1 Erat ostenes de Cirene, com os p es na Terra, medindo seu raio

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1 Três eventos da hist oria da geometria 1 TRÊS EVENTOS DA HIST ORIA DA GEOMETRIA Prof. Jo~ao C.V. Sampaio DM-UFSCar 1 Erat ostenes de Cirene, com os p es na Terra, medindo seu raio Erat ostenes de Cirene, que viveu no per ³odo 275 a.c. a 195 a.c., foi bibliotec ario chefe da grande Biblioteca (Museum) de Alexandria. Ele e conhecido pelo seu crivo de Erat ostenes, um procedimento tabular para detectar n umeros primos. Al em de Matem atica, Erat ostenes estudava astronomia, geogra a, hist oria, loso a, tendo ainda interesse em poesia. Sua maior realiza»c~ao foi a medi»c~ao da circunferência da Terra, a primeira de que se tem not ³cia na Hist oria. 1.1 A estrat egia \global" de Erat ostenes No Egito, as cidades de Siena (hoje Assu~a) e Alexandria situam-se quase num mesmo meridiano do globo terrestre, estando interligadas pelo trajeto do rio Nilo, que ui do sul para o norte. Em outras palavras, um arco semi-circular, na superf ³cie terrestre, ligando o Polo Norte ao Polo Sul (um meridiano terrestre), passando por Alexandria, desvia-se relativamente pouco de Assu~a (con ra isto examinando um bom mapa do Egito). Isto quer dizer que, em cada instante do dia, a hora observada num rel ogio em Alexandria e a mesma observada em Assu~a. Erat ostenes descobrira que, em Siena, ao meio-dia do dia mais longo do ver~ao (o solst ³cio do ver~ao), o sol cava totalmente a pino, notando que, naquele dia e hora, o sol re etia-se na superf ³cie da agua do fundo de um po»co. Tendo viajado para Alexandria, 515 milhas (824 quilômetros) ao norte de Siena, Erat ostenes observou que l a, ao meio-dia do referido dia, os raios do sol incidiam na

2 Três eventos da hist oria da geometria 2 Figura 1: Esquema de Erat ostenes. Figura 2: Sombra do sol atrav es de um gnômon. superf ³cie do solo, formando em rela»c~ao a ela um ângulo µ de medida 90 ± 7; 2 ± = 90 ± 360 ± =50. Observe agora a Figura 1 para acompanhar o racioc ³nio de Erat ostenes. Em O temos o centro da Terra, e em A es temos os pontos observados em Alexandria e Siena. O segmento AG e um gnômon, consistindo de um bast~ao na vertical, ncado na superf ³cie da Terra, utilizado para medir a sombra do Sol, atrav es do qual, por compara»c~ao da altura do gnômon com sua sombra (veja Figura 2), e calculado o ângulo de incidência dos raios solares. Erat ostenes ent~ao ponderou: 1. os raios de sol chegam µa Terra praticamente paralelos entre si; 2. o gnômon, posicionado na vertical, se prolongado inde nidamente para baixo, passar a pelo centro (O) da Terra; 3. duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam ângulos correspondentes congruentes (Figura 3) Assim, concluiu ent~ao que o ângulo AOS media 7; 2 ± = 7 ± 12 0, ou seja 360 ± =50.

3 Três eventos da hist oria da geometria 3 Figura 3: Retas paralelas cortadas por uma transversal. Erat ostenes sabia tamb em que o comprimento de um arco circular e diretamente proporcional ao ângulo central que ele subtende. Assim, pensou, sendo c a circunferência da Terra (comprimento da linha do Equador), e ent~ao c 360 = arco AS _ ± 360 ± =50 c = 50 arco _ AS = milhas = milhas = km km. Nos dias de hoje, e sabido que a circunferência da Terra e aproximadamente Longe dali, em Siracusa, Arquimedes, que viveu de 287 a.c. a 212 a.c., descobriu que o comprimento de uma circunferência de raio r e dado pela f ormula sendo ¼¼ 3; 1416 c = 2¼ r (Aproximando o comprimento da circunferência por pol ³gonos regulares inscritos e circunscritos na circunferência, Arquimedes deduziu que <¼< ) Tomando c = km, temos como medida do raio da Terra. r = raio da Terra = c 2¼ O diâmetro da Terra ca ent~ao d¼ km. 40; 000 ¼ ¼ km 2 3; 1416 Hoje se sabe que a Terra e mais achatada nos polos, sendo os grandes c ³rculos, que passam pelos dois polos, 13 km mais curtos que o c ³rculo do Equador.

4 Três eventos da hist oria da geometria 4 Problema 1 A bordo de um avi~ao, num ponto A situado a 3 milhas acima do n ³vel do mar, um observador olha o horizonte. Sua linha de vis~ao, AC na Figura 4, e tangente µa superf ³cie da Terra. O raio OC e perpendicular a essa reta tangente em C. De posse das informa»c~oes do diagrama da Figura 4, calcule o raio da Terra. Figura 4: Um Erat ostenes moderno. 1.2 Proposta de uma experiência Propomos aqui um experimento que talvez possa ser levado a termo por duas turmas de alunos, estudantes de duas cidades, distantes entre si algo como 500 km ou mais, de escolas situadas em um mesmo meridiano terrestre. Considere a situa»c~ao descrita na Figura 5. Figura 5: Um Erat ostenes a qualquer dia. Duas cidadesaeb s~ao consideradas, de modo queb esteja ao norte dea, ou seja, ambas encontrem-se quase em um mesmo meridiano terrestre. Duas hastes verticais s~ao montadas, uma em cada local, e a distânciad, entre os locais A e B, e conhecida.

5 Três eventos da hist oria da geometria 5 Pela proje»c~ao dos raios do sol, ao meio dia, os ângulos e, em graus, s~ao calculados. Ocorre ent~ao que =. Assim, sendo c a circunferência da Terra, temos d = 360 c Acertada a hora e o dia da experiência, os alunos de duas escolas, uma em A e outra em B, podem realizar as medi»c~oes e, trocando informa»c~oes, repetir o experimento de Erat ostenes. Problema 2 Deduza que, na situa»c~ao geom etrica da Figura 5, que =. 2 Aristarco de Samos no mundo da Lua Um outro brilhante matem atico que estudou na Escola de Alexandria, no s eculo III a.c., foi Aristarco de Samos, nascido em Samos, a mesma ilha grega onde nascera Pit agoras cerca de três s eculos antes de Aristarco. Conta-se que Aristarco, mediante o uso de princ ³pios elementares de geometria, determinou, dentre outras coisas, 1. uma estimativa da raz~ao entre os diâmetros da Lua e da Terra; 2. e uma estimativa da raz~ao entre as distâncias da Terra µa Lua e da Terra ao Sol. Juntando-se as estimativas (corrigidas) de Erat ostenes e Aristarco, podemos calcular (a) o diâmetro da Lua; (b) a distância da Terra µa Lua; (c) a distância da Terra ao Sol; (d) o diâmetro do Sol. 2.1 A raz~ao entre os diâmetros da Terra e da Lua Relata-se que Aristarco, observando cuidadosamente um eclipse lunar, que ocorre quando a Terra p~oe-se entre o Sol e a Lua, observando a sombra da Terra projetada no \disco" lunar, deduziu que a raz~ao entre os diâmetros da Terra e da Lua e dado por d T d L ¼ 7

6 Três eventos da hist oria da geometria 6 Figura 6: Sombra da Terra vista na Lua, durante um eclipse lunar. Figura 7: Como resgatar o centro deste arco de cincunferência? Aristarco supunha, corretamente, que o Sol est a t~ao distante da Terra, que os seus raios de luz s~ao projetadors na Lua paralelos entre si, e assim o contorno circular que vemos da sombra da Terra na Lua revela parte de um c ³rculo m aximo da Terra. Veja Figura 6. Aristarco n~ao fez medi»c~oes muito precisas. Hoje e sabido que d T =d L ¼ 3; 67. Problema 3 Como podemos determinar, atrav es de uma constru»c~ao geom etrica, o diâmetro de um c ³rculo, sendo dado apenas uma parte de seu contorno circular (Figura 7)? Problema 4 Admitindo que d T ¼ 3; 67; d L qual e o valor aproximado do diâmetro da Lua? Resposta: km. Problema 5 Observa»c~oes astronômicas acuradas, em noites de lua cheia, revelam o diagrama geom etrico da Figura 8. Com base nas informa»c~oes do diagrama, conhecendo-se o diâmetro da Lua, calcule a distância da Terra µa Lua. 2.2 A raz~ao entre as distâncias da Terra µa Lua e da Terra ao Sol Historiadores da Matem atica relatam ainda que, observando simultaneamente o Sol e a Lua, durante o dia, estando ambos vis ³veis, no in ³cio da fase da Lua quarto crescente,

7 Três eventos da hist oria da geometria 7 Figura 8: Um problema de trigonometria. Figura 9: O triângulo retângulo Terra-Lua-Sol. quando exatamente metade do disco lunar vis ³vel aparece iluminado, como na Figura 9, num momento em que a Lua situava-se verticalmente acima de sua cabe»ca, Aristarco notou que os planetas Terra, Lua e Sol, posicionavam-se como os v ertices T, L e S de um triângulo retângulo em L. Medindo o ângulo L b TS, ele inferiu que este era aproximadamente de 90± (um valor mais preciso, conhecido atualmente, e 0; ± ). Aristarco ent~ao construiu, com r egua e compasso, um triângulo retângulo LT S, modelando as posi»c~oes relativas entre Lua, Terra e Sol e, por semelhan»ca de triângulos, deduziu que a distância da Terra ao Sol e aproximadamente 19 vezes a distância da Terra µa Lua. Em realidade, a distância da Terra ao Sol e 400 vezes a distância da Terra µa Lua. Problema 6 Sabendo que a distância da Terra ao Sol e aproximadamente 400 vezes a distância da Terra µa Lua, proponha um procedimento que nos permitiria avaliar o diâmetro do Sol. 3 Hip ocrates de Quios no mundo das l unulas Hip ocrates de Quios (que n~ao e o Hip ocrates de C os, da Medicina) nascido na ilha grega

8 Três eventos da hist oria da geometria 8 de Quios, viajou para Atenas no prov avel ano de 430 a.c., com a nalidade de recuperar terras suas atrav es de um processo judicial. O caso tomou-lhe meses e ent~ao Hip ocrates aproveitou seu tempo estudando coisas de que gostava muito, tais como loso a e geometria. Nessa epoca, a cidade de Atenas tinha atingido grande desenvolvimento cultural e isto provavelmente estimulou Hip ocrates em seus estudos. Hip ocrates foi o primeiro matem atico a calcular precisamente a area de uma regi~ao plana delimitada por arcos circulares. Dentro da geometria plana, as descobertas de Hip ocrates constituem-se em interessantes resultados de \quadraturas". 3.1 A quadratura das l unulas Uma das descobertas de Hip ocrates e a seguinte. Na Figura 10, num c ³rculo de diâmetro AB, inscreve-se um triângulo ABC. Conforme uma descoberta de Tales, um tal triângulo ser a um triângulo retângulo, sendo AC e CB seus catetos e o AB sua hipotenusa. Figura 10: A soma das areas das l unulas e igual µa area do triângulo. Sobre os catetos AC e CB s~ao constru ³dos dois outros semi-c ³rculos, tendo os catetos como diâmetros. As regi~oes planas da Figura 10, delimitadas por arcos de circunferências, lembrando fases da lua, s~ao chamadas de l unulas. Chamemos del 1 el 2 as l unulas constru ³das sobre os catetos AC e CB, respectivamente, e seja T o triângulo ABC. Ent~ao tem-se o seguinte interessante resultado: Teorema 1 (Hip ocrates) areal 1 + areal 2 = areat Diz-se ent~ao que, atrav es deste resultado, Hip ocrates quadrou as l unulas, transformando, atrav es de uma constru»c~ao geom etrica, a soma de suas areas na area de um

9 Três eventos da hist oria da geometria 9 triângulo. Em geral, o problema de quadrar uma regi~ao plana consiste em obter, por uma constru»c~ao de r egua e compasso, uma regi~ao poligonal de mesma area, o que permite ent~ao obter um quadrado de mesma area. Problema 7 Tente demonstrar o teorema de Hip ocrates por você mesmo. Caso n~ao o consiga, leia a demonstra»c~ao que e dada abaixo. Dica: Você pode fazer uso do teorema de Pit agoras e da f ormula de Arquimedes para area de um c ³rculo de raio r: ( area de um c ³rculo de raio r) =¼r 2. Demonstra»c~ao do teorema de Hip ocrates: Sendo ABC um triângulo retângulo, de hipotenusa AB, sejams 1,S 2 es 3 os três semic ³rculos fora do triângulo, constru ³dos sobre os lados AC, CB e AB, respectivamente. Ent~ao areas 1 + areas 2 = areas 3 Figura 11: Um teorema de Pit agoras \diferente". Isto pode ser demonstrado (como um exerc ³cio µa parte) usando-se a f ormula da area de um c ³rculo de raio r, aplicando-a aos três semi-c ³rculos da Figura 11, e usando o teorema de Pit agoras. (Hip ocrates, no entanto, n~ao conhecia tal f ormula, pois ela s o seria descoberta dois s eculos depois por Arquimedes). µa epoca de Hip ocrates, j a era conhecido o fato, descoberto pelos Pitag oricos, de que a raz~ao entre as areas de dois c ³rculos (ou semi-c ³rculos) e igual µa raz~ao entre os quadrados de seus diâmetros. Assim, raciocinando como Hip ocrates, temos: areas 1 = AC2 areas 3 AB 2 e areas 2 = CB2 areas 3 AB 2

10 Três eventos da hist oria da geometria 10 Sendo, pelo teorema de Pit agoras, AB 2 =AC 2 +CB 2, teremos areas 1 + areas 2 = areas 1 + areas 2 areas 3 areas 3 areas 3 = AC2 AB 2 + CB 2 AB 2 = AC 2 2 +CB AB 2 e ent~ao areas 1 + areas 2 = areas 3. = AB2 AB 2 = 1 Voltando µa Figura 10, considerando-se as areas como l a designadas, temos: areal 1 + arear 1 + areal 2 + arear 2 = areas 1 + areas 2 = areas 3 = arear 1 + arear 2 + areat e portanto, comparando as linhas primeira e ultima, cancelando os termos repetidos, areal 1 + areal 2 = areat Problema 8 Sendo ABC um triângulo is osceles como na Figura 12, veri que que as duas regi~oes hachuradas tem areas iguais, ou seja, a area da l unula e igual µa area do triângulo. Os dois arcos que delimitam a l unula s~ao, respectivamente, 1=4 da circunferência de centro A e raio AC e a semi-circunferência de diâmetro CB. Figura 12: As regi~oes hachuradas tem mesma area. Problema 9 Considere a gura 13, em que o diâmetro do c ³rculo menor e igual ao lado do hex agono regular. Sejam c a area da regi~ao circular sombreada, C a area do c ³rculo circunscrito ao hex agono, L a area de cada l unula externa a este c ³rculo e H a area do hex agono. Demonstre que c =H 6L. Problema 10 O resultado do problema 9 pode nos induzir a acreditar que e poss ³vel quadrar o c ³rculo, bastando para isso quadrar as seis l unulas da gura 13. Tendo em visto que Lindemann, em 1882, demonstrou que e imposs ³vel quadrar um c ³rculo, explique porque o resultado do problema acima n~ao contradiz o teorema de Lindemann.

11 Três eventos da hist oria da geometria 11 Figura 13: (\Quadrando" o c ³rculo) Se o c ³rculo maior tem o dobro do diâmetro do menor, temos Area do c ³rculo menor = ( area do hex agono) ( area das 6 l unulas) Referências bibliogr a cas que serviram de base para o presente texto [1] Anglin, W.S., Mathematics: A Concise History and Philosophy. Springer-Verlag, New York, [2] Anglin, W.S., The Heritage of Thales. Springer-Verlag, New York, [3] Boyer, C.B., Hist oria da Matem atica. Editora Edgard BlÄucher Ltda., S~ao Paulo, [4] Dunham, W. Journey Through Genius. The Great Theorems of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc., New York, [5] Eves, H., Introdu»c~ao µa Hist oria da Matem atica. Trad. de H.H. Domingues. Editora da Unicamp, Campinas, 1995.