ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA SUCESSÃO, PA e PG PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 1
SUCESSÃO OU SEQUENCIA NUMÉRICA Sucessão ou seqüênci numéric é todo conjunto de números dispostos num cert ordem. Um sucessão pode ser finit ou infinit. - (2; 5; 8; 11) finit - ( -3; -2; -1;...) infinit Representção genéric de um sucessão ( 1, 2 ; 3 ;...; n-1 ; n ) em que: 1 1º termo 2 2º termo 3 3º termo... n n-ésimo termo Termo gerl ou lei de formção de sucessão É fórmul mtemátic que determin os termos de um sequênci, em função de su posição n n sequênci. 1) Escrev os 3 primeiros termos d seqüênci definid por: * ) n = 3n+2, onde n Ν b) 1 = 2 e n+1 = n + 8 Progressão Aritmétic (P.A) É tod sequênci numéric em que diferenç, prtir do segundo e o seu ntecessor se mntém constnte. Ess diferenç constnte r chm-se rzão d PA. Então seqüênci ( 1, 2 ; 3 ;...; n-1 ; n ) é um PA, se e somente, se: 2-1 = 3-2 = n - n-1 = r 1) Verifique se sequênci bixo é um PA, em cso positivo, determine rzão: ) ( 2; 5; 8; 11;...) b) ( 19; 14; 9; 4;...) blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 2
c) (7; 7; 7; 7;...) d) ( 1; 6; 11; 17;...) Observções: ) PA crescente, qundo r (rzão) > 0. b) PA decrescente, qundo r (rzão) < 0. c) PA constnte, qundo r (rzão) = 0. 2) Determine x, de modo que os números x - 5; 2x + 3 e 5x - 1, formem ness ordem um PA. Fórmul do termo gerl de um PA Pr clculrmos qulquer termo de um P.A. usmos fórmul seguinte: n = 1 + (n - 1)r n = represent o termo procurdo. 1 = represent o primeiro termo d P.A n = represent o número de termos. r = represent rzão d P.A. 1) Clcule o sétimo termo d P.A (1, 6, 11,...) 2) Determine quntos múltiplos de 5 há entre 21 e 200. blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 3
3) Clcule rzão de um P.A sbendo que 2 = - 11, 12 = 19. 4) Interpole 6 meios ritméticos entre 3 e 17. 5) Num estrd existem dois telefones instldos um no km 10 e outro no km 50. Entre eles serão colocdos mis 9 telefones, mntendo-se entre dois telefones consecutivos sempre mesm distânci. determinr em quis mrcos quilométricos deverão ficr esses novos telefones. Proprieddes 1ª) Sendo, b, c três termos consecutivos de um P.A, dizemos que o termo b centrl entre eles é médi ritmétic dos outros dois. Exemplo: Sendo 2, x, 18 três termos consecutivos de um P.A. Clcule o vlor de x. 2ª) Num P.A finit, som de dois termos eqüidistntes dos extremos é igul à som dos extremos. Exemplo: Observe PA (3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17) 9 + 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20 Som dos n-primeiros termos de um PA A som dos n-primeiros (S n ) termos de um PA é dd por: ( 1 + n ). n Sn = 2, onde: 1 primeiro termo n n-ésimo termo n números de termos blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 4
1) Clcule som dos 50 primeiros termos d PA (2,6,...) 2) O dono de um fábric inicir produção com 1000 mensis e, cd mês produzir 200 uniddes mis. Mntids esss condições, em dois nos quntos uniddes fábric terá produzido no totl? Progressão Geométric (PG) É tod sequênci numéric em que o quociente, prtir do segundo e o seu ntecessor se mntém constnte. Ess quociente constnte q chm-se rzão d PG. Então seqüênci ( 1, 2 ; 3 ;...; n-1 ; n ) é um PG, se e somente, se: 2 1 = 3 2 =... = n n 1 = q 1) Verifique se sequênci bixo é um PG, em cso positivo, determine rzão: ) ( 2; 6; 18; 54;...) b) ( 32; 8; 4; 1;...) c) (7; 7; 7; 7;...) d) ( 1; 6; 36; 180;...) e) (2; -4; 8; -16;...) e) (-4; -8; -16; -32;...) Observção: Podemos observr trvés do exemplo nterior que um PG, pode ser crescente, decrescente, constnte ou lternnte. blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 5
2) Determine x, de modo que os números x, 3x + 2 e 10x + 12 estejm ness ordem em PG. Fórmul do termo gerl de um PG Pr clculrmos qulquer termo de um P.G. usmos fórmul seguinte: n = 1.q n - 1 n = represent o termo procurdo. 1 = represent o primeiro termo d P.G. n = represent o número de termos. q = represent rzão d P.G. 1) Determine o décimo termo d PG (2; 6;...). 2) Em um cultur de bctéris, um bctéri se divide em dus cd hor. Determine o número de bctéris originds de um só bctéri dess colôni depois de 12 hors. 3) Num PG, o 2º termo igul 12 e o 5º termo 324. Determine o 1º termo e rzão dess PG. 4) Inserir três meios geométricos entre 2 e 162. blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 6
Proprieddes 1ª) Se x, y e z são três termos consecutivos de um PG, então o termo centrl é médi geométric dos extremos, ou sej: y 2 = x.z Exemplo: (4; 8; 16) 8 2 = 4. 16 = 64 2ª) Em qulquer PG, o produto dos termos equidistntes dos extremos é igul o produto dos extremos. Exemplo: (2; 4; 8; 16; 32; 64) 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128 Som (S n ) dos n-primeiros termos de um PG finit A som dos n-primeiros termos de PG finit é dd por: 1º cso: ( q = 1 ) S n = n. 1 n 1) 2º cso: ( q 1 ) 1.( q Sn = ou q 1 S n n q = q 1. 1 1) Clculr som dos 10 primeiros termos d PG (3; 6; ) 2) Clcule S = 2 + 4 + 8 +...+ 2048 Som (S) dos termos de um PG infinit A som dos termos de um PG infinit, de rzão -1 < q < 1 é dd por: S = 1 1- q blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 7
1 1 1) Clcule o vlor de S = 1 + + +... 3 9 x x 2) Resolv equção x + + +... = 20 2 4 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM (PA) 1) Determine s seqüêncis bixo: ) n = 2n-1 com n Ν * resp: (1,3,5,...) 1 = 3 b) n = n 1 + 2, com n Ν, n 2 resp: (3,5,7,...) 2) Escrev o termo gerl ds sequêncis: ) (1,4,9,16,25,...) resp: n =n 2 com n Ν * b) (3,6,9,12,...) resp: n = 3n com n Ν * c) (2,5,8,11,14,...) resp: n = 3n - 1 com n Ν * 3) Determine quis d seqüêncis bixo são PA. Em cso firmtivo, determine rzão e clssifique-s em crescente, decrescente ou constnte: ) (1; 1,1; 1,2; 1,3;...) resp: PA crescente rzão r = 0,1 b) (22;18;14;12;...) resp: Não é PA c) (-3;-5;-7;...) resp: PA decrescente r = -2 d) (5;5;5;...) resp: PA constnte rzão r = 0 e) (1; -2; 3;-4;...) resp: Não é PA 4) Os números x 2, (x+2) 2 e (x+3) 2 estão em PA ness ordem. Determine esses números. resp: (1/4;25/4,49/4) 5) Determine o 10º termo d PA (2,8,...). resp: 10 =56 6) Determine quntos mútiplos de 5 há entre 21 e 623. resp: 120 7) Um corpo cindo livremente ( desprezndo-se resistênci do r ) tem o finl do 1º segundo, velocidde de 9,8 m/s; velocidde de 19,6 m/s no finl do segundo seguinte; de 29,4 m/s no finl do 3º segundo; e ssim por dinte. Continundo ssim, determine qul será su velocidde no finl décimo segundo. resp: 98m/s blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 8
8) No primeiro semestre de um ddo no, produção mensl de um montdor está em PA crescente. Em jneiro, produção foi de 18000 crros e, em junho, foi de 78000 uniddes. Determine produção dess montdor nos meses de fevereiro, mrço, bril e mio. resp: 30000, 42000, 54000 e 66000 9) A figur bixo indic distribuição de cdeirs num uditório: Determine qunts há fil H mntid ess tendênci. resp: 38 10) Um empres tem o seu orgnogrm um PA prtindo do presidente e cd nível bixo dele umentndo 4 funcionários. A form mis comum de se representr esse orgnogrm é pirmidl Sbendo que empres tem dez níveis hierárquicos, determine quntos empregdos el tem. resp: 190 funcionários 11) Um gricultor colhe lrnjs durnte doze dis d seguinte mneir: no 1º di, são colhids 10 dúzis; no 2º, 16 dúzis; no 3º, 22 dúzis; e ssim por dinte. Qunts lrnjs colherá o finl dos doze dis? resp: 6192 lrnjs 12) Verificou-se que o número de pessos que compreci determindo evento umentv, dirimente, segundo um PA de rzão 15. Sbe-se que no 1º di comprecerm 56 pessos e que o espetáculo foi visto, o todo, por 707 pessos. Durnte quntos dis esse espetáculo ficou em crtz? resp: 7 dis EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM (PG) 1) Clssifique s seqüêncis bixo em PA, PG ou nem PA e nem PG. ) (3;7;11;15) resp: PA b) (2;4;810) resp: nem PA e nem PG c) (125;25;5;1) resp: PG 2) Determinr o 10º termo d PG (1/3;1;3;...). resp: 10 = 6561 3) Num PG o 4º termo é igul 32 e o 1º termo igul ½. Determinr rzão e o 8º termo dess PG. resp: q = 4 e 8 = 8192 4) Determine 3 números em PG cujo o produto sej 1000 e som 62. resp: 2;10 e 50 blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 9
5) Interpolr cinco meios geométricos entre 2/3 e 486. resp: (2/3;2;6;18;54;162;486) e (2/3;-2;6;-18;54;-162;486) 6) Num cidde, um boto é esplhdo d seguinte mneir; 1º di, 5 pessos ficm sbendo; no 2º, 15; no 3º, 45; e ssim por dinte. Qunts ficm sbendo do boto no 10º di? resp: 98415 7) Um cultur de cert bctéri, mntid sob determind condições, triplic cd di que pss. Se o volume inicil dess cultur é de 5cm 3, determine quntos dis pssrão pr ess bctéri tingir um volume de 405 cm 3. resp 4 dis 8) Determinr som dos dez primeiro d PG (3;6;...). resp: 3069 9) Clculr o vlor de x n iguldde 10x+20x+...+1280x = 7650, sbendo que os termos do 1º membro estão em PG. resp: 3 1 2 4 10) Clcule o vlor d som + + +... resp: 1 3 9 27 11) Clcule o vlor de x n iguldde x + x + x +... = 12 3 9. resp: 8 12) Um bol é tird de um ltur de 200m. Ao tingir o solo pel primeir vez, el sobe té, um ltur de 100m, ci e tinge o solo pel segund vez, subindo té um ltur de 50m, e ssim sucessivmente té perder energi e cessr o movimento. Quntos metros bol percorre o todo? Resp: 600m Bibliogrfi: Curso de Mtemátic Volume Único Autores: Binchini&Pccol Ed. Modern Mtemátic Fundmentl - Volume Único Autores: Giovnni/Bonjorno&Givnni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicções Volume Único Autor: Luiz Roberto Dnte Ed. Átic 10 blog.portlpositivo.com.br/cpitcr