RESPOSTA PÓS-CRÍTICA DE PÓRTICOS PLANOS DISCRETIZADOS COM ELEMENTOS DE VIGA DE EULER-BERNOULLI UTILIZANDO UMA FORMULAÇÃO CO-ROTACIONAL

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1 REPOTA PÓ-RÍTIA E PÓRTIO PANO IRETIZAO OM EEMENTO E VIGA E EUER-BERNOUI UTIIZANO UMA FORMUAÇÃO O-ROTAIONA Rnato ésar Gaazza Mnin Unirsia Brasília UnB Facla Tcnologia partamnto Engnharia iil amps arc Ribiro, 79-9 Brasília F, Brasil -mail: rnatomnin@trra.com.br William Talor Matias ila Unirsia Brasília UnB Facla Tcnologia partamnto Engnharia iil amps arc Ribiro, 79-9 Brasília F, Brasil -mail: talor@nb.br Abstract. Atalmnt, com a crscnt tilização strtras caa z mais sbltas, amnta a possibilia ocorrência fnômnos instabilia qilíbrio tanto na fas pré-crítica qanto na fas postrior a pra stabilia (fas pós-crítica), stano a pra o não a capacia rsistnt intimamnt ligaa com a natrza a instabilia qilíbrio, moo q no prsnt trabalho procro-s obtr ma mlhor aaliação o smpnho a capacia portant nas fass pré pós-crítica. Est trabalho scr o comportamnto pós-crítico pórticos planos iscrtizaos atraés lmntos iga Elr-Brnolli ( ), tilizano a formlação co-rotacional, cjo concito s basia ssncialmnt na composição a configração rfrência m as: ma configração inicial o bas, q é mantia fixa rant toa a anális a configração corotacionaa, q aria lmnto para lmnto, sno obtia com m moimnto corpo rígio, a partir a configração inicial o lmnto. Nsta formlação, as tnsõs formação são mias a partir a configração co-rotacionaa. Nos xmplos nméricos para a obtnção a trajtória primária qilíbrio é tilizao o métoo comprimnto arco cilínrico, combinao com o métoo Nwton-Raphson. Kwors: Formlação co-rotacional, Não linaria gométrica, Pórticos planos

2 . INTROUÇÃO Na mcânica strtral são gralmnt tilizaos ois molos istintos para iscrtizar os lmntos iga q compõm as strtras. O primiro ls é rfrnt à toria clássica iga, também chamao molo Elr-Brnolli ( ), no qal as forças cortants transrsais são obtias a partir o qilíbrio o lmnto, porém o s fito no cálclo as formaçõs é sprzao. A hipóts fnamntal st molo é q as sçõs transrsais prmancm planas normais ao ixo longitinal formao, com a rotação ocorrno m torno o ixo ntro q passa atraés o cntrói a sção transrsal. O sgno é o molo Timoshnko ( ) q corrig a toria clássica iga com o fito as formaçõs cisalhants primira orm. Nsta toria, as sçõs transrsais prmancm planas sofrm rotaçõs m torno o ixo ntro a msma forma q ocorria no molo Elr-Brnolli, porém las não prmancm normais ao ixo longitinal formao, sno sta ifrnça anglar m rlação ao ixo normal prozia plo sforço cortant transrsal q é assmio constant ao longo a sção transrsal. Os ois molos scritos antriormnt stão basaos na hipóts pqnas formaçõs comportamnto lástico isotrópico o matrial. Além isso, ambos não consiram manças nas imnsõs a sção transrsal à mia q a iga s forma. Ests molos pom consirar a não linaria gométrica io ao fito grans slocamntos rotaçõs s q as otras hipótss comntaas antriormnt sjam obcias. Atalmnt, na anális não linar gométrica strtras atraés o métoo os lmntos finitos, são gralmnt saos três tipos scriçõs cinmáticas, q pom sr istingias ntr si basicamnt pla scolha a configração rfrência. A primira las é a scrição lagrangiana total, na qal a configração rfrência é raramnt o nnca maa m gral é igal à configração inicial ao longo toa a anális, sno as tnsõs formaçõs mias com rlação à sta configração. A sgna scrição é a lagrangiana atalizaa, para a qal a última configração m qilíbrio, ma z atingia passa a sr a próxima configração rfrência para os passos sbsqnts, sno as tnsõs formaçõs rfinias assim q a configração rfrência é atalizaa. Já na chamaa scrição co-rotacional, a configração rfrência é iiia m as parts, sno as tnsõs formaçõs mias à partir ma configração co-rotacionaa, ao passo q a configração inicial é mantia como configração rfrência para mir os slocamntos corpo rígio. No prsnt trabalho, srá fito a aprsntação a scrição cinmática rfrnt à formlação co-rotacional, mais spcificamnt para o caso pórticos planos iscrtizaos atraés lmntos iga tilizano-s o molo Elr-Brnolli. A formlação co-rotacional é a scrição cinmática mais rcnt ntr as três comntaas antriormnt, tno m rápio snolimnto na mcânica os sólios s o início a écaa 98, porém sta formlação aina não foi implmntaa nos principais programas comrciais q tilizam o métoo os lmntos finitos. O principal concito sta formlação é a iisão o composição a configração rfrência m as parclas:. A configração inicial ( ) q é mantia fixa ao longo toa a anális. Usalmnt s aota m sistma coornaas global para toa a strtra.. A configração co-rotacionaa ( R ) q aria lmnto para lmnto. Para caa lmnto a configração R po sr obtia atraés o slocamnto corpo rígio m rlação à configração. O sistma coornaas s mo conjntamnt com o lmnto, sno a formação o lmnto mia m rlação ao sistma coornaas local a configração R.

3 . ERIÇÃO INEMÁTIA onsirano-s m lmnto finito iga prismático rto q s mo no plano acoro com a Fig., por simplicia srá amitio como hipóts inicial q os ixos locais (x, ) o lmnto na sa configração inicial stão alinhaos com os sistmas coornaas globais matrial spacial, signaos por (X,Y) (x,) rspctiamnt, tno a sa origm O localizaa na mta o comprimnto inicial o lmnto, finio por. O lmnto iga s mo a configração inicial até a configração atal moo q o ixo longitinal pass atraés os nós xtrmia na configração atal, finino assim o ixo local x. A origm o sistma ixos locais (x, ) é ntão finia na mta a istância ntr os nós xtrmia, formano m ânglo com o ixo local x. A chamaa configração co-rotacionaa R s mo conjntamnt com o lmnto até a configração, posicionano-s simtricamnt com rspito à configração atal, moo q os ixos locais co-rotacionaos (x R, R ) coinciam com os ixos locais (x, ) m., R P R P x,x R P R P (+) O R Y,,, R R R x R x R O X P X,x,x,x R X P O Figra Elmnto finito iga nas configraçõs inicial atal Tomano-s ma partícla P coornaas (X,Y) m, q s mo ao ponto P R coornaas (x R, R ) m R, m sgia s mo ao ponto P coornaas (x,) m, ntão, o slocamnto total a partícla, m coornaas globais po sr scrito por: x X x X Y () sno finio como sno a rotação total, obtia plo somatório a rotação corpo rígio com a rotação formacional, o sja: + () Est slocamnto po ntão sr composto m ma part formacional otra q corrspon ao slocamnto corpo rígio R moo q: R + (x R X) + (x x R ) ()

4 Na formlação co-rotacional, as qaçõs o moimnto formacional são scritas m fnção as coornaas locais (x, ) m, conform a sgint qação: Q. (4) sno Q ma matriz rotação x tilizaa para transformar o sistma global (X,Y) ao sistma local (x, ). Os slocamntos formacionais são tilizaos para obtr o tor forças intrnas a matriz rigiz tangnt, conform srá comntao postriormnt.. istma coornaas Os sistmas coornaas local (x, ) na configração atal global (x,) s rlacionam atraés a sgint qação: x Q.(x ) (5) Esta rlação xprssa na qação acima po sr isalizaa atraés a Fig., sno o tor q rprsnta o slocamnto o ponto O m ao ponto O m. A matriz rotação Q q aparc nas Eq. (4) (5) po sr finia, sgno Gr & War (98), no caso pórticos planos como: x Q x () sno ( x, ) os cosnos irtors o lmnto iga na configração atal (irção o ixo local x ), m rlação ao sistma global coornaas, conform srá comntao postriormnt. Uma z q a matriz Q é ma matriz ortogonal, o sja Q T Q QQ T I, sno I a matriz intia orm, ntão a inrsa a Eq. (5) po sr scrita como: x Q T x + (7). EOAMENTO EFORMAIONAI Nos passos sgints, srá aprsntao a obtnção os slocamntos formacionais m coornaas locais, finio antriormnt na Eq. (4) por. No caso m lmnto iga no plano, as coornaas as partíclas P R m R P m são finias plas qaçõs: x R x X xr T Q X + x Y + R (8) Po Po + x X + IX + X Y Po + Po x + (9)

5 É important nfatizar q as Eq. (8) (9) finias antriormnt, foram zias para m ponto gnérico qalqr P q para m ponto sitao sobr o ixo local x na configração inicial, conform srá o caso os nós xtrmia o lmnto iga, o trmo Po srá nlo, o sja, Po. A intrprtação gométrica a Eq. (8) po sr ista na Fig. (). Nsta figra os cosnos irtors ( x, ) o lmnto iga na configração atal (irção o ixo local x ) são calclaos m fnção o ânglo ntr os ixos locais x x no sntio anti-horário, sno signaos rspctiamnt por (cos,sn). X.cos, R R O R Y.sn x,x R P R x R Y.cos X.sn (+) O P Po x R Figra Posição ma partícla P R na configração co-rotacionaa R mbrano q x x R, conform finio na Eq. () sbstitino-s os alors x x R finios rspctiamnt plas Eq. (8) (9), obtém-s: x x R (I Q T )X + x xr R () Finalmnt, po-s obtr o slocamnto formacional m rlação às coornaas locais atraés a transformação coornaas aa pla Eq. (4): Q. (Q I)X + Q( ) (). Moimnto formacional m fnção os slocamntos noais Nst itm, os slocamntos formacionais finios antriormnt para m ponto gnérico são particlarizaos para os nós as xtrmias os lmntos finios na Fig. () com os ínics. Para o caso spcífico lmntos igas prismáticos rtos no plano, as coornaas noais o lmnto m com rlação ao sistma ixos globais (X,Y) são X X ½ Y Y, sno o comprimnto lmnto nsta configração. Os slocamntos totais formacionais os nós xtrmia pom sr ntão finios por:

6 ,,,,,,,,,,,,, () Uma z conhcia a Eq. (), a Eq. () finia para m ponto gnérico po ntão sr r-scrita m fnção os slocamntos noais: + () sno cos sn os cosnos irtors finios m fnção a rotação corpo rígio. Já os slocamntos translacionais o ponto O m ao ponto O m pom sr xprssos plas sgints qaçõs: ½.( + ), ½.( + ) (4) O próximo passo é finir os alors os cosnos irtors (, ) m fnção os slocamntos noais, m sgia achar o comprimnto o lmnto () na configração atal, conform aprsntao na Fig. (). Val rssaltar q nsta ção, com o intito s rprsntar m caso mais gral, a configração inicial já não s ncontra mais alinhaa com os ixos globais. rot rot rot rot + rot rot x x α α X Y Figra slocamntos globais slocamntos globais rotacionaos

7 Na Fig. () é mostrao o moimnto o lmnto iga no plano, sno q o lao sqro são inicaos os slocamntos globais, o sja m rlação ao sistma ixos globais (X,Y) o lao irito os slocamntos globais rotacionaos. Portanto, o primiro passo é fazr a rotação os slocamntos noais globais m rlação ao sistma ixos locais na configração inicial (x, ), finio m fnção o ânglo α, lmbrano q não é ncssário transformar os ânglos rotação: rot rot rot rot rot rot rot α α α α (5) α cosα X α snα Y ( X X ) ( Y Y ) () Uma z conhcio os slocamntos noais rotacionaos, sgno a Eq. (5), é possíl finir as mais ariáis cinmáticas nolias na formlação co-rotacional m fnção as rlaçõs gométricas aprsntaas na Fig. (): cos sn + rot rot (7) (8) rot rot ( ) ( ) + + (9) finias as principais ariáis cinmáticas nolias na formlação co-rotacional, srão aprsntaos na Fig. (4), à sgir, os slocamntos formacionais m rlação ao sistma ixos locais na configração atal, moo a possibilitar ma mlhor isalização ntnimnto os msmos. É important salintar q são álias as sgints rlaçõs:,,., R + x,x R - Figra 4 slocamntos formacionais no sistma local

8 . riaas parciais os slocamntos formacionais Nas próximas sçõs, srão obtios o tor forças intrnas a matriz rigiz tangnt os lmntos atraés as riaas primira sgna o fncional a nrgia formação. À partir as Eq. (7), (8) (9) po-s finir as sgints xprssõs: ; ; ; ; () ; ; ; ; riano-s caa m os lmntos o tor slocamntos formacionais, finio na Eq. () m rlação aos slocamntos globais, obtém-s a sgint xprssão: () mbrano q ½., a Eq. () po sr r-scrita a sgint forma: () ano m conta as Eq. () () finias acima, as sgnas riaas os slocamntos formacionais pom sr finios por: ()

9 (4) 4. EFORÇO REUTANTE Os sforços rsltants m caa m os lmntos iga na configração atal são N, V, M M, sno N o sforço normal, V o sforço cortant M M os momntos fltors nas xtrmias inicial final. Os sforços N V são constants ao longo too o lmnto ao passo q o momnto fltor M M(x ) aria linarmnt ao longo o lmnto por s tratar m molo hrmitiano. Ests sforços, com as rspctias connçõs sinais são mostraos na Fig. (5) aprsntaa à sgir, sno obtios a partir as formaçõs, acoro com as sgints qaçõs aprsntaas por Harrison (97): N EA ε EA ; V + + EI M M (5) M + EI ; M + EI sno E o mólo lasticia o matrial; A a ára a sção transrsal; I o momnto inércia a sção; os comprimntos os lmntos nas configraçõs inicial atal rspctiamnt; ε a formação ngnharia, o sja, ε ( ). M M N N V V Figra 5 Esforços rsltants connçõs sinais positios 5. ENERGIA E EFORMAÇÃO A VIGA A nrgia formação a iga, consirano-s apnas formaçõs infinitsimais po sr xprssa pla sgint qação: U U A + U F () sno U A U F as nrgias formação axial flxão rspctiamnt. sta forma, aotam-s as sgints xprssõs:

10 U A EA EA ε (7) U F EI ( + + ) (8). VETOR E FORÇA INTERNA O tor forças intrnas f é obtio pla riaa primira o fncional a nrgia formação U m rlação aos slocamntos globais : f U (9) bstitino-s os alors U A U F finios nas Eq. (7) (8) na Eq. (9) sano-s as riaas primiras, finias na Eq. (), chga-s às sgints xprssõs: f A EA EA N N[ ] T () EI EI f F f F [ V V M V V M ] T () Uma z finios os tors f A f F, atraés as Eq. () (), po-s obtr o tor forças intrnas somano-s as contribiçõs ias aos sforços axial flxão: f f A + f F () É important rssaltar q no itm foi sposto q o sistma ixos locais o lmnto na configração inicial sta alinhao com os sistmas ixos globais matrial spacial. Em ma formlação mais gral, s spõ q xist ma crta inclinação ntr sts sistmas ixos finia m fnção o ânglo α, conform aprsntao na Fig. () portanto s r-scrr o tor forças intrnas, m rlação ao sistma ixos globais atraés a sgint rlação: T f g R f () T T Q R T (4) Q on R T é a matriz rotação q transforma o sistma coornaas local para o sistma coornaas global, é ma matriz nla orm Q T, a transposta a matriz Q, xprssa na Eq. (), com os cosnos irtors finios nas Eq. ().

11 7. MATRIZ E RIGIEZ TANGENTE A matriz rigiz tangnt é obtia pla sgna riaa o fncional a nrgia formação U m rlação ao tor slocamntos globais, o forma similar atraés a primira riaa o tor forças intrnas f, pono sr composta m as parts: a matriz rigiz matrial (K M ) a matriz rigiz gométrica (K G ). K G K M K f + U (5) bstitino-s os alors f A f F aprsntaos nas Eq. () () na Eq. (5) sano-s as riaas primiras sgnas, finias nas Eq. (), () (4) chga-s às sgints xprssõs: + f A EA T K M axial + K G axial () f F EI K M flxão + K G flxão (7) flxão axial M M M K K K + ; flxão G axial G G K K K + (8) EA axial M K (9) EI flxão M K (4)

12 N axial G K (4) flxão G V K (4) onform comntao antriormnt para o tor forças intrnas, é ncssário transformar o sistma coornaas local para o sistma coornaas global atraés a opração aprsntaa à sgir, sno R T a matriz rotação finia na Eq. (4): KR R K T g (4) 8. EXEMPO NUMÉRIO Nst itm, são analisaas as strtras istintas mprgano-s a toria igas Elr-Brnolli ( ), sgno a formlação co-rotacional comntaa nos itns antriors. As trajtórias qilíbrio são obtias tilizano-s o métoo comprimnto arco cilínrico combinao com Nwton-Raphson, conform scrito por risfil (99). 8. Pórtico A primira strtra analisaa corrspon a m pórtico plano formao pla nião ntr ma iga ma colna, cjas caractrísticas gométricas são aprsntaas na Fig. (7). Esta strtra foi staa por chwizrhof & Wriggrs (98) sno caa ma as as barras iscrtizaa atraés lmntos iga igal comprimnto. As proprias mcânicas são: A cm, E 7 KNcm I. cm cm P cm Nó Figra Pórtico

13 Na Fig. (7a) são aprsntaas as trajtórias qilíbrio não linar para as irçõs rtical horizontal o nó, sobr o qal é aplicao o carrgamnto; moo a facilitar o ntnimnto as trajtórias qilíbrio obtr ma mlhor isalização o comportamnto pós-crítico a strtra são aprsntaas na Fig. (7b), as configraçõs formaas o sistma para os carrgamntos rfrnts aos pontos limits P P, conform comntao à sgir. arrgamnto (KN) (a) slocamnto (cm) rtical horizontal oornaas Y (cm) (b) Inicial P 8 4 P oornaas X (cm) Figra 7 (a) Trajtórias qilíbrio (b) onfigraçõs formaas onform s po r na Fig. (7a), a trajtória qilíbrio o slocamnto rtical aprsnta pontos limits (tangnt horizontal) trning points (tangnt rtical). Para tctar os pontos limits trning points foi calclao o parâmtro rigiz T crrnt stiffnss paramtr, sgno risfil (99), q s anla qano m sts tipos pontos é alcançao. Nas Fig. (8a) (8b), o T é mostrao m fnção o slocamnto rtical o nó o carrgamnto atant. Atraés stas figras constata-s q o T s anla 4 zs, sno corrsponnts a pontos limits rfrnts a trning points. Na Fig. (8b), rifica-s q o primiro ponto limit (P) ocorr para m carrgamnto.857 KN o sgno (P) para -.95 KN. O carrgamnto rfrnt à P é mito próximo ao alor aprsntao por chwizrhof & Wriggrs (98) q é.85 KN, q ntrtanto não fornc o alor rfrnt à P. T. (a) slocamnto Vrtical (cm) T. (b) arrgamnto (KN) (c) -5 - slocamnto Vrtical (cm) Fnção sign Ng. Piots () Passos arga Fnção sign Ng. Piots Figra 8 T, fnção sign númro pios ngatios

14 Uma otra forma tctar pontos críticos (pontos limits pontos bifrcação) é atraés a chamaa fnção sinal (sign) q toma o alor + s o númro piots ngatios a matriz rigiz trianglarizaa é igal ntr os passos n n toma o alor qano o nmro piots é ifrnt. Nas Fig. (8c) (8), a fnção sinal o númro piots ngatios são mostraos m fnção o slocamnto rtical o númro passos carga. Atraés stas figras constata-s q a fnção sign troca sinal zs, corrsponno aos pontos limits. Val rssaltar q sta fnção não tcta trning points ma z q sts tipos pontos não são consiraos pontos críticos. 8. Arcos circlars A sgna strtra analisaa corrspon a m arco circlar sbmtio a ação ma força rtical no ápic conform aprsntao na Fig. (9) com R cm, assmino-s as coniçõs contorno istintas (arco bingastao o arco rotlao-ngastao), io as qais o arco aprsnta ifrnts comportamntos pós-críticos. A strtra foi iscrtizaa tilizano-s lmntos igal comprimnto, cjas proprias mcânicas são xprssas por: EA N EI N.cm. P P R R 45 o R R 45 o (a) (b) Figra 9 (a) Arco bingastao (b) Arco rotlao-ngastao Na Fig. (a), são aprsntaas as trajtórias qilíbrio não linar para a irção rtical o nó cntral a strtra, para os arcos bingastao rotlao-ngastao, pono s rificar q para o caso o arco bingastao a trajtória qilíbrio aprsnta apnas pontos limits (tangnt horizontal) ao passo q para o arco rotlao-ngastao ocorrm pontos limits trning points (tangnt rtical), ntr os qais ocorr ma acntaa qa a rigiz a strtra na fas pós-crítica Bingastao Rot - ngastao arrgamnto (N) T Bingastao Rot - ngastao slococamnto Vrtical (cm) arrgamnto (N) (a) Figra (a) Trajtórias qilíbrio (b) ra T x carrgamnto (b)

15 onform comntao na sção antrior, para tctar os pontos limits trning points foi calclao o parâmtro rigiz T crrnt stiffnss paramtr, sgno risfil (99), q s anla qano m sts tipos pontos é alcançao. Na Fig. (b), o T é mostrao m fnção o carrgamnto no topo a strtra, pono-s constatar q o T s anla zs para o arco bingastao, corrsponno aos ois pontos limits P P ao passo q para o arco rotlao-ngastao, o T s anla 4 zs, corrsponno aos pontos limits trning points. om o axílio a Fig. (b) é possíl calclar os alors os carrgamntos nos qais ocorrm os pontos limits P P para os ois arcos sno sts alors aprsntaos na Tabla () abaixo: Tabla arrgamntos m Nwton corrsponnts aos pontos limits Tipo Arco P P Bingastao Rotlao-ngastao Para facilitar o ntnimnto as trajtórias qilíbrio obtr ma mlhor isalização as ifrnças no comportamnto pós-crítico a strtra ao s ariar as coniçõs contorno, são aprsntaas nas Fig. (a) (b) as configraçõs formaas o sistma para os carrgamntos rfrnts aos pontos limits P P, conform inicaos antriormnt na Tabla. Ao s obsrar as formaas as strtras, rifica-s q no caso o arco bingastao a strtra sofr formaçõs simétricas ao passo q o arco rotlao-ngastao, sofr ma gran iminição a rigiz acompanhaa formaçõs não simétricas. inicial inicial 8 8 oornaas Y (cm) 4 P oornaas Y (cm) P P -4 (a) -8 P oornaas X (cm) (b) -8 oornaas X (cm) Figra onfigraçõs formaas (a) Arco bingastao (b) Arco rotlao-ngastao Analisano-s as trajtórias qilíbrio na Fig. (a) os carrgamntos corrsponnts aos pontos limits na Tabla, po-s r claramnt q o fato sbstitir m ngast por ma rótla no apoio sqro la a ma gran iminição a rigiz na fas pré-crítica, o sja, antrior ao ponto limit P, conzino à ma iminição a capacia rsistnt a strtra m crca.4 N m gran amnto nos slocamntos, acompanhaa por ma fort não linaria na fas pós-crítica ntr os trning points, além formaçõs não simétricas s o início o carrgamnto.

16 9. ONUÕE O prsnt trabalho t como objtio nfatizar os concitos básicos a chamaa formlação co-rotacional, basaa na composição os slocamntos m slocamntos formacionais corpo rígio, para o caso spcífico pórticos planos iscrtizaos atraés lmntos iga tilizano-s o molo Elr-Brnolli. om a crscnt tilização strtras caa z mais sbltas, amnta a possibilia ocorrência fnômnos instabilia qilíbrio tanto na fas pré-crítica qanto na fas postrior a pra stabilia (fas pós-crítica), stano a pra o não a capacia portant intimamnt ligaa com a natrza a instabilia qilíbrio, moo q no prsnt trabalho procro-s obtr ma mlhor aaliação o smpnho a capacia portant nas fass pré pós-crítica. O métoo comprimnto arco tilizao para obtr as trajtórias primárias qilíbrio possibilito a simlação com boa aproximação o comportamnto strtras sbmtias a grans slocamntos rotaçõs. O parâmtro rigiz T a fnção sinal prmitiram tctar classificar as singlarias ncontraas na matriz rigiz trianglarizaa bm como possibilitaram a obtnção as cargas críticas com boa aproximação m rlação aos rsltaos ncontraos na litratra técnica spcializaa. REFERÊNIA BIBIOGRÁFIA Bath, K. J. & Wilson, E., 97, Nmrical Mthos in Finit Elmnt Analsis, Prntic Hall Inc., Nw Jrs. Brbbia,. A. & Frrant, J., 978, omptational Mthos for th oltion of Enginring Problms, Pntch Prss, onon. ortio, N.,, Anális não-linar trliças spaciais com ifrnts mias formaçõs, tilizano ma formlação co-rotacional, XXX Jornaas l-amricanas Engnharia Estrtral, Brasília. ortio, N.,, Anális não linar pórticos planos tilizano ma formlação corotacional, XXX Jornaas l-amricanas Engnharia Estrtral, Brasília. risfil, M. A., 99, Non-inar Finit Elmnt Analsis of olis an trctrs, Volm : Essntials, J. Wil, hichstr. Flippa,. A.,, A stmatic Appoach to th Elmnt-Inpnnt orotational namics of Finit Elmnts, Rport U-A--, Janar, ris Ma. Flippa,. A.,, Non-inar Finit Elmnt Mthos, lctr nots for th cors Non- inar Finit Elmnt Mthos, Unirsit of olorao, Bolr. Gr, J. M. & War, W., 98, Anális Estrtras Rticlaas, Eitora Ganabara, Rio Janiro. Harrison, H. B.,97, omptr Mthos in trctral Analsis, Prntic Hall Inc., Nw Jrs. Nor-Omi, B. & Rankin,.., 988, Finit rotation analsis an consistnt linarization sing projctors, omp. Mth. in Appli Mchanics an Enginring, 9, pp Powl, G. & imons, J., 98, Impro itration stratg for nonlinar strctrs, Intrnational Jornal for Nmrical Mthos in Enginring, ol. 7, pp Rankin,.. & Nor-Omi, B., 988, Th s of projctors to impro finit lmnt prformanc, omptrs an trctrs, ol., pp chwizrhof, K. & Wriggrs, P., 98, onsistnt linarization for path following mthos in nonlinar F.E. analsis, omptr Mthos in Appli Mchanics an Enginring, 59, pp.-79, North-Hollan.