UM ALGORITMO PRÁTICO PARA DETERMINAÇÃO DA VARIÂNCIA DO ESTIMADOR DE UM CONTRASTE DE PARÂMETROS 1

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1 UM ALGOÍTMO PÁTICO PAA DTMINAÇÃO DA VAIÂNCIA 5 UM ALGOITMO PÁTICO PAA DTMINAÇÃO DA VAIÂNCIA DO STIMADO D UM CONTAST D PAÂMTOS ÉLIO PAULO ZONTA JOÃO GILBTO COÊA DA SILVA 3 SUMO - Tsts d significânci d contsts d fitos d nívis d um fto ou d cominçõs d nívis d dois ou mis ftos qum o conhcimnto ds stimtivs ds viâncis dos stimdos dsss contsts. As xpssõs dsss stimtivs p xpimntos com dlinmntos complxos, m gl, não são disponívis m txtos. Su divção lgéic pti d qução do modlo sttístico é tlhos. xpõ-s um lgoitmo pático p otnção d viânci do stimdo d qulqu contst d pâmtos p dlinmntos compltos lncdos. O lgoitmo si-s nos vlos spdos dos quddos médios. Tmos p indxção: compçõs d ttmntos, dlinmntos compltos lncdos, infênci d xpimnto. A PACTICAL ALGOITHM TO DTMIN TH VAIANC OF TH STIMATO OF A CONTAST OF PAAMTS ABSTACT - Significnc tsts of contsts of ffcts of lvls of fcto o of comintions of lvls of two o mo fctos qui th knowldg of th stimts of th vincs of th stimtos of ths contsts. In gnl, th xpssions of ths stimts fo xpimnts with complx dsigns not vill in txtooks. Thi lgic divtion fom th qution of th sttisticl modl is tdious. A pcticl lgoithm fo otining th vinc of th stimto of ny contst of pmts fo lncd complt dsigns is psntd. Th lgoithm is sd on th xpctd vlus of mn squs. Indx tms: ttmnt compisons, lncd complt dsigns, infnc fom xpimnt. INTODUÇÃO Fqüntmnt, o psquisdo s dfont com o polm d ftu tsts d significânci d contsts d fitos d nívis d um fto ou d cominçõs d nívis d dois ou mis ftos p os quis não são disponívis s xpssõs ds viâncis dos cospondnts stimdos. Isso oco, m gl, n nális d xpimntos com modlos lins mistos, com mis d um componnt ltóio, como, po xmplo, xpimntos Acito p pulicção m 0 d dzmo d 998. ng. Ag., M.Sc., Pof. Adjunto, Dp. d Mtmátic, sttístic Computção, Inst. d Físic Mtmátic, Univ. Fd. d Plots (UFPL), Cix Postl 354, CP Plots, S. -mil: pzont@ufpl.tch. 3 ng. Ag., Ph.D., Pof. Titul, UFPL. Bolsist do CNPq. -mil: jgcs@ufpl.tch. Psq. gopc. s., Bsíli, v.34, n.7, p.5-3, jul. 999

2 6.P. ZONTA J.G.C. DA SILVA ftoiis com dlinmntos d xtns fmíli d pcls dividids, xpimntos d mdids ptids xpimntos d mpl ngênci no spço no tmpo. cntmnt, o Sttisticl Anlysis Systm (SAS Institut, 99) implmntou pocdimnto gl d nális p modlo lin misto gl, o POC MIXD, qu pmit xcução d tsts d significâncis d contsts p situçõs mis gnéics, qu inclum s qu são considds qui. nttnto, o conhcimnto d xpssõs lgéics d viâncis d stimdos d contsts pod s dsjávl. Millikn & Johnson (99) psntm um método lgéico gl p dtminção d viânci d um difnç d dus médis p dlinmnto com pcls dividids lncdo, pti do modlo sttístico do conhcimnto d composição dos vlos spdos dos quddos médios. ls fimm qu o método pod s stndido p situçõs mis complxs, o plicm p dlinmntos com osvçõs ptids no tmpo. nttnto, dtminção d xpssõs d viâncis d stimdos d contsts pti do modlo sttístico é tlhos. Não s tm conhcimnto d disponiilidd n littu d qulqu método pático ltntivo. O popósito dst tigo é xpo um método xpdito, d uso gnéico, p divção d xpssão d viânci do stimdo d qulqu contst d pâmtos p dlinmntos compltos lncdos, ou sj, dlinmntos com númo d osvçõs ns céluls constnt p qulqu clssificção dos ddos sgundo os ftos psnts no xpimnto. O lgoitmo si-s nos vlos spdos dos quddos médios. É um gnlizção do método psntdo po Zont (989) p dtminção d viânci do contst d dus médis d ttmntos. DIVAÇÃO ALGÉICA DA VAIÂNCIA DO STIMADO D UM CONTAST D PAÂMTOS Sjm t, t,..., t T T pâmtos cospondnts os T nívis d um fto fixo ou cominçõs dos nívis d dois ou mis ftos fixos. ntão, cominção lin C = c t + c t c T t T é um compção ou contst dos pâmtos t, t,..., t T s som d sus coficints é zo, ou sj, s c + c c T = 0. Um contst d pâmtos C = c t + c t c T t T é stimdo plo contst dos cospondnt stimdos dos pâmtos: Ĉ = c tˆ c tˆ... c tˆ T T, ond tˆ é o stimdo d t t t, t=,,..., T. A dtminção lgéic d viânci do stimdo d um contst d pâmtos, pti do modlo sttístico, é ilustd, sgui, p situção d um xpimnto com dois ftos fixos A B com dlinmnto locos csulizdos com pcls dividids, com os ftos A B m pcls supcls, spctivmnt, fto d loqumnto. Nss pocsso, são utilizds s popidds fnts vlo spdo, s pssuposiçõs condiçõs usuis do modlo sttístico notção dotd po Silv (999). Psq. gopc. s., Bsíli, v.34, n.7, p.5-3, jul. 999

3 UM ALGOÍTMO PÁTICO PAA DTMINAÇÃO DA VAIÂNCIA 7 A fom usul d qução do modlo sttístico p st dlinmnto (Fd, 955; Hicks, 973; Stl & Toi, 980; Montgomy, 984; Millikn & Johnson, 99) é: y = m , =,,..., A, =,,..., B, =,,..,. A considção dos ftos d unidd n divção ds viâncis d stimdos d contsts d pâmtos é impotnt p otnção ds xpssõs cots p muitos dlinmntos (Silv, 999). A qução complt do modlo sttístico p o dlinmnto m considção, com inclusão dos fitos d unidd, é: y = m+[ + u + +[ + u + + +, () =,,..., A, =,,..., B, =,,...,, ond (), u () u são os fitos d unidd psnts no dlinmnto, cospondnts os ftos d unidd supcl, pcl loco, spctivmnt. Considm-s s pssuposiçõs usuis postulds com o modlo sttístico (Silv, 999). O stimdo do pâmto, =,,..., A, é o dsvio d médi ds sposts p o nívl do fto A m lção à médi gl ds sposts, ou sj: â = y.. y... Logo, o stimdo d um contst gnéico dos pâmtos, sj, C = c, é: = c â = Ĉ c y.., ou sj, o cospondnt contst ds médis osvds p os nívis do fto A. Ms: y.. = [ m u + + u() () = m u + + u () + (), () m dcoênci ds condiçõs imposts p situção do fto B fixo: = 0 = 0. Logo, xpssão do stimdo d um contst dos pâmtos é: = Ĉ c m + u u() () Psq. gopc. s., Bsíli, v.34, n.7, p.5-3, jul. 999

4 8.P. ZONTA J.G.C. DA SILVA = c + c + c u () + c A viânci dss contst é divd como sgu: V (Ĉ) =V = V c + V c u () + V c () B = cσ + σ + A c U c σ B dsd qu V( ) = σ, V(u ) () = σ, V( () ) = σ s coviâncis são tods nuls. Logo, V (Ĉ ) = [ BσA + BσU + σ A c. U MÉTODO PÁTICO A simplicidd d xpssão d viânci do stimdo do contst d pâmtos otid n ilustção ntio é sultnt ds sguints pssuposiçõs do modlo sttístico: ) viânci d um fito fixo é nul; ) s coviâncis dos fitos d um tmo ltóio cospondnts difnts osvçõs são nuls; c) s coviâncis dos fitos cospondnts dois tmos ltóios distintos são nuls. sss popidds pmitm o stlcimnto d um pocdimnto gl p otnção d viânci do stimdo d um contst d pâmtos d um fito fixo, p qulqu dlinmnto complto lncdo. P ilustção do pocdimnto consid-s o msmo contst gnéico dos pâmtos do dlinmnto locos csulizdos com pcls dividids. O pocdimnto compnd os sguints pssos: ) Idntificm-s os tmos ltóios do modlo qu inclum plo mnos os índics viávis no contst d pâmtos. Constói-s um tl com sss tmos s cospondnts viâncis, como Tl. ) P cd tmo d Tl, dtmin-s o poduto ds mplituds d sus índics, xcluídos os índics dos pâmtos cujo contst stá sndo considdo. Pnch-s sss podutos n últim linh d Tl. 3) ftu-s som dos quocints ds viâncis plos spctivos podutos d mplituds d índics: σ σu σa c + + c c u () c (),. () Psq. gopc. s., Bsíli, v.34, n.7, p.5-3, jul. 999

5 UM ALGOÍTMO PÁTICO PAA DTMINAÇÃO DA VAIÂNCIA 9 4) A viânci do contst é o poduto dss som pl som dos quddos dos coficints do contst: c V( Ĉ ) = [ σ B B + σ U + σ A. D modo gl, viânci do stimdo d um contst d pâmtos pod s xpss como um cominção lin d vlos spdos d quddos médios (QM), pti d inspção dos QM. P o dlinmnto qu stá sndo considdo p ilustção, os QM compltos _ incluindo os componnts d viânci cospondnts os fitos d unidd, dtmindos plo método d Silv (999) _, são ddos n Tl. TABLA. Divção d viânci do stimdo d um contst dos pâmtos do fto A m pcls d um dlinmnto locos csulizdos com pcls dividids. Tmo () u () Viânci s s U s A Diviso TABLA. QM p dlinmnto locos csulizdos com pcls dividids, com o fto A m pcls, o fto B m supcls fto d loqumnto, considndo os ftos d unidd. Font d vição c QM /fito F F A + [ s + s U A: 0 B B A A : A: B: AB: A B s + Bs + AB s + s s + s U [ U 0 B s [ + B sa + s U A : () A A = B s + As B s + s AB s A B σa = ; σ = B ; σ = AB (A )(B- ). B = = = Psq. gopc. s., Bsíli, v.34, n.7, p.5-3, jul. 999

6 30.P. ZONTA J.G.C. DA SILVA Pl inspção d Tl, osv-s qu os componnts d viânci qu contium p viânci do stimdo do contst gnéico dos pâmtos pcm pns no QM d font d vição A, coincidm xtmnt com ss QM. (A font d vição A não é considd, pois l inclui σ, qu não pc n viânci do contst.) Nss cso, A conclui-s qu cominção lin d QM qu compõ V( Ĉ ) é, simplsmnt: c V(Ĉ) = [ QMA. A xpssão do stimdo d viânci do contst Ĉ é, ntão, otid pl sustituição dos QM plos spctivos QM. A ilustção do pocdimnto é stndid, sgui, p todos os contsts d pâmtos d intss do dlinmnto locos csulizdos com pcls dividids, com os ftos A B fixos, m pcls supcls, spctivmnt, fto d loqumnto. m xpimntos com ss dlinmnto, fqüntmnt, são d intss os sguints contsts d pâmtos dos fitos fixos: : difnç d pâmtos p dois nívis do fto A; ' ' : difnç d pâmtos p dois nívis do fto B; ' : difnç d pâmtos p dois nívis do fto B m um msmo nívl do fto A; ' : difnç d pâmtos p dois nívis do fto A m um msmo nívl d B. As xpssõs ds viâncis dos stimdos dsss quto contsts gnéicos podm s divds simultnmnt, sguindo os pssos do pocdimnto gl, com o uxílio ds Tls 3. TABLA 3. Divção ds viâncis dos stimdos dos contsts gnéicos dos pâmtos do dlinmnto locos csulizdos com pcls dividids com dois ftos fixos A B, m pcls supcls, spctivmnt. Tmo Viânci Diviso: ' () u ( ) s s U s A - - A - - ' ' - ' Psq. gopc. s., Bsíli, v.34, n.7, p.5-3, jul. 999

7 UM ALGOÍTMO PÁTICO PAA DTMINAÇÃO DA VAIÂNCIA 3 Os índics viávis nos quto contsts gnéicos são:. Os tmos ltóios do modlo são: ( ), u (). As viâncis dsss tmos os cospondnts divisos d qu ttm os Pssos constm d Tl 3. As viâncis dos stimdos dos contsts são divds, sgui, d codo com os Pssos 3 4. Otém-s, p o pimio contst: V σ σ σ U A ( â â ) = + + [ σ + Bσ + Bσ = U A. Pl inspção d Tl, pod-s vific qu: V. ( â â ) = QMA Pocdndo d modo smlhnt p cd um dos dmis contsts, otém-s: V( ˆ ˆ ) = A QM; V ( ) = QM; σ σ σ V( ) = + U + A = [ Bσ + Bσ U + BσA = [( B )σ B B + σ + σu + σa = [ B ) QM+QMA (. sss são s xpssõs ds viâncis dos contsts d stimdos d pâmtos d intss mis comum m xpimntos com dlinmnto locos csulizdos com pcls dividids, qu s ncontm m lguns txtos (Fd, 955; Stl & Toi, 980; Millikn & Johnson, 99). Osv-s qu p o dlinmnto locos csulizdos, com pcls dividids, com mos ftos m pcls m supcls fixos fto d loqumnto ltóio, considção dos ftos d unidd não lt s xpssõs ds viâncis dos contsts d usul intss. Psq. gopc. s., Bsíli, v.34, n.7, p.5-3, jul. 999

8 3.P. ZONTA J.G.C. DA SILVA FÊNCIAS FD, W.T. xpimntl dsign: Thoy nd ppliction. Nw Yok: Mcmilln, p. HICKS, C.. Fundmntl concpts in th dsign of xpimnts..d. Nw Yok: Holt, inht nd Winston, p. MILLIKN, G.A.; JOHNSON, D.. Anlysis of mssy dt. Nw Yok: Chpmn & Hll, p. MONTGOMY, D.C. Dsign nd nlysis of xpimnts..d. Nw Yok: John Wily, p. SAS INSTITUT. Th MIXD pocdu. In: SAS INSTITUT. SAS/STAT softw: chngs nd nhncmnts, ls Cy, NC, 99. ch.6, p (SAS Tchnicl pot P-9). SILVA, J.G.C. d. A considção d stutu ds unidds m infêncis divds do xpimnto. Psquis Agopcuái Bsili, Bsíli, v.34, n.6, p.9-95, jun STL,.G.D.; TOI, J.H. Pincipls nd pocdus of sttistics: A iomticl ppoch..d. Nw Yok: McGw-Hill, p. ZONTA,.P. Método pático p dtminção d viânci do contst nt dus médis d ttmntos m xpimntos lncdos. In: SIMPÓSIO D STATÍSTICA APLICADA À XPIMNTAÇÃO AGONÔMICA, , Lvs. Anis... Lvs: SAL, 989. p Psq. gopc. s., Bsíli, v.34, n.7, p.5-3, jul. 999