CALCULO: Derivada - Fundamentos Prof. Lúcio Fassarella

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1 CALCULO: Derivada - Fundamentos Prof. Lúcio Fassarella As questões desta lista estão divididas em três gruos: conceitual, oeracional e alicado. Os objetivos desses gruos de questões são distintos, mas todos são imortantes: as questões conceituais visam ar e articular os conceitos teóricos, as questões comutacionais visam desenvolver a caacidade de maniulação algébrica, as questões alicadas visam ilustrar o uso dos conceitos e das técnicas na resolução de roblemas contetualizados ou alicados. Questões conceituais 1. Seja f : I! R função derivável em 0 2 I. (a) Elique o signi cado analítico da derivada f 0 ( 0 ). (b) Elique o signi cado geométrico da derivada f 0 ( 0 ). (c) Relacione os signi cados analítico e geométrico da derivada f 0 ( 0 ) em termos da aroimação linear de f em torno de Seja f : I! R. Prove que se f é derivável em 0 2 I, então f é contínua em Enuncie o Teorema do Valor Médio. 4. Sejam f; g : I! R funções deriváveis no intervalo I R. Prove ou aresente contra-eemlos ara as seguintes questões: (a) Se f 0 () > 0 em I, então f é crescente? (b) Se f é crescente em I, então f 0 () > 0? (c) Se f () > g () em I, então f 0 () > g 0 ()? (d) Se f 0 () > g 0 () em I, então f () > g ()? Questões oeracionais 1. Calcule as derivadas das funções: 2. Calcule os limites e i) vi) e tan2 () ii) vii) 7 3 iii) 3= viii) log 6 3 iv) 5=3 + 1 i) 1= tan ( ) v) sin 2 () ) arctan ( ) cos() 1 i) lim!0 sin () = vi) lim!0 2 ii) lim!1 sin () = 2 1 cos() 1 vii) lim!0 iii) lim! = 2 1 cos(a) 1 viii) lim!0 cos(b) 1 iv) lim!1 2 =e i) lim! v) lim!0+ ln ) lim!1 1 + a i) lim + a 2!1 + b 2 e a e a ii) lim!0 3. Use o Método de Newton ara resover as seguintes equações com a recisão " rescrita: i) = 0 cos (3) = sin (2) 2 ii) iii) = 2 " = 0:0001 " = 0:0001 " = 0:00001 e b e b 1

2 Problemas contetualizados Geometria analítica 1. Determine uma eressão ara o ângulo agudo entre as retas tangentes aos grá cos de duas funções reais diferenciáveis f e g que se intersectam no onto 0 = ( 0 ; y 0 ). 2. Determine as retas tangente e normal ao grá co da função f () = no onto (2; 4). 3. Determine as retas tangentes à elise y 2 = 40 cuja inclinação seja m = 2=9. 4. Determine os ângulos agudos entre as retas tangentes as curvas y 2 = 4 e 2 2 = 12 5y nos seus ontos de interseção. 5. Determine o(s) onto(s) da arábola y = 2 no(s) qual(is) (a) a resectiva reta tangente intersecta o eio- no onto a 2 R. (b) a resectiva reta tangente intersecta o eio-y no onto b 2 R. 6. Para a > 0 e b > 0, considere a hiérbole a 2 2 b 2 y 2 = a 2 b 2 e o onto 0 = ( 0 ; y 0 ). Mostre que a reta tangente à hiérbole no onto 0 bissecta o ângulo de nido elas semiretas com vértice em 0 que assam elos focos da hiérbole. 7. Considere a curva no lano cartesiano de nida ela equação 3y y = 24 (a) Determine os ontos da curva cuja ordenada é máima ou mínima. (b) Determine os ontos da curva cuja abssissa é máima ou mínima. (c) Dado 2 [0; ), determine os ontos da curva nos quais a reta tangente tem inclinação tan () em relação ao eio-. (d) Desa o: Determine os ontos da curva que estão mais róimos ou mais distantes da origem. 8. Considere a curva no lano cartesiano de nida ela equação 3 + y y = 12 (a) Determine os ontos da curva cuja ordenada é máima ou mínima. (b) Determine os ontos da curva cuja abssissa é máima ou mínima. (c) Dado 2 [0; ), determine os ontos da curva nos quais a reta tangente tem inclinação tan () em relação ao eio-. 2

3 (d) Desa o: Determine os ontos da curva que estão mais róimos ou mais distantes da origem. 9. Considere a função f () = 1=2 ; > 0 Dado > 0, seja g () a ordenada do onto de interseção do eio-y com a reta tangente ao grá co de f no onto. (a) Deduza a eressão de g () em termos de f () e sua derivada. (b) Calcule os limites nos seguintes casos: lim g () ; lim g ()!0+!1 (i) f () = (0 < < 1) (ii) f () = ln ( + 1) (iii) f () = a a b + a (a; b > 0) Taas relacionadas 1. Um balão de brinquedo com a forma de esfera está sendo in ado à taa de 25 cm 3 = min. Determine a velocidade de eansão do raio no instante em que o volume do balão é 60 cm Uma escada de 3 m de comrimento aoiada numa arede começa a escorregar. Determine a relação entre a velocidade (horizontal) da base e a velocidade (vertical) do too da escada em função da distância da base à arede. Determine a velocidade do too da escada quando a base se desloca a 1 m= s e sua distância da arede é igual a (i) 0:1 m, (ii) 1:0 m, (iii) 2:0 m, (iv) 2:9 m. Interrete os resultados. 3. Um eso W está ligado a um cabo de 50 m que assa or uma olia ada a 20 m de altura do solo. A outra etremidade do cabo está resa num caminhão a 2 m de altura do solo. Se o caminhão se mover à velocidade de 0:5 m=s, qual será a velocidade do eso quando ele se encontrar (i) no solo, (ii) a 5 m de altura, (iii) imediatamente antes de atingir 20 m de altura? 4. Uma célula com a forma de cone foi infectada or um vírus. Como consequência, a altura cresce à taa de 3= min (microns or minuto), mas a forma conoide e o volume ermanecem constantes. Se o volume da célula é 20, qual é a taa de mudança do raio quando a altura atinge 5? Problemas Alicados na Física e Engenharias Problema 1 Calcule as eressões ara a velocidade e aceleração instantânea de uma artícula cujo esaço ercorrido em função do temo é dado or s (t) = 32 12t + 5t 2 ; t 0 3

4 Problema 2 Uma artícula de massa m que cai róima à suerfície terrestre sofre uma força de resistência do ar que deende da sua velocidade. Suonha que sua velocidade em função do temo deenda da aceleração da gravidade g e de um arâmetro b > 0 or v (t) = mg b + v 0 mg e b 1. Usando a Segunda Lei de Newton e considerando a força da gravidade, mostre que a força de resitência do ar é dada or f (v) = bv b m t 2. Calcule e interrete os limites lim v (t) ; lim v (t) t!1 b!0 Problema 3 A órbita da estação esacial LYX é descrita ela seguinte equação carteziana (referente a um sistema de coordenadas adequado e a unidades de medida convenientes): y2 2 = 1 Se a estação LYX deve lançar um satélite tangencialmente a sua órbita no onto (3; 1), qual é o ângulo de lançamento (medido no sentido anti-horário em relação ao eio-)? Problema 4 (Precisão I) Você é o engenheiro de uma emresa que fabrica latas. Deve ser iniciada uma nova linha de rodução de latas na forma de cilindro circular reto com altura igual ao diâmetro. Sabendo que as latas devem conter o volume de 1 litro com tolerância de 1% em torno desse valor, determine a margem de erro admissível na medida das dimensões da lata, altura e diâmetro. Problema 5 (Precisão II) Uma emresa fabrica latas na forma de cilindro circular reto com altura igual ao diâmetro; considerando que as latas devem ter volume igual a 500 ml, determine a recisão com que se deve medir as dimensões da lata ara que a variação do volume em torno de 500 ml seja inferior a 2%. Problema 6 (Precisão III) Escreva a área da suerfície de uma esfera em função do seu volume e determine o volume v 0 ara o qual a área é numericamente igual a esse volume. Então, determine o maior intervalo de variação do volume da esfera em torno de v 0 no qual a variação da área seja menor do que o máimo de 1%. 4

5 Problemas Alicados na Biologia Problema 7 (Sensibilidade a medicamentos) Prescrever medicamentos requer uma adequada comreensão das suas roriedades químicas e da sensibilidade dos acientes, a qual é de nida ela taa de variação da quantidade de medicamento R (m) absorvida no sangue em relação a dosagem m. Geralmente, os médicos referem rescrever dosagens que corresondam a sensibilidade máima. Agora, suonha que a sensibilidade de certo aciente a um medicamento esecí co seja dada ela seguinte função, de nida em termos de arâmetros a > 0 e b > 0: R (m) = am 2 (b m) 1. Para qual dosagem a quantidade de medicamento absorvida no sangue é máima? Quanto é essa quantidade máima? 2. Para qual dosagem a sensibilidade do aciente é máima? Quanto é essa sensibilidade máima? Problema 8 A ressão sanguínea é de nida ela ressão que o sangue em circulação no coro eerce nas aredes das artérias. Suonha que a ressão sanguínea de certo indivíduo seja dada em função do temo transcorrido aós o início de um ciclo cardíaco or onde t é medido em segundos. (t) = sin (2:5t) 1. Qual é o máimo valor da ressão sanguínea? Quando esse máimo é atingido? 2. Qual é o mínimo valor da ressão sanguínea? Quando esse mínimo é atingido? Problema 9 (Radioteraia) Radioteraia é qualquer técnica de combate a tumores que utiliza radição ionizante. Nas seções de radioteraia or bombardeio de raios-x, a eosição dos acientes ode ser controlada mediante o emrego de materiais que absorvem ou bloqueiam arcialmente a assagem de radiação. Considere um aarelho radioteráico que roduz um feie de raios-x com intensidade constante I 0 e cujo controle da intensidade da radiação que deve incidir sobre um aciente seja feito ela inserção de lacas de chumbo na trajetória do feie de raios-x. Teoricamente se revê e eerimentalmente se veri ca que a intensidade de um feie de raios-x que atravessa uma laca de chumbo decai eonencialmente em função da eessura s da laca, i.e., I (s) = I 0 e as onde a é uma constante ositiva característica da interação entre os raios-x e o chumbo. Suonha que a intensidade do feie roduzido elo aarelho seja I 0 = 1 MeV cm 2 s 1 e que tenhamos o valor da constante a = 0; 151 cm 1 ; se as lacas de chumbo têm eessura " = 1 mm, quantas devem ser usadas no bombardeio de um aciente ara o qual foram rescritas seções de radioteraia com intensidades entre 0:3 MeV cm 2 s 1 e 0:4 MeV cm 2 s 1? [Observação: o MeV é uma unidade de medida de energia e o MeV cm 2 s 1 mede a quantidade de energia que atravessa uma seção lana de 1 cm 2 em cada segundo. Neste roblema, a conceção do aarelho radioteráico e os valores numéricos são ctícios.] Problema 10 (DESAFIO) Descreva situações na sua área de graduação que envolvam o conceito de derivada, formule roblemas tíicos e os resolva (se uder). 5