OPÇÕES E SUAS DERIVADAS ( GREGAS ) Modelo de Black/Scholes

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1 RAYMUNDO J.. ORRE OPÇÕE E UA DERIVADA ( GREGA Molo Black/chols rabalho laborao para suport para curso quatro horas, uas aulas, como ativia intgrant a II Binal a ocia Brasilira Matmática m alvaor. alvaor, Bahia, Brasil tmbro 004

2 APREENAÇÃO O matrial contio nst trabalho foi concbio spcificamnt para sr utilizao m curso quatro horas, uas aulas, lvano-s m conta qu os participants poriam sr pssoas com formação matmática, sm maiors conhcimntos na ára financira; financistas com bagagm quantitativa rstrita ou, até, aquls com amplo omínio sss campos o sabr Matmática Finanças. Primou-s pla linguagm irta foi buscao um txto auto - sustntávl, fazno-s uso xprssão corriquira m nossos ias, rfrino-nos ao princípio o século. Assumino um tom mais pssoal, gostaria agracr o apoio as colgas Glória, Joália Lopolina, o Instituto Matmática a UFBa, mas totalmnt inocntaas com rspito a qualqur falha qu aparça nst trabalho. Raymuno J.. orrs

3 3 UMÁRIO. Ativos Financiros Mia a Flutuação os Ativos Financiros Opçõs Opção Compra call Opção a put Valor uma Opção Capitalização Contínua A Função Dnsia Probabilia Normal A Função Distribuição Probabilia Normal As Fórmulas Black/chols Valor uma Opção Compra (c Valor uma Opção a (p Estimação a Volatilia As Grgas Drivação as Grgas Exrcícios Bibliografia... 4

4 4. AIVO FINANCEIRO Chama-s ativo financiro a títulos utilizaos para obtnção funos, como açõs, bônus, bênturs tc. Ação, por xmplo, é uma part unitária o capital uma socia anônima, pono sr aquiria no mrcao primário ou no scunário. O primiro corrspon ao lançamnto, aprsntano prços trminaos; o outro nvolv compras vnas ralizaas plos possuiors intrssaos nos papéis. Os valors as açõs são trminaos por um conjunto fators intragnts qu causam variaçõs nos prços os ativos, rsultano m um movimnto alatório chamao flutuação. ais papéis são signaos ativos contingnts. O gráfico a sguir monstra o comportamnto alatório os valors um ativo contingnt, no corrr o tmpo. Os intrvalos tmpo, quano ocorrm as muanças, são consiraos pqunos o qu torna possívl o tratamnto sas variaçõs como s fossm contínuas.

5 5. MEDIDA DA FLUUAÇÃO DO AIVO FINANCEIRO A flutuaçõs os ativos contingnts pom sr afrias por ois procimntos: variação absoluta variação rlativa. no V o valor m um momnto no momnto postrior, as mias as flutuaçõs são finias como a sguir: n - Variação absoluta: V V n - Variação rlativa: V R n O mais usual no mrcao, ntrtanto, é usar outra forma para a variação rlativa: V R Ln n Justificativa: para valors pqunos x, Ln ( x x. Por outro lao V n V, aí n V Ln n V n Exmplo : qüência valors obsrvaos um ativo: 0,00; 0,08; 9,97 0,0. qüência variaçõs absolutas: 0,08; 0, qüência variaçõs rlativas: a Calculaas irtamnt pla fórmula: 0,80%;,09% 0,40%. b Calculaas por mio o logaritmo: 0,80%;,097% 0,40%. Obsrva-s uma pquna ifrnça na sguna variação rlativa.

6 6 3. OPÇÕE O valor qu uma ação aprsntará no futuro ou, mais irtamnt, o su valor futuro (VF é imprvisívl, aa à flutuação alatória o msmo. Assim, po-s aquirir uma ação, hoj, sprano-s qu, no futuro, vnha aprsntar um valor mais alto, portanto lvano a um ganho líquio para o invstior. Mas, ocorrno o invrso, um valor mnor, o aplicaor rgistrará um prjuízo. Ao invés comprar ou vnr as açõs, há como altrnativa a possibilia clbrar um acoro para compra-las vn-las no futuro, s intrssar ao invstior. Para mlhor ntnimnto, sjam o valor a ação no mrcao, K o valor contratao para o futuro (valor xrcício o tmpo até o final o prazo o contrato. A partir aí, po-s imaginar uas situaçõs: Primira, o invstior compra o irito aquirir uma ação no futuro plo valor K. Ao final o prazo, m, compara o valor contratao com aqul o mrcao (: o valor o mrcao for maior, compra a ação plo valor contratao ganha a ifrnça; s o valor o mrcao for mnor, abanona o contrato. guna, o invstior compra o irito vnr uma ação no futuro plo valor K. Ao final o prazo, m, compara o valor contratao com aqul o mrcao (: s o valor o mrcao for mnor, vn a ação plo valor contratao ganha a ifrnça; s o valor o mrcao for maior abanona o contrato. Contratos como sss são chamaos opçõs, plo fato o compraor tr o irito a opção xrc-los. O primiro é chamao opção compra ou call, xprssão inglsa; o sguno rcb a signação opção vna ou put, também xprssão inglsa para ss tipo. Para quilibrar sss contratos, o aquirnt v pagar um prêmio (P àqul qu fica obrigao a ralizar a vna ou a compra plo valor contratao, como s foss um sguro.

7 7 4. OPÇÃO DE COMPRA CALL Para o ntnimnto mais claro o funcionamnto um contrato opção compra, srá formulao um xmplo traçao o gráfico corrsponnt. Exmplo : Daos o contrato: K $ 0,00; P $ 0,50 (variávl. abla: K K P Ganho/Pra 0,00 0,00 0,00 0,50 0,50,00 0,00 9, , ,00 0,00,00 0,50 0,50 0,00 0,00 0,00 0,50 0,50 0,50 0,00 0,50 0,50 0,00, ,00 0,50 0,

8 8 5. OPÇÃO DE VENDA PU Para o ntnimnto mais claro o funcionamnto um contrato opção vna, srá formulao um xmplo traçao o gráfico corrsponnt. Exmplo 3: Daos o contrato: K $ 0,00; P $ 0,50 (variávl. abla: K K P Ganho/Pra 0,00 0,00 0,00 0,50 9,50,00 0,00 9, , ,00 0,00,00 0,50 0,50 9,50 0,00 0,50 0,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,50 0,50, ,00 0,50 0,

9 9 6. VALOR DE UMA OPÇÃO O valor uma opção po sr rprsntao a sguint manira: Máximo [ K; 0] para uma call; não xrcno, o invstior pr o prêmio. Máximo [K ; 0] para uma put; não xrcno, o invstior pr o prêmio. A gran qustão para os participants o mrcao é tr uma iéia s o valor o prêmio stá acima ou abaixo um crto prço consirao justo. Isto forma antcipaa. Dsignano-s c o valor o prêmio para uma opção compra p o rspctivo para uma opção vna, são construíos os molos abaixo: R c N( K N( R p K N( N( Elmntos novos lmntos introuzios nas uas fórmulas: R : fator valor atual m capitalização instantâna ou contínua. N (... : valor a função istribuição normal (valors tablaos. i: valor a sr trminao (tma vinouro. Os próximos tmas aborarão sss ois assuntos, mas torna-s oportuno aprsntar as intrprtaçõs para as fórmulas c p: A primira po sr ntnia como a ifrnça ntr um valor mrcao para o ativo multiplicao pla probabilia acumulaa vir a ocorrr (até st valor o valor prsnt o valor xrcício, também multiplicao pla sua rspctiva probabilia acumulaa vir ocorrr (até st valor. A sguna aprsnta uma intrprtação smlhant, com a orm invrtia os fators.

10 0 7. CAPIALIZAÇÃO CONÍNUA V No tma ois foi stablcia a fórmula R Ln n. Isto corrspon a: R aí R V n V upono-s, agora, príoos: R Ln n, forma smlhant: R aí R V n É comum usar-s tal fórmula com as convnçõs PV FV, ficano portanto: R FV PV O comportamnto variação o capital rprsntao plo molo acima é nominao capitalização instantâna ou contínua, mais usual. A partir a fórmula o FV, obtém-s a rspctiva para o PV: R PV FV R A xprssão é o fator valor atual para ssa capitalização, usao na fórmula para afrição o prêmio uma opção (tma 6. Exmplo 4: Para PV $.000,00; R 8,5% ao ano 6 mss, FV.000,00 (0,85(0,5, rsultano m $.096,9. Da msma forma, sno FV $.096,9; R 8,5% ao ano 6 mss, o valor PV srá.096,9 -(0,85(0,5, ou sja, $

11 8. A FUNÇÃO DENIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL f(x Figura 4 Gráfico a Função Dnsia Normal A função nsia normal probabilia é comumnt usaa no mrcao financiro para o stuo as flutuaçõs os valors os ativos. Claro, há outras concpçõs, mas stuos mpíricos mostram sr acitávl a aplicação a normal para a finalia scrita. Fórmula gral para ssa função: Na fórmula: f(x ( x µ π µ : méia a istribuição : svio parão a istribuição. Um caso spcial a istribuição normal é a chamaa normal paronizaa, on por mio transformaçõs, são obtios os valors zro para a méia um para o svio parão. Assim, a fórmula s mostra mais prática para a utilização: f(x x π

12 9. A FUNÇÃO DIRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE NORMAL N(x Figura 5 Gráfico a Função Distribuição Normal no aa uma função contínua nsia normal probabilia f(x, fin-s a função istribuição F (x a sguint manira: No caso a istribuição normal: F (x F (x x x f( π O valor obtio rprsnta a probabilia acumulaa uma variávl alatória X (como o valor uma ação no futuro atingir até um valor x: F( x P(X x A intgral aprsntaa não po sr rsolvia irtamnt, mas os rsultaos obtios por outros procssos s ncontram viamnt tablaos, sno facilmnt lvantaos. No caso, utiliza-s a rprsntação N( i, como aparc nas fórmulas para os prêmios as opçõs. O problma, ntã o, é achar os valors para i. m sguia, consultar uma tabla. rá o próximo tma.

13 3 0. A FÓRMULA DE BLACK/CHOLE Ao final a écaa 60 o século passao, coub a ois psquisaors amricanos Black chols a ialização as fórmulas para avaliar os prços as opçõs compra ou vna, ficano ssas fórmulas conhcias com os rspctivos noms. Voltano-s às fórmulas o tma 6: R c N( K N( p K R N( N( Para os valors os citaos psquisaors propusram as xprssõs: Ln R K Ln R K ambém po sr scrito: Os valors, K, R são vrificaos irtamnt, mas a volatilia ( vrá sr calculaa, sno usual ralizar-s uma stimação tno como bas uma séri valors históricos as opçõs, assunto o próximo tma. Nas fórmulas, aparcm cálculos para valors ngativos obtios a sguint manira: N ( N( ( N( N

14 4. VALOR DE UMA OPÇÃO DE COMPRA (c rá mostrao inicialmnt o cálculo o valor o prêmio uma opção compra por intrméio a fórmula Black/chols. Exmplo 5: Achar o o prêmio uma opção compra, aas as coniçõs o mrcao: $8,00 K $5,00 R 0% ao ano 6 mss (0,5 ano 5% ao ano Cálculos : 8 Ln 0,0 (0,5 0,5 5 ou 0,5 0,5 8 Ln 0,0 (0,5 0,5 5 ou 0,5 0,5,433,373 A partir sss valors consultano uma tabla istribuição normal: N( : N(,433 0,9876 N( : N(,373 0, ubstituino-s sss valors na fórmula o prêmio a opção compra, acha-s o valor mais justo para o msmo, sguno Black/chols: R c N( K N( : (0,0(0,5 c (8,00(0,9876 (5,00 (0,9884 c $3,75

15 5. VALOR DE UMA OPÇÃO DE VENDA (p rá mostrao agora o cálculo o valor o prêmio uma opção vna. Exmplo 6: Achar o o prêmio uma opção vna, aas as coniçõs o mrcao: $8,00 K $5,00 R 0% ao ano 6 mss (0,5 ano 5% ao ano C álculos N( ( : N N( N, assim: ( N(,433 N(,433 N(,433 0,9876 (calculao no xmplo 5 N(,433 0,04 N( N(, assim: N(,373 N(,373 N(,373 0,9844 (calculao no xmplo 5 N(,433 0,056 ubstituino-s sss valors na fórmula o prêmio a opção vna: R c K N( N( (0,0(0,5 c (5,00 (0,056 (8,00(0,04 c $0,0

16 6 3. EIMAÇÃO DA VOLAILIDADE O valor a volatilia para a fórmula Black/chols po sr obtio a partir uma séri histórica rgistros, consiraa como uma amostra. no: i : valor o ativo no momnto i; n : númro rgistros R i : rnimnto calculao por mio a fórmula Ln i i A stimativa a volatilia para o príoo é obtia por mio a fórmula s n (Ri R n i Na fórmula s é o svio parão R a méia. Para a rfrência anual: s 5 O valor 5 corrspon ao núm ro ias útis, quano há funcionamnto o mrcao (convnção. Exmplo 7: Achar a volatilia stimaa com bas nos valors iários rgistraos para uma ação: $0,0; $0,5; $0,04; $9.95; $0,00 $0,70. Variaçõs rspctivas: 0,0049; 0,009; 0,0090; 0,0050 0,0067. Aplicano-s a fórmula, ncontra-s 0,033 (3,3% para o príoo. Para a rfrência anual obtêm-s: 0,033 5 ou 0,53 (5,3% ao ano.

17 7 4. A GREGA DA OPÇÕE As fórmulas para as opçõs pnm cinco variávis, ao msmo tmpo:, K,, R. Assim, para acompanhar o fito ssas variávis na volução os prços as opçõs, lança-s mão as rivaas parciais, nominaas grgas as opçõs. O uso consagrou cinco rivaas, rlacionaas no quaro a sguir: NOME OPÇÃO DE COMPRA OPÇÃO DE VENDA DELA c N( p N( c GAMA ( N( ( N( p HEA c R RK N( ( N( p ( N( R RK N( c VEGA ( N( ( N( c R R RHO K ( N( R K ( N( c R p O cálculo ssas rivaas é rlativamnt trabalhoso por nvolvr multiplicação, ivisão variávis, assim como composição funçõs. Além isso, v sr obsrvaa a rlação ntr a função istribuição a função nsia probabilia, quano s calcula a rspctiva rivaa: N( π π ( ( N(

18 8 5. DERIVAÇÃO DA GREGA Como xmplo, scolhu-s o cálculo a rivaa parcial c: f(, K, R,,, rprsntativa o prêmio uma opção compra com rlação ao valor o ativo, pois lva a rsultaos útis para as outras rivaçõs: no N( K N( c ; R R K Ln ; R K Ln obtêm-s: N( K N( N( c R N( K N( N( c R π π Cálculos as rivaas : ou

19 9 ou ubstituino-as na xprssão c c : K N( R π π π K N( c R Fazno-s: ( K Ln K K K ubstituino-s sta xprssão m c R : π K Ln N( c

20 0 ( π K Ln R N( c Por outro lao ou R K Ln R K Ln R K Ln Explicitano-s : K Ln R. no quivalnt a K Ln R Vrifica-s portanto qu: π N( c. Portanto N( c.

21 6. EXERCÍCIO Rtomano-s os aos o xmplo 5, on: $8,00 K $5,00 R 0% ao ano 6 mss (0,5 ano Б 5% ao ano Dtrminar:. Dlta a opção compra:. Dlta a opção vna:

22 3. Gama a opção compra: 4. Gama a opção vna: 5. hta a opção compra: 6. hta a opção vna:

23 3 7. Vga a opção compra: 8. Vga a opção vna: 9. Rho a oção compra: 0. Rho a opção vna:

24 4 BIBLIOGRAFIA FORUNA, Euaro. Mrcao Financiro. E. Quality, Rio. rata-s um bst-sllr, vno-s procurar a ição mais rcnt. É uma obra funamntal para o conhcimnto o mrcao, ants um tratamnto mais quantitativo. LEMGRUBER, Euaro Facó. Avaliação Contratos Opçõs. BM&F, ão Paulo, 995. HIGHAM, Dsmon, J. Financial Option Valuation. E. Cambrig Univrsity Prss, Cambrig, 004. HULL, John. Options, Futurs an Othr Drivativs. Quinta ição. E. Prntic Hall, Nw Jrsy, 00. O livro Hull é tratao como uma vraira bíblia no assunto. Para os litors qu prfiram o txto m português há uma vrsão isponívl, ntrtanto ição antrior. KWOK, Y. K. Mathmatical Mols of Finantial Drivativs. E. pringr, Brlim, 998. Inicao para os litors com facilias m inglês intrssaos m um txto c contúo mais formal, o ponto vista matmático. NEO, Lauro A.., AGLIAVINI, Massimo. Opçõs o raicional ao Exótico. E. Atlas, ão Paulo. 994.