ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica

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Artur Botelho
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SCOL POLITÉCNIC D NIVRSIDD D SÃO PLO Dpartamnto d ngnharia Mânia PM00 Mânia dos Sóidos I a Prova /05/0 Duração: 00 minutos a Qustão (50 pontos): figura ao ado iustra uma hapa num stado pano uniform d

1 SCOL POLITÉCNIC D NIVRSIDD D SÃO PLO Dpartamnto d ngnharia Mânia PM00 Mânia dos Sóidos I a Prova /05/0 Duração: 00 minutos a Qustão (50 pontos): figura ao ado iustra uma hapa num stado pano uniform d tnsõs m qu todos os pontos stão sumtidos às tnsõs τ = τ indiadas nos ordos da hapa (não nssariamnt nos sntidos indiados). Considr qu a dtrminação dos vaors dstas tnsõs é fita através da itura dos aongamntos d tnsômtros B C posiionados a 60 um m ração ao outro d forma qu o tnsômtro stja ainhado om o io (onform indiado). Considrando qu o matria da hapa tnha omportamnto ástio inar (om onstants ν G dadas) pd-s: a) otr os vaors das tnsõs τ m função dos parâmtros dados ( a ν G); ) dtrminar o vaor do aongamnto m função dos parâmtros dados ( a ν G). ) onsidrando qu as tnsõs τ = τ já tnham sido orrtamnt dtrminadas (agora supostas a Qustão (50 pontos): strutura indiada na figura é omposta por uma BC d omprimnto prsa a uma artiuação ida na trmidad squrda a um ao ida CD na trmidad dirita. possui rigid fiona I o ao possui rigid aia () = η I/ ond η é um parâmtro adimnsiona qu rgua a rigid aia do ao omparativamnt aos outros parâmtros (no aso I ). uma rta distânia β da trmidad squrda da é apiada uma força onntrada d intnsidad P. Pd-s: a) a nrgia ompmntar no ao CD (m função d P () β ); ) a nrgia ompmntar na BC (m função d P I G f β ); ) o dsoamnto vrtia ( δ vb ) do ponto d apiação da força P; d) piar (justifiadamnt) m qu ondiçõs pods dsprar a ontriuição das forças ortants no áuo do dsoamnto δ vb om as nsta prmissa simpifiqu a prssão otida para δ vb ; onhidas) admitindo qu o matria da hapa tnha omportamnto dúti dtrmin o ofiint d sgurança (om ração ao iníio d soamnto no ponto) utiiando um ritério adquado. Dado: ; d) idm ao itm antrior onsidrando qu o omportamnto sja frági om f = f t = f dado. ) utiiando a prssão simpifiada d δ vb dtrmin os pontos rítios da função = ( β) ; f) anais omnt os rsutados otidos para os pontos rítios nontrados no itm antrior para o aso m qu η. D B C β. P C ( β). B τ ()

2 PM-00 Mânia dos Sóidos I a Prova /05/0 Gaarito Soução a Qustão: a) Como s trata d hapa so stado pano d tnsõs todas as tnsõs (qu não τ ) são nuas. ssim o tnsor das dformaçõs num ponto quaqur da hapa srito na as = ( ) fia dado por: γ / 0 [ ] = γ / q.() ond as omponnts d dformação (não-nuas) stão raionadas om as omponnts d tnsão através das quaçõs onstitutivas:. = ν = ν ( ν ) = ( ν) =. ν ( ν ) τ τ = G. γ γ = G (05 pto) q.() Com as três mdidas rgistradas pos tnsômtros é possív auar as três omponnts do tnsor das = [ n] n. ssim: dformaçõs através da onhida ração: Para o tnsômtro : n = ( 00) rsutando: daí: γ / 0 n [ ] = γ / 0. 0 = γ / = n = ( n [ ]) a a q.() (05 pto) q.(4) Para o tnsômtro B: n B = ( / / 0) rsutando: γ / 0 / /. γ /4 n [ B] = γ / 0. / = γ /4. / q.(5) daí: = ( n [ B] ) nb γ = q.(6)

3 PM-00 Mânia dos Sóidos I a Prova /05/0 Gaarito Finamnt para o tnsômtro C: n C = ( / / 0) rsutando: γ / 0 / /. γ /4 n [ C] = γ / 0. / = γ /4. / q.(7) daí: = ( n [ C] ) nc γ = q.(8) Somando as quaçõs (6) (8) utiiando tamém a quação (4) trmos: (05 pto) a = = ( a) q.(9) Sustituindo q.(9) m q.(6) (ou s prfrir m q.(8)) virá: (05 pto) = a γ ( a) γ =.( ) q.(0) ssim sustituindo as quaçõs (4) (9) (0) nas quaçõs () virá: ν =. ( ) a a ( ν ) =. ( ) a νa ( ν ) τ = G.. (05 pto) q.() qu são as raçõs soiitadas. ) O aongamnto srá dado por: ou usando as raçõs (): Logo das raçõs (4) (9) () rsuta: ν = ν. ν =. ν.. = ( ν ) ( ν) ν.. = a ( ν ) (05 pto) (05 pto)

4 PM-00 Mânia dos Sóidos I a Prova /05/0 Gaarito ) Para matriais om omportamnto dúti os ritérios d Trsa (máima tnsão d isahamnto) ou d Von Miss (máima nrgia d distorção) fornm ons rsutados. Dtrminando as tnsõs prinipais para o stado d tnsõs dado trmos: dt( T. I) = 0 τ 0 dt τ 0 = o qu va à sguint quação aratrístia: às sguints raís (tnsõs prinipais): = 0 ( ). ( ).. τ = 0 ( ) = τ (05 pto) ( ) = τ s quais dvm sr ordnadas d ta forma qu: Dfinm-s ntão os ofiints d sgurança (m ração ao iníio d soamnto no ponto) omo: i) Po Critério d Trsa: (05 pto) ( CS) = ii) Po ritério d Von Miss: ( CS) = = ( ) q VM.( ) ( ) ( ) / d) Para matriais om omportamnto frági o ritério d Rankin (máima tnsão norma) é mais indiado. Nst aso dado qu f = f t = f o ofiint d sgurança fia dado por: f ( CS) = (05 pto) má{ } 4

5 PM-00 Mânia dos Sóidos I a Prova /05/0 Gaarito Soução a Qustão: a) Iniiamnt dtrminamos as raçõs d apoio (o qu pod sr fito dirtamnt om as quaçõs d quiírio státio já qu s trata d uma strutura isostátia). V D D () H B C V β. P ( β). Tmos: i) F = 0 H = 0 ii) M = 0 V. = P. β. V = P. β póo D D iii) F = 0 V V P D =. Logo: V = P.( β ) (05 pto) nrgia ompmntar no ao CD pod agora sr dtrminada: * ao N VD. P. β. =. ds= = 0 (05 pto) ) nrgia ompmntar na BC srá dada por: β β ( β) ( β) * M f. V M f. V = I 0 G 0 I 0 G ds ds ds ds ond os susritos rfrm-s rsptivamnt aos trhos B BC da. Tmos: Para o trho B (om 0 s β ): M ( s ) = V. s = P( β ). s V ( s ) = V = P( β ) (05 pto) Para o trho BC (partindo d C om 0 s ( β ) ): M ( s ) = V. s = Pβ. s D V ( s ) = VD = Pβ (05 pto) 5

6 PM-00 Mânia dos Sóidos I a Prova /05/0 Gaarito Rsuta: β β ( β) ( β) * P ( β). s f. P.( β) P. β. s f. P. β = I 0 G 0 I 0 G ds ds ds ds * P ( β) ( β)..( β ). β P. β ( β).. β.( β). =.. f P f P I G I G grupando os trmos (rfrnts à fão forças ortants): P f. P. =. β.( β) β.( β) β.( β) β.( β) 6I G * f P =. β.( β). β.( β) 6I G * P.. (05 pto) δ ) O dsoamnto vrtia ( vb ) do ponto d apiação da força P pod sr otido dirtamnt po Prinípio do Traaho nrgia (onsidrando qu o sistma é onsrvativo qu a strutura tnha omportamnto ástio-inar). ssim: W = = * * * * Tota ao ou sja: P. δ vb P f. P. P. β. =. β.( β). β.( β) 6I G P f. P. P. β. =. β.( β). β.( β) I G (05 pto) d) Vamos omparar a para rfrnt à ontriuição das forças ortants om a para rfrnt aos momntos ftors no áuo do dsoamnto δ vb introduindo o adimnsiona (ξ ) qu dá a raão ntr stas duas paras. ssim: qu após simpifiaçõs fia: f. P. I ξ =. β.( β). G P.. β.( β ) 6.( ν ). f I ξ =. β.( β). Diando d ado os asos m qu β = 0 β = (pois nsts asos a stará totamnt dsarrgada) vmos qu o adimnsiona ξ é proporiona à raão I/. a qua é m gra muito pquna pois: 4 I a a O = O = O <<. a. ond a rprsnta uma dimnsão aratrístia da sção transvrsa (sndo m gra muito mnor qu o omprimnto da ). Iustrando para o aso d uma sção iruar hia (por mpo) trmos: 6

7 PM-00 Mânia dos Sóidos I a Prova /05/0 Gaarito 4 I π r r =. = << (05 pto). 4 π r. Nstas ondiçõs a prssão d δ vb pod sr simpifiada dsprando a para rfrnt à ontriuição das forças ortants rsutando: P P. β.. β.( β) I ) Sustituindo () = η I/ trmos: P P β P β. β.( β) =. β.( β) I ηi I η Cauando os pontos rítios da função δ = δ ( β) trmos: vb vb ou sja: P 6β. β.( β) β.( β) I η (05 pto) P 6. β 4β 6β I η impondo qu a a drivada da função sja nua trmos: β = 0 β = 0 = 4β 6β = 0 β = η 0 6 6± 4 96/ 8 η (05 pto) f) Para o aso partiuar m qu η (ou sja quando a rigid aia do ao é trmamnt vada sndo o ao pratiamnt intnsív) trmos: β = 0 β = 0 = 0 6± β = / β = 8 β = Naturamnt os asos-imit m qu β = 0 β = vam a dsoamntos nuos sndo apnas o aso m qu β = / o aso d intrss prátio (vaor d β para o qua o dsoamnto transvrsa do ponto d apiação da arga srá máimo). D fato st rsutado já dvria sr sprado para o aso m qu η pois sta situação (d ao intnsív) va à ondição d uma i-apoiada pa ondição d simtria o dsoamnto do ponto d apiação da arga srá máimo s a arga for apiada a mio-vão da ( β = / ) rsutando: P.. 48I (05 pto) 7

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