4 Técnica do Furo Elíptico

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1 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 68 4 Técnic do Furo Elíptico Neste cpítulo mostr-se o desenvolvimento de um nov técnic de medição de tensões residuis. El se bsei ns técnics de seccionmento, de remoção de cmds e n própri técnic do furo cego. É um técnic destrutiv, propost pr uso em medições pr vlir tensões residuis, inclusive quels gerds nos processos de fbricção de equipmentos. 4.. Princípios Fundmentis A técnic consiste n usingem de cortes longos n superfície d peç. Os cortes livim s tensões existentes no mteril retirdo e provocm vrições ns deformções existentes n vizinhnç do corte. Tis vrições ns deformções são medids por extensômetros de resistênci elétric, coldos o mis próximo possível d região frontl do corte, tl como presentdo n figur 4.. Figur 4.. Foto do experimento com técnic do furo elíptico: cortes perpendiculr e prlelo o extensômetro.

2 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico Problem d Concentrção de Tensões Pr modelr o cmpo de tensões gerdo por um corte foi necessário trtá-lo como um elipse muito long. As equções de distribuição ds tensões n vizinhnç de um elipse form descrits por Inglis [7] em 93. Pr o entendimento ds equções proposts por Inglis, é importnte que se conheç o comportmento ds coordends elíptics e hiperbólics, s quis form utilizds em seu estudo. A equção d elipse pode ser escrit como x + (4.) α α c cosh ( ) c sinh ( ) Se α for constnte, est equção representrá um elipse de semi-eixos csinh( α) e ccosh( α ) cujos focos se situm em x ± c. Pr diferentes vlores de α obtêm-se diferentes elipses com os mesmos focos, isto é, um fmíli de elipses homofocis. Já s hipérboles são descrits por x + (4.) β β c cos ( ) c sin ( ) Pr um vlor constnte de β, est equção represent um hipérbole, cujos focos são os mesmos ds elipses. Assim, vrindo-se β, equção 4. ger um fmíli de hipérboles homofocis. A figur 4. mostr um gráfico com lgums elipses e hipérboles b homofocis, sendo α tnh, onde e b são, respectivmente, os semieixos mior e menor d elipse que represent o corte.

3 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 7 αα αβ ββ x αα ββ Figur 4.. Vrição ds elipses e ds hipérboles, com s coordends α e β 4... Equções de Inglis Pr um furo elíptico loclizdo em um plc de dimensões infinits e submetid um estdo de tensões bixil, Inglis [7] denominou u α e u β como os deslocmentos normis às direções α e β (d figur 4.) e relcionou s deformções ε αα e ε ββ com estes deslocmentos, trvés ds seguintes equções : ε ε δ u δ α αα h + hhuβ δα δβ h δ u δ β ββ h + hhuα δβ δα h (4.3) -b onde: As equções pr cislhmento não serão presentds, pois não serão úteis neste trblho. Porém, tmbém são usds ns condições de contorno necessáris pr determinção ds constntes ds séries infinits que serão presentds dinte.

4 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 7 h h δα δα + δx δ δβ δβ + δx δ (4.4) -b A prtir dests equções e d utilizção de rtifícios mtemáticos nd triviis, cujs demonstrções estão for do escopo deste trblho, Inglis [7] chegou às seguintes séries infinits pr representr s tensões tuntes em pontos de um plc contendo um furo elíptico perpendiculres às direções α e β, respectivmente (ver figur 4., pr esclrecimento ds notções): αα ββ (n+ ) α (n 3) α [4e + (n + 3)e ]cos(n + ) β (n ) α (n+ 3) α + [4e (n 3)e ]cos(n + ) β}an (n ) α (n+ 3) α [(n + )e + ne ]cos(n + ) β}bn [cosh( α) cos( β)] (n ) α (n+ ) α {(n + )e cos(n + 3) β + (n )e cos(n 3) (n+ ) α (n+ ) α {ne cos(n 3) β (n )e cos(n ) β (n 3) α (n+ ) α [(n )e + 4e ]cos(n + ) β (n 3) α (n ) α + [(n )e + 4e ]cos(n + ) β}a n (n+ ) α (n+ ) α + {ne cos(n + 3) β + (n + )e cos(n ) β (n ) α (n+ 3) α [(n )e ne ]cos(n ) β}bn [cosh( α) cos( β)] β β (n ) α (n+ ) α {(n + )e cos(n + 3) (n + 3)e cos(n 3) β (4.5) -b Nests formulções, n pode ssumir qulquer vlor inteiro negtivo ou positivo. O número de constntes A n e B n envolvids é rbitrário e els devem ser determinds pels condições de contorno dos csos vlidos. A definição desss constntes e formulção específic pr determinção ds tensões nos csos de interesse deste trblho estão presentds seguir. Cso : crregmento perpendiculr o mior semi-eixo d elipse, presentdo n figur 4.3.

5 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 7 αα ββ αβ ββ β π α Figur 4.3. Crregmento perpendiculr o mior semi-eixo d elipse Pr este cso, definindo o furo como um elipse de α α tem-se s seguintes condições de contorno: ) Qundo α α : αα αβ ) Qundo α é muito grnde: αα ( cos( β)), ββ ( + cos( β)) e αβ (sen( β)) Pr que tis condições fossem stisfeits pels equções 4.5, Inglis chegou às seguintes constntes: 4α 4α.e.e + α A ; B ( cosh( )); A ; B e B Substituindo-se ests constntes simultnemente ns equções 4.5, chegse às seguintes expressões:

6 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 73 αα α 4α α α α [4e cos( β ) cos(4 β) + ( e 4) + 4e cos( β)] + [ 3e e cos(4 β) 6 8 α 4α e α α 4α ( e 3)cos( β) + [cos(4 β) 4e cos( β) 4e cos( β) + e + 4] 6 8 4α + cosh( α) α + [ cos( β ) α e α α + cos( β) (e e )] + [e cos(4 β) + 3e ] 4 8 4α (3 e )cos( β ) + [cosh( α ) cos( β)] ββ α 4α α α α [4e cos( β) e 4 + 4e cos( β)] + [ 3e e cos(4 β) 6 8 α 4α e α α 4α ( e 3)cos( β)] + [cos(4 β) (4e + 4e )cos( β) + (4 + e )] 6 8 4α + cosh( α) α α e α α [ cos( β) + cos( β) (e e )] [e cos(4 β) + 3e ] 4 8 4α (3 + e )cos( β ) [cosh( α ) cos( β)] (4.6) -b Pr vlir o estdo de tensões gerdo n região onde o extensômetro está coldo (em β π ), é melhor trblhr com distâncis em coordends crtesins () e não elíptics (α), estbelecendo ssim, s equções de tensão como função de e β. Pr tnto foi preciso estbelecer um relção entre e coordend α ds equções de Inglis, dotndo o termo α como o representnte crtesino de α qundo β π. A obtenção d expressão desse termo é demonstrd seguir: Prtindo d equção d elipse 4., fzendo x (eixo ) e dmitindo elipses homofocis, tem-se: ' senh( α ) senh( α ')

7 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 74 Como intenção é relcionr o furo elíptico com um distânci qulquer ' dele, fz-se ' b (semi-eixo menor do furo) e α α α, ssim: α rcsenh senh( α) b (4.7) Pr verificr curáci ds equções de Inglis e d relção entre coordends, estbelecid pr o problem em questão, igulou-se os semi-eixos d elipse proximndo- d geometri de um furo circulr (cujs equções, formulds por Kirsh já form presentds nteriormente e são comprovdmente válids). Os gráficos d figur 4.4 mostrm os resultdos obtidos com os dois equcionmentos. Estes gráficos mostrm o comportmento ds distribuições de tensões n plc furd, normlizds pel tensão plicd n direção β π (ver figur 4.3). A defsgem de 9º entre os ângulos ds equções elíptics e polres pr representr mesm região em relção o furo, deve-se os eixos de referênci pr o qul cd um foi deduzid. 4 ββ, π αα, π r(, ) θ(, ) αα, r ββ, θ ββ (, ) 3 αα (, ) r, π θ, π ββ, θ αα, r () (b) Figur 4.4. Vrição ds tensões com relção à distânci d bord de um furo circulr pr () n direção do crregmento e (b) n direção perpendiculr o crregmento. Ou sej, são presentdos os vlores ds concentrções de tensões o longo d plc.

8 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 75 Os gráficos d figur 4.4, nos quis s curvs dos dois métodos estão superposts, permitem firmr que os resultdos ds equções elíptics têm um totl coerênci com os ds equções polres, o que s torn perfeitmente plicáveis pr s nálises necessáris o modelmento d técnic do furo elíptico. O próximo psso foi plotr os gráficos do comportmento ds tensões com relção à distânci d bord de um furo elíptico, conforme representdo n figur 4.5. Utilizm-se s dimensões dos cortes feitos em lguns dos experimentos deste trblho. Estes cortes que têm semi-eixos e b respectivmente iguis 5 e milímetros. Pr plotr esse gráfico corretmente, qundo β, fez-se uso d função x() pr representr s distâncis crtesins no eixo x prtir d coordend elíptic α. x() cosh( α ) (4.8) 5 ββ (, ) αα (, ) 5 b ββ, π αα, π b x ( ) b () (b) Figurs 4.5. Vrição ds tensões com relção à distânci d bord de um furo elíptico pr () n direção perpendiculr o crregmento e (b) n direção do crregmento. Pode-se perceber que s vrições são muito bruscs no eixo x, ms suves no eixo, que é onde o extensômetro deve ser coldo. Isto permite cert tolerânci qunto à loclizção do furo elíptico em relção o extensômetro. O mesmo não contece com o furo circulr, onde se têm vrições brupts em tods s direções, exigindo grnde precisão n fbricção ds rosets utilizds e hbilidde do executor d técnic n centrlizção do furo.

9 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 76 Cso : crregmento bixil (sendo RxR) Pr este cso, têm-se s seguintes condições de contorno: ) Qundo α α : R R αα ) Qundo α é muito grnde: Rαα R ββ, Rαβ αβ Pr ests condições Inglis determinou s constntes: R R R A ; A + ; B cosh( α) 8 8 Substituindo s constntes ns equções 4.5, obtêm-se: R αα cosh( α) α α [ (e e + )] [cosh( α ) cos( β)] α α α [ cos(4 ) 4 e (4e 4e β )cos( β )] α α 4α [cos(4 ) (4e 4e )cos( ) (4 e β β ) R ββ α [4e α cos( α β ) cos(4 β) 4 e + 4e cos( β)] 8 α 4α [cos(4 ) 8e )cos( ) (4 e + β β + + ) 8 cosh( α) α α [ (e e + )] [cosh( α) cos( β)] (4.9) -b Cso 3: crregmento prlelo o mior semi-eixo Cheg-se às equções ds tensões pr este cso subtrindo-se o estdo de crregmento perpendiculr o mior semi-eixo d elipse (cso ) do estdo bixil (cso ) pr crregmentos iguis, como representdo n figur 4.6.

10 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 77 R αα αα S αα R ββ ββ S ββ Figur 4.6. Crregmento prlelo o semi-eixo mior d elipse como resultdo d subtrção do cso do cso S S R αα αα αα R ββ ββ ββ (4.) A figur 4.7 mostr o gráfico do comportmento ds tensões em relção à distânci do furo pr este cso..5 Sββ(, ) Sαα(, ) b Sββ, π Sαα, π b x ( ) b () (b) Figurs 4.7. Vrição ds tensões com relção à distânci do furo elíptico pr o () eixo prlelo o crregmento e (b) eixo perpendiculr o crregmento.

11 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 78 O comportmento ds curvs n figur 4.7 segue tendênci do presentdo no cso, mntendo um vrição quse ssintótic em β e um bo suvidde n vrição n região frontl do furo. Conhecendo o comportmento ds equções pr qulquer crregmento bidimensionl pode-se representr o estdo de tensões gerdo pel concentrção de tensões em torno de um furo elíptico em um plc crregd bixilmente, trvés d som ds tensões do cso e cso 3, como mostr figur 4.9. Figur 4.8. Estdo de tensões origindo pel concentrção tensão o redor do furo elíptico n direção dos crregmentos Sendo: ( α, β) + S ( α, β) I αi αα i i αα i i ( α, β) + S ( α, β) I βi ββ i i ββ i i (4.) O sobrescrito I indic que os termos usdos vêm d solução de Inglis. E neste cso α α, pois os pontos e estão sobre mesm elipse.

12 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico Problem do lívio de tensões: Coeficientes de Alívio Pontuis Inglis estudou o problem de um plc infinit crregd, contendo um furo elíptico. Já pr nálise do problem ds tensões medids prtir ds deformções lids no extensômetro coldo n frente do corte, execução deste corte é feit com o espécime crregdo. Então, usndo o princípio d superposição, solução de Inglis deve ser subtríd do estdo de tensões d plc sem o furo pr que se obtenhm os vlores de deformção serem medidos pelo extensômetro. A figur 4.9 mostr o esquem dess superposição de estdos, que é similr à feit pr o furo circulr no cpítulo 3. I α I β I β I α - α β β α I α α I β β I β β I α α Concentrção de tensões o redor do corte Cmpo de tensões n plc ntes do corte Cmpo de tensões livido Figur 4.9. Princípio d superposição plicdo o método do furo elíptico O estdo de tensões pr o cso de crregmento bixil d plc sem furo é semelhnte o definido pr superposição do cso do furo circulr. Troc-se pens o ângulo θ (polr) pelo β (hiperbólico) e fz-se rotção de 9º, necessári pel defsgem do ângulo do crregmento principl em relção à x pr o qul os estdos polr e elíptico form deduzidos. Isto mud s condições de contorno usds pr definir s equções, ssim:

13 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 8 + α cos β + β + cos β (4.) Crregmento Perpendiculr o Mior Semi-eixo do Corte Pr o crregmento perpendiculr o mior semi-eixo d elipse que represent o corte ( d figur 4.9), s expressões geris pr os coeficientes de lívio pontuis, provocdos pelo corte são: αf αα cos β cos βf ββ + β (4.3) -b π Qundo β, que é o cso de interesse pr nálise em questão, tem-se: ( ) αf αα βf ββ (4.4) -b A figur 4. mostr o gráfico que represent o comportmento dos coeficientes de lívio pontuis em relção à distânci do furo com β π (prte frontl do furo) pr o furo circulr e pr o furo elíptico de semi-exos 5 e b, considerndo o crregmento unitário. Pr s dus geometris form usds s equções 4.3.

14 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 8 θf, π rf, π βf, π αf, π b b () (b) Figur 4.. Comportmento dos coeficientes de lívio pontuis com distânci normlizd (/b) pr o crregmento n direção : () pr o furo circulr e (b) pr o furo elíptico O gráfico deix clr grnde sensibilidde à distânci do estdo de tensões gerds por um furo circulr, em comprção com suvidde d vrição em torno do furo elíptico n posição β π / (o longo do eixo ) Pr o Crregmento Prlelo o Mior Semi-eixo do Corte As expressões geris dos coeficientes de lívio pontuis pr o crregmento prlelo o mior semi-eixo d elipse que represent o corte são: Sαf Sαα + cos( β ) Sβf Sββ cos( β ) (4.5) -b Inserindo s equções 4. ns equções cim, cheg-se :

15 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 8 + S αf (R αα αα) cos( β) β S βf (R ββ ββ) cos( ) (4.6) -b S b f A figur 4. mostr o gráfico que represent o comportmento de em relção à distânci do furo com S f e p b (prte frontl do furo), pr o furo circulr e pr o furo elíptico de semi-exos 5 e b, considerndo o crregmento s unitário..4.5 Sθf, π Sβf, π. Srf, π Sαf, π b b () (b) Figur 4.. Comportmento dos coeficientes de lívio pontuis com distânci normlizd (/b) pr o crregmento n direção x: () pr o furo circulr e (b) pr o furo elíptico N figur 4., not-se novmente suvidde de vrição dos coeficientes de lívio em torno do furo elíptico n posição β π /, tmbém pr o crregmento n direção x (prlel o corte). O mesmo não contece pr o furo circulr, como se pode perceber pelo gráfico 4. () Problem do lívio de tensões: - Coeficientes de Alívio sob Áre d Grid do Extensômetro Schjer [4], em um nálise sobre o método do furo cego, modelou deformção medid por strin gges pel integrção ds deformções ocorrids

16 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 83 sob áre de su grid de medição. Ms como s equções pr o furo elíptico são bem mis complexs do que s do furo circulr, seri muito dispendioso integráls duplmente, então se optou por integrá-ls pens o longo d distânci perpendiculr o corte, o que é bstnte ceitável levndo-se em considerção que o comprimento do furo elíptico é muito grnde e vrição de su curvtur té su pont é muito suve qundo comprdo com o furo circulr. Assim, não são esperds vrições consideráveis do lívio de deformções o longo d dimensão do extensômetro prlel o corte Crregmento Perpendiculr o Mior Semi-eixo do Corte Os coeficientes de lívio sob áre do extensômetro pr o crregmento perpendiculr o mior semi-eixo do corte são ddos pels integrções: αe β E b+ df+ cg b+ df b+ df+ cg b+ df π αf, cg π βf, cg (4.7) -b onde df é distânci do meio do corte à grde de medição do extensômetro e cg é o comprimento d grde de medição. Pr o cso de cortes prlelos integrção deve ser feit o longo d lrgur do gge (lg), que substituirá cg ns equções Crregmento Perpendiculr o mior semi-eixo do corte Integrndo-se s equções 4.6 o longo d lrgur do gge (l g ), cheg-se às expressões dos coeficientes de lívio que gem sob áre do extensômetro pel relizção do corte prlelo o mior semi-eixo do corte:

17 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 84 S S αe β E lg b+ df+ lg S b df αf, + lg b+ df+ lg S b df βf, + π π (4.8) -b 4.5. Outros Prâmetros de influênci ns Deformções Medids Ordem de relizção dos cortes Em medições de peçs sob crregmento bixil há necessidde d relizção de dois cortes: um perpendiculr e um prlelo o extensômetro. Um ftor de sum importânci pr o equcionmento d deformção livid n plicção d técnic do furo elíptico é ordem de relizção dos cortes. As figurs 4.() e (b) mostrm esquems de plcs crregds bixilmente onde se relizm o primeiro corte de form perpendiculr ou de form prlel o strin gge, respectivmente. º corte p º corte p º corte º corte () (b) Figur 4.. Plc crregd bixilmente com primeiro corte: () perpendiculr e (b) prlelo o strin gge Primeiro Corte: perpendiculr o extensômetro Pr este cso, deformção livid devido o primeiro corte será:

18 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 85 ε ( αe + p S αe ) υ ( βe + p S βe ) E (4.9) E deformção gerd pelo segundo corte é: ε υ ( α ) (4.) E pυ p El As tensões existentes são obtids invertendo-se s equções 4. e 4.: Eε p υ pυ αel Eε Eε + S S ( α υ β ) pυ E E υαel ( αe υβe) (4.) -b onde: ε deformção n direção xil à grde extensômetro ε deformção por efeito de Poisson devido o corte prlelo à grde pυ extensômetro E módulo de elsticidde do mteril υ coeficiente de Poisson do mteril tensão tunte n direção d grid do extensômetro p tensão perpendiculr à grid extensômetro coeficiente de lívio perpendiculr o corte referente à tensão perpendiculr α E o corte S α coeficiente de lívio perpendiculr o corte referente à tensão prlel o corte E β E S β E coeficiente de lívio prlelo o corte referente à tensão perpendiculr o corte coeficiente de lívio prlelo o corte referente à tensão prlel o corte Observção: O subscrito l (ns equções 4., 4., 4. e 4.4b) inform que integrção pr obtenção do coeficiente é feit o longo d lrgur do extensômetro, ficndo implícito que integrção foi o longo do comprimento se não houver indicção Primeiro corte: prlelo o extensômetro Agor deformção livid devid o primeiro corte será:

19 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 86 εp υ ( S βel + p βel ) υ ( S αel + p αel ) E (4.) O segundo corte provoc um deformção dd por: ( E) ε α (4.3) E As tensões existentes são obtids invertendo-se s equções 4. e 4.3:. Eε p αe Eε Eε + S S ( υ ) pυ αel βel αe ( βe υαe) (4.4) -b Profundidde do Corte Tod formulção expost té o momento diz respeito o cso de um furo elíptico pssnte. Porém, medições com técnic do furo elíptico podem ser relizds sem que o espécime sej trvessdo em su espessur, ficndo crgo do executor interromper o vnço qundo perceber estbilizção d deformção obtid de um profundidde outr. Pr este cso, bsendo-se em observções experimentis que serão mostrds no cpítulo 5, formulção presentd té o momento deve ser modificd pr determinção ds tensões existentes. Pr cortes não pssntes, eliminm-se os coeficientes de lívio trnsversis β El β E e, que só se mnifestm qundo espessur do espécime é trvessd, como foi verificdo nos experimentos, que serão presentdos no cpítulo 5. Com s simplificções ns equções 4. e 4.4, cbíveis os csos de cortes não pssntes, pr o primeiro corte for trnsversl o extensômetro tem-se:

20 Cpítulo 4 - Técnic do Furo Elíptico 87 E ε + (E ευp / υαel)(sαe υs βe) Eε p υ υp αel αe (4.5) -b e se o primeiro corte for prlelo o extensômetro.: Eε αe E εpυ + (E ε / αel)(sαel ρs βel) p υ αe (4.6) -b Sendo e p, respectivmente, iguis coldos n direção longitudinl. E e l e c pr os extensômetros p, respectivmente, iguis c e pr os extensômetros coldos n direção circunferencil. A mesm convenção é válid pr s deformções. l 4.6. Procedimento experimentl A técnic do furo elíptico, o contrário d técnic do furo cego, não tem prâmetros ou procedimentos bem definidos. Muits ds vriáveis envolvids em su plicção ficm crgo do executor. Por isso, chou-se por bem descrever pens os procedimentos utilizdos ns medições dest tese, com os prâmetros que se resolveu dotr pr ests medições. Os procedimentos estão descritos no cpítulo 5, nos tópicos referentes às medições lbortoriis.