UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE FÍSICA Programa de Pós-Graduação em Física. Dissertação de Mestrado

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1 UIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ISTITUTO DE FÍSICA Programa d Pó-Graduação m Fíica Dirtação d Mtrado O Modlo d Iing na Cadia Linar com Intraçõ Comptitiva d Longo Alcanc Edgar Marclino d Carvalho to Março - 9

2 UIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ISTITUTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA O Modlo d Iing na Cadia Linar com Intraçõ Comptitiva d Longo Alcanc Edgar Marclino d Carvalho to Orintador: Profor Robrto Frnand Silva Andrad Dirtação aprntada ao Intituto d Fíica da Univridad Fdral da Bahia para a obtnção do título d Mtr m Fíica Salvador Março d 9

3 O Modlo d Iing na Cadia Linar com Intraçõ Comptitiva d Longo Alcanc Copyright 9 By Edgar Marclino d Carvalho to

4 Abtract Thi work appli a tranfr matrix mthod to tudy long-rang Iing chain that hav both frromagntic and antifrromagntic intraction th kind of intraction dpnd priodically on th rang and it intnity dcra a a powr law Thi way it wa poibl to obtain thrmodynamic proprti of th chain lik fr nrgy ntropy and pcific hat Som intrting rult wr obtaind by th calculation of thrmodynamic proprti lik ridual ntropy Howvr th main ubjct of invtigation i to tt th validity of a conjctur propod by Talli which tat that long-rang ytm cal in a way h propod and that i xplaind along thi work Th ytm gnrally don t cal a uual with rpct to th numbr of contitunt for all valu of th xponnt of th powr-law intraction Thi giv ri to divrgnc in th uual intniv thrmodynamic function Th work alo tart th tudy of pha tranition of on of th chain prntd hr Th rult ar not concluiv but indicat how it i poibl to procd in futur work Thi tudy involv analyi of th corrlation function which i obtaind with th tranfr matrix mthod prntd hr Thr wr obtaind om ri of critical tmpratur for finit chain of on of th ca prntd hr With uch valu it i poibl to timat th critical tmpratur for th infinit chain with tchniqu lik Padé approximant

5 Rumo Et trabalho mprga um método d matriz d tranfrência para tudar a cadia linar d Iing com intraçõ d longo alcanc podndo ta intraçõ rm do tipo frromagnética ou antifrromagnética; o tipo d intração varia priodicamnt d acordo com a ditância ua intnidad dcai com a ditância como uma li d potência Dt modo foi poívl obtr propridad trmodinâmica do itma como a nrgia livr a ntropia o calor pcífico Algun rultado intrant foram obtido com o cálculo dta propridad como a ocorrência d ntropia ridual Contudo o objto d invtigação principal dta dirtação é a validad d uma conjctura propota por Talli qu tablc qu itma com intraçõ d longo alcanc como o dt trabalho obdcm a um calamnto propoto por l a r xplicado ao longo dt trabalho Et tipo d itma gralmnt não obdcm ao calamnto uual para todo valor do xpont d dcaimnto da intraçõ ocaionando divrgência na funçõ trmodinâmica intniva uuai Também iniciou um tudo da tranição d fa para uma da cadia aprntada Et tudo não é muito concluivo ma indica como procdr m trabalho futuro Et tudo nvolv análi da função d corrlação qu é obtida com o método da matriz d tranfrência aprntado nta dirtação Foi obtida uma éri d tmpratura crítica para cadia finita m uma da ituaçõ motrada com valor pod- timar a tmpratura críitica da cadia infinita com técnica como a do aproximant do Padé

6 Índic Introdução Expoição do problma 4 O modlo d Iing 4 Tratamnto do modlo d Iing6 Dfinição do problma8 O calamnto d Talli Dfinição dicuão Rultado prliminar obr o calamnto d Talli 4 Rultado analítico 4 Rultado numérico 7 O método d matriz d tranfrência 9 Digrõ obr o método 9 Vrão prliminar Vrão adaptada do método 5 4 A introdução do campo magnético 5 A função d corrlação o critério d tranição d fa 5 A função d corrlação 5 O critério d tranição d fa 7 6 Implmntação computacional 8 4 Rultado 4 4 Quanto ao Ecalamnto d Talli 4 4 Cao I A 4 4 Cao II F Cao III F Cao IV F 5 45 Cao V - F Cao VI A 6 4 Outra propridad trmodinâmica 6 4 Tranição d fa 65 5 Concluõ prpctiva 7 Rfrência 74

7 Lita d Figura Figura Enrgia livr m função da tmpratura com calamnto normal int com o d Talli cao A α c g 4 4 Figura Enrgia livr m função da tmpratura com o calamnto d Talli cao A α5 linha chia α linha tracjada c g7 8 4 Figura Enrgia livr m função da tmpratura com o calamnto d Talli cao A α 5 c g7 8 com c 44 Figura 4 Enrgia livr m função da tmpratura com o calamnto normal cao A α5 g c 9 44 Figura 5 Enrgia livr m função da tmpratura com o calamnto d Talli cao F5 α c95 g4 5 4 Int com difrnça ntr a nrgia livr calculada com o valor g g para um valor fixo d tmpratura46 Figura 6 Enrgia livr m função da tmpratura no calamnto uual cao F5 α6 c99 g Figura 7 Enrgia livr m função da tmpratura com calamnto d Talli cao F5 α6 c99 g Figura 8 Enrgia livr m função da tmpratura com calamnto d Talli cao F5 α6 g c Figura 9 Enrgia livr m função da tmpratura com o calamnto d Talli cao F4 α c95 g4 5 4 Int com difrnça ntr a nrgia livr calculada com o valor g g para um valor fixo d tmpratura5 Figura Enrgia livr m função da tmpratura com o calamnto d Talli cao F4 α6 c95 g4 5 4 Int com difrnça ntr a nrgia livr calculada com o valor g g para um valor fixo d tmpratura5 Figura Enrgia livr m função da tmpratura com calamnto d Talli cao F4 α g4 c Figura Enrgia livr m função da tmpratura no calamnto normal cao F4 α c99 g5 5 5 Figura Enrgia livr m função da tmpratura com o calamnto d Talli cao F α c95 g4 5 4 Int com difrnça ntr a nrgia livr calculada com o valor g g para um valor fixo d tmpratura 54 Figura 4 Enrgia livr contra a tmpratura no calamnto normal cao F α c99 g Figura 5 Enrgia livr m função da tmpratura com calamnto d Talli cao F α6 g c Figura 6 - Enrgia livr m função da tmpratura no calamnto normal cao F α6 g c Figura 7 Enrgia livr m função da tmpratura no calamnto normal cao F α c g4 5 4 Int com difrnça ntr a nrgia livr calculada com o valor g g para um valor fixo d tmpratura57 Figura 8 - Enrgia livr m função da tmpratura no calamnto normal cao F α c g4 5 4 Int com difrnça ntr a nrgia livr calculada

8 com o valor g g para um valor fixo d tmpratura58 Figura 9 - Enrgia livr m função da tmpratura com calamnto d Talli cao F α c g7 8 Int com difrnça ntr a nrgia livr calculada com o valor g g para um valor fixo d tmpratura58 Figura Enrgia livr m função da tmpratura no calamnto normal cao F α g4 c 959 Figura Entropia m função da tmpratura: cao A g c9 ou c95 α6 Figura Entropia m função da tmpratura: cao A g c α6 Figura Calor pcífico m função da tmpratura com calamnto d Talli: cao F5 g α6 c Figura 4 Calor pcífico m função da tmpratura com calamnto d Talli: cao F g α c Figura 5 Entropia m função da tmpratura: cao F g4 c α6 Figura 6 Função d corrlação m função da ditância ntr pin: cao frromagnético g T5 α67 Figura 7 Função d corrlação m função da ditância ntr pin: cao frromagnético g T65 α67 Figura 8 Função d corrlação m função da ditância ntr pin: cao frromagnético g T45 α68 Figura 9 Função d corrlação m função da ditância ntr pin: cao F5 g T α68 Figura - Função d corrlação m função da ditância ntr pin: cao F5 g T α69 Figura - Função d corrlação m função da ditância ntr pin: cao F5 g T α69

9 Introdução Durant muito tmpo a Mcânica Etatítica concntrou m problma no quai a intraçõ ão d curto alcanc ou não xitm O doi xmplo mai famoo ão: o modlo do gá idal contituído d partícula qu não intragm uma com a outra o modlo d Iing com a aproximação d intraçõ ntr o pin apna para o primiro vizinho O gá idal é d grand importância cintífica tcnológica poi corrobora o rultado prvito pla Toria Cinética do Ga também pla ampla aplicação do fluido m máquina térmica O modlo d Iing é uma abordagm conolidada ao problma d tranição d fa m matriai frromagnético ndo d fundamntal importância para a Fíica da Matéria Condnada O modlo d Iing é muito vrátil ndo aplicado a divro problma da Fíica m qu doi tado ão prnt como a liga binária o gá d rd D acordo com [] durant um bom tmpo a Mcânica Etatítica concntrou m problma qu via d rgra pouíam hamiltoniano com intraçõ não linar d curto alcanc caractrizado por um pctro d Lyapunov poitivo mmo no limit trmodinâmico caractrizando uma dinâmica microcópica caótica m qu o paço d fa é qua todo ocupado rapidamnt rgodicidad Contudo com o paar do tmpo urgiram muito trabalho qu tudavam itma com intraçõ d longo alcanc a xmplo d [-] Uma caractrítica qu t itma cotumam aprntar é qu muita vz não congu dfinir a grandza intniva com o calamnto uual qu conit na razão ntr a grandza o númro d contituint do itma poi a grandza intniva uual pod divrgir no limit trmodinâmico A cadia d Iing com intração d longo alcanc m aproximação d primiro vizinho é um bom xmplo d itma do tipo dcrito no parágrafo antrior Em particular xitm muito trabalho fito obr a cadia frromagnética a xmplo d [-]

10 ta dirtação aprntar--ão rultado obr a cadia d Iing com intraçõ frromagnética antifrromagnética d longo alcanc para a cadia antifrromagnética com intraçõ d longo alcanc Para ito uar--á um método d matriz d tranfrência utilizado m [] para tudar a cadia frromagnética Et é um método computacional qu trabalha com matriz quadrada d ordm doi mai dtalh obr l rão forncido ao longo dta dirtação Para contornar o problma da divrgência da grandza intniva com o calamnto normal Talli propô m [] um novo calamnto para dfinir a grandza intniva Et calamnto tm ido ttado aplicado m divro trabalho [-8] ta dirtação prtnd- aplicar o método uado m [] para obtr rultado para o itma aprntado no parágrafo antrior ao pnúltimo qu abarcam o guint apcto: cálculo da propridad trmodinâmica invtigação da validad do calamnto d Talli conform propoto m [] rultado prliminar obr o tudo da tranição d fa Eta dirtação poui cinco capítulo O primiro capítulo tm trê çõ: a dua primira çõ têm um carátr mai didático no qual fala um pouco obr o modlo d Iing d forma gnérica: ua origm rlvância aplicaçõ a técnica uada para tratá-lo; nfatiza- pcialmnt a técnica da matriz d tranfrência qu é a uada nt trabalho; a técnica do grupo d rnormalização pla ua importância hitórica poi la tv papl fundamntal para a toria d fnômno crítico Dtacam- o trabalho d Iing [9] Onagr [] Wilon [] pla ua importância hitórica a última ção dfin- prciamnt o itma m tudo nta dirtação o apcto d intr a rm invtigado o gundo capítulo fala d forma mai profunda obr o calamnto d Talli ndo o mmo dividido m dua çõ a primira ção dfin- o calamnto d Talli motra- o limit da xprão propota por Talli para a difrnt ituaçõ poívi aprntam- argumnto para qu l ja acito mprgado pla comunidad a gunda ção aprntam- algun rultado já obtido obr o calamnto d Talli Mai particularmnt ta ção aprnta o

11 rultado analítico d [] para a acitação do calamnto o rultado numérico d [] para a cadia frromagnética no qual foi uado o mmo método d matriz d tranfrência dt trabalho o trciro capítulo xpõ- o método d matriz d tranfrência utilizado com dtalh nfatizando ua vantagn motrando ua limitaçõ A ubçõ dt capítulo ão contruída d forma didática gradativa partindo d uma vrão impl do método gnralizando-a até ua vrão mai gral podroa prmitindo ao litor a comprnão do raciocínio por trá do método do u funcionamnto Motra- como obtr a função d partição a propridad trmodinâmica a função d corrlação com t método no final do capítulo fala- obr como l foi implmntado computacionalmnt o quarto capítulo ão dicutido o rultado obtido São motrado ncialmnt trê tipo d rultado: o primiro rfr- à validad do calamnto d Talli do calamnto uual para o difrnt itma aprntado na última ção do primiro capítulo; o gundo conit m rultado acrca da propridad trmodinâmica; o último rfr- ao tudo da tranição d fa à validad do critério d ocorrência d tranição d fa propoto m [] para o itma dta dirtação o quinto último capítulo ão aprntada a concluõ prpctiva para trabalho futuro

12 4 Expoição do problma O modlo d Iing O modlo d Iing é um modlo d pin intragnt ntr i com um campo magnético xtrno quando t tá prnt a ua vrão mai gral l é dado plo hamiltoniano abaixo: H i j ij i j h i i ± i no qual o primiro trmo rflt a intração ntr o pin o gundo a intração com um campo magnético xtrno h tá aociado à intnidad do campo nquanto a chamada contant d acoplamnto ij tão aociada à intraçõ ntr o pin A variávi i aumm o valor motrado rfltm o tado do pin intragnt cotuma- intrprtar como o inal da componnt do pin na dirção do campo Et modlo foi propoto originalmnt por Lnz m 9 rolvido por Ernt Iing [9] m 95 para o cao unidimnional com intraçõ apna ntr o primiro vizinho ij para i-j > El é muito uado para dcrvr fnômno frromagnético m Fíica do Etado Sólido poi congu implificar a ralidad fíica d forma a torná-la olúvl analítica ou numricamnt ao mmo tmpo qu congu rtr boa part da informação contida na ralidad do fnômno Et último apcto mrc r nfatizado poi tudar o frromagntimo m critai por xmplo ignificaria modlar o comportamnto do núclo do létron ditribuído no paço o quai intragm ntr i vntualmnt com um campo xtrno É cuado dizr qu imular todo t dtalh d manira abolutamnt fil à ralidad obtr rultado profundo é um objtivo altamnt otimita para não dizr utópico; contudo um modlo impl como o d Iing ubtitui toda a complxidad do núclo movndo na rd do létron

13 5 movimntando d toda a intraçõ coulombiana prnt por um conjunto d pin intragnt Eta altrnativa mbora parça dmaiadamnt rducionita é rducionita! vm prmitindo ao longo da Hitória a obtnção d muito rultado tanto qualitativo quanto quantitativo pcialmnt no qu tang à toria para a tranição d fa frromagnética Val a pna raltar qu com todo o rducionimo prnt o modlo m qutão não é trivial d modo qu a maioria da aplicaçõ como a dt trabalho não dipõ d rultado puramnt analítico A pouca oluçõ analítica para a vrõ mai impl do modlo d Iing ão muito rducionita prmitindo apna uma abordagm qualitativa do fnômno ou ntão d uma ofiticação matmática qu a torna batant difíci; o xmplo mai conhcido é o trabalho d Onagr [] qu aprnta uma olução para o modlo d Iing bidimnional com intraçõ apna ntr primiro vizinho Rcntmnt urgiu um trabalho com conjctura acrca d uma olução para o cao tridimnional [] O modlo d Iing é uma altrnativa amplamnt mprgada poivlmnt a mai mprgada para tudar traniçõ d fa m itma magnético Além dito l também é utilizado para imular ituaçõ m qu cada microtado poui dua poibilidad ditinta como no cao do gá d rd da liga binária O gá d rd conit num problma m qu cada contituint átomo ou molécula pod ocupar poiçõ dicrta no paço ítio; logo o doi poívi valor d i rprntam ítio ocupado ou vazio A liga binária rprnta uma rd com doi tipo d átomo poívi m cada ponto da rd pod havr um tipo d átomo rultando no doi valor d i para cada ítio Val a pna nfatizar qu a aplicaçõ do modlo d Iing vão além da citada tanto do ponto d vita da Fíica como m âmbito mai grai ndo t utilizado m rd nurai mmbrana biológica até rd ociai artigo publicado m [4]

14 6 Tratamnto do modlo d Iing O conjunto d técnica xitnt na litratura para tratar o modlo d Iing é muito grand Em particular mrcm dtaqu dua grand família d método: uma dla é a do grupo d rnormalização qu foi propoto por Wilon m 97 [] ndo uma da frramnta atuai mai podroa no tudo do fnômno crítico; a outra família é a do método d matriz d tranfrência método mai antigo qu foi utilizado por Onagr [] na olução pionira do cao bidimnional é o qu rá uado nt trabalho Cada uma dta família poui vária técnica dntro dla qu podm r tanto analítica quanto numérica conidravlmnt ditinta uma da outra Eta técnica vão ndo dnvolvida para tudar cada vrão particular do modlo; bata vr qu o método uado no prnt trabalho é batant difrnt do d Onagr Para rolvr o modlo d Iing utiliza- o formalimo d Gibb da Mcânica Etatítica mai pcificamnt o nmbl canônico Portanto para rolvr t modlo dv- calcular a função d partição canônica: Z conf H T k B ond o omatório dá obr toda a configuraçõ poívi do itma H é o hamiltoniano dado por T a tmpratura k B a contant d Boltzmann Daí pod- obtr a funçõ trmodinâmica conhcida: nrgia livr F nrgia intrna U ntropia S calor pcífico c ntr outra F S T c T [ ln Z ] F ln Z f U u S T Pod- também achar a magntização M a ucptibilidad magnética χ a função d corrlação C:

15 7 M F h m m χ h C i j conf i Z j H 4 Como pod vr a fatoração da função d partição do modlo d Iing não é trivial pcialmnt dvido ao trmo d acoplamnto O método d matriz d tranfrência conitm m crvr a função d partição como opraçõ obr lmnto d matriz muita vz como ndo a potência do traço d uma matriz; a matriz é chamada matriz d tranfrência Et procdimnto é convnint porqu prmit uar o rultado da Álgbra m favor do proco Por xmplo frquntmnt aparcm no método o traço da potência d uma matriz como o traço é invariant por tranformação d imilaridad pod- contruir a matriz d tranfrência d modo qu la ja diagonalizávl; aí ntão vê- claramnt qu o traço da potência da matriz é a oma d potência d u autovalor O modo como controm a matriz d tranfrência ão o mai variado dpndm da criatividad do autor d cada método Evntualmnt poa difrnt dnvolvm método ditinto para tratar um mmo itma; é o qu acontc no problma dta dirtação [8 9 ] O método d matriz d tranfrência também prmitm achar a função d corrlação a vrdad pod- obtr a propridad trmodinâmica a partir da função d corrlação m uar a função d partição ma io cotuma r um proco mai complicado; por io mmo quando a função d corrlação é calculada com matriz d tranfrência cotuma- calcular também a função d partição para a partir da mma obtr- o outro parâmtro trmodinâmico pcialmnt no método analítico O método do grupo d rnormalização é uma abordagm batant ditinta do d matriz d tranfrência o gundo calcula- a função d partição dtrminam- a propridad trmodinâmica do itma tndo- rolvido compltamnt o problma dntro da prcião poívl no cao

16 8 do método numérico o primiro a função d partição nm é calculada a funçõ trmodinâmica também não ão achada contudo obtém- a tmpratura crítica o xpont crítico aociado à tranição d fa Ou ja tuda- o comportamnto do itma na tranição d fa m prciar rolvê-lo Exitm outro método important como o método d campo médio ond dprza a flutuaçõ do pin a aproximação gauiana ond conidra a flutuação até uma crta ordm Também pod- m cao mai impl tntar uar análi combinatória para calcular a função d partição há também a digualdad d Bogoliubov qu é um método batant utilizado m vária aplicaçõ da Mcânica Etatítica Muito do rultado obtido com t método m pcial o d campo médio a aproximação gauiana rviram como ba para lvantar hipót báica para conolidação do método d grupo d rnormalização [5] Dfinição do problma O itma m qutão nta dirtação conit numa cadia linar d pin m qu todo l intragm ntr i com um campo magnético xtrno O itma tá ubmtido a uma condição d contorno priódica m qu o primiro o último pin da cadia ão vizinho d primira ordm: H ij i j h i i ± i j > i i j 5 A intnidad da intraçõ ntr o pin é maior ntr o primiro vizinho dcai com a ditância d acordo com uma li d potência: ij α i j 6

17 9 A contant d acoplamnto podm r poitiva ou ngativa o cao m qu ão poitiva diz- qu a intraçõ mdiada por la ão frromagnética; no cao ngativo diz- qu a intração é antifrromagnética Pla quação 5 vê- qu m baixa tmpratura a intraçõ frromagnética tndm a dixar o pin parallo a antifrromagnética tndm a dixar o pin opoto O cao m qu toda a intraçõ ão frromagnética já foi tudado antriormnt []; nt trabalho prtnd invtigar a ituação m qu toda a intraçõ ão antifrromagnética algun cao m qu xitm ambo o tipo d intração ditribuído d manira priódica d acordo com a ditância ntr o ítio; ito rá xplicado a guir Para facilitar a xplicação crvamo a contant d acoplamnto como ndo: ij ig r r i r j α 7 ond a função igr dfinirá cada cao particular t trabalho aprntar-ão rultado obr o guint cao: Cao I : ig r r 8 para r 684 Cao II : ig r dmai cao para r 555 Cao III : ig r dmai cao para r 695 Cao IV : ig r dmai cao - para r 468 Cao V : ig r para r para r 579 Cao VI : ig r para r 468

18 Dfinm- aim o i itma m qutão nta dirtação Sab qu itma dt tipo com intração d longo alcanc cotumam r não-xtnivo d modo qu no limit trmodinâmico a grandza intniva uuai cotumam divrgir para crto valor do xpont d dcaimnto m algun do cao Talli propô ntão um calamnto difrnt do uual para dfinir a grandza intniva qu vm ndo bm ucdido numa grand gama d aplicaçõ [] Maior informaçõ obr o calamnto d Talli rão dada na próxima ção Para tornar a notação mai compacta idntificar--á cada cao da guint manira: ig r R m F m n : ig r m R m n ig r R m A m n : ig r m R m n 9 ond R r mod m n dt modo o cao I a VI corrpondm rpctivamnt a A F5 F4 F F A O cao frromagnético amplamnt tudado na litratura corrpond a F Et trabalho via invtigar a validad do calamnto propoto por Talli para o itma m qutão a propridad trmodinâmica ntropia calor pcífico nrgia livr dt itma Fz- também um tudo obr a tranição d fa m um do cao II

19 O calamnto d Talli Dfinição dicuão a Trmodinâmica na Mcânica Etatítica é comum caractrizar o tado do itma por grandza intniva qu uualmnt ficam bm dfinida no limit trmodinâmico como ndo a razão ntr uma grandza xtniva nrgia intrna nrgia livr d Gibb ou d Hlmholtz ntropia o númro d contituint do itma É convnint xprar o tado por mio d grandza intniva poi io caractriza bm o itma indpndnt do quanto grand l ja ; m outra palavra do númro d contituint qu poui Contudo m algun itma fíico pcialmnt no qu aprntam intraçõ d longo alcanc como o tratado nt trabalho o limit trmodinâmico não fica bm dfinido d modo qu a grandza intniva uuai podm divrgir carcndo d ignificado fíico Para contornar t problma Talli propô uma manira altrnativa d dfinir a grandza intniva motrada a guir Sja : F F T H f T H F ond F uma grandza xtniva como a nrgia livr por xmplo T H ão grandza intniva como a tmpratura o campo magnético xtrno aplicado no modlo d Iing ou prão potncial químico é o númro d partícula; a grandza f ria intniva bm dfinida na maioria da ituaçõ ma não nt cao Dfin- ntão:

20 H H T T d d d α α α prando- qu a grandza H T f H T f fiqu bm dfinida no limit trmodinâmico rolvndo o problma da divrgência Para jutificar ta propota uma poívl abordagm é a da rfrência [] na qual tuda um hamiltoniano da forma j i ij j i i i r L H α θ coθ 4 qu pod r pnado como um hamiltoniano d rotor intragnt ond o primiro omatório com trmo rprnta a nrgia cinética o gundo com -/ trmo ditinto rprnta a nrgia potncial d intração ntr o rotor O gundo trmo o da nrgia potncial m 4 dividido por númro d rotor é limitado no paço d-dimnional por algo proporcional a: * d d d d dr r r d α α α 5

21 o qual difr do rultado aprntado antriormnt m por uma contant Tomando o limit no calamnto antrior m qu tnd a infinito tm o rultado a guir: < > ln d d d d d d d α α α α α α α 6 Analogamnt para * tm- no limit d muito grand: < > ln * d d d d d d α α α α α α 7 Val a pna nfatizar qu a intgral * rv para limitar não apna t hamiltoniano ma para ituaçõ difrnt ond aparçam intraçõ d longo alcanc; o calamnto aprntado já foi utilizado m muito trabalho difrnt com uco para outro tipo d hamiltoniano Da manira jutifica- o porquê dt calamnto para o itma m qutão análogo Analiando o rultado obtido vê- qu para α/d> o calamnto propoto difr do normalmnt uado por uma contant no limit trmodinâmico o qu ugr qu o itma ncontra

22 4 na rgião xtniva; nquanto qu para o outro cao o itma tá numa rgião não-xtniva O argumnto aprntado motram- razoávi para uma crnça no fato d qu o calamnto propoto por Talli dv r válido para uma gama d ituaçõ variada ma tá long d r uma dmontração formal inqutionávl d qu o calamnto é mpr válido Mai pcificamnt t argumnto não provam qu t calamnto ja válido para a cadia d Iing com intraçõ d longo alcanc qu é um do objtivo d invtigação do prnt trabalho Eta invtigação foi fita num trabalho antrior por Andrad Pinho [] para o cao m qu a intraçõ ão toda frromagnética nt trabalho para o cao antifrromagnético com intraçõ comptitiva frromagnética antifrromagnética Rultado prliminar obr o calamnto d Talli Rultado analítico Um rultado intrant obr o calamnto d Talli é o aprntado m [] no qual part da hipót d qu a nrgia livr d Gibb G m itma não xtnivo poui a guint propridad: G * U * T * S P * V H * M 8 ond é o númro d pin * é como dfinido antriormnt U é a nrgia intrna T é a tmpratura S é a ntropia P é a prão V é o volum H é o campo magnético M é a magntização A grandza S V M ão admitida como xtniva a grandza intniva uuai T P H obdcm ao calamnto *

23 5 O xmplo citado no artigo [] é o da cadia d Iing frromagnética dada plo hamiltoniano > r H j i ij j i α 9 Então do fato d qu USVMuvm* obtém- qu: M V S U M V S U d α λ λ λ λ λ drivando- m rlação a λ obtém-: U d U M M U V V U S S U d α λ α λ λ λ λ Logo para d d α α λ chga- a rlação d Eulr: U M U H V U P S U T HM PV TS U µ µ : ond a partir da qual pod obtr a rlação d Gibb-Duhm corrpondnt ou ja:

24 6 µ d MdH VdP SdT 4 Da rlação d Eulr corrpondnt obtém- qu: G µ 5 Como G é proporcional a * tm- qu o potncial químico dv r proporcional a *; o mmo acontc para T P H obtndo- a rlaçõ: * * * * M V S M V S M V S H M V S H M V S P M V S P M V S T M V S T µ µ 6 jutificando- aim a quação do início dta ção o calamnto d Talli com ba m concito trmodinâmico Et rultado é intrant porqu motra qu a rlaçõ d Eulr d Gibb-Duhm ão compatívi com o calamnto d Talli na rgião xtniva É rlvant notar qu o cao xtnivo qu pod r vito como o limit m qu α tnd a infinito a intraçõ cam muito rapidamnt rulta m λ qu é o valor utilizado normalmnt para obtnção da rlação d Eulr [6-7]: lim lim lim ln lim ln x x x x x x x x x λ 7

25 7 Rultado numérico O método d matriz d tranfrência utilizado nt trabalho foi utilizado antriormnt m [] para o tudo da cadia d Iing frromagnética com intraçõ d longo alcanc Como o método é numérico calculou- a nrgia livr para cadia finita com intraçõ d ordm mnor ou igual qu um crto valor g numa cadia com gc pin dt modo c corrpond ao acrécimo d pin numa cadia com g pin todo intragindo un com o outro m qu aumnt a ordm máxima da intraçõ A figura a guir ilutra o ignificado d g c cada círculo corrpond a um pin a linha a intraçõ ntr o pin g c: g c: g c: Fazndo- g variar com valor mnor ou iguai a 4 com c mantido fixo a partir da análi da difrnça ntr a curva obtida obrvou- qu ta dcam com o aumnto d g colapando mpr qu o calamnto d Talli é uado Em contrapartida no calamnto uual dividir por a curva ó colapam na rgião xtniva α> como prvito Ito vidncia a validad da conjctura d Talli para o cao frromagnético m concordância com o rultado da ção antrior Acrécimo unitário m g gram uma variação d mno d % na curva da nrgia livr com o calamnto d Talli para α5 Mantndo g fixo variando c obrva- qu a difrnça ntr o valor da nrgia livr com o calamnto d Talli dcai com o aumnto da tmpratura com o mmo calamnto d modo qu a difrnça ntr a curva é infrior a 8%

26 8 É important nfatizar qu nt método numérico o calamnto d Talli funciona quando troca por g na quação: α α d d α d 8 vidnciando qu o calamnto tá aociado não com o númro d contituint apna ma principalmnt com o alcanc da intraçõ Conclui- qu a conjctura d Talli val para todo valor d α m concordância com o rultado da ção antrior o qu ugr a validad do método mprgado no prnt trabalho qu é uma impl adaptação do método para o cao mai gral m qu a contant d acoplamnto ntr o pin podm aumir valor ngativo

27 9 O método d matriz d tranfrência Digrõ obr o método Conform já foi mncionado uar--á nt trabalho um método d matriz d tranfrência Et método é o mmo qu foi uado antriormnt para tudar a cadia d Iing no cao m qu toda a intraçõ ão frromagnética m [] obtndo rultado compatívi com outro trabalho da litratura [ 4 8 9] vidnciando a confiabilidad do método O método mprgado prmit tudar uma cadia d gc pin m qu ó intragm o vizinho até ordm g a próxima ção rá vita a vrão prliminar do método a campo nulo m qu g c na ção potrior motrar--á como o formalimo aprntado pod r gnralizado para o cao m qu o númro d pin xcd a ordm da intraçõ ou ja a ordm máxima da intraçõ g é mnor qu - gc; dpoi rá xpoto o método na prnça d um campo magnético xtrno por último como achar a função d corrlação do itma como t rultado pod r utilizado para dtrminar quando ocorr tranição d fa a tmpratura crítica corrpondnt Et capítulo via xpor o método utilizado nt trabalho motrando qual a idéia matmática por trá do proco O método foi implmntado m linguagm Fortran num computador d ma impl contudo não rão motrado aqui o programa utilizado ua nuanc uma vz qu o objtivo dta dirtação é acrca da Fíica não da art da programação Epra- qu a dduçõ aqui fita poam clarcr o litor quanto à ficiência do método quanto ao raciocínio por trá dl bm como da ua vantagn computacionai intrínca prmitindo àqul qu for hábil programador implmntá-lo na linguagm qu achar mai convnint

28 Vrão prliminar Conidrando um itma com doi pin hamiltoniano H- dfin- a matriz M m função da configuraçõ poívi do pin aociando o índic i a o índic j a gundo a convnção abaixo: M M ij i i j j i 9 Obtém- ntão: M Vê- qu a função d partição para t itma d doi pin é xatamnt o dobro do maior autovalor dta matriz ou ja: Z λ Pod- crvr o lmnto da matriz M como ndo: i M j i P lk lk L j l k

29 ond dfin: L P jk P i j i k δ d modo qu o valor d tão rlacionado com o índic i k do lmnto d matriz pla convnção motrada antriormnt o rótulo da coluna do lmnto d matriz ão dado pla ordm lxicográfica d j k Uma manira d vr a ordm lxicográfica é a guint: a linha tá aociada d imdiato com i; para rlacionar a coluna com o valor d j k vê- qu o índic da coluna varia d até 4 crvndo- o quatro valor m binário com doi algarimo obtém- o valor d j k como o algarimo corrpondnt a cada caa; por xmplo o lmnto com índic d coluna corrpondm a m binário o qu qur dizr qu j k portanto analogamnt o índic d coluna 4 corrpond a m binário o qu corrpond a jk logo : M P L M 4 Conidrando agora um itma com trê pin portanto intraçõ até gunda ordm obtém-:

30 [ ] j j i i j M i 5 Dfin- ntão o lmnto da matriz P d modo qu: k l j L t t t t t t P lk lk P i j M i 6 ond P é como ra dfinida antriormnt aim: i - - t t P t t jk P t i i i i t k jt δ δ 7 Dta vz uou- a ordm lxicográfica tanto na linha quanto na coluna ó qu na coluna agora tm- trê índic A gnralização é trivial: bata crvr o índic m binário mai uma vz ó qu na coluna dta vz crvr--ão o númro com trê algarimo dando o trê valor d t t t ; por xmplo o lmnto com índic d linha coluna

31 corrpond a j k poi m binário é t t t poi m binário é Obtém- ntão a matriz M : P P L M 8 Procdndo d manira análoga obtém- o guint rultado para uma cadia d 4 pin portanto intraçõ até trcira ordm: t t t t k l j L t t t t t t t t mno P mno P lk lk P i j M i 9 A matriz P trá agora ordm 8x6 L trá ordm 6x d modo qu como P é x4 P é 4x8 a matriz M P P P L rá x como mpr A matriz P poui quatro bloco B B B B 4 como motrado a guir: 4 B B B B P 4 4 B B B B 4

32 4 Analogamnt obtém-: M P P P L 4 Olhando- para a matriz P P P obtida vê- qu cada matriz P k é dividida m bloco qu ou ão nulo ou têm o lmnto da matriz P k- multiplicado por xponnciai xp k ou xp- k Então obrvando- a matriz obtida bm como o proco d contrução pod- vr claramnt a rlaçõ d rcorrência a guir qu prmitm contruir a matriz P k d forma rcuriva aim dtrminar o M k P k i j P k P k i j k i j k j j para i para k- i dmai cao j k- k 4 k k k k j k Com M k pod- achar a função d partição como ndo o dobro do maior autovalor dta matriz ntão a outra funçõ trmodinâmica ot qu como a matriz final é x imétrica u autovalor ão dado d manira trivial pla xprão 44 dipnando algoritmo complicado para o cálculo do autovalor: M ± λ ± M 44

33 5 A partir daí pod- achar a função d partição a propridad trmodinâmica O cálculo da função d partição Z ão fito para difrnt tmpratura a drivada podm r obtida por método d difrnça finita Sinttizando tm- a xprõ 45: Z F ln F S T T S c T λ 45 Z Vrão adaptada do método Com o método motrado na ção antrior pod- calcular a propridad d uma cadia com pin conidrando- toda a intraçõ até ordm - contudo ito dixa o númro d pin da cadia muito limitado dvido à ordm máxima d intraçõ qu o computador congu procar num tmpo hábil ta ção motrar--á como adaptar o método antrior a uma cadia com pin intraçõ até ordm g ó qu d modo qu poa r maior qu g Para tablcr a notação rá conidrada uma cadia com gc pin [-] Para ilutrar o novo método pod- conidrar uma cadia com quatro pin intraçõ até gundo vizinho S a intraçõ fom até o trciro vizinho a ituação ria imilar à ção antrior; uma olução razoávl ntão é utilizar o método da ção antrior para quatro pin ó qu conidrando Procdndo- dta manira a matriz P fica:

34 6 4 B B B B P 46 ond o bloco da matriz ficam: 4 B B B B 47 ot qu o bloco não nulo da matriz P ão idêntico à matriz P Pod- ntão calcular o produto da matriz P P P L como agora obtida achar a matriz x corrpondnt qu dcrv o itma: M L PP P M 48 Agora dfinamo o lmnto da matriz P como ndo: l lmno P ijk mno P ijk ' 49 Logo obtr--á:

35 7 ' P 5 Pod- notar ntão a agradávl coincidência: L PP P' M 5 Suponha agora qu quira tudar a cadia d 4 pin com intraçõ até primiro vizinho ntão analogamnt ao qu foi fito antriormnt pod- fazr no procdimnto uual obtr--á: 4 B B B B P 5 ond o bloco B i i4 ão:

36 8 4 B B B B 5 também obtém- P como ndo: P 5 ot qu a matriz P P ão formada por pquno bloco qu ou ão nulo ou idêntico a P Dfin- agora o lmnto da matriz P ' ' n P nkj P ij kj P ij 54

37 9 Finalmnt vê- qu a matriz x qu dcrv a cadia com quatro pin intraçõ até primiro vizinho é dada por: ' M L P P L PP P M 55 Diant do xmplo forncido vê- qu a matriz M gc qu dcrv uma cadia d gc pin com ordm d intração até g pod r dada por: g c g g i i c g L P P M ' 56 ond o P i ão dtrminado d manira rcuriva como dtrminado o P i como já motrado antriormnt Embora parça artificial a contrução do P la é batant natural poi fazr o I com i>g é uma altrnativa natural para dcrvr uma cadia com gc pin intraçõ até g Além dio vê- qu nta ituação a matriz P i com i>g ão formada por bloco da matriz P g d modo qu a dfinição do P fica natural Por último ralta- qu olhando para a matriz P g d ordm g x g vê qu la pod r obtida da matriz P g d ordm g x g a partir da dfinição d uma matriz Q g d ordm g x g como motrada a guir

38 P ' Q P g Q g i j g g i j ou i j dmai cao g 57 A xprõ continuam válida obviamnt para a matriz M gc d modo qu trmina- ntão ta ção com um método prático para r implmntado computacionalmnt d tudar uma cadia com gc pin intraçõ até ordm g na auência d campo magnético 4 A introdução do campo magnético Embora o rultado aprntado nt trabalho jam corrpondnt ao cao m qu o campo xtrno é nulo por razõ qu rão dicutida mai adiant motrar--á nta ção qu o método aprntado nta dirtação pod r adaptado para o cao m qu o campo não é nulo o qu prmit por xmplo o cálculo da magntização Para introduzir o campo magnético na vrão prliminar do método motrado antriormnt pod- inicialmnt conidrar o fito do campo magnético no pin i m cada matriz P i Para io multiplica- cada lmnto d matriz P i por h i dfindo- aim a matriz P i *: i P * jk k h δ i j 58 P * h h h h Analogamnt dfin- a matriz P *:

39 h -h -h - h -h h - h h * * t t t t t t P t t t jk P t k t j h δ δ 59 E obtém- ntão a matriz x corrpondnt: * * * h h h h L P P M 6 Agora pod conidrar também o fito do campo no pin dfin- aim a matriz P **: ** ** h h j i h h P jk P i k δ 6 Acha- ntão a matriz M **

40 * ** ** h h h h h h h h L P P M 6 Pod- também calcular M * M **: * * h h h h L P M 6 ** ** h h L P M 64 ot qu a matriz M * M ** difrm por uma rgra impl: a última é igual à primira com a primira linha multiplicada por h a gunda dividida por t mmo valor; o mmo acontc ntr M * M ** d fato ito é uma rgra gral Conhcndo- a matriz M n ** pod- dtrminar a função d partição a propridad trmodinâmica com a quaçõ Para adaptar o formalimo ao cao m qu c> bata uar a xprõ trocando- P n por P n ** poi a contrução é análoga 5 A função d corrlação o critério d tranição d fa

41 Uma propridad important cujo cálculo ainda não foi motrado até agora é a função d corrlação qu conit no valor prado do produto d doi pin numa crta ditância r: Z H H r r conf conf r g H conf 65 ond H é dado pla xprõ 5 6 Eta ção prtnd motrar como dá o cálculo da função d corrlação como ta pod r uada para a obtnção d um critério d tranição d fa do itma bm como para calcular a tmpratura crítica aociada à cadia finita prmitindo xtrapolar o rultado para a cadia infinita com a técnica do aproximant d Padé 5 A função d corrlação Dfin- a matriz P como ndo: P ' a matriz P P como ram ant; dfin- agora a função [ ] maior intiro contido m da guint manira: [ x] up{ z Ζ; z x}} 67 por último dfin- a matriz L gr d ordm x g como ndo: L g r i j i gr i jfor ímpar i jfor par 68

42 4 Dt modo a função d corrlação rá dada por: Rg r i j i j r g Z g 69 ond Z g é a função d partição da cadia com g pin intragnt R gr é a matriz dfinida por: g ' R g r P Pi Lg r i 7 Para ilutrar o proco pod- fazr o cálculo da função d corrlação ntr o pin ntr o pin numa cadia com pin o primiro cao r g logo: L i j i i i jfor ímpar i jfor par 7 Obtém- ntão: L 7

43 5 Como P é dado por 66 P é dfinido como originalmnt obtém-: ' L L P P R 7 Z é dada plo dobro do maior autovalor da xprão 8 tanto nt cao como no outro; logo a função d corrlação ntr o pin é: [ ] g j i j i g Z R 74 Analogamnt para o pin obtém- jfor par i jfor ímpar i i i j i L 75

44 6 L ' - - L L P P R 77 Analogamnt ao fito na xprão 74 obtém-: j i j i g Z R 78 ot qu nt cao não há gnralização fita para o cao c> a vrdad o objtivo é modlar a cadia infinita; portanto toda a intraçõ dvm r conidrada mpr A cadia infinita tm um tipo d imtria d forma qu a corrlação ntr doi pin ó dpnd da ditância ntr l portanto a corrlação ntr r é a mma qu xit ntr i ir para um i qualqur Dt modo pod- ntão crvr:

45 7 C g r i i r g Rg r i j Z g i j 79 ond R gr é dado pla xprão 7 5 O critério d tranição d fa Utilizando a xprão 79 pod- achar a função d corrlação C gr T m função d g ordm máxima da intraçõ r ditância ntr o pin para uma crta tmpratura T Pod- ntão traçar o gráfico d C gr T contra g para difrnt valor d T obrvar para quai valor d T C gr T tnd a aumntar ou diminuir para cada valor d g ot qu nt cao aumntar g quival a aumntar o númro d pin plo formalimo motrado na ubção antrior portanto tm- a tmpratura crítica a partir da qual o g-éimo pin tndrá a corrlacionar ou não com o antrior a r dnominada T gr para cadia finita Com uma éri dta tmpratura pod- timar a tmpratura crítica da cadia infinita com a técnica do aproximant d Padé [89] É lógico qu para achar a tmpratura crítica é ncário qu xita tranição d fa; m trabalho antrior [] ta técnica já foi uada para timar a tmpratura crítica para o cao frromagnético O cao frromagnético é um cao batant guro para aplicar a técnica poi rultado analítico [-4] garantm qu ó ocorr tranição d fa para <α no ntanto não xitm rultado analítico para o cao dta dirtação Para dtrminar ocorrrá tranição d fa no prnt cao pod- tntar achar a tmpratura acima da qual C gr T tnd a crcr com g para valor alto d g o qu indicaria a frromagnética a dcrcr para valor d T mnor o qu indicaria a fa paramagnética

46 8 S C gr T for mpr crcnt rpctivamnt dcrcnt para valor alto d g ito indica qu o itma tá mpr na fa frromagnética rpctivamnt paramagnética d modo qu não há ocorrência d tranição d fa Contudo é muito complicado dtrminar a faixa d valor d α para o qual xit tranição d fa com ba nt critério poi o máximo valor d g qu conguiu uar até o prnt momnto foi 5 com a capacidad da máquina utilizada; o gráfico do cao frromagnético já indicam qu t númro é muito pquno para dtrminar a ocorrência da tranição Contudo xitm algun cao m qu a vidência da ocorrência ou da auência d tranição d fa é mai xplicito t trabalho aprntar-ão algun rultado para o cao II poi é o mai próximo do cao frromagnético portanto o mai provávl para idntificar a ocorrência da tranição d fa 6 Implmntação computacional Para implmntar o método aprntado ao longo dt capítulo foram fito um conjunto d programa m linguagm Fortran Exit um programa inicial qu gra aída m formato binário com a nrgia d configuração do itma o outro programa cundário qu a partir do rultado do programa inicial acham a propridad trmodinâmica para difrnt tmpratura com o calamnto djado prmitindo traçar a curva dta propridad com o oftwar Origin O primiro programa rcb como ntrada o xpont d dcaimnto o valor d g c; o outro programa rcbm t valor o do campo xtrno cao quira calcular a magntização o conjunto d valor d tmpratura para o qual dvm achar o valor da propridad trmodinâmica calculada É lógico qu o programa cundário prciam da aída do programa inicial para dmpnhar u papl A vantagm d tr vário programa qu gram rultado a partir d um inicial é qu não é ncário obtr toda a informaçõ obr o itma

47 9 mpr Por xmplo: por alguma razão xit intr m tr a nrgia livr m função da tmpratura para um conjunto d valor d g c do xpont d dcaimnto ó é prcio utilizar o programa inicial o programa qu gra o ponto da curva; ou ja não é prcio grar o ponto da curva do calor pcífico da ntropia função d corrlação da nrgia livr com o calamnto d Talli Além dio a fragmntação m programa mnor prmit idntificar dpurar o rro com mai facilidad quando t tão prnt Val a pna nfatizar qu no método aprntado não xitm rtriçõ quanto ao valor nm ao inai da contant d acoplamnto a vrão original do programa uada m trabalho prtérito para tudar o cao da cadia frromagnética batava pcificar o valor da contant d acoplamnto maior obtr a outra por uma li d potência Para t trabalho fz- uma adaptação m qu lia um novo parâmtro d ntrada dcimal qu quando convrtido para binário dava o inal da contant d acoplamnto prmitindo aim conidrar a intraçõ antifrromagnética ma mantndo a quda da magnitud com uma li d potência Fz- um programa auxiliar qu grava a ntrada a partir da configuração d inai djada Ea gnralização prmit trabalhar com configuração qualqur d inai incluiv não priódica Val a pna nfatizar qu não há nnhuma rtrição do método qu obrigu a trabalhar com intraçõ cujo módulo dcaiam com li d potência d modo qu é poívl adaptar o programa para lr um vtor com o valor incluindo inal da contant d acoplamnto individualmnt prmitindo aim tudar quência não priódica vidro d pin qüência d Fibonacci outro problma d intr da comunidad cintífica

48 4 4 Rultado t capítulo prtnd- aprntar o rultado obtido com o método motrado no capítulo antrior para o itma m qutão nta dirtação dfinido por Et rultado nglobam o cálculo da propridad trmodinâmica a validad do calamnto d Talli um pquno tudo da tranição d fa para um do cao; motrar--ão também algun rultado qu ão úti para attar a confiabilidad do método t capítulo continuar--á uando a convnção dfinida no capítulo antrior m qu g é a ordm máxima da intraçõ da cadia o númro total d pin é gc Em todo o rultado aprntado o campo magnético xtrno é nulo Io é razoávl; poi a não xtnividad do itma quando prnt dv ao trmo d acoplamnto não ao do campo xtrno O itma com hamiltoniano dado plo trmo do campo xtrno ozinho tm olução analítica qu é amplamnt conhcida é xtniva; t hamiltoniano já foi utilizado para modlar o paramagntimo Et capítulo tá dividido m trê çõ: a primira aprnta o rultado quanto à validad do calamnto d Talli motrado no capítulo II; a gunda motra a propridad trmodinâmica complmnta o qu foi dito na primira; a trcira xib algun rultado iniciai obr o tudo da tranição d fa para o cao II A primira ção é dividida m cinco ubçõ cada uma ncarrgada d um do cao da xprão 8; na gunda ção ta ubdivião não é mantida ma procura- dar xmplo qu complmntm o qu foi motrado na ção antrior qu attm a confiabilidad do método; a última ção aprnta algun rultado indica uma boa prpctiva para trabalho futuro Val a pna raltar qu na primira ção a cala do gráfico da nrgia livr contra a tmpratura foram altrada d modo a ampliar a rgião d baixa tmpratura qu é aqula m qu o calamnto ão mai difíci d rm válido

49 4 Para valor alto d tmpratura é mpr mai fácil achar um colapo da curva da nrgia livr para difrnt valor d g c dfinido d acordo com a convnção da ção antrior por io ntão o gráfico concntram na rgião m qu a tmpratura tnd a zro poi la rprnta a pior ituação para a validad do calamnto 4 Quanto ao Ecalamnto d Talli 4 Cao I A O cao I na convnção da xprõ conit na cadia antifrromagnética como motrado antriormnt t cao pod- provar analiticamnt qu o itma é xtnivo poi a nrgia é proporcional a Bata tomar o cao m qu α c qu é o cao m qu todo o pin intragm ntr i não xit dcaimnto da intraçõ com a ditância campo médio portanto o mai provávl d r não xtnivo t cao tomando uma cadia com pin upondo par m prda d gnralidad a configuração d mnor nrgia conit m mtad do pin com uma orintação a outra mtad com outra orintação Conidrando a xprõ 5 a 7 a nrgia dta configuração rá dada por: U 8 ond o primiro trmo ntr colcht rflt a intração do primiro pin com o outro da cadia o gundo a intração do gundo pin com o

50 4 outro rmancnt aim por diant Como cada colcht do pin ímpar dá - cada um d pin par dá xitm - colcht o qu no limit trmodinâmico é o mmo qu colcht tm-: U < 8 o qu vidncia qu a xtnividad do itma A dgnrcência dt tado d nrgia é dada trivialmnt por Ω!!! 8 logo a ntropia é dada no limit trmodinâmico por :! S kb ln kbln!! 8 ond uou a xpanão d Stirling na última xprão Eta configuração d nrgia no tado fundamntal para α não aprnta nnhuma magntização da mma manira qu para α também não há magntização a configuração d nrgia mínima é imilar com a mma propridad Aim ndo a ntropia dv r contant o gráfico da nrgia livr contra a tmpratura dvm r rta como pod vr na próxima figura Et tipo d comportamnto não dv mantr para outro valor

51 4 d c além d zro poi aí nm todo o pin da cadia tarão intragindo ntr i com a mma intnidad -4-4 f -8-8 f - -6 g g 4 g - -6 g g 4 g 5 5 T 5 T 5 Figura Enrgia livr contra tmpratura com calamnto normal int com o d Talli cao A α c g f -4-6 g7 g8 g9 g g g7 g8 g9 g g T 6 Figura Enrgia livr contra tmpratura com o calamnto d Talli cao A α5 linha chia α linha tracjada c g7 8

52 44-6 g7 g8 g9 g g -7 f -8 T 9 Figura Enrgia livr contra tmpratura com o calamnto d Talli cao A α 5 c g7 8 com c f -6 c c c -7 c c4-8 c5 c6-9 c7 c8 c g T Figura 4 Enrgia livr contra tmpratura com o calamnto normal cao A α5 g c 9 A figura motra a nrgia livr contra a tmpratura para α c com o valor d g 4 A figura maior motra com o calamnto normal a mnor com o d Talli Pod- vr qu o calamnto normal

53 45 aprnta mlhor convrgência da curva para a variação d g do qu o d Talli a figura tm- a nrgia livr contra a tmpratura com o calamnto d Talli para α5 linha chia α linha tracjada com c g variando d 7 a na figura tm- a nrgia livr contra tmpratura com o calamnto d Talli para α 5 g789 com c A figura motram qu a ditância ntr a curva não muda nivlmnt quando aumnta g ua o calamnto d Talli para α5 α ot qu a cala da figura tá bm mai ampliada qu a da figura A xprõ motram qu o calamnto d Talli para α no cao da cadia finita é uma impl mudança d cala no gráfico da nrgia livr com o mmo fator m ambo o ixo qu ria por ma como já foi dicutido antriormnt dv- uar g m vz d Logo cada curva difr da curva do calamnto uual plo fator d multiplicação 4 no gráfico motrado o qu não lva a uma boa convrgência do calamnto d Talli É óbvio qu a variaçõ aboluta rão mnor com o calamnto d Talli; afinal o númro foram dividido por intiro maior qu ma a variação rlativa é maior A figura 4 motra a nrgia livr contra tmpratura m o calamnto d Talli para α5 g com c variando d a 9 com incrmnto d Ela motra boa convrgência da curva da nrgia livr para α5 g quando varia c no calamnto uual O rultado numérico obtido com o formalimo d matriz tranfrência aprntado nt trabalho ugrm qu a cadia antifrromagnética ja xtniva para todo valor d α ou ja qu o calamnto uual ja válido nt cao; o qu condiz com o rultado analítico aprntado no início dta ubção pla xprão 85

54 46 4 Cao II F5 O cao II na convnção da xprõ é aqul m qu apna a intraçõ d ordm múltipla d 6 ão antifrromagnética portanto é o mai próximo do aprntado da ituação frromagnética f -75 -fg 5 g g g4 g5 g6 g7 g8 g9 g g g g g4 fg T g Figura 5 Enrgia livr contra tmpratura com o calamnto d Talli cao F5 α c95 g4 5 4 Int com difrnça ntr a nrgia livr calculada com o valor g g para um valor fixo d tmpratura

55 g5 g g5 g f T Figura 6 Enrgia livr contra a tmpratura no calamnto uual cao F5 α6 c99 g f - -5 g5 g g5 g -8 T Figura 7 Enrgia livr contra a tmpratura com calamnto d Talli cao F5 α6 c99 g5 5

56 48 f c5 c55 c6 c65 c7 c75 c8 c85 c9 c T 9 Figura 8 Enrgia livr contra a tmpratura com calamnto d Talli cao F5 α6 g c A figura 5 aprnta a nrgia livr contra tmpratura com o calamnto d Talli para α c95 com g variando d 4 a 4 a inrção mnor motra a difrnça ntr a nrgia livr calculada com o valor g g para um valor fixo d tmpratura Val raltar qu nta figura há curva fita para intrvalo mnor d variação da tmpratura poi ó havia intr no valor d baixa tmpratura para compará-la ntr i o comportamnto global da curva já tá batant claro A figura 6 motra a nrgia livr contra a tmpratura no calamnto uual com α6 c99 com g aumindo o valor 5 5 a figura 7 motra o mmo rultado da figura 6 quando ua o calamnto d Talli Dt modo a figura motram qu a nrgia livr aprnta um mlhor colapo da curva ao variar g quando ua o calamnto d Talli para α α6; vê- qu à mdida qu g aumnta a difrnça ntr a curva diminui Em contrapartida a figura 6 motra qu a curva da nrgia livr do itma m qutão não colapam quando ua o calamnto normal

57 49 para α6; vê- também qu a difrnça ntr a curva varia muito pouco com o aumnto d g vidnciando a não-xtnividad do itma A figura 5 motra qu a difrnça ntr a curva aprnta um alto a cada variação d 6 no valor d g; a priodicidad no alto dv à aparição da intraçõ antifrromagnética qu urgm quando a ordm da intraçõ é múltipla d 6 O int da figura 5 motra qu tomando valor d g ntr doi múltiplo concutivo d 6 a nrgia livr m função da tmpratura tnd a diminuir monotonicamnt dando alto grand no ntido crcnt quando obtém o múltiplo d 6 Io qur dizr qu à mdida qu aumnta g a nrgia livr vai diminuindo dpoi aumnta ubitamnt dvido ao aparcimnto da intraçõ antifrromagnética mudando o inal ntr a difrnça da nrgia livr calculada com g g voltando a diminuir para dpoi aumntar novamnt Ito difr do qu acontc no cao frromagnético m qu a nrgia livr aprnta um comportamnto monotônico com g como na rfrência [] Embora a nrgia livr tnda a diminuir ntr cada conjunto d valor d g ntr doi múltiplo d 6 vê- qu a curva qu difrm por um múltiplo d 6 aprntam um comportamnto crcnt com g quando ua o calamnto d Talli Ito vidncia um comportamnto da nrgia livr dcrcnt com g xcto para o valor d g qu ão múltiplo d 6 no quai o comportamnto é crcnt Vê- também qu a difrnça ntr a curva com difrnça d g múltipla d 6 diminui m módulo com o aumnto d g vidnciando convrgência da nrgia livr com t calamnto A figura 8 motra qu a curva da nrgia livr não variam muito quando varia c para g Ainda qu ja poívl ditinguir bm a curva vê- qu a difrnça ntr o valor da nrgia livr é infrior a 5 unidad da nrgia livr numa variação d c m até 45 para qualqur valor d tmpratura Et rultado é prado poi: aumntar o númro d pin da cadia m aumntar a ordm da intraçõ corrpond a uma ituação tipicamnt xtniva m qu o calamnto uual dv valr; logo para a cadia finita como é o cao a curva dvm tar bm aglutinada ao uar o calamnto d Talli ainda qu a variação rlativa ntr la não motr tão pronunciada