Inatel UM NOVO MÉTODO DE GERAÇÃO DE SINAIS COMPLEXOS ROBINSON GAUDINO CAPUTO. Instituto Nacional de Telecomunicações

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1 Inael Insiuo Nacional de Telecomunicações Disseração de Mesrado UM NOVO MÉTODO DE GERAÇÃO DE SINAIS COMPLEXOS ROBINSON GAUDINO CAPUTO MARÇO / 2006

2 UM NOVO MÉTODO DE GERAÇÃO DE SINAIS COMPLEXOS ROBINSON GAUDINO CAPUTO Disseração apresenada ao Insiuo Nacional de Telecomunicações, como pare dos requisios para obenção do Tíulo de Mesre em Telecomunicações. ORIENTADOR: Prof. Dr. Adonias Cosa da Silveira Sana Ria do Sapucaí Março/2006

3 ii Disseração defendida e aprovada em 7 / 03 / 2006, pela comissão julgadora: Prof. Dr. Adonias Cosa da Silveira DTE / INATEL Prof. Dr. José Edimar Barbosa Oliveira ITA / CTA Prof. Dr. José Anonio Jusino Ribeiro DTE / INATEL Prof. Dr. Adonias Cosa da Silveira Coordenador do Curso de Mesrado

4 iii "O nosso DEUS será nosso guia, aé a more." Salmo 48:4

5 Aos meus filhos, aos meus pais e a Lila Elizabeh Juárez pelo amor e apoio dedico ese rabalho.. iv

6 v AGRADECIMENTOS Agradeço em primeiro lugar a DEUS, pela minha vida e pela direção nas idéias e soluções a mim reveladas neses anos dedicados a pesquisa. Também agradeço a DEUS pela vida das pessoas que acrediaram nesa pesquisa e esiveram ao meu lado me apoiando, incenivando e ajudando nos inúmeros rabalhos realizados. Enre elas quero desacar o amigo Eng. Luiz Gusavo Varella Figueiredo, que pacienemene me acompanhou em odos os momenos e rabalhou de maneira árdua nos eses e inermináveis simulações. Ao Eng. Fábio Garcia Pina e sua empresa TSDA pela colaboração dos serviços presados nos eses de laboraório. E desaco com honra o amigo Prof. Dr. José Anônio Jusino Ribeiro que discuiu comigo diversos aspecos desa disseração. Agradeço ao meu orienador Prof. Dr. Adonias Cosa da Silveira pelo apoio e insisene cobrança dos resulados. A odos aqui ciados peço que DEUS os abençoe muio.

7 vi ÍNDICE AGRADECIMENTOS v LISTA DE FIGURAS viii LISTA DE TABELAS xi LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS xii RESUMO xiii ABSTRACT xiv CAPÍTULO I APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA INTRODUÇÃO BREVE DESCRIÇÃO E MOTIVAÇÃO PARA O ESTUDO DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO CAPÍTULO II ANÁLISE POLINOMIAL IDÉIA FUNDAMENTAL O FORMATO BÁSICO DA EQUAÇÃO DNAX E SUA INTERPRETAÇÃO FORMA GERAL DA EQUAÇÃO DNAX VARIAÇÕES DA EQUAÇÃO DNAX CAPÍTULO III NOVA APRESENTAÇÃO DAS FUNÇÕES CLÁSSICAS DA ENGENHARIA INTRODUÇÃO DESCRIÇÃO DO IMPULSO UNITÁRIO DEFINIÇÃO CORRENTE DO DEGRAU UNITÁRIO APROXIMAÇÃO DO DEGRAU UNITÁRIO PARA FUNÇÃO COM TRANSIÇÃO CONTINUA DEFINIÇÃO DO IMPULSO UNITÁRIO ATRAVÉS DAS EQUAÇÕES DNAX

8 vii 3.6. DETERMINAÇÃO DO PULSO RETANGULAR APERIÓDICO EQUAÇÃO DNAX PARA UM ÚNICO PULSO INTRODUÇÃO DE PARÂMETROS E FUNÇÕES COMPLEMENTARES SEQÜÊNCIA DE PULSOS CONTÍNUOS PERIÓDICOS SEQÜÊNCIA DE GRUPO DE BITS COMPROVAÇÃO EXPERIMENTAL DA OBTENÇÃO DOS SINAIS COM CIRCUITOS ELETRÔNICOS CAPÍTULO IV GERAÇÃO DE SINAIS SIMPLES E COMPOSTOS OBJETIVO E IDÉIA DO MÉTODO CONJUNTO DE PARÂMETROS PARA AS FUNÇÕES DNAX VISUALIZAÇÃO NO OSCILOSCÓPIO MODULAÇÃO POR TEMPO DE SUBIDA OU DE DESCIDA ALGUMAS FORMAS DE ONDA COMPLEXAS OBTIDAS COM A DNAX CAPITULO V COMENTÁRIOS E CONCLUSÕES COMENTÁRIOS GERAIS SUGESTÕES PARA FUTUROS DESENVOLVIMENTOS E APLICAÇÕES CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS PATENTES REGISTRADAS

9 viii LISTA DE FIGURAS Figura 2.. Comporameno do polinômio para diversos valores do expoene n Figura 2.2. Comporameno do polinômio P N para diversos valores do coeficiene n. - 6 Figura 2.3. Pulso reangular represenaivo da função analisado para a = e n Figura 2.4. Janela de operação deerminada pelos valores dos coeficienes a e n da equação proposa Figura 2.5. Aberura da janela de operação em função do parâmero a Figura 2.6. Represenação da forma geral da equação proposa e a influência do valor de n Figura 3.. Represenação do impulso uniário na origem Figura 3.2. Função degrau uniário, com sua indefinição na ransição enre 0 e Figura 3.3. Função degrau uniário obido com a equação proposa nese rabalho Figura 3.4. Gráfico do impulso uniário obido com DNAx para as condições proposas no exo. Fica bem evidene que se raa de forma de onda com largura emporal muio pequena Figura 3.5. Pulso reangular aperiódico, em sua represenação clássica e da forma como é obido aravés da equação DNAx Figura 3.6. Idenificação do pulso isolado e a forma de definição de sua largura no domínio do empo. Na segunda pare, desacam-se os inervalos de empo omados como as durações da subida e da descida do pulso Figura 3.7. Possibilidade de modulação do empo de subida do pulso reangular Figura 3.8. Função de referência X() periódica, de formao senoidal Figura 3.9. Função de referência operada pela função DNAx com deslocameno no eixo das abcissas Figura 3.0. Seqüência de pulsos conínuos periódicos, gerados pela função dada no exo Figura 3.. Variação na largura dos pulsos seqüenciais, gerada a parir do polinômio represenaivo da ransformada da função no domínio polinomial

10 Figura 3.2. Figura 3.3. Figura 3.4. Figura 3.5. Figura 3.6. Figura 3.7. Figura 4.. Figura 4.2. Figura 4.3. Figura 4.4. Figura 4.5. Figura 4.6. ix Ouro exemplo de seqüência de pulsos gerada pelo polinômio represenaivo da função analisada Diagrama em blocos de uma célula DNAx básica, capaz de gerar um ou vários pulsos conrolados pela função X() e pelos parâmeros n, d e a Diagrama esquemáico de uma célula DNAx implemenada conforme descrição no exo e com objeivo de comprovar a validade das equações, de acordo com o diagrama em blocos da figura anerior Visa superior da monagem da célula DNAx com os componenes e disposiivos descrios no exo Visa inferior da monagem da célula DNAx, conforme descrição no exo.26 Seqüência de formas de onda obidas com o circuio implemenado, com alerações nos valores dos parâmeros de conrole da função DNAx. Os sucessivos formaos foram enconrados com o aumeno dos valores de a e n Sineização de uma senóide pela superposição de ondas quase reangulares obidas com a função DNAx.Noar que a freqüência do sinal resulane é igual a freqüência das ondas quase reangulares, e é o dobro da freqüência do sinal X() Forma de onda obida com a menor disorção harmônica, seguindo os criérios proposos no exo. Nese caso, a disorção harmônica oal ficou mais de 72dB abaixo do nível da senóide pura Com o aumeno no valor de n, houve acréscimo na disorção. Nese caso, a disorção harmônica oal ficou pero de 35dB abaixo da ampliude da senóide Nova forma de onda, com maior valor de disorção harmônica, em função do número finio de ondas reangulares uilizadas. Nese caso, em-se uma disorção harmônica oal de aproximadamene 25dB Diagrama em blocos com as células DNAx para geração de sinais senoidais Na pare superior em-se o resulado da soma das ondas reangulares e na pare inferior apresena-se a forma de onda gerada pela disorção harmônica para n =

11 Figura 4.7. Figura 4.8. Figura 4.9. Figura 4.0. Figura 4.. Figura Figura 5.. Figura 5.2. Figura 5.3. x Na pare superior em-se o resulado da soma das ondas reangulares e na pare inferior apresena-se a forma de onda gerada pela disorção harmônica para n = Na pare superior em-se o resulado da soma das ondas reangulares para n = e na pare inferior apresena-se a forma de onda gerada pela soma das ondas reangulares com n = Superposição das ondas aneriores para n = e n = 400, demonsrando que os valores são coincidenes em freqüência e ampliude, porém com formaos diferenes Comparação enre as ondas senoidais com -70dB e com -25dB de disorção harmônica oal Sinal em que se conrolou o empo de descida da poradora com o sinal modulane incorporado na função DNAx Diferenes formas de onda inseridas na janela DNAx, que permiem operações maemáicas como inegrações, diferenciações, ec., em limies preesabelecidos Represenação dos pulsos no domínio do empo e no domínio maemáico para a aplicação proposa e uma ilusração do algorimo proposo Seqüência de bis relaivos aos polinômios P(x) e Pk(x) conforme expliciados no exo. O polinômio P(x) obedece à seqüência 0000 e o P k (x) obedece à Visualização da encripação/compressão da seqüência de bis gerada a parir do polinômio P(x). A segunda seqüência de bis é proporcional a P r (x)

12 xi LISTA DE TABELAS Tabela 4.. Coeficienes deerminados para a geração de ondas reangulares Tabela 5.. Polinômio P(x) do exemplo de aplicação com sua seqüência de bis

13 xii LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS OWA - Operaional Window Aperure, (Aberura de Janela Operacional). NRZ - No Reurn o Zero, (Não Reorno a Zero). RTM - Rise Time Modulaion, (Modulação por Tempo de Subida). DNAx - Nome fanasia paeneado que reúne as leras usadas nas equações, sendo D a consane de deslocameno da função geradora dos pulsos, N é o expoene da equação exponencial e define o empo de subida dos pulsos, A é a consane que define a largura dos pulsos e x é a variável da função geradora dos pulsos. THD - Toal Harmonic Disorion, (Disorção Harmonica Toal). TD - Time Domain, (Domínio do Tempo). MD - Mahemaical Domain, (Domínio Maemáico).

14 xiii RESUMO Capuo, R. G. Um Novo Méodo de Geração de Sinais Complexos. Sana Ria do Sapucaí Insiuo Nacional de Telecomunicações. Aplicações em sisemas digiais, encripação, sisemas pulsados, compressão de dados, ec., são raados nesa disseração de maneira simplificada e inovadora. Ese rabalho apresena algumas conribuições imporanes da écnica DNAx aos campos da maemáica, física e engenharia. Primeiramene definimos as equações DNAx e as aplicamos nas definições do impulso uniário, do degrau uniário e do pulso aperiódico. Criamos o conceio de Aberura de Janela Operacional (OWA - Operaional Window Aperure), que permie obermos a sínese de sinais complexos, inroduzimos o conceio de uma nova ransformada que permie sairmos do domínio do empo para o domínio maemáico, insrumeno que permie usar novos processos polinomiais no esudo de sinais digiais e ambém a ampliação da aplicação do conceio de funções orogonais para gerarmos sinais senoidais, conrolarmos suas disorções e sugerimos a criação novos processos de modulação.

15 xiv ABSTRACT Capuo, R. G. - A New Mehod for Wave Form Generaion Sana Ria do Sapucaí Insiuo Nacional de Telecomunicações. In his work new applicaions in digial sysems, encrypion sysems, daa ransmission, ec., hrough a new mahemaical approach are described. This work presens some new imporan DNAx echnique conribuions o mahemaics, physics and engineering fields. Firs of all he DNAx equaions are defined and applied o definiion of Dela of Dirac funcion, Uni Sep Funcion and Non Periodic Pulse Funcion (Gae funcion). The concep of (OWA) Operaional Window Aperure is inroduced o allow he synhesis of complex signals in a easy way. A new ransform concep ha permis o map he poins of ime domain se o he mahemaical domain se hrough polynomial funcion, is inroduced. This ransformaion process allows o use polynomial process o develop new applicaions in digial signals sysems. The DNAx funcion shows he viabiliy o creae sinusoidal wave funcions hrough a addiion of square waves wih conrolled disorions and creaing a viabiliy of new modulaion process.

16 CAPÍTULO I APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA.. INTRODUÇÃO Novas meodologias são necessárias para alcançar níveis ecnológicos mais alos em engenharia e física. A écnica proposa nese rabalho será designada como DNAx e mosrase uma ferramena revolucionária. Ela permie represenar sinais e manipulá-los aravés de conceios maemáicos flexíveis e originais. Podemos represenar sinais eléricos analogicamene de uma forma coninua, periodicamene ou aperiodicamene, podendo ser composos como um sinal de vídeo colorido ou simples como uma seqüência digial de uns e zeros. A idéia fundamenal é ober uma equação conínua derivável em odo o inervalo de descrição da mesma. Sob deerminadas condições, esa função deve ser linear e permiir a aplicação do princípio da superposição, de modo que a sínese de funções seja simplificada. Ese méodo mosra-se basane poene para a geração de sinais complexos, geração de diversos ipos de modulação como PWM, PPM, ec.. Em sua evolução, permiiu que se definisse a modulação por empo de subida, aqui designada como RTM (Rise Time Modulaion). Ese méodo de abordagem para sínese de funções permiiu ambém definir um processo novo de geração de ondas senoidais a parir da soma de ondas quase reangulares. Desa forma, em-se o compleo domínio sobre as funções senoidais ou quase senoidais. Oura aplicação ineressane é a conversão de uma seqüência de bis em um polinômio equivalene. Nese pono, podemos definir uma nova ransformada, que coneca um polinômio a uma seqüência de bis ou vice-versa. O processo polinomial mosra-se muio versáil e permie ouras aplicações que serão discuidas no rabalho, como a encripação de sinais e mensagens.

17 .2. BREVE DESCRIÇÃO E MOTIVAÇÃO PARA O ESTUDO 2 Nos úlimos anos, desenvolveram-se esudos dealhados para se represenar analiicamene e de forma conínua os sinais eléricos, com o objeivo de ampliar e faciliar os cálculos maemáicos sobre eles. Com a criação da célula DNAx, ampliam-se ambém suas aplicações e capacidades, sugerindo-se diferenes empregos e proposas de novas ecnologias envolvendo o processameno de sinais. A écnica DNAx expressa a relação enre dois polinômios, onde os coeficienes e expoenes definem os resulados desejáveis. As relações serão de exponenciação ou de divisão. Com esas relações polinomiais, poderemos redefinir diversas funções da engenharia, como a função impulso uniário, a função degrau uniário, a função pulso aperiódico ou a função pulsos periódicos (ondas reangulares), ec., de uma maneira coninua, com suas derivadas exisindo em odos os ponos. Podemos, enão, ober uma expansão das aplicações, abrindo novas maneiras de se pensar maemaicamene as aplicações dessas funções. O fao permiirá explorá-las como uma ferramena de ransformação de domínio e não só de esudo do fenômeno que elas descrevem. Também serão abordados alguns aspecos práicos, com monagem de circuios que produzem os sinais eléricos sineizados pelas funções maemáicas descrias. Será explorada ambém a geração de sinais eléricos aravés de programas de compuador que lêem os dados numéricos calculados pelo Mahcad, programa aqui usado para a simulação das funções e sineização dos sinais obidos com a DNAx, e os apresenam para serem uilizados ou analisados em um osciloscópio, conforme apresenado..3. DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO Para cumprir os objeivos, dividiu-se o assuno em diversas pares, separadas em capíulos independenes, mas complemenares. O Capíulo 2 apresena a idéia básica da proposa e descreve a formação da função DNAx, sua represenação geral e as alerações mais relevanes proposas a parir de sua concepção original. O Capíulo III é dedicado às novas descrições de funções maemáicas conhecidas da engenharia de comunicações e de grande imporância no raameno de sinais. Desacam-se a função degrau uniário, o impulso uniário, a função pora. Neses casos, demonsra-se como são possíveis suas descrições a parir de funções polinomiais simples, com muio boa concordância em relação às formas radicionais de apresenação. Além diso, são discuidas

18 3 as influências dos parâmeros associados à função proposa sobre o grau de exaidão das novas apresenações das funções clássicas. São ambém apresenados os resulados práicos da geração dos sinais pulsados em um circuio elérico, monado para a comprovação da validade dese processo maemáico. No Capíulo IV, exploram-se as possibilidades de os parâmeros das equações da função DNAx serem conrolados para a consiuição de ondas simples, como as senóides, a parir da superposição de ondas quase reangulares. Uma inovação a mais é o levanameno da hipóese do conrole dos empos de subida e de descida do pulso reangular a parir de bis de informação. A implemenação física desa proposição resulará em uma nova écnica de modulação. Prevê-se grande uilidade para a idéia, com aplicações em sisemas de comunicações com elevadas axas de ransmissão.

19 4 CAPÍTULO II ANÁLISE POLINOMIAL 2.. IDÉIA FUNDAMENTAL A expressão inicialmene considerada é um polinômio de variável única como se segue: P n 2 D an x a2x + ax + a0 = (2.) Para esa análise, foi conveniene esabelecer as seguines condições a 0 = (a) n 2n (b) an = an 2 = L = a2 = a = 0 (c) (2.2) que resulou em um novo formao do polinômio, com modificações nos coeficienes do ermo de ordem mais elevada, a saber P D 2n = + ( a. x) (2.3) Para {, 2, L } n =, (2.4) o gráfico a seguir mosra as diversas configurações do polinômio, à medida que o valor de n cresce. Quano maior o valor de n, mais acenuada será a variação do polinômio nas proximidades de suas raízes. Observa-se que exisem rês ponos fixos, dois dependenes do valor da consane a e independenes de n e um independene de a e n. Todos os polinômios P D para um mesmo valor de a e diferenes valores de n passam por eses ponos. No exemplo os ponos para a= esão localizados em (-,2), (0,) e (,0) respecivamene. Fez-se o mesmo raameno para um polinômio P N, descrio por

20 5 2n P N = ( ax) (2.5) com os diversos valores de n, como apresenado na Figura 2.2, novamene para {, 2, L } n =, (2.6) 3 Pd 0 ( x) Pd ( x) 2 Pd 4 ( x) Pd 3000 ( x) Figura 2.. Comporameno do polinômio para diversos valores do expoene n. Noa-se que ambém os polinômios P N para um mesmo valor de a e diferenes valores de n apresenam rês ponos fixos. No exemplo para a= os ponos esão em (-,0); (,0) e (0,). x 2.2. O FORMATO BÁSICO DA EQUAÇÃO DNAx E SUA INTERPRETAÇÃO A ferramena DNAx esá sendo desenvolvida a parir da divisão enre os polinômios P N e P D da forma D 2.n PN ( ax) y( x) = = (2.7) 2.n P + ( ax)

21 6 2 Pn 0 ( x) Pn ( x) Pn 4 ( x) Pn 3000 ( x) x Figura 2.2. Comporameno do polinômio P N para diversos valores do coeficiene n. 2 Como observado, os polinômios P D e P N para um mesmo valor de a passam por ponos fixos. Eses ponos fixos ambém exisem para y(x) e esão localizados em (-/a, 0); (0,) e (0,+/a). Esa propriedade indica que eses ponos são soluções da equação diferencial que rege o comporameno de y(x). Porano, é possível descrever sinais conínuos e diferenciáveis a parir de uma seleção de funções que relacionem os polinômios P N e P D. A equação y(x) é uma função par e define um pulso reangular coninuo cenrado na origem. A borda anerior do pulso é cenrada no pono P o ( /a, 0) e a borda poserior do pulso pelo pono P c (/a, 0). As ransições de subida e de descida aproximam se de zero quando n. A Figura 2.3 ilusra a siuação para o valor paricular de a =. Serão apresenadas as influências dos diferenes parâmeros no formao do pulso. a:= n := 000 y() x x Figura 2.3. Pulso reangular represenaivo da função analisado para a = e n.

22 7 O coeficiene a deermina qual a pare do plano x-y em que a equação DNAx assume valores ouros diferenes de. O faor n esabelece a axa de ransição de para + e + para. Quano maior o seu valor menores serão as durações das correspondenes ransições. O parâmero a define uma aberura de janela no eixo das abscissas (Figura 2.4). Denro desa janela pode-se operar, raçando ou definindo uma função necessária à operação, como será discuido mais adiane. A aberura da janela operacional (OWA) é definida como a região em que y(x) assume valores diferenes de. A combinação de a e n define a aberura da janela operacional, onde n deermina quão rápido o valor de y(x) muda de para qualquer ouro definido e vice-versa. y OWA x Plan X-Y Figura 2.4. Janela de operação deerminada pelos valores dos coeficienes a e n da equação proposa. A OWA é a região delimiada pelo pono de aberura P o ( /a, 0) e pelo pono de fechameno P c (/a,0). Porano, o valor de a deermina quão abera ou fechada será a janela, como ilusra a figura a seguir. A aberura da OWA é dada pelas inersecções com o eixo das abscissas, na forma w = 2 / a (2.8) Da maneira como a aberura da janela foi definida, o parâmero n não afea o seu valor. Quando n, o ângulo de inclinação da subida ou descida, medido em relação ao eixo das abscissas, ende para π/2. A área sob a curva é consane para qualquer valor de n. A demonsração desa propriedade segue o roeiro descrio no Capíulo 3, quando for calculado o empo de subida.

23 8 0 Po Pc 0 - -/a /a Figura 2.5. Aberura da janela de operação em função do parâmero a. w 2.3. FORMA GERAL DA EQUAÇÃO DNAX Uma generalização de (2.7) assume o aspeco 2n f ( x) ( ax) y( x) = (2.9) 2n + ( ax) e a Figura 2.6 ilusra a equação DNAx com uma função arbirária f(x) descria denro da janela. A primeira pare da figura é a represenação com baixo valor para o parâmero n. Pequenos valores para ese coeficiene resulam em ransições lenas na subida e na descida das bordas da janela. Uma conseqüência é o surgimeno de disorções em f(x) nas vizinhanças dos ponos ( /a, 0) e (/a, 0). Na segunda pare da figura em-se a siuação para n /a /a - -/a /a w w Figura 2.6. Represenação da forma geral da equação proposa e a influência do valor de n VARIAÇÕES DA EQUAÇÃO DNAX A forma geral complea da equação DNAx será denominada de equação DNAx exponencial ipo A, e em o seguine formao

24 a 2n 2n [ ( ax) ] [( ax) + f ( x) ] y ( x) = (2.0) 9 Um caso especial desa nova represenação é a equação exponencial ou equação DNAx do pulso: a 2n 2n [ ( ax) ] [( ax) + ] y ( x) = (2.) Uma erceira apresenação, que será designada como ipo C, semelhane à do ipo A com um grau de liberdade a menos: a 2n 2n [ ( ax) ] [( ax) + f ( x) ] y ( x) = (2.2) A represenação ipo D é obida a parir da equação ipo B e raa-se de um recurso maemáico que permiirá a obenção de um pulso com formao NRZ: 2n ( ax) y( x) = (2.3) 2n + ( ax) Finalmene, é possível ainda represenar a equação proposa em uma forma equivalene, como se descreve a seguir. A demonsração pare da forma básica y = [ ] [ ] 2n 2n ( ax) {[ ] [ Q ( ax) + f ( x) = Q + f ( x) ] } (2.4) Para faciliar o desenvolvimeno, será somado e subraído o valor à base da equação anerior. Depois, será faorado o faor ( + Q) e obém-se novo formao: y = ( Q ) f ( x) + Q Q (2.5) ( + ) ( + ) ( ) ( Q [ + Q ) ] Agora, vamos deerminar o limie de Q em orno do valor x = 0, onde esá deerminado o pulso. Obém-se que lim Q = 0 para qualquer valor de n posiivo. Em conseqüência, nesa x 0 região analisada e quando o expoene n ender para o infinio, resula

25 0 y [ ( ) ] [ ] 2n 2n ( ax) + ax f ( x) = para a x a (2.6) permiindo concluir que [ ] [ ] [ ] [ ] 2n 2n 2n ( ax) 2n ( ax) + ( ax) f ( x) = ( ax) + f ( x) (2.7) A porção de f(x) coincidene com a aberura da janela fica represenada nese inervalo, sem alerações em sua forma básica ou em seus valores numéricos. Fora desses limies, y(x) = ou 0, dependendo do ipo de equação DNAx usada. As ransições de fora para denro da janela e de denro para fora são maemaicamene coninuas, com rapidez de ransição fixada pelo faor n do expoene.

26 CAPÍTULO III NOVA APRESENTAÇÃO DAS FUNÇÕES CLÁSSICAS DA ENGENHARIA 3.. INTRODUÇÃO Uma grande conribuição das equações DNAx é o equacionameno coninuo dos processos de ransição enre os valores 0 e e enre e 0. Ese desenvolvimeno provoca fore impaco sobre as soluções dos problemas de engenharia. Para ilusrar o fao, serão reapresenadas algumas funções clássicas de engenharia a parir das equações DNAx. Para cumprir ese objeivo, serão necessárias algumas considerações imporanes, algumas delas demonsradas no capíulo anerior: As equações DNAx são definidas para odos os valores possíveis da variável x enre e +; As derivadas das equações DNAx são finias, inclusive nos ponos de ransição; Denro da janela de operação, as equações DNAx, para n muio grande, comporam-se linearmene, obedecendo ao eorema da superposição DESCRIÇÃO DO IMPULSO UNITÁRIO As definições correnes do impulso uniário são eóricas e impossíveis de serem implemenadas em um programa de compuador ou com um circuio elerônico, de modo que se possa uilizá-las praicamene. Por causa diso, a função impulso uniário é algumas vezes referida como uma função decepcionane. Uma enre muias equações que podem definir o impulso uniário é: d δ ( ) = lim [ ua ( ) ] (3.) a 0 d onde u a () é o degrau uniário que em ransição de 0 para na origem. A represenação gráfica do impulso uniário esá na Figura 3..

27 2 f() δ() Figura 3.. Represenação do impulso uniário na origem DEFINIÇÃO CORRENTE DO DEGRAU UNITÁRIO A definição maemáica usual para a função degrau uniário é, > 0 φ( ) = (3.2) 0, < 0 que não permie uma descrição para odos os valores de. A Figura 3.2 é o gráfico represenaivo desa função e permanece indefinida a ransição enre 0 e. Figura 3.2. Função degrau uniário, com sua indefinição na ransição enre 0 e APROXIMAÇÃO DO DEGRAU UNITÁRIO PARA FUNÇÃO COM TRANSIÇÃO CONTINUA A equação DNAx capaz de descrever de forma aproximada o degrau uniário é uma equação analíica com valores finios em odo inervalo coninuo ( < < +), inclusive na ransição enre 0 e. O gráfico correspondene é mosrado a seguir. A ransição na origem é represenada por uma linha sólida, obida com os valores n (a) a (b) (3.3) As equações DNAx que levam a ese resulado são

28 3 a( ) u 2 ( ) = + (3.4) 2 + a( ) [ ] [ a ( ) ( + a )] u( ) = (3.5) sendo n a ( d ) a( ) = e (3.6) e nese levanameno adoaram-se os valores a = 3, d = 0 e n = Deve-se noar que a equação DNAx é bem comporada, em paricular a (3.4). Independenemene do sisema físico envolvido, o modelo maemáico que se uiliza a parir da DNAx é sempre aplicável. u() Figura 3.3. Função degrau uniário obido com a equação proposa nese rabalho DEFINIÇÃO DO IMPULSO UNITÁRIO ATRAVÉS DAS EQUAÇÕES DNAx Aplicando a sisemáica proposa nese rabalho, o impulso uniário fica deerminado pelo conjuno de equações [ ] [ + g ( ) ( + g )] r( ) = (3.7) ( a) n g( ) = (3.8) e o gráfico a seguir foi levanado com a = 0 2 e n = 000.

29 4 r() 0 0 5x0 9 0,005 +0,005 Figura 3.4. Gráfico do impulso uniário obido com DNAx para as condições proposas no exo. Fica bem evidene que se raa de forma de onda com largura emporal muio pequena DETERMINAÇÃO DO PULSO RETANGULAR APERIÓDICO A definição da função pulso reangular na origem, [6], é:, < / 2 ( ) = (3.9) 0, > / 2 com a represenação da primeira pare da figura a seguir. A equação DNAx é capaz de represenar o pulso reangular no inervalo ( < < + ) aravés de y( ) 2n 2n [ ( a) ] = [( a) + ] (3.0) n (3.) + a k, ( k R ) (3.2)

30 5 -/2 /2 0 2 (a) (b) Figura 3.5. Pulso reangular aperiódico, em sua represenação clássica e da forma como é obido aravés da equação DNAx. No gráfico para o pulso reangular obido com DNAx, mosrado na segunda pare da figura, a ransição 0--0 é represenada por uma linha sólida, indicando que eses valores de y() são finios e deerminados. Com o mesmo procedimeno, é possível gerar um pulso aperiódico, em qualquer posição do eixo das abscissas conrolando sua largura, sua ampliude e os empos de subida e descida, coninuamene. Pode-se fazer com sua equação qualquer operação maemáica, uilizando se qualquer simulador ou processador de sinais EQUAÇÃO DNAx PARA UM ÚNICO PULSO A equação abaixo gera um pulso reangular cenrado na origem, P o (0;0), com ampliude uniária: e largura w dada por: y( ) 2n 2n [ ( a) ] = [( a) + ] (3.3) w = 2 (3.4) a O gráfico na Fig. 3.6 mosra o pulso cenrado na origem. Como o empo de subida é conrolado por ouro parâmero, definimos os ponos que dão meade da ampliude do pulso como os de medida da sua duração. Esa largura será sempre consane para qualquer valor de n desde que se manenha o parâmero a consane.

31 6 /2 w s s (a) (b) Figura 3.6. Idenificação do pulso isolado e a forma de definição de sua largura no domínio do empo. Na segunda pare, desacam-se os inervalos de empo omados como as durações da subida e da descida do pulso. A equação empregada para o raçado desa função permie conrolar o empo de subida do pulso, que será igual ao empo de descida. Definimos como empo de subida o inervalo gaso para a função sair do esado 0 e chegar ao esado e empo de descida o inervalo para sair do esado e aingir o esado 0. Eses empos serão iguais para um pulso gerado pela equação DNAx, a menos que se imponha a condição para que sejam diferenes. Para o cálculo deses valores, pare-se da equação DNAx ipo C, reproduzida abaixo para f ( x) =, sem perda de generalidade, devido às propriedades desa função: a [( ) ] [ ( ) 2n ] 2n a a + y ( ) = (3.5) Os cálculos revelam que a ordenada assume o valor 0,5 para = / a. Além diso, ainge o valor praicamene uniário em um pono logo à direia desa abscissa, correspondene a / a +. Dese pono, raça-se um segmeno de rea, passando por ( / a, 0, 5) e aingindo o eixo das abscissas em um pono um pouco à esquerda de / a, simérico em relação ao primeiro, endo como referência a abscissa /a. Iso é, ese segundo pono é na abscissa / a. O empo de subida foi definido nese rabalho como s = 2. Para o cálculo dese valor, uiliza-se a equação anerior na forma y a ( ) = a + a 2n + 2 n a + a = (3.6) em que o expoene deve ser nulo para se garanir o valor uniário do resulado. Porano,

32 7 2n 2 n a + = [( + a ) ] = 0 (3.7) a Como se rabalha com a condição a <<, a expansão desa equação em série binomial permie que se escreva 2n [( + a ) ] + 2na = 0 (3.8) donde será possível ober o valor e o empo de subida, como idenificado na segunda pare da Figura 3.6: s = 2 = (3.9) a n O fao de se poder conrolar os empos de subida e de descida implica na possibilidade de se inroduzir a idéia de modulação por empo de subida ou descida (RTM, de Rise Time Modulaion). A figura abaixo mosra o efeio dos diversos valores de n sobre o empo de subida. Figura 3.7. Possibilidade de modulação do empo de subida do pulso reangular. Com esa informação, já é possível mosrar a consância da área sob a curva, como previso no capíulo anerior. Para iso, será admiido que o pulso enha uma ampliude uniária, sem que afee a generalização desa propriedade. Quando n, a área sob a curva fica dada por 2 / a. Para n finio, de qualquer valor, da Figura 3.6(b) conclui-se que a área de cada riângulo dos flancos anerior e poserior vale o empo de subida muliplicado pela ampliude (no caso uniária), dividido por 2. Por conseguine, a área que sobra, relaiva ao reângulo inerno fica igual 2( / a ), sendo a meade do empo de subida, como demonsrado aneriormene. Porano, a área oal ficará igual à área do reângulo somada

33 8 com as áreas relaivas aos empos de subida e de descida, que são iguais. Assim, a área oal ficará S 2 2 = 2 + s = s + s = (3.20) a a a independene do valor aribuído a n, como anecipado INTRODUÇÃO DE PARÂMETROS E FUNÇÕES COMPLEMENTARES Será definida uma função de referência X() que permie criar novas funções especiais. Esas funções serão periódicas quando X() for periódica. Para iso, na função DNAx devese subsiuir a variável pela função de referência. Quando a função X() aproximar-se de zero, novo pulso será gerado, formando-se nova função periódica. A Figura 3.8 ilusra esa condição para uma função de referência ipo senoidal. Se inroduzirmos um coeficiene de fase na função senoidal, eremos novo parâmero (d), que permiirá deslocar as formas de ondas proporcionalmene ao longo do eixo das abscissas. Nese caso, a função X() poderá ser reescria como X(-d). No exemplo da Figura 3.9, o cenro do pulso DNAx foi deslocado de 4 unidades de d. A janela de operação da função pode ser deslocada ao longo de odo o eixo das abscissas, mosrando uma imporane caracerísica da equação, que é possibiliar a geração de janelas periódicas. A largura da janela e o empo de subida da ransição dependem de a e n. 2 SW () X() Figura 3.8. Função de referência X() periódica, de formao senoidal.

34 9 2 T 2 T d SW () X() Figura 3.9. Função de referência operada pela função DNAx com deslocameno no eixo das abscissas. Quando subsiuirmos por X(), a função passa a depender desa nova variável, como se houvesse mudança nos valores das abscissas de para X(). Como o pulso só aconece quando aproxima-se de zero, a sua duração depende da velocidade com que se aproxima de zero, ou seja da derivada de X() em relação a. Porano, uma generalização do cálculo da duração do pulso é obida aravés de w = a 2 d X( ) d = 0 (3.2) A equação DNAx ipo D pode ser usada como geradora de janelas periódicas, com a descrição da função f() denro da janela. Com ese objeivo, a equação deve incluir a função e o parâmero complemenares X() que proporcionara a periodicidade dos pulsos, d será um parâmero de defasagem que propiciara o deslocameno das janelas periódicas ao longo do eixo do empo, 2.n f ( ) [ a.x ( d)] y( ) = (3.22) 2.n + [ a.x ( d)] 3.9. SEQÜÊNCIA DE PULSOS CONTÍNUOS PERIÓDICOS Uma seqüência de pulsos periódicos de ampliude uniária pode ser gerada fazendo-se f() igual a e X ( d) = cos[2π( d)]. A largura do pulso será a largura da janela w e o empo de subida será igual ao empo de ransição da janela s. A freqüência fundamenal da

35 seqüência de pulsos é igual ao dobro da freqüência da função de referencia X(). A conclusão é devida à função de referência cruzar o eixo das abscissas duas vezes a cada ciclo. (Figura 3.0). ( ) fx ():= Xx ( ) := cos 2 π x 20 d := 0 n := 80 a:= 4 Pulsos DNAx periódicos. y( x) Xx () x Figura 3.0. Seqüência de pulsos conínuos periódicos, gerados pela função dada no exo. A posição dos pulsos no domínio do empo é igual à posição das raízes reais da função de referência e é maemaicamene ravada nesses ponos. Porano, quano mais esável for a função de referência mais esável será a seqüência de pulsos. Para n, o empo de subida e o empo de descida são deerminados por s = a n d X ( ) dx x= x i (3.23) 3.0. SEQÜÊNCIA DE GRUPO DE BITS Uma conribuição imporane é a capacidade de gerar uma seqüência de bis aravés de um polinômio. Esa propriedade permie raar a equação DNAx como uma ransformada, pois ransforma um polinômio de zeros reais para uma seqüência de bis no domínio do

36 2 empo. Porano, é uma ransformada de um conjuno polinomial para um conjuno no domínio emporal. Iso permie fazer operações algébricas com as seqüências de bis ransformadas ao domínio polinomial e ober a ransformada inversa no domínio emporal novamene, resulando em uma nova seqüência de bis. Esas operações simplificam a obenção de sisemas encripados por chave de operação rápida. A seqüência de bis é gerada pela equação DNAx quando a função de referência X() for uma equação polinomial de raízes reais P(x) P( x) = A A n n n. x + An. x A. x + 0 (3.24) A n = (3.25) A largura do pulso gerado pela equação DNAx é inversamene proporcional a primeira derivada do polinômio P(x) para x igual à raiz correspondene ao pono onde o pulso foi gerado. Podemos alerar a largura dos pulsos ano quano os empos de subida e descida variando os coeficienes do polinômio, manendo os zeros no mesmo lugar, com os pulsos nas mesmas posições. Iso esá exemplificado nos dois casos apresenados na Figura 3.. Uma vez que os polinômios P (x) e P 2 (x) são ambos de erceira ordem com zeros iguais, um grupo de rês pulsos será gerado por cada polinômio nas mesmas posições mas com larguras diferenes. O número de pulsos é igual ao número de zeros reais, considerando um zero por posição. Ouro exemplo de aplicação esá na Figura 3.2, para o polinômio indicado. Noa-se que só exisem dois polinômios para cada sequência de bis, que é o polinômio P(x) e o polinômio P(x), para qualquer ouro polinômio com zeros nas mesmas posições as larguras dos pulsos serão diferenes.

37 22 P() x := 2 ( x 3) ( x 4) ( x 5) P2() x := 0 ( x 3) ( x 4) ( x 5).5 Transformada DNAx de polinômio.5 Transformada DNAx de polinômio yp () x P() x yp ( x) P2( x).5 x.5 (a) 2 x (b) 6 Figura 3.. Variação na largura dos pulsos seqüenciais, gerada a parir do polinômio represenaivo da ransformada da função no domínio polinomial. d := 0 fx ():= a:= 3 n := 20 P 3 () x := 5[ ( x 3) ( x 4) ( x 5) ( x 7) ( x 8) ( x 0) ( x 2) ( x 5) ( x 9) ] Transformada DNAx de um Polinômio y p () x P 3 ( x) x Figura 3.2. Ouro exemplo de seqüência de pulsos gerada pelo polinômio represenaivo da função analisada.

38 3.. COMPROVAÇÃO EXPERIMENTAL DA OBTENÇÃO DOS SINAIS COM CIRCUITOS ELETRÔNICOS 23 Para comprovar a eoria e as poencialidades da função DNAx, foi implemenado um circuio elerônico com os disposiivos inegrados da Analog Devices AD633, AD538 e AD734. Os circuios inegrados AD633 e AD735 são amplificadores operacionais que foram escolhidos pelas suas caracerísicas e facilidade de obenção, porém o circuio inegrado AD538 foi escolhido por execuar a operação: v 0 v z = vy v f Onde v o, v y, v z, v f e m são ensões nos pinos do circuio inegrado. Esses disposiivos possuem amplificadores operacionais inernos que podem ser configurados para execução de poenciação de números posiivos e negaivos. Foram criados para diversas aplicações que envolvam a compuação analógica, inegrane de sisemas de compuação híbrida, uilizada em sisemas de conrole de mísseis eleguiados e aeronaves a jao para fins miliares. Traa-se de circuios com rígido conrole de produção e comercialização, em visa dessas suas aplicações. O diagrama circuial de cada bloco é disponível na página da empresa na Rede Mundial de Compuadores. Na Figura 3.3 apresena-se o diagrama em blocos da célula, com o indicaivo das funções mais imporanes que o circuio deve execuar. m

39 24 v 0 v z = vy v f m Figura 3.3. Diagrama em blocos de uma célula DNAx básica, capaz de gerar um ou vários pulsos conrolados pela função X() e pelos parâmeros n, d e a. O circuio elerônico implemenado a parir do diagrama anerior esá represenado na Figura 3.4. Para chegar a esa versão definiiva, foram realizados diversos ensaios com componenes discreos e inegrados, a fim de comprovar a possibilidade de seu funcionameno. A parir da confirmação do fao, passou-se ao uso de componenes inegrados de ação mais rápida e concluiu-se com a monagem definiiva apresenada nas Figuras 3.5 e 3.6. O circuio final ficou com formao compaco, com exensão de 0,5cm e 6cm de largura.

40 25 Figura 3.4. Diagrama esquemáico de uma célula DNAx implemenada conforme descrição no exo e com objeivo de comprovar a validade das equações, de acordo com o diagrama em blocos da figura anerior. A seguir, são apresenadas formas de onda reangulares com diversas durações e diferenes empos de subida, ajusáveis pelos valores dos parâmeros de conrole da função proposa, e obida com o circuio mosrado nas figuras aneriores. A função X() foi escolhida em formao riangular para que se idenificasse com precisão o seu valor mínimo igual a zero e fosse possível definir com exaidão os insanes de geração dos pulsos.

41 26 Figura 3.5. Visa superior da monagem da célula DNAx com os componenes e disposiivos descrios no exo. Figura 3.6. Visa inferior da monagem da célula DNAx, conforme descrição no exo.

42 27 (a) (b)

43 28 (c) Figura 3.7. Seqüência de formas de onda obidas com o circuio implemenado, com alerações nos valores dos parâmeros de conrole da função DNAx. Os sucessivos formaos foram enconrados com o aumeno dos valores de a e n.

44 29 CAPÍTULO IV GERAÇÃO DE SINAIS SIMPLES E COMPOSTOS 4.. OBJETIVO E IDÉIA DO MÉTODO Nese capíulo, propõe-se a possibilidade de gerar ondas senoidais de baixa disorção a parir de múliplas ondas quadradas obidas com as funções DNAx. O objeivo de se gerar ondas senoidais com ese procedimeno é permiir conrolá-las de uma forma mais exaa e aumenar as possibilidades de sua uilização, como geração de padrões de medidas, poradoras de sinais modulanes, a criação de novos códigos, ec.. Mosraremos que uma onda senoidal poderá ser sineizada por soma de ondas quadradas, calcularemos seus coeficienes e parâmeros e oberemos uma onda senoidal conrolável aravés de parâmeros ajusáveis. De acordo com a eoria DNAx, as ondas quadradas com empo de subida conrolado requerem uma largura de pulso de meio período, com o valor do parâmero a = 2. Para demonsração, serão esudados rês exemplos com as medições da disorção harmônica oal (THD) e serão verificadas os formaos finais e os valores caracerísicos de cada sinal resulane. A principal diferença enre os exemplos será o valor de n, que conrola o empo de subida das ondas reangulares. Serão usadas oio ondas básicas para os cálculos ( P = 8). O deslocameno emporal d enre duas ondas quadradas sucessivas é consane e definido como: d T = (4.) 2 P onde T f é o período da onda reangular básica. A ampliude de cada onda reangular DNAx varia e pode ser calculada pela relação, [6],

45 30 C r = Tf sin(2ω) y 0 Tf 0 y 2 r r ( ) d ( ) d (4.2) sendo y r () uma das P possíveis equações represenaivas dessas ondas e ω a freqüência angular da componene fundamenal da onda reangular. A equação anerior permie ober os coeficienes de ampliude das diversas parcelas que serão somadas. Esa equação é calculada a parir da soma de funções orogonais, e proporciona a ampliude que permie minimizar o erro (valor médio quadráico (f e ())) de f(). As ondas reangulares formam um conjuno de sinais orogonais aos pares. Iso jusifica a necessidade de se er P com valores pares CONJUNTO DE PARÂMETROS PARA AS FUNÇÕES DNAX Nese exemplo, as oio equações DNAx ficarão reduzidas a seis quando as ampliudes C r forem calculadas, pois os coeficienes C 0 e C 4 valem 0. A seguir, apresena-se uma abela de valores dos coeficienes de ampliude das componenes para rês valores de n, com as respecivas disorções harmônicas oais calculadas. Tabela 4.. Coeficienes deerminados para a geração de ondas reangulares n 2 3 C C C C C C C C THD(dB): O conjuno de ondas reangulares DNAx é represenado pela seqüência de equações e pelo conjuno de gráficos a seguir. Na mesma monagem, apresena-se a forma de onda

46 resulane da superposição das componenes individuais. São geradas a parir de (3.4) com um ermo adicional (/2) que anule o valor médio da forma de onda básica. 3 y ( ) = C q q 2n 2n [ ] {[[ ( )] ] [ ( ) ] C ax qd q ax q d + } 2 (4.3) para q = 0,,, 7. De acordo com a proposa, a senóide resulane foi obida com a soma 7 = q 0 () f ( ) = y q (4.4) efeuando-se o conrole das ampliudes e dos correspondenes empos de subida, onde a freqüência da onda senoidal resulane é igual a freqüência das ondas reangulares. Na Figura 4. ilusra-se o procedimeno descrio, desacando-se a presença das várias componenes empregadas na formação do sinal senoidal. Na Figura 4.2 é feia uma comparação enre a resulane do processo proposo e uma onda senoidal descria na forma sin 2 ω. Nesa formação, empregou-se o menor valor de n e odas as componenes proposas. Foi levanada a disorção harmônica oal para n = e o resulado indica 0, THD (db) = 20log = 72, 74dB (4.5) , que foi o menor valor obido. Da mesma forma, para n = 2 e n = 3, a disorção harmônica oal assumirá os valores 0, 035 THD (db) = 20log = 34, 66dB (4.6) , 06, THD (db) = 20log = 24, 64dB (4.7) 979,

47 32 n = 2 2 y0() y() y2() 0.8 y3() y4() 0.4 y5() y6() 0.4 y7() 0.8 X() f () Figura 4.. Sineização de uma senóide pela superposição de ondas quase reangulares obidas com a função DNAx.Noar que a freqüência do sinal resulane é igual a freqüência das ondas quase reangulares, e é o dobro da freqüência do sinal X().

48 f () sin( 2ω) sin2 ( ω ) f () cos4ω [ ( 0.) ] Figura 4.2. Forma de onda obida com a menor disorção harmônica, seguindo os criérios proposos no exo. Nese caso, a disorção harmônica oal ficou mais de 72dB abaixo do nível da senóide pura. Podemos concluir que exisem dois faores imporanes que auam sobre a disorção harmônica oal da onda senoidal:. Valor de n para deerminado número P de ondas reangulares, quano maior o valor de n maior será a disorção harmônica oal, o que é viso na comparação dos exemplos dados. 2. Número de ondas quase reangulares P para deerminado valor de n, quano maior o número de ondas quase reangulares P menor será a disorção harmônica oal da onda senoidal. Porano, quano maior for o número de ondas quase reangulares P e quano menor for o valor de n, menor será a disorção harmônica oal da onda senoidal.

49 f () sin( 2ω) sin( 2 ω ) f () sin( 4 ω ) 0.06 Figura 4.3. Com o aumeno no valor de n, houve acréscimo na disorção. Nese caso, a disorção harmônica oal ficou pero de 35dB abaixo da ampliude da senóide VISUALIZAÇÃO NO OSCILOSCÓPIO Efeuaram-se as verificações experimenais das várias formas de onda descrias na secção anerior. Na Figura 4.5 esá mosrado o diagrama em blocos do processameno proposo. As reproduções no osciloscópio esão apresenadas na Figura 4.4, com as nomenclauras geradas pelo próprio aparelho. Todos os sinais foram obidos com um processador e um programa de compuador desenvolvido pela Rohde & Schwarz, que omavam os dados do Mahcad na saída serial do compuador e geravam um sinal elérico proporcional aos dados numéricos calculados.

50 f ().979 sin( 2ω) sin( 2 ω ) f ().6 0 sin( 4 ω ) 0.6 Figura 4.4. Nova forma de onda, com maior valor de disorção harmônica, em função do número finio de ondas reangulares uilizadas. Nese caso, em-se uma disorção harmônica oal de aproximadamene 25dB. ) Two Channel Funcions Arbirary Wave Generaor, Clock Rae Max. 00MHz, 256 Kb Memory. Model: Rohde & Schwarz Am300 2) Waveform Composer Sofware For Arbirary Generaor Am300 Pc Sysems Windows 2000xp. Model: AM300-3) K2

51 36 Slew Rae Frequency d n a x DNAx Cell # + - Phase Ampliude d n a x DNAx Cell # nn + - Figura 4.5. Diagrama em blocos com as células DNAx para geração de sinais senoidais Top: Dnax Sq-Sine P8N3 (THD -25db) + SIGNAL BLANK LINE Boom: Dnax Sq-Sine P8N3 THD Paern & -45db Ref. NOISE BLANK LINE Figura 4.6. Na pare superior em-se o resulado da soma das ondas reangulares e na pare inferior apresena-se a forma de onda gerada pela disorção harmônica para n = 3.

52 37 Top: DNAx Sq-Sine P8N2 (THD -34dB) + SIGNAL BLANK LINE Boom: DNAx Sq-Sine P8N2 THD Paern & -45dB Ref. NOISE BLANK LINE Figura 4.7. Na pare superior em-se o resulado da soma das ondas reangulares e na pare inferior apresena-se a forma de onda gerada pela disorção harmônica para n = 2. Top: DNAx Sq-Sine P8N THD -70dB Boom: DNAx Sq-Sine P8N400 Figura 4.8. Na pare superior em-se o resulado da soma das ondas reangulares para n = e na pare inferior apresena-se a forma de onda gerada pela soma das ondas reangulares com n = 400.

53 38 DNAx Sq-Sine P8N & DNAx Sq-Sine P8N400 Overlap Figura 4.9. Superposição das ondas aneriores para n = e n = 400, demonsrando que os valores são coincidenes em freqüência e ampliude, porém com formaos diferenes. Top: DNAx Sq-Sine P8N THD -70dB Boom: DNAx Sq-Sine P8N3 THD -25dB Figura 4.0. Comparação enre as ondas senoidais com -70dB e com -25dB de disorção harmônica oal. Em algumas das imagens acima, deixou-se pare do sinal gerado inerrompido de forma proposiada, para comparação com o nível de ruído do equipameno. Observa-se que a geração com n = apresena disorção harmônica oal próxima desse nível de ruído.

54 4.4. MODULAÇÃO POR TEMPO DE SUBIDA OU DE DESCIDA 39 Aravés da écnica DNAx, podemos prever um ipo de modulação ainda não uilizada na práica, na qual se procura conrolar os empos de subida e de descida de um pulso. A idéia da modulação por empo de subida consise em esabelecer um sisema que gera uma onda poradora reangular aravés de uma célula DNAx. Um sinal modulane que pode ser zero ou um, aplicado a célula DNAx, provoca mudança no empo de subida ou descida da onda reangular, a cada semiciclo. Embora seja possível prever uma elevada axa de modulação, será necessário um aprimorameno das bases eóricas e experimenais para idenificar as limiações do processo. A descrição a seguir dá uma visão clara do processo proposo, na qual foi possível conrolar os empos de subida e de descida a parir da especificação dos parâmeros associados à função DNAx. Noa-se que o empo de descida ficou menor do que o empo de subida e serão procuradas aplicações possíveis para esa propriedade. π π a :=.5 p := b :=.5 m := 00 d := 0.5 k := C:= 4 Q:= nx ( ) Q [ b sin[ k ( x d) ] ] m [ b sin[ k ( x d) ] ] m := + + C yp( x) := a sin( p x) ( ) nx ( ) a sin( p x) + ( ) nx ( ) 20 nx ( ) 20 yp () x Figura 4.. Sinal em que se conrolou o empo de descida da poradora com o sinal modulane incorporado na função DNAx. x 4.5. ALGUMAS FORMAS DE ONDA COMPLEXAS OBTIDAS COM A DNAx Diversas formas de onda f() foram inseridas na janela da função DNAx, cujos resulados esão na figura a seguir, com o desaque para as condições sob as quais foram

55 40 geradas. Para odos os gráficos, impuseram-se os valores a = e n. Os resulados indicam que a janela pode ser empregada para apresenar uma amosra de um inervalo da função, independene da forma de onda original. Traa-se de uma pare conrolada da função desejada a parir da especificação do valor de a. Nas apresenações, foi possível selecionar o número de ciclos de uma senóide usando esa propriedade, garanindo o formao original, sem disorções no inervalo considerado. Iso é possível para o valor de n, pois para ouros valores poderão ocorrer disorções principalmene nas proximidades dos limies da janela. Foi possível gerar ouras formas de onda e mesmo deslocar uma forma original no empo. ( ) f( x) := cos 2πx ( ) fx ( ) := sin 4πx DNAx Type A Transform 2 DNAx Type D Transform 2 yx ( ) fx () y( x) fx ( ) fx ():= x 2 (a) x DNAx Type D Transform 2 hx () (b) 2 x DNAx window ransform yx () y w () x fx () y ww () x x x (c) (d)

56 f() x := ( x 3 ) y( x) fx ( ) DNAx Type A Transform a:= 2 d := fx ( ) := sin 2πx y( x) fx ( ) ( ) DNAx Type D Transform (e) 2 x Figura Diferenes formas de onda inseridas na janela DNAx, que permiem operações maemáicas como inegrações, diferenciações, ec., em limies preesabelecidos. (f) 2 x

57 42 CAPITULO V COMENTÁRIOS E CONCLUSÕES 5.. COMENTÁRIOS GERAIS Nese capiulo, apresenaremos algumas das possíveis aplicações para a função DNAx definida que deverão ainda ser esudadas e desenvolvidas, mas que já se em uma sólida indicação de que são passíveis de aplicação. A função DNAx foi calculada para ser analógica, conínua, diferenciável e inegrável em odo seu inervalo de validade para que se possa uilizá-la na sínese de ouras funções. Como vimos nos capíulos aneriores, conseguimos gerar pulsos, ondas reangulares e criar janelas operacionais que permiem ober formas de ondas especiais, odas conroláveis. Foi possível, ambém, sineizar ondas senoidais a parir de ondas reangulares, sugerindo uma enorme possibilidade de uilizações. Foi possível, por exemplo, conrolar as disorções das senóides. Podemos afirmar que conhecemos melhor as ondas senoidais pois podemos gerá-las e conrolar sua disorção por meio do ajuse de ermos conhecidos que as corrigem. Nese capiulo, abriram-se ambém algumas possibilidades que poderão levar à criação de novos ipos de modulação como será proposo. E uma das propriedades que mais poderão razer desenvolvimeno é a ransformada que possibilia mapear uma seqüência de bis para um polinômio equivalene e vice-versa a parir daqui a chamaremos ransformada P. A ransformada P permiirá a criação de novos códigos, compressão, encripação, ec.. Mais adiane apresenaremos um algorimo simples que mosra a viabilidade deses desenvolvimenos, que ainda requerem esudos de acordo com as aplicações e necessidades. Ese desenvolvimeno maemáico mosra-se muio eficaz em diversas aplicações da engenharia, simplificando algumas operações e criando ouras possibilidades. O adveno dos processadores digiais e de aplicaivos compuacionais permiiram equacionar os problemas ecnológicos e de engenharia com novos enfoques e a écnica DNAx aparece como um recurso muio úil para esas soluções.

58 SUGESTÕES PARA FUTUROS DESENVOLVIMENTOS E APLICAÇÕES Proporemos alguns caminhos a serem seguidos na aplicação da écnica DNAx para desenvolvimeno e criação de novos sisemas aplicáveis em diversos ramos da engenharia, em paricular o volado para as elecomunicações. Nesa aplicação, desacam-se os assunos relaivos à compressão e encripação de sinais aravés da ransformada P e a possibilidade da criação de uma nova maneira de ransmiirem dados a uma ala axa de bis por ciclo. Exise, ainda, a possibilidade de sineização de sons a parir de correspondenes formulações maemáicas, que represenem vogais e sílabas. Uma idéia de encripação uilizando a propriedade de ransformada da écnica DNAx pare do princípio que esa propriedade permie ransformar qualquer seqüência de bis no domínio do empo (TD) em um polinômio no domínio maemáico (MD). A ilusração abaixo mosra uma seqüência de bis de quaro pulsos que pode ser represenada por um polinômio de quaro raízes reais. Quando o polinômio for aplicado na célula DNAx, como mosrado no Capíulo 3, ele faz com que apareça uma seqüência de quaro pulsos, cada um correspondene a uma raiz do polinômio. Uma proposição seguiria o algorimo descrio a seguir. Seqüência de encripação usando a écnica DNAx. Converer a seqüência de bis no domínio do empo (TD) em um polinômio função de x usando qualquer processo maemáico que relacione a raiz do polinômio com os pulsos da seqüência de bis. No exemplo foi usado um méodo de relacionar direamene a posição de um pulso a uma raiz real do polinômio P(x). Poderão ser usadas raízes complexas ou reais. 2. O segundo passo é definir um polinômio chave P k (x) que operará sobre P(x). 3. Defina quais operações serão execuadas enre P(x) e PK(x); aqui nese pono aparece ambém a possibilidade de se comprimir as informações pela diminuição conrolada do numero de bis que serão resulanes desa operação. 4. O polinômio resulane será P r (x), que conenha a informação encripada e/ou compacada.

59 44 ConversãoTD/MD : Seq. de Bis Polinômio Operações Maemáicas: Operações Polinomiais Primeira Encripação Conversão MD/TD: Polinômios Seq. de Bis 2 DNAx[P(x)] DNA6 ( x ) P(x) P6 ( x ) Time Domínio Domain do empo Pn(x) operaed by DNAx Technique 0 Domínio maemáico Mah Domain x 6 Figura 5.. Represenação dos pulsos no domínio do empo e no domínio maemáico para a aplicação proposa e uma ilusração do algorimo proposo. Conversão do domínio do empo para o domínio maemáico. Gera-se uma seqüência de números correspondenes a cada esado lógico da seqüência de bis. Pode-se usar uma seqüência naural de números ineiros ou números relaivos. Também se pode usar uma série numérica qualquer, resulando em uma encripação mais robusa. 2. No exemplo abaixo, escolheu-se o esado lógico para ser represenado pelas raízes do polinômio, que indicam as posições do bi na seqüência ao longo da linha do empo. 3. Na abela abaixo represena-se a o polinômio P(x) com sua seqüência de bis 0000 para a écnica DNAx. Iso é possível de se er na práica aravés de microprocessadores e aplicaivos maemáicos. Tabela 5.. Polinômio P(x) do exemplo de aplicação com sua seqüência de bis. Seq. de Bis Seq. de números Escolha das raízes P x = x x 3 x 5 x 8 Polinômio resulane ( ) ( )( )( )( ) Polinômio resulane P ( x) = x 7 x + 95 x 99x + 20

60 45 Figura 5.2. Seqüência de bis relaivos aos polinômios P(x) e Pk(x) conforme expliciados no exo. O polinômio P(x) obedece à seqüência 0000 e o P k (x) obedece à A encripação no domínio maemáico (MD) Desde que P(x) é a represenação da seqüência de bis, orna-se possível a operação apresenada a seguir.. Pode-se proceder a qualquer raameno maemáico com P(x). 2. Podemos criar ouro polinômio que será chamado polinômio chave P k (x) e realizar qualquer operação maemáica enre P(x) e P k (x). A escolha das operações dependerá do algorimo desejado e dos objeivos a serem alcançados. Poderemos esabelecer uma finalidade, não apenas de encripação, mas ambém de compressão simulaneamene, ou somene compressão, ec.. A figura a seguir é uma seqüência de bis relaivos a P(x) e P k (x), respecivamene, segundo uma escolha conveniene dese úlimo. O resulado das operações enre P(x) e P k (x) será P r (x) que possuirá raízes resulanes das operações e proporcionará uma oura seqüência de bis. Por exemplo, P( x) Pr ( x) = (5.) Pk ( x)

61 Algorimo de desencripação DNAx 46 O processo de desencripação de P r (x) requer o conhecimeno de P k (x) e dos parâmeros da função DNAx. O algorimo é exaamene o inverso do apresenado na encripação. Conudo o rabalho só esará erminado se obivermos a seqüência de bis a parir de P r (x). Conversão TD/MD: Seq. de Bis Polinômio Operações Maemáicas : Operações inversas com polinômios Desencripção Conversão MD/TD: Polinômio Seq. De Bis Figura 5.3. Visualização da encripação/compressão da seqüência de bis gerada a parir do polinômio P(x). A segunda seqüência de bis é proporcional a P r (x). Conversão do Domínio da Maemáica para o Domínio do Tempo (MD/TM) Para converermos o polinômio Pr(x) em uma sequência de bis (sinal elérico) S(), usaremos a equação DNAx, que poderá ser uma célula formada por circuios, como apresenado no Capíulo 3, ou resulado de processameno por programa de compuador adequado, como mosrado no Capíulo 4. Nese pono