Exercícios de Cálculo 1

Transcrição

1 Departamento de Computação e Matemática Cáculo I USP- FFCLRP Fisica Médica Prof. Rafael A. Rosales 27 de março de 209 Sumário Eercícios de Cálculo Números. Desigualdades. Valor absoluto 2 2 Funções 4 3 Clasificação de funções 7 4 Gráficos 7 5 Funções bijetoras, injetoras, sobrejetoras 8 6 Funções inversas 8 7 Composição de funções 8 8 Limites 9 9 lim f() e limites infinitos 2 0 Continuidade 2 Definição de Derivada 4 2 Derivadas 6 3 Diferencial 8 4 l Hôpital 9 5 Teorema do Valor Médio 20 6 Máimos e Mínimos. Gráficos 20 7 Série de Talor 2 8 Taas de variação relacionadas. Máimos e mínimos Respostas para alguns dos eercícios 23

2 Números. Desigualdades. Valor absoluto Eercício. Em cada um dos itens abaio, responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser verdadeira, esboce as idéais de uma demonstração e, se for falsa, dé um conta-eemplo ( ) Cada ponto da reta real R pode ser representado por uma decimal periódica. ( ) π = 22/7. ( ) Se z Z + e <, então z < z. (Z + denota o conjunto {0,, 2, 3,...}) ( ) Se z R e <, então z < z. ( ) Se >, então =. ( ) Para quaisquer, R temos + = +. ( ) Se a e b são irracionais então a + b é irracional. ( ) Se a e b são irracionais, então a b é irracional. ( ) Se a e b são racionais, então a + b é racional. ( ) Se a e b são racionais, então a b é racional. ( ) Para quaisquer, R, com 0, =. ( ) Para quaisquer a, b R, a = b a 2 = b 2. ( ) Se 0 e, então 2 2. ( ) Para quaisquer, R, 3 < 3 <. ( ) = ( + 2)( 2) é irracional. Eercício 2. Mostre que se a 0, a Q e b R \ Q, então a b R \ Q. [Sugestão: suponha que a b Q. Mostre que isto leva a uma contradição.] Eercício 3. Sejam a Q e b R \ Q. Mostre que a + b R \ Q. [Sugestão: suponha que a + b = q Q o qual leva a uma contradição.] Eercício 4. Mostre que 3, e + 2 são irracionais. Eercício 5. Dados a, b R, mostre que a + b + c a + b + c. Eercício 6. Dé um eemplo de números reais a e b tais que a + b < a + b. O que se pode dizer a respeito dos sinais desses números? Eercício 7. Sejam a > 0 e b > 0. Mostre que 2ab a + b ab a + b 2. Eercício 8. Mostre que se a e b são números racionais tais que a+b 2 0, então (a+b 2) também é dessa forma, isto é, eistem números racionais c e d tais que (a + b 2) = c + d 2. Eercício 9. Determinar r > 0 de modo que (4 r, 4 + r) (2, 5). Eercício 0. Epresse cada um dos conjuntos abaio em notação de intervalo: (i) { R/4 3 < 6 + 2}. (ii) { R/ 2 3 }. (iii) { R/ < }. (iv) { R/3 + < 3 }. 2

3 Eercício. Monstre que (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Diga quais propriedades dos números reais foram utilizadas. Eercício 2. Indicar as propriedades da multiplicação utilizadas na seguinte equivaléncia 2 = 4 = 4 2 = 2. Eercício 3. Determine o conjunto dos valores R para o qual são válidas as seguintes desigualdades (i) 2 7 < 0. (ii) 2 5 > 0. (iii) (iv) > 0. (v) < 0. (vi) Eercício 4. Resolva as seguintes inequações (i) + 2 < 0. (ii) (iii) + 2 <. (iv) (v) (vi) > 0. Eercício 5. Diga e justifique, se è válida a seguinte desigualdade: a 2b < a + b, sendo a e b dois números reais positivos. No caso que a desigualdade não seja sempre certa, forneça um eemplo de dois números a, b para os quais não é certa. Eercício 6. Resolva as seguintes inequações. (i) (ii) (iii) (v) Eercício 7. Diga e justifique quais das seguintes identidades são verdadeiras e quais não: (i) a = a. (ii) 2 =. (iii) 2 ±. 3 (iv) 3 =. (v) 3 8 ± 2. (vi) < 8 8 < < 8. Eercício 8. Demonstre que < 2 < 3 < 4. Eercício 9. Resolva as seguintes inequações, (i) (2 )(2 + 4) 3( 3) > 0. (ii). 2 (iii) <. 2 Eercício 20. Resolva a seguinte inequação + = 2 5. Eercício 2. Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades a) 3 < 5 b) > 3 c) 2 < 9 d) 2 > e) 2 < 6 5 f) 3 > 27 g) < + 6 h) i) 2 + < 0 j) (2 + 3)( 2 + ) < 0 l) 6 ( + 2)( 3) 0 m) + 2 ( 2 < 0 + ) 8 n) < 2 o) 3 < 2 p) 3 2 < 2 + 3

4 2 q) r) > 0 s) 2 < 3 4 t) 2 < u) + 3 > v) + < 2 ) ) < z) Eercício 22. Seja ε > 0 um número real. Mostrar que 2 < ε < ε. Eercício 23. Suponha que δ e ε são números reais não positivos (> 0). Dado ε, encontre δ tal que 3 < δ 6 8 < ε. Eercício 24. Seja ε um número positivo. Mostre que se 0 < ε 2 e 0 < ε 2, então ( + ) ( ) < ε, ( ) ( 0 0 ) < ε. Eercício 25. Mostre que se ( ) ε 0 < min 2( 0 + ), e 0 < ε 2( 0 + ), então 0 0 < ε. [Observações: Para a, b R, min(a, b) é igual a a se a < b, e b no caso contrário. Note que a primeira hipótese corresponde a 0 < ε 2( 0 + ) e 0 <. Em uma primeira instancia você precisa da primeira desigualdade, logo da segunda. Como as hipóteses só fornecem informação respeito de 0 e 0, a prova consiste em escrever 0 0 utilizando 0 e 0.] Eercício 26. Se 0 0 e mostre que 0 e ( 0 0 < min 2, ε 0 2 ), 2 0 < ε. 2 Funções Salvo seja indicado o contrário, todas as funções nesta lista de eercícios estão definidas no seu dominio natural. 4

5 Eercício 27. Um homem de,80 metros de altura está parado, ao nível da rua, perto de um poste de iluminacc ao de 4,50 metros que está aceso. Eprima o comprimento de sua sombra como função da distância que ele está do poste. Eercício 28. Um tanque, com água, tem a forma de um cone circular reto, com vértice apontando para baio. O raio da base do cone é igual a 9 metros e sua altura é de 27 metros. Eprima o volume da água no tanque como função de sua profundidade. Eercício 29. Um objeto é lançado, verticalmente, e sabe-se que no instante t segundos sua altura é dada por h(t) = 4t t 2 quilómetros 0 t 4. a) esboce o gráfico de h = h(t). b) Qual a altura máima atingida pelo objeto? Em que instante essa altura é atingida? Eercício 30. Os lados iguais de um triângulo isósceles tém medida 2. Se é a base, eprese a área como função de. Eercício 3. Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços, e estes tomam a forma de uma circunferéncia e de um quadrado. Se é o lado do quadrado, epresse a área total A englobada pelas duas figuras como função de. Qual o domínio de A? Eercício 32. Pela queima de combustíveis fósseis o homem libera 200 milhões de toneladas métricas de monóido de carbono (CO) venenoso na atmosfera, cada ano. Apesar disso, a concentração de CO mantem-se entre 0,04 e 0,09 ppm (partes por milhão) no ar ambiental. A principal razão é que microorganismos do solo absorvem CO rapidamente e convertem em dióido de carbono e/ou metano. Em uma eperiéncia com 0 litros de ar e um pouco de solo, g de CO foram reduzidas a g no prazo de 3 horas. O decréscimo foi linear. Desenhar o resultado em um sistema de coordenadas retangulares e determinar a equação para o decréscimo de massa de CO. Eercício 33. Desde o começo do ano, o preço dos pães integrais em um supermercado local tem aumentado a uma taa constante de 2 centavos por més. Em primeiro de novembro, o preço atingiu,06 reais por unidade. Epresse o preço do pão em função do tempo e determine o precco no começo do ano. Eercício 34. O valor do imposto de renda retido na fonte é apresentado na seguinte tabela Base de Cálculo Alíquota até R$ 900,00 isento de R$ 900,00 a R$ 800,00 5% acima de R$ 800,00 25% Baseado na tabel acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função do rendimento. Eercício 35. Uma copiadora publicou a seguinte tabela de preços Número de cópias de um mesmo original Precco por cópia de a 9 R$ 0,0 de 20 a 49 R$ 0,08 de 50 ou mais R$ 0,06 a) Esboce o gráfico da função que associa a cada natural n o custo de N cópias de um mesmo original. b) O uso da tabela acima provoca distorções. Aponte-as e sugira uma tabela de preços mais razoável. 5

6 Eercício 36. A e B são locadoras de um automóvel. A locadora A cobra real por quilômetro rodado mais uma taa fia de 00 reais. A locadora B cobra 80 centavos por quilômetro rodado mais uma taa fia de 200 reais. Discuta a vantagem de A sobre B ou de B sobre A em função do número de quilômetros a serem rodados. Eercício 37. Uma caia sem tampa será feita recortando-se pequenos quadrados congruentes dos cantos de uma folha de estanho medindo 20 cm por 20 cm e dobrando-se os lados para cima. Se os quadrados nos cantos do papel possuem lado cm, escreva o volume total da caia em função de. Qual é o seu domínio desta função? Eercício 38. Vocé opera um servicco de ecursões que pratica os seguintes preços (i) R$ 200,00 por pessoa, se 50 pessoas (o número mínimo necessário para fechar um grupo) participarem da ecursão; (ii) Para cada pessoa a mais, até um máimo de 80 pessoas, o preço é reduzido em R$ 2,00. Para realizar uma ecursão há um custo fio de R$ 6000,00 mais R$ 32,00 por pessoa. Escreva o seu lucro em função do número de pessoas. Eercício 39. Determine o domínio das seguintes funções a)f() = ( )( + 2) b)f() = c)f() = d)f() = g)f() = e)f() = f)f() = (2 )( 2) h)f() = 3 i)f() = j)f() = l)f() = 9 2 m)f() = 2 9 Eercício 40. Mostre que + 2 = O que voccé acha que ocorre com a diferença + 2 a medida que cresce? Eercício 4. Simplifique h( f( + h) f() ), com h 0, sendo f() igual a (i) () = 5, (ii) f() = 3 2, (iii) f() = 3, (iv) f() = sen(), (v) f() =, (vi) f() = + 2, (vii) f() = 4. Eercício 42. Seja d a distância de (0,0) a (, ). Epresse d em função de, sabendo que (, ) é um ponto do gráfico de =. Eercício 43. Uma função f é linear se f(u + v) = f(u) + f(v) e f(αu) = αf(u) para todo u, v e α. Quais das seguintes funções são lineares? (i) f() = 2, (ii) f() = (iii) f() =, (iv)f() = 2. Mostre que se f é linear então f(0) = 0. 6

7 Eercício 44. Estude o sinal das seguintes funções: a) = b) = c) = d) = Eercício 45. Se f() = achar geometricamente. f(a + h) f(a), com h 0 e interprete o resultado h Eercício 46. Simplifique a epressão f( 0 + h) f( 0 ), h 0, para as seguintes funções: h a)f() = 2 b)f() = c)f() = 3 Eercício 47. Determine a imagem das funções 3 Clasificação de funções d)f() = sen () a)f() = 0 b)f() = c)f() = 3 d)f() = Eercício 48. Mostre que 2 [f() + f( )] é par e 2 [f() f( )] é ímpar. Mostre, então, que toda função pode ser escrita como soma de uma função par com uma função ímpar. Eercício 49. Verifique se as funções são pares, ímpares ou nem pares, nem ímpares 4 Gráficos (i) f() = (ii) f() = (iii) f() = cos( ). Eercício 50. Esboce o gráfico das seguintes funções a) f() = b) f() = 2 c) f() = d) f() = + e) f() = 5 f) f() = 2 6 g) f() = sen (/) h) f() = sen (/) i) f() = 2 sen (/) + 2, j) f() = 3 e 2 k) f() = 3, < l) f() = , Eercício 5. [] denota o maior inteiro menor ou igual que. Esboce o gráfico das seguintes funções a) f() = [] b) f() = [] c) f() = [] d) f() = [] + [] e) f() = [/] g) f() = [/] Eercício 52. Esboce o gráfico da função f() = ( ) []. 7

8 5 Funções bijetoras, injetoras, sobrejetoras Eercício 53. Classifique as seguintes funções quanto a serem injetoras, sobrejetoras, bijetoras, limitadas, monótonas ou periódicas. a) g : R R; g() = 2 b) h : R R + ; h() = c) n : R Z; n() = [] d) f : R R; f() = 2 + e) f : R R; f() = 2 sen (2π) Eercício 54. Classifique as seguintes funções quanto a serem injetoras, sobrejetoras, bijetoras, limitadas, monótonas ou periódicas. 6 Funções inversas a) g : R R; g() = 2 ; b) n : R Z; n() = []; ( π c) f : 2, π ) R; f() = tg(); 2 d) g : R R + ; g() = ; [ e) f : 0, 3π ] [, ]; f() = cos() 2 f) g : R R; g() = 2 sen(2π). Eercício 55. Facca um estudo (verificar se são monótonas, limitadas, periódicas e determinar o domínio e a imagem) sobre as funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante, cotangente. É possível definir as funções inversas dessas funções trigonométricas para alguns valores do domínio? Se for possível descreva o domínio e o gráfico dessas funções. Eercício 56. Encontre a fórmula para a função inversa, f, de cada uma das seguintes funções: (i) 3, (ii), (iii) 2 com dominio (, 0], (iv) 2 com dominio (0, ), (v) 2 com dominio [0, 2 ], (vi) 2 com dominio [ : 0], e ( + )(3 ). 7 Composição de funções Eercício 57. Seja f() = { 2 se (i) Determine f f. (ii) Esboce o gráfico de f f. se > Eercício 58. Se f : R R e g : [, ) R são dadas por f() = e g() = +, é possível definir f g e g f? Análogo para f : R (0, ] e g : (0, ] [, ), dadas por f() = + 2 e g() =. Eercício 59. Suponha que g = h f. (i) Mostre que se f() = f() então g() = g(). (ii) No sentido oposto, suponha que f e g são duas funções tais que g() = g() sempre e quando f() = f(). (iii) Mostre que g = h f para uma função dada h. 8

9 8 Limites Eercício 60. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas, isto é, eibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contra-eemplo nos casos falsos. (i) Se eistir lim f() e lim(f() + g()), então eiste lim g(). a a a (ii) Pode eistir lim (iii) Se eisterem lim a (f() + g()) sem que eista lim f() e lim g(). a a a f() e lim então eiste lim +, f(). a a Eercício 6. Mostrar, utilizando a definição de limite, que se (a) g() = f(f) L, então lim f() lim g() = 0. a a (b) lim f() = 0 lim f() = 0. a a Eercício 62. Suponha que no estudo do limite lim k f() = L, é encontrado um ε > 0 tal que se δ = 0, 000, então 0 < k < δ f() L < ε. Demonstre que se δ 2 > 0, 00005, então tambémo 0 < k < δ 2 f() L < ε. Eercício 63. Forneça um eemplo onde lim a f() = 2 mas lim a f() não eiste. Eercício 64. Demonstre, utilizando a definição de limite, que (i) lim 4 2 = 6. (ii) lim ( + 5) = 6. (iii) lim 8 3 = (iv) lim = 0. (v) lim = 3. (vi) lim = 3. (vi) lim 2 ( ) = (vii) lim = 3. 4 Eercício 65. Calcule os seguintes limites (i) lim. (ii) lim (iii) lim 2 (6 3). (iv) lim (v) lim[3 + ]. (vi) lim ( (vii) lim (viii) lim ) (i) lim () lim (i) lim 4 (ii) lim a a n (iii) lim (iv) lim a a 9

10 (v) lim a n n a a (vi) lim a m m a n n a Eercício 66. Calcule, caso eista. Se não eistir, justifique. a) lim + c) lim e) lim f(), onde f() = { 2, 2 ( 2) 2, > f() f(2), 2 f) lim, onde f() = , > 2 f() f(2) g) lim, onde f é a função do item f Eercício 67. Calcular lim Eercício 68. Calcule os seguintes limites utilizando o teorema do confronto ( ) (i) lim sen(). (ii) lim sen. 0 0 ( 2 ) ( [ ]) (iii) lim( ) cos. (iv) lim 0. (v) lim 0 [ ]. b) lim d) lim 0 [Observe que sen() se R; logo, para (iv) temos que para qualquer R: 0 [] <. Para (v), podemos tomar en conta o limite lim 0 ( [ ])] Eercício 69. Calcular Eercício 70. Calcular Eercício 7. Calcular Eercício 72. Calcular Eercício 73. Calcular lim 0 lim lim π/4 tg(3) sen(2). 2 sen(π). sen(α) lim 0 sen(β). lim π/4 2 sen 2 (). cos(2) 4 π cos(2). 0

11 Eercício 74. Calcule ( ) ( ) cos(π/2 3) (i) lim cos, (ii) lim sen 0 sen() Seja f() = (i) Monstre que lim f() = f( 2). 2 (ii) Monstre que não eiste { sen(2 + ) cos( 2+ ), se 2 0, se = 2. lim 2 Eercício 75. Determine os seguintes limites sec sec a a) lim a a, b) lim π 3 f() f( 2). + 2 ( ) 2 cos sen, c) lim 2. π 3 π π Eercício 76. Avalie os seguintes limites em termos do número α = lim 0 sen()/. eemplo, para lim 0 sen(2)/, tem-se Por a) lim 0 sen(a) sen(b) sen(2) sen() lim = 2 lim = 2α b) lim 0 sen 2 (2) c) lim 0 sen 2 (2) 2 cos() tan 2 () + 2 sen() d) lim 0 2 e) lim f) lim 0 cos() g) lim h 0 sen( + h) sen() h h) lim sen( 2 ) j) lim ( 2 ) 3 sen ( ) i) lim 0 2 (3 + sen() ( + sen()) 2 Eercício 77. Mostre que se lim a f() = l, então eistem números δ > 0 e M tais que f() < M se 0 < a < δ. (Faça um desenho disto!) Sugestão: por que é suficiente mostrar que l < f() < l + para 0 < a < δ? Eercício 78. Forneça eemplos para mostrar que as seguintes definições de não são corretas. lim f() = l a (a) Para todo δ > 0 eiste um ε > 0 tal que se 0 < a < δ, então f() l < ε. (b) Para todo ε > 0 eiste um δ > 0 tal que se f() l < ε, então 0 < a < δ. Eercício 79. (i) Encontre o perímetro de um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio r. Utilice radianes como unidade ao considerar qualquer das funções trigonométricas envolvidas. (ii) Qual é o valor do perímetro quando n é muito grande?

12 9 lim f() e limites infinitos Eercício 80. Calcular lim sen ( ) [Sugestão: considerar a mudança de variável / = u.] Eercício 8. Calcular os limites (i) lim (iii) lim (ii) lim (v) lim 2. 0 Continuidade (iv) lim. ( π (vi) lim tg + 2 Eercício 82. Seja f definida em R e suponha que eista uma constante M > 0 tal que f() f(p) M p 2, R. Mostrar que f é contínua em p. Eercício 83. A afirmativa lim a a é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta. Eercício 84. A função é contínua em a =? em a = 0? Justifique. Eercício 85. Considere a seguinte função, f() = lim f() f é contínua em p , f() = + 2, = f() = Diga se o limite lim 2 f() eiste ou não (justifique a sua resposta). 3 Eercício 86. Seja g() = Diga se o limite lim 2 g() eiste ou não (justifique a sua resposta). Eercício 87. Mostre que para todo α > 0, eiste um número real tal que = α. Eercício 88. Determine os valores de α e β para que a função 2 +, se <, f() = α + β, se 2, 3 + 2, se > 2 seja contínua. 2 ).

13 Eercício 89. Dada a função f : [ 2, 7] R definida por { 4 2 /2, se 2 < 4, f() = 2, se 4 7. Pergunta-se: f tem máimo e mínimo no intervalo [-2,7]? E se f() = 4 para 4 7, ao invés de f() = 2 para 4 7? Justifique sua resposta. Eercício 90. Se f() = encontrar o valor de a tal que lim f() eista. { a 3, se, 2 + a, se <, f() Eercício 9. Seja f : R R uma função tal que lim =. Calcule: 0 a) lim 0 f(3) b) lim 0 f( 2 ) c) lim f( 2 ) d) lim 0 f(5) 4 Eercício 92. Utilizando o Teorema do valor intermédio demosntre que (i) A função definida por f() = 3 + é igual a 0 em pelo menos um ponto do intervalo (0, ). (ii) A equação 3 + = 0 tem pelo menos uma solução. (iii) A imagem da função f : [0, ] B definida pelo mapa 3 + é B = [, ]. (iv) A imagem de f : R B, definida por 3 + é B = R. (v) Não eiste nehum número R tal que ( 2 5) = 0. Eercício 93. f : A B e continua se, e somente se, f é continua em todo ponto Dom(f). Diga e justifique, se as funções a continuação são continuas ou não. Caso as funções nao sejam continuas, diga quais são os pontos de descontinuidade (i) 2, ±, sen() (ii). (iii). 3, = (iv) (v) 2, ±, 3, =, (vi) (vii) arctg 2, =. ( ). (viii) tg(). Eercício 94. Suponha que f satisfaze f(+) = f()+f(), e que f é continua em 0. Mostre que f é continua em a para todo a. Eercício 95. Suponha que f é continua em a e que f(a) = 0. Mostre que se α 0, então f + α é diferente de zero dentro de um intervalo aberto que contém a. Eercício 96. (i) Suponha que f não é continua em a. Mostre que para algum número ε > 0, eistem números arbitrariamente próimos de a com f() f() > ε. Faça um desenho que ilustre esta situação. (ii) Conclua que para algum número ε > 0 ou eistem números arbitrariamente próimos de a tais que f() < f(a) ε ou os números se são arbitrariamente proimos de a com f() > f(a) + ε. 3

14 Eercício 97. (i) Mostre que se f é continua em a, então f também é. (ii) Mostre que qualquer função f a qual pode ser escrita como f = E +O, onde E é par e continua, e O é impar e continua. (iii) Mostre que se f e g são funções contínuas, min{f, g} e ma{f, g} também são contínuas. (iv) Mostre que qualquer função f contínua pode ser escrita como f = g h, onde g e h são não negativas e continuas. Eercício 98. (i) Suponha que f é uma função continua em l. Mostre que lim g() = l lim f(g()) = f(l). a a [Sugestão: Pode utilizar diretamente as definições embora é mais simples considerar a função G onde G() = g() para a, e G(a) = l.] (ii) Mostre que se não é assumida a continuidade de f em l, então em geral não vale que lim a f(g()) = f(lim a g()). Eercício 99. Definição. Se lim a f() eiste, embora o limite não é igual a f(a), então dizemos que f apresenta uma descontinuidade removível em a. (i) Seja f() = sen(/) para R\{0}, e f(0) =. Diga se f apresenta uma discontinuidade removível em 0. O que ocorre se f() = sen(/) quando R \ {0}, e f(0) =? (ii) Suponha que f apresente uma discontinuidade removível em a. Seja g() = f() para a e suponha que g(a) = lim a f(). Mostre que g é continua em a. (iii) Seja f() = 0 se é iracional e seja f(p/q) = /q se p/q é irredutível. Identifique a função g() = lim f(). (iv) Seja f uma função tal que cada ponto de discontinuidade é uma discontinuidade removível. Isto significa que lim f() eiste para todo, embora f pode ser descontínua em alguns pontos (inclusive em infinitos pontos). Seja g() = lim f(). Mostre que g é continua. (Isto é mais difícil do que a prova para o item (ii).) Definição de Derivada Eercício 00. O que é f (a)? Eplique com suas palavras o que significa dizer que = f() é diferenciável em a. Dé eemplos de funções que não são diferenciáveis e eplique porque isso acontece. Eercício 0. O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação s(t) = t 2 8t + 8, onde t é medido em segundos. Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo [3,4], [3.5, 4], [4, 5] [4, 4.5]. Encontre a velocidade instantânea quando t = 4. Faça o gráfico de s como função do tempo e desenhe as retas secantes, cujas inclinações são as velocidades médias pedidas e a reta tangente ao gráfico no ponto (4,2). Eercício 02. Uma bola move-se, na vertical, onde sua posição é 5 + 0t 5t 2 m acima do solo no instante t segundos. Pergunta-se: a) Qual a velocidade da bola, na subida, no instante t = 0? b) Quando é que sua velocidade, na subida, é igual a zero? c) Qual a altura máima que a bola atinge? 4

15 Eercício 03. O deslocamento ( em metros ) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação do movimento s(t) = 4t 3 + 6t + 2, onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade da partícula no instante t = a, t =, t = 2 e t = 3. Eercício 04. Um objeto é lançado verticalmente do chão para cima com velocidade inicial de 2 m/s e a altura atingida no instante t segundos é f(t) = 2t 6t 2 m. Pergunta-se: a) Quais as velocidades do objeto nos instantes t = 2, t = 3 e t = 4 segundos? b) Em que instante o objeto alcança a altura máima? c) Em que instante o objeto atinge o chão? d) Com que velocidade o objeto atinge o solo? Eercício 05. Em cada um dos itens abaio, encontre, se eistir, a equação da reta tangente ao gráfico da função = f() nos pontos especificados: a) f() = 5 + 4, P = (2, 4) e P 2 = (, 9) b)f() = , P = (0, 4) e P 2 = (, 2) c) f() = sen, P = (0, 0) d) f() = cos, P = (π/2, 0) Eercício 06. Encontre a derivada da função dada usando a definição. Estabeleça o domínio da função e da derivada: a) f() = b) f() = + 2 c) f() = 2 d) f() = 3 Eercício 07. Se f for uma função diferenciável e g() = f(), use a definição de derivada para mostrar que g () = f () + f(). Eercício 08. Seja f() = 3. Se a 0, encontre f (a). Mostre que f (0) não eiste e esboce o gráfico de f. Eercício 09. Esboce o gráfico de f() =. Para que valores de, f é diferenciável? Encontre uma fórmula para f. Eercício{ 0. Determine se eiste ou não f (0): sen(/), 0 a) f() = b) f() = 0, = 0 { 2 sen(/), 0 0, = 0 Eercício. Prove que a derivada de uma função par é ímpar e que a derivada de uma função ímpar é par. Eercício 2. Suponha que f é uma função que satisfaz f( + ) = f() + f() , f() para todos os números reais e. Suponha também que lim 0 =. Encontre f(0) e f (), R. Eercício 3. Mostre que a função f() = { 2 +, + 4, >, não é derivável em p =. Esboce o gráfico de f. Eercício 4. Mostre que a função f() = { 2 + 2, < 2 +,, é derivável em p =. Esboce o gráfico de f. Eercício 5. Seja r a reta tangente ao gráfico de f() = / no ponto de abscissa p. Verifique que r intercepta o eio no ponto de abscissa 2p. Eercício 6. Determine a reta que é tangente ao gráfico de f() = 2 e é paralela à reta =

16 2 Derivadas Eercício 7. Calcule f (): a)f() = b)f() = c)f() = d)f() = 3 + e)f() = f)f() = 2 3 g)f() = 3 + h)f() = i)f() = j)f() = 3 + k)f() = l)f() = Eercício 8. Calcule a derivada das seguintes funções. a)f() = 2 + d)f() = + Eercício 9. Seja b)f() = 2 + e)f() = 5 + g() = 2 +. c)f() = f)f() = (i) Determine os pontos do gráfico de g em que as retas tangentes, nestes pontos, sejam paralelas ao eio. (ii) Estude o sinal de g (). (iii) Calcule lim g() e lim g(). (iv) Utilizando as + informações acima, faça um esboço do gráfico de g. Eercício 20. Seja f() = (i) Estude o sinal de f (). (ii) Calcule lim f() e lim f(). (iii) Utilizando as informações + acima, faça um esboço do gráfico de f. Eercício 2. Calcule a derivada das seguintes funções. a) cos() b) cos() 2 + d) 2 tg() e) + tg() g) sec() j) sen() Eercício 22. Derive as seguintes funções abaio. c) sen() f) 3 sen + cos h) cos() + ( 2 + )sen() i) sec() k) 2 + 3tg() l) + sen() cos() a) sen(4) b) cos(5) c) sen( 3 ) d) (sen() + cos()) 3 e) 3 + f) 3 + g) sen(cos()) h) ( 2 + 3) 4 i)cos( 2 + 3) j) tg(3) k) sec(3) l) sen(2 ) sen 2 () 6

17 Eercício 23. Derive as funções abaio. ) + 4) sen( 5 2 ) 5) 7) 2) ) 3 2 cos() ( 4 + tg 2 + ) 2 6) tg 2 () + cossec() ) sec( 2 + ) 9) 2 tg() sec() 0) sen() cos() ) 3) ( + 2) ) ) cotg( ) 5) 6) 3 sec()tg() ( 2 + ) cos() 7) cos()cotg() sec() cos() 8) sen( sen()) 2 sen() cos() 2 cos() ) arcsen( 2 ) 20) (arcsen()) 2 2) ( 2 )arctg() 22) arccos() 2 23) cos(ln()) 24) ln 25) ln(e + e ) 26) ln() ( ) 27) e 28) sen(e ) 29) arcsen(e ) 30) ln(arctg()) 3) e / ) ln(e + ) 33) e cos(3 ) Eercício 24. Encontre e para a) = ln() b) = log 0 () c) = ln( + e 2 ) d) = e 3+ ln( 2 2) Eercício 25. Use diferenciação logarítmica para encontrar a derivada de : a)f() = (2 + ) 5 ( 4 3) 6 b)f() = c)f() = sen() d)f() = (ln ) e)f() = esen(2) f)f() = e 2 ( 2 + ) 0 Eercício 26. Dê uma fórmula para f (n) () se f() = ln( ). Eercício 27. Mostre que eistem eatamente duas retas tangentes ao gráfico de = ( + ) 3 que passam pela origem. Escreva suas equações. Eercício 28. Seja f : R R uma função diferenciável em um ponto a R. Calcule, em termos de f f() f(a) (a), o limite lim. 0 a Eercício 29. Sejam as funções f e g deriváveis em R tais que f(g()) =, para todo R. Sabendo que f () = 2 e g(0) =, calcule g (0). Eercício 30. Encontre em cada um dos itens abaio d, onde = () é dada implicitamente d pelas equações, a) cos 2 ( + ) = /4 b) 3 = + 7

18 c) ( 2 9) 4 = ( ) 2 d) = 0 e) sen() + 2 = 0 f) + 6 = 0 5. Determine a equação da reta tangente à curva dada, no ponto indicado, a) 2 = 3 (2 ), ponto (, ) b) 2( ) 2 = 25( 2 2 ), ponto (3, ). 6. Calcule a derivada segunda das funções abaio, a) =, b) = Sejam f() = e + ln() e h() = f (). Ache h (e). Eercício 3. Mostre que se f é par, então f () = f ( ). (Sugestão: considere g() = f( ), encontre g (); logo lembre que outra coisa poderia ser g. Um desenho pode ajudar!) Eercício 32. Mostre que se f é impar então f () = f ( ) (Faça um desenho!). Eercício 33. Se f n () = n, e 0 k n, mostre que f (k) n () = n! (n k)! n k = k! ( n k ) n k. Eercício 34. Seja f() = 3. (i) Encontre f (). (ii) Sera que f () eiste para tudo R? (iii) Considere agora a função g() = 4 para 0 e g() = 4 quando g() 0. Repeta a analise em (i) e (ii) para g. Eercício 35. Seja g() = n para 0 e g() = 0 quando 0. Mostre que g (n ) eiste, embora g (n) (0) não eiste. 3 Diferencial Eercício 36. Determine a linearização L() de f em a para a) f() = 3, a = b) f() = /, a = 4. Eercício 37. Encontre o diferencial d e calcule d para os valores de e d dados: a) = 2 + 2, = 3 e d = 0, 5; b) = ( 2 + 5) 3, = e d = 0, 05; c) = cos, = π/6 e d = 0, 0. Eercício 38. Utilice diferenciais para estimar 36, e sen 59. Eercício 39. A aresta de um cubo mede 30 cm, com um possível erro na medida de 0, cm. Use diferenciais para estimar o erro máimo possível em calcular o volume do cubo e a área da superfície do cubo. ) corresponde ao coeficiente Binomial n! Lembre que ( n, onde n! = n (n ) (n 2) 2. Estes k k!(n k)! coeficientes determinam o número de combinações que podem ser formadas ao escolher k elementos de um total de n. 8

19 Eercício 40. O diámetro de uma esfera mede 84cm, com erro possível de 0,5 cm. Use diferenciais para estimar o erro máimo na área da superfície calculada e no volume calculado. Eercício 4. Escreva uma fórmula que estime a variação que ocorre na área da superficie lateral de um cone circular reto quando a altura varia de h 0 a h 0 + dh e o raio não se altera. h r 4 l Hôpital Eercício 42. Calcule os seguintes limites. ln( 2) a) lim /2 tg(π) ln() d) lim + g) lim + sen ( 3 ln( 00 ) b) lim + 5 e + e 2 e 2 e) lim ) ( h) lim 0 j) lim sen )tg k) 0 +( m) lim + ln(ln()) cos() 2 2 lim 0 (e + 3) / n) lim 0 + e/ ) ln() c) lim 0 + cotg() f) lim 0 3 ln() + ( i) lim 0 ln( + ) e 0 + tg(2 ) ) l) lim ( o) lim + ) Eercício 43. Sejam f() = 2 sen(/) e g() =. Mostre que lim f() = lim g() = 0, lim 0 0 f() 0 g() = 0, f () e que lim 0 g (). não eiste. Há alguma contradição com a Regra de l Hôpital? Justifique sua resposta. Eercício 44. Considere um circuito eletrico constituido por uma força eletromotiva V, um resistor R e um inductor L como mostrado no diagrama. A corrente I em função do tempo é dada pela relação, I = V R ( e Rt/L ) (i) Se L é a unica varável independente, determine lim L 0 + I. independente, determine lim R 0 + I. (ii) Se R é a unica variável 9

20 R V I Eercício 45. A média geometrica de dois numero reais positivos a, b é definida como ab. Utilice l Hôpital para mostrar que 5 Teorema do Valor Médio L ( a / + b / ) ab = lim. 2 Eercício Se f() é um polinômio qualquer, portanto, f () também é um polinômio. Mostre que entre duas raízes distintas de f() eiste pelo menos uma raiz de f (). Eercício 47. Encontre uma função cúbica f() = a 3 + b 2 + c + d que tenha valor máimo local 3 em -2 e valor mínimo local 0 em. Eercício 48. Mostre que a equação = 0 admite três raízes reais e distintas. Localize tais raízes. Eercício 49. a) Seja f : R R uma função derivável tal que f () = 0 para todo R. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que f é uma função constante. b) Seja g : R R uma função derivável tal que g () = g() para todo R. Mostre que eiste um c R tal que g() = ce para todo R. (Sugestão: considere a função h() = g()e e use (a)). Eercício 50. Mostre que todo polinômio de grau três tem um único ponto de infleão. 6 Máimos e Mínimos. Gráficos Eercício 5. Encontre os pontos críticos das seguintes funções: a)f() = b)f() = sen 2 c)f() = + 2 d)f() = 2 2 e)f() = ( ) f)f() = 2 9 Eercício 52. Para as funções abaio, encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, os valores de máimo e mínimo locais de f, os intervalos de concavidade e pontos de infleão: a)f() = b)f() = c)f() = sen 2 (), 0 2π 20

21 Eercício 53. Para cada uma das funções encontre os máimos e mínimos locais e globais no domínio dado: a)f() = sen + cos, [0, π] b)f() = e e 2, [0, ] c)f() = + 2, R d)f() = e, R e)f() = 4 2 +, [, ] f)f() = ln(), [, 3] Eercício 54. Esboce os gráficos das seguintes funções a) = b) = d) = 3 g) = j) = e) = h) = 2 + k) = c) = f) = 2 9 i) = e l) = Para i) pode considerar que e ). Eercício 55. As funções senh : R R e cosh : R R dadas por senh = e e e cosh = e + e 2 2 são chamadas de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente. Mostre que: a) senh é uma função ímpar e cosh é uma função par; b) d d senh = cosh e d cosh = senh ; d c) cosh 2 senh 2 =, R; d) senh( + ) = senh cosh + cosh senh ; e) Defina tgh = senh cosh e sech = cosh. Mostre que tgh 2 = sech 2 ; f) Esboce o gráfico de senh, cosh e tgh. 7 Série de Talor Eercício 56. Calcular o polinômio de Talor de ordem 2 em torno de 0 quando: a) = 3, 0 = b) = e, 0 = 0 c) = sen, 0 = 0 Eercício 57. Usando o polinômio de Talor de ordem 2 do eercício anterior, calcular um valor aproimado e o erro desta aproimação para: a) 3 8, 2 b) e 0,03 c) sen(0,) Eercício 58. Mostre que para todo real, sen() = lim n ( 3 3! + 5 2n ( )n 5! (2n + )! 2 ).

22 8 Taas de variação relacionadas. Máimos e mínimos. Eercício 59. Um avião voa horizontalmente a uma altitude de km, a 500 km/h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 2 km além da estação. Eercício 60. Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h e o outro para o oeste a 25 km/h. A que taa está crescendo a distância entre os dois carros duas horas depois? Eercício 6. Está vazando água de uma tanque cônico invertido a uma taa de cm 3 /min. Ao mesmo tempo, está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taa constante. O tanque tem 6 metros de altura e seu diâmetro, no topo, é 4 metros. Se o nível da água está subindo a uma taa de 20 cm/min, quando a altura da água for 2 metros encontre a taa segundo a qual a água está sendo bombeada dentro do tanque. Eercício 62. Um esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taa de 30cm 3 /min, formando uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e altura sempre iguais. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 0 cm de altura? Eercício 63. Encontre dois números cuja soma seja 23 e cujo produto seja máimo. Eercício 64. Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 00m cuja área seja a maior possível. Eercício 65. Um fazendeiro com 750 m de cerca quer cercar uma área retangular e então dividí-la em 4 partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual a maior área total possível das 4 partes? Eercício 66. Se 200 cm 2 de material estivessem disponíveis para fazer uma caia com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caia. Eercício 67. Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de 0 m 3. O comprimento é o dobro da largura. O material para a base custa 0 reais por m 2 e o material para o lado custa 6 reais por m 2. Encontre o custo dos materiais para o mais barato dos contêineres. E se o contêiner tiver uma tampa que é feita do mesmo material usado nos lados? Eercício 68. a) Mostre que de todos os retângulos com uma área dada, aquele com um menor perímetro é um quadrado. b) Mostre que de todos os retângulos com um dado perímetro, aquele com maior área é um quadrado. Eercício 69. Encontre o ponto sobre a reta = que está mais próimo da origem. Eercício 70. Um pedaço de fio com 0 m de comprimento é cortado em 2 partes. Uma parte é dobrada em formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja máima? ( Resp: tudo para o quadrado ) E mínima? Eercício 7. A iluminação de um objeto por uma fonte de luz é diretamente proporcional à potência da fonte e inversamente propocional ao quadrado da distância da fonte. Se duas fontes de luz, uma 3 vezes mais forte que a outra, são colocadas a 0m de distância, onde deve ser colocado o objeto sobre a reta entre as fontes de tal forma a receber o mínimo de iluminação? 22

23 Eercício 72. Dois corredores com largura a e b se encontram formando um angulo reto conforme se mostra na figura. a b Qual é o maior cumprimento permitido de uma escada o qual garante que esta ainda poda ser carregada (horizontalmente) de um corredor ao outro? Eercício 73. Encontre o trapezio de maior área o qual pode ser inscrito em um semi-circulo de raio a, com uma das suas bases sobre o diametro do circulo. Eercício 74. A esquina inferior direita de uma folha é dobrada de maneira que esta toca em um ponto a margem esquerda conforme mostrado na figura abaio. β Se a folha é muito comprida e a sua largura é denotada por α, mostre que o menor comprimento do lado β é 3 3α/4. 9 Respostas para alguns dos eercícios Grande parte das respostas pode ser verificada utilizando o site Por eemplo, o grafico da função f() = 3 /( ) no domínio [ 5, 4] é obtido ao digitar plot(^3)/(^2+3*-0) from -5 to 4 A derivada pode ser obtida como derive (^3)/(^2+3*-0)) e o limite quando tende a -5 pela esquerda limit ^3/(^2+3* -0) to -5 left right em lugar de left obtem o limite pela direita. limit sem outro argumento após a definição da função fornece o limite, sempre e quando este eista. Caso o limite não eista é obtida a informação two-sided limit does not eist. 4. Suponha que 3 seja irracional, logo eistem a, b Z tais que mdc(a, b) = e 3 = a/b. Portanto 3b 2 = a 2 o qual mostra que a 2 é divisível por 3, ou seja, eiste k interiro tal que a = 3k. Substituindo obtemos 3b 2 = (3k) 2 e assim b 2 = 3k 2 o qual é uma contradição pois neste caso ambos a e b são divisívels por 3, logo mdc(a, b) >. Uma analise análoga a anterior (e a utilizada em sala de aula para mostrar que 2 é irracional) mostra que 6 é irracional. Suponhamos que 2+ 3 é racional. Logo ( 2+ 3) 2 =

24 também é racional pois Q é um corpo. Mas isto não é possível pois 6 é irracional e portanto também Suponhamos que 2 + seja racional, isto é que eistam a, b Z tais que 2 + = a/b. Logo 2 = a/b = (a b)/b Q. Claramente uma contradição, pois 2 é irracional. 5. Se aplicamos duas vezes a desigualdade triangular obtemos a + b + c a + b + c a + b + c. 7. Para quaisquer a, b > 0 temos (a b) 2 0, logo (a b)(a b) = a 2 2ab + b 2 0 a 2 + b 2 2ab a 2 + 2ab + b 2 4ab (a + b) 2 4ab a + b 2 ab. Se dividimos por 2 ambos lados da ultima desigualdade obtemos o limitante superior. limitante superior por sua vez obtemos Do a + b 2 ab 2 a + b ab 2 a + b ab ab 2ab a + b ab.. (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b + (a 2 + ba) + (ab + b 2 ) = [(a 2 + ba) + ab] + b 2 = [a 2 + (ba + ab)] + b 2 = [a 2 + (ba + ba)] + b 2 = a 2 + 2sb + b 2. Em = é utilizada a propriedade associativa da soma, em = a propriedade comutativa da multiplicação. 3. Denotamos por S o conjunto solução. (i) S = { R : < 7/2} = (, 7/2). (ii) S = { R : < 0 ou > 5} = (, 0) (5, ). (iii) S = { R : 2 3} = [2, 3]. (iv) S = {} =. (v) S = R. (vi) S = { R : = 3/2} = { 3/2}. 4. (i) S = { R : 2 < < 0} = ( 2, 0). (ii) S = { R : < 2 ou 0} = (, 2) [0, ). (iii) S = { R : > 2} = ( 2, ). (iv) S = { /2 ou > } = (, /2] (, ). (v) S = { R : } = (, ) (, ). (vi) S = { R : < < 2 ou > 3} = (, 2) (3, ). 6. (i) [ 2, ]. (ii) (, 2] [, ). (iii) [ 3, /3]. (v) [ 9, /3]. 7. F: falso, V: verdadeiro. (i) F. (ii) F. (iii) F. (iv) V. (v) F. (vi) F. 8. Temos < 3 2 < < 4, logo, < 2 2 < < 2 2 < < 4 4 < < 4 < (i) S = (, 2) (, 0) (, 3). (ii) S = [3/2, 2) (2, ). (iii) (, 3/2]. 20. S = { }. O motivo é o seguinte. Elevando ao quadrado cada lado da igualdade obtemos ( + ) 2 = 2 5, portanto = 3/2. Este valor para não é possível pois 2 5 possue domínio natural (, 5] [ 5, ) e 5 < 3/2 < 5. 24

25 2. a) ( 4/3, 2); b) R\{0}; c) ( 3, 3); d) (, ) (, + ); e) (, 5); f) (3, ); g) (, 3/2); h) (, 4/3); i) (, /2); n) ( 2, 0) (4, ); p) (, ) ( /2, 2); q) ( 2, ) (2, + ); ) ( ( 5 4, ) 2 3 4, ) ( 33, ) 33 ; 2 z) ( 5, 3 5) ( + 5, 3 + 5). 23. Utilizando as propriedade de valor absoluto temos que 3 8 = 3( 6) = 3 6 = 3 6, portanto 3 8 < ε 3 6 < ε 3. Isto mostra que podemos tomar δ = ε/3. A demostração para o Eercício 22. segue práticamente os mesmos passos epostos aqui. 30. área() = 8 2 /4. 3. A() = (L 4) 2 /(4π) O decrescimo de CO em função do tempo é dado pela lei f() = O gráfico desta função é apresentado na Figura a) R, b) (, 2), c) R \ {, }, f) R, g) R \ {, 5}, h) R +, i) (, 2) [3, ) sen() 2π π 0 π 2π 25

26 CO (0 6 g) tempo (h) Figura : Resposta ao Eercício 32. : sen 2 () 2π π 0 π 2π

27 [] [ 2 6]

28 .2 sen(/) sen ( ) [ ] 0 28

29 [] 52. ( ) [] (i) 2, (ii) 3 28, (iii) 0, (iv) indefinido, (v) indefinido, (vi) indefinido, (vii) 3 4 6( 2 3 3) 4 (viii) 2. (i) 3, () 3, (i) 4 3, (ii) 5 3, (iii) 3a, (iv) n, (v) n a na, (vi) n mn a m n m. 66. a), b) -, c) indefinido (isto segue das respostas a) e b)), d) -, e), f) = -, g) = Utilizando o Teorema do confronto: (i) 0, (ii) 0, (iii) 0, (iv) indefinidoou 0?, (v) indefinido ou? / /π. 7. α/β (i) cos(), (ii) sin(3). 29

30 75 a) sec a tg a, b) 3/3, c) (i) A figura abaio mostra um poliedro de n lados inscrito numa circunferência de raio r. O angulo AOC é 2π/n, logo o angulo BOC é π/n. Isto implica que BC = r sen(π/n), e AC = 2r sen(π/n), portanto o perâmetro necessariamente é 2rn sen(π/n). A B C O r (ii) Quando n é muito grande consideramos o limite ( π ) lim 2rn sen = lim n π2r n ( π ) π sen n = 2πrα, onde α = lim sen()/ (veja o eercício 76). Como 2rπ é o perímetro da circunferência e no limite quando n o perâmetro do poligono concide com o da circunferência, deduzimos que lim 0 sen()/ = (i), (ii), (iii), (iv), (v), (vi). 85. Não eiste. 86. Não eiste. 93. (i) continua em tudo R. (ii), (iii) não é continua em = 0 pois neste ponto a função não esta definida. (vi) a função não esta definida em = e = ; no primiero caso apresenta uma asintota vertical, no segundo não esta definida. (vii) não é continua em = 0 (neste ponto não esta definida a função). (viii) a função não é continua em nπ/2, n = ±, ±2,...; nestes pontos apresenta asíntotas verticais. 9. O grafico de g é, 30

31 /( 2 + ) O grafico de f é, cm 3 e 36cm πcm 2 e 764πcm d 3 3

32 54.e ( 2 +9) i e O gráfico de g é 32

33 6 4 2 cosh() senh() tgh() km/h km/h cm 3 /min , 38cm/min. 63. = = 23/ a = b = , , (-28/7,7/7) /( ) m /( + 3 3)m da fonte mais forte. 72. a b Da figura acima temos que b = a, portanto o comprimento da linha ponteada é igual a b a 2 + a2 b 2 2 = b a ( 2 + b 2 = + ) a 2 + b 2. O maior comprimento da escada corresponde ao comprimento mínimo da linha ponteada. Este último é obtido quando 0 = a ( b a ) [ 2 + b = a ] 2 2 (2 + b 2 ) + + a 2 + b, 2 Assim, a 2 + ab 2 = 3 + a 2, e disto = a /3 b 2/3. Logo o comprimento da escada é ( + a2/3 ) b 2/3 a 2/3 b 2/3 + b 2 = ( b 2/3 + a 2/3) a 2/3 b 4/3 + b 2 b 4/3 = (b 2/3 + a 2/3 ) 2/3. 33

34 73. Se é a altura do trapezio, então é a sua área; veja o desenho abaio. A() = (a + a 2 2 ) a2 2 a Neste caso o máimo ocorre quando 0 = A () = a + a 2 2 ou de maneira alternativa quando, 2 a 2 = a a a 2 2 2, 2 a 2 2 a 2 (a 2 2 ) = (2 2 a 2 ) 2 = a 2 + a 4. Isto implica que 4 4 = 3 2 a 2 e = 3a/2. Assim a área em questão é ( a + a 2 3a ) 3a ( = a + a ) 3a = 3 3a Consideramos os seguintes pontos, α A E E β B C D Se = BC e = AB, então ED = 2 (α ) 2 = 2α α 2 do EDC, α 2 + ( ED) 2 = do EE A, logo α 2 + ( 2α α 2 ) 2 = 2 2α α 2 + α = 0 2 (2α α 2 ) = α

35 e assim O quadrado do comprimento de β é 2 = α2 2 2α α 2 = = 2 + Esta quantidade é mínimizada quando α2 2 α = α2 2 α α. 0 = 6 2 (2 α) 4 3 = α = 2 (8 6α), ou quando = 3α/4. Para este valor de o comprimento é ( ) 3α α =. 3α 2 α 4 35