6 Referências bibliográficas

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5 7 pêndices 7.. Especialização na podução de insumos inemediáios aa demonsa que a economia domésica se especializa na podução de um dos insumos é conveniene pai da Lei do eço Único (na ausência de live comécio paa esceve: X Y = λ (-- * X * Y que: ipóese de concoência pefeia no seo de bens inemediáios eige X Y w (-- y w (--3 s epessões acima são saisfeias com igualdade caso aa podução, enquano que a desigualdade pevalece caso conáio. Devido à ipóese de live enada e saída de fimas em SI, os peços não podem se maioes que os cusos maginais. Repae que (-- e (--3 não podem se saisfeias com igualdade ao mesmo empo, pois o úlimo passo da seqüência abaio: w = = = (--4 * X y X λ * w Y Y y

6 9 só é vedade po mea coincidência. O caso no qual ambas são saisfeias com desigualdade não pode consiui um equilíbio poque, nese caso, não á podução alguma de insumos. Desa maneia só pode ocoe que uma das duas epessões ((--, po eemplo, sea saisfeia com igualdade, enquano que a oua é saisfeia com desigualdade. Supona que y λ <. Esa ipóese implica que y X < e, poano, * X * Y Y X Y w w >. Oa, a única maneia desa desigualdade se vedadeia é com y X w = e Y w <, ou sea, a economia domésica poduz somene o insumo X. y 7.. Efeios de bem esa povocados po mudanças no gau de afasameno do live comécio Esa seção é dedicada ao esudo dos efeios de bem esa povocados po aleações no paâmeo λ. quesão básica é: seá que, nesa economia, o máimo de bem esa paa o indivíduo epesenaivo é alcançado quando λ =, ou sea, quando á live comécio, ou é possível aumena o bem esa do agene epesenaivo afasando-se dele? Vamos demonsa que, no coneo dese modelo, λ = não é óimo, e que o valo óimo de λ vai depende, ene ouas coisas, dos paâmeos esuuais. Supona que g = ξ = e a =. s equações (-3 a (-34 podem se eescias como: = c p ( p ε µ µ ( µ ( µ (-- p = µ w (--

7 9 p = µ w λε (--3 ( ( p µ = p µ (--4 v u c (, ( c, w = (--5 Subsiuindo (-- e (--3 em (--4 cega-se a uma epessão paa o saláio eal w como função dos paâmeos esuuais µ, e, da medida de emos de oca ε e do gau de inevenção λ, w w ( µ,,, λε, =. O póimo passo é subsiui (-- e (--3 em (-- e, em seguida, insei o esulado paa w na epessão esulane. o final cega-se a uma elação ene e c que deve se obedecida em equilíbio: = cψ (--6 a onde Ψ a é uma função de µ,,, λ e ε. Subsiuindo o esulado paa w em (-- 5 cega-se a: (, (, v = u c Ψ (--7 c b onde Ψ b ambém é função de µ,,, λ e ε. s equações (--6 e (--7 compõem um sisema cua solução coesponde aos valoes de equilíbio de e c. Supona ainda que o Goveno ofeece às fimas de SC um subsídio s aos seus gasos opeacionais (despesas com saláios e compas de insumo X. Nesas condições o poblema esolvido pelas fimas de SC a fim de deemina peços óimos se ansfoma em: w ma,, z a S ( z ( z y( z ( s y( z z [ ] (--8

8 9 Quando ( µ µ s = as fimas de SC são induzidas a opea eficienemene, ou sea, a igualaem o peço cobado pelos seus poduos ao cuso maginal de podução. Desa maneia as equações (-- e (--3 são subsiuídas po: p = w (--9 p = w λε (-- Finalmene supona que á live comécio ( λ =. Sob esas duas úlimas ipóeses a seqüência de opeações descia aneiomene esula em novas vesões paa as equações (--6 e (--7: = cψ (-- (, (, v = u c Ψ (-- c Em ouas palavas, quando o Goveno coige a ineficiência oiunda do pode de mecado das fimas de SC aavés do pagameno de um subsídio s e, ao mesmo empo, não á obsáculos ao live comécio com o eso do mundo, enão é vedade que Ψ a =Ψ b =Ψ. Imagine agoa que á um planeado cenal cuo obeivo é maimiza o bem esa do indivíduo epesenaivo escolendo difeenes valoes paa e c de equilíbio, poém consciene que as escolas devem obedece à equação (--. Ese poblema pode se epesenado po: ma uc (, v (, { c, } sa = Ψc condição de a odem dese poblema é eaamene a equação (--, cua validade só se veifica sob as duas ipóeses ciadas. Conclui-se que o live comécio se ona óimo quando as impefeições eisenes em SC são coigidas ou, de oua maneia, afasa-se do live comécio é deseável poque loga-se

9 93 diminui as disoções inoduzidas pela concoência monopolísica vigene em SC. É necessáio essala que ese esulado não possui nada de ecepcional. o conáio, a idéia básica da Teoia das Disoções Domésicas é que afasa-se do live comécio coige ou minoa os efeios negaivos de alguma impefeição pesene na economia. Tal solução, poém, deve se visa como second bes, pois o consenso da lieaua é que as impefeições devem se combaidas de maneia diea e que somene na ausência de insumenos de políica póimos ao poblema é que a uilização de medidas second bes se usificaia. No pesene modelo o subsídio ofeecido às fimas de SC seia um eemplo de solução fis bes. Já que esabelece λ pode se óimo, suge naualmene a quesão do gau de inevenção que maimiza o bem esa do agene epesenaivo. qui adoamos a esaégia de escole fomaos convenienes paa as funções u (. e v (. e, com isso, deemina a solução eaa do sisema composo pelas equações (-- a (--5. Os cálculos seão efeuados paa uma siuação na qual g = ξ = e a =. seguines: Considee que as funções u (. e (. v, quando calculadas em ξ =, são as σ c = = σ (, u ( c u c φ = = φ (, v ( v Nese caso seá vedade que: ' u c = c σ ' v = φ Subsiuindo os esulados acima na equação (--7 cega-se a um novo sisema envolvendo e c:

10 94 = cψ (--3 a c φ σ = Ψ (--4 b asa agoa subsiui (--3 em (--4 e obe uma equação paa c como função de Ψ a e Ψ b e, indieamene, de φ, σ, µ,,, λ e ε. solução desa equação (designada po sol. equilíbio de (. sol. c é inseida em (--3 a fim de encona o valo de c sol. sol. φ ( σ φ b a = Ψ Ψ (--5 φ ( σ φ =Ψ Ψ Ψ (--6 a b a O bem esa do indivíduo epesenaivo coesponde à difeença ( sol. sol. v( u c. Uma vez conecidos os valoes de φ (θ, σ(θ c, µ,,, λ e ε é possível calcula o bem esa coespondene; em paicula, é imediao calcula o bem esa do agene epesenaivo como função de λ. Os esulados dese eecício esão ilusados nos gáficos que se seguem paa os valoes de φ, σ, µ, e consanes na Tabela e paa ε =. Os valoes de φ, σ e µ são calibados (ve, po eemplo, Roembeg e Woodfod (997, os demais são escolidos de maneia conveniene. Figua 33 compova que o live comécio, em geal, não é óimo, pois o valo máimo paa o bem esa do agene epesenaivo (,49 ocoe quando λ =, 4 e não quando λ =. Figua 34, po sua vez, mosa que se o Goveno coige a ineficiência pesene em SC aavés do pagameno de um subsídio às fimas, enão o live comécio passa a se óimo. É ineessane peguna qual deve se o valo óimo de λ como função de ε na ausência da inevenção coeiva do Goveno em SC. Tabela 4 mosa os valoes calculados paa λ óimo e paa o máimo de bem esa (denoado po W máimo quando ε vaia de,75 a,5. Os esulados sugeem que λ óimo é uma função cescene de ε..

11 95,7 em Esa,5,3,,9,7,5,5,6,7,8,,,,4,5,6,8,9 Figua 33: em esa como função do gau de afasameno do live comécio. λ em Esa,3,5,,5,,5,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Figua 34: em esa como função do gau de afasameno do live comécio (caso com subsídios govenamenais. λ

12 96 ε λ óimo W máimo,75,6,,8,8,8,85,9,7,9,,7,95,3,38,,4,49,5,6,6,,8,74,5,3,87,,3,3,5,33,34 Tabela 4: λ óimo como função de ε. λ óimo W máimo,,33,6,,3,57,3,9,54,4,7,5,5,4,49,6,,47,7,,45,8,8,43,9,6,4 Tabela 5: λ óimo como função de. Também pode se de ineesse invesiga como o valo óimo de λ vaia em função da impoância elaiva do sub-seo de SC, dada po. Tabela 5 mosa os esulados obidos quando vaia ene, e,9 (ε = em odos os casos. Os esulados sugeem que λ óimo é uma função decescene de. Os esulados acima ilusam a naueza second bes da inevenção sobe o live comécio. Quando o Goveno coige a pioi a ineficiência em SC (e

13 97 quando ε =, o valo óimo de λ é e o bem esa é apoimadamene igual a,64. Ese valo, po sua vez, é maio do que os valoes enconados na eceia coluna da Tabela 5. Concluímos, poano, que afasa-se do live comécio a fim de compensa o pode de mecado das fimas de SC povê um esulado subóimo; melo seia aua dieamene sobe o poblema e simplesmene subsidia as fimas de SC Solução do sisema fomado pelas equações (-44 a (-48 O pimeio passo do pocesso de subsiuição é, com o auílio de (-47, eesceve (-44: ˆ = yˆaˆ ˆ ε (-3- O segundo passo é obe a solução paa o saláio eal subsiuindo-se (-45 e (-46 em (-47. O esulado é: wˆ ( ˆ = aˆ ε ˆ λ (-3- Tendo enconado w ˆ é imediao obe soluções paa p ˆ e p ˆ, basando paa isso subsiui (-3- em (-45 e (-46: pˆ pˆ ( ˆ = ε ˆ λ ( ˆ ˆ = ε λ (-3-3 (-3-4 aa encona as soluções de ŷ e ĥ subsiua (-3- em (-48. O esulado é:

14 98 ( ˆ ˆ ˆ θ ˆ ˆ ˆ θcy = a ε λ θcgθξ (-3-5 s equações (-3-5 e (-3- fomam um sisema linea com duas vaiáveis endógenas, a sabe, ŷ e ĥ, que podem se obidas como função das vaiáveis eógenas. solução dese sisema é: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y = θ a θ ε θcg θξ λ θ θc ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = θc a θc ε θcg θξ λ θ θc (-3-6 ( Solução do sisema fomado pelas equações (-8 a (-86 equação (-86 implica que: ' ˆ ˆ ˆ ˆ' ˆ α α α α = Inseindo o esulado acima em (-8 obém-se: ˆ = yˆaˆ ˆ ε (-4- O póimo passo é subsiui (-8 a (-84 em (-86. O esulado é: [ ] α ˆ α ˆ α ˆ α ( ˆ ε ˆ λ ˆ = w a E w (-4- Calculando o valo espeado de ambos os lados da equação (-4- cegase a:

15 99 [ ˆ ] E ˆ = E w (-4-3 Usando (-4-3 é possível eesceve (-4- da seguine maneia: ˆ α ˆ wˆ aˆ E ( ˆ ε ˆ λ ( α ( α = ˆ α ˆ ˆ ( ˆ ε ˆ λ ( α ( α wˆ = E a (-4-4 Subsiuindo o esulado acima em (-85 obém-se: ( ˆ ˆ ( α ( α ˆ α ˆ E aˆ ε λ ˆ = θ ˆ θ yˆ θ gˆ θξ... ( ˆ ˆ ( ˆ ˆ α c c α... E aˆ ε λ θ gˆ θξ = θ ˆ θ yˆ c c Ese pocedimeno nos conduz a um sisema linea com duas equações, duas vaiáveis endógenas ( ŷ e ĥ e seis vaiáveis eógenas ( ξ, ga ˆ, ˆ, ˆ ελ, ˆ e ˆ E ˆ : ˆ yˆ = aˆ ˆ ε α ( ˆ ˆ ( ˆ ˆ α θ ˆ θ yˆ = E aˆ ε λ θ gˆ θξ c c (-4-5 (-4-6 fim de obe a solução paa ŷ basa muliplica (-4-5 po θ e soma a equação esulane com (-4-6. O esulado é: α ( ˆ E ˆ ( θ ˆ a... α yˆ = θ θ c... ( θ ˆ ˆ ˆ ε θcg θξ λ (-4-7 solução paa ĥ pode se calculada subsiuindo-se (-4-7 em (-4-5:

16 α ( ˆ E ˆ ( θ ˆ c a... α ˆ = θ θ c... ( θ ˆ ˆ ˆ c ε θcg θξ λ (-4-8 goa defina: ' ' ' ' p =, p =, p =, p =, w = w Esas vaiáveis coespondem aos peços paicados po cada gupo de fimas e ao saláio, odas medidas em emos eais 4. É possível encona soluções paa as mesmas coninuando o pocesso de subsiuição. De (-83 e (- 84 cega-se a: [ ˆ] ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = E w = E = p = E (-4-9 ( ˆ = E[ wˆ] = ˆ pˆ = pˆ = ˆ E ˆ (-4- Subsiuindo a epessão paa ŵ enconada em (-4-4 na equação (-8 e subaindo ˆ de ambos os lados da equação assim obida cega-se a: α ( ε λ α ˆ ' ˆ = pˆ ' = ˆ E ˆ ˆ ˆ (-4- Seguindo um pocedimeno análogo cega-se à solução paa ' p ˆ : ' α ( ˆ ˆ ( ˆ ε ˆ λ α pˆ = E (-4- aa eal de saláio é facilmene obida a pai de (-4-4: 4 Os seus desvios pecenuais com elação aos valoes assumidos no pono de apoimação são ' ' ' ' dados po ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ pˆ =, pˆ =, pˆ =, pˆ =, wˆ = wˆ ˆ. Á

17 α ( ε ˆ λ α ˆ wˆ = wˆ = ˆ E ˆ aˆ ˆ ( poimação de ª odem da função de bem esa do agene epesenaivo O cálculo da apoimação de a odem de U = u( c, ξ v(, ξ começa com a epansão de Taylo de a odem de ucξ (, : (, (, (, (, (, (, u c ξ = u y g ξ = u y u y y y u y g u y ξ ucc ( y, ( y y ucc ( y, g uξξ ( y, ξ ucc ( y,( y y g 3 u y y y u y gξ O cξ (, ξ (, cξ c c ξ 3 Na epessão acima O indica que os emos despezados na apoimação são de odem igual ou supeio a ês. lguns dos emos pesenes são independenes de políica, ou sea, seu valo não depende dos valoes assumidos pelos insumenos ŝ e ˆλ, logo podem se ignoados se esamos ineessados em compaa o bem esa popocionado po políicas alenaivas (esses emos seão eunidos sob a designação.i.p. Incopoando esa convenção e posseguindo com os cálculos cega-se a: u( c, ξ = uc( y, ( y y ucc( y,( y y u y y y g u y y y g ip O cc (, (, (, ξ (, u c = u y y c (, cξ y y ucc y y y y y uc y, y ip O u (, uc ( y, cc y y y y g ξ y y ξ uc( y, y y uc( y, y u c uc y y y cy cyg y ip O 3 (, ξ = (, ˆ θ ˆ θ ˆˆ θ ˆξ 3 3 (-5-

18 uc onde θ = u ξ c ( y, ( y,. O segundo passo é calcula uma epansão de Taylo de a odem paa vξ (,, onde é dado po (-7. Reescevendo (-7 em função de peços elaivos cega-se a: µ µ ' ( µ ( µ ( α p αp y = a µ µ ' ( µ ( µ ( ( α p αp ε (-5- ssim sendo: y = Ω (-5-3 a onde Ω é definido como: µ µ ' ( µ ( µ Ω= ( α p αp µ µ ' ( µ ( µ ( ( α p αp ε (-5-4 Esa vaiável pode se inepeada como uma medida da dispesão dos peços elaivos e seu valo no pono de apoimação é Ω=. Subsiuindo (-5-3 em vξ (, pecebe-se que a desuilidade do abalo é uma função de quao vaiáveis, quais seam, y, a, Ω e ξ. epansão de Taylo de a odem desa função é dada po: v ( y, a, Ω, ξ = v y,,, v y,,, ( y y y

19 3 v a y,,, a v y,,, Ω Ω v y,,, v,, ξ ξ yy y, ( y y v,,,,,, aa y a v y ΩΩ Ω v y,, ξξ, ξ v y,, ya, ( y y ( a v y y,,, y y v y y,,, Ω ξ ( y y ξ Ω v,,,,, aω y a v aξ y, ( a ξ Ω,,, v ξ y Ω ξ O Ω 3 O póimo passo é agluina odos os emos independenes de políica deno da designação.i.p :,,,,,,,,, v y a Ω ξ = v y y y y v y Ω Ω v,,,,,, yy y y y v y ΩΩ Ω v,,, (,,, ya y y y a v y y y y Ω Ω v,,,,,, yξ y y y ξ v a y a Ω Ω,,, v ξ y Ω ξ ip O Ω 3 Subsiuindo o valo assumido pelas deivadas elevanes de v (... no pono de apoimação cega-se a: (,,, ξ v y a Ω =,, = v y y y yv y Ω

20 4 v y, ( y y yv, y Ω, y v y v y, ( y y( a y v y, v, y y y Ω v ξ y, ( y y ξ y v,, y yv y a Ω yv ξ y, ξ Ω ip O 3 Colocando y v y, definições dos paâmeos θ e θ ( v θ = v ξ (, (, em evidência e uilizando as obém-se: v y, a, Ω, ξ = y v y, yy ΩΩ yy ΩΩ θ θ y Ω y Ω y y y yωω ( θ ( a ( θ y y Ω y y ΩΩ ΩΩ θ ξ ( θ ( a θ ξ y Ω Ω ip O 3 v y, a, Ω, ξ = y v y, ˆ ˆ yˆω θ ˆ ˆˆ y θω θ ya ( θ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ yω θ yξ θ Ω a θωξ ip O 3 (-5-6

21 5 apoimação de a odem de (-5-3 é: ˆ yˆ aˆ ˆ O = Ω (-5-7 Compaando-se (-5-7 com (-4- conclui-se que a apoimação de a odem de Ω é: ˆ Ω= ˆ ε O (-5-8 ou sea, coném apenas um emo não nulo (elacionado com o desvio da medida dos emos de oca. Elevando ˆΩ ao quadado cega-se a: ˆ Ω = ˆ ε O 3 Em ouas palavas, o quadado da apoimação de a odem de ˆΩ é um emo independene de políica. O esulado (-5-8 indica que quaisque emos envolvendo poduos de ˆΩ, â e ξ são independenes de políica e, poano, é possível eesceve (-5-6 da seguine maneia: v y, a, Ω, ξ = y v y, ˆ yˆω θ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ y θ ya θ yε θyξ ip O 3 (-5-9 pai do valo do nível geal de peços no pono de apoimação cegase a: (, v = w = u y c (,

22 6 uc y, = v y, yu (, c y = y v y, Já esamos apos a deemina uma epessão simples paa o bem esa do agene epesenaivo. Calculando a difeença ene (-5- e (-5-9 e uilizando o esulado acima é possível eecua a seqüência de opeações abaio elacionada: ˆ θ ˆ ˆˆ ˆ θc y θcyg α yξ Ω... 3 = c = (, ξ (, ξ (, u c v u y y ip O... ( θ ˆˆ ˆˆ ˆ ya θ yε θyξ θ ˆ cg θ θ ξ... uc ( y, y 3 ˆ ˆ ˆ = c y y ip O θ θ Ω =... ( θ ˆ ˆ a θ ε (, uc y y n 3 = ( θ ˆ ˆˆ ˆ θc y θ θc yy Ω ip O = uc ( y, y n 3 = ( θ ( ˆ ˆ ˆ θc y y Ω ip O = (, uc y y = c Ω 3 ( θ θ ˆ ˆ ip O No eceio passo dos cálculos aplica-se a definição paa o poduo poencial da economia domésica (ve (-54. O quao passo consise em complea o quadado dos dois pimeios emos da epessão ene colcees que esula do eceio passo, poém incopoando o fao de que emos envolvendo y ˆ n isoladamene são independenes de políica. No úlimo passo aplica-se a definição paa o iao do poduo ( ˆ = yˆ yˆn.

23 poimação de ª odem da epessão paa a medida de dispesão de peços elaivos É conveniene eesceve a epessão paa Ω em função de vaiáveis auiliaes consuídas a pai dos peços elaivos. Esas vaiáveis são definidas assim: ( µ ( µ ' ' ( µ ' ' ( µ p = p, p = p, p = p, p = p epessão paa Ω se ona: ' µ µ ' µ µ Ω= ( α p αp ( ( α p αp ε O lado dieio da epessão acima é uma função de epessão geal paa a sua apoimação de a odem é: p, p, ' p, ' p e ε. f f f ' ' ' ( p ( ε ( p p ε p f f ' f ' ( p ( p ( p p p p ' ' f f ε p ε ( ε ( p ( ε ( p ' ( ε ' ' f f f ' f ( p, p, p, p, ε = f ( p ( p ( p p p p f O p ε ' 3 onde o sobescio indica que a função f e suas deivadas paciais foam ' ' avaliadas no pono de apoimação (caaceizado po p = p = p = p = ε =. Subsiuindo os esulados desas avaliações obém-se: ' Ω= αµ ( p ( α µ ( p

24 8 ' ( αµ ( p ( ( α µ ( p ( ( ε αµ ( µ ( p ' ( αµ ( µ ( p ( α µ ( µ ( p ' ( ( α µ ( µ ( p ( ( ε ' 3 ( αµ ( p ( ε ( ( α µ ( p ( ε O O póimo passo é subai de ambos os lados do esulado acima e dividi a epessão esulane pelo mesmo númeo. epessão assim obida possui emos que dependem eclusivamene de ˆε e que, poano, são independenes de políica. Inseindo os mesmos na caegoia.i.p e fazendo algumas simplificações adicionais cega-se a: Ω ' α ( p ( α ( p =Ω= ˆ µ ' ( α ( p ( ( α( p ( p ( α ( p α µ ( µ ' ' ( α( p ( ( α( p µ α ( p ( ε ( α ( p ( ε ip O ' 3 (-6- Dividindo ambos os lados da epessão (-78 po ( µ e escevendo a epessão esulane em função das vaiáveis auiliaes definidas aneiomene é possível cega ao seguine esulado: ( µ ' ( µ ( µ ' ( µ = α p α p α p α p

25 9 ' α p α p α p α p = ' ' ' ( p ( p ( p ( p α α α α = Ese esulado nos pemie elimina o pimeio emo de (-6-, pois o seu valo é zeo. ssim sendo: ( p ( α ( p ˆ ( α Ω= µ µ ' ' ( α( p ( ( α( p µ α ' 3 ( p ( ε ( α ( p ( ε ip O (-6- Sabe-se ainda que: ( µ p = p p = p O µ p = ( p O p = pˆ O µ µ e poano: ( 3 ˆ p = p O µ O mesmo agumeno pode se epeido paa as demais funções dos peços elaivos de cada gupo. Com iso é possível eesceve (-6- da seguine foma: ˆ µ ' ' Ω= α pˆ ( ˆ ( ˆ ( ( ˆ α p α p α p µ µ αpˆ ˆ ( ˆ ˆ ε α p ε ip O µ ' 3 (-6-3 que é o esulado pesene em (-98.

26 7.7. nálise da influência dos coques básicos sobe a aa de uos naual Supona que os coques básicos gˆ,, ˆ ξ ε e a ˆ são pocessos esocásicos R- com coeficienes auo-egessivos iguais a ρg, ρξ, ρ ε e ρ a (que, po ipóese, são númeos posiivos e infeioes à unidade. aa um pocesso esocásico R- genéico é vedade que: zˆ = ρ zˆ υ zˆ = ρ zˆ υ z z, z z, ( ρ Ezˆ = ρ zˆ Ezˆ zˆ = zˆ z z (-7- O esulado acima decoe da ipóese de que Eυ, = > e pemie z que eescevamos a aa de uos naual da seguine maneia: ( ξ ( n n n ˆ = θ ρ gˆ θ ρ ξ θ E yˆ yˆ (-7- c g c O eceio emo do lado dieio de (-7- depende da supesa no poduo poencial em. Esa, po sua vez, pode se escia em função de basando paa isso uiliza (3-8. Repae que: gˆ,, ˆ ξ ε e a ˆ, n n Eyˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y = θ Ea θ Eε θceg θeξ θ θc ( θ ˆ ˆ ˆ a θ ε θcg θξ = θ θc ( θ ( ˆ ˆ ( ˆ ˆ Ea a θ Eε ε = θ θ = c θ ( ˆ ˆ c Eg g θ( Eξ ξ ˆ ˆ θ ρa a θ ρε ε = θ θ c θ ˆ c ρg g θ ( ρξ ξ Subsiuindo o esulado acima em (-7- cega-se a:

27 ˆ gˆ ( ξ = θ ρ θ ρ ξ n c g ˆ θ ˆ a c θ ρ a θ ρε ε = θ θ c θ ˆ c ρg g θ ( ρξ ξ θc θc = ( θ ( ˆ ( ˆ ρa a θ ρε ε θ θ θ θ c c θ θθ θ θ θ ρ ρ ξ gˆ ( ξ c c g θ θc θ θc (-7-3 É fácil veifica que, nese caso, um coque favoável de poduividade θ θ θ c ende a diminui a aa de uos naual (pois ( θ ( ρ c a possui o mesmo sinal de θ c, ou sea, é um númeo negaivo; pelo mesmo moivo um coque que meloe os emos de oca da economia domésica ende a diminui. Um coque posiivo de gasos govenamenais foça um aumeno em ˆn, ˆn enquano que um coque ξ > de pefeências em efeio ambíguo sobe a aa de uos naual em viude de θ θ c θ θ pode se posiivo ou negaivo (o sinal do esulado depende do emo que em maio magniude, se θθ c ou θθ. Seá úil paa os desenvolvimenos poseioes esceve o esulado (-7-3 no seguine fomao: n θc ˆ ˆ ( ˆ = z θ ρε ε θ θ c (-7-4 onde o pocesso esocásico z ˆ é um agegado de coques inenos, ou sea, inínsecos à pópia economia domésica, enquano ˆ ε é um coque eeno (pois eflee aleações nos peços inenacionais dos insumos. Também seá úil eesceve z ˆ da seguine maneia: θ θ ( ρ ' c zˆ = zˆ g g θ θ c ˆ (-7-5

28 onde sepaamos o coque de gasos govenamenais g ˆ. ssim sendo, é possível esceve a aa de uos naual de duas maneias difeenes: n ˆ = zˆ εˆ (-7-6 ˆ = z g ε (-7-7 n ' ' ˆ ˆ ˆ onde: θc = θ θ ( θ ( ρ c θ θ θ θ ( ρg ' = c c ε (-7-8 ( Deivação da cuva de illips É conveniene paa a álgeba que se segue inoduzi a noação abaio: sˆ s s = desv( s = s Uilizando esa noação é possível esceve (3-33 na foma de desvios com elação a valoes assumidos em seady-sae: ( z, desv = ˆ w µ S, = z, = E desv ( αβ uc( y g, ξ y = a E desv u y g y µ ( αβ c(, ξ τ = (-8- onde S = X (Y se a z-ésima fima peence ao sub-seo ( de SC. Em pimeio luga vamos calcula o esulado final paa o pimeio emo do lado dieio da epessão acima:

29 3 w µ S, desv ( αβ uc( y g, ξ y =... = a w µ S, uc( y g, ξ y... a w =... w µ S,... ( αβ uc( y g, ξ y... a µ S,... = desv... αβuc( y g, ξ y... a Usando o esulado abaio: ( desv f g y = f g y = desv( f desv g y O f g y f g y ( (-8- é possível esceve: w, µ (, S desv αβ uc y g ξ y = = a µ (, ( S uc y y w = µ µ µ αβ ( αβ u y, y w u y, y w u y, y w... c S c S c S w µ S, desv uc( y g, ξ y a = w µ S, ( αβ desv uc( y g, ξ y... a w µ S, αβ desv uc( y g, ξ y a

30 4 w µ S, desv uc( y g, ξ y a =,... w µ S, = αβ desv uc( y g, ξ y αβ ( αβ... a w µ S, ( αβ desv uc( y g ξ y a desv u y g y w µ S, c(, ξ a w µ S, = ( αβ αβ desv uc( y g, ξ y a w µ S, ( αβ desv uc( y g ξ y a,... = ( αβ ( αβ (, ξ w µ S, desv u c y g y = a = Calcula-se o segundo emo do lado dieio de (-8- de foma análoga, cegando-se a: µ desv ( αβ uc( y g, ξ y = = = ( αβ ( αβ desv u ( y g, ξ y = µ c Logo (-8- pode se simplificada paa: ˆ w µ S, z, = E desv ( αβ uc( y g, ξ y a = µ E desv ( αβ uc( y g, ξ y = τ =

31 5 w µ S, = ( αβ E ( αβ desv uc( y g, ξ y a = µ ( αβ E ( αβ desv uc( y g, ξ y = = w = ( αβ E ( αβ S, desv = a (-8-3 O esulado acima faz uso da seguine fómula: ( ( ( desv f g y = desv f desv g y O (-8-4 paa esceve: desv u y g y w µ S, c(, ξ =... a w µ S,... = desv uc( y g, ξ y desv a Obsevando (-8-3 conclui-se que ˆz, só depende de vaiáveis comuns a odas as fimas, a sabe, desvios do saláio nominal, do peço do insumo e da poduividade das fimas de SC. Logo é possível eia a dependência com elação a z e esceve as seguines epessões paa os desvios dos peços óimos escolidos pelas fimas dos sub-seoes e (denoados po ˆ, e ˆ,, especivamene: ˆ w, = ( αβ E ( αβ desv X, = a (-8-5 ˆ w, = ( αβ E ( αβ desv Y, = a (-8-6

32 6 Essas epessões podem se escias como se segue: ( ˆ, ˆ (, ˆ = αβ E αβ desv w px a (-8-7 = ( ˆ, ˆ (, ˆ = αβ E αβ desv w py a (-8-8 = epessão paa o nível geal de peços pode se decomposa da seguine maneia: ( µ ( µ ( µ ( µ = z dz = z dz z dz = fi fle ( µ µ ( µ = z dz z dz z dz fi fle fle onde fi designa o conuno fomado pelas fimas de SC que são obigadas a mane o mesmo peço paicado no peíodo aneio e fle (fle idenifica o conuno de fimas de ( que podem escole novos peços no peíodo coene. Levando em consideação que as fimas em fi coninuam cobando o peço vigene no peíodo, que as fimas em fle e fle escolem peços iguais e que a medida desses conunos é igual a α, ( α e ( α ( possível esceve o esulado aneio da seguine foma:, é ( µ µ µ µ = z dz dz dz =, fi fle fle, ( µ ( µ ( µ = α dz dz =,, fle fle ( µ ( µ ( µ = α α α,, O esulado acima ambém decoe da Lei dos Gandes Númeos. Com efeio, é ela que pemie dize que o nível geal de peços em, quando calculado somene a pai de fimas do conuno fi, é o mesmo que seia obido caso calculássemos ese indicado omando fimas do conínuo [,] como um

33 7 odo. É essencial paa esa conclusão a aleaoiedade do soeio que define quem eausa ou não. epessão final paa como função de,, e, é, poano: ( µ ( µ ( µ ( µ = α α α (-8-9,, equação (-8-9, ao se lineaizada, se ansfoma em: ( ( ( ˆ = αˆ α ˆ α ˆ (-8-,, aa cega ao esulado acima uilizamos (-8-4 unamene com: a desv = a desv O (-8- desv( a = desv = ˆ (-8- equação (-8- ambém pode se escia da seguine foma: ˆ ˆ ˆ ˆ = α,, (-8-3 basando paa isso subai ˆ de ambos os lados e econece que ˆ ˆ ˆ =. O póimo passo é subsiui (-8-7 e (-8-8 em (-8-3 paa obe: ( ˆ αβ E ˆ αβ desv w px, a = ˆ ( ( ( ( ˆ (, ˆ = α αβ E αβ desv w py a = ( αβ ( αβ ˆ =

34 8 onde uilizamos o fao de ˆ comuns cega-se a: ˆ. Coleando emos se igual a ( αβ ( αβ = ˆ = α αβ αβ = E ( ˆ ˆ ( α ( αβ E ( αβ desv( w p, X = ( α ( ( αβ E ( αβ desv( w py, = ( α( αβ E ˆ αβ a = (-8-4 oém, ao menos em uma apoimação de a odem, é vedade que: desv desv desv ˆ ˆ ˆ = =... = k = k k = k = O esulado acima pemie esceve o pimeio emo de (-8-4 da seguine maneia: αβ ˆ ˆ = αβ ˆ = ( k = = k= αβ ( ( αβ ( ( = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ... = ( ( αβ ( αβ...( ˆ ˆ ˆ αβ αβ... = αβ αβ... ˆ αβ αβ... ˆ αβ... ˆ... = = αβ = ˆ = = Com ese esulado (-8-4 se ansfoma em:

35 9 ˆ ˆ = α E αβ... = ( α ( αβ E ( αβ desv( w px, = ( α ( ( αβ E ( αβ desv( w py, = ( α( αβ E ˆ αβ a = (-8-5 Sepaando os emos coespondenes a = dos demais é imediao esceve (-8-5 como se segue: ˆ ( ( desv ( w px, ( α( ( αβ desv( w py, α = α αβ ( α( αβ aˆ ˆ α E αβ = ( α ( αβ E ( αβ desv( w px, = ( α ( ( αβ E ( αβ desv( w py, = ( α( αβ E ( αβ aˆ = (-8-6 valiando (-8-5 em esula em: ˆ ˆ = α E αβ = ( α ( αβ E ( αβ desv( w px, = ( α ( ( αβ E ( αβ desv( w py, = ( α( αβ E ˆ αβ a =

36 seqüência de opeações que dealamos a segui coesponde a uma oca de vaiáveis ( k =, seguida da muliplicação do esulado po αβ e do cálculo do valo espeado, em, da equação que esula dese pocedimeno: k ˆ ˆ = α E αβ k k = k ( α ( αβ E ( αβ desv( w k px, k k = k ( α ( ( αβ E ( αβ desv( w k py, k k = k ( α( αβ E ˆ αβ a k k = k αβˆ ˆ = α E αβ k k = k ( α ( αβ E ( αβ desv( w k px, k k = k ( α ( ( αβ E ( αβ desv( w k py, k k = k ( α( αβ E ˆ αβ a k k = k αβ E ˆ ˆ = α E αβ k k = k ( α ( αβ E ( αβ desv( w k px, k k = k ( α ( ( αβ E ( αβ desv( w k py, k k = k ( α( αβ E ˆ αβ a k k = (-8-7 O úlimo passo decoe da Lei das Epecaivas Ieadas. Repae que os úlimos quao emos de (-8-6 são idênicos à epessão enconada paa αβ ˆ, dada po (-8-7. Fazendo a subsiuição cega-se, após algumas E simplificações adicionais, ao seguine esulado:

37 ˆ = βe ˆ ( α( αβ desv( w p, X α ( (, desv w ˆ py a (-8-8 que é a vesão pimiiva da Cuva de illips neo-keynesiana discuida na Seção 3.3. Nela, a aa de inflação no insane depende das epecaivas, fomadas no mesmo momeno, aceca do valo desa vaiável em e do cuso maginal eal das fimas de SC. Refleindo o fao delas se dividiem em dois sub-seoes, a dependência com elação ao cuso maginal eal é aduzida po um emo envolvendo a soma pondeada dos cusos maginais eais em cada sub-seo. O peso da conibuição de cada sub-seo, po sua vez, depende da sua impoância elaiva, medida pelo paâmeo. O póimo passo é convee o esulado (-8-8 paa um fomao elacionando a inflação coene com as epecaivas aceca da sua aeóia no fuuo e alguma medida do nível de aividade. O pono de paida paa isso é aduzi (- paa o coneo de um modelo dinâmico e calcula a apoimação de a odem da epessão obida. O esulado é: w w X, = px, = w px, = w desv w p = w (-8-9 ˆ X, O úlimo passo envolve a aplicação de (-8-. doa-se um pocedimeno análogo paa (-6 a fim de obe: X, px, px, Y, = py, = w py, = w = w λε λε λε λε desv( w, ˆ py = desv w desv w λε = = λε ( ˆ ˆ ( ˆ ˆ ε λ ε λ = wˆ (, ˆ desv w py = w (-8- Subsiuindo (-8-9 e (-8- em (-8-8 cega-se a:

38 α αβ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = βe w λ ε a α (-8- Resa agoa encona uma epessão que ligue o desvio do saláio eal ao que ocoe com o nível de aividade. Uma vesão dinâmica de (-8, epeida abaio po conveniência, seá o nosso pono de paida: =,, ε (-8- é dada po: quanidade de oas uilizada po uma fima de SC, denoada po ( z, µ ( µ y z y z y µ ( z = = = p z a a a ( µ (-8-3 O esulado acima é conseqüência diea da ecnologia aplicada pelas fimas de SC, do fomao da cuva de demanda do z-ésimo bem (ve (- e da seguine definição: p ( z z = (-8-4 vaiável p z, poano, indica o peço elaivo da z-ésima fima de SC. O númeo de oas de abalo uilizadas em cada sub-seo de SC é: y µ = z dz = p z dz ( µ, a y µ = z dz = p z dz ( µ, a Desa maneia, (-8- pode se eescia como se segue:

39 3 y µ ( µ ( = p z µ dz p z µ dz a ε (-8-5 Confome á ocoia na análise do modelo esáico, é conveniene defini uma vaiável que mede a dispesão de peços elaivos obsevada em SC: µ ( µ Ω ( = p z µ dz p z µ dz ε (-8-6 Com ela podemos esceve (-8-5 assim: y = Ω (-8-7 a apoimação de a odem da equação acima é: ˆ = yˆ aˆ Ω ˆ (-8-8 Ese esulado foi obido uilizando-se (-8-4. O póimo passo é calcula uma apoimação de a odem de (-8-6. Em pimeio luga defina a seguine vaiável auilia: = ( p z p z µ (-8-9 e a uilize paa eesceve (-8-6 da maneia que se segue: µ µ Ω = p( z dz p( z dz ε (-8-3 Repae que, em seady-sae, o valo assumido pela medida de dispesão de peços elaivos é:

40 4 Ω = aa calcula desv( Ω = ΩΩ Ω noe que: µ µ ( = µ = µ SS p z p z p z O p z O e ambém que: µ µ p ( z = µ p ( z ( p ( z ε ε µ p ( z ( ε O = µ ( p ( z ε SS ( ε O SS onde a noação f indica que esamos avaliando a função f no seady-sae dado ss po (3- a (3-7 e (3-34. Subsiuindo os dois úlimos esulados em (-8-3 obém-se: Ω = µ ( p( z O dz µ ( ( ε p z O dz (-8-3 Desenvolvendo (-8-3 cega-se a: Ω = µ ( p( z dz ( µ p z dz ε O ( (

41 5 µ ( p( z dz ( ε O (-8-3 Ω = oém é vedade que: ( µ µ ( µ = z dz = p z dz ( = p z dz p z dz = (-8-33 aa obe o esulado acima uilizamos as definições paa o nível geal de. peços e paa a vaiável auilia p ( z O úlimo passo dese pocedimeno é subsiui (-8-33 em (-8-3 paa, após mais alguma álgeba, cega a: Ω ˆ Ω ˆ = = ε O (-8-34 Conclui-se que coques eógenos que aingem igualmene odas as fimas de SC não afeam a apoimação de a odem da medida de dispesão de peços elaivos; esa só se alea quando a economia domésica é aingida pelo coque nos emos de oca ˆ ε que, obviamene, ainge os sub-seoes e de foma difeenciada. Subsiuindo (-8-34 em (-8-8 e, em seguida, subsiuindo o esulado em (3- cega-se à seguine epessão paa o desvio do saláio eal: wˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = θ θc y θa θ ε θcg θξ (-8-35 Finalmene subsiui-se (-8-35 em (-8- e simplifica-se a epessão esulane uilizando as definições (3-8 e (3-37 paa o poduo poencial e o iao do poduo:

42 6 ˆ ˆ ˆ θ θc y θ a θ ε α αβ ˆ ˆ = βe = α θ ˆ ˆ cg θξ λ ( n α αβ ˆ ˆ ˆ ˆ = βe θ θc y y λ = α α αβ ˆ ˆ ˆ = βe θ θc λ = α = β E ˆ γ θ θ ˆ γ ˆ λ c onde: γ = ( α ( αβ α O esulado final é a vesão da Cuva de illips neo-keynesiana que seá lagamene uilizada ao longo dese abalo: ˆ = βe ˆ γ θ θ ˆ γ ˆ λ c ( Deivação das cuvas de illips sub-seoiais Uilizando as definições (3-4 e (3-43 paa os agegados sub-seoiais de peços é possível eesceve a equação paa o nível geal de peços como se segue: ( ( ( ( µ = µ µ (-9-,, Subsiuindo os esulados (-8-9 e (-8- nas epessões á lineaizadas paa os peços óimos escolidos pelas fimas que eausam (ve (- 8-7 e (-8-8 cega-se a:

43 7 ˆ ˆ ˆ ˆ, = E w a (-9- = ( αβ ( αβ ( ( ˆ ε ˆ λ ˆ, ( ˆ ˆ ˆ = αβ E αβ w a (-9-3 = pai de (3-4 é possível esceve: ( µ (, = z µ dz z µ dz fi fle z µ dz = = ( ( µ z µ = dz, dz fi = fle ( µ µ = α, α, = ( ( µ = α α µ (-9-4,, onde fi e fle idenificam as fimas do sub-seo de SC que, no peíodo coene, pecisam mane o mesmo peço paicado no peíodo aneio ou podem escole novos peços, especivamene. O desenvolvimeno acima leva em cona que as fimas de fi cobam em o peço que vigoava em, que odas as fimas de fle escolem o mesmo peço óimo (dado po, e que a medida desses dois conunos é α e ( α. deivação ambém faz uso da Lei dos Gandes Númeos; as condições que pemiem a sua aplicação á foam discuidas e se epeem aqui. vesão lineaizada de (-9-4 é: ( α ˆ = αˆ ˆ (-9-5,,, cua obenção faz uso das fómulas (-8-4, (-8- e (-8-. Ela pode se eescia da seguine foma: ( α ˆ ˆ ˆ, =,, (-9-6

44 8 basando paa isso subai ˆ, de ambos os lados de (-9-5 e uiliza o esulado abaio: = ˆ = ˆ ˆ O,,,,,, O póimo passo é subsiui (-9- em (-9-6 paa obe: ( ˆ ˆ = α αβ E αβ wˆ aˆ ( αβ ( αβ ˆ,, = = onde escevemos ˆ, ˆ. O esane do pocedimeno como ( αβ ( αβ, = é análogo ao que á foi descio na Seção 7.8: Reescevemos a epessão paa ˆ, da seguine maneia:, ( α ˆ = ( ˆ ˆ αβ E ˆ ˆ αβ, w a... =... ( αβ E ( ˆ ˆ αβ,, = Uilizamos o esulado: ˆ ˆ desv ˆ,,, = =... =, k, k = paa simplifica o emo ( αβ ( ˆ ˆ,, como se segue: = ( αβ ( ˆ ˆ = ( αβ ˆ,,, = αβ = 3 Sepaamos os emos coespondenes a = dos demais. 4 Uilizamos o esulado:

45 9 αβ E ˆ ( ˆ = α E αβ,... = = ( ˆ ˆ α αβ E ˆ ˆ αβ, w a paa eesceve a epessão obida no passo 3 da seguine maneia: ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, = βe, γ, w a 5 Subsiuímos (-8-35 no esulado do passo aneio e, em seguida, inseimos as definições (3-9, (3-8 e ( O esulado final é uma Cuva de illips paa o sub-seo de SC: ˆ = βe ˆ γ θ θ ˆ γ pˆ γ ˆ ε,, c, (-9-7 deivação de uma Cuva de illips paa o sub-seo é análoga. O esulado final é: ˆ = βe ˆ γ θ θ ˆ γ pˆ γ ˆ ε γ ˆ λ,, c, ( Deivação da medida de bem esa apoimação de a odem de (, u c ξ é obida aavés de pocedimeno análogo ao á discuido no âmbio do modelo esáico (ve Seção 7.5. O esulado é: u c uc y y y cy cyg y ip O 3 (, ξ = (, ˆ θ ˆ θ ˆ ˆ θ ˆξ 5 Leva em cona que p = pˆ = ˆ ˆ O,,,,

46 3 uc ξ y, 3 ondeθ = e, como anes, O e.i.p indicam emos de odem igual u y, c ou supeio a ês e emos independenes de políica, especivamene. aa calcula a apoimação de a odem de (, v ξ é peciso leva em cona que y = Ω, onde a vaiável a Ω é dada po: µ ( µ Ω ( = p z µ dz p z µ dz ε (-- O cálculo da apoimação de a odem de (, pocedimeno á discuido na Seção 7.5. O esulado é: v ξ segue o mesmo v y, a, Ω, ξ = y v y, ˆ ˆ yˆ ˆ ˆ ˆ Ω θy θω θ ya ip O ( θ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ yω θ yξ θ Ω a θωξ 3 v ξ, onde θ =. v, Na Seção 7.8 demonsamos que a apoimação de a odem da medida de dispesão de peços elaivos Ω só depende do coque nos emos de oca ˆ ε (ve (-8-34; os demais coques, quais seam, g ˆ, ξ e a ˆ, são incapazes de influenciá-la. Iso nos pemie dize que, pelo menos aé uma apoimação de a odem, Ω ˆ só depende de ˆ ε, que é independene de políica (paa confima ese esulado basa calcula o quadado de ( De maneia análoga, emos

47 3 envolvendo poduos de Ω ˆ, a ˆ e ξ ambém são independenes de políica 6. ssim sendo:,,, v y a Ω ξ = y v y, ˆ yˆ Ω θ yˆ ( θ ya ˆ ˆ ( θ yˆ ˆ ε θ yˆξ ip O 3 ipóese de que o Goveno paica uma políica de subsídios visando elimina a ineficiência eisene em SC faz com que, em seady-sae:, yuc y = y v y, Com o auílio da igualdade acima e das definições (3-8 e (3-37 podemos cega ao seguine esulado paa a difeença ene u( c, ξ e (, v ξ : (, uc y y u( c, ξ v(, ξ = θ θc Ω ip O 3 ˆ ˆ que é aquele consane em (3-48. O póimo passo é calcula a apoimação de ª odem da epessão paa a vaiável Ω, que é dada po: µ µ ( ( z ( µ µ z Ω = dz dz ε (-- Usando os agegados sub-seoiais de peços definidos em (3-4 e (3-43 é possível esceve a epessão (-- da maneia indicada a segui: 6 3 o eemplo, ˆ Ω ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a = ε O a = εa O. Como o poduo ˆ ε ˆ a é um emo independene de políica, segue que Ω ˆ aˆ ambém o é.

48 3 ( µ ( µ, Ω =, z z ( µ ( µ, ε, µ µ µ µ dz dz (--3 Defina agoa os seguines peços elaivos: p p ( z ( z z = (--4, z = (--5, s definições acima, unamene com (3-9, pemiem esceve a epessão (--3 da seguine maneia: µ µ ( µ Ω ( = p, p z µ dz µ µ ( µ p (, p z µ dz ε (--6 Esa, po sua vez, pode se eescia usando vaiáveis auiliaes análogas a (-8-9. O esulado é: µ µ µ µ Ω = p, p ( z dz p, p ( z dz ε (--7 O pimeio passo paa calcula a apoimação de a odem de (--7 é o que se segue: µ p, p ( z µ µ µ p, p ( z µ p, = SS

49 33 ( p, µ µ µ p z p ( z ( SS µ µ ( µ ( µ p, p ( z µ µ ( p, µ ( µ p ( z ( p, SS ( p ( z SS µ µ ( µ, (, p p z p ( p z O SS 3 Inseindo os esulados das deivadas paciais calculadas no seady-sae cega-se a: µ µ p, p ( z µ ( p, µ ( p ( z = p (, p z µ µ µ µ µ ( p, ( p ( z O 3 Repeindo o pocedimeno paa o segundo emo de (--7 cega-se a: p p ( z µ p p ( z µ ( ε ε = ε µ µ,, SS µ µ µ p, p ( z ( p, ε p µ µ, µ p ( z ( p ( z ε µ p 3, p ( z µ ε SS SS SS ( ε

50 34 ( p, µ µ ( µ p, p ( z µ ε SS ( p z p µ, µ ( µ p ( z µ ε µ µ p p ( z ( ε ( p ε µ,, SS p µ µ µ p ( z ( ε ( p ( z ε, SS µ µ p p ( z ( p ( p ( z O ε µ 3,, SS SS O póimo passo é insei os esulados das deivadas paciais calculadas em seady-sae: µ µ p, p ( z = ε = ( ε µ ( p, µ ( p ( z ( p, p z ε µ µ µ ( µ ε µ µ ( ε ( p, ( ε ( p ( z µ ( p, ( p ( z O 3 Os esulados acima pemiem que escevamos (--7 da seguine maneia: Ω = µ ( p, ( µ µ µ ( p ( z dz p,

51 35 ( µ µ ( p ( z dz µ ( p, ( p ( z dz ( ( ε ( µ ( p, µ ( p ( z dz ( ε ( ( (, ( µ µ µ µ ( p p z dz µ µ ( ε ( p, ( ε ( p ( z dz µ ( p, ( p ( z dz O 3 Subaindo de ambos os lados da epessão obida acima paa Ω e, em seguida, dividindo o esulado pelo mesmo númeo cega-se a: Ω = µ ( p, µ ( p ( z dz ( µ ( p, ( (, µ µ µ ( p ( z dz ( ε p ( µ µ ( p ( z dz µ ( p, ( p ( z dz ( ε ( ( (, ( µ µ µ µ ( p p z dz µ µ ( ε ( p, ( ε ( p ( z dz 3 (, ( µ p p z dz O (--8 Usando as definições (3-4 e (3-43 e a equação (-9- demonsa-se que:

52 36 ( µ ( (, = z µ dz = p z µ dz = p z dz ( = p z dz ( = z dz = p z dz ( µ µ ( µ, ( = p z dz = p z dz ( ( µ ( µ ( µ ( µ ( µ (3 = = p p,,,, = p p = p p,,,, Eses esulados pemiem que se cegue à seguine epessão paa Ω : Ω µ µ µ µ ε ( ( (, ( = ( p p z dz ( ( (, ( µ µ µ µ ( ε ( p p z dz µ ( ε ( p, O 3 Sepaando os emos independenes de políica cega-se, após alguma álgeba, a: Ω µ ( µ = ( p, ( ( p, ( µ µ ( ( p z dz p z dz 3 µ ( ε ( p, ip O (--9 oém é vedade que:

53 37 ( µ ( µ = = SS ( SS O ( µ O desv( desv O ( µ ( µ SS SS 3 desv = desv O SS SS = = ( ( ( µ ( SS Subsiuindo o esulado acima em (--9 obém-se: ˆ µ Ω ˆ, ( ˆ = p p, ( µ µ ( µ µ 3 ˆ ε ˆ p, ip O µ ( pˆ ( ˆ z dz p ( z dz (-- Subsiuindo (-- em (3-48 cega-se a: µ ( θ ˆ ˆ ˆ θc p, p, ( µ uc ( y, y µ U = p z dz p z dz ip O ( µ µ ˆ ε ˆ p, ( µ 3 ( ˆ ( ˆ (-- O úlimo passo do pocedimeno é calcula p ˆ ( z dz e ˆ aa calcula a pimeia inegal faça: ( p z dz. ( z ( pˆ ( z dz desv dz, = =

54 38 ( z z = desv dz desv dz =, fi fle,,, z z = desv dz desv dz = desv dz,, fi fle fi,,, p z desv dz = desv dz ( desv( p, dz =,, fle fi fle ( = p z dz p dz p z p z = dz ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,,,, fi fle fi ( ˆ ( ˆ, ˆ ˆ, ( ˆ, p dz = p z dz p z dz dz fle fi fi fi ( ( ˆ ( ˆ ( ˆ,, ( ˆ, ( ˆ α p = p z dz α α p = α p z dz fi α α,, p z dz, α α ( ( α ˆ α ˆ = α ˆ ˆ Ou sea, demonsa-se que: ( pˆ ( ˆ ˆ z dz α p z dz, (-- α = α aa obe (-- uilizamos os seguines esulados inemediáios: ( µ ( µ ( µ ( µ ( µ (' = α α = α α p,,,,, α = αˆ, ( ˆ ˆ ˆ α p, O p, =, O α α 3 ˆ,, O ( pˆ = α (' ( µ µ µ ( ( = z dz = p z dz, ( µ = p z ( p z dz O µ SS

55 39 ˆ ˆ ˆ fi ( µ = p z dz O O = p z dz O = p z dz O úlimo passo de ( decoe da Lei dos Gandes Númeos. Como a epessão ( é vedadeia paa um insane de empo genéico, ela ambém é válida paa. maneia: Defina agoa ˆ Ω = p z dz e eesceva (-- da seguine, α Ω ˆ, = αω,, (--3 α que pode se visa como uma lei de movimeno paa Ω,. Inegando (--3 a pai de uma condição inicial Ω, cega-se a: α Ω = Ω (--4 k ˆ, α, α, k α k = O cálculo de ˆ ( p z dz é análogo. Os esulados elevanes são: Ω = αω ( α ˆ,,, ( α k ˆ, α, α k, α k = Ω = Ω (--5 α (--6 Subsiuindo (--4 e (--6 em (-- obém-se:

56 4 ( θ θ ˆ c µ pˆ, ˆ p, ( µ k uc ( y, y α ˆ k, U = µ α ip O k = ( µ α k ( α ˆ k, k = µ ˆ ε ˆ p, ( µ 3 (--7 Repae que, po seem independenes de políica, os emos associados às condições iniciais Ω, e Ω, foam inseidos em.i.p.. Sabe-se, poém, que o bem esa do agene epesenaivo no pesene não é influenciado somene pelo seu nível de saisfação coene; oda a uilidade que se espea desfua em insanes de empo poseioes ambém eece influência sobe ele (apesa do indivíduo, no peíodo coene, aibui um peso meno a uilidades fuuas. Fomalmene: W E β U = = (--8 Subsiuindo (--7 em (--8 cega-se a: (, uc y y W = µ ( θ ˆ ˆ, ( ˆ θc p p, ( µ k α ˆ k, µ α k 3 β = = ( µ α k ( α ˆ k, k = E ip O µ ˆ ε ˆ p µ, (--9 epessão (--9 pode se simplificada se uilizamos:

57 4 k k β α ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k, αβ α k,, αβ, α, = k= = k= ( 3 ( αβ ( ˆ ˆ,, ˆ ˆ ˆ,,, ˆ, 3 ˆ αβ,3 α α α α α 3 3 ( ˆ,, ( ( 3 αβ αβ αβ ( ˆ ˆ ˆ, β, β,... = ˆ αβ αβ αβ β αβ αβ αβ ˆ = = β, = βˆ αβ = = = αβ, paa obe: (, uc y y W = µ ( θ ˆ ˆ, ( ˆ θc p p, ( µ µ α E ip O µ ˆ ε ˆ p, ( µ 3 β ˆ, ( ˆ, = µ α αβ (-- que é o esulado final deseado. 7.. Simplificação da epessão paa L O pimeio esulado define um elacionameno ene p ˆ, e p ˆ, que é conseqüência de (-9-: ( µ ( µ ( µ ( µ ( µ = = p p,,,, = pˆ ( pˆ O pˆ = pˆ O pˆ = pˆ O 3,,,,,, O segundo pemie epessa ˆ, como função de p ˆ,, pˆ, da definição de, é possível esceve: e ˆ. pai

58 4 = = = p p ˆ = pˆ ˆ pˆ O,,,,,,,,,, ( 3, p, p, O ˆ = ˆ ˆ ˆ O eceio é obido de maneia simila e pemie esceve ˆ, em função das mesmas vaiáveis: ˆ = pˆ ˆ pˆ O 3,,, asa agoa subsiui os esulados acima em (3-53, aplica a definição de ' L e faze a seguine subsiuição: pˆ pˆ ˆ ε = pˆ ˆ ε ˆ ε,,, paa cega a: ˆ ˆ ˆ λp p, ε L p p ( ˆ ˆ, ˆ, ' = λ ( pˆ ˆ pˆ,, (-- onde: µ λp = µ θ θ c µ α λ = µ α αβ θ θc políica. Repae que omiimos ˆ ε pelo fao dese emo se independene de

59 43 epessão (-- pode se escia de maneia mais simples se levamos em cona que: ( p, p, ( p, p, ( p, p, ˆ ˆ ˆ = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ pˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, p, = p, p, ( pˆ ˆ, p, ˆ ˆ e poano: ( pˆ ˆ ˆ,, ˆ ˆ ˆ p p, p, = = ( pˆ ˆ,, ˆ p Subsiuindo os esulados acima em (-- cega-se a: L = ˆ λˆ λ pˆ ˆ ε λ pˆ pˆ ( ' p,,, (-- que é o esulado consane em ( Cálculo da apoimação de ª odem da idenidade oçamenáia do Goveno O obeivo dese pêndice é calcula a apoimação de a odem da idenidade oçamenáia do Goveno, epeida abaio po conveniência: b i b = Τ s C g Π (-- ( τ epansão de Taylo de a odem da equação acima é:

60 44 i b ( b b ( b b ( i i SS SS b i Τ Τ ( ( ( s τ ( C C ( τ τ C SS g g Π Π O = SS SS (-- O valo da aa de uos nominal em seady-sae é igual a β, enquano que o valo da alíquoa ea τ é zeo. Em seady-sae, po ipóese, o Goveno não inevém no live comécio e, poano, λ = paa odo. Em viude disso, o esulado aufeido com ibuos (ou subsídios de comécio eeio é igual a zeo (ou sea, Π=. Finalmene, em seady-sae, a = = e g =. Os gasos opeacionais eais oais das fimas de SC são dados po: w p µ X, w ( p µ Y, C ( = y p z µ dz p z µ dz a a Em seady-sae px = py poque, po ipóese, ε =. É vedade ambém que odas as fimas de SC cobam o mesmo peço e, poano, p( z = paa odo z. ssim sendo, o valo assumido em seady sae pelos gasos opeacionais oais eais é: C = y w p X Sabemos que, em seady-sae, p X w = 7 e w =. Logo: 7 Recodando, em SI á concoência pefeia e live enada e saída de fimas. Com isso, p X, w = é vedade paa odo, inclusive no seady-sae.

61 45 C = w = y Subsiuindo odos esses esulados em (.XII. obém-se: b Τ Τ β β ( b b ( b b b ( i i ( ( s C C y g O τ Π = Dividindo o esulado acima po y e escevendo odas as vaiáveis, sempe que possível, na foma de desvios pecenuais com elação aos valoes de seadysae cega-se a: b b b b b b b ii b ( y b β y b β y i β y Τ Τ Τ C C g Π y Τ C y y s τ O = (--3 ou ainda: ˆ ˆ Φ ( ˆ ˆ ˆ ˆ Φ b ˆ ˆ b i ΦΤ sc τ g Π O = (--4 β β onde, como anes, as vaiáveis esão escias em emos de desvios pecenuais (po eemplo, C ˆ C y =, com eceção de ˆ g g = e y y ˆ Π Π =. y O valo de Φ é obido a pai de (-- calculada em seady-sae: b b = sc Τ Φ= s Φ β β

62 Obenção dos sisemas que caaceizam as aeóias óimas das vaiáveis endógenas do modelo Calculando as deivadas paciais do Lagangeano do poblema (4- com elação às suas vaiáveis de escola e igualando os esulados a zeo cega-se, após alguma álgeba, às seguines equações: L = ˆ γ ( θ θc M =, ˆ L = λˆ M, M, = ˆ L = M M = λ,, ˆ L = βepˆ ( γ β pˆ pˆ γ ˆ ε...,,, pˆ,... ( βem, ( γ β M, M, = λ (-3- (-3- (-3-3 (-3-4 L = ˆ γ ( θ θc M =, ˆ L ˆ = λˆ M =, L = M, M, = ˆ λ L = βepˆ ( γ β pˆ pˆ γ ˆ ε...,,, pˆ,... ( βem, ( γ β M, = λ (-3-5 (-3-6 (-3-7 (-3-8 onde (-3- a (-3-4 são válidas paa > e (-3-5 a (-3-8 vigoam apenas em =. Esas oio equações podem se eduzidas a um conuno com apenas quao se escolemos duas condições iniciais convenienes paa os muliplicadoes de Lagange:

63 47 ( θ M, ˆ γ θ = (-3-9 c λ ˆ M M = (-3-,, M M = (-3-,, βepˆ γ β pˆ pˆ γ ˆ ε...,,,... ( βem, ( γ β M, M, = λ (-3- M = M = (-3-3,, O sisema acima é válido paa odo. Quando acescido da Cuva de illips (3-4, da esição adicional (3-6 e da caaceização esocásica dos coques, ele define compleamene as aeóias óimas paa as vaiáveis endógenas, os muliplicadoes de Lagange e os insumenos de políica. o calcula as deivadas paciais do Lagangeano de (4-4 com elação às especivas vaiáveis de escola e, em seguida, iguala os esulados a zeo, cegase aos seguines esulados: L = ˆ γ ( θ θc M, M, M =, ˆ β L = λˆ M M M = ˆ,,, β θc L = M M = λ, 3, ˆ L = βepˆ ( γ β pˆ pˆ γ ˆ ε...,,, pˆ,... ( βem 3, ( γ β M3, M3, = λ (-3-4 (-3-5 (-3-6 (-3-7 L = θ λiˆ M = c i, iˆ L = ˆ γ ( θ θc M, M =, ˆ (-3-8 (-3-9

64 48 L ˆ = λˆ M =, L = M, M3, = ˆ λ L = βepˆ ( γ β pˆ pˆ γ ˆ ε...,,, pˆ,... ( βem 3, ( γ β M3, = λ L = θ λiˆ M = c i, iˆ (-3- (-3- (-3- (-3-3 s equações (-3-4 a (-3-8 são válidas paa >, enquano que (-3-9 a (-3-3 vigoam apenas em =. Esas dez equações podem se eduzidas a um conuno com apenas cinco desde que se aibuam condições iniciais paa os muliplicadoes de Lagange: ˆ γ ( θ θc M, M, M, = (-3-4 β λˆ M M M = (-3-5,,, βθc M M = (-3-6, 3, βepˆ γ β pˆ pˆ γ ˆ ε...,,,... ( βem 3, ( γ β M3, M3, = λ (-3-7 θ λ iˆ M = (-3-8 c i, M = M = M = (-3-9,, 3, s condições iniciais (-3-9 pemiem esceve um sisema válido paa odo. s condições de a odem (4- a (4-5 elaivas ao poblema (4- foam obidas uilizando um pocedimeno análogo. Os cálculos elaivos ao Lagangeano do poblema (4-46 cegam às mesmas equações (-3-4 a (-3-3; como aneiomene, as cinco pimeias

65 49 são válidas paa > e as esanes vigoam apenas em =. aa obe um conuno de cinco equações válido paa odo basa adoa as mesmas condições iniciais dadas em (-3-9; o sisema esulane coninua sendo dado po (-3-4 a (-3-9 e, ao se acescido da IS ineempoal (3-39, da Cuva de illips (4-43, da esição adicional (3-59 e da caaceização esocásica dos coques, ele define compleamene as aeóias óimas paa as vaiáveis endógenas, os muliplicadoes de Lagange e os insumenos de políica. Os cálculos elaivos ao Lagangeano do poblema (4-5 ambém levam às mesmas equações (-3-4 a (-3-3, as cinco pimeias válidas paa > e as esanes vigoando apenas em =. aa obe um conuno de cinco equações válido paa odo basa adoa as mesmas condições iniciais em (-3-9; o sisema esulane coninua sendo dado po (-3-4 a (-3-9 e, ao se acescido da IS ineempoal (3-39, da Cuva de illips (4-43 (com o emo γτ ˆ subsiuído po γµ gˆ, da esição adicional (3-59 e da caaceização esocásica dos coques, ele define compleamene as aeóias óimas paa as vaiáveis endógenas, os muliplicadoes de Lagange e os insumenos de políica. No que diz espeio ao poblema (4-58, calculando as deivadas paciais do Lagangeano com elação às vaiáveis de escola peinenes e igualando os esulados a zeo cega-se, após alguma álgeba, às mesmas equações (-3-4, (-3-6 e (-3-7, poém (-3-5 e (-3-8 se ansfomam em: L = λˆ ( φ M, M, M, = ˆ β θ L M = iˆ EM = iˆ, λi φβ, θc c (-3-3 (-3-3 única equação válida somene paa = que se modifica é (-3-3: L M = λiˆ φβe M = iˆ, i, θc (-3-3 edução do conuno de equações esula em:

66 5 ˆ γ ( θ θc M, M, M, = (-3-33 β λˆ ( φ M, M, M, = (-3-34 βθ M, 3, c M = (-3-35 βepˆ γ β pˆ pˆ γ ˆ ε...,,,... ( βem 3, ( γ β M3, M3, = λ ˆ, i i φβem, θc (-3-36 M λ = (-3-37 M = M = M = (-3-38,, 3, onde, como á avíamos feio aneiomene, aibuímos condições iniciais paa os muliplicadoes de Lagange lguns comenáios sobe as egas óimas de políica moneáia discuidas na Seção 4 De acodo com Giannoni e Woodfod (a, b, uma ega de políica moneáia óima é aquela que implemena a solução do poblema de maimização do bem esa do agene epesenaivo. Esa solução deve espeia um deeminado conuno de esições fomado pelas equações esuuais da economia em quesão. função obeivo pode se micofundamenada, confome sugeido po Roembeg e Woodfod (997, 999, ou mesmo se uma oua função de bem esa ad oc consideada conveniene. solução dese poblema de oimização fonece as aeóias óimas paa as vaiáveis endógenas elevanes e os insumenos de políica, de maneia que uma deeminada ega de políica moneáia é ulgada pela sua capacidade em epoduzi o compoameno óimo enconado paa a aa de uos nominal. Giannoni e Woodfod agumenam que esa ega deve possui ês popiedades fundamenais, a sabe, implemena um equilíbio deeminado, independe das popiedades esaísicas dos coques eógenos e se óima de acodo com uma pespeciva aempoal. Os auoes desenvolvem um méodo geal