Anexos A.1. Quadro A.1 - Possíveis combinações entre o número de nós por bordo do elemento e o valor do parâmetro ngaus. Tipo de estrutura (ntype)

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1 Anexos A. ANEXO A SELECÇÃO DO TIPO DE ELEMENTO E DO NÚMERO DE PONTOS DE GAUSS O programa FEMIX permte calcular as tensões/esforços resultantes em pontos de Gauss dstntos daqueles que foram utlzados na ntegração numérca da matrz de rgdez do elemento (ver Secção.. - parâmetros ngaus e ngstr). Amos os parâmetros podem tomar os valores, ou 3. No Quadro A. encontram-se comentáros relatvos a cada comnação entre o número de nós por ordo do elemento e o valor do parâmetro ngaus. Quadro A. - Possíves comnações entre o número de nós por ordo do elemento e o valor do parâmetro ngaus. Tpo de estrutura (ntype),, 3, 4, 5, 6, 9 Nº de nós por ordo do elemento ngaus Integração Comentáro reduzda Resultados acetáves com a malha muto refnada (possível ocorrênca de modos de deformação espúros) (-) completa Resultados acetáves com a malha muto refnada 3 completa Resultados acetáves com a malha muto refnada nsufcente Não é possível resolver o sstema de equações 3 (+) (+) reduzda Resultados muto ons (possível ocorrênca de modos de deformação espúros 3 completa Resultados ons 7,8 nnode, ngaus e ngstr têm de ser sempre guas a (-) Elementos desaconselhados (+) Comnação aconselhada Notas: - Quanto maor for o número de pontos de Gauss utlzado no cálculo da matrz de rgdez (ngaus), menores são os deslocamentos otdos e por consequênca menores são tamém as tensões/esforços resultantes. - Em laes e cascas de muto pequena espessura, a utlzação da ntegração completa pode dar orgem a soluções nacetáves (lockng). - Emora possa tomar os valores, ou 3, o parâmetro ngstr deve ser sempre gual a, para que os pontos em que são calculadas as tensões/esforços resultantes seam aqueles em que os resultados são mas correctos. - Quando se utlza elementos de nós por ordo otém-se os mesmos resultados, quer se atrua a ngaus o valor ou o valor 3.

2 Anexos A. - Quanto maor for o número de pontos de Gauss (ngaus) mas demorado é o cálculo da matrz de rgdez e do vector solctação de cada elemento. - Em certos casos é possível ultrapassar o prolema da presença de modos de deformação espúros com o recurso à resolução teratva do sstema de equações. - A presença de modos de deformação espúros pode dar orgem a termos nulos na dagonal da matrz de rgdez da estrutura, pvots nulos na resolução pelo método drecto do sstema de equações de equlíro, dvergênca na resolução teratva ou osclações na malha deformada. - Exceptuando o caso do elemento de 9 nós (estados planosaes e cascas), deve sempre ser utlzada a ntegração reduzda. Com os elementos de 9 nós a ntegração completa conduz a resultados lgeramente melhores e evta o aparecmento de mecansmos espúros.

3 Anexos A.3 ANEXO B DETERMINAÇÃO DO REFERENCIAL LOCAL ASSOCIADO A UM NÓ GENÉRICO DE UM ELEMENTO DE CASCA ESPESSO (AHMAD) Nas expressões que se seguem são utlzados os referencas e vectores ndcados na Fg..6, em que n x x x3 = s s s T (B.) é o vector tangente a s no nó, n x x x3 = s s s T (B.) é o vector tangente a s no nó, e n3 = n n (B.3) é o vector normal ao plano tangente à superfíce méda do elemento (s 3 = 0) no nó. O versor correspondente ao vector n 3 determna-se por: $n 3 n3 = = [ n n n ] T (B.4) n 3 Se n 3 = n 33 = 0 conclu-se que $ e $n 3 são paralelos. Neste caso o vector n é otdo a partr da segunte relação: sendo o versor, paralelo ao plano x x 3. Se n 3 ou n 33 for dferente de zero então, n = n$ $ (B.5) 3 $n n = (B.6) n n = $ n$ (B.7) 3

4 Anexos A.4 sendo o vector $n paralelo ao plano x x 3. O versor $n é fnalmente otdo recorrendo à segunte expressão: n$ = n$ n$ (B.8) 3

5 Anexos A.5 ANEXO C DEFINIÇÃO DO REFERENCIAL LOCAL DE UMA BARRA Os elementos de arra que são utlzados na dscretzação de estruturas retculadas ou artculadas (ntype 7 ou 8) são formulados nas seguntes condções: a) exo da arra rectlíneo. ) secção transversal constante. c) centro de corte concdente com o centro de gravdade. d) característcas da secção defndas em relação aos exos prncpas centras de nérca. e) não é consderada a deformação por corte. f) foram programadas as expressões da matrz de rgdez no referencal local (4EI/L, EI/L 3, etc.); a matrz de rgdez no referencal gloal é otda com a expressão T K l T T. g) a extremdade esquerda é a de numeração gloal mas axa. Se a arra não tver o exo rectlíneo ou se a secção não for constante, deve-se refnar a malha, susttundo cada arra curvlínea ou de secção varável por um conunto de arras que aproxme melhor a stuação real. Sempre que o centro de corte não concda com o centro de gravdade, os erros decorrentes de tal facto não se tornam sgnfcatvos desde que as arras seam sufcentemente eseltas. Neste caso todos os esforços devem ser consderados aplcados no centro de gravdade. Nos casos em que a deformação por corte sea sgnfcatva (dmensões transversas da secção da mesma ordem de grandeza do comprmento arra) a estrutura deve ser estudada como um meo contínuo. A posção do referencal local da arra (exo da arra e exos prncpas centras de nérca da secção) é calculada a partr das coordenadas dos nós da arra e do ângulo α (ver Secção..7). Na Fgura C. encontra-se a defnção do referencal local para uma arra genérca (não vertcal) com o ângulo α nulo. Na Fgura C. apresenta-se o caso partcular da arra vertcal tamém com o ângulo α nulo.

6 Anexos A.6 > x 3 (vertcal) = 0 BARRA l BARRA x x x, x, x3 - referencal gloal; l 3 - referencal local; - extremdade esquerda (numeração gloal mas axa); - extremdade dreta; - contdo no plano horzontal defndo por x e x ; - contdo no plano vertcal defndo por l e x 3 ; - perpendcular ao plano vertcal defndo por l e x 3 ; Fgura C. - Referencal local de uma arra não vertcal com o ângulo α nulo. x 3 l > = 0 x 3 > = 0 BARRA x BARRA x x x l Fgura C. - Referencal local de uma arra vertcal com o ângulo α nulo (ver tamém a Fgura C.). Consdere-se agora que os exos e não são prncpas centras de nérca, como é o caso do perfl representado na Fgura C.3, cuos exos prncpas centras de nérca são os exos e,

7 Anexos A.7 formando um angulo α com os exos e. Neste caso o referencal local da arra (l 3) é otdo rodando o referencal l 3 em torno de l (exo da arra) de um ângulo α, de acordo com a regra do saca rolhas (ver Fgura C.3). No fchero de dados deve fgurar um valor de α tal que o procedmento referdo leve os exos e a concdrem com os exos prncpas centras de nérca da secção transversal ( e ). O ângulo α é sempre defndo num plano perpendcular à arra. > l l = 0 α + α + Perfl em Z com a alma num plano vertcal Fgura C.3 - Defnção do referencal local da arra para α não nulo. A defnção da posção do referencal l 3 em relação ao referencal l 3 (Fgura C.3) aplca-se às stuações descrtas nas fguras C. e C.. Apresenta-se em seguda um conunto de fguras destnadas a esclarecer, por ntermédo de exemplos, a defnção da posção do referencal local de uma arra. x 3 > = 0 I > I l l3 x l x Fgura C.4 - Barra segundo x (horzontal) (α= 0).

8 Anexos A.8 x 3 > = 0 I > I x x l Fgura C.5 - Barra segundo x (horzontal) (α= 0). x 3 l > = 0 I > I x x Fgura C.6 - Barra segundo x 3 (vertcal) (α= 0). x 3 > = 5º I > I x l l x Fgura C.7 - Barra segundo x (horzontal) (α 0).

9 Anexos A.9 x 3 > = 5º I > I x x l l Fgura C.8 - Barra segundo x (horzontal) (α 0). x 3 l l I l > = 5º > I l3 x x Fgura C.9 - Barra segundo x 3 (vertcal) (α 0). Algumas recomendações relatvas à preparação de dados de estruturas retculadas contínuas e artculadas são apresentadas em seguda: a) As grelhas planas devem ter as coordenadas dos nós no plano x x (representar x para a dreta e x para cma); ) Se não exstrem acções que provoquem deformações no plano da grelha, os graus de lerdade, e 6 devem ser declarados como fxos em todos os nós. Não pode exstr nenhuma acção que dê orgem a reacções nestes apoos fctícos; c) Os pórtcos ou trelças planas devem ter as coordenadas dos nós no plano x x 3 (representar x para a dreta e x 3 para cma);

10 Anexos A.0 d) Se não exstrem acções que provoquem deformações para fora do plano pórtco, os graus de lerdade, 4 e 6 devem ser declarados como apoo fxo em todos os nós. No caso das trelças planas deve ser mpeddo o grau de lerdade. Não pode exstr nenhuma acção que dê orgem a reacções nestes apoos fctícos; e) Para facltar a defnção do ângulo α, este deve estar compreenddo entre - 45º e 45º, sendo aconselhável susttur, por exemplo, α= 50º por α= - 40º e trocar I l com I l 3. A numeração dos nós das arras deve crescer segundo os sentdos postvos dos exos do referencal geral. O comando ren do programa s3dcad (ver manual deste programa) põe todas as arras com a numeração mas aconselhável, devendo ser sempre utlzado. A formulação da matrz de rgdez gloal em pórtcos e trelças 3D (ntype 7 ou 8) é a segunte: x g Q T Q = l l Q = K U l l l x x Q = T l K l T l U x x K T K T x T = l l lx T l l U = T U x xt x l x U Q K T - relatvo ao referencal local - relatvo ao referencal gloal - relatvo à arra - vector dos deslocamentos generalzados - vector das forças generalzadas - matrz de rgdez - matrz de transformação

11 Anexos A. ANEXO D SEQUÊNCIA DOS PROGRAMAS A EXECUTAR E FICHEIROS ENVOLVIDOS Apresentam-se em seguda exemplos de como utlzar o programa FEMIX trando partdo dos programas auxlares s3dcad, drawmesh, graphd, s3don, s3dsplt e pxtoet. A utlzação destes programas auxlares é descrta com mas pormenor noutros manuas. No Quadro D. encontra-se a lsta dos fcheros que cada programa pode ler ou escrever. No Quadro D. é explcado o sgnfcado das extensões desses fcheros. Quadro D. - Fcheros que podem ser ldos ou escrtos pelos dversos programas. Programa Lê Escreve prefemx *_gl.dat (F) *_gl. n (N) femx posfemx s3dcad drawmesh *_gl. n (N) *.tmp (N) [*_gl. n] (N) [*_d.n] (N) [*_re.n] (N) [*_st.n] (N) [*_sv.n] (N) [*_cm.dat] (F) [*.s3d] (F) [*.dxf] (F) [*_dw.dat] (F) *.s3d (F) [*.cfg] (F) [*_*.pav] (F) *.gd (F) [*.def] (F) *_.tmp (N) *_d.n (N) *_re.n (N) *_sv.n (N) [*_h.gd] (F) [*_st.n] (N) [*_gl.lpt] (F) [*_rs.lpt] (F) [*_me.s3d] (F) [*_dm.s3d] (F) [*_ps.s3d] (F) [*_d.pva] (F) [*_st.pva] (F) [*_sg.s3d] (F) [*_sp.pva] (F) [*_d.s3d] (F) [*.s3d] (F) [*.dxf] (F) [*_gl.dat] (F) [*.px] (N) [*.cfg] (F) graphd [*.px] (N) [*.def] (F) s3don *.s3d (F) *.s3d (F) s3dsplt *.s3d (F) *.s3d (F) pxtoet *.px (N) *.et (N) * - Nome varável F - Fchero formatado N - Fchero não formatado [] - Opconal Depos de termnado o estudo de uma estrutura e para efetos de arquvo, é sufcente guardar o fchero com a extensão _gl.dat, sendo aconselhável apagar os restantes fcheros relaconados com

12 Anexos A. essa estrutura. Se for de prever a eventualdade de repetr o estudo com outro grau de refnamento da malha, devem ser tamém guardados os fcheros que contêm os macro-elementos (.s3d) e as dvsões e pesos (_dw.dat). Quadro D. - Sgnfcado das extensões dos fcheros. oname_ab.xyz AB conteúdo XYZ tpo de fchero Conteúdo dw gl d re rs me dm ps st sg sp cm h Descrção dvsons and weghts - dvsões e pesos geometry and loads - geometra e cargas dsplacements - deslocamentos reactons - reacções results - resultados (deslocamentos, tensões/esforços, reacções) mesh (undeformed) - malha ndeformada deformed mesh - malha deformada prncpal stresses - tensões/esforços prncpas stresses - tensões/esforços stress graphcs - dagramas de esforços com arras sol pressures - pressões no solo comnaton matrx - matrz com os coefcentes das comnações teraton hstory - evolução do erro ao longo do cclo teratvo Tpo de fchero Descrção.s3d formato específco do programa drawmesh (*).gd formato específco do programa graphd (**).dat.n.lpt.pva.tmp (*) ver o manual do programa drawmesh (**) ver o manual do programa graphd fchero formatado contendo dversos tpos de dados fchero não formatado (náro) (não pode ser alterado com um edtor) fchero destnado a ser envado para uma mpressora fchero complementar para a vsualzação de campos escalares com o programa drawmesh (*) fchero temporáro que é automatcamente apagado pelo programa (se a execução for nterrompda deve ser apagado pelo utlzador) EXEMPLO - Caso mas smples preparar o fchero de dados oname_gl.dat com um edtor de texto com ase num fchero d*ev30_gl.dat. ler e valdar os dados com o programa prefemx. gravar os fcheros oname_gl.lpt e oname_me.s3d com o programa posfemx. vsualzar a malha antes do cálculo com o programa drawmesh, fornecendo como fchero de dados oname_me.

13 Anexos A.3 verfcar o conteúdo do fchero oname_gl.lpt. efectuar o cálculo com o programa femx. gravar os fcheros de resultados com o programa posfemx. vsualzar os resultados com o programa drawmesh. EXEMPLO - Preparação dos dados mas elaorada preparar um fchero.dxf com um programa de CAD contendo polylnes 3D que representam os macro-elementos. preparar o fchero oname_dw.dat com as dvsões dos macro-elementos e respectvos pesos recorrendo a um edtor de texto com ase no fchero dev30_dw.dat. com o programa s3dcader o fchero.dxf, refnar a malha, renumerar a malha, gravar um fchero.s3d (provsóro como medda de segurança) e gravar um fchero.dxf com polylnes. O programa s3dcad permte tamém mover, rodar, repetr, adconar, converter malhas de um tpo de elemento para outro, etc.. ler o fchero.dxf acaado de gravar com um programa de CAD, retocar a malha á refnada e gravar um novo fchero.dxf. com o programa s3dcader esta últma versão do fchero.dxf, gravar um fchero.s3d e um fchero _gl.dat. acrescentar ao fchero _gl.dat, os pontos nodas da estrutura com graus de lerdade defndos em sstema de exos especfcados, os apoos elástcos, as lgações ao exteror, as característcas físcas e geométrcas dos elementos e os dversos casos de carga, recorrendo a um edtor de texto ou a programas auxlares escrtos especfcamente para cada stuação. correr os programas prefemx, femx, posfemx, etc.. EXEMPLO 3 - Posprocessamento mas elaorado Depos de executado o programa posfemx com todos as opções necessáras: copar o fchero oname_dm.s3d para oname.s3d. executar o programa drawmesh fornecendo oname como fchero de dados. selecconar a opção C e fornecer a extensão st para vsualzar o campo de tensões sore a deformada (só em meos contínuos). selecconar a opção D para gravar o conteúdo da anela no fchero oname_0.px (0 é um contador que é ncrementado cada vez que se seleccona a opção D). com o programa pxtoet, converter o fchero oname_0.px no fchero oname_0.et (específco para a mpressora Hewlett Packard PantJet). envar o fchero oname_0.et para a mpressora PanJet em modo náro. vsualzar a evolução do erro ao longo do cclo teratvo (caso tenha sdo este o método de resolução utlzado) com o programa graphd, fornecendo como fchero de dados oname_h. concatenar, por exemplo, a deformada de uma lae com a deformada da grelha equvalente recorrendo ao programa s3don. vsualzar amas as deformadas sorepostas com cores dferentes utlzando o programa drawmesh (para oter cores dferentes é necessáro edtar o fchero oname.cfg, que é

14 Anexos A.4 automatcamente gravado com valores por defeto quando ele anda não exste e se corre o programa drawmesh). etc..