4 Solução do Sistema Coluna-Pêndulo

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1 Solução o Sistma Coluna-Pênulo Nss aítulo arsnta-s a mtoologia ara s obtr as frqüênias moos vibração o sistma oluna-ênulo. Um xmlo uma oluna om absorsor nular é arsntao. sguir é ralizaa uma orrlação o sistma oluna-ênulo om um molo isrto on são obtias as quaçõs movimnto qu rrsntam um sistma oluna-ênulo om ois graus libra. Por fim faz-s uma anális linar as quaçõs movimnto o sistma obtno-s algumas rlaçõs ótimas ara o sistma absorção... Solução Moal Para analisar o sistma oluna-ênulo é utilizao o métoo Raligh- Ritz. Ess métoo arsnta-s omo uma boa frramnta na anális linar nãolinar quano tm-s um sistma qu arsnta oniçõs ontorno quaçõs ifrniais não-linars omlxas. O métoo onsist na substituição no funional nrgia uma função aroximação f b ara a flxão a oluna usualmnt na forma séris: b f b φ (. 0 on são onstants qu multiliam as funçõs φ b é o númro trmos nssário ara a srição o amo sloamntos om a risão saa. s funçõs φ são aas los moos vibraçõs as olunas arsntaas no aítulo antrior. Substituino-s a xrssão (. no funional nrgia (.5 intgrano-s a xrssão rsultant tm-s uma xrssão m trmos as onstants θ.

2 7 s onstants θ são trminaas utilizano o riníio Hamilton a xrssão isrtizaa o funional nrgia. Portanto tm-s b quaçõs quilíbrio nontraas a artir : L g t L & g 0...b (. L g L g 0 θ t & θ (. ssim hga-s a um sistma quaçõs algébrias om as amlitus θ omo sno as únias inógnitas o roblma rsultano m um roblma autovalor on as frqüênias naturais são os autovalors os autovtors os rstivos moos vibração... Exmlo O xmlo trata um sistma oluna-ênulo on a oluna tm sção transvrsal onstant stá suita a um arrgamnto axial vio ao so rório. O sistma m stuo é arsntao na Figura.. 6 m 60 m q Figura.: Exmlo m stuo. Os mais arâmtros o sistma são:

3 7 L 60 m omrimnto a oluna;. 976 m ára a sção transvrsal a oluna; ρ 76 Kg/m massa or unia volum a oluna; E. 0 N/m moulo lastiia a oluna; I. 6m momnto inéria a sção transvrsal a oluna; m 70 Kg massa o ênulo (.0% a massa total a oluna; l 6. 0 m omrimnto a hast o ênulo; g 9. 8 m/s alração a gravia. Esss aos foram basaos no trabalho Pinhiro (997 qu onsirou uma torr sção variávl om 6.7m altura uma massa total 7.9 t. Sguino a toria lássia ara sintonização o absorsor tm-s ara sss aos qu a frqüênia o ênulo isolao é aroximaamnt igual à rimira frqüênia natural a oluna sm absorsor (. otano a mtoologia o itm. onsirano os três rimiros trmos (. obtêm-s as quatro quaçõs movimnto o sistma oluna-ênulo..09ei Mg L m.8ei Mg L m 95.6EI Mg L m mglsn( θ ml && θ ml ( (&& && && ml( os( θ && θ sn( θ & θ ( (&& && && ml( os( θ && θ sn( θ & θ ( (&& && && ml( os( θ && θ sn( θ & θ ( && && && 0.5ML&& 0 0.5ML&& 0 0.5ML&& 0 os( θ 0 (.a (.b (. (. on θ são as inógnitas o roblma. É imortant rssaltar qu M ρ qu o arrgamnto axial ara ss aso é ao or N q( L x on q Mg.

4 7 Para obtr as frqüênias naturais os moos vibração é nssário qu as quaçõs movimnto (. sam linarizaas. Para linarizar onsira-s sn ( θ θ os( θ. sguir aota-s omo solução it ( t it ( t. Então tm-s qu o sistma quaçõs movimnto (. s θ θ ruz ao sistma quaçõs algébrias:.09ei L.8EI L 95.6EI L Mg Mg Mg ( m ( ( m ( ( m ( mglθ ml θ ml 0.5ML ml θ 0 0.5ML ml θ 0 0.5ML ml θ 0 ( 0 (.5a (.5b (.5 (.5 Com as quaçõs os arâmtros o roblma finios o-s obtr o sistma (.6 o qual têm-s as frqüênias naturais os rstivos moos vibração. K M 0 (.6 Em (.6 M é matriz massa K a matriz rigiz a frqüênia natural o sistma oluna-ênulo. s quatro rimiras frqüênias naturais o sistma aolao são arsntaas na Tabla.. Tabla.: Frqüênias naturais o sistma (ra/s

5 75 Dtrminaas as frqüênias naturais o-s obtr a onfiguração os moos vibração o sistma qu stão arsntaos na Tabla. Figura.. Os msmos stão normalizaos moo qu as amlitus máximas sam unitárias. Tabla.: Moos vibração o sistma. Constants φ φ φ φ θ (a Primiro (b Sguno ( Triro Figura.: Moos vibração o sistma oluna-ênulo. ( Quarto

6 76.. Justifiativa ara o Molo ois Graus Libra Com ssa alibração o ênulo tm gran influênia no rimiro sguno moo vibração. Comarano o triro quarto moo a oluna om sm ênulo vrifia-s qu a influênia o ênulo sobr sss moos é srzívl o msmo oorrno om as frqüênias naturais assoiaas a sss moos qu são bm suriors às uas rimiras. No sguno moo vibração o ênulo ating su maior sloamnto angular. Como o ênulo tm anas influênia no rimiro sguno moo vibração aota-s ara a anális o sistma um molo simlifiao om ois graus libra um grau rfrnt ao sloamnto transvrsal a oluna outro rfrnt ao sloamnto angular o ênulo.... Equaçõs Não-Linars o Molo Dois Graus Libra s quaçõs movimnto o sistma oluna-ênulo om ois graus libra é obtia novamnt através a mtoologia xliitaa no itm.. Consirano o rimiro trmo a xrssão (. tm-s qu o sistma quaçõs movimnto é ao or: L ml && θ mglsn( θ mlw&& os( θ 0.09EI ( 0.5ML m w&& 0.78Mg w ml( && θ os( θ & θ sn( θ 0 (.7a (.7b on w é o sloamnto transvrsal a oluna θ o sloamnto angular o ênulo... Corrlação om o Molo Disrto Dois Graus Libra O sistma oluna-ênulo o sr orrlaionao om um molo isrto ois graus libra ou sa o sistma massa-ênulo arsntao na Figura..

7 77 w(l K C M K Fo sn(t θ l m Figura.: Sistma isrto massa-ênulo. Na Figura. M C K são a massa o ofiint amortimnto a rigiz lástia a massa o sistma isrto rstivamnt F 0 é a amlitu a força xitação a frqüênia xitação. Já m C K l são rstivamnt a massa o ênulo o su ofiint amortimnto (não rrsntao na Figura. a rigiz o omrimnto a hast o ênulo. s quaçõs movimnto o sistma isrto são obtias usano-s a quação Lagrang m sua forma funamntal ara oornaas gnralizaas q i qu são aas or: t ( T ( T ( V ( E q& q q q& i i i i Q (.8 on T é a nrgia inétia V a nrgia otnial E a nrgia issiaa Q a força gnéria xtrna. s arlas nrgia são uzias a Figura. a sabr: T M w m v & (.9a K θ (.9b V K w m gh E & θ & C w C (.9

8 78 Sabno qu h v são aas las xrssõs (.8 (. rstivamnt tm-s qu as xrssõs nrgia tomam a forma: T M & ( & & & θ os( θ & w m w wl l θ (.0a V ( os( K w m gl θ K θ (.0b E & θ & C w C (.0 liano a quação Lagrang aotano omo oornaas gnralizaas w θ tm-s o sistma quaçõs movimnto. ( M m w&& C w& K w m l (&& θ os( θ & θ sn( θ ml && θ C & θ K θ m gl sn( θ m l w&& os( θ 0 F sn( t 0 (.a (.b Então faz-s uma orrlação ntr o sistma ao m (.7 om o sistma a xrssão (. rsultano nas quaçõs movimnto qu srão stuas no orrr ss trabalho: ( 0.5ML.09EI m w&& Cw& L 0.78Mg w ml && θ os( θ ml & θ sn( θ F sn( t ml && θ C & θ K θ mglsn( θ mlw& os( θ 0 0 (.a (.b Para failitar a anális aramétria as quaçõs movimnto (. são transformaas m quaçõs aimnsionais. Para isso são aotaos os arâmtros: µ m / 0. 5ML C / 0.5ML ξ K / 0.5ML C ξ / m l g / l / 0. ML w s F0 5. on é a frqüênia natural a oluna a frqüênia natural o ênulo ξ a taxa amortimnto a oluna ξ a taxa amortimnto o absorsor nular w s o sloamnto státio o sistma rinial.

9 79 lém isso onsira-s ζ l w on ζ é o arâmtro aimnsional sloamnto a oluna. ina utilizano a variávl auxiliar t τ on é a frqüênia xitação hga-s às quaçõs movimnto aimnsionalizaas: (.a 0 sn( os( sn( sn( os( ( θ µ θ µζ θ µξ µθ τ ζ θ µθ θ µθ ζ ζ ξ ζ µ ττ τ ττ τ ττ τ ττ s (.b on s ζ rfr-s ao arâmtro aimnsional o sloamnto státio. Chgano as quaçõs stao: (.a (.b (. sn( os( ( sn( os( sn( s s ξ µ µ µ ξ τ ζ & & & & & & (. on é o sloamnto & ou a vloia & a alração a oluna é o sloamnto & ou a vloia & a alração o ênulo absorsor..5. Rlação Frqüênia-mlitu a Coluna om Pênulo bsorsor Introuzino-s um absorsor m um sistma um grau libra busas obviamnt ruzir as amlitus os sloamntos o sistma rinial.

10 80 ssim m um sistma massa-mola sob xitação harmônia Dn Hartog (956 au Pinhiro (997 inia qu a frqüênia o absorsor v sr solhia forma a igualar-s om a frqüênia a rturbação. Nssa onição na ausênia amortimnto a massa rinial não vibra ois o sistma absorção osila forma qu a força riaa or sua rsnça é igual oosta a too instant à força xitação. Com bas nsss onitos rtn-s obtr rlaçõs smlhants ara o absorsor nular. É nssário qu as quaçõs movimnto (. sam linarizaas sno qu ara failitar a anális tomou-s a rigiz o ênulo nula. s quaçõs movimnto linarizaas são:.09ei ( 0.5ML m w&& Cw& L ml && θ C & θ mglθ mlw& Mg w ml && θ F0sn( t (.5a (.5b algébrias: otano omo solução w it w i t θ θ hga-s às quaçõs.09ei 0.78Mg C ( 0.5 m ML L ml w [ ml( g l CPi] θ 0 w ml θ F 0 (.6a (.6b Para failitar o snvolvimnto aotou-s: Q.09EI (.7a L 0.78Mg C ( 0.5 m ML Q Q ml (.7b ml( g l (.7 Com isso tm-s as amlitus o sloamnto horizontal a oluna o sloamnto angular o ênulo qu são:

11 8 Fo ( Q CPi w (.8a Q Q Q Q C i P FoQ θ (.8b Q Q Q Q C i P liano algumas oraçõs númros omlxos na quação rfrnt ao sloamnto horizontal (.8a tm-s qu a sua magnitu no omínio os rais é aa or: w w s.09ei L ( Q ( C i ( Q Q Q ( Q C i 0.78Mg P P (.9 sno w s Fo..09EI 0.78Mg L Da xrssão (.9 obtêm-s o fator amlifiação sloamnto a oluna qu é ao m sua forma aimnsional or: F ζ ( µϑ µϖ ( µξ ϑϖ ( µϑ µϖ ( ξ ϖ ϖ µϖ µ ϖ ( ( ξ ϖ ϖ µϖ µξ ϑϖ (.0 on ϑ é a rlação ntr a frqüênia natural o absorsor nular a frqüênia natural a oluna; µ a razão ntr as massa o ênulo a massa moal a oluna ϖ a rlação ntr a frqüênia xitação a frqüênia natural a oluna. Nas Figuras..5 mostram-s a variação o fator amlifiação sloamnto rotação no too a oluna rstivamnt om a rlação ntr a frqüênia xitação a frqüênia natural a oluna ϖ ara nívis rsnts amortimnto o ênulo absorsor.

12 8 Figura.: Comortamnto o fator amlifiação sloamnto a oluna. Figura.5: Comortamnto o fator amlifiação a rotação no too a oluna. Obsrva-s qu as amlitus sloamnto rotação a oluna são roorionais. Nota-s na Figura. qu omarano o omortamnto a oluna om sm absorsor têm-s qu o ênulo não-amortio ausa a maior rução as amlitus a oluna na rgião rssonânia mas gra uas rgiõs róximas on s faz sntir o fito a rssonânia rlativas aos ois rimiros moos vibração. À mia qu s aumnta o amortimnto o ênulo sss ios rsm até atingir um valor ótimo. S o amortimnto for aumntao além ss limit a amlitu máxima vibração volta a rsr a fiiênia o ênulo absorsor vai rsno até qu ratiamnt saar omo s obsrva na rsosta ara ξ. 0. Nota-s aina qu as ino urvas ara os ifrnts valors amortimnto o ênulo absorsor assam los ontos P Q.

13 8 O roto ótimo os absorsors assivos tal omo roosto or Dn Hartog (956 é basao na trminação os valors ϑ ξ qu fazm om qu os ontos invariants P Q stam a uma msma altura qu o mais alto io amlitu ass or um ls. ina ss ritério assgura qu a urva rsosta m frqüênia a massa rimária srá a mais lana ossívl tornano o absorsor fiint m uma maior faixa frqüênias. Então iniialmnt é nssário nontrar os valors ϖ ara os ontos invariants on F ζ sa innnt o fator amortimnto ξ. Rsrvno a xrssão (.9 na forma: ( CP D ( CP D D s D w w (. on.09ei D 0. 78Mg (.a L.09EI D 0. 78Mg Q (.b L D D Q (. ( Q Q (. Q o-s visualizar na xrssão (. qu D D innm D D são roorionais a D / D D D o qu oorr nos ontos P Q. / C. rsosta srá innnt C qu C s Rsolvno ssas quaçõs obtém-s uma quação a sr rsolvia m uos valors são os ois ontos innnts o amortimnto o absorsor. Q Q Q Q 0 (.

14 8 Substituino os valors Q Q Q m (. obtém-s a xrssão (. qu rrsnta a solução a xrssão (.. lém as soluçõs triviais a quação forn os valors nos ontos P Q. São stas: ( µ ± ( µ (. P Q ( µ Com os valors obtios nos ontos P Q é nssário austar a rlação frqüênias ϑ ara qu sss ontos tnham a msma ornaa. Para isso v-s substituir P na xrssão (.9 obtno uma ornaa ara a amlitu sloamnto. Fazno o msmo ara Q tm-s a ornaa ss outro onto. Igualano as uas hga-s à quação qu trmina a alibração ótima o ênulo om a strutura: / ( µ ( µ 0 (.5 Tomano-s o rimiro trmo a xrssão (.5 tm-s qu a razão sintonia ótima é: ϑótimo (.6 µ O sguno trmo a xrssão (.5 forn as outras soluçõs mas omo ssas ossum forma omlxa não têm signifiao físio. Com a xrssão (.6 fia garantio qu os ontos P Q ossum a msma ornaa. Para trminar o valor ssa ornaa é nssário substituir uma as raízs (. m (. aotano a rlação (.6. ssim obtém-s: F ζ _ ótimo (.7 µ

15 85 S a inlinação a urva rsosta for igualaa a zro m aa um os ontos invariants obtêm-s ara o amortimnto o absorsor nular: ξ µ ± 8 µ µ ( µ (.8 Sguno Dn Hartog (956 uma boa stimativa ara ξ ótimo é o valor méio a xrssão (.8. ξ µ 8 ( µ ótimo (.9 Na Figura.6 omaram-s algumas urvas ara ifrnts valors ξ om a urva obtia om a alibração ótima aa or ξ ótimo Figura.6: Comortamnto o fator amlifiação sloamnto a oluna ara o aust ótimo. Nota-s na Figura.6 qu ara um µ 0. 0 ξ 0. 0 a rsosta é bastant snsívl a altraçõs m ϖ ois qualqur muança a magnitu ϖ ótimo na rgião rssonânia lva a um alto valor amlitu. Isso o sr rovoao or xmlo or variaçõs na frqüênia xitação. Sguno

16 86 Franhk (995 ara ruzir a snsibilia ϖ o-s aumntar a magnitu a rlação massas µ aumntano assim a largura a faixa ntr os ios rssonânia. rsnta-s na Figura.7 o omortamnto as amlitus ara ifrnts magnitus µ ξ Obsrva-s qu quanto maior a rlação massas µ maior é a largura a faixa ntr os ios rssonânia iminuino assim a snsibilia o sistma onsqüntmnt variaçõs na xitação na frqüênia a rória strutura. Figura.7: Comortamnto o fator amlifiação sloamnto a oluna ara ifrnts rlaçõs µ.