamene o mesmo efeio que uma pequena diminuição nouo paâmeo. Quando a coelação é póxima mas difeene de em valo absoluo, o efeio de alea um paâmeo é quase o mesmo à de muda o ouo. Poano, o emo do meio em (.6) epesena a peda de infomação sobe o paâmeo devido à inceea quano ao vedadeio valo de ouos paâmeos. A abodagem da mai de infomação paa a idenifi cação só é possível quando a disibuição dos Boleim Económico Banco de Pougal 89

6 Ouono Aigos dados é conhecida. E se não se pude ou não se quise assumi que ε em (.) é nomalmene disibuído? Uma abodagem aoável nese caso é basea a análise de idenifi cação na função auo coelação de x. Como já vimos, é muio simples deemina a não-idenifi cabilidade dos paâmeos auo egessivos e de média móvel = usando a função auo coelação eóica do pocesso ARMA(,) Mais fomalmene, podemos pocede da seguine maneia: seja =[,,..., ] ' k o veo das pimeias k -auo covaiâncias de x. Enão θ é idenifi cado em θ se a mai de dimensão k 3 / θ em caaceísica igual a 3, quando avaliado em θ. A inuição po ás dessa condição é muio simples: a mai em caaceísica plena (igual à dimensão de θ) se e somene se os veoes /, /, / foem lineamene independenes. Paa isso não deve se possível epodui o efeio sobe os momenos da aleação de um paâmeo aleando os ouos dois paâmeos. Iso é, cada paâmeo em um papel disino na deeminação das popiedades do modelo, que é o que exige a idenifi cação. A idenifi cação faca, po ouo lado, signifi ca que o efeio de alea um paâmeo sobe os momenos de x pode se apoximado muio de peo pela aleação do valo de ouos paâmeos. Isso esula em deivadas que são quase lineamene dependenes. Po exemplo, e colineaidade ene / e / de ceca de um (em valo absoluo) signifi ca que o efeio de uma aleação do valo de em é muio semelhane ao de muda. O Quado ilusa a abodagem de idenifi cação baseada em momenos no modelo ARMA (,). As colunas -4 mosam os valoes das deivadas das pimeias auo covaiâncias quando os vedadeios valoes dos paâmeos são = =, =. Como podemos ve, as deivadas em elação a e esão pefeiamene coelacionadas negaivamene. Assim, a caaceísica de / θ é só e e não são idenifi cados. As colunas 5-7 ambém apesenam as deivadas de avaliadas em =.7, =.8, =. O gau de colineaidade ene / e / é.98, que é elevado, mas infeio a -. Assim, e ainda são idenifi cados emboa apenas facamene. Quado DERIVADA DA ACF DE UM PROCESSO ARMA () i =, =, = =.7, =.8, = / / / / / / Fone: Cálculos do auo. 9 Banco de Pougal Boleim Económico

7 Aigos Ouono 3. MODELOS DSGE Nesa secção discue-se a idenifi cação de paâmeos em modelos DSGE. Começa-s e com uma beve descição geal do méodo e, em seguida, analisam-se dois modelos DSGE. 3.. Genealidades Um modelo DSGE é esumido po um sisema de equações não-lineaes. Aualmene, a maioia dos esudos envolvendo a simulação ou qualque esimaiva de modelos DSGE uilia apoximações (log) lineaes dos modelos oiginais. Ou seja, o modelo é expesso pela pimeia ve em emos de vaiáveis esacionáias, e, em seguida, lineaiado em ono dos valoes de esado esacionáio das vaiáveis. Uma ve lineaiados, a maioia dos modelos DSGE podem se escios da seguine foma: Γ () θ = Γ () θ E +Γ () θ +Γ () θ u (3.) + 3 é um veo m dimensional das vaiáveis esado endógenas e exógenas, os choques onde esuuais u são veoes aleaóios n -dimensionais independenes e idenicamene disibuídos com Eu =, Eu u ' = I n. Os elemenos de Γ, Γ, Γ e Γ são funções de um veo k 3 k -dimensional dos paâmeos esuuais θ, onde θ é um pono em Θ R. O espaço dos paâmeos Θ é defi nido como o conjuno de odos os valoes eoicamene admissíveis de θ. Exisem váios algoimos paa a esolução de modelos lineaes de expecaivas acionais (ve, po exemplo Blanchad e Kahn, (98), AIM, (985), Klein, (), Chisiano, (), e Sims, ()). Dependendo do valo de θ, podem exisi eo, uma ou váias soluções esáveis. Assumindo que exise uma solução única: = A( θ) + B( θ) u (3.) onde a mai (Am m ) e a mai ( Bm n ) são únicas paa cada valo de θ. O modelo em (3.) não pode se esimado dieamene dado que algumas das vaiáveis em não são obsevadas. Em ve disso, a solução do modelo é expessa sob a foma de espaço de esados, com uma equação de ansição dada po (3.), e uma equação de medição dada po: x é um veo l -dimensional das vaiáveis de esado obsevado, s é um veo l -dimensio- onde nal, e C é uma mai de dimensão l m. x = s ( θ) C ( θ) + (3.3) A função log-veosimilhança dos dados X =[ x,..., x ] T pode se calculada usando o fi lo de Kalman se os choques esuuais u foem (suposamene) um conjuno nomalmene disibuído. Nese caso, a mai de infomação espeada pode se deivada analiicamene, como discuido em Iskev, (8). Boleim Económico Banco de Pougal 9

8 Ouono Aigos 3.. Idenificação do modelo de ciclos económicos eais O pimeio modelo que eu consideo é uma vesão do modelo de cescimeno esocásico com um seo de Hansen, (985) com choques ecnológicos específi cos sobe o invesimeno. Abaixo descevem-se as pincipais caaceísicas do modelo. 3.. O modelo As pefeências epesenaivas das famílias são caaceiadas pela função de uilidade: E c n = ( ln( ) ) (3.4) onde c é o co nsumo no peíodo e n é o abalho oal fonecido pela famlia. A podução uilia capial k e abalho com a função de podução que se segue: y =exp( ) k n (3.5) α α onde é a poduividade oal dos faoes e segue um pocesso AR(): = ε, ε (, ) + (3.6) A evolução do sock de capial é dada po: k =( δ) k + exp( u ) i (3.7) + onde u é a ecnologia específi ca do invesimeno que segue um pocesso AR(): u u u = u ε, ε (, ) u u + N (3.8) A esição de ecusos da economia é: c + i = y (3.9) 3.. Análise de idenificação O modelo é log-lineaiado em ono do esado esacionáio deeminísico das vaiáveis, e o sisema é expes so em (3.). Há quao vaiáveis poencialmene obseváveis: podução, consumo, hoas abalhadas e invesimeno. Uma ve que exisem apenas dois choques esuuais, podemos usa no máximo duas vaiáveis paa esima o modelo po máxima veosimilhança; essas podem se quaisque duas vaiáveis, ou algumas combinações lineaes das mesmas. O modelo possui 8 paâmeos esuuais, que são eunidos no veo θ= [ αδ,,,,,,, ] u u. 9 Banco de Pougal Boleim Económico

9 Aigos Ouono Vamos pimeio considea o caso de uma única vaiável obsevada. Ese é um execício úil, pois di-nos qual a vaiável que é mais infomaiva paa idenifi ca os paâmeos (idenifi cáveis). Nese caso, na equação de medição (3.3) x e s são escalaes, e C é um veo linha com na posição das vaiáveis obsevadas e eos nas esanes posições. A idenifi cabilidade de θ pode se esabelecida usando a mai de infomação ou a abodagem baseada em momenos. Ambos os méodos implicam que dois dos oio paâmeos não são idenifi cados, nomeadamene e δ, que, quando há apenas uma vaiável obsevável, e independenemene qual delas é, não podem se idenifi cados sepaadamene. Isso é fácil de ve noando que as deivadas dos momenos em elação a e δ são colineaes. No enano, se se fi xaem valoes paa ou δ, os esanes see paâmeos passam a se idenifi cados. O Quado mosa os desvios-padão assinóicos elaivos, defi nidos como sd( ˆ θi ) θ assumindo que ou δ são conhecidos. Noe-se que exisem difeenças subsanciais na pecisão com que os paâmeos podem se esimados, dependendo de qual vaiável é uiliada e ambém de qual dos paâmeos ( ou δ) é conhecido. Po exemplo, a podução (y) é mais infomaiva paa idenifi ca α se fo conhecido e δ esimado, mas as hoas abalhadas (n) são mais infomaivas quando é esimado e δ conhecido. A aão pela qual os desvios padões elaivos são epoados é que eles fonecem uma medida da inensidade da idenifi cação, que é independene do valo do paâmeo. Iso pemie-nos deemina quais os paâmeos que são elaivamene melho e quais são elaivamene pio idenifi cados. Os esulados no Quado sugeem que, emboa seja possível esima a maioia dos paâmeos com apenas uma vaiável obsevável, as esimaivas endem a se muio impecisas. Com duas vaiáveis obsevadas há muio mais infomação sobe os paâmeos e, poano, a inceea das esimaivas, capuada pelo desvio-padão assinóico, é muio eduida. Iso pode se viso no Quado 3, que elaa a elação assinóica dos desvios-padão com cada pa de obseváveis. Do quado, podemos ve que odos os paâmeos são idenifi cados; em geal, os paâmeos melho idenifi cados são, e u, enquano os pio idenifi cados são, e u. Paa deemina as aões de alguns paâmeos seem melho e ouos pio idenifi cados, podemos usa a decomposição da mai de infomação análoga à da equação (.6). Podemos expessa Quado INTENSIDADE DA IDENTIFICAÇÃO DO MODELO RBC COM UMA VARIÁVEL OBSERVÁVEL Pa. Valo c y i n c y i n α fi xo fi xo fi xo fi xo δ.98 fi xo fi xo fi x o fi xo u u Fone: Cálculos do auo. Noa: Cada coluna da abela mosa os desvios padão elaivos assinóicos de θ quando há apenas uma vaiável obsevada (mosada na pimeia linha) e se assume que ou δ é conhecido. Os esulados são obidos uiliando o valo espeado da mai de infomação e T =. i Boleim Económico Banco de Pougal 93

10 Ouono Aigos Quado 3 INTENSIDADE DA IDENTIFICAÇÃO NO MODELO RBC COM DUAS VARIÁVEIS OBSERVÁVEIS Pa. Valo (c,y) (c,i) (c,n) (y,i) (y,n) (i,n) α δ u u Fone: Cálculos do auo. Noa: Cada coluna da abela mosa os desvios padão elaivos assinóicos de θ quando há apenas uma vaiável obsevada (mosada na pimeia linha). Os esulados são obidos uiliando o valo espeado da mai de infomação e T =. o desvio padão elaivo paa um deeminado paâmeo como um poduo de dois emos: uma componene de sensibilidade, que é gande paa os paâmeos que não desempenham um papel impoane no modelo, e uma componene de colinea idade, que é gande paa paâmeos cujo papel no modelo é fácil de apoxima com ouos paâmeos. Esa decomposição é mosada na Quado 4. Podemos ve que a aão pela qual é ão bem idenifi cado é que a sua componene de sensibilidade é muio baixa, o que implica que é um deeminane impoane das popiedades empíicas das vaiáveis do modelo. No ouo exemo emos, que em uma componene sensibilidade muio gande, e po isso é o paâmeo pio idenifi cado. A foe colinea idade explica a difeene inensidade da idenifi cação de e u, que êm a mesma componene de sensibilidade. Ouos paâmeos com foe colinea idade são α, δ e u. Como já foi discuido na Secção, a colineaidade foe signifi ca que dois ou mais paâmeos desempenham um papel simila no modelo. É ineessane sabe quais são esses paâmeos. Uma maneia simples de descobi é calcula medi- Quado 4 SENSIBILIDADE E COLINEARIDADE NO MODELO RBC COM DUAS VARIÁVEIS OBSERVÁVEIS Pa. (c,y) (c,i) (c,n) (y,i) (y,n) (i,n) sens. col. sens. col. sens. col. sens. col. sens. col. sens. col. α δ u u Fone: Cálculos do auo. Noa: Cada coluna do quado mosa as componenes de sensibilidade e de colineaidade dos desvios padão elaivos assinóicos de θ quando exisem duas vaiáveis obsevadas (mosadas na pimeia linha). Os esulados são obidos uiliando o valo espeado da mai infomação e T =. 94 Banco de Pougal Boleim Económico

11 Aigos Ouono Quado 5 INTENSIDADE DA COLINEARIDADE ENTRE PARES DE PARÂMETROS DO MODELO RBC COM DUAS VARIÁVEIS OBSERVÁVEIS Pa. (c,y) (c,i) (c,n) (y,i) (y,n) (i,n) pcol pa. pcol pa. pcol pa. pcol pa. pcol pa. pcol pa. α..7 δ α δ α α -.97 δ -.95 α -.98 δ -.96 α -.98 δ α. α.4 α -.4 α.4 α -.6 α -.4 α α α u u.7 α.7 α.7 α.45 α.7 α -.7 δ Fone: Cálculos do auo. Noa: O quado mosa os paâmeos que esão mais foemene elacionadas com cada paâmeo esuual, bem como o valo da colineaidade ene paes de coefi cienes (pcol). Os esulados são obidos uiliando o valo espeado da mai infomação e T =. das da colineaidade paa paes de coefi cienes, que medem a semelhança ene os efeios de dois paâmeos. Isso é feio no Quado 5 e podemos ve que há uma foe colineaidade negaiva ene e u u po um lado, e ene e δ, po ouo. Assim, e maio volailidade do choque específi co ao invesimeno é semelhane a e meno pesisência do choque, e e consumidoes mais pacienes é semelhane a e uma meno axa de depeciação do capial. Além disso, ambém podemos ve que quando a podução e o invesimeno esão incluídos no conjuno das vaiáveis obsevadas, α é alamene colinea com e δ. Isso signifi ca que os efeios desses paâmeos sobe os momenos e momenos cuados da podução e invesimeno são difíceis de disingui Idenificação no modelo Neo-Keynesiano Nesa secção, consideo um modelo Neo-Keynesiano de escala eduida esudado em An e Schofheide, (7). Segue-se uma beve descição do modelo O modelo A família epesenaiva maximia a seguine função uilidade ( C / A ) E [ ( )], (3.) τ s + s + s N + s s= τ sujeia a uma esição oçamenal: PC + B + T = PW N + R B + PD + PSC, (3.) onde C + s é o consumo, N () j as hoas abalhadas, P é o p eço fi nal do bem, W + s é o saláio eal, R epesena os juos sobe os íulos do Esado B, D é o luco esidual em emos eais, T são os imposos lump-sum e SC é o fl uxo de caixa líquido da negociação de valoes mobiliáios Boleim Económico Banco de Pougal 95

12 Ouono Aigos cujo valo é coningene ao esado da economia. A é o sock de hábio deeminado pelo nível de ecnologia no seo de bens inemédios, e evolui de acodo com Δ + + N ln A = ln ln, ln = ln ε, ε (, ) Há um seo pefeiamene compeiivo poduindo um único bem fi nal a pai de inpus inemédios Y() j usando a ecnologia ν ν Y =( Y( j) dj) (3.) A empesa de bens fi nais maximia os lucos dados po PY P () i Y () i di, (3.3) onde Pi () é o peço do bem inemédio Y() i. Os bens inemédios são poduidos num seo de concoência monopolisa. Cada vaiedade i é poduida po uma única empesa a uilia a ecnologia de podução que se segue: Y()= i AN () i (3.4) A empesa de bens inemédios j maximia o valo pesene de seus lucos fuuos P () j E [ Q ( Y () j W N () j AC ())], j (3.5) s + s + s + s + s + s s= P+ s + s Q + onde é o valo paa os consumidoes no peíodo de uma unidade do bem fi nal do peíodo s + s P() j ; AC ()= j ( π) Y () j é o cuso do ajusameno dos peços e π é a axa de esado P ( j) esacionáio da infl ação. O Banco Cenal fi xa a axa de juo nominal de acodo com a seguine ega: R R π Y = exp( )( ) [( ) ( ) ], ψ ψ ε π π π Y (3.6) onde é o esado esacionáio axa de juo eal, π é a axa de infl ação bua, paa a axa de infl ação (em emos buos), e ε (, ) π é o objeivo N é um choque de políica moneáia. O goveno coba imposos lump-sum, a fi m de fi nancia o seu consumo, de modo a espeia a seguine esição oçamenal PG + B R = T + B, (3.7) onde G = ζ Y é o consumo do goveno em emos de bem fi nal, e ζ = / g onde g é uma vaiável aleaóia evoluindo de acodo com 96 Banco de Pougal Boleim Económico

13 Aigos Ouono g g ln g = ( )ln g + ln g + ε, ε N(, ) g g g 3.3. Análise de idenificação O modelo é log-lineaiado em ono do esado esacionáio deeminísico das vaiáveis, e o sisema pode se expesso como em (3.). Há quao vaiáveis poencialmene obseváveis: podução, c onsumo, infl ação e axa de juo nominal. Uma ve que exisem apenas ês choques esuuais, podemos usa, no máximo, ês vaiáveis paa esima o modelo po máxima veosimilhança. O modelo em 4 paâmeos fundamenais, que são coleados no veo θ = [ τ, ν,, ψ, ψ,,,,, π,,,, ]. g g Vamos pimeio considea a idenifi cação com apenas duas vaiáveis obsevadas. Dois dos 4 paâmeos, e ν, não são idenifi cáveis com nenhum pa de obseváveis. Examinando as deivadas dos momenos consaa-se que al é devido à colineaidade pefeia das deivadas em elação a esses dois paâmeos. Poano, se se fi xa qualque um dos dois paâmeos, o ouo seia idenifi cado, junamene com os ouos paâmeos. Uma exceção a essa conclusão é o caso em que apenas a podução e o consumo são obsevados. Enão nós emos que fi xa mais ês paâmeos, além de ν ou. Po exemplo, se fi xamos ν, ψ, π e, podemos idenifi ca os esanes paâmeos. O moivo paa o pa (podução, consumo) se menos infomaivo é que o compoameno das duas vaiáveis no modelo é muio semelhane. Poano, o consumo adiciona pouca infomação à que já esá conida no poduo. Iso pode se viso no Quado 6, que mosa os desvios-padão elaivos assinóicos paa cada pa de obseváveis, supondo que alguns dos elemenos de θ são conhecidos. A inceea das esimaivas da maioia dos paâmeos é muio maio, compaado ao de ouos paes obseváveis, emboa se assuma que se conhecem mais paâmeos. Noe-se que, como no modelo RBC, há uma difeença subsancial no coneúdo de infomação de difeenes vaiáveis. Adicionalmene, a escolha do melho pa de vaiáveis paa esima os paâmeos depende do paâmeo de ineesse. Po exemplo, o paâmeo da esposa da políica moneáia à infl ação ψ é mais facilmene idenifi cado com ( π, ), enquano a eação da políica moneáia ao cescimeno da podução ψ é melho idenifi cada com o pa ( y, ). Em seguida, considee-se o uso de ês das quao vaiáveis obseváveis paa esima θ. O Quado 7 mosa os desvios-padão assinóicos paa cada io de paâmeos assumindo que ν ou é conhecido. Como se pode consaa no Quado 7, fi xa um dos dois paâmeos não em nenhum efeio sobe o desvio-padão dos ouos paâmeos. Pio idenifi cados com odas as combinações de vaiáveis são os coefi cienes de esposa da ega de Taylo ( ψ e ψ ), a igide dos peços e o inveso da elasicidade da pocua ( e ν ), e a axa de juo no esado esacionáio ( ); melho idenifi cados são a axa de juo do paâmeo de alisameno ( ) e o paâmeo auo egessivo do choque ao consumo público. g O Quado 8 mosa a decomposição dos desvios-padão elaivos nas componenes de sensibilidade e de colineaidade. Noe-se que a maioia dos paâmeos pio idenifi cados são ambém aqueles que êm componenes de colineaidade maioes. Assim, esses paâmeos esão mal idenifi cados Boleim Económico Banco de Pougal 97

14 Ouono Aigos Quado 6 IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS NO MODELO NKM COM DUAS VARIÁVEIS OBSERVÁVEIS Pa. Valo (, y π ) (, y ) (,) yc ( π, ) ( π, c) (, c ) (, y π ) (, y ) (,) yc ( π, ) ( π, c) (, c) τ ν. fi xo fi xo fi xo fi xo fi xo fi xo fi xo fi xo fi x o fi xo fi xo fi xo ψ ψ g fi xo fi xo fi xo fi xo..7. fi xo π fi xo fi xo g. 6.9 fi xo fi x o Fone: Cálculos do auo. Noa: Cada coluna do quado mosa os desvios-padão elaivos assinóicos de θ quando exisem duas vaiáveis obsevadas (mosadas na pimeia linha) e se assume que alguns paâmeos esuuais são conhecidos. Os esulados são obidos uiliando o valo espeado da mai de infomação e T =. poque os seus efeios sobe as popiedades empíicas dos obseváveis são fáceis de epodui com ouos paâmeos. Uma exceção é, que é mal idenifi cado poque em uma componene de sensibilidade muio elevada. Ese valo implica que é de pouca elevância empíica. Noe-se que e π êm componenes de colineaidade elevadas quando π não esá ene os obseváveis. Po exemplo, o valo de π adu-se num coefi ciene de colineaidade múlipla Iso signifi ca que π é quase impossível de disingui ambém a pai dos paâmeos do modelo, exceo se se conola paa o seu efeio sobe a infl ação. Calculando os coefi cienes de colineaidade ene paes de paâmeos, apesenados na Quado 9, conclui-se que quando a infl ação não esá ene os obseváveis, a colineaidade ene π e é de.966. Também vemos que a esposa da políica moneáia à infl ação ψ é alamene colinea com o paâmeo de igide de peços ou do paâmeo de alisameno da axa de juo, enquano a eação ao poduo de ψ é alamene colinea com ψ ou. () O coefi ciene de colineaidade váias medidas do gau de colineaidade ene um deeminado paâmeo e odos os paâmeos de ouo modelo. 98 Banco de Pougal Boleim Económico

15 Aigos Ouono Quado 7 IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS NO MODELO NEO-KEYNESIANO COM TRÊS VARIÁVEIS OBSERVÁVEIS Pa. Valo (, y π, ) (, y π,) c ( yc,, ) ( π, c, ) (, y π, ) (, y π,) c ( yc,, ) ( π, c, ) τ ν. fi xo fi xo fi xo fi xo fi xo fi xo fi xo fi xo ψ ψ g π g Fone: Cálculos do auo. Noa: Cada coluna do quado mosa os desvios-padão assinóicos elaivos de θ quando exisem ês vaiáveis obsevadas (mosadas na pimeia linha) e se assume que ν ou são conhecidos. Os esulados são obidos uiliando o valo espeado da mai de infomação e T =. Quado 8 SENSIBILIDADE E COLINEARIDADE NO MODELO NEO-KEYNESIANO COM TRÊS VARIÁVEIS OBSERVÁVEIS Pa. (, y π, ) (, y π,) c ( yc,, ) ( π, c, ) sens. col. sens. col. sens. col. sens. col. τ ψ ψ g π g Fone: Cálculos do auo. Noa: Cada coluna do quado mosa as componenes de sensibilidade de colineaidade dos desvios-padão assinóicos de θ quando exisem ês vaiáveis obsevadas (mosadas na pimeia linha). Os esulados são obidos assumindo que ν =. é conhecido, e usando o valo espeado da mai infomação, com T =. Boleim Económico Banco de Pougal 99

16 Ouono Aigos Quado 9 INTENSIDADE DA COLINEARIDADE ENTRE PARES DE PARÂMETROS NO MODELO NEO-KEYNESIANO COM TRÊS VARIÁVEIS OBSERVÁVEIS Pa. (, y π, ) (, y π,) c ( yc,, ) ( π, c, ) pcol. pa. pcol. pa. pcol. pa. pcol. pa. τ -.76 ψ ψ g π.99 ψ π.96 g g -.7 ψ g -.7 ψ g π ψ g π -.89 ψ τ ψ -.89 ψ π.9.76 π g g g Fone: Cálculos do auo. Noa: O quado mosa os paâmeos que esão mais foemene elacionados com cada paâmeo esuual, bem como o valo da colineaidade ene paes de coefi cienes (pcol). Os esulados são obidos assumindo que ν =. é conhecido, e uiliando o valo espeado da mai de infomação e T =. 4. OBSERVAÇÕES FINAIS Nos úlimos anos os modelos DSGE êm-se onado um insumeno de análise de políica cada ve mais impoane. Iso levou a um consideável esfoço de invesigação com visa à melhoia dos modelos em emos de complexidade e ealismo. Co mo o númeo de caaceísicas incluídas nos modelos aumena, ona-se difícil enende o conibuo de cada uma das caaceísicas em sepaado paa o desempenho do modelo vis-à-vis a ealidade que é suposo explica. Nese aigo, enei mosa que o esudo da idenifi cação de paâmeos pode fonece dados úeis sobe os paâmeos do modelo e as caaceísicas esuuais que epesenam. A inensidade com que um paâmeo é idenifi cado efl ee a sua impoância paa as implicações empíicas do modelo. A idenifi cação é faca quando algumas caaceísicas do modelo êm pouca elevância empíica. Iso pode ocoe poque elas não são impoanes po si pópias, ou poque são edundanes, dadas as caaceísicas epesenadas no modelo. Como os modelos DSGE fonecem uma complea caaceiação da dinâmica das vaiáveis do modelo, a idenifi cação dos paâmeos pode se aada como uma popiedade do modelo subjacene e esudado sem uma efeência a um paicula conjuno de dados. Esa abodagem paa idenifi cação de paâmeos foi ilusada uiliando dois modelos canónicos macoeconómicos: um modelo de ciclos económicos eais e um modelo neo-keynesiano. Uma limiação desa análise é que apenas foi consideado um valo único paa cada paâmeo. Paa obe um quado compleo da idenifi cação, como uma popiedade do modelo, é peciso esudá-lo em difeenes valoes dos paâmeos eoicamene plausíveis. Paa uma discussão mais dealhada Banco de Pougal Boleim Económico

17 Aigos Ouono dese e de ouos aspeos impoanes da análise a pioi de idenifi cação, o leio pode consula os documenos ciados na inodução. REFERÊNCIAS An, S., e F. Schofheide (7): Bayesian Analysis of DSGE Models, Economeic Reviews, 6(- 4), Andeson, G., e G. Mooe (985): A linea algebaic pocedue fo solving linea pefec foesigh models, Economics Lees, 7(3), 47--5,hp://ideas.epec.og/a/eee/ecole/ v7y985i3p47-5.hml. Blanchad, O. J., e C. M. Kahn (98): The Soluion of Linea Diffeence Models unde Raional Expecaions, Economeica, 48(5), 35--, hp://ideas.epec.og/a/ecm/emep/ v48y98i5p35-.hml. Chai, V. V., P. J. Kehoe, e E. R. McGaan (9): New Keynesian Models: No Ye Useful fo Policy Analysis, Ameican Economic Jounal: Macoeconomics, (), Chisiano, L. J. (): Solving dynamic equilibium models by a mehod of undeemined coeffi ciens, Compuaional Economics, (-). Hansen, G. D. (985): Indivisible labo and he business cycle, Jounal of Moneay Economics, 6(3), , hp://ideas.epec.og/a/eee/moneco/v6y985i3p39-37.hml. Iskev, N. (8): Evaluaing he infomaion maix in lineaied DSGE models, Economics Lees, 99(3), (a): Local idenifi caion in DSGE models, Jounal of Moneay Economics, 57(), (b): On he choice of obsevables in DSGE models, mimeo. Klein, P. (): Using he genealied Schu fom o solve a mulivaiae linea aional expecaions model, Jounal of Economic Dynamics and Conol, 4(), , hp://ideas.epec. og/a/eee/dyncon/v4yip45-43.hml. Rohenbeg, T. J. (97): Idenifi caion in Paameic Models, Economeica, 39(3), , hp:// ideas.epec.og/a/ecm/emep/v39y97i3p577-9.hml. Sims, C. A. (): Solving Linea Raional Expecaions Models, Compuaional Economics, (- ), --, hp://ideas.epec.og/a/kap/compec/vyi-p-.hml. Boleim Económico Banco de Pougal