O NÚMERO 𝛑 E A QUADRATURA DO CÍRCULO

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1 59 O NÚMERO 𝛑 E A QUADRATURA DO CÍRCULO THE 𝛑 NUMBER AND THE CIRCLE QUADRATURE Juliano Frrira d Lima, Amanda Santos Silva, Frnando Prira d Souza Univrsidad Fdral d Mato Grosso do Sul UFMS, Curso d Licnciatura m Matmática, Três Lagoas, MS juliano.frrira.info2@gmail. RESUMO - Há muito tmpo, crca d 4000 a.c, já xistia o númro 𝜋, porém, não o conhcmos hoj. Val rssaltar qu o primiro matmático a utilizar o númro pi o sndo a ltra grga 𝜋 foi o matmático francês Lonhard Eulr ( ). Tão antigo quanto o valor d 𝜋 é o clbr problma grgo da quadratura do círculo, ou sja, utilizando régua passo construir um quadrado d ára igual à d um círculo dado. Para rsolvr ssa qustão, utilizarmos a idia d númros transcndnts principalmnt o fato d 𝜋 sr um númro transcndnt,ou sja, l não pod sr raiz d uma quação algébrica coficints intiros, fato qu foi provado por o matmático almão Frdinand von Lindmann m 1882, dsta forma, mostrarmos qu é impossívl rsolvr tal problma. Palavras-chav: Problma Grgo; Númro 𝜋; Númros Transcndnts; Gomtria Plana; Áras. Rcbido m: 19/08/2015 Rvisado m: 31/08/2015 Aprovado m: 14/09/2015 ABSTRACT - Long ago, around 4000 BC, thr was alrady th numbr π, but not as w know it today. It is notworthy that th first mathmatician to us th numbr "pi" as th Grk lttr π was th Frnch mathmatician Lonhard Eulr ( ). As old as th π valu is th clbratd Grk problm of squaring th circl, i using rulr and pass to construct a squar qual to th ara of a givn circl. To addrss this issu, w will us th ida of transcndntal numbrs and spcially th fact that π is a transcndntal numbr, maning it can not b th root of an algbraic quation with intgr cofficints, a fact provd by th Grman mathmatician Frdinand von Lindmann in 1882 thus show that it is impossibl to solv such a problm. Kywords: Grk Problm; Numbr π; Numbrs Transcndntal; Plan Gomtry; Aras.

2 60 aprsntação d sminários d discussão 1. INTRODUÇÃO Nst rodas d convrsas. prsnt trabalho irmos aprsntar um dos três problmas clássicos 3. RESULTADOS grgo a quadratura do círculo, ou sja, O qu é o númro 𝝅? construir utilizando régua passo, um Sgundo o Profssor Elon no livro quadrado cuja ára foss igual à d um Explorando a matmática, a manira mais circulo dado. Esss problmas clássicos rápida d rspondr a ssa prgunta é dizr dsmpnharam na qu 𝜋 é o valor da ára d um círculo d matmática, m particular, no studo da diâmtro 1, ou sja, s um círculo tm raio Gomtria. igual a papl significativo Todos os problmas dvriam sr rsolvidos apnas utilizando régua passo, pois, sss ram os únicos instrumntos utilizados por Euclids d Alxandria (pai da gomtria). O trabalho stá 1 2 cm ntão sua ára é dada por 𝜋 𝑐𝑚2. Também podmos dizr qu s 𝐶 é 𝑝 𝜋 = 𝑑, ond uma circunfrência, ntão 𝑝 = 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 d 𝐶 𝑑 = 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 d 𝐶, já qu o quocint ntr primnto o diâmtro d qualqur circunfrência rsulta organizado da sguint forma, no primiro momnto irmos aprsntar o qu é o númro 𝜋, m sguida, abordarmos d forma simpls o qu são os númros transcndnts por fim m um msmo valor, fato st notado a crca d 4000 anos. Antigamnt não s havia um padrão d notação para a razão 𝑝 𝑑 mncionada, sndo qu o grand matmático Eulr o problma grgo. costumava usar 𝜋 ou 𝑐 para dnotar ssa 2. METODOLOGIA constant. Postriormnt l passou a usar O trabalho é rsultado d uma constantmnt a ltra grga 𝜋 para dnotar psquisa tórica qu foi abordada no ssa constant, a partir daí foi sguido Trabalho d Conclusão d Curso (TCC) no plos outros matmáticos. Atualmnt sab-s qu o su valor ço do primiro smstr d 2015 cujo tma é: Trigonomtria aplicaçõs para tm o nsino médio, dsnvolvido através d 3, , sndo qu ja ra d discussõs do tma o orintador. conhcimnto dos babilônios qu: O studo as atividads dsnvolvidas foram avaliados através da uma aproximação dada 𝜋 3,125 < 𝜋 < 3, por

3 61 Dsd Arquimds qu obtv o valor A rsposta da prgunta antrior 𝜋 = 3,1416, alguns matmáticos tm s sugr outra prgunta: S não é possívl ocupado da dsgastant tarfa d calcular o dtrminar xatamnt o valor d 𝜋, ntão 𝜋 uma prcisão cada vz maior. Um porqu calcular 𝜋 cntnas ou milhars dsts matmáticos foi o Inglês Willian d algarismo dcimais? Shanks qu calculou 𝜋 707 algarismos Uma possívl rsposta é a motivação dcimais xatos m Postriormnt part do dsjo d suprar a aproximação o auxílio d máquinas manuais foi fita por outro, motivo plo qual xist, por calculada uma aproximação d 𝜋 808 xmplo, o livro dos rcords do Guinnss. algarismos. d Outra rsposta é o d tstar o bom putadors foi obtida m 1967 na França, funcionamnto d putadors, fazndo uma aproximação d 𝜋 qu calculm o valor d 𝜋 parando algarismos m 1984 nos stados unidos os valors já conhcidos. uma Já aproximação o auxílio algarismos dcimais xatos. Eulr acrditava na irracionalidad 𝜋, assim, Nst ponto cab uma prgunta: apontou 𝜋 qu sria transcndnt. Quantos algarismos dcimais são ncssários para tr o valor xato d 𝜋? l Df. (MARQUES, 2013) Um númro é dito algébrico s l for raiz d um Obviamnt a rsposta para ssa polinômio, não prgunta é qu não é possívl dtrminar intiro, uma quantidad d algarismos dcimais d transcndnt. forma a dtrminar o valor xato d 𝜋, já qu s sab qu o msmo é um númro irracional caso nulo, contrario, coficints l é dito Em outras palavras, s 𝑝(𝑥) não é solução d: (provado plo matmático suíço Johann 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 𝑎𝑛 𝑥 𝑛, 𝑎𝑖 Hinrich Lambrt m 1761), portanto, ℤ, 𝑖 ℕ, nnhuma fração dcimal finita ou priódica ntão 𝑝(𝑥) é transcndnt. pod rprsntar o su valor xato. Em outras palavras, não importa quantos algarismos dcimais tommos, nunca obtrmos uma priodicidad da dízima muito mnos o valor xato d 𝜋, somnt ncontrarmos aproximaçõs. A quadradura do círculo Um antigo problma grgo conhcido o quadratura do círculo é: Construir auxílio d régua passo, um quadrado cuja ára foss igual à d um círculo dado.

4 62 Irmos fazr agora algumas passo, a partir d um sgmnto dado, considraçõs a rspito dst problma, tomado o unidad, outro sgmnto d para isto dirmos construir um númro 𝑥", primnto igual a 𝑥. para significar construir utilizando régua Figura1. Quadratura do círculo. Tomando o raio do círculo o unidad d primnto, o problma d circunfrências, ou sja, são obtidas a partir das sguints opraçõs básicas: quadratura do círculo quival a pdir qu s construa, régua passo, um Traçar rtas por dois pontos dados; sgmnto d primnto igual a 𝜋, pois, a ára do circulo srá dada por 𝐴𝑐 = 𝜋 o Traçar uma circunfrência cntro raio dado. qurmos qu a ára do quadrado sja igual Considrando o plano cartsiano a do círculo, ntão: tmos: 𝐴𝑞 = 𝑙. 𝑙 𝜋 = 𝑙 2 𝑙 = 𝜋. 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (rtas); Assim, o problma da quadratura do (𝑥 𝑎0 )2 + (𝑦 𝑏0 )2 = 𝑟 2 círculo s torna o problma d construir o númro 𝜋 quivalnt ao lado do quadrado. Assim, um númro qu s pod construir é smpr obtido o solução d Sgundo Barbosa (2006), as construçõs gométricas fitas régua passo (circunfrências). são basicamnt rtas um sistma d 2 quaçõs a 2 incógnitas cujos graus são <2.

5 63 { 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, (𝑥 𝑎0 )2 + (𝑦 𝑏0 )2 = 𝑟 2. Portanto, 𝜋 é transcndnt, ntão Logo, s um númro ral 𝑥 pod sr construído, ntão 𝑥 é obtido d um númro finito d opraçõs d adição, subtração, não satisfaz o sistma da quadradura do círculo tornando o problma impossívl. 4. DISCUSSÃO multiplicação, divisão xtração d raiz O problma da quadradura do círculo quadrada, ralizadas a partir d númros xrc um impacto important na motivação intiros. para atrair a atnção dos alunos Portando, todo númro qu pod sr principiants, pois val rssaltar qu o construído régua passo é raiz d principal foco é fazr qu os alunos uma quação da forma 𝛼𝑥 2 + 𝛽𝑥 + 𝛾 = pnsm s ralmnt é ou não possívl 0, 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 ℤ, construir régua passo um círculo construído ou sja, régua todo númro passo é algébrico. ára igual d um quadrado. Muitos Suponhamos qu 𝑥 = 𝜋, sja matmática problmas xploram rlaçõs ntr sistmas coficints intiros, m particular, d grau linguagm coloquial. Part d sua atração 2: vm justamnt do fato d qu podm sr 𝛼𝜋 + 𝛽 𝜋 + 𝛾 = 0 𝛽 𝜋 = 𝛼𝜋 𝛾, ambos os xprssas m formulados, muitas vzs, rsolvidos sm 𝛼( 𝜋) + 𝛽 𝜋 + 𝛾 = 0, lvando quaçõs, d algébrico, logo é raiz d um polinômios 2 d atrants lados ao quadrado: rcorrr a fórmulas ou a técnicas plicadas. 5. CONCLUSÃO 2 (𝛽 𝜋) = ( 𝛼𝜋 𝛾)2, Nst trabalho abordamos um pouco dsnvolvndo o quadrado, podmos rscrvr a quação antrior o: da história do númro 𝜋, o qu são númros transcndnts por fim a quadradura do 𝛼 2 𝜋 2 + 𝜋(2𝛼𝛾 𝛽 2 ) + 𝛾 2 = 0. círculo, o vimos, é impossívl fazr a Dsta forma, podmos obsrvar qu quadradura utilizando apnas régua 𝜋 é solução da sguint quação do 2º grau: passo. Embora parça simpls, é através 𝛼 2 𝑦 2 + (2𝛼𝛾 𝛽 2 )𝑦 + 𝛾 2 = 0. dl qu podmos dmonstrar rsultados É um absurdo, pois, é uma quação possivlmnt insprados rsolvr vários do 2º grau coficints tornando 𝜋 um númro algébrico. intiros xrcícios curiosos, tornando assim o nsino mais prazroso.

6 64 Acrditamos qu nosso objtivo foi atingido o rsultado s obtv um txto claro, bm struturado acssívl a divrsos studants. Est trabalho é d xtrma importância, pois prmit um aprofundamnto sobr os númros transcndnts. REFERÊNCIAS BARBOSA, J. L. W. Gomtria Euclidiana Plana. 10. d. Rio d Janiro: Markgraph, MARQUES, D. Toria do Númros Transcndnts. 1. d. Rio d Janiro: SBM, 2013.