4 SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS PARA CONDUÇÃO DE CALOR EM MATERIAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL

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1 4 SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS PARA CONDUÇÃO DE CALOR EM MATERIAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL Nst Caítulo são obtidas as soluçõs fundamntais não-singulars ara roblmas d ondução d alor D 3D m matriais ujas roridads variam matriais om gradação funional ou FGM na sigla m inglês m uma das dirçõs d aordo om três difrnts adrõs no ontto d uma formulação híbrida d lmntos finitos ara anális no domínio da frqüênia assim omo é fito nos aítulos antriors. O rsnt dsnvolvimnto onta lusivamnt om funçõs d variávis rais tanto ara roblmas D quanto 3D. Chng 984 já havia fito um dsnvolvimnto similar ao rsnt trabalho aliado a fluo m stado rmannt m matriais htrogênos isotróios basado m um dsnvolvimnto tório d Gorghita 969. O roblma d ondução d alor m mio não-homogêno no ontto d uma formulação d intgrais d ontorno foi também tratado d manira tnsiva or Divo Kassab 3. Todavia os dsnvolvimntos fitos aqui foram utados d manira indndnt d aordo om uma abordagm qu ossibilita a total omrnsão das ossibilidads d variação do matrial Dumont Chavs Equação d Govrno Considra-s o roblma d ondução d alor dndnt do tmo om as roridads do matrial variando om a dirção d aordo om a figura 4. Dumont Chavs 3. Ainda d aordo om a figura 4. o roblma é dsrito m trmos das oordnadas globais XY s stá rourando uma solução fundamntal rfrida às oordnadas loais. Como ilustrado na figura 4. é a oordnada global d um rto valor d rfrênia ara ara orrsondndo a m oordnadas loais.

2 8 Figura 4.: Sistma d oordnadas ara dsrição d um FGM om roridads dfinidas m loal. oordnada global a qual é quivalnt a oordnada 4...Problma Isotróio u Para roblma isotróio a quação d fluo ara o otnial u é q 4.. i i ond f é a ondutividad térmia do matrial. Na ausênia d fonts d oro a quação d quilíbrio d fluo do roblma ara alor sífio f s srv m notação indiial q i i u 4.. t Assim da substituição da quação 4.. m 4.. tm-s: u ii 4..3 t ou m uma formulação no domínio da frqüênia ara om a notação das quaçõs : u ~ ω d aordo ~ ii u Problma Ortotróio são: As quaçõs d fluo ara matriais ortotróios om gradação funional

3 8 ~ u ~ u q 4..5a q 4..5b ~ u q 4..5 om dfinido na Sção 4.. m rtos valors d rfrênia ara a ondutividad m oordnadas d aordo om a figura 4.. são m riníio funçõs arbitrárias d omo na figura 4.. no qual o subsrito foi abolido or simliidad srá obtido omo famílias d funçõs ara FGM s ortotróios. Nas quaçõs 4..5 é rqurido qu. Além do mais a quação d quilíbrio od sr rssa omo u u u q i i ~ 4..6 t t t om dfinido na Sção 4.. sndo a variação d alor sífio a sr obtida no ontto d famílias d funçõs qu não são nssariamnt oinidnts om ontrário ao rodimnto da Sção 4... Esrv-s or onvniênia a quação 4..6 mais uma v omo q i i u 4..7 t da qual sgu a quação d Hlmholt ara uma formulação no domínio da frqüênia omo na quação 4..4 mbora ainda m trmos d fluos: q i i ω ~ u u 4..8 m qu u u é uma função dndnt anas das oordnadas saiais. Com o intuito d s hgar a uma rssão da quação 4..8 qu sja adquada à maniulação tão arida quanto ossívl à quação 4..4 introdu-s a sguint transformação d oordnadas Dumont Chavs 4 ntr o sistma artsiano original um sistma auiliar : ' ' 4..9 ' ' 4..

4 8 ' t d Const. t dt 4.. Suõ-s dsd qu d outra forma odria s torna trmamnt omliado ara s hgar a soluçõs simls qu o sistma auiliar d oordnadas tm a msma origm qu. Então a onstant indiada nas quaçõs tm qu sr alulada d tal manira qu quando '. D aordo om a transformação introduida as sguints rssõs d fluo suas drivadas rimiras são obtidas: q q u q u 4.. ' ' ' u ' ' u 4..3 ' q u ' ' u ' ' q u q ' ' u u ' ' u ' ' u ' ' ' u ' 4..4 aós algumas maniulaçõs hga-s à quação d Hlmholt Dumont Chavs 4 ~ u 4..5 m qu o númro d onda é simlsmnt ~ ω.

5 83 4..Solução da Equação d Govrno ara Problmas D 3D Tndo m vista qu o roblma isotróio é um aso artiular do roblma ortotróio o dsnvolvimnto arsntado a sguir é fito dirtamnt ara o aso d roblma ortotróio uja quação d govrno é dada la quação Partiulariaçõs rfrnts ao roblma isotróio odm sr fitas dirtamnt do dsnvolvimnto fito ara o roblma ortotróio omo srá mostrado mais à frnt. Proura-s uma solução u u qu satisfaça a quação 4..5 tanto ara roblmas D quanto ara roblmas 3D. Tal solução od sr rssa da sguint manira: ~ u h ' ' ' ' 4.. ara o aso gral d roblmas 3D. Então as drivadas d u qu aarm na quação 4..5 rssams da sguint forma: ' ' h 4..a ' ' ' ' h 4..b ' ' ' h ' h ' u 4.. ' ' h ' ' h ' ' h ' ' u 4..d suas substituiçõs na rfrida quação q rsultam m: ' ' ' ' ' ' ~ h ii h ' h h 4..3 Para qu haja onsistênia da quação 4..3 os sguints trmos rssos omo função da variávl dvm sr onstants ou sja ' ' ' ' ± onst ' ' onst. λ 4..5 As quaçõs do aso artiular do roblma isotróio odm sr obtidas la substituição das oordnadas or dirtamnt nas quaçõs aima. Todas as quaçõs antriors são válidas ara o aso D bastando ara tanto surimir a oordnada das quaçõs m qu tríamos omo io oordnado ara o aso D o io. Sis asos artiulars odm sr ontmlados m riníio om o objtivo d s hgar a adrõs d variação ara as roridads do

6 84 matrial já qu a rimira onstant od sr ngativa ositiva ou igual a ro a sgunda onstant λ od sr igual a ro ou difrnt d ro. Porém as soluçõs ara λ orrsondm a adrõs d variação d no aso d roblmas isotróios d ara roblmas ortotróios qu são fisiamnt inviávis. Então ara λ na quação 4..5 a quação 4..3 torna-s: h ii ψ h 4..6 ond ~ é um arâmtro do matrial a sr obtido a artir d ψ ± tsts rimntais a artir dos dsnvolvimntos fitos a sguir. A solução gral da quação 4..5 ara o aso gral d roblmas ortotróios é obtida na forma do roduto d funçõs arsntado na quação 4.. ou oloado d forma mais onvnint u h r ψ ond h rψ é a msma função rψ 4..7 u dada nas quaçõs ara roblmas D 3D rstivamnt m qu substitui r r ψ substitui ~. Os três difrnts tios d soluçõs ara as rssõs d omo funçõs da difusividad térmia orrsondndo a λ são arsntados na tabla 4. da Sção 4.3 ara roblmas ortotróios. Na subsção a sguir srão arsntados os adrõs d variação ara os asos d roblma isotróio logo m sguida na Subsção 4.. é fita uma gnraliação dos adrõs d variação ara roblmas ortotróios. 4...Problma Isotróio Para os asos d adrão d variação d roblma isotróio arsntados nsta sção é nssário qu s faça a substituição das oordnadas or d ' or nas quaçõs arsntadas antriormnt ond s suõ qu sja onstant mbora não sja nssário.

7 Solução Eonnial Nst adrão d gradação funional as hiótss adotadas são < λ. Tais hiótss lvam ao adrão d gradação mais frqüntmnt sugrido na litratura d matriais om gradação funional. Rsrvndo as quaçõs na forma do sistma d quaçõs difrniais d aordo om as substituiçõs nssárias mnionadas aima tm-s a sguint solução gral Dumont Chavs 3: om om m trmos das onstants do matrial as quais srão obtidas rimntalmnt. A onstant é rssa d tal manira qu o arâmtro físio d rfrênia. Além disso é intnionalmnt rssa omo uma função d d forma a s tr smr a msma dsrição matrial dsonsidrando-s a oordnada loal d rfrênia d aordo om a figura 4.. Est onito d invariânia à translação é rquisito básio no aso d soluçõs fundamntais singulars Dumont Chavs 3 mas não no aso d soluçõs fundamntais não-singulars qu são as únias d intrss nst trabalho. No ntanto mantém-s sta ondição já qu não afta os rsultados dos dsnvolvimntos fitos aqui. A figura 4. Dumont Chavs 3 mostra dois gráfios d alguns adrõs d variação d dados la quação 4.. ara o aso onnial ara alguns valors d. No rimiro gráfio o valor d 5 stá fio varia d a. No sgundo fia-s o valor d variando d a 6.

8 86 Figura 4.: Padrõs d variação ilustrativos da função onnial. Ao invés das quaçõs od-s srvr a solução mais rstritiva das quaçõs orrsondndo a : Est é o aso d matrial om gradação onnial nontrado na litratura. As quaçõs rmitm mais flibilidad no adrão d variação d. 4...Solução Quadrátia Est adrão d variação adota a hióts mais simls λ lvando ao sguint sistma d quaçõs difrniais já onsidrando as substituiçõs nssárias mnionadas no iníio dsta subsção uja solução gral Dumont Chavs 3 é dada or om 4..6 om 4..7 m trmos da onstant do matrial obtida rimntalmnt. A onstant d rfrênia é rssa d tal forma qu. Assim omo no rimiro aso é rssa liitamnt omo uma função d m forma a s tr smr a msma dsrição matrial dsrando-s a oordnada loal d rfrênia. O arâmtro é avaliado d aordo om os msmos tios d

9 87 onsidraçõs qu dim rsito às quaçõs no rimiro aso. A roridad matrial varia omo um olinômio do sgundo grau o qual rrsnta aroimadamnt é uma altrnativa ara a função onnial do rimiro aso. Not qu é rqurido nst aso. A figura 4.3 Dumont Chavs 3 mostra o gráfio d alguns adrõs d variação d dado la quação 4..6 ara o aso olinomial ara alguns valors d. Figura 4.3: Padrõs d variação ilustrativos da função quadrátia ara alguns valors d Solução Trigonométria Para st adrão d variação as hiótss adotadas são > λ. As quais lvam às quaçõs a srm rsritas na forma do sistma d quaçõs difrniais d aordo om as nssárias substituiçõs mnionadas no iníio dsta subsção ara o qual a solução gral Dumont Chavs 3 é dada or sin os om sin os 4.. sin os om sin os 4.. m trmos das onstants matriais um valor d rfrênia. A roridad matrial varia d aordo om uma urva qu não od sr aroimada la função onnial do rimiro aso onduindo assim a uma

10 88 dsrição d um adrão matrial omltamnt difrnt. O arâmtro é avaliado d aordo om os msmos tios d onsidraçõs qu dim rsito às quaçõs no rimiro aso. Obsrv qu uma translação d oordnadas também é ossívl nst modlo matrial m vista d qu as onstants foram ajustadas d forma a rssar omo uma função d. A figura 4.4 Dumont Chavs 3 mostra o gráfio d alguns adrõs d variação d dado la quação 4.. ara o aso trigonométrio ara alguns valors d. No rimiro gráfio o valor d 5 stá fio varia d a 8. No sgundo fia-s o valor d variando d a 6 Figura 4.4: Padrõs d variação ilustrativos da função trigonométria ara alguns valors d. 4...Problma Ortotróio Como onsqüênia d o rosso d obtnção das quaçõs sr o msmo ara matriais isotróios ortotróios omo já mnionado no iníio da Sção 4. as soluçõs dlinadas na Subsção 4.. são imdiatamnt aliávis não anas m trmos das onstants básias λ qu s odm solhr ara s hgar a rssõs viávis das funçõs inógnitas d aordo om ' ' ± λ ' ' ' ' 4..4 mas também m trmos das soluçõs d as quais têm a msma rssão d to la onstant mbutida a qual dv sr rintrrtada haja vista qu s stá trabalhando m um saço transformado.

11 89 Dada a rssão d ' é ossívl utar a transformação d oordnadas ntr d aordo om as quaçõs Dumont Chavs 4: ' ' d' d' Const. C Const. ' ' ' λ 4..5 ' d Const. d Const λ C É imortant rlmbrar qu as onstants d intgração nas quaçõs aima dvm sr aluladas d tal manira qu quando artiulariada ara λ. Difrntmnt do qu foi fito na sção antrior ara matrial isotróio na rsnt formulação os adrõs d variação ara a ondutividad o alor sífio não são obtidos dirtamnt haja vista qu as transformaçõs d oordnadas ntr dadas nas quaçõs as rssõs liitas d são intrdndnts. D aordo om a sgunda das quaçõs 4..4 obtém-s λ ' ' ' C ' Adiant a substituição d na rimira das quaçõs 4..4 ara a rssão d ' forn: ' ' λ ' ' ± 4..8 ' Um rodimnto qu ar funionar Dumont Chavs 4 5 omça om uma rsumida família d rlaçõs ntr a ondutividad o alor sífio dada la rlação onduindo assim a uma rssão d a artir da quação Em um sgundo asso alula-s na quação 4..8 utando-s a transformação d oordnadas ara rssar finalmnt usa-s alguma hurístia ara infrir qual família d funçõs satisfa tanto o roduto na quação 4..7 quanto a rlação iniialmnt rsumida smr tndo λ. Nos itns a sguir é mostrado o dsnvolvimnto qu lva às rssõs d. 4...Hióts a rsito da rlação ntr ondutividad alor sífio Iniia-s om a hióts

12 9 f f 4..9 tal qu or dfinição omo introduido nas quaçõs 4..5 f Cálulo da oordnada transformada a artir da quação 4..6 A sguir obtém-s a artir da quação 4..6 uidando ara qu f sja intgrávl tal qu quanto Cálulo da função omo uma solução da quação 4..8 m trmos dos arâmtros Então é ossívl rssar omo uma solução da quação 4..8 m trmos dos arâmtros omo mostra a tabla 4. na sção sguint srita d forma gral omo P P 4..3 ond a onstant é obtida d tal forma qu 4..3 d aordo om o dsnvolvimnto fito na Sção 4. ara matrial isotróio Cálulo das funçõs ara ondutividad alor sífio Partindo das quaçõs usando a notação da quação 4..3 sgu qu C C f f P P Calulando as onstants C das quaçõs P C f P P f P P obtêm-s as rssõs finais da ondutividad do alor sífio P P f f P P Estas rssõs m trmos das funçõs rsumidas f omo na quação 4..9 dos arâmtros dvm sr hadas m rlação aos

13 9 arâmtros rais do matrial om gradação funional obtidos m laboratório om ajusts fitos d forma itrativa até uma onordânia satisfatória ntr o rimnto o modlo. Além disso na obtnção da rssão d na quação 4..3 P f P P od-s também far uso do sguint roduto na imlmntação numéria: f P f P

14 9 4.3.Rsumo das rssõs obtidas na Sção 4. Nas tablas a sguir é fito um rsumo das quaçõs dsnvolvidas na Sção 4. ara as funçõs ara roblmas isotróios as funçõs ara roblmas ortotróios m trmos das suosiçõs fitas ara a onstant tndo λ. A tabla 4. arsnta as rssõs d d aordo om a hióts adotada ara na quação 4..4 adatada ara roblma isotróio onform é liado na Subsção 4... Tabla 4.: Rsumo das soluçõs ara os adrõs d variação adotados. Funçõs Quadrátia Trigonométria os sn os sn os sn os sn Eonnial A tabla 4. arsnta um rsumo das soluçõs m função da difusividad térmia a d aordo om as hiótss adotadas ara na quação Tabla 4.: Rsumo das soluçõs ara os adrõs d variação adotados d difusividad térmia a. Quadrátia a Trigonométria os sn os sn a a d ' Eonnial a a a