Interl Deinid Se é um unção de, então su interl deinid é um interl restrit à vlores em um intervlo especíico, dimos, O resultdo é um número que depende pens de e, e não de Vejmos deinição: Deinição: Sej um unção contínu no intervlo, ] Suponh que este intervlo sej dividido em n prtes iuis de lrur / n e sej j um número pertencente o j- ésimo intervlo, pr j,,, n Neste cso, interl deinid de em, ], denotd por d, é dd por n d lim j, se este limite eistir n j Pode-se mostrr que se unção é contínu em um intervlo, ], então el é interável em, ] Interpretção eométric: Suponh que sej contínu e positiv em um intervlo, ] Dividimos este intervlo em n su-intervlos de comprimentos iuis, ou sej, de comprimento, de n modo que < < < < n Sej j um ponto qulquer no su-intervlo k, k ], k,,, n Construímos em cd um desses su-intervlos retânulos com se e ltur, conorme iur io: j A j j j A som ds áres dos n retânulos construídos é dd pelo somtório ds áres de cd um deles, isto é: 7
A retânulos n j j Intuitivmente é possível dmitir que à medid que n cresce, diminui, e conseqüentemente o somtório nterior convere pr áre A d reião limitd pelo ráico de e pels rets, e Portnto, áre dest reião é dd por n A lim j n j Ms este limite é etmente iul à deinição de interl deinid e com isso oservmos que interl deinid de um unção contínu e positiv, pr vrindo de té, ornece áre d reião limitd pelo ráico de, pelo eio- e pels rets e Oservção: N deinição de interl deinid considermos um unção contínu qulquer, podendo ssumir vlores netivos Nesse cso o produto represent o netivo d áre do retânulo Portnto, se < pr œ,], então áre d reião limitd pelo j ráico de, pelo eio- e pels rets e é dd por A d O cálculo de um interl deinid trvés de su deinição pode ser etremmente compleo e té inviável pr lums unções Portnto, não utilizmos pr clculr interis deinids, e sim um teorem que é considerdo um dos mis importntes do Cálculo: Teorem Fundmentl do Cálculo: Se é um unção contínu no intervlo,] e F isto é, F é um primitiv ou nti-derivd ], então d F F F Proprieddes d interl: Se e são unções contínus no intervlo, ], então: c d c d, onde c é um constnte 8
± ] d d ± d c d d c d, onde c d,, ] d e,, ] d d Se d c Eemplos: Use interção pr clculr áre ds reiões delimitds pelo eio- e pels unções io:, no intervlo,] 7 A d C C C Geometricmente rímos A A retânulo A triânulo /
-, ], Como ],, <, seue que áre d reião é dd por 8 d A ],, 7 8, d d A
Áre de reiões entre curvs: Suponh que e sejm deinids e contínus em, ] e tis que ],, Então áre d reião R limitd pelos ráicos de e e pels rets e é dd por ] d A, independente de e serem positivs ou não De to, temos três possiiliddes: o cso: ],,, e Neste cso, d d d A ] o cso: ],, e Neste cso, d d d d d A ] o cso: ],,, e Neste cso, d d d d d A ]
Eemplos: Encontre áre d reião limitd pels curvs dds: e As intersecções ocorrem em e Portnto: 8 A d,7 e As intersecções ocorrem em e Portnto: 7 8 A ] d ] d d ] d 8
π π sen, cos, π/ π π/ π π/ π π π As intersecções ocorrem em:, e Porém, oserve que pr π π, tem-se sen > cos, enqunto que pr π, π tem-se cos > sen Assim, π A sen cos d cos sen d π π π, Outr plicção d Interl Deinid: Teorem do Vlor Médio pr Interis Se é um unção contínu em,], então eiste z œ, tl que d z, ou sej, eiste z œ, tl que z d Interpretção eométric: Se,, ], então áre so o ráico de é iul à áre do retânulo de ldos e z
z z Oservção: O vlor médio de em,] é ddo por VM d Eemplos: Um pesquisdor estim que t hors depois d mei-noite, em um período típico de hors, tempertur em cert cidde é dd por T t t, t rus Celsius Qul é tempertur médi n cidde entre d mnhã e d trde? Solução: Como hors d mnhã e hors d trde correspondem t e t, respectivmente, estmos interessdos em clculr tempertur médi, Tt, no intervlo t, o que corresponde à interl: TM t dt t t t, t Assim, tempertur médi no período é, o C Encontre o vlor médio de no intervlo,8] e determine o vlor de que corresponde o vlor médio de Solução: VM 8 8 d u du u u u 7 7
Portnto, o vlor médio de em,8] é iul Pelo Teorem do Vlor Médio, z,8 tl que z VM z z z 7 z Portnto, qundo, é iul o vlor médio de em,8], ou sej, EXERCÍCIOS Clcule s interis io usndo o Teorem Fundmentl do Cálculo: ln d d c e d / d 8 d e d ln t t e e dt cos/ i d d π / h t d cosln j d π / π / t sec sec t d l d sec k Esoce reião limitd pels curvs dds e clcule s respectivs áres utilizndo interis deinids:,,, π sen, e,, π c cos, sen,, d, e 8,,
Os reistros mostrm que t hors pós mei-noite, tempertur em um certo eroporto oi T t,t t o C Qul oi tempertur médi no eroporto entre h e meio-di? Os reistros mostrm que t meses pós o início do no, o preço d crne moíd nos supermercdos oi P t,t,t, reis o quilo Qul oi o preço médio d crne moíd durnte os primeiros meses do no? Com t meses de eperiênci um uncionário do correio é cpz de seprr Q t,t 7 e crts por hor Qul é velocidde médi com que um uncionário conseue seprr correspondênci durnte os primeiros meses de trlho? Em certo eperimento, o número de ctéris presente em um cultur pós t minutos oi Q t e,t Qul oi o número médio de ctéris presentes n cultur durnte os primeiros minutos do eperimento?