Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente, formlizremos este novo conjunto prtir dos inteiros. E justifictiv é mesm, utilizndo relções de equivlênci. Pr isto, construímos todos os pres ordendos compostos por números inteiros (ms cuj primeir entrd não sej zero). Após isto, seprmos os pres ordendos em conjuntos de modo que dois pres (, b) e (c, d) pertencem um mesmo conjunto cso d = bc. A figur seguir dá um idei de como se presentm esses conjuntos. Assim como no cso dos números inteiros, existe um pdrão que ocorre nos pres que estão num mesmo conjunto. Por exemplo, estão num mesmo conjunto os pres ( 3, 3), (, ), (, ), (, ), (, ),..., enqunto estão num mesmo conjunto os pres ( 4, ), (, ), (, ), (4, ),... De modo mis prático, considermos o conjunto dos números rcionis como os d form { } Q = Z, b Z \ {0}. b Ess primeir entrd do pr ordendo drá origem o denomindor, enqunto segund entrd drá origem o numerdor. Apesr de não ser um escolh nturl, definindo dest form teremos um construção comptível, por exemplo, com o conceito de inclinção de um ret.
3. Operções e ordem em Q e sus proprieddes Pr observr qundo que dois números rcionis são iguis, bst lembrr como que foi definido quele pr de números inteiros que dá origem os rcionis, restndo pens escrever este pr n form de frção: b = c d = bc. d Dizemos que um número rcionl está escrito num formto irredutível se não existe nenhum nturl primo que divid o numerdor e o denomindor simultnemente, ou sej, se o MDC entre o numerdor e o denomindor for (ou ind, se o numerdor e o denomindor forem coprimos). Como s frções b e b são iguis, podemos sempre escrever um frção com denomindor positivo. Além disso, note que equivle escrever o número inteiro, ou sej, todo elemento inteiro pode ser escrito como um rcionl. Dí, segue que Z Q. A fim de somr dois números rcionis, é sempre necessário que seus denomindores sejm iguis. Qundo est etp estiver pront, bst somr os numerdores e mnter o denomindor igul. b + c d = d bd + bc d + bc = bd bd Exercício 3.. Verifique que s igulddes são verddeirs e que o resultdo ind stisfz condição de ser um número rcionl. A multiplicção de rcionis ocorre de modo bem mis simples: bst multiplicr os numerdores e multiplicr os denomindores. b c d = c bd Exercício 3.. Justifique que o produto de rcionis ind é um número rcionl. O conjunto dos rcionis herd estrutur de domínio dos inteiros. Portnto, tods quels proprieddes já citds ind são válids. Existe um nov propriedde d multiplicção, importntíssim, que crcteriz Q: (M4 - Existênci de inverso) Pr todo x rcionl não nulo, existe y tl que x y =. Em gerl, escrevemos o inverso de um rcionl não nulo x como x. Proposição. Se, b 0, o inverso de b é b. Prov: b b = b b. Como b = b, então b b = =. Qundo um domínio de integridde possui propriedde M4 dizemos que este conjunto é um corpo. Portnto, temos que Q é um corpo. Proposição. Se um conjunto K stisfz s proprieddes A-A4, M-M4 e D, então ele é um corpo. Prov: Note que só flt mostrr que este conjunto não possui divisores de zero. Pr isto, suponh que existm, b K tis que b = 0. Cso sej zero, o nosso objetivo está concluído. Então podemos supor que 0. Como K stisfz M4, existe K tl que
=. Assim, o multiplicr pelo inverso de dos dois ldos e usndo ssocitividde d multiplicção, temos: ( ) b = 0. Do ldo esquerdo usmos definição do inverso e do ldo direito, conclusão d proposição 3 do cpítulo nterior e obtemos que b = 0. Portnto, concluímos que qundo 0, b deve obrigtorimente ser zero pr que se tenh que b = 0. Proposição 3. O inverso de um número, 0, é único. Prov: Suponh que existm dois inversos, e. Usndo s proprieddes d multiplicção, obtemos que = = ( ) = ( ) = =. Portnto, = e o inverso de é único. Exercício 3.3. Mostre que pr todo x 0 tem-se x = x e (x ) = x. Exercício 3.4. Prove que = e ( ) =. Exercício 3.5. Considere no corpo dos rcionis equção (x )(x + ) = (x 4). Encontre tods s soluções reis. Explique porque, de fto, pode firmr que encontrou tods s soluções. Exercício 3.6. Suponh que, b, c, d Q \ {0}. Mostre que: ) b = c d d b = c c = b d b) b = c = + c d b + d = b c) Se existe c 0 tl que b = + c, então = b. b + c Proposição 4. O elemento neutro d dição, o zero, não tem inverso. Prov: Suponh que 0 dmit inverso 0. Por outro ldo, como ele é elemento neutro d dição, tem-se + 0 = pr todo. Multiplicmos os dois ldos d iguldde por 0 e obtemos 0 + 0 0 = 0. Somndo o simétrico de 0 em mbos ldos, concluímos que = 0, o que é um bsurdo! Logo, 0 não dmite inverso. Proposição 5 (Lei do corte d multiplicção). b = c e 0 = b = c. Prov: Como 0, então ele tem inverso. Multiplicndo mbos ldos d iguldde por este número, temos (b) = (c) = ( )b = ( )c. Consequentemente, b = c. Exercício 3.7. Demonstre proposição 3 utilizndo lei do corte d multiplicção. Exercício 3.8. A lei do corte d multiplicção tmbém é válid pr o conjunto dos inteiros, ms su demonstrção não utiliz idei de inverso. Use propriedde d não existênci de divisores de zero pr concluir que lei do corte d multiplicção é válid em Z. A ordem dentro do conjunto dos rcionis não gnh proprieddes novs, seguindo o pdrão do conjunto dos inteiros. Entretnto, dptmos um pequeno trecho d definição de ordem e, consequentemente, d comptibilidde com multiplicção. Dois rcionis x e y são tis que x y se existe rcionl positivo p (isto é, tis que mbos numerdor e denomindor são positivos) tis que x + p = y ou se x = y. Pr comptibilidde com multiplicção, mntemos desiguldde cso multipliquemos mbs frções por um número positivo; cso sej um número negtivo, desiguldde mud de orientção, deix se ser e pss ser e vice-vers. 3
Exercício 3.9. Pr que rcionis x temos Exercício 3.0. Pr que rcionis x temos x + x? x 3 + 0? (x + ) 3 Exercício 3.. Pr que x Q temos x9 x 6 0? 3. Espçmento entre os rcionis Até gor, sempre existi um espçmento constnte entre os números, sejm eles nturis ou inteiros, já que distânci de um número outro é sempre um número nturl. Já no conjunto dos rcionis, não existe um distânci fix entre um número e outro. N verdde, entre quisquer rcionis existe sempre um infinidde de rcionis! Proposição 6. Ddo um rcionl, existe sempre um nturl mior que ele. Prov: Se b < 0, o zero já é um número mior que ele. Cso b > 0, divid por b. Do Algoritmo d divisão, existem q e r, com 0 r < b tis que = bq + r. Com isso, frção fic b = bq+r b = q + r b < q +. Assim, q + é um nturl mior que b. Proposição 7. Entre dois números rcionis quisquer existem infinitos rcionis. Prov: Considere e b rcionis, sendo < b. É suficiente mostrr que entre esses dois números há um terceiro rcionl. Mis especificmente, mostrr que +b é um rcionl entre esses dois números. Por outro ldo, < b = + < + b = < + b = < + b < b = + b < b + b = + b < b = + b < b. Logo, concluimos que < +b < b. Exercício 3.. Complete proposição nterior, mostrndo que: ) +b é um número rcionl. b) é suficiente construção deste número pr mostrr que existe um infinidde de rcionis entre e b. Exercício 3.3. Mostre que distânci entre e +b é mesm entre +b e b. Exercício 3.4. Sejm, b, c, d rcionis positivos e tis que c < d. Então, tem-se que c < c + bd + b < d. 4
3.3 Expnsão deciml dos rcionis Ao escrevermos os números rcionis n form deciml, é possível notr um propriedde bstnte interessnte, que logo será demonstrd. = 0, 5 3 = 0, 3 4 = 0, 5 5 = 0, 6 = 0, 6 = 0, 4857 7 8 = 0, 5 9 = 0, 0 = 0, = 0, 09 = 0, 083 = 0, 07693 3 4 = 0, 07485 5 = 0, 06 6 = 0, 065 = 0, 058835947647 7 8 = 0, 05 9 = 0, 05635789473684 = 0, 05 0 Teorem. A expnsão deciml de um rcionl é finit ou periódic. A expnsão deciml de b, com, b N \ {0} e e b coprimos3 é finit se e somente se os ftores primos de b são e/ou 5. Cso ocorrm outros ftores primos, então o período 4 possui no máximo b termos. Prov: Primeirmente vmos mostrr que se os ftores primos são e/ou 5, então expnsão deciml é finit. Pr isso, suponh que b = x 5 y, sendo x e y números nturis. Considere t = mx{x, y} e multiplique o numerdor e o denomindor de b por t x 5 t y. Com isso, obtemos: b = x 5 y = t x 5 t y x t x 5 y 5 t y = t x 5 t y t 5 t = t x 5 t y 0 t Note que, como t = mx{x, y}, ou o expoente de ou o do 5 (pens um desses expoentes) será nulo. Devido isso, não é possível simplificr frção e expnsão deciml possui t css decimis. Por outro ldo, se um frção possui outro termo no denomindor lém de ou 5, então não será possível trnsformr em um frção irredutível com denomindor que sej um potênci de 0. Assim, não ocorrerá expnsão deciml finit. Rest ind justificr que expnsão deciml é periódic. Pr concluir isso, lembre-se que pr determinr expnsão deciml, precismos fzer um divisão. Or, como divisão não termin (já que expnsão deciml não é finit), então os restos d divisão não podem ser todos diferentes, já que o resto é tl que 0 < r < b (não pode ser zero pois expnsão não é finit, lembre-se disso!). Eles podem, no máximo, ser diferentes té gstrmos o último, o (b )-ésimo. A prtir do próximo começm repetir os restos e, consequentemente, os resultdos notdos no quociente. Pr est últim prte do exemplo nterior, observe o que contece com expnsão deciml de 5 3 e 7 : 5 0 0 0 3.6 6 6 O símbolo α represent repetição sucessiv de um ciclo α. 3 Isto quer dizer que MDC(, b) =. 4 A prte que se repete n expnsão deciml. 5
0 3 0 0 6 0 4 0 5 0 0 3 0 0 6 7 0. 4 8 5 7 4 N primeir divisão, o resto é sempre, o que sempre dá origem 6 no quociente. Já n segund frção, note que os restos são, n ordem,, 3,, 6, 4, e 5 (tods os números possíveis). Depois disso, o próximo resto obrigtorimente é lgum que já preceu, ou sej, prte periódic prece. Neste cso, os restos continum ness sequênci, dndo origem o período 4857. Agor veremos como determinr frção prtir d expnsão deciml periódic. Est frção é conhecid gerlmente como frção gertriz. O princípio é sempre o mesmo: deixr, logo depois d vírgul, prte periódic e, em seguid, multiplicr por outr potênci de 0 pr obter novmente isto. Exemplo. Detemine um frção irredutível que represente 0, 3333... x = 0, 3333... 00x = 3, 333... Subtrindo primeir d segund equção, temos 99x = 3, ou sej, que x = 3 99. Exemplo. Determine um frção irredutível que represente, 53333... x =, 53333... 0x = 5, 333... 000x = 53, 333... Subrindo segund d terceir equção, obtemos 990x = 488, ou sej, x = 488 990 = 44 445. ATENÇÃO! No conjunto dos rcionis já não existe um correspondênci biunívoc entre eles e s expnsões decimis, como conteci nos inteiros e nos nturis. Nqueles conjuntos, é únic form de escrever o número um. Em Q pode existir mis de um form de representr um número. Por exemplo, 0, 999... = : x = 0, 999... 0x = 9, 999... Então 9x = 9 e, consequentemente, x = 9 9. 6
Exercício 3.5. Anlogmente, determine um outr expnsão deciml pr 0, 5 e mostre que, de fto, est expnsão deciml corresponde /. Exercício 3.6. Determine um outr expnsão deciml pr 0, 5 e mostre que, de fto, est expnsão deciml corresponde /4. 7