MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E TÉCNICAS DE ENRIQUECIMENTO DA APROXIMAÇÃO APLICADOS À ANÁLISE DE TUBOS CILÍNDRICOS E CASCAS ESFÉRICAS

Transcrição

1 ISSN MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E TÉCNICAS DE ENRIQUECIMENTO DA APROXIMAÇÃO APLICADOS À ANÁLISE DE TUBOS CILÍNDRICOS E CASCAS ESFÉRICAS Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Rsmo Sab-s q o Métoo os Elmntos Finitos MEF m sa forma convncional é ma frramnta porosa no cálclo strtral morno. Porém, s o problma aprsnta singlarias, como os fitos bora tipicamnt introzios plos vínclos nas strtras m casca, a anális po xigir gran rfinamnto a malha. Procrano rsolvr mais ficintmnt ss tipo problma, rstringino o sto às strtras m casca com simtria rvolção como os tbos cilínricos as cúplas sféricas, sgr-s nst trabalho o mprgo formas não-convncionais o Métoo os Elmntos Finitos. Daas às simtrias forma carrgamnto, a aboragm po sr fita m campo niimnsional. Inicialmnt rsmm-s as rspostas analíticas, m trmos slocamntos sforços, para as strtras citaas, partino-s sas qaçõs ifrnciais govrnants. Em sgia, solçõs aproximativas para as formas fracas corrsponnts são propostas, aplicano-s o Métoo os Elmntos Finitos incorporano-s algns tipos nriqcimnto q caractrizam ma aboragm não-convncional para st métoo. Por fim, miant xmplos aplicação, confrontam-s os rsltaos aproximaos ntr si, tno-s por bas solçõs analíticas, comprovano o bom smpnho gran potncial as altrnativas sgrias. Palavras-chav: tbo cilínrico; casca sférica; métoo os lmntos finitos; técnicas nriqcimnto. INTRODUÇÃO O Métoo os Elmntos Finitos é, sm úvia, ma frramnta bastant porosa ficint para a solção nmérica problmas no âmbito a anális strtral. Qalia rprsntativia a solção são garantias na mia m q a solção xata é sficintmnt sav, MELENK BABUŠKA 996. Boas proprias aproximação as solçõs polinomiais graas por lmntos finitos corrm aina o mprgo técnicas rfinamnto, como os rfinamntos h Mstr m Engnharia Estrtras - EESC-USP, nirschl@bol.com.br Profssor o Dpartamnto Engnharia Estrtras a EESC-USP, prsival@sc.sp.br Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

2 8 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça gra fixo o polinômio rfinamnto progrssivo a malha p malha fixa amnto progrssivo o gra polinomial. Porém, pnno a tipologia a strtra particlarias rlacionaas à sa gomtria carrgamnto, a boa qalia os rsltaos forncios plo MEF po xigir m rfinamnto consirávl a malha, o a tilização polinômios alta orm, ncarcno os cstos comptacionais a anális. Nss contxto, as técnicas não-convncionais nriqcimnto a aproximação constría com o MEF obtivam obtr solçõs satisfatórias, msmo mprgano-s malhas poco rfinaas nriqcimntos a aproximação inicial finia por fnçõs forma polinomiais baixo gra. O nriqcimnto miant fnçõs spciais, por xmplo, constiti-s m altrnativa q po sr xploraa com vantagns m problmas ca solção xata tnha variaçõs fortmnt localizaas. Nst trabalho, sta otras possibilias são mprgaas na anális cascas cilínricas sféricas fig.., particlarmnt porq ssas strtras aprsntam fitos flxão q s concntram nas rgiõs vinclação imposta são ifícil rproção nmérica. Figra. - Estrtras staas. CASCAS DE REVOLUÇÃO A toria linar as cascas lgaas, o finas, GRAVINA 957, tm por bas as sgints hipótss fnamntais: O matrial a strtra é homogêno, isótropo obc à Li Hook. A spssra é pqna m rlação às otras imnsõs. As tnsõs normais à sprfíci méia são sprzívis m rlação às mais componnts tnsão. Os pontos prtncnts, ants a formação, a rtas normais à sprfíci méia, ncontram-s sobr rtas prpniclars à sprfíci méia formaa. 5 - Os slocamntos são mito pqnos m rlação à spssra. Obsrva-s q, no caso strtra sprfíci com spssra mito pqna, a hipóts 5 pr valia, sno ncssário consirar ma aboragm Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

3 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 9 gomtricamnt não-linar. Est trabalho s rstring à aboragm linar, q prsrva, m particlar, a sobrposição fitos.. Casca o tbo cilínrico A formlação analítica para o tbo cilínrico m rgim linar sbmtio a solicitação xtrna com simtria rvolção é clássica ncontra-s scrita m vários livros, ntr ls: BELLUZZI 967 BILLINGTON 965. Obsrva-s q o tbo cilínrico sbmtio intrnamnt à prssão linarmnt istribía, fig.., rcb nst txto a nominação: rsrvatório cilínrico. Figra. - Rsrvatório cilínrico. Aotam-s, portanto, as hipótss grais simtria axial m gomtria carrgamnto, além spssra lgaa. Essa última hipóts é garantia s a rlação ntr a spssra a par o raio o rsrvatório for mnor o igal a /0. Em rgim linar, o chamao problma os rsrvatórios m rgim flxão, formlao m trmos slocamntos axiais raiais, rslta sacoplao, ma vz q as qaçõs ifrnciais q nvolvm tais componnts são inpnnts. A qação q nvolv os slocamntos raiais é claramnt aqla maior intrss. Tno-s m vista os comntários antriors, po-s mostrar q a combinação as rlaçõs qilíbrio, compatibilia constittiva lva à sgint qação ifrncial, BILLINGTON 965: y w E * hy Dy * y + * wy = py y r. m q: y é ma coornaa posição vrtical, com origm na bas o rsrvatório; Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

4 0 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça wy é a fnção q scrv o slocamnto horizontal ao longo a par o rsrvatório, com valors positivos apontano para o cntro a casca; E * hy Dy é a rigiz à flxão a casca, igal a: ; * ν r é o raio méio o rsrvatório; ν é o coficint Poisson; hy é a spssra a par o rsrvatório na posição y; E é o mólo lasticia; py é a fnção q scrv a solicitação xtrna, na forma prssão intrna linarmnt istribía. Acrscntam-s aina os sgints aos: γ P é o pso spcífico o matrial a par o rsrvatório; H é a altra total o tbo. Para o caso particlar spssra constant hy=h, a q.. passa a sr scrita como: w py y + * β * wy =. y D O coficint β q aparc na rlação antrior tm, por finição: * ν β =. r * h Tm-s, m gral, para a solção a forma homogêna a q..: wy h = β*y * C * cos β * y + C + β*y * sn β * y + * C * cos β * y + C * sn β * y. sno C a C constants a trminar. Para o caso prssão intrna linarmnt istribía, tm-s a sgint solção particlar: py * r wy p =.5 E * h Dv-s obsrvar q a solção aa pla q..5 tm por corrsponência o rgim mmbrana o rsrvatório, ma vz q la corrm sforços flxão nlos. A solção gral para os slocamntos horizontais a par o rsrvatório compõ-s a soma as qs...5 solção a homogêna mais solção particlar. Em boa part os txtos clássicos no tma, as constants C C são impostas como nlas para fitos simplificação os cálclos. Ds q o Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

5 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... rsrvatório sa longo, ssa simplificação rproz bm o fato q fitos flxão ma bora não s propagam até a otra bora. Nst trabalho, ntrtanto, prtn-s rsolvr o problma sm rcorrr à tal simplificação. As constants C a C pnm, portanto, os vínclos aotaos m caa caso consirao. D moo mais frqünt stão as coniçõs contorno para rsrvatórios bas ngastaa o articlaa fixa, com topo livr. Por otro lao, inpnnt as coniçõs contorno consiraas, os sforços solicitants sforço normal tangncial N θ, momntos fltors M y M θ sforço cortant Q y rlacionam-s com os slocamntos raiais miant as sgints qaçõs: E * h Nθ y = * wy.6 r w Myy = D * y.7 y Mθ y = ν * M y.8 w Qyy = D * y.9 y Na fig.., po-s visalizar a convnção sinais positivos para os sforços inicaos nas qs..6 a.9. N y M y Q y N θ N θ M θ M θ y M y N y Q y wy wy Figra. - Convnçõs sinal para sforços m rsrvatório cilínrico. A rlação para o sforço N y y rslta ma anális qilíbrio inpnnt. Qano s consira o pso próprio a par, a rlação rsltant é a sgint: Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

6 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça N y = γ * H y * h.0 y p. Casca sférica Uma casca sférica o, cúpla sférica é ma strtra laminar pla crvatra vr fig.. salmnt mprgaa como cobrtra. Os aspctos principais a toria clássica, GRAVINA 957, para formlação rsolção o problma a cúpla com carrgamnto rvolção são rsmios a sgir. Inicialmnt, consira-s ma casca sférica sita ao pso próprio, conform ilstra a fig... Entr os lmntos q lá aparcm inicaos stão: g: a fnção rprsntativa o pso próprio a cúpla por nia ára; t: a spssra constant a cúpla; R: o raio cúpla; C : o ânglo cntral abrtra a cúpla. Figra. - Casca sférica sita a pso próprio. Explorano as simtrias rvolção m forma carrgamnto, sgno m sistma coornaas sféricas, os sforços intrnos solicitants sas variaçõs pom sr rprsntaos como inicao na fig... Figra. - Esforços atants na casca sférica. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

7 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... Combinano-s as rlaçõs qilíbrio, compatibilia ntr slocamntos formaçõs constittiva, é possívl rzir o connto variávis incógnitas à apnas as, Q Φ, xprimir o qilíbrio miant as sgints rlaçõs: Q Q + * cot g Q * cot g + ν E C * t * C * Q = Φ + R * g * sn * ν C. Φ Φ + * cot g Φ * cot g + ν C R * Φ = D C * Q. m q: é a posição anglar mia a partir o topo a cúpla sférica fig..5; Φ é o giro sofrio pla tangnt m ao mriiano, após a formação a cúpla, como ilstrao na fig..5; EC * t D C é a rigiz à flxão a cúpla, igal a: ; * νc E C é o mólo lasticia o matrial a cúpla; ν C é o coficint Poisson o matrial a cúpla. Φ ξ ants a formação após a formação Figra.5 - Dslocamnto horizontal ξ giro Φ, m fnção o ânglo, para casca sférica. As qaçõs ifrnciais.. possm solção gral composta plas parclas solção homogêna particlar. Aqi, como no caso a casca cilínrica, a solção mmbrana constiti boa aproximação para a solção particlar o sistma, s q, BELLUZZI 967, a spssra a casca sa sficintmnt pqna m rlação ao raio. Para o rgim mmbrana m q Q = M = M θ = 0, rprozm-s m sgia as rlaçõs rprsntativas o slocamnto horizontal ξ o giro Φ, além os sforços N N θ, toos m fnção o ânglo vr figs...5. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

8 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça g * R + νc ξ = * sn * cos EC * t + cos. g * R Φ = * + νc * sn. E * t C g * R Ν =.5 + cos Ν θ = g * R * cos.6 + cos O problma flxão rún os fitos os vínclos nas boras o aina, forma qivalnt, os fitos a aplicação xtrna ma força horizontal H C momnto xtrno M C istribíos na bora a cúpla sférica fig..6. Figra.6 - Cúpla sférica sita a força horizontal H C momnto M C istribío na bora. A solção rigorosa o problma flxão é talhaa na litratra, nvolvno séris hiprgométricas, mas aprsnta-s mito trabalhosa, spcialmnt nos casos strtras lgaas, o sa, com valors lvaos a constant λ q..0. Além isso, nsss casos, a convrgência as séris s á com razão mito pqna, BELLUZZI 967. Uma solção analítica simplificaa, vália para coficints λ mais lvaos, q xplora o amortcimnto os fitos as singlarias bora, como ocorr nos tbos, é forncia plo Métoo Gcklr, GRAVINA 957. A solção Gcklr é vália também para cascas abatias C pqno, s q a rlação R/t sa gran. Amitino-s sitaçõs m q as hipótss o Métoo Gcklr sam satisfitas, os trmos orm rivação mais baixa a part homogêna o sistma.. pom sr sprzaos m rlação aos trmos orns mais altas, obtno-s: Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

9 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 5 Q = E C * t * Φ F.7 ΦF R = D C * Q.8 m q Φ F é a parcla flxão Φ. Combinano-s.8.7, moo a liminar o giro Φ F, tm-s finalmnt a qação ifrncial q rprsnta o rgim flxão a casca sférica: Q + * λ * Q = 0.9 m q: R λ = * νc *.0 t A solção a q..9 é smlhant àqla aprsntaa para a flxão o tbo cilínrico q..5. Sno assim: Q = λ* * L * cos λ * + L + λ* * L * sn λ * + * cos λ * + L * sn λ *. m q: = C vr fig..5; L a L são constants a trminar. A imposição as coniçõs contorno m caa caso prmit intificar os valors as constants L a L. Em fnção a solção acima, os sforços solicitants as variávis cinmáticas, para o rgim flxão, pom sr trminaas plas sgints qaçõs: R * sn Q C ξf = * + νc * Q * cot g C E * t C. Q ΦF = * E * t. C N = Q * cot g. F C Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

10 6 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Q N θf =.5 D Q C M = * R * E * t.6 C M = νc * M.7 θ MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF. MEF aplicao a cascas cilínricas D início, a qação ifrncial a casca cilínrica q.. é rscrita moo a prmitir lvar m conta, convnintmnt, a possibilia variação a spssra. Nss sntio, consir-s q a spssra o rsrvatório sa trminaa por: h 0 y = h * fy. m q h 0 é a spssra na bas o rsrvatório. Para o caso variação linar a spssra ao longo a altra, po-s finir fy como: fy γ = * y H. m q γ é m coficint aimnsional finio pla razão ntr a spssra no topo a spssra na bas o rsrvatório. Dst moo, a q.. passa a aprsntar a sgint forma: y fy w * y + * β y 0 * fy * wy = py D 0. m q: D 0 E * h0 =. * ν E * h 0 β 0 =.5 * r * D0 Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

11 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 7 Consirano-s ma fnção aproximativa w y, com boas proprias rprsntativia a solção, po-s scrvr, inicialmnt, a sgint forma m rsíos ponraos: H + β = w py v y* fy * y * 0 0 * * w y * y 0 fy.6 y y D0 m q: vy é ma fnção ponração; w y v aprsntar, plo mnos, continia até a orm. Aota-s, m sgia, ma iscrtização para o omínio a solção miant m connto nós lmntos. Nst trabalho, caa lmnto contém nós nas sas xtrmias. Na fig.., os gras libra associaos à caa nó são inicaos sobr m lmnto gnérico. RESERVATÓRIO CILÍNDRICO DISCRETIZAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS ELEMENTO GENÉRICO ELEMENTO N w w py ELEMENTO ELEMENTO py w w h y y Figra. - Discrtização m rsrvatório cilínrico para aplicação o MEF. Consirano a ivisão o omínio, a intgral q aparc na q..6 passa a sr composta pla soma as intgrais sobr os lmntos. Po-s ntão rprsntar a forma fraca para m lmnto gnérico rivano-s as vzs por parts a primira parcla a q..6: + = y y + v fy * y * y fy y+ y py D 0 w * y * vy y y w * vy * y y y + y y * fy y + w * y y + y *β y * 0 v y y y+ y + * fy*w y * vy * y =.7 Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

12 8 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça m q y y + são, rspctivamnt, as coornaas os nós inicial final o lmnto. Not-s q na q..7 as rivaas sobr vy w y são a msma orm, proporcionano simtria à formlação. D moo a garantir a xistência solção ntro os limits o lmnto, as intgrais nvolvno as fnçõs aproximativa ponraora formas bilinars somaas vm aprsntar valor finito; nss sntio, aota-s ma fnção aproximativa polinomial gra, q é o mnor gra q garant aqla conição. Nssas coniçõs, a aproximação passa a sr rprsntaa por: w y = w * y.8 = m q w são os gras libra primários slocamnto giro nos nós coornaas locais 0 h. As qatro fnçõs forma o lmnto, inicaas m.8, são aas por: = y * y h + * y y = y * h y y y = * * h h = y y y y * h h y h.9 As fnçõs forma.9 constitm ma bas aproximativa hrmitiana cúbica para o MEF. Otra bas intrss é a linar, inicaa abaixo: N y = N y = y h y h.0 Utilizano-s a msma bas aproximação para vy w y Galrkin, a sa sbstitição na q..7 lva ao sgint connto qaçõs para o lmnto finito gnérico: = [ K * w ] i, Fi = 0 i =,...,. m q: Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

13 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 9 h i K = * * * * * i, f y + y y y + * β f y + y * y y y 0 0 i y y py + y F y y Q h i = * * 0 i + i D0.. Os trmos. compõm os componnts a chamaa matriz rigiz o lmnto q, nst caso, é simétrica; á a q.. fornc os componnts o chamao vtor forças noais o lmnto, isto é: as forças noais corrsponnts às forças irtamnt aplicaas às forças noais prscritas nas xtrmias o lmnto. A gração m forma matricial o sistma global rsolvnt a partir as contribiçõs os lmntos é inicaa na fig.., sno N o númro lmntos. Obsrva-s q, na asência forças noais concntraas, os trmos Q i vr q.. anlam-s na sobrposição. Figra. - Matriz rigiz K vtor forças noais F obtios na formlação o MEF. Na simbologia aotaa para a matriz global K, inicaa na fig.., caa qarao prnchio rprsnta a matriz rigiz m lmnto, cos valors são calclaos pla q... No vtor global F, caa rtânglo prnchio rprsnta o vtor forças noais m lmnto, com ss valors calclaos pla q... Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

14 0 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça A strtra a matriz rigiz global K tm ma forma m bana, porq os nós o problma stão, por hipóts, nmraos sqüncialmnt no sntio crscnt y,, além isso, é simétrica. As coniçõs contorno ssnciais vm sr impostas irtamnt no sistma global rprsntao na fig... Para o connto problmas analisaos, consira-s q o contorno sprior é livr o infrior po sr ngastao o articlao fixo. Uma vz ncontrao o vtor incógnito, é possívl novamnt consirar o arrano lmntos ncontrar a istribição sforços ao longo caa lmnto finito: E * hy y N y * w θ = y. r + M y D * fy y * w y = 0 + = * y y.5 M Q y y y = y.6 y M y * M θ = ν y.7 y. MEF aplicao a cascas sféricas A rsolção nmérica o problma a casca sférica miant aplicação o MEF, poria partir analogamnt ao caso os tbos, a ponração o sistma qaçõs ifrnciais scrito plas... Entrtanto, trata-s m sistma misto nvolvno as variávis istintas a srm aproximaas. Tal procimnto srá aqi simplificao, consirano-s apnas os fitos ma força horizontal H C m momnto xtrno M C istribíos ao longo a bora a casca sférica fig... Dss moo, po-s rzir o sistma a ma única qação na variávl rprsntativa o sforço cortant, além o q são para sts casos q xist solção analítica confronto. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

15 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008 ELEMENTOS FINITOS CASCA ESFÉRICA ELEMENTO GENÉRICO E Q Q Q Q c ELEMENTO N ELEMENTO H c M c Figra. - Discrtização ma casca sférica para aplicação o MEF. Uma vz obtia a forma fraca.9, consirano-s ma solção aproximaa Q aotaa ma iscrtização formaa por lmntos finitos finios m fnção o ânglo abrtra a casca, fig.., a rlação para m lmnto rslta: 0 * v * * * * v * v * v * = λ Q Q Q Q.8 m q: v é ma fnção ponração; + são as coornaas anglars o nó inicial final o lmnto. Aotano-s ma fnção aproximaora polinomial gra máximo, como fito para os tbos, m coornaas sféricas locais o lmnto os parâmtros noais assmm os sgints significaos: 0 0 E E = = = = Q Q Q Q Q Q Q Q.9 Rslta, para o lmnto finito gnérico a sgint aproximação: * = = Q Q.0

16 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008 sno as fnçõs forma aas por: = = = + = E E E E E E E * * * * * *. Nas rlaçõs antriors: E é o ânglo abrtra o lmnto E ; é a coornaa anglar local, inicaa na fig... Sbstitino-s.0 m.8 consirano-s para v ma aproximação aa plas msmas fnçõs forma Q, rslta: [ ] 0 * K, i = = Q. m q: 0, * * * E i i i K * * λ = +. As contribiçõs as matrizs rigiz os vtors forças noais os lmntos gram m sistma global q sg sistmática iêntica àqla aprsntaa para casca cilínrica inicaa na fig... As coniçõs contorno q vm sr impostas irtamnt ao sistma global corrsponm à força H C momnto M C aplicaos na bora infrior a casca. Dpois ncontrao o vtor incógnito, é possívl voltar ao arrano lmntos ncontrar as otras variávis intrss slocamnto horizontal ξ, giro Φ, sforço normal N,sforço tangncial θ N momntos M θ M, acoro com as figs...5: + + ν + = ξ g cot * * * t * E sn R * C C Q Q.

17 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... Φ = E C * t Q *.5 N = Q * cot g +.6 Q N θ =.7 D Q C M = * R * E * t.8 C M = ν * M.9 θ C ENRIQUECIMENTO DAS APROXIMAÇÕES DO MEF. Métoo os Elmntos Finitos Gnralizaos MEFG O Métoo os Elmntos Finitos Gnralizaos MEFG, DUARTE, BABUŠKA ODEN 000, TORRES 00, incorpora na strtra básica o MEF técnicas rcrsos os chamaos Métoos sm Malha, com o propósito mlhorar a aproximação no omínio o problma. O MEFG tm como principal caractrística o nriqcimnto sobr aproximaçõs q s caractrizam como partição a nia, PU, o connto fnçõs co somatório os valors nm ponto o omínio é igal à nia. No MEF clássico, mbora sa possívl constrir spaços fnçõs nãopolinomiais q forncm boas proprias aproximação local, tal procimnto não garant a continia ntr lmntos a fnção aproximação global, MELENK BABUŠKA 996. Já o MEFG, ao xplorar a PU, garant a constrção spaços aproximação conforms, msmo tilizano fnçõs não-polinomiais. No MEFG, o númro fnçõs forma é composto plas fnçõs forma originais o MEF, q constitm ma PU, mais ma combinação las com otras fnçõs, chamaas nriqcoras. Porém, s form nriqcias também otras fnçõs a bas aproximativa q não constitam ma PU, o nriqcimnto não é, a rigor, m MEFG, sim m MEF hirárqico. Gnricamnt, a fnção aproximativa o MEFG para m campo, nm omínio govrnao pla variávl x, tm a sgint forma: n n I ûx = ϕ x * û + ϕ x FEx * b. = = α= α α m q α b são parâmtros noais acrscntaos plo nriqcimnto. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

18 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Acrscnta-s q o nriqcimnto po sr sltivo, isto é, fito apnas m ma rgião spcífica o omínio, sno a part rstant aproximaa sm nriqcimnto com a strtra convncional o MEF. Como xmplo o procimnto nriqcimnto, consir-s ma bas aproximativa o MEF aa por fnçõs forma, ϕ, fnção nriqcora. Amita-s q, ssa bas, apnas ϕ, ϕ ϕ ϕ, sa FE ma ϕ formm ma PU. D acoro com o MEFG, para a rgião nriqcia, havrá 6 fnçõs forma: ϕ, ϕ, ϕ, ϕ *FE ϕ *FE. Na fig.. stá rprsntao o sistma corrsponnt ao xmplo, para o caso lmntos, com os três nós nriqcios. ϕ, b b b b K = F = b b b b nriqcimnto Figra. - Esqma nriqcimnto plo MEFG.. Altrnativas nriqcimnto O procimnto chamao aqi MEFH caractriza-s por contr fnçõs na bas aproximativa q apsar não formarm ma PU pom sr mltiplicaas por fnçõs nriqcimnto. Na fig.. stá inicao m sistma gnérico montao acoro com o MEFH, para lmntos fnção nriqcora aicionaa à msma bas polinomial scrita no itm.. No procimnto nominao nriqcimnto por bas xpania, MEFBA, a bas inicial é ampliaa miant aição fnçõs forma spciais intrss. Obviamnt, à caa fnção aicionaa s associa m gra libra primário, não-atrlao à nó sm qalqr significao físico. Nst caso, o sistma global trá m amnto m sa orm igal ao númro fnçõs nriqcoras. Encontra-s na fig.. ma visalização m sistma gnérico o MEFBA com lmntos fnção nriqcora aicionaa à msma bas polinomial scrita no itm.. A fnção aproximaora m campo, nm omínio govrnao pla variávl x global, no caso o MEFBA, tm a sgint forma: Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

19 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 5 n I FEx * b ûx = ϕ x * û +. = α= α α b b b b b b b 5 b 6 b b K = F = b b nriqcimnto b b b 5 b 6 Figra. - Esqma nriqcimnto MEFH. b K = F = nriqcimnto b Figra. - Esqma nriqcimnto MEFBA.. Enriqcimntos o MEF aplicaos aos tbos No caso os tbos, mprgam-s nas altrnativas nriqcimnto comntaas no itm antrior, fnçõs q fazm part a solção analítica para spssra constant. Assim, aotam-s: β*y fy = * cos β * y. β*y fy = * sn β * y. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

20 6 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça As possibilias mprgo o MEF tstaas, q inclm as altrnativas nriqcimnto, stão scritas abaixo com as siglas a las associaas. RMEFL: Caso particlar o MEF tilizano as fnçõs forma linars aas m.0. Aplica-s ssa aproximação xclsivamnt para anális o rgim mmbrana bas slizant o rsrvatório com spssra constant. RMEF: Caso particlar o MEF convncional sm nriqcimnto tilizano como bas aproximativa as fnçõs forma aas m.9. RMEFH: MEFH tilizano as fnçõs.. para nriqcr toas as fnçõs a bas.9. RMEFG: MEFG tilizano as fnçõs.. para nriqcr as fnçõs a bas.9 q constitm ma PU. 5 RMEFBA: MEFBA tilizano como bas aproximativa as fnçõs forma aas m.9, sno ralizao nriqcimnto com as fnçõs... 5 PROGRAMA Elaboro-s m programa m lingagm FORTRAN, ca aprsntação ncontra-s scrita no q sg. Uma anla aprsntação fig. 5. aparc qano o aplicativo é xctao. Figra 5. - Janla aprsntação o aplicativo. Acionano-s o botão INICIAR, aparc a anla para as scolhas a strtra a sr calclaa a bas aproximativa fnçõs o MEF fig. 5.. Nota-s q, inpnntmnt a scolha o métoo aproximao, os gráficos rspostas xibm smpr a solção analítica a strtra. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

21 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 7 O rsrvatório cilínrico po sr analisao somnt com forças linarmnt istribías na par a cúpla amit anális os fitos pso próprio solção analítica o forças momntos istribíos niformmnt m sa xtrmia. Figra 5. - Janla para scolha a strtra métoo cálclo aproximao. Aciona-s o botão AVANÇAR, pnno a scolha strtral, ma anla aparc para a ntraa aos rfrnts à gomtria, às forças xtrnas ao métoo nriqcimnto s sao. Na fig. 5. é mostraa a anla ntraa aos para rsrvatório cilínrico, na fig. 5., a anla ntraa aos para cúpla sférica sita a força horizontal Hc momnto concntrao na xtrmia Mc. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

22 8 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Figra 5. - Janla ntraa aos rfrnt a rsrvatório cilínrico. Figra 5. - Janla ntraa aos rfrnt a cúpla sférica sita a Hc Mc. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

23 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 9 Os aos rfrnts ao númro lmntos finitos, sgino a convnção aa na figra q aparc na anla ntraa aos, vm sr prnchios no grpo DADOS SOBRE O MEF. Para s tilizar lmntos comprimntos igais m too o omínio, vs informar o númro lmntos na caixa ição o grpo TODOS OS ELEMENTOS COM O MESMO COMPRIMENTO acionar, m sgia, o botão INCLUIR ELEMENTOS. Fazno isso, os comprimntos os lmntos são xibios na lista o grpo COMPRIMENTO DOS ELEMENTOS, bm como são xibios o somatório os comprimntos os lmntos o númro lmntos nas caixas státicas o canto infrior irito o grpo DADOS SOBRE O MEF. Para s tilizar comprimntos ifrnts os lmntos, ss valors vm sr caastraos m a m, na caixa ição o grpo ELEMENTOS COM COMPRIMENTOS DIFERENTES, acionano-s o botão INCLUIR ELEMENTO para inclir m lmnto na lista o grpo COMPRIMENTO DOS ELEMENTOS. Caastraos os lmntos, vm sr forncios os aos sobr o nriqcimnto, no grpo DADOS SOBRE O ENRIQUECIMENTO. Dv-s scolhr o tipo nriqcimnto por mio a caixa lista no grpo ESCOLHA O TIPO DE ENRIQUECIMENTO, sno q as fnçõs nriqcoras pom sr visalizaas acionano-s o botão VER FUNÇÕES DISPONÍVEIS. Fito isso, inclm-s os nós a srm nriqcios por mio os botõs no grpo NÓS A SEREM ENRIQUECIDOS. Tais nós pom sr caastraos m a m, no grpo INCLUSÃO INDIVIDUAL, o toos ma vz, plo botão TODOS. Na lista NÓS ENRIQUECIDOS aparcm os nós a srm nriqcios. Na fig. 5.5 aparc a anla ntraa aos para cúpla sférica sita a pso próprio, m q apnas é possívl a anális a solção analítica. Figra Janla ntraa aos rfrnt a cúpla sférica sita a pso próprio. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

24 0 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Prnchios os aos ntraa, po-s confrir visalmnt os aos forncios, para os casos rprsntaos nas figs , acionano-s o botão VERIFICAR DADOS. Aparc ma anla gráfica inpnnt, como a as figs. 5.6 rsrvatório cilínrico 5.7 cúpla sférica, cos snhos são apnas para vrificação, não aprsntano ma scala finia. Figra Janla vrificação gráfica os aos ntraa - rsrvatório cilínrico. 5 Prnchios vrificaos os aos ntraa, nas anlas as figs. 5., 5. o 5.5, aciona-s o botão CALCULAR, aparcno ma anla confirmação fig. 5.8 pois conclío o procssamnto. Figra Janla vrificação gráfica os aos ntraa para cúpla sférica sita a força horizontal momnto concntrao na bas. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

25 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... Figra Janla confirmação o scsso os cálclos. Acionano-s o botão CONTINUAR na anla a fig. 5.8, aparc a anla rfrnt aos rsltaos. Nas figs. 5.9, são mostraas as anlas rsltaos para os três casos rprsntaos nas figs. 5., , rspctivamnt. Figra Janla rsltaos rfrnt a rsrvatório cilínrico. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

26 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Figra Janla rsltaos rfrnt a cúpla sférica sita a Hc Mc. Figra 5. - Janla rsltaos rfrnt a cúpla sférica sita a pso próprio. Nas anlas as figs. 5.9, , aparc ma figra rfrnt à convnção para os sntios positivos os parâmtros saía. Tal ilstração também não ofrc intrativia nm obc a ma scala gométrica. Os aos saía têm ss valors imprssos m listas organizaas sgno os valors noais caso haa métoo cálclo aproximao após pós- Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

27 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... procssamnto colna sqra sgno 00 pontos igalmnt spaçaos sobr o omínio colna irita. Além as anlas os aos saía no programa, os aos nméricos saía são imprssos no arqivo RESULTADOS.TXT. Nas anlas as figs. 5.9, , xistm aina botõs na part sprior q, pois acionaos, xibm, m ma anla gráfica inpnnt, os gráficos corrsponnts aos parâmtros ao longo o omínio. Na fig. 5. é xibio m xmplo gráfico saía slocamnto para rsrvatório cilínrico. Uma última consiração é q a aplicação criaa não é rstrita a m sistma fixo nias. Estão inicaas, ao lao as caixas ição ntraa aos ao lao os valors saía, as imnsõs caa variávl, sno las: L imnsão comprimnto F imnsão força. Figra 5. - Exmplo anla gráfico slocamnto rfrnt a rsrvatório cilínrico. 6 EXEMPLOS NUMÉRICOS 6. Rsltaos para rsrvatório cilínrico A tabla 6. aprsnta os aos ntraa scolhios para o xmplo nmérico rsrvatório cilínrico. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

28 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça Tabla 6. - Daos ntraa tilizaos para o cálclo rsrvatório cilínrico. PARÂMETRO VALOR Altra m 0,00 Raio m 8,00 Espssra constant m 0,05 Coficint Poisson 0,0 Mólo lasticia kn/m,0*0 9 Pso spcífico o líqio prnchimnto kn/m 000,00 Colocam-s m confronto os valors slocamnto horizontal w, sforço cortant Q y momnto fltor M y, com sas convnçõs sinal irção visalizaas nas fig... Os valors N θ M θ não são aqi xibios, á q são proporcionais a w M y, rspctivamnt vr q...7. O primiro rsltao rfr-s ao rgim mmbrana o rsrvatório bas slizant, co único procimnto aproximao aplicao foi o RMEFL. No gráfico 6. são aprsntaas as solçõs aproximaa analítica os slocamntos para 0 lmntos igalmnt spaçaos. Natralmnt, o sforço cortant Q y o momnto fltor M y são nlos, acoro com as hipótss o rgim mmbrana altra o rsrvatório m E E E E E E E E+00 slocamnto horizontal w m - bas slizant Solção analítica RMEFL Posiçõs os nós Gráfico 6. - Crva slocamnto w para o caso RMEFL. Acrscnta-s q com apnas m lmnto os slocamntos obtios com o procimnto RMEFL são xatos, pois a solção analítica é rgia por ma fnção linar. Para ma comparação ntr os procimntos scritos no caso bas articlaa fixa, consira-s ma iscrtização como a mostraa na fig. 6.. Lmbras q, no caso RMEFBA, o nriqcimnto não é mais sltivo. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

29 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 5 Figra 6. - Discrtização aotaa para rsrvatório cilínrico com bas articlaa fixa. Nos gráficos 6. a 6. mostram-s crvas obtias para slocamnto horizontal w, momnto fltor M y sforço cortant Q y, plos procimntos RMEF, RMEFH, RMEFG RMEFBA, além a solção analítica altra o rsrvatório m E E E E E E E E+00 slocamnto horizontal w m - bas articlaa fixa Solção analítica RMEF RMEFH RMEFG RMEFBA Nós nriqcios Nós não nriqcios Gráfico 6. - Dslocamnto horizontal - bas articlaa fixa. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

30 6 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça altra o rsrvatório m momnto fltor M y kn*m/m - bas articlaa fixa Solção analítica RMEF RMEFH RMEFG RMEFBA Nós nriqcios Nós não nriqcios Gráfico 6. - Momnto fltor - bas articlaa fixa altra o rsrvatório m sforço cortant Q y kn/m - bas articlaa fixa Solção analítica RMEF RMEFH RMEFG RMEFBA Nós nriqcios Nós não nriqcios Gráfico 6. - Esforço cortant - bas articlaa fixa. As ifrnças ntr o RMEF os procimntos nriqcios são mais marcants qano s analisam os sforços gráficos 6. 6., á q nos procimntos nriqcios as rivaas as fnçõs nriqcoras xponnciais rsltam aina m fnçõs xponnciais, o q não acontc no RMEF. Po-s afirmar q o RMEFH o RMEFBA aprsntam os mlhors rsltaos. Obsrva-s q o RMEFH tm csto comptacional bm maior o q o RMEF o o RMEFBA. Est fato, q é sprzívl para o caso niimnsional, po vir a sr important nm qacionamnto m as o três imnsõs. Acrscnta-s q o RMEFBA, com apnas lmnto, aprsnta solçõs xatas para slocamnto sforços. Para rsrvatório com bas ngastaa é ncssário m númro maior lmntos para aproximar bm os rsltaos, m comparação com a bas articlaa Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

31 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 7 fixa. Os rsltaos comparativos são, ntrtanto, qalitativamnt igais aos aprsntaos para ssa última bas. 6. Rsltaos para cúpla sférica Nst xmplo, os rsltaos nméricos obtios com o MEF, aplicao sgno o procimnto scrito no itm., para o problma a cúpla sférica são comparaos com as rspostas analíticas. Os aos a cúpla stão inicaos na tabla 6. a iscrtização aotaa rprsntaa na fig. 6.. Tabla 6. - Daos ntraa tilizaos para a anális a cúpla sférica. PARÂMETRO VALOR Ânglo abrtra gras 60 Raio m 8,00 Espssra constant m 0,05 Coficint Poisson 0,0 Mólo lasticia kn/m,0*0 9 Hc kn/m,00 Mc KN*m/m,00 Figra 6. - Discrtização aotaa para cúpla sférica. Nos gráficos 6.5 a 6.9 stão as crvas para sforço cortant Q, momnto fltor M, sforço tangncial N θ, giro Φ slocamnto horizontal ξ, obtios com o MEF confrontaos com a solção analítica. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

32 8 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça 60.0 ânglo - bas para topo gras sforço cortant Q kn/m 0.0 Solção analítica CMEF Posiçõs os nós Gráfico Crva sforço cortant Q para o caso MEF ânglo - bas para topo gras momnto M kn*m/m 0.0 Solção analítica CMEF Posiçõs os nós Gráfico Crva momnto fltor M para o caso MEF. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

33 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à ânglo - bas para topo gras sforço tangncial N θ kn/m 0.0 Solção analítica CMEF Posiçõs os nós Gráfico Crva sforço tangncial N θ para o caso MEF ânglo - bas para topo gras E-06.00E-06.0E-05.0E-05 giro Φ raianos 0.0 Solção analítica CMEF Posiçõs os nós Gráfico Crva giro Φ para o caso MEF. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

34 50 Gstavo Cabrlli Nirschl & Srgio Prsival Baroncini Pronça 60.0 ânglo - bas para topo gras E-06.00E-07.0E-06.0E E-06 slocamnto ξ m 0.0 Solção analítica CMEF Posiçõs os nós Gráfico Crva slocamnto horizontal ξ para o caso MEF. Os valors N M θ não stão aqi xibios porq são proporcionais a Q M, rspctivamnt vr qs Nota-s q as rspostas, xcto momnto fltor M gráfico 6.6, são bm próximas as xatas. Para M a fnção aproximativa rslta ma composição polinômios linars trcira rivaa o sforço cortant, o q xplica a mnor prcisão a ncssia por ma iscrtização mais rfinaa. 7 CONCLUSÕES Nota-s o gran potncial o nriqcimnto com fnçõs spciais para a solção nmérica o problma o rsrvatório cilínrico, principalmnt m rlação à scrição os sforços. A aplicação convncional o MEF, q mprga bas aproximativa hrmitiana é limitaa, particlarmnt no q s rfr à scrição os sforços intrnos gnralizaos. D fato, os gráficos os sforços aprsntam scontinias ntr os lmntos, m razão a mnor orm continia as rivaas a bas aproximativa, irtamnt mprgaas na scrição o momnto fltor a força cortant. As scontinias nos sforços são rzias com os procimntos nriqcimnto propostos, qas saparcno para o RMEFH para o RMEFBA. Cab obsrvar, ntrtanto, q a continia ntr lmntos a bas aproximativa trmina também a continia a aproximação nriqcia, inpnnt o gra nriqcimnto atingio no intrior o lmnto. Portanto, a ficácia os procimntos nriqcimnto pn fortmnt a continia a bas aproximativa tilizaa. D fato, consirano-s bass mito simpls, apsar os sforços srm mais bm rprsntaos plos procimntos nriqcios m comparação com o MEF convncional, a continia ntr os lmntos, para as rivaas, não é ncssariamnt garantia. Nss aspcto o nriqcimnto por bas stnia mostra-s mais ficint, prmitino contornar a qstão Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008

35 Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à... 5 continia, ispnsano a altrnativa m amnto o gra continia a aproximação bas. Em rlação às cúplas sféricas, a variávl aproximaa plas fnçõs bas foi irtamnt m sforço solicitant, moo q a forma convncional o MEF, rcorrno apnas ao rfinamnto a malha mostro-s ficint. 8 AGRADECIMENTOS Agracmos a CAPES, plo apoio financiro, aos fncionários o Dpartamnto Estrtras a USP São Carlos, q forncram toa a strtra ncssária para a ralização as psqisas. 9 REFERÊNCIAS BARROS, F. B. 00. Métoos sm Malha Métoo os Elmntos Finitos Gnralizaos m Anális Não-Linar Estrtras. p. Ts Dotorao - Escola Engnharia São Carlos Univrsia São Palo. BELLUZZI, O Ciência la Contrccion. v.. Mari: Agilar. BILLINGTON, D. P Thin shll concrt strctrs. McGraw Hill Book Company, Inc. DUARTE, C. A.; BABUŠKA, I.; ODEN, J Gnraliz finit lmnt mthos for thr-imnsional strctral mchanics problms. Comptrs & Strctrs, v. 77, n., p. 5. GRAVINA, P. B. J Toria cálclo as cascas. São Palo. MELENK, J. M.; BABUŠKA, I Th partition of nity finit lmnt mtho: Basic thory an applications. Comptr Mthos in Appli Mchanics an Enginring, v. 9, p. 89. NIRSCHL, G. C Métoo os lmntos finitos técnicas nriqcimnto a aproximação aplicaos à anális tbos cilínricos cascas sféricas. São Carlos. Dissrtação Mstrao - Escola Engnharia São Carlos Univrsia São Palo. REDDY, J. N. 99. An introction to th Finit Elmnt Mtho. Nw York. McGraw-Hill. TORRES, I. F. R. 00. Dsnvolvimnto aplicação o métoo os lmntos finitos Gnralizaos m anális triimnsional não-linar sólios. São Carlos. Ts Dotorao - Escola Engnharia São Carlos Univrsia São Palo. ZIENKIEWICZ, O. C Th Finit lmnt mtho. Lonon; Nw-York. McGraw-Hill. Carnos Engnharia Estrtras, São Carlos, v. 0, n. 7, p. 7-5, 008