350 Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 3, Setembro, Avaliac~ao e Express~ao de Incerteza em Medic~ao

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1 350 Revista Basileia de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 3, Setembo, 1999 Avaliac~ao e Expess~ao de Inceteza em Medic~ao (Evaluation and expession of uncetainty in measuement) Jose Heniue Vuolo Instituto de Fsica, Univesidade de S~ao Paulo Caixa Postal 66318, CEP , S~ao Paulo, SP Basil Recebido em 5 de maio, 1998 Neste atigo, s~ao esumidas a teminologia e as egas geais elativas a avaliac~ao e expess~ao de incetezas de medic~ao, confome ecomendac~oes de expessivas oganizac~oes intenacionais ( BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML ). Emboa estas ecomendac~oes sejam elativamente ecentes, paece impotante sejam divulgadas e intoduzidas nos cusos expeimentais paa ci^encias exatas. Tambem s~ao discutidas algumas expess~oes ( em potugu^es ), sobe as uais existe alguma confus~ao na utilizac~ao ou na taduc~ao. In this aticle, it is pesented the teminology and the geneal ules fo the evaluating and expessing uncetainty in measuement, accoding to the ecommendations of expessive intenational oganizations ( BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML ). It seems impotant to divulge this teminology and the basic ules and to intoduce them in expeimental couses fo exact sciences. Moeove, it is discussed the tanslation ( fo Bazil ) o the utilization of some tems. I Intoduc~ao A teminologia sobe eos e incetezas de medic~ao sempe foi um pouco confusa, a comeca da confus~ao ente \eo" e \inceteza". A foma paa expessa a inceteza tambem nunca foi muito bem denida, desde o numeo de algaismos a seem escitos num esultado ate o signicado exato do ue esta sendo indicado como inceteza. Alem disso, as egas paa avaliac~ao de incetezas tambem sempe foam um pouco contovetidas, no ue se efee a avaliac~ao de incetezas esultantes de efeitos sistematicos e combinac~ao destas com as esultantes de efeitos aleatoios. As difeentes concepc~oes sobe estas egas e discutida em [1] e [2]. Alem dessas uest~oes, ainda pode se mencionado o fato ue as incetezas nos valoes das gandezas fsicas fundamentais t^em sido histoicamente subestimadas. Po exemplo [3], nos valoes anteioes a 1963, as incetezas foam apoximadamente subestimadas po um fato 3, em media. E povavel ue o mesmo ou pio tenha ocoido em outas medic~oes fsicas e ue a subestimac~ao de incetezas tenha pesistido nas decadas seguintes. Um esfoco paa esolve tais uest~oes vem sendo ealizado, ha mais de 10 anos, po gupos de tabalho constitudos po especialistas indicados pelas oganizac~oes intenacionais Bueau Intenational des Poids et Mesues ( BIPM ), Intenational Electotechnical Commission ( IEC ), Intenational Fedeation of Clinical Chemisty ( IFCC ), Intenational Oganization fo Standadization ( ISO ), Intenational Union of Pue and Applied Chemisty ( IUPAC ), Intenational Union of Pue and Applied Physics ( IUPAP ) e Intenational Oganization of Legal Metology ( OIML ). Um dos esultados dos tabalhos eoguide to the Expession of Uncetainty in Measuement, conhecido pela sigla GUM ( ou ISO-GUM ) e publicado em 1993, em nome das oganizac~oes citadas [4]. Este documento de mais de 100 paginas e tiagem total de 7500 exemplaes tem sido univesalmente difundido e aceito, tendo sido ja taduzido paa mais de 10 idiomas. Estas infomac~oes e um histoico sobe a elaboac~ao do GUM s~ao dadas pelo Pof. Mathiesen [5]. Uma ves~ao do GUM paa o Basil foi patocinada pelo INMETRO [6], sendo ue ja existe uma taduc~ao em Potugal. Documentos impotantes tais como EAL-R2 [7] e NIST-TN 1297 [8] t^em sido elaboados confome teminologia e pincpios basicos do GUM. Quanto a nomenclatua, o Intenational Vocabulay of Basic and Geneal Tems in Metology ( VIM ), [ 9, 10 ] esolve algumas uest~oes. Entetanto, impotantes expess~oes elativas a incetezas, ue s~ao popostas no GUM, ainda n~ao foam incopoadas ao VIM. Como exemplos, podem se mencionadas \inceteza pad~ao", \inceteza tipo A", \inceteza tipo B", \inceteza combinada" e \inceteza expandida". A avaliac~ao e expess~ao da inceteza de maneia unifomizada, se tonou muito impotante em tecnologia, devido a globalizac~ao da economia. E evidente ue um tatamento unifome tambem deveia se dedicado a medic~oes fsicas, em geal. A elaboac~ao do GUM oco-

2 Jose Heniue Vuolo 351 eu po iniciativa do BIPM [11] e, posteiomente, contou com a paticipac~ao das outas entidades, inclusive a IUPAP. Neste atigo, pocuou-se esumi as denic~oes e egas geais elativas a incetezas, confome os pincpios estabelecidos no GUM. Alem de divulga a teminologia coespondente ( em ingl^es ) poposta no GUM, pocuou-se discuti a taduc~ao de alguns temos contovetidos e tambem de outos, gealmente utilizados de maneia confusa. Paece impotante conhece esta nomenclatua e egas basicas, incopoando-as em disciplinas expeimentais de cusos de gaduac~ao em ci^encias exatas. II Discuss~ao de alguns temos Alguns temos impotantes, sobe os uais existe alguma confus~ao, s~ao discutidos nesta Sec~ao. Um vocabulaio elativo a incetezas, identicando as expess~oes ue apaecem no VIM, no GUM ou n~ao apaecem num ou nouto, e apesentado em [12]. Medic~ao ( Measuement) A palava \medic~ao" e a ecomendada na ves~ao basileia do VIM, aui chamada de VIM-BR [10]. Esta e a palava coeta paa se efei ao \ato de medi", confome dicionaio. A palava \medida" e extensivamente usada com o sentido de \medic~ao". Entetanto, isto deveia se evitado poue n~ao e muito coeto e tambem poue \medida" tem vaios outos signicados, tais como em \o desvio pad~ao e uma medida ( measue ) de dispes~ao" ou \a altua ja foi medida " ou ainda \a ultima medida ( esultado ) e a melho". Acuacia ou exatid~ao ( accuacy ) A acuacia ( ou exatid~ao ) indica a ualidade do esultado da medic~ao no ue se efee a inceteza nal. A taduc~ao ecomendada no VIM-BR e \exatid~ao". Entetanto, os adjetivos coespondentes ( exato, exata ) s~ao muito fotes e t^em um signicado bem denido, ue e o indicado no dicionaio e coespondente a palava inglesa \exact". Alem disso, a palava acuacia ja tem sido usada em outos textos [ 12, 13 ]. Outa vantagem de \acuacia" e a similaidade com \accuacy". Po estes motivos, a taduc~ao ecomendada no VIM-BR deveia se evisada, pelo menos deixando \acuacia" como altenativa. Pecis~ao ( pecision) A pecis~ao e uma indicac~ao pacial da ualidade da medic~ao, ue se efee apenas a utuac~oes aleatoias. Alem de boa pecis~ao, e necessaio ue os efeitos sistematicos sejam peuenos paa se te boa acuacia. A palava \pecis~ao" ( pecision ) e univesalmente aceita com este signicado. Po isso, emboa exista contovesia ente os temos \acuacia" e \exatid~ao", e inadmissvel taduzi \accuacy" como \pecis~ao" ou usa esta palava paa indica a ualidade da inceteza nal de um esultado, o ue infelizmente tem ocoido com feu^encia em manuais tecnicos e ate mesmo em textos cientcos. Mensuando( measuand ) Mensuando e denido no VIM como \a gandeza especca submetida a medic~ao". Entetanto, a denic~ao do mensuando numa medic~ao especca e uma uest~ao um pouco delicada. Ocoe ue, em geal, o nvel de detalhamento da denic~ao depende da acuacia pemitida pelo popio pocesso de medic~ao. Po exemplo, \ndice de efac~ao do a" pode se um mensuando bem denido paa uma expei^encia simples. Numa medic~ao mais elaboada devem se especicados compimento de onda, tempeatua e pess~ao atmosfeica na denic~ao do mensuando. Melhoando mais ainda a acuacia, deve-se especica tambem a composic~ao da amosta de a ( inclusive impuezas ) e assim po diante. No fomalismo paa avaliac~ao de inceteza, o valo (vedadeio ) do mensuando e uma uantidade desconhecida e desconhecvel ( ue n~ao pode se conhecida ). Deve se obsevado ue a palava \vedadeio" e edundante na expess~ao \valo vedadeio do mensuando" e pode-se usa apenas \valo do mensuando", como ecomendado no GUM. Entetanto, em cetas cicunst^ancias, especialmente paa ns didaticos, pode se util ou impotante enfatiza ue se tata do valo vedadeio. Eo ( eo ) O eo e a difeenca ente o esultado y da medic~ao eovalo do mensuando y v : = y, y v : (1) Uma vez ue o valo do mensuando e uma uantidade desconhecida e desconhecvel, esulta ue o eo de medic~ao tambem e uma uantidade desconhecida e desconhecvel, no fomalismo paa avaliac~ao de incetezas. Em cicunst^ancias excepcionais, o mensuando e conhecido com acuacia muito melho ue a pemitida pela medic~ao. Po exemplo, isto pode ocoe na afeic~ao de um euipamento e tambem e comum em expei^encias didaticas. Em tais casos, o eo pode se conhecido e isto gea ceta confus~ao. Po exemplo, um estudante ealiza a expei^encia de Millikan e a inceteza na caga do eleton deve se avaliada, como pate do esultado nal. Neste caso paticula, podea se calculado tambem o \eo de medic~ao", poue a caga do eleton e conhecida com acuacia muitssimo melho

3 352 Revista Basileia de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 3, Setembo, P limite de Bienayme-Chebyshev - k Figue 1.: Nveis de conanca paa valoes gandes de. ue a pemitida po uma expei^encia didatica simples. Entetanto, em nenhuma pate do fomalismo paa avaliac~ao de inceteza, pode se consideado ue o mensuando ou o eo sejam conhecidos. Inceteza ( uncetainty) Inceteza e um conceito ualitativo denido no VIM como \pa^ameto associado ao esultado de uma medic~ao ue caacteiza a dispes~ao de valoes ue pode se fundamentadamente atibudos ao mensuando". A inceteza, como conceito uantitativo, deve se devidamente ualicada com adjetivo conveniente. Como pode se visto, \eo" e \inceteza" s~ao conceitos bastante difeentes, ue devem se escupulosamente distinguidos, especialmente paa ns didaticos. A inceteza pad~ao ( standad uncetainty) e a inceteza dada na foma de desvio pad~ao. A inceteza tipo Ae a inceteza avaliada a pati da analise de uma seie de obsevac~oes, ealizada confome os metodos da estatstica classica. A inceteza tipo Be a inceteza avaliada po uaisue outos metodos, ue n~ao os metodos estatsticos classicos. Em geal, paa estima a inceteza tipo B, os metodos empegados coespondem a estatstica bayesiana [ 2, 14, 15 ]. Inceteza pad~ao tipo Ae inceteza pad~ao tipo B s~ao as incetezas tipo A e tipo B dadas na foma de desvio pad~ao, espectivamente. Inceteza combinada e a ue esulta da combinac~ao de incetezas tipo A e tipo B, paa se obte a inceteza nal. Inceteza pad~ao combinada e a inceteza combinada dada na foma de desvio pad~ao. Intevalo de conanca (inteval of condence) A conanca P de uma amativa e a pobabilidade de ue esta amativa seja coeta. Se Z e ova- lo vedadeio de uma uantidade deteminada po metodos estatsticos, pode-se considea a amativa \z 1 Z z 00 2 com pobabilidade P de se coeta. O intevalo [z 1 ;z 2 ]eumintevalo de conanca P paa a uantidade Z e P e onvel de conanca. No caso mais simples, z e amedia de n medic~oes de Z, sendo s o desvio pad~ao expeimental na media. A pecis~ao na deteminac~ao de Z pode se avaliada pelo intevalo de conanca : z, ks Z z + ks ( com conanca P ): (2) A Figua 1 mosta P (%) em func~ao de k paa algumas distibuic~oes de pobabilidade, no limite de gandes valoes de n (numeo de gaus de libedade muito gande ). No caso em ue o numeo de gaus de libedade e peueno, o nvel de conanca e meno. Po exemplo, no caso da distibuic~ao gaussiana, o nvel de conanca P (k) paa cada pode se obtido a pati da distibuic~ao-t de Student [ 4, 13, 14, po exemplo].

4 Jose Heniue Vuolo 353 A expess~ao \condence inteval" e utilizada no GUM paa se efei ao conceito desta expess~ao, tal como denido na estatstica classica. Paa se efei a um \intevalo de conanca" paa um mensuando deteminado a pati de uma medic~ao, envolvendo inclusive incetezas tipo B, a expess~ao utilizada no GUM e \inteval of condence". Uma distinc~ao deste tipo e impossvel em potugu^es. Po isso, a expess~ao utilizada aui e \intevalo de conanca" simplesmente, nos dois casos. As mesmas consideac~oes se aplicam a expess~ao \nvel de conanca". Uma sugest~ao de taduc~ao e \intevalo de cedibilidade". Na Refe^encia [15], a expess~ao \cedibility inteval" e utilizada paa se efei ao coespondente bayesiano do \intevalo de conanca classico". Inceteza expandida ( expanded uncetainty) Inceteza expandida ( expanded uncetainty) e a inceteza pad~ao multiplicada po um fato de abang^encia k (coveage facto ), de foma a deni um intevalo de conanca maio ue o coespondente a inceteza pad~ao. Repetitividade e epodutibilidade Repetitividade e epodutibilidade ( epeatability and epoducibility) s~ao temos distinguidos no VIM. Repetitividade se efee ao gau de concod^ancia ente esultados de medic~oes epetidas exatamente nas mesmas condic~oes. Repodutibilidade se efee a medic~ao do mesmo mensuando em condic~oes modicadas ou difeentes. Efeitos sistematicos e aleatoios Expess~oes tais como \eo aleatoio", \eo sistematico", \inceteza aleatoia" e \inceteza sistematica" s~ao tadicionalmente usadas em fsica. Entetanto, esta nomenclatua n~ao e usada no GUM ue, alem disso, ecomenda ue n~ao seja utilizada. A justi- cativa paa isto e o caate elativo do ue seja efeito sistematico ou efeito aleatoio. Um exemplo simples e o eo de ajuste de \zeo" de um instumento, ue pode se sistematico paa uma seie de medic~oes. Entetanto, se o \zeo" e ajustado paa cada medic~ao, o eo se tona aleatoio. Numa medic~ao especca, eos sistematicos e eos aleatoios, bem como as espectivas incetezas, cam bem caacteizados. Po isso, paece pefevel mante esta nomenclatua tadicional, paa ns didaticos. Entetanto, deve sempe ca clao o caate elativo da distinc~ao ente \eo aleatoio" e \eo sistematico". Independente destas uest~oes, uma coec~ao num deteminado esultado nunca deveia se identicada como \eo sistematico", como muitas vezes ocoe. Em geal, uma \coec~ao" acaba esultando em \eo sistematico" poue a coec~ao nunca e pefeita. As expess~oes \eo aleatoio" ( andon eo ) e \eo estatstico" ( statistical eo ) s~ao utilizadas com o mesmo signicado em muitos textos [ 12, 13, 14, po exemplo]. Entetanto, a expess~ao \eo aleatoio" paece mais coeta. A expess~ao \eo estatstico" e mais adeuada paa caacteiza o eo de \amostagem", uando a popia gandeza sob medic~ao e aleatoia. Po exemplo, na medic~ao de adioatividade, o sistema de detecc~ao pode se capaz de conta exatamente o numeo de patculas ue atinge o detecto. Entetanto, existe \eo estatstico" devido a utuac~ao intnseca no numeo de patculas ue atingem o detecto, num deteminado intevalo de tempo. III Avaliac~ao da inceteza tipo A A inceteza pad~ao tipo A ( u A ) pode se identicada com o desvio pad~ao expeimental ue e uma estimativa n~ao-tendenciosa ( unbiased ) paa o desvio pad~ao [ 14, po exemplo ]. No caso mais simples, a medic~ao e epetida n vezes exatamente nas mesmas condic~oes obtendo-se os esultados y 1, y 2, :::, y n. A melho estimativa paa o valo do mensuando e a media y e a estimativa n~aotendenciosa paa a inceteza tipo A e u A = u p n ; onde u 2 = 1 n, 1 nx i=1 (y i, y) 2 : (3) Neste caso, o numeo de gaus de libedade e = (n, 1). Casos mais complicados, tais como gandezas deteminadas a pati de ajuste de func~oes, s~ao usualmente discutidos em livos de tatamento estatstico de dados expeimentais [ 12 a 15, po exemplo]. Alem da inceteza pad~ao tipo A em cada gandeza, devem se indicadas tambem as covai^ancias e o coespondente numeo de gaus de libedade. IV Avaliac~ao da inceteza tipo B A inceteza pad~ao tipo B tambem deve se dada na foma de desvio pad~ao. Entetanto, n~ao existe a estatstica convencional paa faze isto, simplesmente poue n~ao existem vaias obsevac~oes. No ue segue, s~ao tanscitos em italico, alguns techos do GUM. Se uma uantidade de entada X n~ao e deteminada po meio de obsevac~oes epetidas, a inceteza tipo B e avaliada pelo julgamento cientco baseado em toda infomac~ao disponvel sobe a vaiabilidade da uantidade de entada. Oconjunto ( pool ) de infomac~oes pode inclui dados de expei^encias pevias, expei^encia ou conhecimento geal do compotamento e

5 354 Revista Basileia de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 3, Setembo, 1999 popiedades dos mateiais e instumentos elevantes, especicac~oes de fabicantes, dados fonecidos em ceticados de calibac~ao e outos ceticados e incetezas atibudas a dados de efe^encia obtidos em manuais ( handbooks ). Um dos poblemas e ue a avaliac~ao da inceteza tipo B e bastante subjetiva pois eete, em gande pate, o gau de conhecimento do avaliado sobe o mensuando e a medic~ao. No ue segue, e tanscito um techo do GUM [ 4 ] ue, emboa n~ao seja efeente especicamente a inceteza tipo B, paece se aplica paticulamente bem a este tipo de avaliac~ao. \ Although this guide povides a famewok fo assessing uncetainty, it cannot substitute fo citical thinking, intellectual honesty and pofessional skill. The evaluation of uncetainty is neithe a outine task no a puely mathematical one; it depends on detailed knowledge of the natue of the measuand and of the measuement. The uality and the utility of the uncetainty uoted fo the esult of a measuement theefoe ultimately depend on the undestanding, citical analysis, and integity of those who contibute to the assignment of its value." O pocedimento paa deteminac~ao da inceteza tipo B consiste em admiti, paa os valoes possveis de X, uma distibuic~ao de pobabilidades ue esteja de acodo com todo conhecimento e infomac~ao disponveis sobe a \vaiabilidade" desta uantidade. O temo \vaiabilidade" se efee a valoes possveis de X, ue tem valo unico. O pocedimento estabelecido no GUM paa avaliac~ao de inceteza tipo B coesponde ao pincpio inicial da estatsticabayesiana, ue consiste em admiti uma distibuic~ao de pobabilidades a pioi paa a vaiavel aleatoia. Discuss~oes mais detalhadas s~ao apesentadas em [2],[14] e [15], po exemplo. A segui, s~ao discutidos alguns exemplos. a. Distibuic~ao etangula Como exemplo, uma uantidade de entada X esta num intevalo ente a, e a +, sendo ue isto e tudo o ue se sabe sobe a \vaiabilidade" de X. Aunica altenativa aceitavel e admiti ue X pode esta em ualue ponto do intevalo com igual pobabilidade. Isto e, pode-se admiti, paa os valoes possveis de X, uma distibuic~ao etangula de pobabilidades de lagua 2a. Assim, esulta ue a melho estimativa paa X e x = a + + a, (4) 2 e a inceteza pad~ao e o desvio pad~ao da distibuic~ao etangula : u = a p 3 ; onde a = a +, a, 2 : (5) Este modelo paa a distibuic~ao de pobabilidades se aplica uando n~ao existe absolutamente nenhuma infomac~ao sobe X, exceto ue esta uantidade esta ente a, e a +. Qualue infomac~ao adicional implica na necessidade de modica o modelo. Se, po exemplo, ualue infomac~ao adicional indica ue e mais povavel ue X esteja no cento do intevalo, pode-se adota um distibuic~ao \tapezoidal" ( ti^angulo sobe o et^angulo ) ou uma distibuic~ao tiangula. Estas distibuic~oes e exemplos s~ao discutidos no GUM [4,6]. b. Distibuic~ao de Laplace-Gauss A distibuic~ao de Laplace-Gauss, tambem chamada de gaussiana ou nomal, e bastante usada paa epesenta a dispes~ao de valoes possveis de uma uantidade. Uma justicativa paa isto e oteoema Cental do Limite, ue em sua ves~ao mais geal tambem e denominado Teoema de Lindebeg-Felle, [ 16, po exemplo ]. Numa linguagem bastante simplicada e adaptada paa o poblema em uest~ao, o Teoema Cental do Limite estabelece ue se um eo e a soma de um numeo muito gande de peuenos eos ue t^em distibuic~oes aleatoias uaisue com vai^ancias nitas, ent~ao a distibuic~ao esultante paa e uma distibuic~ao gaussiana. Alem disso, a vai^ancia da distibuic~ao esultante e a soma das vai^ancias das distibuic~oes envolvidas na convoluc~ao. Uma discuss~ao mais detalhada e apesentada em [16]. Na patica, a convoluc~ao de poucas distibuic~oes de eos compaaveis convege muito apidamente paa uma distibuic~ao gaussiana. Po exemplo, a combinac~ao de 3 eos compaaveis, seguindo distibuic~oes etangulaes, esulta numa distibuic~ao muito poxima da gaussiana [ 12, 17, po exemplo]. Como pode se visto do Teoema Cental do Limite, a distibuic~ao nomal deve desceve bema\vaiabili- dade" dos valoes possveis de X, uando ca clao ue esta esulta de vaias contibuic~oes compaaveis e os limites a, e a + n~ao sejam totalmente conaveis. A melho estimativa de X e dada pela E. (4). Entetanto, sempe existe a diculdade de atibui um nvel de conanca P ao intevalo [ a, ;a + ]. Uma vez ue o valo de P seja estabelecido confome a infomac~ao disponvel, a inceteza pad~ao u pode se estimada : u = a +, a, 2 k = a k ; (6) onde k e obtido da func~ao de distibuic~ao gaussiana F (ku) : 100 F (ku = a) = P (%). Deve se obsevado ue F (ku) e a integal da func~ao de densidade de pobabilidade ente os limites (x, ku) e(x + ku). Valoes de P e k s~ao dados na Fig. 1. c. Distibuic~ao ualue Uma elac~ao ue pode se util na avaliac~ao de inceteza tipo B e a ineuac~ao de Bienayme-Chebyshev [18].

6 Jose Heniue Vuolo 355 Paa uma func~ao de densidade de pobabilidade ualue com media x evai^ancia nita u 2, a pobabilidade de ocoe j X, x j ku e P (1, 1 ) ( j X, x j ku ) : (7) k2 Assim, paa um dado valo de k, a ineuac~ao de Bienayme-Chebyshev gaante um nvel de conanca mnimo, ualue ue seja a distibuic~ao de pobabilidades. ( Fig. 1 ). Invesamente, dado um nvel de conanca P, a ineuac~ao indica o valo maximo paa k ( Fig. 1 ). Isto pode auxilia na escolha de k paa estima a inceteza tipo B ( u = a=k ). Exemplo simples Como exemplo simples, pode-se considea um instumento paa o ual o fabicante estabelece um \limite de eo" a paa o valo indicado. Deve se escolhida uma distibuic~ao paa os valoes possveis da uantidade, a pati de dados fonecidos pelo fabicante e a pati de toda infomac~ao e conhecimento a espeito do instumento e da calibac~ao do mesmo. Paa instumentos analogicos, existia uma ega antiga, segundo a ual \eo" ( de calibac~ao ) nunca deveia se maio ue a meno divis~ao. Assim, o \limite de eo" a e igual a meno divis~ao. Admitindo distibuic~ao gaussiana e 95% de conanca paa o limite de eo ( k = 2 ), obtem-se a famosa ega da \metade da meno divis~ao (u = a=2 ). Se fosse admitida uma distibuic~ao etangula, o esultado n~ao seia muito difeente ( u = a=1; 73 ). Entetanto, deve se obsevado ue esta ega, atualmente n~ao e mais valida, em geal. Po exemplo, paa uma egua metalica de boa ualidade, o limite de eo e seguamente meno ue a meno divis~ao. Po outo lado, existem paumetos ( de boa ualidade ) com n^onio de 50 divis~oes, paa os uais o limite de eo de calibac~ao e maio ue a meno divis~ao ( 20 m ). Alem disso, instumentos digitais, t^em eo de calibac~ao bem maio ue a meno leitua, em geal. V Inceteza combinada Em geal, o mensuando Y dado po e admitido como sendo Y = f ( X 1 ;X 2 ; ::: X N ) ; (8) onde X i s~ao valoes vedadeios das uantidades de entada. Se esses valoes s~ao estimados po valoes x i, obtem-se y = f (x 1 ;x 2 ;:::;x N ) como estimativa paa o mensuando. A combinac~ao de incetezas deve se feita pela fomula usual de popagac~ao de incetezas [ 4, 12, 13, po exemplo]. Na aus^encia de coelac~ao ente as uantidades de entada, a inceteza combinada e dada po onde u 2 c (y) = NX i=1 u i (y) = j c i j u i (x i ) ; sendo c i = u 2 i (y) i x 1;x 2;:::;xN (10) O coecientes c i s~ao chamados coecientes de sensibilidade paa a vaiavel X i : Se existe coelac~ao ente as uantidades de entada, deve-se usa a fomula de popagac~ao de incetezas completa, incluindo covai^ancias [ 4, 12, 13, po exemplo ]. Afomula de popagac~ao de incetezas pode se usada paa inceteza pad~ao ou paa inceteza expandida. Se as incetezas pad~oes s~ao multiplicadas pelo mesmo fato de abang^encia k, esulta a inceteza pad~ao combinada multiplicada pelo mesmo fato de abang^encia. Isto e, obtem-se a inceteza combinada expandida. Exemplo simples Um exemplo simples e comum e a medic~ao com um instumento na ual, em pimeia apoximac~ao, podem se consideados apenas eos aleatoios de medic~ao e o eo de calibac~ao do instumento. Isto e, o mensuando Y e dado po Y = X + C (11) onde X e a uantidade de entada, obtida dietamente na medic~ao e C e uma coec~ao desconhecida, devida a eo de calibac~ao. As uantidades X e C s~ao estimadas como x e c, espectivamente, e y =(x + c). A inceteza pad~ao combinada e obtida a pati de (11) e (9) : u = p u 2 x + u 2 c : (12) Po hipotese, x e obtido a pati de n medic~oes e so tem eos aleatoios. Assim, a inceteza em x e de tipo A e obtida pela E. (3) ( u x = u A ). Po hipotese, a inceteza em c e apenas devida a eo de calibac~ao ee de tipo B ( u c = u B ). Assim, esulta a inceteza pad~ao combinada paa y : u = u 2 + A u2 B : (13) Em geal, uando n~ao se tem nenhuma estimativa paa a coec~ao de calibac~ao do instumento, c = 0e y = x. A inceteza u B = u c deve se estimada, usando todo conhecimento e infomac~ao disponvel sobe o instumento. Deve-se avalia o limite de eo de calibac~ao ( a ), espectivo nvel de conanca e adota uma distibuic~ao paa valoes possveis do mensuando C. Po exemplo, se a distibuic~ao e etangula e o nvel de con- anca paa o intevalo 2a e 100 %, esulta u B = p a= 3. :

7 356 Revista Basileia de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 3, Setembo, 1999 Em cetos casos, a coec~ao C e desconhecida, mas c pode se difeente de zeo e deve se estimada. Um exemplo e o chamado \eo cosseno". Po exemplo, isto ocoe se C = (1, cos ) (14) e = 0, mas tem um eo de calibac~ao. Mesmo ue a distibuic~ao de valoes possveis de seja centada em zeo, os valoes possveis de C n~ao se distibuem em tono de zeo e o valo medio coespondente e positivo. Eos do tipo \cosseno" s~ao discutidos em [4] e [17], po exemplo. VI Numeo de gaus de libedade Na avaliac~ao da inceteza pad~ao tipo A, o numeo de gaus de libedade e A = n, m, onde n e onumeo de obsevac~oes independentes e m e onumeo de uantidades deteminadas. No caso mais simples, a uantidade e amedia e o numeo de gaus de libedade e A = n, 1. A inceteza pad~ao estimada pela E. (3) tem uma inceteza pad~ao dada po [ 4, 13, po exemplo ] u A = u A p : (15) 2 A Esta elac~ao mosta ue a \inceteza na inceteza" esta dietamente elacionada com o numeo de gaus de libedade. A E. (15) pemite associa um numeo de gaus de libedade B a inceteza pad~ao tipo B ( u B ). Se u B e a inceteza pad~ao em u B : B 1 2 ub u B 2 : (16) Assim, se a \inceteza" na inceteza u B e estimada, obtem-se uma estimativa paa B. Po exemplo, se a inceteza em u B e estimada em 25 %, esulta B =8. O numeo degaus de libedade efetivo ef paa a inceteza combinada tambem pode se estimado. Se cada inceteza u i (y) na E. (9) tem uma inceteza u i, a \inceteza" na inceteza combinada e obtida pela popia fomula de popagac~ao de incetezas. Substituindo as incetezas u i em temos dos espectivos gaus de libedade, obtem-se a fomula de Welch- Sattethwaite [4,6]: u 4 c ef = NX i=1 u 4 i i : (17) Paa numeo de gaus de libedade da odem de 10, a E. (15) mosta ue a \inceteza" na inceteza e da odem de 22 %. Isto signica ue a inceteza de tipo A e deteminada com \inceteza" elativamente gande. Assim, a deteminac~ao de inceteza tipo B pode se t~ao boa ou ate melho ue a de tipo A, uando o numeo de gaus de libedade estatstico n~ao e muito gande. Esta obsevac~ao e impotante poue metodos estatsticos convencionais ( classicos ) s~ao inuestionados e aceitos como de alta ualidade, enuanto ue pocedimentos tais como os indicados na Sec~ao IV paa detemina a inceteza de tipo B s~ao citicados. VII Inceteza expandida Paa distibuic~ao gaussiana de eos, a inceteza pad~ao u dene um intevalo de conanca de apoximadamente 68 % paa os valoes possveis do mensuando, no caso de numeo de gaus de libedade azoavelmente gande. Neste caso, as incetezas expandidas ku, com valoes de k de 2 a 3, denem intevalos com conanca de 95 a 99 %, apoximadamente ( E. (2) e Fig. 1 ). E impotante obseva ue paa k = 1,o nvel de conanca vaia de 62,8% a 68,3% confome vaia de 4 ate 1.Entetanto, no caso k = 3, paa a mesma vaiac~ao de, o nvel de conanca vaia de 95,9% a 99,7%. Em geal, esta difeenca tem implicac~oes paticas muito mais gaves ue a difeenca paa k =1. Alem disso, os nveis de conanca paa inceteza expandida ( k 2) s~ao muito dependentes da foma da distibuic~ao. A Fig. 1 mosta ue paa k = 1; 5 os nveis de conanca paa as distibuic~oes gaussiana e etangula s~ao poximos. Paa uma distibuic~ao tiangula, o valo tambem e poximo. Ate mesmo o valo mnimo dado pela ineuac~ao de Bienayme-Chebyshev paa uma distibuic~ao ualue, n~ao e muito difeente. Entetanto, paa k = 2 os valoes s~ao completamente discepantes. Estas consideac~oes mostam as diculdades e inconveni^encias de se indica inceteza expandida paa gandes valoes do fato de abang^encia k. Como ega geal, deve-se evita indica a inceteza expandida e, uando isto fo necessaio, o fato de abang^encia nunca deve se maio ue 2 ou 3. A atibuic~ao de um nvel de conanca util exige ue a distibuic~ao de pobabilidades seja azoavelmente bem deteminada e o numeo de gaus de libedade azoavelmente gande. O Teoema Cental do Limite estabelece um atenuante paa as diculdades de intepeta a inceteza combinada e atibui intevalos de conanca, uando incetezas tipo B s~ao envolvidas. Quando a inceteza combinada esulta de vaias contibuic~oes compaaveis, mesmo com difeentes distibuic~oes de eos, o Teoema Cental do Limite indica ue a convoluc~ao dos difeentes eos deve se apoxima de uma distibuic~ao gaussiana. Uma discuss~ao mais detalhada e apesentada na Refe^encia 16.

8 Jose Heniue Vuolo 357 VIII Fomas de apesenta a inceteza Em pincpio, a inceteza nal no esultado da medic~ao deve se apesentada de foma ue pemita ao leito efaze completamente os calculos, uando necessaio. Po exemplo, valoes mais acuados paa constantes usadas nos calculos, podem se tona acessveis. Um exemplo classico desta situac~ao ocoeu na expei^encia de Millikan. O valo da caga do eleton foi coigido 16 anos mais tade, usando um valo mais acuado paa a viscosidade do a. Num esultado nal, a inceteza deve se ualicada, indicando explicitamente se e a inceteza pad~ao ou uma inceteza expandida com um dado fato de abang^encia. Alem disso, devem se apesentados o numeo de gaus de libedade, convai^ancias uando fo o caso, descic~ao detalhada do metodo de calculo e listagem completa de todas as uantidades de entada, impotadas ou deteminadas expeimentalmente, juntamente com as espectivas incetezas tipo A e tipo B. Tambem devem se indicadas explicitamente as incetezas tipo A e tipo B do esultado nal e espectivos gaus de libedade. Algaismos signicativos N~ao existem egas bem estabelecidas paa o numeo de algaismos a se indicado na inceteza. Entetanto, e consenso ue, n~ao mais ue 2 algaismos signicativos sejam indicados na inceteza pad~ao, exceto em casos muito excepcionais. A justicativa paa isto e ue a \inceteza" na inceteza nunca e muito peuena, exceto em casos excepcionais em ue o numeo de gaus de libedade seja excepcionalmente gande. Textos bastante expessivos tais como o GUM ou a listagem de valoes do CODATA paa asconstantes fsicas fundamentais [19] usam sempe 2 algaismos signicativos paa a inceteza. Paece ue o mais azoavel e adota esta ega geal, emboa n~ao seja muito consistente. Po exemplo, se a inceteza num di^ameto e conhecida apenas como sendo u d = 0; 18 m, n~ao e muito consistente dize ue a inceteza no aio e u = 0; 090 m. Seia mais consistente esceve u d =0; 09 m. Po outo lado, e inaceitavel aedonda u = 0; 14 m paa u = 0; 1 m ou aedonda u = 0; 16 m paa u = 0; 2 m. Em [12], e sugeida a ega de usa obigatoiamente 2 algaismos signicativos uando o pimeio algaismo na inceteza pad~ao e 1,2 ou3. Independente de se usa um ou dois algaismos paa a inceteza num esultado nal, os calculos intemediaios, devem sempe se feitos com mais algaismos, pefeivelmente 3, uando disponveis, paa evita eos de aedondamento. Num esultado nal, a uantidade deve se sempe indicada com os algaismos consistentes com a inceteza pad~ao. Em calculos intemediaios, devem se usados mais algaismos, uando disponveis. Fomas compactas E evidente a necessidade de fomas compactas paa indica a inceteza e n~ao ha muito consenso sobe isto. A Tabela 1 mosta 3 opc~oes paa epesenta a inceteza pad~ao. Tabela 1. Fomas compactas paa indica a inceteza pad~ao. 1 (12; 435 0; 067 ) mm 2 12; 435 (67) mm 3 12; 435 (0; 067) mm A foma 1 ( )e a tadicionalmente usada em fsica expeimental e estatstica paa indica desvio pad~ao ou inceteza dada nesta foma ( u ). Isto e, dene um intevalo de lagua 2u com conanca de 68 %, apoximadamente, no caso de distibuic~ao gaussiana. O poblema e ue a mesma foma tambem e usada em outas aeas, po exemplo, em especicac~oes tecnicas, paa intevalo 2u com conanca bem maio, poxima ou igual a 100 %. De ualue modo, uando esta foma e utilizada, deve se explicitamente mencionado em alguma pate do texto se indica inceteza pad~ao ou inceteza expandida. A foma 2 e inconveniente no manuseio de dados, poue e sempe a inceteza ue dene os algaismos ue devem se consideados em cada etapa. Alem disso tem a desvantagem de n~ao apesenta nenhuma edund^ancia. Do ponto de vista didatico, isto e inconveniente, poue o aluno iniciante n~ao sabe ainda manusea com seguanca os algaismos signicativos. A foma 3 elimina, em gande pate, todos os poblemas anteioes. Po isso, paece se a melho. Entetanto, esta foma tem sido muito pouco usada, infelizmente. IX Comentaios e conclus~oes N~ao e objetivo deste atigo detalha pocedimentos paa avaliac~ao de incetezas, mas apenas esumi os pincpios geais contidos no GUM [4,6]. Os pocedimentos paa avaliac~ao de inceteza tipo A s~ao metodos estatsticos bem conhecidos. Quanto a avaliac~ao da inceteza tipo B, n~ao existe nenhum pocedimento detalhado, exceto ue o avaliado deve escolhe uma distibuic~ao de pobabilidades paa valoes possveis da gandeza, sendo ue esta escolha deve incopoa toda infomac~ao disponvel sobe o mensuando e a medic~ao. Isto coesponde ao pocedimento inicial da estatstica bayesiana.

9 358 Revista Basileia de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 3, Setembo, 1999 Outo objetivo deste atigo e divulga a nomenclatua estabelecida no GUM ( em ingl^es ). Entetanto, deve se obsevado ue o GUM e um documento ue tem tido ampla aceitac~ao po metologistas e instituic~oes nacionais ligadas a Metologia. Emboa seja endossado pela IUPAP, ainda existem contovesias e uest~oes a seem esolvidas. Alem disso, o documento e elativamente ecente e, potanto deve se submetido a evis~oes e incopoa sugest~oes. De ualue modo, e pouco povavel ue a nomenclatua e os pincpios basicos estabelecidos no GUM, com excec~ao de detalhes, n~ao venham a se assimilados po fsicos expeimentais e outos possionais de ci^encias exatas e tecnologia. Po isso, paece impotante ue esta nomeclatua seja intoduzida em disciplinas expeimentais de cusos de gaduac~ao nestas aeas. Agadecimentos ao Pof. Giogio Moscati, pelo apoio e incentivo, manifestados em divesas ocasi~oes, com elac~ao ao estudo deste tema. Refeences [1] Colclough, A.R., 1987, Two Theoies of Expeimental Eo, J. Reseach National Bueau of Standads, Vol. 92=3, pp.167. [2] Weise, K. and Woge, W., 1992, A Bayesian theoy of measuement uncetainty, Meas. Sci. Technol. 3, pp.1. [3] Petley, B.W., 1985, The Fundamental Physical Constants and the Fontie of Measuement, Adam Hilge Ltd, London. [4] BIPM/IEC/IFCC/ISO/IUPAC/IUPAP/OIML, 1993, Guide to the Expession of Uncetainty in Measuement, ( coected and epinted, 1995 ) Intenational Oganization fo Standadization (ISO), Geneva. [5] Mathiesen, O., 1997, Evaluation of Uncetainty in Measuement, Lectue in the Advanced School of Metology ( INMETRO ), Anga dos Reis, Mach [6] BIPM/IEC/IFCC/ISO/IUPAC/IUPAP/OIML, 1998, Guia paa Expess~ao da Inceteza de Medic~ao, 2a Ves~ao Basileia, INMETRO, Rio de Janeio. [7] EAL-R2, Expession of the Uncetainty of Measuement in Calibation, Euopean Coopeation fo Acceditation Laboatoies, Ultech, The Nedelands ( 1997 ). [8] NIST Technical Note 1297, 1994, Guidelines fo Evaluation and Expessing Uncetainty of NIST Measuement Results, U.S. Govenment Pinting Oce (Washington,USA). [9] BIPM/IEC/IFCC/ISO/IUPAC/IUPAP/OIML, Intenational Vocabulay of Basic and Geneal Tems in Metology, 2nd Edition, Intenational Oganization fo Standadization, Geneva. [10] INMETRO, 1995, Vocabulaio Intenacional de Temos Fundamentais e Geais em Metologia, INMETRO, Duue de Caxias ( RJ ), ( Ves~ao taduzida da Refe^encia anteio ). [11] Colle, R. and Kap, P., 1987, Measuement Uncetanties: Repot of an Intenational Woking Goup Meeting, J. Reseach National Bueau of Standads, Vol. 92=3, pp.243. [12] Vuolo, J. H., 1996, Fundamentos da Teoia dos Eos, 2a Edic~ao, Editoa Edgad Bluche, S~ao Paulo. [13] Helene, O.A.M. e Vanin, V.R., 1981, Tatamento Estatstico de Dados em Fisica Expeimental, Ed. Edgad Bluche Ltda, S~ao Paulo. [14] Vanin, V.R. e Gouon, P., 1996, Topicos Avancados em Tatamento Estatstico de Dados Expeimentais, Edic~ao Pelimina ( livo ), Instituto de Fsica da USP, S~ao Paulo. [15] Hay, F. M. and Walle, R. A., 1994, Bayesian Methods, in Statistical Methods fo Physical Science, J. L. Stanfod and S. B. Vademan, Eds., Academic Pess, New Yok. [16] Woodoofe, M., 1975, Pobability with Aplications, McGaw-Hill Kogakusha, Tokyo. [17] Cohen, E. R., 1992, Uncetainty and Eo in Physical Measuements in Poceedings of the Intenational School of Physics \Enico Femi", Couse CX, Noth- Holland, Amstedam. [18] Estle, W. T, 1997, A Distibution-Independent Bound on the Level of Condence in the Result of a Measuement, J. Res. Natl. Inst. Stand. Technol. Vol. 102/5, pp [19] Cohen, E. R., and Taylo, B. N., 1987, The 1986 CO- DATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants, J. Res. National Bueau of Standads, Vol. 92=2, pp.85.