Operdores momento e energi e o Princípio d Incertez A U L A 5 Mets d ul Definir os operdores quânticos do momento liner e d energi e enuncir o Princípio d Incertez de Heisenberg. objetivos clculr grndezs ssocids os operdores momento liner e energi; plicr o Princípio d Incertez de Heinsenberg. Pré-requisitos Pr um melhor compreensão dest ul, é importnte que você revise Aul 4 dest disciplin e o fenômeno de difrção d luz (Aul 8 de Físic 4A).
Introdução à Mecânic Quântic Operdores momento e energi e o Princípio d Incertez OPERADORES QUÂNTICOS DO MOMENTO LINEAR E DA ENERGIA Vimos, n Aul 4 dest disciplin, que devemos ssocir um operdor quântico cd grndez físic. Observmos tmbém que o conhecimento d função de ond nos permite clculr o vlor esperdo (ou vlor médio) de um conjunto muito grnde de medids dess grndez físic. O momento liner (ou quntidde de movimento) e energi de um sistem são dus quntiddes de importânci fundmentl n Mecânic Clássic e isto não é diferente n Mecânic Quântic. Então, quis são os operdores quânticos ssocidos esss grndezs? Podemos reescrever equção de Schrödinger, Equção (4.), de um form um pouco diferente: h ih x,t V x,t x,t t Ψ( ) + ( ) Ψ( ). m x (5.1) Note que, como est equção deve ser válid pr qulquer solução Ψ(x,t), el é equivlente à relção entre operdores diferenciis: h ih t m x + V( x,t). (5.) Se comprrmos est relção com relção clássic E p, (5.3) m + V ( x,t ) vemos que podemos ssocir s quntiddes clássics energi E e momento liner p os seguintes operdores diferenciis: p ih x, E ih t. (5.4) Portnto, postulr equção de Schrödinger, como fizemos n Aul 4, é equivlente postulr ssocição entre s quntiddes clássics e s quântics (5.4). O procedimento bsedo n ssocição entre s quntiddes clássics e s quântics (5.4) foi, essencilmente, o seguido por Schrödinger pr derivr su equção. 50 C E D E R J
A prtir d definição do operdor momento liner, primeir ds ssocições d Equção (5.4), podemos clculr o vlor esperdo do momento, utilizndo receit prescrit n Equção (4.9): * p Ψ ( x,t) pψ( x,t) * (5.5) Ψ ( x,t) ih Ψ( x,t) x Ψ( x,t) p ih Ψ * ( x,t). x D mesm form, podemos clculr o vlor esperdo d energi, AULA 5 MÓDULO 1 * E Ψ ( x,t) EΨ( x,t) * Ψ ( x,t) ih Ψ( x,t) t E ih Ψ( x,t) Ψ * ( x,t). t (5.6) ATIVIDADE 1. Considere mis um vez função de ond do estdo fundmentl do poço infinito, descrit n Aul 4.. Clcule o vlor esperdo do momento liner p e interprete seu resultdo. b. Clcule o desvio-pdrão ou incertez p p p pr o estdo fundmentl do poço infinito.. O vlor esperdo do momento liner é ddo por: p πx e iet i x x e h π iet h ih π πx πx cos ( h) cos cos sen 0 C E D E R J 51
Introdução à Mecânic Quântic Operdores momento e energi e o Princípio d Incertez Mis um vez, podemos entender este resultdo por rgumentos de simetri. Como o poço é simétrico, há mesm probbilidde de se encontrr prtícul com velocidde (ou momento) pr direit ou pr esquerd, de modo que o vlor esperdo do momento é nulo. b. A incertez no momento liner é obtid por: p p p p p hπ p. πx πx x h π cos h cos 3 cos πx π h O PRINCÍPIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG Como já dissemos nteriormente, conheceremos o estdo de um prtícul clássic se soubermos su posição e su velocidde (ou momento) em um ddo instnte de tempo. N Físic Clássic, não há limitção teóric pr precisão com que podemos conhecer esss grndezs. Ou sej, clssicmente, podemos conhecer posição e velocidde com precisão bsolut (ou incertez nul); o que nos limit é pens precisão de nossos instrumentos de medid. Em princípio, poderímos tornr nossos instrumentos tão precisos qunto quiséssemos. Ms o mesmo não contece n Físic Quântic. Vimos n ul pssd que, n Físic Quântic, relção entre um sistem físico e o observdor é bem diferente que n Físic Clássic. Pr observr um sistem ou medir lgum de sus proprieddes é preciso, necessrimente, interferir ou intergir com ele. Ess interção dá origem imprecisões ou incertezs intrínsecs ns medids que tentmos relizr. Est é um propriedde fundmentl d nturez, d qul não podemos nos ver livres, ind que melhoremos o máximo nossos instrumentos de medid! Ess propriedde d nturez pode ser enuncid trvés do fmoso Princípio d Incertez, formuldo pelo físico lemão Werner Heisenberg (Figur 5.1). Segundo ele, incertez x n medid d posição de um prtícul quântic está relciond à incertez n medid de seu momento p pel seguinte desiguldde: x p h. (5.7) 5 C E D E R J
Isto quer dizer que é impossível determinr com precisão bsolut (incertez nul) posição e o momento de um prtícul quântic, simultnemente. Se fizermos um medid muito precis d posição, teremos um imprecisão grnde no momento (e vice-vers), de modo que o produto ds incertezs nunc é menor que h /. O Princípio d Incertez prece incomptível com nosso conceito clássico de prtícul, lgo que sempre imginmos como tendo um posição e um velocidde bem definids. Ms isto, mis um vez, pens reflete indequção de plicrmos esse conceito os objetos quânticos. Lembre-se: temos de usr mtemátic ds onds! E, se pensrmos em onds de probbilidde, o Princípio d Incertez surge de form muito nturl e nd misterios. Podemos ver como isso funcion, se nlisrmos um fenômeno ondultório já bem conhecido de todos nós: difrção, que estudmos n Aul 8 de Físic 4A. AULA 5 MÓDULO 1 Figur 5.1: O físico lemão Werner Heisenberg (1901-1976), que formulou o Princípio d Incertez. Heisenberg gnhou o Prêmio Nobel de Físic de 193. Antepro Ond pln x θ Figur 5.: Difrção de um ond pln por um fend de lrgur x. Vmos relembrr este fenômeno? Vej Figur 5.. El mostr difrção de um ond pln, vind d esquerd, por um fend de lrgur x. A fend difrt ond, esplhndo- em váris direções. A curv no pinel à direit mostr intensidde d ond detectd no ntepro. Note que o pico centrl tem um lrgur ngulr θ, que você clculou n Aul 8 de Físic 4A: λ θ sen θ x. (5.8) C E D E R J 53
Introdução à Mecânic Quântic Operdores momento e energi e o Princípio d Incertez Vmos gor lembrr que, n Físic Quântic, s onds estão ssocids à probbilidde de se encontrr prtículs. Suponhmos, então, que ond d Figur 5. represent um elétron incidente d esquerd com momento liner n direção horizontl. O elétron pss pel fend. Note que est informção é suficiente pr loclizrmos su posição com um incertez x qundo ele pss por li. E o que contece com o momento liner do elétron? Observe que, pr que os elétrons tinjm o ntepro formndo curv crcterístic d difrção (que gor deve ser intepretd como distribuição ngulr d probbilidde de se encontrr o elétron), seu momento liner p, que ntes se encontrv n direção horizontl, deve dquirir um componente verticl p. A mgnitude médi de p pode ser estimd pel lrgur θ d curv de distribuição de probbiliddes (vej s Figurs 5. e 5.3). Obtemos então: θ tnθ p p. (5.9) p θ p Figur 5.3: Pr ser desvido de form produzir no ntepro um distribuição ngulr com lrgur θ, o momento do elétron deve dquirir um componente verticl p. Combinndo s Equções (5.8) e (5.9) com relção de de Broglie λ h / p, chegmos o resultdo: x p h. (5.10) Ess relção, obtid de form muito simplificd, está próxim o resultdo mis rigoroso expresso pel Equção (5.7). Trt-se de um mneir simples de mostrr que o Princípio d Incertez não tem nd de misterioso, é pens um conseqüênci d nturez ondultóri ds prtículs quântics! 54 C E D E R J
ATIVIDADE. Use os resultdos que você obteve pr x e p n Atividde Finl d Aul 4 dest disciplin e n Atividde 1 dest ul, respectivmente, pr mostrr que o Princípio d Incertez é obedecido pelo estdo fundmentl do poço de potencil infinito. AULA 5 MÓDULO 1 Encontrmos x 0, 18 n Atividde Finl d Aul 4 e p hπ / n Atividde 1 dest ul. Portnto, temos o produto x p 0, 56h. Como isto é mior que h /, função de ond do estdo fundmentl do poço de potencil infinito stisfz o Princípio d Incertez, expresso pel Equção (5.7). O Princípio d Incertez de Heisenberg, por seu specto pouco intuitivo (se interpretdo segundo os conceitos d Físic Clássic), é um ds idéis d Físic Quântic que têm mior penetrção n sociedde em gerl, ind que, muits vezes, de form incorret. Há, inclusive, váris pids sobre o Princípio d Incertez! ATIVIDADES FINAIS 1. Considere novmente função de ond do estdo fundmentl do poço infinito: πx / Acos, Ψ( x,t) e iet h < x < 0, x ou x. Mostre que E é o vlor esperdo d energi. C E D E R J 55
Introdução à Mecânic Quântic Operdores momento e energi e o Princípio d Incertez b. Clcule o desvio-pdrão ou incertez E E E pr este estdo.. Utilizndo expressão (5.6), obtemos: E ih / / / / πx e iet / h i πx cos h cos e t cos iet / h / πx / / π cos e iet h ie E x e iet h h E / b. Pr clculrmos o desvio-pdrão, temos que obter : E / / Portnto, o desvio-pdrão neste é E E E E E 0 Assim, não há incertez n medid d energi neste cso! N próxim ul, entenderemos o significdo deste resultdo. E πx e iet / h i πx cos h ih cos t t e h / / πx iet iet e / h / h E cos e / t / iet / h πx cos E. Mostre que, pr um prtícul livre, podemos escrever relção de incertez tmbém n form λ x λ / 4π, em que x é incertez n posição do pcote de onds e λ é incertez simultâne no comprimento de ond (Eisberg-Resnick, Problem 15, Cpítulo 3). 56 C E D E R J Usndo relção de de Broglie, p h / λ, vmos considerr um incertez p no momento e ver qul incertez correspondente λ no comprimento de ond: Supondo λ / λ << 1 h h 1 p ± p. λ m λ λ 1 m λ / λ temos: h h h λ p ± p ( 1 ± λ / λ ) p. λ m λ λ λ
Note que o mesmo resultdo poderi ser obtido pens tomndo derivd: p h / λ dp ( h / λ ) dλ e proximndo dp p e dλ λ. Usndo gor relção de incertez x p h /, obtemos finlmente: AULA 5 MÓDULO 1 h x λ h λ x λ λ 4π 4π. 3. Se λ / λ 10 7 pr um fóton, qul o vlor correspondente de x pr. λ 5, 00 10 4 Å (rio γ)? b. λ 5, 00 Å (rio X)? c. λ 5000 Å (luz)? (Eisberg-Resnick, Problem 16, Cpítulo 3). Bst plicrmos fórmul obtid n Atividde Finl dest ul: λ x λ / 4π. Assim, obtemos:. 398 Å; b. 398 µm; c. 0,398 m. 4.. Considere um elétron em lgum ponto dentro de um átomo de diâmetro 1 Å. Qul é incertez no momento do elétron? Isto é consistente com energi de ligção de elétrons em átomos? b. Imgine que um elétron estej em lgum ponto no interior de um núcleo de 10-1 cm. Qul é incertez no momento do elétron? Isto é consistente com energi de ligção dos constituintes do núcleo? c. Considere gor um nêutron, ou um próton, como estndo dentro desse núcleo. Qul é incertez no momento do nêutron, ou do próton? Isto é consistente com energi de ligção dos constituintes do núcleo? (Eisberg-Resnick, Problem, Cpítulo 3). C E D E R J 57
Introdução à Mecânic Quântic Operdores momento e energi e o Princípio d Incertez. Se x 1 Å, então, pelo Princípio d Incertez, p 5, 3 10 5 kg.m/s. Ou sej, ind que o vlor esperdo de p sej nulo, há um probbilidde preciável de que sej feit um medid cujo resultdo sej p p (em vlor bsoluto). Como energi cinétic se relcion o momento liner por E p c, isto signific que há um probbilidde preciável de m que o elétron tenh energi cinétic d ordem de E p ev. m 1, 0 c Este vlor é menor do que energi de ligção de um elétron em um átomo de H (que tem um diâmetro proximdo de 1 Å), que é de 13,6 ev. Isto fz sentido, já que energi cinétic não pode ser mior que energi de ligção: se fosse, o elétron poderi escpr do átomo. b. Repetindo mesm nálise pr um elétron confindo em um núcleo, obtemos p 5, 3 10 1 kg.m/s e um energi cinétic d ordem de 10 8 ev 100 MeV. Isto é muito mior que energi de ligção típic dos constituintes do núcleo, que é d ordem de poucos MeV (por núcleon). Por isso, um elétron, ind que fosse submetido às forçs responsáveis pel coesão nucler, nunc ficri confindo o núcleo: su lt energi cinétic o fri escpr. c. Tnto o nêutron qunto o próton têm um mss cerc de 1.840 vezes mior do que do elétron. Assim, pesr de incertez no momento liner ser mesm clculd no item nterior, isto corresponde um energi cinétic 1.840 vezes menor, ou sej, de pens 0,05 MeV. Est energi é muito menor que s energis de coesão nucleres e, portnto, os prótons e nêutrons não escpm dos núcleos. R E S U M O As grndezs físics energi e momento liner correspondem os operdores quânticos ih e ih, respectivmente. N Físic Quântic, posição e o momento t x de um prtícul não podem ser medidos simultnemente com precisão bsolut. Sus incertezs devem stisfzer o Princípio d Incertez de Heisenberg: x p h. INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA N próxim ul, prenderemos o que são s soluções estcionáris d Equção de Schrödinger e conheceremos Equção de Schrödinger independente do tempo. 58 C E D E R J