PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)

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1 PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) 0. DEFINIÇÃO: É tod sequênci n qul diferenç entre cd termo, prtir do segundo, e o seu nterior é constnte. Chmmos est constnte de rzão d progressão, e indicmos por r. Exemplos: (,,,,,...) r = (se r > 0, então P.A. é crescent (,,,,,...) r = 0 ( se r = 0, então P.A. é constnt (,,, 7,,...) r = (se r < 0, então P.A. é decrescent 0. FÓRMULA DO TERMO GERAL: Chmmos de termo gerl de um P.A. o termo n, que pode ser obtido em função de n, qundo conhecemos um termo qulquer d P.A. e su rzão. = + r = + r ou = + r = + r ou = + r = + r ou = + r M n = n + r ou n = + (n ) r 0. PROPRIEDADES:. Num P.A., ddos três termos consecutivos quisquer, temos que o termo médio é médi ritmétic dos outros dois. Ex.: (,,,,, 7,...) = ; = ; = ;.... Em tod P.A. finit, som de dois termos eqüidistntes dos extremos é igul à som dos extremos. Ex.: (,,,, 7, ) n = + (n ) r SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA: Consideremos um P.A. finit de n termos: (,,,,..., n) A som dos n termos dess P.A. é dd por: n. Sn = ( + ) n 0. REPRESENTAÇÃO DE UMA P.A. DE TRÊS TERMOS: P.A. (x r, x, x + r)

2 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 0. (UFBA) Durnte dis, um utomóvel é submetido testes de desempenho mecânico. No primeiro di ele percorre 0 km; no segundo, 0 km; no terceiro, 0 km; e ssim sucessivmente, té o último di, x qundo percorre x km. Clcule (UCSAL) Quntos são os múltiplos de compreendidos entre e? ) 7 b) 7 7 c) (UCSAL) Entre os números e são inseridos nove termos, obtendo-se um P.A. decrescente. A rzão dess P.A. é: ) b),7 c),,7 0. (UCSAL) Sejm x ; x + ; x, ness ordem; o o, o 7 o e o o termos de um P.A. O centésimo primeiro termo dess progressão é um número: ) rcionl não inteiro; b) múltiplo de e menor que 00; c) múltiplo de e mior que 00; qudrdo perfeito; múltiplo de. 0. (UEFS) Um certo tipo de loteri pg, o certdor, um prêmio equivlente 00 vezes o vlor postdo. N primeir vez que jogou, um pesso postou R$,00 e, ns vezes seguintes, crescentou sempre mis R$,00 à post nterior. Tendo certdo n décim jogd, decidiu prr. Levndo-se em cont o que foi gsto ns posts e o vlor recebido como prêmio, pode-se concluir que ess pesso teve um lucro, em reis, igul : ) 00 b) c) (ITA) Considere um polígono convexo de nove ldos, em que s medids de seus ângulos internos constituem um progressão ritmétic de rzão igul º. Então, seu mior ângulo mede, em grus: ) 0 b) 0 c) (Bhin-00.) O cérebro envelhece mis rápido se não for desfido cd di: prender coiss novs, umentndo o número de informções, compens prcilmente s perds cognitivs; divertir-se com jogos bsedos em lógics mtemátics, plvrscruzds, quebr-cbeçs, entre outros, jud mnter juventude dos neurônios. Figur : Figur : ª ª ª ª ª ª fich fich fich Pr isso, pode-se utilizr fichs circulres em um jogo, dividids em seis regiões, n form de setores circulres, ordendos de cordo com figur e enfileirds de tl modo que numerção ds regiões em cd um dels é dividid segue um pdrão numérico, conforme figur De cordo com esse pdrão, o primeiro número mior do que 000 deve estr n região R d fich F e, ssim, F + R é igul : ) b) c) 7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0. (BAHIANA) O termo gerl de um sequênci é n = n +, com n nturl não-nulo. A som dos vinte primeiros termos dess sequênci é: ) b) c) (BAHIANA) A sequênci ( 0; ; ; ;...; n ;...), n Î N*, é um progressão ritmétic de rzão r. Considere s firmções: I. r =. II. o menor termo positivo é. III. 7 não é termo dess P.A. IV =. 00. O número de firmções verddeirs é: ) 0 b) c) 0. (BAHIANA) Um pesso pretende fzer cminhds diáris o longo dos trint dis de um mês. Se no primeiro di el cminhr 0 m e cd di el ndr 0 m mis que no di nterior, então quntos quilômetros el percorrerá no trigésimo di? ),7 b), c),0,,. (BAHIANA) Ao contr o totl de págins de cd um dos três reltórios que hvi digitdo, um funcionário percebeu que esses números formvm um

3 progressão ritmétic de rzão. Se os três reltórios, juntos, têm um totl de págins, o número de págins de um deles é: ) 7 b) c) 0. (BAHIANA) O termo gerl de um sequênci é n = ( ) n +. n, pr n inteiro e positivo. Ness sequênci, o: ) segundo termo é. b) terceiro termo é. c) qurto termo é -. quinto termo é. sexto termo é (BAHIANA) Os números reis x e y são tis que x < y <. A sequênci (x, y, ) é um progressão ritmétic e sequênci (x, y, ) é um progressão geométric. Nesss condições, x + y é igul : ) b) c). (UESB) O o termo de um progressão ritmétic é ( x+ ) x, rzão é, e o o termo é: ) x+ b) x+ 0 c) x+ x+ 0 x +. (UESC) Num vi de tráfego, velocidde máxim permitid é 0 km/h. Pr o motorist que desrespeit ess lei, plic-se o seguinte sistem de penliddes: n primeir infrção, o motorist pens recebe um dvertênci; n segund, pg um mult de R$0,00 e, prtir d terceir, pg um mult igul à nterior, crescid de R$0,00. Sbendo-se que o motorist tem su crteir preendid pós ter infringido dez vezes ess lei, conclui-se que, qundo esse fto contecer, o motorist terá pgo pels mults um totl, em reis, igul : ) 00,00 b) 070,00 c) 0,00 0,00 0,00. (Bhin) Mrcelo elborou o seguinte plno de estudo: no primeiro di vi resolver exercícios; no segundo di, exercícios e em cd um dos dis seguintes vi resolver tntos exercícios quntos os resolvidos no totl dos dois dis nteriores. Sbendo que Mrcelo cumpriu este plno de segund sábdo, número totl de exercícios resolvidos neste período foi: ) b) 0 c) 7 7. (Bhin) Considere seguinte sequênci de qudrdos: 0 7 Q Q Q O número 7 pertence o qudrdo Q n. Então, n é igul : ) b) c) 7. (Bhin) Considere sequênci ilimitd de símbolos seguinte:,,, t,,,, t,,... É verdde que, ness sequênci: ) o 0 o termo é. b) o o termo é. c) o 7 o termo é t. o 77 o termo é. o 700 o termo é.. (FGV-SP) A som dos termos de um P.A., cujo primeiro termo é, o último termo é e rzão é igul o número de termos, é: ) 0 b) 00 c) (UNB-DF) Se o número for dividido em três prtes, formndo um P.A. de mneir que terceir prte exced primeir de 0, esss prtes serão:

4 ) prims entre si; b) múltipls de e 0 o mesmo tempo; c) números cujo produto é 7; múltipls de e o mesmo tempo; indeterminds.. (Fuvest-SP) Interpolndo-se 7 termos ritméticos entre os números 0 e, obtém-se um P.A. cujo termo centrl é: ) b) c) 7. (Mck-SP) Se som dos n primeiros termos d P.A. ( 0,,,...) é, o vlor mínimo de n é: ) b) c)

5 . DEFINIÇÃO: PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G) PARTE I É tod sequênci cujo o termo é diferente de zero, n qul o quociente entre cd termo, prtir do segundo, e o seu nterior é constnte. Chmmos ess constnte de rzão d progressão, e indicmos por q. Exemplo: (,,,,...) q = = = =... =. CLASSIFICAÇÃO: ) (,,,,...) q =. Se > 0 e q >, então P.G. é crescente. ) ) æ ö ç-, -, -, -, -,... q=. Se < 0 e 0 < q <, então P.G. é crescente. è ø æ ö ç,,,,,... q= è ø. Se > 0 e 0 < q <, então P.G. é decrescente. ) (,,,,...) q =. Se < 0 e q >, então P.G. é decrescente. ) (,,,,,...) q =. Se q < 0, então P.G. é oscilnte. ) (,,,,,,...) q =. Se q =, então P.G. é constnte. 7) (, 0, 0, 0, 0,...) q = 0. Se 0 e q = 0, então P.G. é singulr.. FÓRMULA DO TERMO GERAL: Chmmos de termo gerl de um P.G. o termo qulquer d P.G. e su rzão. n, que pode ser obtido em função de n, qundo conhecemos um termo =. q = = =. q. q. q ou ou ou =. q =. q =. q n =. q n- n =. q n-. PROPRIEDADES: ) Num P.G., ddos três termos consecutivos quisquer, o qudrdo do termo centrl é igul o produto dos outros dois. Ex: (,,,,,,...) =.; =.; =.; =.;... ) Em tod P.G. finit, o produto de dois termos equidistntes dos extremos é igul o produto dos extremos. Ex: (,,,,, ).... REPRESENTAÇÃO DE UMA P.G. DE TRÊS TERMOS: æ x P.G. ö ç, x, x.q è q ø

6 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 0. (UFBA) Um jogdor fz um série de posts e, n primeir vez, perde R$,00; n segund, duplic post e perde R$,00; n terceir, duplic post nterior e perde R$,00; e ssim sucessivmente, té ter perdido um totl de R$,00. Clcule qunts vezes o jogdor postou. 0. (FBDC) O n-ésimo termo d progressão geométric ( ; ; ;... ;...) n é: ) n b) ( n ) n- c) ( ) ( ) n n+ ( ) 0. (UFBA) Sbendo-se que som dos três termos de um progressão geométric crescente é e diferenç entre os extremos é 0, clcule o segundo termo. 0. (UFBA) Considere sequênci ( n ) = (,,,...) com seguinte lei de formção: cd termo excede de um unidde o dobro do termo nterior. Sbendo-se que o o termo é, determine o primeiro termo. 0. (UFBA) Num progressão geométric, o primeiro termo é igul 7.00, e o qurto termo é igul 0% do terceiro. Determine o quinto termo d progressão. 0. (UEFS) Adicionndo-se mesm constnte cd um dos números, e 0, ness ordem, obtém-se um progressão geométric de rzão igul : ) b) c) 07. (FBDC) A som dos três termos de um progressão geométric é e o produto deles é. Se P.G. é crescente, su rzão é: ) e b) e c) 0. (FBDC) Os números reis e b são tis que seqüênci ( ; ; b) é um PA de rzão r e (; b; ) é um PG, de rzão q. O número de divisores positivos do produto rq é: ) b) c) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0. (FBDC) Um progressão geométric tem primeiro termo igul 0 e rzão igul. O quinto termo dess progressão é: ) 0,0 b) 0, c), 0. (UEFS) Num progressão geométric ( n ), tl que = e =, tem-se: ) l < < b) l > e = c) = e = = e > = e =. (FBDC) Inserindo-se meios geométricos entre os 7 números e, obtém-se um progressão geométric crescente cujo terceiro termo é: ) b) c). Pr qulquer x rel, sequênci ( x, x+, x+, x+,...) é um progressão: ) geométric de rzão b) ritmétic de rzão c) geométric de rzão ritmétic de rzão x geométric de rzão x

7 . (UFBA/- Etp) Durnte dis, um utomóvel é submetido testes de desempenho mecânico. No primeiro di ele percorre 0 km; no segundo, 0 km; no terceiro, 0 km; e ssim sucessivmente, té o último di, qundo percorre x km. x Clcule. 0. (FBDC) Os pesos de pessos, em quilogrms, são termos consecutivos de um progressão geométric de rzão,. Se som dos pesos ds dus pessos mis leves é kg, outr pes: ), kg b) 0 kg c), kg kg, kg. (FBDC) A sequênci (... ; x; x ; x + ;...) é um progressão geométric de rzão igul : ) - b) - c) - æ ö. (Mck-SP) Se sequênci ç,,,,,,... é è ø formd por termos de um progressão ritmétic lterndos com os termos de um progressão geométric, então o produto do vigésimo termo pelo trigésimo primeiro termo dess sequênci é: ) 0 b) c) 0 7. (UESC) Três números estão em progressão ritmétic de rzão r= e sus potêncis de bse, n mesm ordem, estão em progressão geométric de rzão q. Logo, o produto r. q é igul : ) b) c). Os números, b e c, ness ordem, formm um progressão ritmétic de rzão. Se subtrímos uniddes de b, esses números pssm formr um progressão geométric cuj rzão vle: ) b) c). Os números positivos e b são tis que (; b;0) é um PA de rzão r e (/; ; b) é um PG de rzão q. O vlor de q/r é: ) / b) / c) / / 0. Num progressão geométric decrescente se o primeiro termo é e o sétimo termo é, rzão é: ) b) c) 7 7

8 . (UCSl) Um funcionário de um supermercdo recebeu tref de empilhr 00 lts de ervilhs, seguindo o modelo d figur bixo, colocndo em cd fil horizontl um lt menos que n fil imeditmente inferior. Nesss condições, se ele fizer: ) fils, sobrrão 0 lts; b) fils, sobrrão lts; c) fis, sobrrão lts; fils, sobrrá um lt; fils, sobrrão lts.

9 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) PARTE II. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA S. = q- n ( q -) ( q ) n ¹ OBS.: No cso em que q =, temos: Sn =. n. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA o CASO: < q < lim Sn= - q n o CASO: Se q > e > 0 lim Sn = + Ex.: (,,,,...) q = S n lim n + n = o CASO: Se q > e < 0 lim Sn = Ex.: (,,,,...) q = n S +... lim n - n = o CASO: Se q < e ¹ 0 $ lim Sn n Ex.: (,,,,...) q = Ex.: (,,,,...) q =

10 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 0. (UESC) Durnte 0 dis, um trtrug tent percorrer um distânci de.000 m. No o di, percorre um quinto dess distânci e, nos outros dis, percorre um terço do que hvi percorrido no di nterior. A distânci totl, em metros, percorrid pel trtrug é: ) 00( 0 ) b) 00( ) 0 c) 00( 0 ) 00( ) 0 00( 0 ) 0 0. (BAHIANA) A som dos n primeiros termos de um sequênci é ddo por S n = n n, pr todo n Î N*. O trigésimo termo dess sequênci é: ) b) c) x+ x+ x+ 0. (UEFS) A solução d equção =, no universo R, é um número: ) primo; b) múltiplo de ; c) divisível por ; frcionário; qudrdo perfeito. 0. (ITA-SP) Se som dos termos de um progressão geométric dd por (0,; 0,0; 0,00;...) é igul o termo médio de um progressão ritmétic de três termos, então som dos termos d progressão ritmétic vle: ) b) c) 0. (BAHIANA Etp) Arquimedes foi imortlizdo como um dos miores mtemáticos de todos os tempos e, dentre sus descoberts, estão os treze poliedros conhecidos com o sólidos de Arquimedes. Um desses sólidos é o poliedro convexo regulr com fces pentgonis e 0 fces hexgonis, que inspirou fbricção do modelo d bol de futebol que preceu pel primeir vez n Cop do Mundo de 70. Supondo-se que, n confecção de um bol desse modelo, com 7 cm de circunferênci, são gstos de metros de linh pr costurr todos os gomos entre si e que, se ess bol rolr num grmdo plno e der volts no primeiro segundo, percorrendo, cd segundo subsequente, um distânci equivlente d distânci percorrid no segundo nterior, clcule distânci percorrid pel bol nos cinco primeiros segundos de movimento e quntidde médi de linh necessári pr unir dois desses gomos. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0. (UFBA) Um pesso colocou x reis num cofre n semn e, em cd semn seguinte, o dobro d qunti nterior. Nove semns depois, o brir o cofre, hvi 0.0 reis. Determine x. 07. (BAHIANA) Se som dos n primeiros termos de um n- progressão geométric é dd por Sn = -, n- então rzão dess progressão é: ) b) c) 0. (UEFS) A figur é compost por oito triângulos retângulos isósceles, sendo áre do triângulo menor igul de u... 0

11 A prtir dess informção, pode-se firmr que s áres dos oito triângulos formm um progressão geométric de rzão igul : ), e som de tods els é igul u... b), e som de tods els é igul u... c), e som de tods els é igul u..., e som de tods els é igul u..., e som de tods els é igul u (BAHIANA) A reprodução ds bctéris ocorre de form ssexud. Nesse processo, bctéri duplic seu cromossomo e se divide o meio, originndo dus novs bctéris idêntics el. Em condições ideis, um bctéri d espécie B, divide-se em dus cd 0 minutos. Assim sendo, um únic bctéri d espécie B é colocd em um recipiente pr que se estude su reprodução. Ao fim de 0 hors, o número de bctéris no recipiente é: ) 0. b). c) (Mck-00) A som de todos os termos d sequênci n infinit (,,...), definid por = e n + = se n ³, é: ) b) 7 c). (UCSAL) A solução d inequção x x x < é: ) x < b) x < c) x < x < x <. (FGV- Fs O vlor de x n equção x x x x =, onde o o membro é som dos termos de um progressão geométric infinit é: ) b) 0 c) 0. (BAHIANA) Num progressão geométric de termo gerl n, com n inteiro e mior que zero, tem-se que: ì ï í ï î + - = = O primeiro termo dess progressão é: ) b) c) / / /. (UFBA) Em um qudrilátero, os qutro ângulos internos estão em PG, e o menor ângulo é oitv prte do mior. Sendo x medid, em grus, do menor ângulo, determine x.. (UFBA) Os números x, x e x +, nest ordem, formm um progressão geométric. Determine o vlor de x.. (UFBA) A som de três números em progressão geométric de rzão negtiv é. Sendo o primeiro termo, clcule o terceiro. 7. (UFBA) Num olimpíd, form colocdos, num pist retilíne; 0 tochs cess, distndo metros um d outr e um recipiente contendo águ metro ntes d toch. Um corredor deveri prtir do locl onde está o recipiente, pegr toch, retornr o ponto de prtid pr pgá-l e repetir esse movimento té pgr 0 toch. Sbendo-se que x express quntidde de metros percorridos, determine som dos lgrismos que compõem o número.. (UFBA) Um pedr rolndo, sem impulso, num ldeir, percorre metros no primeiro minuto, metros no segundo minuto, metros no terceiro minuto e, ssim sucessivmente. Pr pedr percorrer metros gstrá x minutos. Clcule x.

12 . (UFBA) Considere três qudrdos cujs medids dos ldos formm um progressão geométric. A som ds áres desses qudrdos é u, rzão entre s medids ds áres do menor e do mior qudrdo, ness ordem, é /. Determine, em u, áre do qudrdo cuj medid do ldo é o termo médio d progressão geométric. 0. (UFBA) Um empres deve pgr R$.000,00 em prestções, de modo que cd um exced precedente de R$.000,00. Sendo o vlor d prestção x. 0 reis. Clcule x.. (UFBA) Considerndo s sequêncis: I - ( n ), finit de oito termos, em que cd termo n é igul o número de divisores inteiros positivos do seu respectivo índice n; II - (bn), dd pel lei bn =. ( ) n, n Î N*, clcule b. 7. (UFBA) Dd um progressão ritmétic de rzão r =, em que = e S n =, determine n.. (UFBA) Em um terreno plno, precism-se colocr mnilhs pr um construção; sbe-se que cd mnilh tem 0 cm de diâmetro e els devem ser rrumds entre dus estcs, distntes de dois metros, d mneir ilustrd n figur bixo.. (ITA-SP) Num P.G. de rzão q sbemos que æ ö =,. n = ç e o produto dos n primeiros q è ø termos é q 0. Então som dos n primeiros termos é igul : ) b) c) (BAHIANA Etp) Certo di, consttou-se que o Sr. X, integrnte de um comunidde, hvi contrído um doenç contgios e que, o finl desse primeiro di, contminou dus outrs pessos d comunidde. Como nenhum medid foi tomd pr controlr propgção d doenç, verificou-se que cd doente contminou extmente dus pessos, de modo que, no segundo di, o número de doentes umentou pr sete, no terceiro pr quinze e, ssim, sucessivmente. Determine um função D(t) que descrev o número de doentes n comunidde t dis pós identificção do primeiro cso. Nests condições, determine o número de mnilhs rrumds.. (UEFS) Sendo (0; x; y; ) um PG de rzão q e æ 7 ö çq ; - ; ;... um PA, o vlor de é: è ø ) / b) / c) / 7