Métricas adequadas para determinarmos Comprimentos e Ângulos?

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1 Se Terr não é Pln, quis são s elções Métris dequds pr determinrmos Comprimentos e Ângulos? Celso M. Dori mdori@mtm.ufs.r O pregdor há de ser omo quem semei, e não omo quem ldrilh ou zulej... O rústio h doumentos ns estrels pr su lvour e o mrente pr su nvegção e o mtemátio pr s sus oservções e pr os seus juízos. De mneir que o rústio e o mrente, que não sem ler nem esrever, entendm s estrels; e o mtemátio, que tem lido quntos esreverm, não lnç entender qunto nels há.- P e. Antônio Vieir Sermão d Sexgésim [5]. 1 Introdução Se primeir impressão foi de que Terr er pln, nd mis nturl do que desorir, primeirmente, que num triângulo retângulo ABC fig. 1 uj hipotenus mede e os tetos medem e, que o qudrdo d hipotenus é igul som do qudrdo dos tetos, ou sej, 2 = A identidde 1.1 é expressão do fmoso Teorem de Pitágors. Deorre do Teorem de Pitágors que num triângulo ABC qulquer, ujos ldos medem, e, e ujos ângulos internos medem α, β e γ, onforme indi figur 2, que 2 = osα 2 = osβ, 2 = osγ. 1.2 Porém, Terr não sendo pln impli que s identiddes im não são s mis dequds pr relizrmos medições sore superfíie do nosso 1

2 C C γ γ β β α B A B A Figure 1: triângulo retângulo Figure 2: triângulo ABC plnet. É lro, experiêni mostr que qundo s medids relizds são pequens em relção o rio d Terr, então os resultdos otidos pels identiddes 1.1 e 1.2 são stnte preisos. É í que omeçm os prolems, um vez que neessidde de relizrem-se medids de long distânis sore Terr é inevitável. O ojetivo deste rtigo é desrever s relções métri em triângulos esférios e mostrr um método de otê-ls. Se ssumirmos que Terr é um esfer, o prinipl prâmetro ser determindo é medid do seu rio. 2 io d Terr 2.1 Medid do io d Terr Por volt de 250.., o grego Ertóstenes , migo de Arquimedes e onheido omo Bet, por ser o segundo melhor em tudo, desenvolveu um método muito simples pr lulr medid d irunferêni d Terr. Hoje em di semos que é de km. Considerndo que n épo não se si qul er o formto d Terr, podemos omprr o álulo de Ertóstenes à otenção de um respost pr questão tul sore o formto do Universo espço-tempo. Ertóstenes exeri o rgo de dministrdor d Biliote de Alexndri, no Egito, onde hvim vários pergminhos om onheimentos diversos, dentre os quis os dquiridos pelos Gregos e pelos Egípios. À proximdmente 800 km o sul de Alexndri hvi um idde, denomind n épo de Syene e hoje onheid omo Aswn, onde Ertóstenes si que posição do Sol, o tingir o zênite no solstíio, er vertil. N fig. 3, o ponto A orresponde à idde de Syene enqunto o ponto B à Alexndri. Ertóstenes onluiu que lhe stv onheer o ângulo α e 2

3 TEA O B α A β SOL Figure 3: Alexndri e Seyne, α = β distâni Aswn-Alexndri pr estimr irunferêni d Terr. Isto porque ele onhei s fórmuls AB =.α = AB α e C = 2π., d onde C = 2π. AB α. 2.1 Ests fórmuls, onsiderds evidentes nos dis de hoje, erm grosseirmente deduzids e não dispunhm de um representção lgéri dequd pr mnipulá-ls, tornndo o onheimento e s plições essíveis pr pouos. A idéi de Ertóstenes foi determinr o ângulo α, o que ele fez onsiderndo s seguintes hipóteses: 1. A Terr é um Esfer, ssim omo Lu. 2. Os rios do sol hegm à Terr prtimente prlelos; 3. O minho que perorre menor distâni entre Alexndri e Aswn, se ontinudo, desreve um irunferêni igul de um grnde írulo Equdor Dest form, Ertóstenes simplifiou o prolem d determinção do ngulo α. No instnte em que o rio de Sol tinge o ponto A ortogonlmente, o mesmo rio o tingir o ponto B form um ângulo β om um est find ortogonlmente o hão. N figur, oservmos que os ângulos α e β são iguis, um vez que ângulos opostos pelo vértie são ongruentes, ssim omo ângulos orrespondentes tmém são. Ertóstenes mediu β = π 25 e AB = estádios 1, d onde C= = estádios. Considerndo que 1 estádio orrespondi 157,5 metros, segue que C = Km e = 6.266, 71 km. Apesr do método utilizdo ser pouo preiso, o resultdo otido é exelente pois o omprá-lo 1 unidde de distâni utilizd n Gréi ntig 3

4 om medid tul de = 6.378, 11 km, otido prtir dos km de irunferêni, o erro é d ordem de 111 km 1, 75%. Se tl extrordinário resultdo pode ser feito onheendo-se pens est simples propriedde de linhs rets, que de ert form é evidente, quntos grndes prolems são esperdos de um profundo onheimento d geometri? Est questão não pode oorrer um mente inquisidor d verdde; é fundmentl determiná-l não perder tempo em dquirir o onheimento - Mlton se. 18, New oyl od to Geometry 2 o. Método Os Gregos onheim um segundo método pr o álulo d irunferêni d Terr utilizndo um estrel fix no éu, em vez do Sol. Este 2 o. método é triuído Posidonius , tutor de Ciero. Posidonius oservou que qundo estrel Cnopus enontr-se no horizonte sul de hodes, el vist de Alexndri, o sul de hodes, enontr-se im do horizonte formndo um ângulo de π 24, omo mostr figur 4. Pr plir este novo método, Posidonius teve que ssumir s seguintes hipóteses; 1. O ro, sore superfíie d Terr, ligndo hodes e Alexndri enontr-se sore um grnde írulo, 2. Os rios de luz vindos de Cnopus hegm à Terr prlelos, TEA C O α β A γ CANOPUS Figure 4: Método de Posidonius, α = θ 4

5 Posidonius oservou que o ângulo entrl α medi π 24, o que impli, pelo mesmo rioínio de Ertóstenes, que onheendo-se o omprimento do ro A de Alexndri hodes, irunferêni d Terr seri de C = 48.A. Entretnto, Alexndri está seprd de hodes pelo Mr Mediterrâneo, donde hvi grnde difiuldde em determinr o vlor de A. Com enorme inonsistêni, Posidonius utilizou o álulo de Ertóstenes que hvi estimdo A = 3750 estádios. Consequentemente, pelo método de Posidonius, irunferêni d Terr mede C = estádios; ou sej C = km. Dest form, o erro otido é d d ordem de 7%, muito mior do que o otido por Ertóstenes. Todo este esforço mtemátio só teri sentido se os vijntes e nvegdores reditssem no fto de que Terr é um esfer. Sem duvid, o sermos o vlor do rio d terr, fi mis simples otermos s distânis, pois o vlor de π já er onheido om preisão de 2 ss deimis. 2.2 Aplição vlor de estádios km, divulgdo pelo trlho mplmente onheido do geógrfo Grego Stro d.., levou onsequênis mis profunds do que qulquer outro erro geométrio já ometido. Colomo usou medid otid por Posidonius pr rgumentr viilidde de su propost de lnçr s Indis ngevndo pr o Oeste. Colomo expôs su propost pr sáios d épo que reditvm n hipótese do Mundo ser redondo, e que erm enrregdos pr deidir se vigem sore o imenso oeno em pequenos ros de mdeir tinh hne de suesso. Eles não estvm preoupdos se os ros poderim ir em lgum espéie de penhso no fim do Mundo, eles de fto proupvm-se om possiilidde do podreimento dos ros e do srífiio d tripulção que orreri risos de morrer de fome e de sede. A deisão dependi d estimtiv pr provável distâni que s nus nvegrim, qul dependi ds estimtivs feits sore irunferêni d Terr. Colomo defendeu su tese pr os onselheiros do ei e inh de Espnh itndo o grnde strônomo e geográfo Ptolomeu que viveu muitos nos pós Ertóstenes, Posidonius e Stro. De ordo om Ptolomeu, um vijnte que omeçsse su vigem do ponto mis Oeste no ontinente europeu, situdo no Co de São Viente em Portugl, e rumsse Leste, sore um mesmo prlelo, té retornr o ponto de prtid, fri primeir prte d vigem por terr e segund por mr. Isto signifiri que s terrs O 2 2 trdução do texto em [2] 5

6 dos ontinentes europeu e siátio oupvm er de 180 o de um prlelo no hemisfério norte. N figur 5 temos que O é o entro d Terr enqunto sore o mesmo C V prlelo temos os pontos V e C orrespondendo o o de São Viente e o extremo leste n Chin, respetivmente V C = 180 o. De ordo om teori de Ptolomeu, hvi muit águ entre Chin e Portugl, o que não serviri pr os rgumentos de Colomo. Assim, ele fez uso d estimtiv purmente espeultiv de um strônomo grego hmdo Mrinus de Tyre, quem Figure 5: Conforme Ptolomeu AV = 180 o Ptolomeu hvi itdo pens pr ritiá-lo. Seguindo Mrinus, Colomo supôs que distâni entre os pontos V e C, por terr, er de 225 o. Portnto, o ponto C foi deslodo pr C 1 n figur 6. Oservndo um tls moderno, oserv-se que distâni, em grus, dos extremos dos ontinentes sore o prlelo em que enontr-se V, é d ordem de 120 o ; o que impli que distâni por mr é d ordem de 240 o. De ôrdo om estimtiv de Colomo, distâni por mr seri de 360 o 225 o = Utilizr estimtiv de Mrinus foi um dos muitos rtfíios que Colomo usou pr diminuir distâni por mr às Índis. Grçs invenção d imprens, por volt de 1450, pelo lemão Johnnes Gutenerg, o livro do merdor venezino Mro Polo, desrevendo s sus vigens por terr o oriente, hvi sido pulido. Colomo hvi dquirido um ópi do livro de Mro Polo; este exemplr, sore o qul Colomo C C1 Figure 6: Conforme Mrinus C 1 V = 135 o notv, ind existe. As notções mostrm omo ele foi diminuindo distâni pr lnçr s Índis nvegndo pr Oeste. De ordo om Mro Polo, om um pouo de ex- V 6

7 gero, distâni, em grus, de V o ponto no extremo leste d Chin, sore o prlelo, lolizv-se 28 o mis fstdo do que estimtiv de Mrinus, deslondo o ponto C 1 pr o ponto C 2, omo indi figur 5. Dest form, distâni por mr seri de fto de 360 o 225 o + 28 o = 107 o. Mro Polo firmou que e s Indis fivm em lgum lugr próximo CipngoJpão, o qul Colomo estimou omo 30 o mis leste d Chin. De ôrdo om o relto de Mro Polo, Cipngo deveri enontrr-se onde está mrd letr J n figur 7. Consequentemente, distâni por terr de V C seri de 225 o + 28 o + 30 o = 283 o, d onde onlui-se que o ro JV tem distâni em grus dd por 360 o 283 o = 77 o ; orrespondendo distâni por mr do Co de São C C1 C2 J Figure 7: JV = 60 o, de ôrdo om Viente Cipngo. Espertmente, Mro Polo Colomo plnejou prtir ds Ilhs Cnáris, s quis enontrvm-se, segundo estimtivs d épo, proximdmente 9 o oeste do o de São Viente, o que impliri que à distâni ser nvegd seri de uns 68 o, desprezndo-se o fto ds Ilhs Cnáris não se enontrrem sore o mesmo prlelo que o Co. Aprentemente, Colomo não tinh preisão omo um ds sus virtudes. Instisfeito om os 68 o otidos, ele resolveu ortr mis 8 o do seu minho. Assim, Colomo nuniou o omitê, espntdo pelos rgumentos presentdos, que ele hegri às Indis ngevndo 60 o Oeste ds Ilhs Cnáris, o que orresponderi 1/3 d estimtiv de Ptolomeu, que n épo ind gozv de grnde prestígio. V C V C1 C2 J K 23 o Figure 8: JK = 68 o, K= Ilhs Cnáris e θ = 23 o Pr disutir viilidde d vigem, er neessário trnsformr distâni 7

8 estimd em 60 o grus pr quilômetros. Aqui o erro de Posidonius umpriu su função dentro dos ojetivos de Colomo. Considerndo que irunferêni d Terr luld por Posidonius er de estádios, os 60 o ngevdos sore o equdor orrespondem d = = estádios, 360 ou, em km, d = 4.725km. No entnto, Colomo não pretendi nvegr o longo do Equdor, ms o longo de um prlelo de ltitude, o que resultri num distâni ind menor. Pr lulr o rio de um írulo de ltitude é neessários ser que ltitude ds Ilhs Cnáris é de 23 o. Isto signifiri que distâni deveri ser d ordem de km. Colomo onluiu su exposição o omitê dizendo que O finl d Espnh e o omeço ds Indis não enontrm-se muito distntes, o mr que os sepr é nvegável em pouos dis tendo ventos fvoráveis; ele estimou vigem em 30 dis. Estes dizeres estão grvdos em um ds notções feits ns mrgens de um livro seu sore osmogrfi. Tendo Colomo omo Almirnte, esqudr formd pels rvels Snt Mri, Niñ e Pint, prtiu ds Ilhs Cnáris em setemro de 1492 e, em 33 dis, no di 12 de outuro de 1492, lnçou terr um distâni de 57 o Oeste do ponto de prtid, onforme previsto por Colomo. Ests terrs não fzim prte do Jpão, ms de um Mundo Novo. 3 elções Métris Esféris 3.1 Distâni sore Esfer Um vez que Terr não é pln, os xioms d geometri euliden e s sus onsequênis não podem ser empregds pr otermos relções métris entre omprimentos e ângulos sore esfer. A diferenç entre s geometris fi evidente qundo oservrmos que não há rets sore um esfer. No que segue, vmos ssumir que Terr é um esfer; de fto, Terr é htd nos pólos. Sendo ssim, vmos strir o prolem pr superfíie de um esfer om rio. Um esfer de rio entrd n origem é o onjunto dos pontos S 2 = {x, y, z 3 x 2 + y 2 + z 2 = 2 }. 8

9 Pr melhor desrevermos os pontos sore esfer S 2 introduzimos oordends esféris; Um sistem de oordends esféris sore S 2 é um pr U, φ tl que U S 2 é um suonjunto erto de S 2 e φ : 0, 2π 0, π U é um difeomorfismo 3. Exemplo: Sejm N = 0, 0, 1 e S = 0, 0, 1 os pólos norte e sul e l = {x, 0, z x 2 + y 2 = 1, x 0}. Considere U = S 2 {N, S} l e φ : 0, 2π 0, π U definid por φθ, ψ =.osθsenψ, senθsenψ, osψ. 3.1 Neste so, temos que U, φ é um sistem de oordends sore S 2 e, se p = φθ, ψ, s oordends esféris de p = x, y, z S 2 são θ, ψ fig. 9. Os pontos p, q S 2 definem o plno π pq, que ontém origem e é gerdo pelos vetores op e oq; π pq = {s. op + t. oq s, t }. A interseção de S 2 om π pq é um irunfêreni que denominmos de equdor e denotmos por e pq. Além disto, os pontos p e q dividem o equdor e pq em dois ros e 1 pq e e 2 pq denomindos segmentos. Pr otermos relções métris sore S 2 ssumiremos os seguintes xioms; Axiom Ddos dois pontos p, q S 2 existe um únio equdor e pq S 2 tl que p, q e pq. Axiom Os pontos p e q dividem o equdor e pq em dois segmentos e 1 pq e e2 pq. Axiom A distâni esféri entre dois pontos distintos p, q S 2 é d S 2 p, q = infle 1 pq, Le 2 pq. Axiom Pr qulquer pr de equdores e 1 e e 2 há um trnsformção f : S 2 S 2 que preserv s distânis entre pontos de S 2 e fe 1 = e 2. 9

10 z p ψ p q Ω φ y O x Figure 9: oordends esféris Figure 10: distâni esféri Ao supormos que o ângulo entre os vetores op e oq mede Ω, distâni entre p e q fig. 10 é dd por < op, oq > d S 2 p, q =.Ω =.ros 3.2 Vmos onsiderr que, em oordends esféris, os pontos p, q S 2 são desritos por 2 p =.osθ p senψ p, senθ p senψ p, osψ p, q =.osθ q senψ q, senθ q senψ q, osψ q. Ao sustituirmos n expressão 3.2 otemos seguinte fórmul pr distâni: θ d S 2 p, q =.ros os θ.os ψ + 2sen 2.osψ p.osψ q, onde θ = θ q θ p e ψ = ψ q ψ p. Se supormos que p pertene o plno-xy, isto é, ψ p = π/2, segue que d S 2 p, q =.ros os θ.os ψ. 3.4 De ordo om o xiom 3.1.4, existe um trnsformção em S 2 preservndo distâni e levndo p o ponto 1, 0, 0. Assim, podemos ssumir que p pertene o plno-xy e ψ p = π/2. Portnto, distâni entre os pontos p e q sore S 2 stisfz identidde 3 função difereniável que é um ijeção e uj invers tmém é difereniável 10

11 ds os 2 p, q = os θ.os ψ. 3.5 ω ω ω Figure 11: ângulo entre segmentos Definição 1. O ângulo formdo por dois segmentos é igul o ângulo formdo pelos plnos que ontém os segmentos fig Triângulos Esférios Os pontos A, B e C sore S 2, qundo não pertenem um mesmo equdor, definem um triângulo ABC esfério. Assim omo n geometri euliden, n geometri esféri existem relções entre s medids dos ldos om s medids dos ângulos de um triângulo. Teoremx Teorem de Pitágors Esfério - Sej ABC um triângulo geodésio sore esfer S 2 tl que no vértie A o ângulo sej retângulo. Suponh que hipotenus mede, o ldo oposto à B mede e sej medid do ldo oposto à C. Então, os = os.os. 3.6 Proof. De ordo om o Axiom 3.1.4, podemos onsiderr o ldo AB sore o equdor ψ = π/2. Em prtiulr, podemos ssumir que A = 1, 0, 0, C = sen π 2 B = os, 0, os, sen π 2., 0 e 11

12 Portnto, < OB, OC >= os = os.os. Conforme dito nteriormente, noss experiêni otidin mostr que expressão 1.1 é dequd pr resolvermos prolems de medição qundo, por exemplo, queremos medir s dimensões de um onstrução, ou de terrenos e té s distânis dentro de um idde. Sendo ssim, identidde 1.1 deve ser otid prtir de 3.6 qundo os ldos, e do triângulo são muito pequenos em relção o rio. Por exemplo, pr um segmento AB medindo 10 metros 10 sore superfíie d Terr temos que 6378,11 A C α γ Figure 12: triângulo retângulo 1 mm. Vejmos o que oorre o ssumirmos n identidde 3.6 que 0, 0 e 0. Segue ds séries de Tylor d funções osseno e seno que β B onde 0 os = o 2 4, 3.7 sen = o o lim 4 0 = 0. 2 As proximções 3.7 e 3.8, qundo plids à identidde 3.6, resultm em Consequentemente, [ 2 + o 4 = 1 1 ] 2 [ + o o 2 4 ] 4 12

13 = [ o 4 + [o o o Assim, se, e, então , sendo que no limite 0, 0 e 0 2 = o 4 ] o 4 ] o Portnto, o Teorem de Pitágors eulideno deve ser plido qundo os ldos do triângulo são muito pequenos em relção o rio, emor ele só vle ns situções limites desrits im ou qundo, e são fixos e. Agor, vmos onsiderr um triângulo qulquer. Proposição Lei dos Cossenos - Sej ABC um triângulo esfério em S 2 om ângulos internos medindo α, β e γ e ujos ldos opostos medem, e, respetivmente. Então, osα = os os os sen.sen, osβ = os os os sen.sen, osγ = os os os sen.sen Proof. Sem perd de generlidde, suponh que A = 1, 0, 0, B = osθ B senψ B, senθ B senψ B, osψ B C = osθ C, senθ C, Assim, 13

14 os = < OB, OC >= osθc θ B senψ B, os = < OA, OC >= osθc, 3.13 d onde segue que, os = < OA, OB >= osθb senψ B ; sen = os 2 ψ B + sen 2 θ C θ B sen 2 ψ B sen = os 2 ψ B + sen 2 θ B sen 2 ψ B Os vetores OA n AB = OB = 0, osψ B, senθ B senψ B OA OB os 2 ψ B + sen 2 θ B sen 2 ψ B OB n BC = OC = osψ Bsenθ C, osψ B osθ C, senθ C θ B senψ B OB OC os 2 ψ B + sen 2 θ C θ B sen 2 ψ B OC n CA = OA = 0, 0, 1 OC OA 3.15 determinm os plnos π AC, π AB e π BC, respetivmente. Considere {n AB, n BC, n CA } um se orientd de 3. Um vez que, osα = < n AC, n AB >, osβ = < n AB, n BC >, osγ = < n AC, n BC >, otemos senθ B senψ B osα = os 2 ψ B + sen 2 θ B sen 2 ψ B os 2 ψ B osθ C senθ C θ B sen 2 ψ B senθ B osβ = os 2 ψ B + sen 2 θ B sen 2 ψ B os 2 ψ B + sen 2 θ C θ B sen 2 ψ B senθ C θ B senψ B osγ = os 2 ψ B + sen 2 θ C θ B sen 2 ψ B

15 D relção 3.13, temos os =os senθ C θ B senψ B =sen e, onsequentemente, os + sen os os senθ B senψ B = os os os sen senθ C θ B senψ B = os os os sen. senθ B senψ B senθ B senψ B, As expressões 3.18 plids à 3.16 resultm ns seguintes identiddes: osα = os os os sen.sen, osγ = os os os sen.sen Anlogmente, identidde pr o osβ é otid prtir d situção n qul os vérties do ABC são A = 1, 0, 0, B = osθ B, senθ B, 0 C = osθ C senψ C, senθ C senψ C, osψ C Neste so, otemos osβ = os os os sen.sen. Corolrio Lei dos Senos - Num triângulo esfério ABC, omo n proposição 3.2.2, vlem s identiddes senα sen = senβ sen = senγ sen

16 A seguir, omo no so do Teorem de Pitágors, vmos nlisr s expressões 3.11 qundo, e. Ao plirmos s proximções 3.7 e 3.8 à primeir expressão em 3.11, segue que: [ o 4 osα = 2 = + + ] 4 [ ] [ 4 o [ 1..o o ] 2 + o 4 ] [ [. 4 o 2 2.[o 4 o 4 o 4 ] [ 4 4 ] 4.o 4 +.o o 4 4.o o 4 4.o [2.o o 4 4 ] 1 4.o 4 2.o 4 [ ] 4.o 4 +.o o 4 4.o 4 4 ] 2 + o 1 2 ] 4 = + +. Portnto, no limite 0, 0 e 0 verifimos identidde 3.3 A Áre de um Triângulo Esfério 2 = osα 3.22 Um vez que s relções métris em triângulos esférios são simples, é nturl que hj um expressão pr áre. Um gomo em S 2 é um região limitd por dois segmentos η e ρ ligndo os pontos ntípods p = x, y, z e q = x, y, z, em S 2. Em d um dos vérties p e q, os segmentos formm um ângulo θ denomindo o ângulo do gomo. Um gomo om ângulo θ é equivlente, pelo xiom 3.1.4, à G α = {osθsenψ, senθsenψ, osψ 0 θ α, 0 ψ π}. Lem A áre de um gomo om ângulo interno θ, em S 2, é igul 2θ 2. Proof. Utilizndo oordends esféri temos que θ π A = 2. senφdφdθ = 2θ

17 Em prtiulr, se θ = 2π o resultdo 4π 2 dá áre d esfer. Teoremx A áre de um triângulo esfério ABC S 2, ujos ângulos internos medem α, β e γ, é A = 2. [α + β + γ π]. Proof. Sej A áre do triângulo, pelo lem nterior áre do gomo G α om ângulo α é A + A α = 2α 2, onde A α é áre d região omplementr o triângulo no gomo. Um vez que áre de S 2 é 4π 2 e que G α G β G γ é um hemisfério, segue que Consequentemente, e A + A α + A β + A γ = 2π 2 A + 2α 2 A + 2β 2 A + 2γ 2 A = 2π 2, A = 2. [α + β + γ π]. Figure 13: ângulo entre segmentos 17

18 eferenes [1] C.M.Dori, Geometri sore s Superfíies, nots. [2] J.L.Heilron, Geometry Civilized, Oxford, [3] Enilopédi Britâni, [4] Enilopédi Lrrousse Culturl, [5] Eugênio Gomes, VIEIA - Sermões, 3. -edição, Ed. Agir, Dr. Celso Melhides Dori UFSC, Depto. de Mtemáti Cmpus Universitário, Trindde Florinópolis - SC,