CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o 5: Teorem Fundmentl do Cálculo I. Áre entre grácos. Objetivos d Aul Apresentr o Teorem Fundmentl do Cálculo (Versão Integrl). Clculr áre entre curvs utilizndo integrl denid; Teorem Fundmentl do Cálculo Teorem (Teorem Fundmentl do Cálculo I). Se f for contínu em [, b], então f(x) dx F (b) F () onde F é qulquer primitiv de f, isto é, um função tl que F f. Exemplo. Usndo o Teorem Fundmentl do Cálculo, clcule x dx. Pelo TFC, temos x dx F (b) F (), onde F é um primitiv de f(x) x, ou sej, F (x) x dx x + C. Assim [ x x dx ] b b. Exemplo. Clcule (x + ) dx. Pelo TFC, temos (x + ) dx [ x ] + x ( ) ( ) + 9 + 7.
Cálculo I Aul n o 5 Exemplo. Clcule: Pelo TFC, temos: 6 x dx. 6 x dx ln(x) 6 ln(6) ln() ( ) 6 ln ln(). Exemplo. Clcule Pelo TFC, temos: cos θ dθ. cos θ dθ sen θ sen + sen. Exemplo 5. Clcule: Pelo TFC, temos: v + v 6 dv. v v + v 6 v dv v + v dv ln(x) + v ln() + 7. Exemplo 6. Clcule: Note que: x + ( x + ) dx. { x +, se x x +, se x < Usremos um ds proprieddes d integrl denid (ver ul nterior) pr clculr integrl: ( x + ) dx x + 9. ( x + ) dx + + x + x (x + ) dx Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior
Cálculo I Aul n o 5 Exemplo 7. Clcule sen (x) dx. Observmos que sen (x) se x e sen (x) se x. Segue que: sen (x) dx cos(x). sen (x) dx + cos(x) sen (x) dx Exemplo 8. Clcule: x(x ) dx. Temos que: x(x ) dx x 7 7 x x dx x dx 8 x 8 x dx x dx 7. Exemplo 9. Clcule onde { f(x) f(x) dx, sen (x), se x cos(x), se x > Temos que: f(x) dx sen (x) dx + sen (x) dx + cos(x) dx dx cos(x) dx cos(x) + x sen (x) cos() + cos( ) + sen () + sen () +. Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior
Cálculo I Aul n o 5 Áre entre Curvs De nição. A áre A entre região limitd pels curvs y f (x) e y g(x) e pels rets x e x b, onde f e g são contínus e f (x) g(x) pr todo x [, b], é b [f (x) g(x)] dx. A Exemplo. Clcule áre do conjunto do plno limitdo pels rets x, x, y e pelo grá co de f (x) x. Primeirmente, vmos construir no mesmo plno crtesino região que queremos clculr áre. Temos que: A x x dx. Exemplo. Encontre áre d região limitd pels curvs y sen (x), y x, x e x. Primeirmente, vmos construir no mesmo plno crtesino o grá co dests funções no intervlo h i,. Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior
Cálculo I Aul n o 5 Como x sen (x) pr todo x no intervlo A [, ], temos que: [ x [f(x) g(x)] dx [x sen (x)] dx + cos(x) ] 8. Exemplo. Clcule áre d região limitd pelo gráco de f(x) x, pelo eixo x e pels rets x e x. A região que queremos clculr áre está representd no gráco bixo: Temos que: A x dx + x dx +. Observção. Note que, se zéssemos: A [ x x dx ]. Ms, como f(x) x é ímpr, pels proprieddes de integris, temos que: A x dx x dx. Exemplo. Encontre áre d região limitd pels curvs y x e y x + x. Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior 5
Cálculo I Aul n o 5 A região que queremos clculr áre está representd no grá co bixo: Observe que s curvs se intersectm em dois pontos A e B. Dess form, precismos determinr os pontos A e B, pr identi cr os limites de integrção. Resolvendo o sistem: y x y x + x obtemos os pontos (, ) e (, ). Como x + x x, pr todo x no intervlo [, ], o grá co de f (x) x + x está cim do grá co de g(x) x. Assim, áre procurd é dd por: ( x + x x ) dx A ( x + x) dx x + x 8.. Encontre áre d região limitd pels curvs y sen (x) e y cos(x), no intervlo hexemplo i,. Gr cmente, região que queremos clculr áre está representd no grá co bixo: Resolvendo o sistem: obtemos o ponto P,, y sen (x) y cos(x) que é o único ponto de interseção ds curvs no intervlo considerdo. h Como cos(x) sen (x), pr todo x, h i i e sen (x) cos(x), pr todo x,, vmos dividir Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior 6
Cálculo I Aul n o 5 região em dus prtes. Assim, áre A é dd por: A [cos(x) sen (x)] dx + [sen (x) cos(x)] dx [sen (x) + cos(x)] + [ sen (x) cos(x)]. Exemplo 5. Encontre áre d região limitd pels curvs y e x, y x, x e x. Grcmente, região que queremos clculr áre está representd no gráco bixo: Como f(x) g(x) pr todo x [, ], temos que: A [e x (x )] dx [e x x + ] dx [e x x + x e e +. ] Observção. Muits vezes os problems cm mis simples de resolver se integrmos em relção y e não em relção x. Sej R região pln limitd pel direit pel função x M(y), pel esquerd por x N(y) e pels rets y c e y d. Não é difícil provr que se s funções M(y) e N(y) são contínus em [c, d], então: A d c [M(y) N(y)] dy Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior 7
Cálculo I Aul n o 5 Exemplo 6. Clcule áre d região limitd pels curvs y x e y x. Note que s interseções entre s curvs são os pontos (, ) e (8, ). Sejm x M (y) y + e x N (y) y. Assim, região que queremos clculr áre está representd seguir: Então: y A y+ dy y y + y 6 8. Exemplo 7. Clcule áre limitd pel curv (y ) x, pel tngente est curv no ponto de ordend y e pelo eixo x. Se y, então x. A equção d ret tngente no ponto (, ) é equção d ret tngente y y (x )(x ) +. Pr obter y, derivmos implicitmente em relção x equção (y ) x. Temos: (y )y. No ponto (, ), temos que y (), logo y x. A áre que procurmos está exibid no grá co bixo: Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior 8
Cálculo I Aul n o 5 Integrndo em relção y, teremos x M(y) (y ) x e x N(y) y e: A [(y ) + (y )] dy (y 6y + 9) dy [ ] y y + 9x 9. Resumo Fç um resumo dos principis resultdos vistos nest ul, destcndo s denições dds. Aprofundndo o conteúdo Lei mis sobre o conteúdo dest ul ns págins 5 56 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolv os exercícios ds págins 57 59 do livro texto. Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior 9