Controle Adaptativo de Estruturas Flexíveis

Transcrição

1 ese apesetada à Dvsão de Pós-Gaduação do Isttuto eoógo de Aeoáuta omo pate dos equstos paa obteção do títuo de Meste em Cêa o Cuso de Egehaa Eetôa e Computação, Áea de Sstemas e Cotoe. Vto Igo Gev Cotoe Adaptatvo de Estutuas exíves Pof. D. Ede Moea Hemey Oetado Pof. D. Homeo Satago Mae Chefe da Dvsão de Pós-Gaduação Campo Moteego São José dos Campos, SP Bas 3

2 INSIUO ECNOLÓGICO DE AERONÁUICA DIVISÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO 8-9 São José dos Campos e: () ax: () e-ma: Cotoe Adaptatvo de Estutuas exíves Vto Igo Gev Composção da Baa Examadoa: Pof. D. Cao Lúo Nasmeto J. - Pesdete - IA Pof. D. Ede Moea Hemey - Oetado - IA Pof. D. aash Yoeyama - IA Pof. D. Luz Caos Sadova Góes - IA Pof. D. Sebastão Cíeo Pheo Gomes - URG - Ro Gade/RS IA

3 3 Dedatóa Aos meus pas Igo e Maa Esabeth, Aos meus mãos Aexade e Igo,e Aos meus avós.

4 4 Agademetos Gostaa de agadee a Deus, peo dom da vda; ao pofesso Ede, pea exeete oetação, pea paêa e peos ohemetos tasmtdos; ao pofesso Sebastão, po te mpatado em mm a semete peo gosto à pesqusa; ao pofesso Góes, pea paêa e etvo; aos pofessoes Cao e aash, peos ohemetos tasmtdos; aos oegas de Pós-Gaduação em Egehaa Meâa, pea auxío a pate páta deste tabaho; à todos os oegas de Pós-Gaduação, pea amzade e oegusmo; à APESP, peo apoo faeo va poesso o /758-.

5 5 "O úo uga ode o suesso vem ates do tabaho é o doáo." (Este)

6 6 Resumo Este tabaho obetva a modeagem tpo oetada paa uma estutua om um eo fexíve, bem omo o otoe desta estutua. Esta modeagem exbe um sgfado físo mas ao e é eevate po dos motvos ppas: smpdade e efêa. Uma estatéga de otoe tpo LQG é mpemetada, sedo apesetados esutados de smuação e expemetas, empegado o obô fexíve IA-IEMP do Depatameto de Egehaa Meâa-Aeoáuta, havedo boa oodâa ete ees. Posteomete é estudado o asteameto de taetóas e detfação adaptatva das ão-eadades de obôs om um eo fexíve. O desevovmeto de es de otoe atvas paa obôs fexíves osttu um pobema em abeto: a ppa dfudade esde as seveas ão-eadades pesetes os atuadoes obótos e as pópas estutuas fexíves. É poposto este tabaho um otoado eua paa o asteameto de sa de um obô om um eo fexíve. Po meo de uma aáse do tpo Lyapuov-Le, as odções sufetes paa a estabdade do sstema de otoe são detemadas. Adoamete, são estabeedos mtates paa os eos de asteameto e de detfação. O desempeho da estatéga de otoe é avaado e ompaado om uma estatéga LQG va smuações, as quas foam efetuadas om o modeo ão-ea obtdo utzado-se a abodagem de modeagem tpo dseta. emos adoas de attos ão-eaes foam uídos a dâma de smuação paa usta a habdade do otoado eua em ompesa dâmas ão-eaes ão modeadas. Cou-se que o desempeho da estatéga poposta é bem supeo ao exbdo peo otoado LQG.

7 7 Abstat hs wo ams at the umped mass modeg appoah of a oe- fexbe stutue, ad the oto of ths stutue. hs modeg exhbts a ea physa tepetato ad s eevat o two aouts: smpty ad effey. A LQG otoe s mpemeted fo appato wth IA-IEMP fexbe obot. Smuatos ad expemeta esuts ae peseted ad dsussed. hs wo aso osdes the adaptve oea detfato ad taetoy tag fo oe- fexbe mapuatos. Atve oto aw deveopmet fo fexbe stutues s st a ope pobem, due to oea fto the atuatos ad the stutues. I ths wo t s poposed a Neua Netwo (NN) tag otoe fo a sge fexbe. By meas of a Lyapuov-Le Aayss, the odtos fo the oto system stabty ae detemed. Addtoay, bouds fo the detfato ad tag eos ae estabshed. he oto system pefomae s evauated ad ompaed wth a LQG stategy. We ustate the eua based otoe effetveess va smuatos wth a east oea mode usg the umped mass modeg appoah. A exta fto tem was added the smuatos, ode to hghght the NN otoe apabty to dea wth umodeed oea dyams. It s ouded that the tag pefomae of the NN otoe s bette tha that exhbted by the LQG oto.

8 8 Sumáo I. Itodução...3 II. Modeagem da Estutua exíve...,, A Modeagem Coetada...,, Modeo Matemáto Lea om ês Modos exíves...,, Modeo Matemáto Não-Lea om Quato Modos exíves...35,, Aáse e Smuações dos Modeos Coetado e Compaações om Resutados Expemetas do Robô IA-IEMP...39 III. Poeto do Cotoado LQG...45,,, A Estutua LQG...45,,, Poeto LQR...47,,, Poeto do to de Kama...48,,, Resutados de Smuações e Expemetas...5 IV. Poeto do Cotoado Neua e Pova de Estabdade...57,9 Poeto do Cotoado Neua...57,9 Aáse tpo Lyapuov-Le...6,9 Poeto da RN e Quadade do Rasteameto...63,9 Resutados e Smuação...64 V. Cousões...7 VI. Refeêas...73

9 9 Lsta de guas gua I. Robô mapuado paa a motagem de estações obtas....4 gua I. Satéte atfa om apêdes fexíves...5 gua II. Estutua fexíve... gua II. Estutua fexíve e sua apoxmação paa o aso de uma, duas e tês atuações ftías... gua II.3 Estutua fexíve om tês atuações ftías.... gua II.4 Esquema paa a dvsão de uma estutua fexíve em quato pates ígdas.... gua II.5 Esquema de uma estutua fexíve dvdda em quato pates ígdas.... gua II.6 oto do obô fexíve IA-IEMP...33 gua II.7 Dagama esquemáto do obô fexíve IA-IEMP...34 gua II.8 Dagama da apoxmação dos modos paa a modeagem oetada gua II.9 Dagama de Bode, modeo ea obtdo om 3 a.f. (aso ooado)...39 gua II. Dagama de Bode, modeo ea obtdo om 4 a.f. (aso ooado)...39 gua II. Dagama de Bode, modeo ea obtdo om 3 a.f. (aso ão ooado)....4 gua II. Dagama de Bode, modeo ea obtdo om 4 a.f. (aso ão ooado)....4 gua II.3 oque moto de extação degau...4 gua II.4 Resutado expemeta o obô IA-IEMP om extação degau...4 gua II.5 Smuação paa o modeo ea om tês atuações ftías....4 gua II.6 Smuação paa o modeo ea om quato atuações ftías...4 gua II.7 Smuação paa o modeo ão-ea om quato atuações ftías....4 gua II.8 Dfeeça ete o modeo ea e ão-ea om quato atuações ftías....4 gua II.9 oque moto de extação seoda gua II. Resutado expemeta o obô IA-IEMP om extação seoda gua II. Smuação paa o modeo ea om tês atuações ftías gua II. Smuação paa o modeo ea om quato atuações ftías...44 gua II.3 Smuação paa o modeo ão-ea om quato atuações ftías gua II.4 Dfeeça ete o modeo ea e ão-ea om quato atuações ftías gua III. Dagama de boos do otoado tpo LQG....46

10 gua III. Dagama paa otoe em tempo ea do obô IA-IEMP...5 gua III.3 Dagama de smuação e otoe do obô fexíve IA-IEMP....5 gua III.4 Resutado expemeta paa o obô IA-IEMP: Refeêa ua gua III.5 Smuação paa o modeo ão-ea om quato atuações ftías: Refeêa ua gua III.6 Resutado expemeta paa o obô IA-IEMP: Refeêa 6 o...54 gua III.7 Smuação paa o modeo ão-ea om quato atuações ftías: Refeêa 6 o...54 gua III.8 Resutado expemeta paa o obô IA-IEMP: Refeêa 45 o...55 gua III.9 Smuação paa o modeo ão-ea om quato atuações ftías: Refeêa 45 o...55 gua IV. Dagama de smuação do sstema de otoe gua IV. Cotoe LQG: Refeêa Nua gua IV.3 Cotoe Neua: Refeêa Nua...65 gua IV.4 Cotoe LQG: Refeêa 45 o...66 gua IV.5 Cotoe Neua: Refeêa 45 o gua IV.6 Cotoe LQG: Refeêa 6 o...67 gua IV.7 Cotoe Neua: Refeêa 6 o gua IV.8 Cotoado LQG paa pata om atto ão-ea: Refeêa Nua...68 gua IV.9 Cotoado Neua paa pata om atto ão-ea: Refeêa Nua gua IV. Cotoado LQG paa pata om atto ão-ea: Refeêa 45 o gua IV. Cotoado Neua paa pata om atto ão-ea: Refeêa 45 o...69 gua IV. Cotoado LQG paa pata om atto ão-ea: Refeêa 6 o....7 gua IV.3 Cotoado Neua paa pata om atto ão-ea: Refeêa 6 o...7

11 Lsta de Símboos γ posção da -ésma atuação ftía; úmeo de atuações ftías; I éa do oto; m toque moto apado; m massa da aga tema; m b massa tota do baço fexíve; b ompmeto tota do baço fexíve; m massa do -ésmo eo ígdo; ompmeto do -ésmo eo ígdo; (x, y) sstema de oodeadas eas; âguo ete o -ésmo eo ígdo e a deção x; (x, y ) oodeada do eto de massa do -ésmo eo ígdo; (x, y ) oodeada do eto de massa da aga tema; m massa da aga tema; f foças ão osevatvas; eaoadas a ada eemeto ígdo ; t tempo; τ ostate de tempo; L agagao; símboo de dfeea paa; d símboo de dfeea tota; E eega éta do oto; Ep eega potea do oto; E eega éta do -ésmo eo ígdo; Ep eega potea do -ésmo eo ígdo; E eega éta da aga tema; Ep eega potea da aga tema; E Eega éta tota; Ep eega potea tota; ostate eásta da -ésma atuação ftía; ostate de atto ea do atuado; ostate de atto ea da -ésma atuação ftía; I matz de éa do sstema; K matz de ostates eástas das atuações ftías; C matz de attos; B ' matz de otoe oga; A Matz dos estados; B matz de otoe a foma ássa de equações de estado; u vaáve de otoe; x vaáve de estado; λ veto das popoções dos ompmetos dos eos ígdos; α oefete das ostates de eastdade; oefete das ostates de atto ea;

12 EI móduo de Youg vezes a éa da seção eta; I ( ) matz de éa ão-ea; (, ) fução das ão-eadades do modeo oetado; y veto de obsevação; C matz de obsevação; G matz tesdade do uído de estado; matz tesdade do uído de obsevação; w(t) Ruído de estado; v(t) uído de obsevação; E {} opeado espeaça matemáta; δ ( ) fução deta de Da; P w ovaâa do uído de estado; P v ovaâa do uído de seso; J fução usto matemáto; Q matz usto dos estados; R matz usto de otoe; K gaho do otoado LQR; ϑ matz de obsevabdade; xˆ veto de estmação dos estados passo de dsetzação; A matz dseta dos estados; d B matz dseta de otoe; d L matz dseta do gaho do estmado; d M matz de dsetzação exata; τ Dâma ão modeada; O (ε) emos de odem ε ; [ ], matz ua de dmesão [ ], matz detdade de dmesão ; x ef Veto efeêa; e eo de asteameto; eo de asteameto ftado; âguo de efeêa dos eos ígdos; ef f (ζ ) temos ão-eaes da dâma do eo de asteameto; ζ (t) vaáves da fução ão-ea da dâma do eo de asteameto; f ˆ( ζ ) estmação de f (ζ ) dada pea ede eua; gaho do eo de asteameto; K v K gaho do temo de obustez; z f ( ζ ) eo de estmação da ede eua; matz de todos os pesos deas da ede eua; W matz dos pesos deas da amada temedáa da ede eua; V matz dos pesos deas da amada de saída da ede eua; opeado oma fobêus; σ ( ) fução de atvação da amada esodda; t { } opeado taço matemáto;

13 3 I. INRODUÇÃO A fexbdade é uma aateísta pesete em patamete todos os mateas utzados a fabação de equpametos, as mas dvesas apações. Sea em aeoaves, obôs-mapuadoes, veíuos, edfações, estutuas metáas paa a ostução v, et., sempe exstão vbações eetes às dâmas desses sstemas. Estas vbações são oseqüêa da fexbdade atua dos mateas e, a gade maoa dos asos, tata-se de fexbdade otíua, taduzda em ftos modos de vbação. Cada um desses modos possu a sua feqüêa espeífa e, potato, um sstema om fexbdade otíua possu, em teoa, ftas feqüêas. Po exempo, uma asa de uma aeoave em vôo possu seus modos de vbação otuamete atvados devdo ao otato da estutua om o a. Etetato, aso se ooque um seso de atíssma pesão, apaz de med a veodade da pota da asa em eação à ha euta da mesma, apta-se-a, este sa, apeas agus de seus pmeos modos de vbação. Isto poque ão há seso apaz de med vbações quado a feqüêa tede ao fto. Caso teha-se omo obetvo apeas eota um modeo matemáto (dâma oma) que se apoxme da dâma ea e se, ppamete, ão se exge um ato íve de easmo paa este modeo, tem-se etão um pobema eatvamete smpes. Poém, se o obetvo é otoa, de foma atva, uma estutua otedo fexbdade otíua, sugem dvesas dfudades as quas, po vezes, podem vabza ompetamete a mpemetação páta da e de otoe desevovda. É pesamete este otexto que se see o ppa obetvo desta dssetação, qua sea, apeseta um estudo sobe a modeagem de uma estutua om um eo fexíve e o desevovmeto de um otoado eua, om aateísta de estabdade e desempeho, paa o asteameto de sas e ateuação de vbações esta estutua fexíve [3] [3]. O otoe de estutuas fexíves tem sdo um assuto bastate pesqusado os útmos vte aos, devedo-se este teesse ppamete às apações espaas. Em [3] há uma teessate desção do estado da ate sobe o otoe de estutuas fexíves. Um exempo de apação está a egehaa espaa, o aso de um mapuado espaa, utzado a eazação de taefas tas omo a motagem de estações obtas e epaos em satétes atfas. A gua I. mosta um deseho de um mapuado espaa que está sedo ostuído pea CSA (Agêa Espaa Caadese) [47].

14 4 gua I. Robô mapuado paa a motagem de estações obtas. O mapuado da gua I. é fxado ao ôbus espaa ou a pópa estação obta a pat do atuado (moto-eduto), que está stuado a sua base. Devdo ao ompmeto dos eos (agus om apoxmadamete m), é evtáve que os mesmos apesetem mpotate fexbdade. O uso de mapuadoes obótos em estações espaas é mtado peo usto de evo do mapuado paa o espaço e este usto está gado detamete ao peso do mapuado. Isto eque que o mapuado possua poua massa, toado-o muto fexíve, á que seu ompmeto deve se ogo. Outo pobema gado detamete ao usto do peso está os atuadoes destas estutuas: ão podem possu muta éa, o que faz om que o atto seo se toe sgfatvo, eevado a zoa mota em toque. Satétes atfas om apêdes fexíves osttuem outa mpotate apação, também o domío dos sstemas espaas. Estes apêdes fexíves geamete estão assoados a paés soaes, os quas aptam a eega soa e a tasfomam em eega eéta paa ameta equpametos de bodo (vde gua I.). Estes paés omamete possuem gades dmesões e, oseqüetemete, são também possudoes de uma fexbdade estutua sgfatva. Ideamete, o otoe de attude de satéte eessta ateua de foma atva as vbações os paés, as quas epeutem sobe a patafoma de supote dos mesmos, ou sea, o pópo satéte.

15 5 gua I. Satéte atfa om apêdes fexíves. A maoa destas apações se dá o domío da hamada obóta fexíve [] [5] [33] [38] [39] [4] [4] [43] [46]. Nestes asos, os obôs possuem pates fexíves, hamadas de eos (eemetos que uem uma atuação à outa, ou uma atuação à aga tema). Poém, gade pate dos tabahos esta áea aboda o pobema do poto de vsta teóo de sítese de otoe, osdeado, potato, que os atuadoes são deas e pefetamete eaes. Espefamete o ampo da obóta dusta há também, atuamete, uma esete eessdade de aumeta as veodades de opeações dos obôs [], o que só é possíve om a dmução das massas de seus eos e, oseqüetemete, om um evtáve aésmo da fexbdade dos mesmos. Cotoa estutuas fexíves, omo as tadas ateomete, é um pobema ompexo e que tem meedo muta ateção da omudade etífa [3] [5] [5] [8] [9] [] [3] [44]. Poém, o suesso de uma e de otoe, tato em temos de desempeho quato de estabdade, depede fudametamete do ohemeto de um bom modeo dâmo. Os ppas obstáuos eotados paa se efetva o otoe de um obô om eos fexíves são: dfudade de se aptua om fdedade a dâma de estutuas fexíves, esutado em dfeeça ete as dâmas da pata ea (sstema físo) e do modeo matemáto oma, o que aaeta uma deteoação do desempeho e ompomete a estabdade do sstema de otoe; a ompexdade dos modeos e dfí tepetação físa de suas vaáves de estado, que dfutam a usão deta de dados vdo dos sesoes (que

16 6 geamete medem posções, veodades, defexões e aeeações aguaes), geado assm um aésmo o poessameto e às vezes até a eessdade de um aumeto dos estados do modeo [], eduzdo assm o desempeho e dfutado uma mpemetação do otoe em tempo ea; exstêa de petubações exteas, po vezes muto sgfatvas, que pode se taduzdo em uídos de estado do modeo; exstêa de uídos poveetes dos sesoes, os quas são eametados o sstema a foma de eos de obsevação; dâmas ão-eaes dos atuadoes [9] []. Podeíamos ada aeseta que, omamete, quado se desea otoa estutuas fexíves, o tuto é ateua vbações em todos os modos e, potato, o poesso de eametação paa o otoe devea se da obsevado-se todas as vaáves de estado. Isto é dfí de aotee poque, em apações pátas, há mtações em temos dos sesoes, vabzado a obsevação do estado ompeto. É também um fato a dfudade atuamete sugda ao se teta otoa sstemas ão-ooados (sstemas de fase ãomíma), dfudade esta eete a toda uma dâma fexíve exstete ete o oa da apação do esfoço de otoe (toque moto) e o oa o qua se eaza a obsevação. A ppa motvação deste tabaho esde a dfudade de se otoa estutuas fexíves utzado-se atuadoes obótos, em azão da exstêa de attos ão-eaes eetes estes. O que aotee a eadade é o segute: os toques auados po es de otoe são efetvamete apados os otoes dos atuadoes, mas ão passam tegamete paa a saída dos edutoes e, potato, ão são tasmtdos à estutua paa o devdo asteameto e otoe da ateuação das vbações. Os attos ão-eaes poveetes dos atuadoes obótos (ppamete os attos seos) foeem as ppas e mas seveas ão-eadades do sstema dâmo esutate, dfutado assm que estatégas de otoe eaes teham um bom desempeho. Estes pobemas, em sua maoa, seão osdeados o deoe do pesete tabaho. Isto poque o estudo sobe o desevovmeto de otoadoes paa estutuas fexíves, om odções eas de mpemetação páta, osttu uma peoupação ostate duate todo o desevovmeto do tabaho. A detfação e ompesação de attos ão-eaes va edes euas atfas (RN) omeçou a se mas estudada apeas eetemete [] [34], tatado-se, potato de um

17 7 assuto bastate atua. Exstem atuamete dvesas apações de edes euas atfas, os mas vaados domíos da êa e teooga [6] [7]. ata-se de um assuto que tem meedo gade ateção po pate da omudade etífa. A maoa dos atgos sobe o otoe atvo de estutuas fexíves tata de aspetos vuados à teoa de otoe [3] [7] [4]. Poém, o ohemeto de um modeo dâmo bem epesetatvo da eadade do feômeo, ofome dto, é de fudameta mpotâa paa que o poeto de otoadoes teem haes eas de fuoaem a páta. Em gea, o método dos modos assumdos [37] tem sdo mas empegado paa a obteção do modeo dâmo, ppamete o aso de um úo eo fexíve. Poém, se o mapuado possu mas de um eo om fexbdade mpotate, esta téa de modeagem dâma toa-se dfí de se utzada em azão de ompações advdas das odções de otoo [3]. Potato, obetva-se também, este tabaho, esgata o fomasmo dseto (umped mass appoah) [], o qua possu omo gade vatagem a smpdade de equaoameto. Apesa de apeseta oepção smpes, o fomasmo dseto é tabahoso, ppamete se o modeo tve mas de dos modos fexíves. Neste tabaho seão popostos dos agotmos, que têm po obetvo fata a obteção de modeos eaes e ão-eaes paa -modos fexíves. A estutua fexíve osdeada paa o desevovmeto do pesete tabaho osste em uma âma fexíve aopada em uma extemdade a um atuado do tpo moto eéto, a pat do qua é apado o toque de otoe, e a outa extemdade há uma massa ostate, omamete deomada de aga tema. a estutua podea se assoada, om agumas modfações, a dvesas apações o domío da egehaa, omo as á tadas estutuas espaas ou mapuadoes om eos fexíves, po exempo. Ou ada em: asa de uma aeoave fxa a uma extemdade e ve a outa; apações béas, omo o aso de um ogo ao de ahão, atuado em uma extemdade a uma base móve (taque de guea) e ve a outa; et. Este tabaho tem omo ppas obetvos: vestgação da téa de modeagem oetada e sua mpemetação paa a obteção de um modeo paa o obô fexíve IA-IEMP do Depatameto de Egehaa Meâa-Aeoáuta; mpemetação em tempo ea e expemetos om o obô fexíve IA-IEMP paa vadação do modeo obtdo;

18 8 poeto e aáse de um otoado eua om aateístas de estabdade (o setdo UUB, ofome a Seção IV.) e desempeho; ompaação de desempeho do otoado eua poposto om um otoado ásso LQG (Lea Quadat Gaussa). Covém essata que este poedmeto (modeagem oetada, também hamada de modeagem dseta), fata a usão dos dados de sesoes de posção da aga tema, que estão sedo desevovdas [], o veto de estados do modeo, á que o veto dos estados do modeo esutate é fomado apeas po posções e veodades ao ogo de toda a estutua. Esta fadade ão exste quado se empegam téas tadoas de modeagem dâma de mapuadoes om eos fexíves, que é o aso da modeagem peo método dos modos assumdos, que eque o uso de um veto de estado om mao dmesão, udo as suas segudas devadas modas, paa pode u a medção deta da aga tema []. As ppas otbuções deste tabaho são: apação do fomasmo de modeagem oetada ao obô IA-IEMP, atvdade ada ão efetuada em tabahos ateoes desevovdos o IA om esta modeagem; poposção de um agotmo paa a obteção do modeo ão-ea oetado paa atuações ftías; mpemetação de otoe em tempo ea utzado o modeo obtdo e estatéga tpo LQG; poeto de um otoado eua om aateístas de estabdade; ompaação, va smuações, do desempeho do sstema poposto, baseado em edes euas, em eação ao otoado LQG. Aém destas otbuções, os métodos de modeagem e de poeto do otoado seão desevovdos de foma bastate detahada, fatado assm a utzação deste tabaho omo apoo báso o desevovmeto do otoe de sstemas dâmos semehates. Cofome é peeptíve a pat das tações eazadas ateomete, exste uma gade quatdade de tabahos etífos sobe o otoe de estutuas fexíves. Em sua maoa ees vesam sobe dfeetes téas de otoe destadas à ateuação de foma

19 9 atva das vbações eetes à movmetação de tas estutuas. Cada um dees utza um eto fomasmo de modeagem e, em agus asos, esta modeagem é expada de foma supefa, até poque, a maoa das vezes, a êfase do tabaho é o otoe e ão a modeagem. Não se detetou, etetato, um tabaho otedo um estudo utzado a modeagem oetada e o otoe atvo de vbações va téas de tegêa atfa, e meos ada om êfase a pova de estabdade do sstema goba de otoe. Este é pesamete o otexto o qua se see a pesete dssetação, uo ppa obetvo é desevove um estudo de um obô fexíve dspoíve o Depatameto de Egehaa Meâa-Aeoáuta e apa téas de otoe adaptatvo va edes euas om êfase a pova de estabdade. amete, pode se dto que desevove otoadoes om odções eas de mpemetação, em fução de todos os pobemas exptados esta todução, osttu ada um desafo etífo, sedo este o motvo do gade teesse que a omudade etífa demosta atuamete po este pobema.

20 II. MODELAGEM DA ESRUURA LEXÍVEL,,A MODELAGEM CONCENRADA Neste apítuo seá apesetada a modeagem matemáta de uma estutua fexíve atavés da fomuação de Lagage. Cosdea-se este tabaho uma vga fexíve aopada a um atuado, em uma extemdade, e ve a outa, ode fo ooada uma aga tema ofome gua II.. No oto do atuado é apado o toque moto de otoe. gua II. Estutua fexíve. As equações da dâma seão obtdas a pat da modeagem oetada (umped mass appoah), também hamada de modeagem dseta, que dvde a estutua fexíve em pates ígdas, oetadas po eemetos fexíves, hamados de atuações ftías. A déa é substtu a fexbdade otíua po uma apoxmação dseta, atavés da usão de atuações ftías []. O pmeo passo paa se obte o modeo matemáto va abodagem oetada é esohe o úmeo de atuações ftías, as quas deveão se posoadas a estutua ofome mosta a gua II.. O úmeo esohdo de atuações ftías esutaá o úmeo de modos fexíves do modeo matemáto esutate.

21 gua II. Estutua fexíve e sua apoxmação paa o aso de uma, duas e tês atuações ftías. No aso de uma úa atuação ftía, dvde-se a estutua em duas pates de mesmo ompmeto (dos eemetos ígdos) e u-se uma atuação γ ete eas; o aso de um modeo om duas atuações ftías, ada atuação ( γ e γ ) é posoada a metade de ada eemeto ígdo em que a estutua fo dvdda o aso ateo e o aso de atuações ftías, as atuações são posoadas a metade de ada eemeto ígdo do aso de - atuações ftías. Neste tabaho osdeaemos os asos om tês e quato atuações ftías, paa efeto de smpfação e sem peda de geeadade. Na seção II. seá obtdo o modeo matemáto ea osdeado-se tês atuações ftías (tês modos fexíves), que seá utzado as smuações omo o modeo oma. Na seção II.3 seá obtdo o modeo matemáto ão-ea osdeado-se quato atuações ftías (quato modos fexíves), que seá utzado as smuações omo sedo a pata ea. Como o modeo do atuado também possu uma ostate de tempo tea, a dâma do modeo oma goba (atuado mas estutua) teá quato modos e a dâma do modeo da pata ea goba teá o modos.,,modelo MAEMÁICO LINEAR COM RÊS MODOS LEXÍVEIS Paa se obte o modeo matemáto om tês modos fexíves, dvde-se a estutua fexíve em quato pates atavés da usão de tês atuações ftías, ofome dado a gua II.3.

22 gua II.3 Estutua fexíve om tês atuações ftías. Na gua II.4, I e m oespodem à éa do oto e ao toque moto apado o atuado, m à massa da aga e γ à posção de ada atuação ftía. gua II.4 Esquema paa a dvsão de uma estutua fexíve em quato pates ígdas. Cosdeado-se um sstema de efeêa (x, y), é possíve def as vaáves,, 3 e 4 omo sedo os âguos ete a deção x e o pmeo, segudo, teeo e quato eemeto ígdo (eos). Cada um desses eos possu sua massa oetada o seu espetvo eto de massa, ou sea, (x, y ), (x, y ), (x 3, y 3 ) e (x 4, y 4 ) são as oodeadas dos etos de massa dos eos de massas m, m, m 3 e m 4, espetvamete, equato (x, y ) são as oodeadas do eto de massa da aga tema m, ofome dado a gua II.5. gua II.5 Esquema de uma estutua fexíve dvdda em quato pates ígdas.

23 3 po A equação de Eue-Lagage ([6], [35]) que deseve a dâma do sstema é dada d dt L L f (II.) ode f são as foças ão-osevatvas (toque moto, attos, et.) eaoadas a ada eemeto ígdo e L é o agagao do sstema, defdo po L E Ep (II.) om E sedo a eega éta e Ep a eega potea. A eega éta é dada po E E E E (II.3) ode é o úmeo de atuações ftías e oespode ao úmeo de eos ígdos, E I (II.4) é a eega éta devdo à veodade agua do oto. O temo E ( x y ) m (II.5) oespode a eega éta do eo ígdo devdo ao movmeto da massa m e E ( x y ) m (II.6) é a eega éta devdo ao movmeto da massa da aga m. Covém ota que os ompoetes otaoas da eega éta das pates ígdas e da aga tema, em too de seus espetvos etos de massa, foam eggeados. A hpótese osdeada aqu é que estes temos são muto pequeos, sto devdo às baxas veodades aguaes de otação em too dos seus etos de massa, ou sea, a tasação é muto mas sgfatva que a otação paa o aso do obô fexíve IA-IEMP, que seá modeado a segu. Esta hpótese é azoáve paa o aso do obô, e seá osdeada o deoe da modeagem. Na Seção II.4 seá efetuado uma ompaação ete o modeo obtdo e o sstema físo ea, mostado que o modeo obtdo possu ótma oodâa om o sstema físo ea.

24 4 sstema Substtudo as Equações (II.4)-(II.6) em (II.3) esuta a eega éta tota do E I ( x y ) m ( x y ) m (II.7) As oodeadas dos etos de massa dos eos ígdos são dadas po x os os (II.8) y s s (II.9) sedo o ompmeto do eo ígdo, e as oodeadas do eto de massa da aga tema dadas po x os (II.) y s (II.) Não foam osdeados toques de atueza gavtaoa e, potato, a úa eega potea exstete é a eásta devdo à defomação das atuações ftías, pos toda a estutua se desoa o pao hozota. Etão, tem-se que a eega potea tota é dada po Ep Ep (II.) e as eegas poteas em ada atuação, devdo às suas defomações, po Ep ( ) (II.3) ode é a ostate eásta da -ésma atuação, esutado a eega potea tota Ep ( ) (II.4)

25 5 Substtudo-se as Equações (II.7) e (II.4) em (II.) obtém-se ( ) ( ) ( ) y x m y x m I L (II.5) e substtudo-se as Equações (II.8) - (II.) em (II.5), temos ( ) dt d dt d m dt d dt d m I L s os s s os os (II.6) ou ada ( ) I m m L os s os os s s (II.7) que epeseta o agagao paa atuações ftías, esutado em eos ígdos de ompmetos e massas m oetadas os seus espetvos etos de massa. Paa a obteção do modeo ea, é eessáo osdea pequeas defomações aguaes as atuações ftías, ou sea, seá osdeado que ) ) os( os( ) )s( s( (II.8) paa quaque e. Isto faz om que a Equação (II.7) sea smpfada paa ( ) ( ) I m m m m L 8 (II.9) Apado-se agoa a Equação (II.) de Eue-Lagage, a Equação (II.9) e edefdo-se os ídes dos somatóos, paa, esuta

26 6 ( ) ( ) f I m m m m dt d 8 (II.) dode se obtém ( ) ( ) f I m m m m m 4 (II.) ada, ofome á meoado, f são as foças ão-osevatvas (toque moto, attos, et.) e, potato, ( ) ( ) m f (II.) om m e sedo, espetvamete, o toque moto apado e a ostate de atto do atuado e as ostates de atto de ada atuação ftía. Substtudo-se a Equação (II.) em (II.), obtém-se ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m m m I 4 (II.3) Os temos à esqueda da guadade da Equação (II.3) são fuções da devada seguda dos âguos ete os eemetos ígdos e o exo x, que epesetam as aeeações aguaes e faão pate da matz de éa [ ], I. O temo [ ] ( ) ( ) K, (II.4)

27 7 epeseta a matz de ostates eástas das atuações ftías. O temo [ C], ( ) ( ) (II.5) epeseta a matz de attos e o temo m (II.6) ompoá a matz [ ] B de otoe, a foma ', B ' [ ] (II.7), Obtém-se assm o sstema ea I C K B ' (II.8) m que mpa I C I K I B' m (II.9) ode R é o veto da aeeação do oto e das atuações ftías Podemos eeseve a Equação (II.9) a foma I [ ] [ ] [ ], K, I C I B', m (II.3) que está a foma ássa de equação de estado om x, A e B defdos po A x A x B u (II.3) x (II.3) [ ] [ ] I,, K B I [ ] I, B' C (II.33) (II.34)

28 8 e u m (II.35) Aasado-se os temos à esqueda do sa de guadade da Equação (II.3), podemos fomua o segute agotmo paa mota a matz I de éa, Paa... m Paa Paa... m Paa Se Se Seão m Se Seão Se > Seão m Se I, I I,, m I m 4 m m 4 m m I, I, m m m // Dagoa Ppa // Pmeo Eemeto // Ama da Dagoa Ppa // Abaxo da Dagoa Ppa

29 9 As matzes [ K ], e [ ], espetvamete, podem se obtdas peo segute agotmo, C das ostates eástas e de attos, Paa... Paa... Se Se K, C, // Dagoa Ppa // Pmeo Eemeto Seão Se < < K, // Ete o Pmeo e Útmo Eemeto Seão C, K, C, // Útmo eemeto m Se Seão Se > Se K C,, // Ama da Dagoa Ppa Seão K, Seão m Se m Paa m Paa m Se K, K, C, C, C, // Abaxo da Dagoa Ppa

30 3 amete, a matz [ ] B é fomada va o agotmo ', Paa... Se B, Seão B, m Se m Paa Sea agoa λ o veto das popoções dos ompmetos dos eos ígdos em eação ao ompmeto tota da estutua (ofome gua II. paa tês atuações ftías), 3 3 λ (II.36) Etão, paa o áuo do modeo oma, utza-se o segute veto de massas e de ompmetos dos eos, m λm b (II.37) λ b (II.38) ode m b e b são, espetvamete, a massa e o ompmeto do baço da estutua fexíve. Os oefetes de attos das atuações ftías podem se detemados expemetamete a pat da aáse de esutados em maha abeta, uma vez que a mesma depede fudametamete do matea e das dmesões da estutua. Deve-se ota que, o aso do obô IA-IEMP, que é omposto de uma estutua metáa em foma de âma e om a massa a extemdade (aeeômeto), os attos as atuações ftías são muto meoes que o exstete o atuado, tedo-se adotado.3% deste, após ompaação dos vaoes obtdos om o modeo e aquees meddos expemetamete em maha abeta, sto é, [ ].3 (II.39) Os oefetes das ostates eástas são obtdos foçado-se a odêa ete os modos fexíves do modeo e os modos aaítos da estutua fexíve. As feqüêas aaítas podem se ohedas a pat da massa da extemdade, das dmesões, massa espeífa e móduo de eastdade da estutua fexíve [4], [8] e [9].

31 3 sedo as ostates eástas dadas po EI α (II.4) b ode EI é o móduo de Youg vezes a éa da seção eta []. Neste tabaho, omo á se dspuha dos modos expemetas do obô IA-IEMP, obtdos em [8] e [9], as ostates de eastdade das atuações ftías foam eauadas a fm de se obte um modeo oma om pequeos eos os dos pmeos modos de vbação em ompaação om os modos expemetas. Paa tato, poedeu-se da segute foma: atbuu-se vaoes aos oefetes α, ete um vao a (póxmo de zeo) e um vao fa (póxmo de 5), om um passo de vaação de.. Paa ada outo de vaoes dos oefetes, as feqüêas do modeo oma eam obtdas e ompaadas às feqüêas expemetas. Paa tês atuações ftías, eotaam-se os segutes oefetes das ostates de eastdade que mmzam o eo paa os dos pmeos modos de vbação, α [3.6..4] (II.4) Utzado estes oefetes, obtveam-se os segutes modos de vbação, [ ] Hz (II.4) Os modos expemetas da estutua fexíve IA-IEMP foam detfados em [8] e [9] atavés de uma vaedua em seo. Esta vaedua utzou uma bada de feqüêas de - Hz, paa exta os pmeos modos de vbação do sstema. Em [8] e [9] também foam auadas os modeos aaítos da estutua fexíve, e po osegute as feqüêas aaítas. atam-se das feqüêas ves, ou sea, o sstema é atuado em uma extemdade e ve a outa, os esutados obtdos estão esumdos a abea II. e a abea II..

32 3 abea II.: Compaação das feqüêas expemetas om o modeo aaíto obtdo em [8]. Modo o Aaíto (Hz) Expemeta (Hz) Eo (%) abea II.: Compaação das feqüêas expemetas om o modeo aaíto obtdo em [9]. Modo o Aaíto (Hz) Expemeta (Hz) Eo (%) Na abea II.3 é mostada a ompaação do modeo obtdo va modeagem oetada om tês atuações ftías e as feqüêas expemetas. abea II.3: Compaação das feqüêas expemetas om o modeo oetado om tês atuações ftías. Modo o Modeo (Hz) Expemeta (Hz) Eo (%) Peebe-se, om base as abeas II.-II.3, que o modeo obtdo va modeagem oetada patamete ão possu eo paa o pmeo e segudo modo em eação om os vaoes expemetas. Mas possu um eo de apoxmadamete 3% paa o teeo modo. Etetato, omo o teeo modo é sgfatvamete ato em eação aos outos dos, este eo patamete ão afeta a quadade da modeagem.

33 33 Na abea II.4 eotam-se os paâmetos utzados a modeagem do obô fexíve IA-IEMP, o qua é mostado a gua II.6, e seu dagama esquemáto a gua II.7. abea II.4: Paâmetos do obô fexíve IA-IEMP. Paâmetos do Moto Mometo de Iéa: I.96x -4 Kgm Coefete de Atto:.35 Nm / (d/s) Íde de Redução η Costate da f.e.m.: Kv.6 V/(ad/s) Costate de oque: K t.6 Nm/A oque Máxmo: 5 Nm Veodade Noma: 3.8 ad/m Resstêa da Amadua: R a.5 Ω Paâmetos da Estutua exíve Mometo de Iéa: I b.843kgm Atua da Lâma: h b 8.78x -3 m Espessua da Lâma: e b 4.x -3 m Compmeto da Lâma: b.975 m Massa Espeífa do Aumío: ρ795 Kg/m 3 Móduo de Youg: E6.89x N/m Massa da Caga ema: (Aeeômeto) m 94.7x -3 Kg Mometo de Iéa do Cubo Aopado ao Moto: I.5Kgm gua II.6 oto do obô fexíve IA-IEMP.

34 34 gua II.7 Dagama esquemáto do obô fexíve IA-IEMP. Utzado-se os paâmetos da abea II.4, foam auadas as matzes I, C, K e B ', e famete, om o uso das Equações (II.33) e (II.34), obtveam-se as segutes matzes do modeo oma A e B, om A e A sedo e [ ] [ ] A,4 4,4 A A (II.43) A 5 (II.44) A (II.45) [ ] B (II.46)

35 35,,MODELO MAEMÁICO NÃO-LINEAR COM QUARO MODOS LEXÍVEIS Paa a obteção do modeo matemáto ão-ea om quato modos fexíves, pmeamete fo obtdo o modeo ea paa quato atuações ftías, 4, e auaam-se os ovos oefetes das ostates eástas das atuações α, foçado-se a odêa dos tês pmeos modos de vbação obtdos o modeo om os modos expemetas. O poesso de modeagem fo feto da mesma maea em que a seção ateo, apeas om a modfação que o veto das popoções dos ompmetos dos eos ígdos osdeado fo λ (II.47) Eotaam-se os segutes oefetes das ostates de eastdade, [ ] α (II.48) Utzado estes oefetes, obtveam-se os segutes modos de vbação, [ ] Hz (II.49) Na abea II.5 é feta uma ompaação das feqüêas expemetas om as obtdas om o modeo ea paa quato atuações ftías. abea II.5: Compaação das feqüêas expemetas om o modeo ea om quato atuações ftías. Modo o Modeo (Hz) Expemeta (Hz) Eo (%) ão dspoíve ão dspoíve Peebe-se aamete que o modeo ea obtdo om quato modos fexíves apoxmou muto bem os tês pmeos modos, esutado em eos patamete uos estas

36 36 feqüêas. O quato modo ão fo detfado expemetamete, pos a bada de feqüêas utzada em [8] e [9] fo de -Hz, o que ão possbtou a aptua deste útmo modo. Potato, ão temos omo aua o eo do modeo om o expemeta paa este modo. Devemos saeta, ovamete, que este modo, po possu um vao muto ato em eação aos tês pmeos, patamete ão afeta a quadade da modeagem. As abeas II.3 e II.5 pemtem uma pmea ousão paa sobe a téa da modeagem oetada, a qua é mostada a gua II.8. gua II.8 Dagama da apoxmação dos modos paa a modeagem oetada. Paa vefa qua fo o eo eatvo do modeo oetado em eação ao aaíto, paa o quato modo, obteve-se o modeo aaíto do sstema e etão auou-se este modo ofome poposto [4]. o eotado um vao paa este modo em too de 3Hz, que esuta um eo do modeo oetado em eação ao aaíto de apoxmadamete 3 %. Paa estabeee o modeo ão-ea, utzou-se a Equação (II.7), obtedo-se assm o agagao do sstema, e apou-se etão a equação de Eue-Lagage, Equação (II.). Obteve-se um sstema da foma om C, K e I ( ) C K (, ) B' m (II.5) B ' ostates e guas à do modeo ea om quato atuações ftías. As matzes I ( ) e (, ) podem se obtdas atavés de um agotmo que seá poposto mas adate, esta mesma seção. Podemos eeseve a Equação (II.5) da segute foma, [ ] [ ] [ ] I ( ) B' C K (, ) m (II.5) ou ada [ ] [ ] [ ] M ( x [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x x (II.5) ) f ( x)

37 37 om ( ) x R e defdo po x (II.53) o eotada a matz M(x) e o veto oua f(x) da Equação (II.5) paa os paâmetos do obô IA-IEMP da abea II.4,..36os(x - x ) M ( x).9os(x - x3).7os(x - x 4).7os(x - x5).36os(x - x ) os(x.79os(x.8os(x - x - x - x ) ) ).9os(x - x ).98os(x - x ).5.48os(x.4os(x x - x ) ).7os(x - x ).79os(x - x ).48os(x..8os(x x - x ) ).7os(x - x5).8os(x - x5).4os(x - x ) 3 5.8os(x 4 - x5).6 (II.54).5m 6.x 6.x.35x6.x7 -.8x7 s(x - x ) -.5x8 s(x - x3) x9 s(x - x 4) x x s(x - x5) 6.98x x 5.5x3.x6 -.x7.x8 -.8x 6 s(x - x) -.459x8 s(x - x3) -.4x9 s(x - x 4) -.3x s(x - x5) 5.5x x3 5.37x4.x7 -.x8.x9 f ( x) -.6x6 s(x3 - x) -.459x7 s(x3 - x ) -.9x s(x - x ) -.x s(x - x ) x x 3.49x.x -.x.x x6 s(x 4 - x) -.39x7 s(x 4 - x ) -.9x8 s(x 4 - x3) -.4x s(x 4 - x5) 3.49x4-3.49x5.x9 -.x -.3x s(x - x ) -.4x s(x - x ) x s(x - x ) -.4x s(x - x ) (II.55) Aasado-se a matz f(x), peebe-se que os seus temos ão-eaes possuem poua fuêa a dâma do sstema paa veodades ão muto atas, que é o aso do obô IA-IEMP. Este fato toa o modeo ão-ea obtdo ão muto dfeete do modeo ea, ofome seá ustado as smuações da Seção II.4.

38 Após o áuo das matzes I ( ) e (, ) da Equação (II.5), fo feta uma aáse estas matzes e oseguu-se fomua o segute agotmo paa fata o áuo destas paa atuações ftías. 38 Paa... Paa... Se Se Seão m Se Seão Se > Seão I I I,, m I m 4 m m m 4 m m m, I, I, // Dagoa Ppa // Pmeo Eemeto // Ama da Dagoa Ppa m os( ) // Abaxo da Dagoa Ppa m Paa [ ], m Paa Paa... m Paa m Se Paa... m Paa Se < Seão m Se m mz z m s( )

39 ,,ANÁLISE E SIMULAÇÕES DOS MODELOS CONCENRADO E COMPARAÇÕES COM RESULADOS EXPERIMENAIS DO ROBÔ IA-IEMP As guas II.9 e II. mostam os dagamas de Bode paa os modeos eaes obtdos om tês e quato atuações ftías. Estas fguas efeem-se ao aso ooado, ou sea, o toque de otoe é apado o mesmo uga ode é feta a obsevação (oto). Os pos dos dagamas do gaho epesetam os paes de póos em maha abeta. Peebe-se também a exstêa de vaes os quas epesetam os paes de zeo em maha abeta. O sstema ooado é de fase míma, sto poque há a peseça de póos e zeos om pate magáa ão ua e que esuta em quedas de fase os póos e gahos de fase os zeos. 39 gua II.9 Dagama de Bode, modeo ea obtdo om 3 a.f. (aso ooado). gua II. Dagama de Bode, modeo ea obtdo om 4 a.f. (aso ooado).

40 4 As guas II. e II. mostam o dagama de Bode paa o aso ão ooado. Neste aso, a obsevação é eazada a aga, exstdo, potato, toda uma dâma fexíve ete os oas de apação do toque e obsevação. Aasado estas fguas, podemos vefa a peseça de pos que epesetam os paes de póos. Não exstem vaes dos dagamas de gaho, pos os zeos das fuções possuem pate magáa ua. Este tpo de sstema é deomado de fase ão-míma, pos exste uma dfeeça sgfatva ete as fases a e fa [3]. gua II. Dagama de Bode, modeo ea obtdo om 3 a.f. (aso ão ooado). gua II. Dagama de Bode, modeo ea obtdo om 4 a.f. (aso ão ooado).

41 4 Na gua II.3 é mostado o toque moto de extação degau, apado em maha abeta, a estutua fexíve do obô IA-IEMP (gua II.4) e as smuações dos modeos obtdos ea e ão-ea, as quas estão mostadas as guas II.5-II.7. gua II.3 oque moto de extação degau. gua II.4 Resutado expemeta o obô IA-IEMP om extação degau. gua II.5 Smuação paa o modeo ea om tês atuações ftías.

42 4 gua II.6 Smuação paa o modeo ea om quato atuações ftías. gua II.7 Smuação paa o modeo ão-ea om quato atuações ftías. gua II.8 Dfeeça ete o modeo ea e ão-ea om quato atuações ftías. Pode-se peebe om base a gua II.8, a qua expta a dfeeça ete os modeos ea e ão-ea om quato atuações ftías, que patamete ão exste dfeeça ete ees paa toques de otoe ão muto eevados.

43 43 Na gua II.9 é mostado o toque moto de extação seoda, apado em maha abeta, a estutua fexíve do obô IA-IEMP (gua II.) e as smuações dos modeos ea e ão-ea (guas II.-II.3). gua II.9 oque moto de extação seoda. gua II. Resutado expemeta o obô IA-IEMP om extação seoda. gua II. Smuação paa o modeo ea om tês atuações ftías.

44 44 gua II. Smuação paa o modeo ea om quato atuações ftías. gua II.3 Smuação paa o modeo ão-ea om quato atuações ftías. gua II.4 Dfeeça ete o modeo ea e ão-ea om quato atuações ftías. Pode-se peebe om base as fguas, a boa oodâa dos modeos omas em eação aos expemetos pátos eazados utzado o obô fexíve IA-IEMP.

45 45 III. PROJEO DO CONROLADOR LQG,,, A ESRUURA LQG Cofome vsto o Capítuo II, a equação dfeea a foma de vaáve de estado (II.3) epeseta a dâma do sstema oma, e está esta ofome segue a foma x A x Bu (III.) sedo o veto de obsevação dado po y Cx (III.) As Equações (III.) e (III.) epesetam um sstema oma detemísto. No otoe ásso LQG, é assumdo que a dâma da pata é ea e oheda, e que os uídos de estado e de medda são estoástos om popedades estatístas também ohedas. Assm, paa a seção de etezas osdea-se o modeo estoásto x Ax Bu Gw (III.3) om o poesso de obsevação dado po y Cx v (III.4) ode G e são as matzes de tesdade dos uídos de estado w(t) e de obsevação v(t). Como hpóteses usuas, são osdeadas E { w( t) }, { v( t) } E, (III.5) E E{ w( t) w( τ ) } Pwδ ( t τ ), P w > { v( t) v( τ ) } P δ ( t τ ), P > e E { wv } v v (III.6)

46 46 ode E é o opeado espeaça matemáta e δ ( t τ ) é a fução deta de Da. Estes uídos são, potato, ão oeaoados, baos, Gaussaos, de médas uas e om ovaâa P w de estado e P v de medda. O pobema de otoe LQG é eota o otoe ótmo u(t) que mmze a fução usto J E m ( x Q x u R u) dt (III.7) ode Q e R são matzes de pesos ostates e apopadamete esohdas (paâmetos de poeto), tas que, Q Q e R R >. O ome LQG (Lea Quadat Gaussa) advém do uso de um modeo ea, uma fução usto quadáta, e um uído bao Gaussao omo dstúbo os estados e sesoes. A soução paa o pobema LQG osste em pmeo detema o otoe ótmo paa um sstema ea detemísto e a segu substtu o veto de estado pea estmatva ótma dos estados, obtda va fto de Kama [36]. O dagama de boos do otoado tpo LQG em dagama de boos é apesetado a gua III.. gua III. Dagama de boos do otoado tpo LQG. A pmea pate da soução, a que osste em detema o otoe ótmo paa um sstema ea (otoado LQR Lea Quadat Reguato) seá apesetada a Seção III.. A seguda pate da soução do pobema LQG, que osste em poeta um estmado ótmo paa os estados, seá apesetada a Seção III.3. Na Seção III.4 seão apesetados esutados de smuações paa o modeo ão-ea om quato atuações ftías, obtdo o apítuo ateo e esutados expemetas utzado o obô IA-IEMP.

47 47,,, PROJEO LQR desempeho Sea a equação ea dfeea dada em (III.) e osdee o segute íde de J E m ( x Q x u R u) dt (III.8) ode Q é uma matz ea sméta postva semdefda, que defe o usto dos estados, e R é uma matz ea sméta postva defda, expessado o usto do otoe. Assumdo-se que todo o estado estea dspoíve, a e de otoe ótmo que mmza o fuoa J (x(t), u(t)) é dado po [36] u Kx (III.9) ode K é o veto om os gahos defdo po K R B S (III.) om S S, sedo o vao em egme de S dado pea soução agéba da equação de Rat A S SA SBR B S Q (III.) O gaho do eguado fo obtdo utzado-se a matz de usto dos estados Q dagoa e da foma dag ( Q) [ ] (III.) om um usto de otoe R. Com esses paâmetos, obteve-se o segute gaho em egme paa o eguado, [ ] K (III.3) que fo utzado as smuações e os expemetos om o obô fexíve IA-IEMP, a seem detahados a seção III.4.

48 48,,, PROJEO DO ILRO DE KALMAN Paa a estmação ótma dos estados fo utzado um fto de Kama, supodo o sstema om uído bao Gaussao w(t) os estados e om ovaâa P w, sto é, x Ax Bu Gw (III.4) sedo G a matz de tesdade do uído de estado, om a equação de saída da foma y Cx v (III.5) que epeseta sesoes om uídos baos Gaussaos. O pa (A, C) é obseváve, ou sea, a matz de obsevabdade ϑ (III.6) [ C AC... A C] possu posto gua a. Este é o aso dos dos modeos eaes desevovdos o Capítuo II, utzado-se omo obsevação as meddas do poteômeto e do taômeto aopados à base da estutua fexíve, ou sea a matz C possu a foma C (III.7) paa o aso de tês atuações ftías, e C (III.8) paa o aso de quato atuações ftías. A dâma do estmado é dada po ( y Cxˆ ) xˆ Axˆ Bu L (III.9) ode L é a matz gaho do estmado, dada po

49 49 ( ) v P PC L (III.) sedo o vao em egme de P obtdo da soução da equação agéba de Rat ( ) w v GP G CP P PC AP PA (III.) Utzaam-se os vaoes em egme de S e P (vesão steady-state) pos ão se dspuha a páta de muto tempo paa o poessameto de áuos matemátos. O gaho do estmado fo obtdo utzado a matz C a foma C (III.) que fsamete equvae às etuas de um poteômeto (posção do oto) e de um taômeto (veodade do oto), om.5.5 v P (III.3) (III.4) w P (III.5) G (III.6) Mas pesamete, os uídos dos estados foam osdeados apeas a veodade do oto e os eos ígdos. Cosdeou-se, a matz G desta foma (apeas uídos as

50 5 veodades), pos o modeo oma fo obtdo atavés de um aumeto dos estados, e este aso emos supo que o uído está pesete apeas os estados ogas. Pode se vefado que a matz de obsevabdade dada pea Equação (III.6) possu posto heo, utzado a matz A do modeo oma om tês atuações ftías obtda o Capítuo II, Equação (II.43), e a matz C ofome em (III.).,,, RESULADOS DE SIMULAÇÕES E EXPERIMENAIS Paa as smuações e otoe em tempo ea dsetzou-se as matzes do modeo oma A e B, e a matz do gaho do estmado L va dsetzação exata, a qua seá espefada a segu, om um passo de 8 ms. O vao do passo de dsetzação fo esohdo de aodo om as mtações mpostas peo peíodo de amostagem dos sesoes e otoe do equpameto paa o obô IA-IEMP (Petum MHz, odado MALAB sob uma patafoma Wdows95 ). As vesões dsetzadas dessas matzes são [ ], [ A], [ M ] (III.7) A d, B d MB (III.8) L d ML (III.9) sedo M a matz de dsetzação exata dada po A M (III.3)! ( ) Medate smuações, peebeu-se que o somatóo om vaado de a 5 fo sufete paa se epoduz adequadamete à dâma otíua.

51 5 Abaxo seguem as matzes dsetas eotadas e utzadas as smuações e os expemetos om o obô fexíve IA-IEMP, A d (III.3) e -.75e -.5e 6.7e d B (III.3) d L (III.33)

52 5 Na gua III. é apesetado o dagama utzado paa otoa o obô fexíve IA-IEMP em tempo ea, e a gua II. o dagama de boos utzado paa smua o obô fexíve IA-IEMP, om quato atuações ftías. gua III. Dagama paa otoe em tempo ea do obô IA-IEMP. gua III.3 Dagama de smuação e otoe do obô fexíve IA-IEMP. As guas III.4 e III.5 mostam o desempeho da estatéga de otoe LQG em expemeto páto o obô fexíve IA-IEMP e seu desempeho em eação ao modeo ão-ea om quato atuações ftías. Em ambos os asos, fo apado um toque de extação degau em maha abeta de 5Nm de s a s, e em seguda fehou-se a maha utzado a estatéga de otoe LQG paa eooa a estutua de vota a posção de zeo gaus om veodade ua.

53 53 gua III.4 Resutado expemeta paa o obô IA-IEMP: Refeêa ua. gua III.5 Smuação paa o modeo ão-ea om quato atuações ftías: Refeêa ua. Pode-se mas uma vez peebe, om base as guas III.4 e III.5, a ata oodâa do modeo ão-ea obtdo a Seção II.3 em eação ao obô fexíve ea, só que agoa om sstema em maha fehada.

54 54 Nas guas III.6 e III.7, pode-se obseva o desempeho do otoado LQG o expemeto páto om o obô IA-IEMP e o desempeho o aso smuado, om a fadade de ooa a estutua em 6 gaus, a pat do epouso. gua III.6 Resutado expemeta paa o obô IA-IEMP: Refeêa 6 o. gua III.7 Smuação paa o modeo ão-ea om quato atuações ftías: Refeêa 6 o. Note o pequeo eo de estado estaoáo paa o esutado expemeta, que pode se obsevado a posção estmada da aga a gua III.6, eo este devdo ao atto ãoea da estutua físa ea. Note também que, esta fgua, o toque moto otua om vao ão uo, tetado ooa a estutua a posção deseada, o que ão osegue eaza pos o toque de otoe está deto da zoa mota em toque.

55 55 Assm omo paa a obteção das guas III.4 e III.5, as guas III.8 e III.9, apou-se um toque de extação degau, segudo da apação do otoe paa ooa estutua a posção de 45 gaus em epouso. gua III.8 Resutado expemeta paa o obô IA-IEMP: Refeêa 45 o. gua III.9 Smuação paa o modeo ão-ea om quato atuações ftías: Refeêa 45 o. Obs.: O gaho do otoado utzado estas útmas duas smuações ão fo o mesmo auado om as matzes Q e R dadas a Seção III., obteve-se uma matz de otoe K ode todos os gahos são postvos, paa tato seeoou-se Q e R da foma

56 56 dag ( Q) [ ] R. obtedo-se o segute gaho paa o otoado LQG K LQG [ ] Obs.: Esta popedade do gaho de otoe possu apeas vaoes postvos é mpotate paa a pova de estabdade do sstema de otoe eua a se poposto o Capítuo IV.

57 57 IV. PROJEO DO CONROLADOR NEURAL E PROVA DE ESABILIDADE,9PROJEO DO CONROLADOR NEURAL é, Sea agoa a equação ão-ea do sstema dâmo, dada pea Equação (II.5), sto sedo a matz de otoe I ( ) C K (, ) τ Bu (IV.) B R e o toque de otoe dâma ão modeada τ (attos ão-eaes, et.) pate de (, ), temos u ( t) R. Cosdeado-se a C K Bu (IV.) A taetóa do sstema oma om os estados é dada peas posções e veodades do oto e dos eos ígdos x x O( ε ) (IV.3) om O (ε ) deomado os temos de odem ε. O obetvo ppa do poeto de otoe é faze om que a vaáve x (t) sga a taetóa de efeêa (t). edo em vsta este obetvo, podeíamos seeoa a saída do sstema omo sedo x ef y ] [. Ifezmete, esta ão é uma esoha eomedáve, pos este aso teemos que tata om dâma zeo stáve ([5], [4] e [43]). As dfudades mpostas peas dâmas teas de fase ão-míma de sstemas vbatóos são usuamete otoadas medate o eaxameto dos equstos de asteameto: a saída é modfada paa u apeas o veto x (t) ([5] e [43]), mas pesamete, y x (IV.4) Esta saída modfada oespode a um obetvo páto de desempeho, pemtdo que a ea posção de movmeto x(t) sga a taetóa deseada x ef (t), sem os temos de odem ε.

58 58 O eo de asteameto e(t), dada uma taetóa x ef ( t) R, é dado po e ef e x ef x (IV.5) e ef e defamos agoa o eo de asteameto ftado (t), omo sedo e KLQG e [ K K] K e K e (IV.6) e ode K LQG oespode ao gaho do otoado LQG paa o modeo oma ea, ofome poposto o apítuo ateo, e a se dsutdo a segu, om K > e K >. Devado-se a Equação (IV.6) em fução do tempo, obtemos a dâma do eo de asteameto ftado K e K (IV.7) e K K (IV.8) e ef K Utzado (IV.) em (IV.8), esuta K K e ef K ( C K Bu) (IV.9) K K K C K K K K Bu (IV.) e ef Utzado agoa a Equação (IV.5) ( ) K K ( ) K K B K K K C u (IV.) e ef ef e ef e f ( ζ ) KBu (IV.) ode ( ) K K ( ) K f ( ζ ) K K K C (IV.3) e ef ef e ef e

59 59 sedo ζ (t) defdo po ef ef ζ ef e e (IV.4) Etão, esohedo-se u(t) da foma ( K B ) ( fˆ( ) K v) u ζ v (IV.5) ode f ˆζ ( ) é a estmação de f (ζ ) e v(t) epeseta a otbução de um otoado obusto, a se poetado a segu, e substtudo a Equação (IV.5) em (IV.), esuta f ( ζ ) ( K B)( K B) ( fˆ( ) K v) ζ v (IV.6) f ( ζ ) fˆ( ζ ) K v (IV.7) v K v f ( ζ ) v (IV.8) sedo K o gaho do eo de asteameto e f ( ζ ) dado po v f ( ζ ) f ( ζ ) fˆ( ζ ) (IV.9) é o eo da estmação f ˆζ ( ), dada pea ede eua, em eação a fução ão-ea f (ζ ), e esutado a segute equação paa a dâma do eo de asteameto ftado, K v f ( ζ ) v (IV.) Cosdee agoa as segutes hpóteses: A taetóa é mtada, sto é A matz dos pesos deas da ede defda po ef ef Q (IV.) ef W V (IV.)

60 6 é ta que om L um mtate ohedo. L (IV.3) Defdo-se agoa o temo de obustez v(t), v K ( ˆ z L ) (IV.4) e utzado a Equação (IV.4) em (IV.), obtemos K v f ( ζ ) K z ( ˆ L ) (IV.5) Uma vez que a fução ão-ea f (ζ ) é otíua, ea pode se apoxmada po uma ede eua [3] que possu f ˆζ ( ) omo saída, sedo ˆ ˆ ( ) ( ˆ f ζ W σ V ζ ) (IV.6) ode σ (.) oespode à fução de atvação da amada esodda, om Vˆ e Wˆ sedo os vaoes estmados dos pesos deas, V e W. Estas estmatvas são foedas peo agotmo de auste dos pesos, dado peas equações Wˆ M ( σˆ σˆ'ˆ V ζ ) MWˆ (IV.7) Vˆ N ζ W σˆ' NVˆ (IV.8) Utzado a Equação (IV.6) em (IV.5), obtemos o sa de otoe u ( K B ) ( Wˆ ( Vˆ ) K v) ζ σ (IV.9) Em maha fehada, utzado-se as Equações (IV.9), (IV.5) e (IV.6), om poedmeto sma a [45], que basamete evove expasão em ayo de σ ( V ζ ), esuta a dâma do eo de asteameto v K W ( σˆ σˆ'ˆ V ζ ) Wˆ σˆ' V ζ w v (IV.3) v ode w(t) é o temo de dstúbo, dado po w W σ ˆ' V ζ W O( V ζ ) ε (IV.3) e mtado po